2.5简单的幂函数(北师大版教案)

5 简单的幂函数

教学目标：

1．了解指数是整数的幂函数的概念;

2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法；

3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。

重点难点：

1．教学重点：幂函数的概念，奇偶函数的概念 . 2．教学难点：幂函数图像性质，研究函数奇偶性。

教学过程：

一、情景引入

(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付y x = (2)如果正方形的边长为x ,那么正方形的面积2y x = (3)如果立方体的边长为x ,那么立方体的体积3y x =

(4)如果正方形的面积为x ，那么正方形的边长y =

(5)如果某人x 秒内骑车行进1千米那么他骑车的平均速度1

y x

=

以上问题中的函数有什么共同特征？

y x = 2

y x = 3

y x = y =12

()y x = 1

y x

= 1()y x -=

答：底数是自变量x,只是指数不同. 二、知识探究

1、幂函数的定义：如果一个函数，底数是自变量x ,指数是常量,即y x α=（α是常数)，这样的函数叫幂函数.

具体特点:①底数是自变量 ②指数是常量 ③x α的系数是1 判一判：判断下列函数是否为幂函数.

(1)m y ax = 2(2)y x x =+ 3n y x =（） 5(4)(2)y x =- 2(5)2y x = 21

(6)y x

=

仅(3)⑹是幂函数

2、画出函数3y x =的图像，讨论其图像特征（单调性、对称性等） 解：列表：

描点连线：

图像特征:

⑴单调性: 在R 上是增加的 ⑵对称性: 函数图像关于原点对称 并且对任意x , ()()()3

3f x x x f x -=-=-=-

即()()f x f x -=-，像这样的函数叫作奇函数 奇函数的特点：

⑴定义域关于原点对称

⑵对于定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=-

３、观察函数()2f x x =，讨论图像特征 函数图像关于y 轴对称，并且对任意x , ()()()2

2f x x x f x -=-==

即()()f x f x -=，像这样的函数叫作偶函数 偶函数的特点：

⑴定义域关于原点对称

⑵对于定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=

注：①如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；

②根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；

③注意：“任意”、“都有”等关键词，奇偶性是函数的整体性 ④奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；

⑤奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；

三、典型例题

例2 判断()52f x x =-和4()2g x x =+的奇偶性. 【课本49页动手实践】 四、课堂训练

1、画出下列函数的图像,判断其奇偶性.

3

(1)y x

=- 2(2)y x ,x (3,3]=∈- 2(3)y x 3=- 2(4)y 2(x 1)1=++

2、判断

⑴函数()y f x =在定义域R 上是奇函数,且在](,0-∞上是增加的的,则()f x 在

)0,+∞⎡⎣上也是增加的. (正确)

⑵函数()y f x =在定义域R 上是偶函数,且在](,0-∞上是减少的,则()f x 在

)0,+∞⎡⎣上也是减少的. (错误)

3、⑴已知奇函数()f x , 则()f a b = , ()f a -= . ⑵已知偶函数()f x , 则()f a b = , ()f a -= .

4、二次函数()2(1)23f x m x mx =-++是偶函数,则()f x 在](,0-∞上是

5、设()f x 为定义在R 上的偶函数,且()f x 在)0,+∞⎡⎣上是增加的,则

(2),(3),(4)f f f --由小到大的排列顺序为

五、小结

1.几种简单幂函数的图像及性质.

2.判断函数奇偶性的方法: (1)图像法 图像关于原点对称()y f x =是奇函数. 图像关于y 轴对称()y f x =是偶函数.

(2)解析法 ()()

f x f x -=-()y f x =为奇函数 ()()

f x f x -=()y f x =为偶函数

六、补充

1、常见幂函数图像（右图）

2、总结幂函数性质

⑴所有的幂函数在()0,+∞都有定义，

并且图象都过点()1,1（原因：11x =）；

⑵0a >时，幂函数的图象都通过原点，且在)0,+∞⎡⎣上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

⑶0a <时，幂函数的图象在区间)0,+∞⎡⎣上是减函数.

在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.