二次函数最值问题专题课件
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二次函数在给定区间的最值ppt课件
(3)当
a 2
≥2,
即 a≥4 时,
函数 f(x) 在[0, 2]上是减函数.
∴ f(x)min=f(2)=a2-10a+18. 由 a2-10a+18=3 得: a=5 10.
∵a≥4, ∴a=5+ 10.
综上所述, a=1- 2 或 a=精5选+pp1t课0件.
29
回顾小结：
1、数学结合在求闭区间上二次
y的最小值为f(0)=1-a
01
x
X=a
精选ppt课件
22
変题1 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间
[0,1]上的最值.
解：∵函数的对称轴为直线x=a
⑴当a ≤ 0 时
y
y的最大值为f(0) =1-a
X=a 0O1 x y
0XO1=a x y
y的最小值为f(1) =4+a
(2)当 0＜ a＜1 时
函数 f(x) 在[0, 2]上是增函数.
∴ f(x)min=f(0)=a2-2a+2. 由 a2-2a+2=3 得: a=1 2 .
∵a≤0, ∴a=1- 2.
(2)当
0<
a 2
<2,
由 -2a+2=3
即 得:
0<a<4 时,
a=-
1 2
(0,
f(x)min=f( 4), 舍去.
a 2
)=-2a+2.
y
y
y
O 01 x
X=a
O 01
X=a
精选ppt课件
x 01
x
X=a
18
思考2：求函数y =-x2+2ax+1-a在区间 [0,1]上的最小值.
微专题2二次函数的最值问题 课件(14张)
第三章 函数的概念与性质
微专题2 二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较 全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练 几种常见的二次函数最值的求解方法．
类型 1 不含参数的二次函数最值问题 【例 1】 已知函数 f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量 x 在下列范围内 取值时，求函数的最大值和最小值． (1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
t2＋1，t&1， t2－2t＋2，t>1.
类型 3 与二次函数有关的恒成立、能成立问题 【例 4】 已知二次函数 g(x)＝mx2－2mx＋n＋1(m>0)在区间[0,3] 上有最大值 4，最小值 0. (1)求函数 g(x)的解析式； (2)设 f(x)＝gxx－2x，若 f(x)－kx≤0 在 x∈81，8时恒成立，求实数 k 的取值范围．
图①
图②
(2)当 0≤a<1 时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)
＝3－4a.
(3)当 1≤a≤2 时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0) ＝－1.
图③
图④
(4)当 a>2 时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝ －1.
[解] (1)∵g(x)＝m(x－1)2－m＋1＋n， ∴函数 g(x)图象的对称轴方程为 x＝1.又∵m>0， ∴依题意得gg13＝ ＝04， ， 即3－mm＋＋1＋1＋n＝n＝4，0， 解得mn＝＝01.， ∴g(x)＝x2－2x＋1.
(2)∵f(x)＝gxx－2x，∴f(x)＝x＋1x－4. ∵f(x)－kx≤0 在 x∈18，8时恒成立，即 x＋1x－4－kx≤0 在 x∈ 18，8时恒成立， ∴k≥1x2－4x＋1 在 x∈81，8时恒成立．
微专题2 二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较 全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练 几种常见的二次函数最值的求解方法．
类型 1 不含参数的二次函数最值问题 【例 1】 已知函数 f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量 x 在下列范围内 取值时，求函数的最大值和最小值． (1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
t2＋1，t&1， t2－2t＋2，t>1.
类型 3 与二次函数有关的恒成立、能成立问题 【例 4】 已知二次函数 g(x)＝mx2－2mx＋n＋1(m>0)在区间[0,3] 上有最大值 4，最小值 0. (1)求函数 g(x)的解析式； (2)设 f(x)＝gxx－2x，若 f(x)－kx≤0 在 x∈81，8时恒成立，求实数 k 的取值范围．
图①
图②
(2)当 0≤a<1 时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)
＝3－4a.
(3)当 1≤a≤2 时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0) ＝－1.
图③
图④
(4)当 a>2 时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝ －1.
[解] (1)∵g(x)＝m(x－1)2－m＋1＋n， ∴函数 g(x)图象的对称轴方程为 x＝1.又∵m>0， ∴依题意得gg13＝ ＝04， ， 即3－mm＋＋1＋1＋n＝n＝4，0， 解得mn＝＝01.， ∴g(x)＝x2－2x＋1.
(2)∵f(x)＝gxx－2x，∴f(x)＝x＋1x－4. ∵f(x)－kx≤0 在 x∈18，8时恒成立，即 x＋1x－4－kx≤0 在 x∈ 18，8时恒成立， ∴k≥1x2－4x＋1 在 x∈81，8时恒成立．
含参二次函数的最值问题课件
工程、经济、物理等领域。
学生在学习过程中，对于含参二 次函数的最值问题往往存在困惑，
需要有针对性的教学课件进行讲 解和指导。
课程目标
掌握含参二次函数的最值问题的基本概念和求解方法。
理解参数对二次函数最值的影响，以及如何根据实际问题的需求进行参数的取值。
通过案例分析和实践练习，提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维和 数学应用能力。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像是一个抛物线，其开 口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时， 开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
二次函数的最值点在顶点处取得，当 开口向上时，最小值为顶点的纵坐标； 当开口向下时，最大值为顶点的纵坐 标。
二次函数的对称轴是直线$x = frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(frac{b}{2a}, fleft(frac{b}{2a}right)right)$。
得到最值。
配方法
对于二次函数，可以通 过配方将其转化为顶点 式，从而容易找到最值。
判别式法
对于二次方程，可以通 过判别式判断其根的情
况，从而得到最值。
换元法
通过引入新的变量进行 换元，将原函数转化为 更简单的形式，便于寻
找最值。
04
含参二次函数的最值问 题解析
CHAPTER
参数对最值的影响
参数对开口方向的影响 参数对对称轴的影响 参数对最值点的影响
最值求解方法
01
02
配方法
判别式法
03 导数法
参数取值范围的确定
根据题目条件确定
根据图像特征确定
根据实际意义确定
05
实例解析
CHAPTER
简单实例解析
学生在学习过程中，对于含参二 次函数的最值问题往往存在困惑，
需要有针对性的教学课件进行讲 解和指导。
课程目标
掌握含参二次函数的最值问题的基本概念和求解方法。
理解参数对二次函数最值的影响，以及如何根据实际问题的需求进行参数的取值。
通过案例分析和实践练习，提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维和 数学应用能力。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像是一个抛物线，其开 口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时， 开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
二次函数的最值点在顶点处取得，当 开口向上时，最小值为顶点的纵坐标； 当开口向下时，最大值为顶点的纵坐 标。
二次函数的对称轴是直线$x = frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(frac{b}{2a}, fleft(frac{b}{2a}right)right)$。
得到最值。
配方法
对于二次函数，可以通 过配方将其转化为顶点 式，从而容易找到最值。
判别式法
对于二次方程，可以通 过判别式判断其根的情
况，从而得到最值。
换元法
通过引入新的变量进行 换元，将原函数转化为 更简单的形式，便于寻
找最值。
04
含参二次函数的最值问 题解析
CHAPTER
参数对最值的影响
参数对开口方向的影响 参数对对称轴的影响 参数对最值点的影响
最值求解方法
01
02
配方法
判别式法
03 导数法
参数取值范围的确定
根据题目条件确定
根据图像特征确定
根据实际意义确定
05
实例解析
CHAPTER
简单实例解析
九年级数学下册二次函数的最值问题课件冀教版
解题步骤
化为顶点式 → 求对称轴 → 判断对称轴与区间位置关系 → 代入求最小值。
约束条件下最值问题
例题3
已知$x,y$满足$x^2 + y^2 = 4$，求$f(x,y) = x^2 + 2y^2$的最大值和最小值。
解题思路
利用约束条件$x^2 + y^2 = 4$，将$f(x,y)$转化为只含有 一个变量的函数，然后利用二次函数的性质求最值。或者 利用拉格朗日乘数法求解。
二次函数在最值问题中应用
二次函数图像与性质
01
通过二次函数的图像和性质，可以直观地理解最值的存在性和
求解方法。
二次函数与一元二次方程关系
02
利用二次函数与一元二次方程的关系，可以通过解方程来求解
最值问题。
二次函数在实际问题中建模
03
将实际问题抽象为二次函数模型，进而利用二次函数的性质求
解最值。
求解最值问题意义和方法
解题步骤
利用约束条件转化 → 求导找极值点 → 比较极值点与端 点处的函数值确定最值。
例题4
已知$x,y$满足$x + 2y = 1$，且$x > 0, y > 0$，求 $frac{1}{x} + frac{2}{y}$的最小值。
解题思路
将$frac{1}{x} + frac{2}{y}$与约束条件$x + 2y = 1$相 乘，得到$(frac{1}{x} + frac{2}{y})(x + 2y)$，展开后利 用基本不等式求最小值。
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九年级数学下册二次函数 的最值问题课件冀教版
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化为顶点式 → 求对称轴 → 判断对称轴与区间位置关系 → 代入求最小值。
约束条件下最值问题
例题3
已知$x,y$满足$x^2 + y^2 = 4$，求$f(x,y) = x^2 + 2y^2$的最大值和最小值。
解题思路
利用约束条件$x^2 + y^2 = 4$，将$f(x,y)$转化为只含有 一个变量的函数，然后利用二次函数的性质求最值。或者 利用拉格朗日乘数法求解。
二次函数在最值问题中应用
二次函数图像与性质
01
通过二次函数的图像和性质，可以直观地理解最值的存在性和
求解方法。
二次函数与一元二次方程关系
02
利用二次函数与一元二次方程的关系，可以通过解方程来求解
最值问题。
二次函数在实际问题中建模
03
将实际问题抽象为二次函数模型，进而利用二次函数的性质求
解最值。
求解最值问题意义和方法
解题步骤
利用约束条件转化 → 求导找极值点 → 比较极值点与端 点处的函数值确定最值。
例题4
已知$x,y$满足$x + 2y = 1$，且$x > 0, y > 0$，求 $frac{1}{x} + frac{2}{y}$的最小值。
解题思路
将$frac{1}{x} + frac{2}{y}$与约束条件$x + 2y = 1$相 乘，得到$(frac{1}{x} + frac{2}{y})(x + 2y)$，展开后利 用基本不等式求最小值。
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九年级数学下册二次函数 的最值问题课件冀教版
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二次函数的最值问题课件
顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有 最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而 找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最 值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值 。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶 点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值 。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点， 再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从 而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景 进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值 求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利 用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是 二次函数在特定条件下的最大值 或最小值。这些条件可能包括函 数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛 物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定 了抛物线的上下位置。
二次函数最值问题专题PPT课件
在区间[ 1，1上有最小值，记作g a
(1)求g a 的函数表达式；（2）求g a 的最大值。
解：⑴ f x 2x2 2ax 3
2(x a )2 a2 3 22
⑵
①当 a 2 时
g(a) 2a 5 1
g(a)
f ( 1)
f (a) 2
f (1)
2a 5
(a 2
1a
2)
a2 2
3( 1
a 2
1
2 a 2)
a 9(x
⑴当
a
13
)2 即
2a
a
6
1时
331
f (x)min
a2 5
f(
0
) 30Βιβλιοθήκη a 1a⑶当即a
3
f(
a2
3
x)min
4a
f
(
1) 3
5
1时
0
0
a
5或a 5
a5
⑵当 1 a 1 即 1 a 1时
333
a
f (x)min
2a
f( ) 0
63 0
(a
a
5)(a1或1)a
0
5
a5
综上：a 5或a 5
思3、 考已讨知论函：数f x 2x2 2ax 3
2a
5
(a 2
1
a
2)
②当
g(a)
③当a
g(a)
2a2
a2 3 2
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2
o 1 2x a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最
(1)求g a 的函数表达式；（2）求g a 的最大值。
解：⑴ f x 2x2 2ax 3
2(x a )2 a2 3 22
⑵
①当 a 2 时
g(a) 2a 5 1
g(a)
f ( 1)
f (a) 2
f (1)
2a 5
(a 2
1a
2)
a2 2
3( 1
a 2
1
2 a 2)
a 9(x
⑴当
a
13
)2 即
2a
a
6
1时
331
f (x)min
a2 5
f(
0
) 30Βιβλιοθήκη a 1a⑶当即a
3
f(
a2
3
x)min
4a
f
(
1) 3
5
1时
0
0
a
5或a 5
a5
⑵当 1 a 1 即 1 a 1时
333
a
f (x)min
2a
f( ) 0
63 0
(a
a
5)(a1或1)a
0
5
a5
综上：a 5或a 5
思3、 考已讨知论函：数f x 2x2 2ax 3
2a
5
(a 2
1
a
2)
②当
g(a)
③当a
g(a)
2a2
a2 3 2
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2
o 1 2x a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最
2024年中考数学复习课件---微专题2-二次函数的增减性、最值问题全
①当m<1时,x=m时,y取最小值,
∴m2-2m-3=2m,解得m1=2+ (舍),m2=2- .∴m=2- ;
②当m-1>1时,m>2,x=m-1时,y取最小值,
∴(m-1)2-2(m-1)-3=2m,解得m1=0(舍),m2=6.∴m=6;
③当m-1≤1≤m时,1≤m≤2,y=-4为最小值,∴-4=2m,解得m=-2(舍).
数).当自变量x的值满足-1≤x≤2时,与其对应的函数值y随x的
增大而增大,则m的取值范围是 m≤-1
.
6
7
综上所述,m=2- 或6.
3
4
5
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
类型三
返回类型清单
对称轴不确定,求最值或取值范围
方法指导Βιβλιοθήκη 先用含字母的式子表示出抛物线的对称轴,然后分三种情况讨论:
①当对称轴大于x取值范围的最大值时;
②当对称轴小于x取值范围的最小值时;
③当对称轴位于x取值范围内时.
6
7
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
函数y=ax2-2ax+3的图象上.当x=1时,y<3,则y1,y2,y3的大小比较正
确的是( C
A.y1<y2<y3
C.y2<y1<y3
)
B.y1<y3<y2
D.y2<y3<y1
1
2
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
返回类型清单
2.已知二次函数y=ax2+4ax+c(a<0)的图象经过A(-5,y1),B(-3,y2),
微专题2
二次函数的增减性、最值问题
微专题2
∴m2-2m-3=2m,解得m1=2+ (舍),m2=2- .∴m=2- ;
②当m-1>1时,m>2,x=m-1时,y取最小值,
∴(m-1)2-2(m-1)-3=2m,解得m1=0(舍),m2=6.∴m=6;
③当m-1≤1≤m时,1≤m≤2,y=-4为最小值,∴-4=2m,解得m=-2(舍).
数).当自变量x的值满足-1≤x≤2时,与其对应的函数值y随x的
增大而增大,则m的取值范围是 m≤-1
.
6
7
综上所述,m=2- 或6.
3
4
5
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
类型三
返回类型清单
对称轴不确定,求最值或取值范围
方法指导Βιβλιοθήκη 先用含字母的式子表示出抛物线的对称轴,然后分三种情况讨论:
①当对称轴大于x取值范围的最大值时;
②当对称轴小于x取值范围的最小值时;
③当对称轴位于x取值范围内时.
6
7
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
函数y=ax2-2ax+3的图象上.当x=1时,y<3,则y1,y2,y3的大小比较正
确的是( C
A.y1<y2<y3
C.y2<y1<y3
)
B.y1<y3<y2
D.y2<y3<y1
1
2
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
返回类型清单
2.已知二次函数y=ax2+4ax+c(a<0)的图象经过A(-5,y1),B(-3,y2),
微专题2
二次函数的增减性、最值问题
微专题2
二次函数动点的面积最值问题课件
个分支的理解和掌握。
02
掌握解题方法
解决二次函数动点面积最值问题需要掌握一定的解题技巧和方法，包括
数形结合、参数分离、极值法等。通过对这些方法的运用，可以有效地
解决各种复杂的问题。
03
理解问题本质
二次函数动点面积最值问题的本质是寻找函数在某个区间上的最大值或
最小值，以及对应的自变量取值。通过对问题本质的深入理解，可以更
矩形面积的最值
在矩形中找一点，使得该点与矩形顶点的连线将矩形划分为四个面积相等的部分 ，也可以利用二次函数动点面积最值问题求解。
在实际生活中的应用
土地规划
在土地规划中，经常需要确定土地的 分割方式以及各部分的面积，利用二 次函数动点面积最值问题可以找到最 优的分割方案，使得土地的利用率达 到最高。
局。
城市绿化
在城市绿化规划中，通过求解二 次函数动点面积最值问题，可以 确定最佳的绿化区域和分布方式 ，提高城市绿化覆盖率和环境质
量。
06
总结和展望
对二次函数动点面积最值问题的理解和总结
01
理解问题背景
二次函数动点面积最值问题是一个经典的数学问题，涉及到几何、代数
和微积分等多个领域的知识。通过对该问题的研究，可以加深对数学各
要点二
代数解法
通过几何方法（如相似三角形、勾股定理等）来求解动点 面积的最值。
利用代数公式和不等式，通过代数运算求解动点面积的最 值。
二次函数动点面积最值问题的实际应用案例
建筑规划
在建筑规划中，需要考虑土地利 用效率与美观性，动点面积最值 问题可以帮助规划者找到最佳的
建筑布局方案。
农业种植
农业种植中，为了最大化土地利 用率和产量，可以利用二次函数 动点面积最值问题来优化种植布
二次函数的最值问题(课件)
二次函数的单调性
探讨二次函数在定义域内的单调性及其应用。
递增
当二次函数在定义域内递增时，函数值随自变量的 增加而增加。
递减
当二次函数在定义域内递减时，函数值随自变量的 增加而减小。
二次函数的最值存在性定理
研究二次函数在定义域内的最值及其实际应用。
1
最大值存在
当二次函数的系数a为负时，函数在定义域内存在最大值。
2
最小值存在
当二次函数的系数a为正时，函数在定义域内存在最小值。
3
应用举例
高空抛物运动和经济生产成本最小化问题。
求解二次函数的最值
介绍三种方法求解二次函数的最值，并提供实例演示。
配方法
通过坐标变换将二次函数转化 为标准形式，再求解最值。
求导数法
求二次函数的导数，找出极值 点，进而量值。
1 常见错误
对最值问题中容易出现的错误进行梳理和解答。
2 纠正方法
针对学生常见错误，提供具体纠正方法和建议。
3 信息搜索
介绍如何搜索最值问题解题思路和方法的有效途径。
联系与拓展
探讨二次函数最值问题与其他数学知识的联系，以及应用在其他领域的延伸。 如与最优化问题的关系，以及在物理、经济等领域中的应用。
2 完全平方公式
利用完全平方公式，将二次函数转化为平方 项相加的形式，求出零点。
二次函数的图像特点
了解二次函数图像的对称轴和开口方向，以及与函数系数之间的关系。
对称轴
二次函数图像关于垂直于x轴 的直线对称。
开口方向
由二次项系数的正负确定开 口的方向。
函数系数
了解函数系数与图像形状的 关系，如变量a的变化。
二次函数的最值问题
本课件介绍了二次函数的最值问题。包括二次函数的定义和特点、求零点的 因式分解法和完全平方公式、二次函数的图像与对称轴、单调性、最值存在 性定理等。
二次函数的最值问题PPT课件
【典型例题】
例1.求函数 f (x) x2 2ax 1在区间 2, 4上的最小值。
第1页/共7页
【变式】
变式1：求函数 f (x) x2 2ax 1 在区间2, 4上的
最大值；
变式2：求函数f (x) x2 2ax 1在区间2, 4上的值
域；
变式3：若函数 f (x) x2 2ax 1 在区间2, 4上的最 大值为1，求a 值 ； 变式4：求函数 f (x) ax2 2x 1在区间2, 4上的
求 f (x)的最小值 。
变式2：设a 为实数，求函数f (x) x2 +x a 1 在区间1,3
上的最大值。
第5页/共7页
课堂小结：
关键： 对称轴与区间的关系（单调性） 数学思想方法： 数形结合
分类讨论 等价转换
第6页/共7页
感谢您的观看！
第7页/共7页
最小值 。
第2页/共7页
【典型例题】
例2 .求函数 f (x) x2 4x 4在区间 t,t 1(t R) 上的最小值。来自第3页/共7页【典型例题】
例3.设 a 为实数，函数 f (x) x2+ x a 1(xR)，当 x a
时，求f (x) 的最小值。
第4页/共7页
【变式】
变式1：设 a 为实数，函数 f (x) x2+ x a 1(xR)，
例1.求函数 f (x) x2 2ax 1在区间 2, 4上的最小值。
第1页/共7页
【变式】
变式1：求函数 f (x) x2 2ax 1 在区间2, 4上的
最大值；
变式2：求函数f (x) x2 2ax 1在区间2, 4上的值
域；
变式3：若函数 f (x) x2 2ax 1 在区间2, 4上的最 大值为1，求a 值 ； 变式4：求函数 f (x) ax2 2x 1在区间2, 4上的
求 f (x)的最小值 。
变式2：设a 为实数，求函数f (x) x2 +x a 1 在区间1,3
上的最大值。
第5页/共7页
课堂小结：
关键： 对称轴与区间的关系（单调性） 数学思想方法： 数形结合
分类讨论 等价转换
第6页/共7页
感谢您的观看！
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最小值 。
第2页/共7页
【典型例题】
例2 .求函数 f (x) x2 4x 4在区间 t,t 1(t R) 上的最小值。来自第3页/共7页【典型例题】
例3.设 a 为实数，函数 f (x) x2+ x a 1(xR)，当 x a
时，求f (x) 的最小值。
第4页/共7页
【变式】
变式1：设 a 为实数，函数 f (x) x2+ x a 1(xR)，
二次函数区间最值问题学习教育PPT课件
2
上的最大值为4，求a的值。
5.求函数y＝－x（x－a）在x － 1，a 上的最大值。
6.关于x的方程x －（k－2）x＋k ＋3k＋5＝0 有两个实根，，求 2＋ 2的最值。
2
பைடு நூலகம்
2
7.若对任意的k －1,1， 函数f(x)＝x ＋（k－4）x－2k＋4 的最小值恒为正，求x的范围。
二次函数区间最值问题
8 1.函数y= 2 的最大值为____最小值为___ x 4x 5
2
2.函数y＝ －x ＋x＋2的最小值为_______最大值为_____
1 2 3 3.函数f(x)＝ x －x＋ 的定义域和值域 2 2 都是 1,b（ b>1)，求b的值。
4.已知：函数f（x）＝x ＋2ax＋ 1在区间－ 1,2
圆的面积之和最小，求此时正方形的周长。
2
8.设对一切实数x, y＝x －4ax＋2a＋6的值均为 非负数，求函数f(a)＝2－a a＋3 的最值。
2
9.设f(x)＝x －4x－4，x t，t＋ 1（ t R)，
2
求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。
10.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成 一个正方形和一个圆形，要使正方形和
上的最大值为4，求a的值。
5.求函数y＝－x（x－a）在x － 1，a 上的最大值。
6.关于x的方程x －（k－2）x＋k ＋3k＋5＝0 有两个实根，，求 2＋ 2的最值。
2
பைடு நூலகம்
2
7.若对任意的k －1,1， 函数f(x)＝x ＋（k－4）x－2k＋4 的最小值恒为正，求x的范围。
二次函数区间最值问题
8 1.函数y= 2 的最大值为____最小值为___ x 4x 5
2
2.函数y＝ －x ＋x＋2的最小值为_______最大值为_____
1 2 3 3.函数f(x)＝ x －x＋ 的定义域和值域 2 2 都是 1,b（ b>1)，求b的值。
4.已知：函数f（x）＝x ＋2ax＋ 1在区间－ 1,2
圆的面积之和最小，求此时正方形的周长。
2
8.设对一切实数x, y＝x －4ax＋2a＋6的值均为 非负数，求函数f(a)＝2－a a＋3 的最值。
2
9.设f(x)＝x －4x－4，x t，t＋ 1（ t R)，
2
求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。
10.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成 一个正方形和一个圆形，要使正方形和
含参数的二次函数最值问题PPT课件
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3 f(x) min=f(k)=k2-2k-3 13
评注：探究1属于“轴定区间动”的问题，
看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最 值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧 及包含定轴的变化，要注意开口方向及端 点情况。
14
（1）讨论对称轴x= b 与区间 [ a，b]的相对位置；
7
y = x 2∙x 3
8
6
4
2 x=1
k+2
k 15
5
2
4
6
8
10
y = x2 2∙x 3 y = x2 2∙x 3
8
6
4
x=1
2
10 5
k
15
2
k+2
5
10
10
4
6
8
10
8
6
4
x=1
2
k
5
2
k+2
15 5
4
6
8
10
10
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6
4
2 x=1
10 5
k 1105
k+2
2
4
6
8
8
10
2019/10/30
注意数形结合和分类讨论
16
17
2019/10/30
18
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
6
当k ≤-1时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3
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2
故a>-1,
a 2
> - 1 ,∴对称轴在x= -
2
1的右边.
2
∴(1)当 -1< a2≤a时,即a≥0时,由二次函数图象
y
可知:
ymax
=f
(a
2
a2
)= 4
(2)当a<
a 2
时,即-1<a<0时,
a2 4
-1 o
a ax
2
例4 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值
解:函数图象的对称轴方程为x=a ,又x∈[-1,a] ∴(1故)当可a>知--11:,<ya2ma2a≤x>a=-时f12(,即a2,∴a)对≥=0a称4时2轴,由在二2x次= -函12数的图右y象边.
2、由图（2）得：
当 a 0 ，即 a 0 时， 2 ymax f (1) a 4 ymin f (0) 3
例3、求 f (x) x2 ax 3 在 0 x 1 上的最值。
xa 2
01 1 2
图（3）
3、由图（3）得：
当 0 a 1 ，即1 a 0时，
22
ymax f (1) a 4
在区间[ 1，1上有最小值，记作g a
(1)求g a 的函数表达式；（2）求g a 的最大值。
解：⑴ f x 2x2 2ax 3
2(x a )2 a2 3
⑵ ①当 a
2时
22
g(a) 2a 5 1
g(a)
f ( 1)
f (a) 2
f (1)
2a 5
(a 2
1a
2)
a2 2
3( 1
a 2
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 a 2)
3
练习
2
1
在下列条件下求函数y x2 2x 3的值域
(1)x[1, 4)
-1
答(1) y[2,11)
x
1
2
3
4
三、定函数动区间的二次函数的值域
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
⑶当 a 1 2
f (x)max
2a
a
即a
f ( 1)
24
1
14
时
2
4
a1
综上：a
1或a
1 4
4a 5 4 a 1
4
a
思考讨论： 2、不等式9x2 6ax a2 2a 6 0
在
1 3
x
13内恒成立，求实数a的取a 值范5或围a。5
解： f (x) 9x2 6ax a2 2a 6
a3
a 9(x
一、定义域为R的二次函数的值域
求二次函数y ax2 bx ca 0当x R时的值域是先把它配方
为y a x b 2 4ac b2
2a
4a
当a
0时y
4ac 4a
b2
,
;当a 0时,
值域为 ,
4ac b2
4a
;
如 : y x2 2x 3 (x 1)2 4
⑴当
a a
13
)2
2a
即
6
1时
331
f (x)min
a2 5
f(
0
) 3
0
a 1a
⑶当
即a
3
f(
a2
3
x)min
4a
f
(
1) 3
5
1时
0
0
a
5或a 5
a5
⑵当 1 a 1 即 1 a 1时
333
f (x)min
2a
f (a) 0
63 0
(a
a
5)(a1或1)a 0 5
a5
综上：a 5或a 5
思3、 考已讨知论函：数f x 2x2 2ax 3
值域为 , 4
另外也可以从函数的图象上去理解。
2 1
-1 0 -1
123
A(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
2
A(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
1
-1 0 -1
123
二、定义域不为R的二次函数的值域
例1、 当x∈(2,3] 时, 求函数 y x2 2 x 3 的值域
从图象上观察得到当x (2, 3] 时y [0, 3 4 y (1,4)
2a
5
(a 2
1
a
2)
②当
g(a)
③当a
g(a)
2a2
a2 3 2
2时 2a 5
ymin
f ( a ) 3 a2
2
4
xa 2
11
2
图（4）
4、由图（4）得：
当
1 a 1 22
，即2 a 1时，
ymax f (0) 3
a
a2
ymin
f ( ) 3 2
4
五、动函数动区间的二次函数的值域
例4 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值
解:函数图象的对称轴方程为x=a ,又x∈[-1,a]
当x=a时,ymax= a2-2a+3
四、动函数定区间的二次函数的值域
例3、求 f (x) x2 ax 3 在 0 x 1 上的最值。
xa 2
01
图（1）
xa 2
01
图（2）
1、由图（1）得：
当 a 1 ，即 a 2 时，
2
ymax f (0) 3 ymin f (1) a 4
思考讨论：
1、已知函数f x x2 2ax 1
解在：f 区x 间[x21，22上ax的1最大值为4，求a的1或值。1
⑴当
a
1( x
即
a)2
a
2
a
2
1
1
2时
f (x)max f (2) 4
4a 5 4
a1
a 14
⑵当 a
f (x)max
4
1 即a
1时
2
2
f ( 1) f (2) 4
2a 2 4 a 1
y
∴当x=0时，ymax=3
当x=a时，ymin=a2-2a+3
3
2
o1
x
a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上
1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
∴当x=0时，ymax=3
y
当x=a时，ymin=a2-2a+3
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2
o 1 2x a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最
值，并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
∴当x=0时，ymax=3;当x=a时，ymin=a2-2a+3
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单
y
调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2;当x=0时，ymax=3
3
3.当a≥2时 ,函数在[0,1]上单调
2
递减,在[1，a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2,
o 1 2x a
(2)当a<
a 2
时,即-1<a<0时,
由二次函数的图象可知:
ymax =f (a)=0
-1 a
综上所述:当-1<a<0时, ymax =0
a2
4
x o
a
2
当 a≥0时,ymax =
a2 4
课堂小结：
对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，
关键抓住二次函数图象的开口方向，对称轴及
定义区间，应用数形结合法求解。