结构力学中的位移法
结构力学 7.位移法
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
结构力学第8章位移法
结构力学第8章位移法位移法是结构力学中一种常用的分析方法。
它基于结构物由刚性构件组成的假设，通过计算结构在外力作用下产生的位移和变形，进而推导出结构的反力和应力分布。
位移法的基本思想是将结构的局部位移组合成整体位移，通过建立位移和反力之间的关系，解决结构的力学问题。
位移法的分析步骤通常包括以下几个方面：1.建立结构的整体位移函数。
位移函数是位移法分析的基础，通过解结构的运动方程建立结构的位移与自由度之间的关系。
2.应用边界条件。
根据边界条件，确定结构的支座的位移和转角值。
支座的位移和转角值可以由结构的约束条件和外力产生的位移计算得出。
3.构建位移方程组。
将结构的整体位移函数带入到结构的平衡方程中，得到位移方程组。
位移方程组是未知反力系数的线性方程组。
4.解位移方程组。
通过解位移方程组，求解未知反力系数。
可以使用高斯消元法、克拉默法则或矩阵方法等解方程的方法求解。
5.求解反力和应力分布。
通过已知的位移和未知的反力系数，可以计算出结构的反力和应力分布。
这些反力和应力分布可以进一步用于结构的设计和评估。
位移法的优点是适用范围广泛，适合复杂结构的分析。
它可以处理线性和非线性的结构，包括静力学和动力学的分析。
同时，位移法具有较高的精度和准确度，在结构的分析和设计中得到广泛应用。
然而，位移法也存在一些限制。
首先，位移法假设结构是刚性的，忽略了结构的变形和位移过程中的非线性效应。
其次，位移法需要建立适当的位移函数，对于复杂结构来说，这是一个复杂和困难的任务。
此外，位移法在处理大变形和非线性结构时可能会遭遇困难。
综上所述，位移法是结构力学中一种重要的分析方法。
它通过计算结构的位移和变形，推导出结构的反力和应力分布，为结构的设计和评估提供基础。
然而，位移法也存在一些限制，需要在具体的分析问题中谨慎应用。
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
结构力学位移法
R2
R1=0 R2=0
ql
C D
Z1 R1
l
四.位移法典型方程
ql
q
l/2 B
ql
C D
ql B
A r22
q
R2 Z1
R1=0
ql C D
Z2=1
l/2 A
EI=常数
R2=0 R1 R1 r11 Z1 r12 Z 2 R1 P 0
l
C
r21
R2 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
r11
3i 3i
EI
r
11
=6i
R1P
ql 2 / 8
R1P
q
R1 P ql 2 / 8
Z1 ql / 48i ql 2 8 MM Z M 1 1 P
2
MP
ql2 / 16
r11
3i
Z1=1 3i
M1
Z1
M
位移法求解过程:
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
A
Z1
B
Z1
q
B
C
=
A
B
+
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
Z1
q
A
EI
B
Z1
EI
C
----刚臂,限制转动的约束 R1=0 R1=r11 Z1+ R1P =0
R1
q
A
EI
B
EI
C
r11
3i
B B
ql 8
2
3i
r
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
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LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
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§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
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§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
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§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
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LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
结构力学——位移法
结构力学——位移法结构力学，位移法结构力学是研究物体受到外力作用时的变形和应力分布规律的学科。
在结构力学中，位移法是一种常用的分析方法，用于解决结构受力变形问题。
位移法是建立在位移场的基础上，通过求解物体的位移场，再根据位移场得到应力场、应变场以及应力分布等信息，从而获得结构的受力变形情况。
位移法的基本原理是微分方程的解析方法。
在位移法中，首先需要确定结构的几何形状、边界条件和外力情况，然后通过应变能原理或变分原理等方法建立物体的弯曲方程或应变能方程。
接下来，在确定了适当的位移函数形式后，将其代入方程中，通过求解微分方程来得到物体的位移场。
在位移法中，常用的位移函数形式包括简单弯曲、直角坐标、梯形分段等。
根据结构问题的具体条件，选择合适的位移函数形式，是位移法分析的一个重要步骤。
在求解位移函数时，通常要满足边界条件和界面连续条件。
边界条件是指结构边界上位移和应力的已知条件，界面连续条件是指相邻物体的位移和应力在界面上连续的条件。
求解位移场后，可以根据位移场求出应变场。
应变场是位移场的导数，反映了物体各点的拉伸和压缩程度。
通过求解应变场，可以进一步求解应力场。
应力场是应变场的导数，反映了物体各点的强度和应力分布情况。
由于应力是物体受力的重要指标，因此通过求解应力场，可以分析出物体受力分布情况，评估结构的强度和稳定性。
位移法在结构力学中具有重要的应用价值。
通过求解位移场，可以全面了解结构受力变形情况，为结构的设计和施工提供依据。
位移法不仅能够分析简单的结构问题，还可以扩展应用到更复杂的结构问题中，如悬索桥、拱桥和空间柱等。
位移法不仅适用于线性问题，还可以应用于非线性问题，如大变形、大位移和材料非线性等。
总之，位移法是结构力学中一种常用的分析方法，通过求解物体的位移场，可以获得结构的应力和变形情况。
位移法不仅能够分析简单的结构问题，还可以应用于复杂的结构问题。
通过位移法的研究，可以更全面地了解结构的受力变形情况，为结构的设计和施工提供依据。
结构力学中的位移法
结构力学中的位移法
位移法是基于以下假设的：结构单元之间的约束全部通过边界条件来
体现，结构中的材料是线弹性材料，结构中的每个单元之间是相互独立和
互不干扰的。
位移法的基本思想是首先假设结构的位移场，然后利用位移场的表达
式和边界条件，推导出结构的应力、应变和位移等信息。
具体步骤如下：
1.确定结构的约束条件：根据结构的平衡条件，确定结构各部分之间
的约束关系。
一般包括边界条件和连接条件等。
2.建立位移场：通过将结构的变形分解为一系列位移函数的线性组合，建立位移场。
常用的位移函数包括常数、线性函数、二次函数等。
3.推导位移场的表达式：利用结构的几何关系和材料的力学性质，根
据平衡条件和应力-应变关系，推导出位移场的表达式。
4.边界条件和连接条件：利用结构的边界条件和连接条件，确定位移
场中的待定系数。
5.应力和应变的计算：利用位移场的表达式和应力-应变关系，计算
结构中各点的应力和应变。
6.变形和位移的计算：利用位移场的表达式，计算结构中各点的变形
和位移。
7.校核：通过校核位移场的可行性和合理性，验证所得结果的准确性。
位移法的优点是可以处理各种复杂的边界条件和载荷情况，适用于各
种不规则结构。
但是位移法也存在一些局限性，如要求解一些复杂结构时，可能需要大量的计算和繁琐的推导过程。
总之，位移法是结构力学中一种重要的解决结构问题的方法，通过确定结构的位移场来分析结构的力学性能，具有广泛的应用前景。
在实际工程中，位移法被广泛运用于结构设计和分析中，是一种非常有效的结构分析方法。
结构力学位移法
r32=r23= –1/2
（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P
4m
4m
5m
4m
2m
A
B
C
D
F
E
i=1
i=1
i=1
i=3/4
i=1/2
q=20kN/m
(1/8) × 20×42=40
(1/12) × 20×52=41.7
R1P=40–41.7= –1.7
R2P=41.7
R3P=0
位移法的基本思路概括为，先离散后组合的处理过程。所谓离散，就是把对整体结构的分析转化对单个杆件系在变形协调一致条件下的杆系分析。所谓组合，是要把离散后的结构恢复到原结构的平衡状态，也就是要把各个杆件组合成原结构，组合条件就是要满足原结构的平衡条件。
◆ 确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
◆确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
（6）建立位移法基本方程：
（7）解方程求结点位移：
（8）绘制弯矩图
A
B
C
D
F
E
M图（kN•m）
18.6
42.8
47.8
26.7
23.8
14.9
5
3.6
8.9
3.97
（9）校核
结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。
由于考虑了结点和杆件的联结以及支座约束情况，所以满足了结构的几何条件，即变形连续条件和支座约束条件
位移法基本结构
位移法中采用增加附加约束，以限制原结构的结点位移而得到的新结构，称为位移法的基本结构
● 在刚结点处附加刚臂，只限制刚结点的角位 移，不限制结 点线位移，用符号“▼”表示刚臂
结构力学：位移法
A
B
C
D
B
C
B
A
B C
A
B
C
B C
D
E
9
2．结点线位移未知量△
用附加链杆的方法确定结点线位移未知量△。
从两个不动点（无线位移的点）引出的两根 无轴向变形的杆件，其交点无线位移。
若一个结构需附加n根链杆才能使所有内部 结点成为不动点（无线位移），则该结构线位 移未知量的数目就是n。
不动点如右图示： A
1. 两端固定梁 q
ql2 12 A
ql2 24 l
ql2 12
B
FPl 8 A
Fp FPl 8 B
FPl 8
l/2 l/2
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
M
F AB
M
F BA
Fpl 8
20
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
ql2 8
A
q
ql2 16
l
3FPl 16
Fp
BA
B
5FPl 32
l/2 l/2
A
EI
B
A
M AB 4iA M BA 2iA
A
i
B
A
l B
M AB 2iB M BA 4iB
MAB EI
A
MBA
B
A
l B
A
i B B
MAB
A
MBA
iB
M AB
M BA
6i l
14
由上图可得：
M AB
4i A
2iB
6i l
M BA
2i A
4i B
6i l
结构力学 位移法
A EI B EI C 16kN 2kN/m
6m
EI
D
3m
6m
基本结构 基本方程：k11 △1＋F1P＝0 F1P
24 18
解：基本未知量：△1=θB， k11 4i 3i i
12
2i
△1= 1； M 图 MP图
k11
4i
3i i 2i
F1P
A B
F2P 16kN.m
C 8kN.m
F1P
6kN.m B 4kN.m 4kN.m
F2P
C 16kN.m
F1P = 2kN.m
F1P = -12kN.m
四、解题步骤(以一个基本未知量为例)
⑴确定基本未知量△1、基本结构、基本方程； ⑵令△1=1，画基本结构的弯矩 M 1 图，由结点或截面平衡方 程得系数k11； ⑶画基本结构荷载下的弯矩MP图，由结点或截面平衡方程得 常数项F1P； ⑷将系数k11 和常数项F1P 代入基本方程k11 △1 ＋ F1P ＝0，求 解基本未知量△1 ；
⑴ 基本方程中系数kij的确定 系数kij为第j号位移△j=1，第i号附加约束的约束反力，也就 是结构的刚度系数。由结点或截面的平衡方程确定之。 附加约束的约束反力kij的正负规定与结点位移△j的正负规定 相同，刚臂的约束反力(约束力偶)kij以顺时针转为正，链杆的约 束反力kij以使杆顺时针转为正。 位移法中规定：杆端弯矩也以顺时针转为正。
△ Dx
D
△ Ex
E
△1=θ
F
F
P
△Fx
F A
θ
△2= △Dx= △Ex
△ Gx
G
F
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
结构力学 位移法
7.8
QBA=-20-（6iZ1-3iZ2）/4
QCD=0.75iZ2/4 3）解方程 7iZZ11-=12.5.6iZ12/+i 20=0
40
i
M图（kN.m）
-1.Z52iZ=12+50.5.9/i375iZ2-20=0
53
19.1
3、内力计算 M 回代
§6 位移法典型方程的建立及应用举例
一、思考方法
3.系数和自由项
（1）物理意义
rij—附加约束j单独发生单位位移Zj =1时在附加约束i处产生的约束反力.
RiP—荷载单独作用于基本结构时在附加约束i处产生的约束反力.
（2）类型
附加刚臂上的反力矩 附加链杆上的反力
原因何在?
（3）性质
rii 0
rij rji
三、位移法典型方程解题的一般步骤
1. 确定基本结构 2. 求基本未知量 （1）列位移法方程
（2）求系数和自由项rij、RiP
（3）解方程 3. 内力计算
（1）M M M P M i Zi
（2）Q、N 同前
例：利用位移法典型方程作图示结构M图。
解： 1、确定基本结构 2、求基本未知量 （1）列位移法方程
R1=0
ql
q
l/2 B ql C
l/2 A
D
EI=常数
l
R2=0
R1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 R2 r21Z1 r22Z2 R2P 0
（三）内力计算
1.求各杆端弯矩：（3）代入（2）
2.求Q
Q
QP0
M ij
l
M
ji
3.求N（有的结构N求不出）
二、连续梁和无侧移刚架的计算（基本未知量只有结点角位移）
结构力学第七章位移法
结构力学第七章位移法1.引言结构力学是研究结构受力、变形和稳定性的力学分支。
在结构力学中，位移法是一种重要的分析方法，用于求解结构的变形和应力分布。
2.位移法的基本原理位移法是基于以下两个基本原理：（1）弹性体的受力状态可通过满足平衡条件来确定；（2）位移场的连续性条件，即位移场在结构内部要处处连续，边界上要满足给定的边界条件。
3.位移法的基本步骤位移法的基本步骤如下：（1）建立结构的受力模型，包括结构的材料性质、几何形状和边界条件等；（2）选取适当的位移函数形式，以确定位移场；（3）利用平衡方程和满足位移场连续性条件的边界条件，求解未知的位移和受力分布；（4）利用位移和受力分布计算结构的变形和应力分布。
4.位移法的应用位移法广泛应用于各种结构的力学分析，特别是对于复杂的非线性和不规则结构，位移法是一种常用的分析方法。
以下是一些常见的应用：（1）梁的挠曲分析：位移法可以用来求解梁的挠曲问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到梁的弯曲形状和弯矩分布。
（2）柱的稳定性分析：位移法可以用来求解柱的稳定性问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到柱的稳定性临界载荷和稳定形状。
（3）桁架结构的分析：位移法可以用来求解桁架结构的强度和刚度，通过选取合适的位移函数形式，可以得到桁架结构的内力和变形。
（4）地基基础的分析：位移法可以用来求解地基基础的变形和应力分布，通过选取合适的位移函数形式，可以得到地基基础的沉降和周边土体的应力分布。
5.位移法的优缺点位移法作为一种结构力学的分析方法，具有以下优点：（1）位移法适用于各种结构的力学分析，可以求解复杂的非线性和不规则结构问题；（2）位移法具有较强的适用性和灵活性，可以根据实际情况选取不同的位移函数形式；（3）位移法的计算步骤相对简单，易于实现。
然而，位移法也存在一些缺点：（1）位移法需要选取适当的位移函数形式，这对分析结果的准确性有较大影响；（2）位移法的计算过程较为繁琐，需要手动推导和求解方程组，耗费时间和精力。
结构力学 位移法
B
3 2l
3i M AB l 3i FQAB FQBA 2 l
B 不独立，可不作为基本未知量
故，其杆端弯矩和杆端剪力为
3、远端滑动（ B FQAB FQBA 0 ） 如图（e）所示，由弯曲杆件的刚度方程，并令
B FQAB FQBA 0
基本线位移未知量2个 (a) (b)
三、基本方程举例
(a) (b)
3
2 1
基本未知量：3个刚结点D、E、F 增加3根支座链杆 对应于θ 三个刚结点，分别建立其力矩平衡条件
3个角位移
D , E , F
(c)
3个线位移 1 , 2 , 3
D、θ E、θ F3个角位移，应截取D、E、F
QAB= QBA
θ =1
B
4i
1
2i
6i
1 2i
l
6i
3i
l
6i
0
l
l2
A A
θ =1
B B
3i
3i
l
1 θ =1
B
3i
i
l
0
l2
A
－i
0
四、常用荷载情况下的固端弯矩和固端剪力
1、两端固定梁 ①
P A l/ 2 l/ 2
B
M
F AB
Pl / 8
F FQAB P / 2 F FQBA P / 2
平衡方程
M AG M AB M AD 0 M BA M BC 0
基本方程
所以，该刚架利用位移法计算时的基本未知量为 A和 B 。
根据铰结点C的力矩为零的条件，可以把 C 表示成 A B 的函数关系式， 与
结构力学第六章位移法
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
结构力学位移法
第十七章位移法求解超静定结构的两种最基本的方法力法适用性广泛，解题灵活性较大。
（可选用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法电算——矩阵位移法力法位移法力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移基本未知量F PϕBϕB在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B 只发生角位移ϕB 。
由于结点B 是一刚结点，故汇交于结点B 的两杆的杆端在变形后将发生与结点相同的角位移。
位移法计算时就是以这样的结点角位移作为基本未知量的。
第一节位移法的基本概念BAClhEI 1EI 2首先，附加一个约束使结点B 不能转动，此时结构变为两个单跨超静定梁。
称为位移法的基本结构。
在荷载作用下，可用力法求得两根杆的弯矩图。
由于附加约束阻止结点B 的转动，故在附加约束上会产生一个约束力矩1631l F F P P -=C BAF P316Fl 532FlCAB然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附加约束以恢复ϕB 。
两个单跨超静梁在B 端有角位移时的弯矩图，同样可由力法求得。
此时在附加约束上产生约束力矩Bh EI lEI F ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=211143ϕB ϕBBA CB lEI ϕ13B h EI ϕ24B hEI ϕ22F PBAC求基本未知量,可分两步完成：1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）转动附加约束使结点产生角位移ϕB ，使结构发生与原结构一致的结点位移。
ϕBϕB附加刚臂经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为F 11和F 1P 之和。
由于结构无论是变形，还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B 处无附加约束，亦无约束力矩，故有F 11+F 1P ＝001634321=-⎪⎭⎫⎝⎛+Fl h EI lEI B ϕ解方程可得出ϕB 。
位移法典型方程将求出后ϕB ，代回图22-1c ，将所得的结果再与图22-1b 叠加，即得原结构（图22-1a ）的解。
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P C
A
Step1：附加刚臂 限制结点位移，荷
B 载作用下附加刚臂
上产生附加力矩。
A θA
θA
3
C
Step2：对结点施加产生 相应的角位移，以实现结
B 点位移状态的一致性，产
生相应的附加约束反力。
Step 3：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
为无侧移刚架。 P=20kN
q=2kN/m
1、基本未知量B
2、固端弯矩(确定载常数)
A
EI B B EI
C
3m 3m
6m
MAB
EI
P B MBC
q
MBA
B EI
4、位移法基本方程（平衡条件）
M
F BA
Pl 8
20 6 8
15kN
m
M
F AB
15kN
m
M
F BC
ql 2 8
9kN m
3、列单元刚度方程(包含形
1
第八章
位移法
A θA
θA
B
附加
刚臂 A
§8-1 位移法的基本概念
2
P C
荷载效应包括：
内力效应：M、Q、N； 位移效应：θA
实现位移状态可分两步完成
P
C
A θA
C
θA
Step1：附加刚臂 限制结点位移，荷
B 载作用下附加刚臂
上产生附加力矩。
Step2：对结点施加产生 相应的角位移，以实现结
B 点位移状态的一致性。产
PJ h1 1
J
PJ 2h2
J
PJ 3 h3
J
1
A 24
A
5
24QAB
B
EI
l1
8
i1=
q
i
1
复绘习制角弯变矩位图移方程中的杆端剪力：21
8B
MB （ql2） QBA
Q
M
AB
AB
6i l
6i
l A
6iM
l
ABFB1l22i254
qlQ2 AFB
QBMA B…A…6li…6…lAi …6l…i M…B BF…A 1…l22i…21…4Qq..lBF2A
2i A
6i l
因MBA = 0，代入(1)式可得
M AB
3i A
3i l
QAB
Q因BA
B
6i
l
0,AQA6lBi
BQB1Al22i0(2)
MBA
代入（2）式可得
l
1 2
A
MAB i A
MBA i A
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
Ni
EAi li
sin i
Ni
EAi li
sin i
EAi li
sin 2 i
P
EAi li
sin 2
i
P
P
EAi li
sin 2 i
5
位移法基本作法小结:
（1）基本未知量是结点位移； （2）基本方程的实质含义是静力平衡条件； （3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整
体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;
MBC
M B 0 MBA
M BA M BC 0.......... ......(1a) 10iB 15i 4 0.............(1)
M BC 6i B
M DC 0.75i MBC
MBA
B B
QBA
B
23
C
QCD
x0
QBA + QCD =0…………...(2a)
6iB 3.75i 24 0........(2)
由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应 等于0，按此可列出求解结点位移的基本方程。
4
i
1 2 34 5
B
B
P
B
A i
Ai ,li B
B
ui
Ni
ui sini
i B
B
选择 基本 未知 量
物N理i 条E件lAi i ui
ui sini
几何条件
Ni sini P
平衡条件
变形条件
QAB MAB
QBA
QBA 1.5iB 0.75i 6
QDC MDC
QCD
QCD
3i 42
（4）解位移法方程
10iB 1.5i 4 0...........(1) 6iB 3.75i 24 0........(2)
24
B
0.737 i
7.58 i
（5）弯矩图
MAB= -13.896 kN·m MBA= -4.422kN·m MBC= 4.422kN·m MDC= -5.685kN·m QBA= -1.42kN QCD= -1.42kN
§8-5 有侧移复刚习架角的变计位算移方程中的杆端剪力：19
M
AB
3i l
QmAABB
33llii1qA6l3i 3l q2i8l2Q51qAF6Bl2
C
QMBCAD
3i l
3ql2
QBA16
3i l
A
3i l2
QBFA
B
D
i1
q
i
i
A
C
其中
x 0 QBA QDC 0
QBA
3i l2
MBA 3iAB B mBA 3B 40 MCD 3C
16
梁
M BC 4 B 2C 41.7
MCB 4C 2B 41.7
M BE
4
3 4
B
3B
柱
M EB
2
3 4
B
1.5B
M CF
4
1 2
C
2C
M FC
2
1 2
C
C
2m 4m
(3) 位移法方程
MB 0 MC 0
M BA M BC M BE 0 MCB MCD MCF 0
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
－i
10
QAB= QBA
6i l 12 i
l2 3i l
3i l2
0
二、由荷载求固端反力称为载参数
11
单跨超静定梁简图
q
A P
a
b
q
A
A
P
a
b
q
A
P
A
a
b
B
B B
B B
M
F AB
ql 2 12
Pab2 l2
ql 2
8
Pb(l 2 2l 2
m
M BC
3i
6 7i
9
11.57kN m
3.21
M图 kN m
15.85
例1、试用位移法分析图示刚架。
15
（1）基本未知量 B、 C
q=20kN/m
（2）固端弯矩(载常数)MF
A 4I0 B 5I0 C 4I0
3I0
D
3I0
E
F
4m
5m
4m
2m 4m
M
F BA
ql 2 8
20 42 8
C 9.8 D
M图 (kN m)
1.7
E
4.89 F
18
无侧移刚架位移法分析小结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；
2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；
3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。
P
q
Mq
A
B
C
D
M
MCB
MCD
C
BA
5ql 2
16QABA
EID
l
3ql 2 16
（1）由杆端弯矩
M
AB和M
引起的
BA
A和
B
B
MBA
MBA
利用单位荷载法可求得
A
1 EI
1 2
M AB
l
2 3
1 2
M BA
l 1 3
l EI
1 3
M AB
1 6
M BA
设 EI i
l
A
1 3i
M AB
1 6i
M BA
1
同理可得
B
1 6i
M
AB
1 3i
M BA
MAB
A
MAB
A
EI
A
1 3i
2i B 4i B
6i 6i
l l
(1)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
8
可以将上式写成矩阵形式
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i
l 6i
l
A B
QAB
6i l
6i l
12i l 2
1
4
结构中可能存在不同支座情况。
2
3
13.896
B 4.422
C
4.422
A
5.685 D
M图（kN·m）