(最新整理)七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲质数与合数
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 质数与合数
第二十讲 质数与合数趣题引路】由超级计算机运算得到的结果2859433－1是一个质数，则2859433＋1是（ ） A ．质数 B ．合数 C ．奇合数 D ．偶合数解析 ∵2859433－1，2859433，2859433＋1．是三个连续正整数，∵2859433－1的末位数字是1．∴2859433是偶合数，∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433－1是质数，∴2859433＋1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433＋1是奇合数．故选C ．同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗？二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6＝3＋3，12＝5＋7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1＋2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．知识延伸】1．正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类： （1）只有一个正约数的数，它只能是1；（2）只有两个正约数的数，如2，3，11这样的数叫质数； （3）有两个以上正约数的数，如4，10，12这样的数叫合数． 2．（1）2是最小的质数，也是唯一的偶质数；除2以外，其余的质数都是奇数。
（2）质数有无穷多；合数也有无穷多． 证明 假设只有有限多个质数，设为P 1，P 2，P 3，…，P n 考虑P 1P 2P 3…P n ＋1，由假设可知，P 1P 2P 3…P n ＋1是合数，它一定有一个质因数P ，显然，P 不同于P 1，P 2，P 3，…，P n ，这与假设P 1，P 2，P 3，…，P n 为全部质数矛盾．3．质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判定．如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，41，43来除2003，它们都不能整除2003，而下一个质数47，它的平方472＝2209大于2003，由此就可判定2003为质数。
《数学培优新方法》第28章：质数、合数
《培优》第28章：质数、合数1.菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”,只奖励岁以下的数学家.华人数学家丘成桐、陶哲轩40分别于年、年荣获此奖.我们知道正整数中有无穷多个质数(素数),陶哲轩等证明了这19822006样一个关于质数分布的奇妙定理:对任何正整数,存在无穷多组含有个等间隔质数(素数)的数k k 组.例如,时,是间隔为的个质数; 是间隔为的个质数;而3k =3,5,7235,11,1763______,______,______是间隔为的个质数(由小到大排列,只写一组个质数即可)12332. 这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是质数，还因为把最末位数字依序“截73939133尾”后，余下的数仍然是质数.例如：,,,,,,,73939133739391373939173939739373973.具有这样性质的数叫“截尾质数”. 巧的是，它也是具有此性质的最大数,总共有个数783具有这种性质.在以内的质数中，最大的截尾质数是________.100 3.若为整数，,则___________ .,,,a b c d ()()22221997ab c d ++=2222a b c d +++=4.若是正整数，且满足，则________.,a b 5750a b +=ab =5.著名的哥德巴赫猜想指出,任何大于的偶数可以恰好写为两个不同素数之和,用这种方法表示7偶数,两个素数之间最大的差是( )126A. B. C. D. E. 1121009288806. 若为质数, 仍为质数,为( )p 35p +57p +A.质数 B.可为质数也可为合数 C.合数 D.既不是质数也不是合数7.若均为质数，且满足，则（ ）,a b 112089a b +=49b a -=A. B. C. D. 02007200820108.设为质数，并且和也都是质数，若记，，则在以下情a 278a +287a +778x a =+887y a =+况中，必定成立的是（ ）A. 都是质数B. 都是合数,x y ,x yC. 一个是质数，一个是合数,x y D. 对不同的，以上各情况皆可能出现a 9.若为自然数，与都是质数，求除以所得的余数.n 3n +7n +n 310. 和是两个自然数,对它们的描述有这样的四句话:①能被整除;②;a b 1a +b 25a b =+③能被整除;④是质数.不过这四句话中只有三句是正确的,有一句是错误的,试求出a b +37a b +和的所有可能解.a b11.一个六位数各位数字的乘积是,这样的六位数中,最小的一个是_______.129612. 如果四个不同的质数的和为，那么这样的四个质数乘积的最大值是______，最小值是37______.13.已知三个质数的乘积等于这三个质数的和的倍,则_______.,,m n p 5222m n p ++=14. 一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们将它称为“无暇质数”，则所有的“无暇质数”的和等于_______.15.万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是_____.16. 已知是个小于的正整数，且及均是质数，求的,,x y z 3100,,x y z x y >>-x z -y z -x z -最大值.17. 已知正整数都是质数，且与也都是质数，试求的值．,p q 7p q +11pq +q pp q +18. 设是自然数，并且,证明一定是合数.,,,a b c d 2222a b c d +=+a b c d +++19. 名运动员所穿运动衣号码是这个自然数，问：411,2,,40,41 41(1)能否使这名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?41(2)能否让这名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数?41若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由.。
新版初一奥数-质数与合数
• 显然，p不同于p1，p2，…，pn， 性质1 一个大于1的正整数n，它的大于1的最小因数一定是质数．
求证：n +4是合数． 性质1 一个大于1的正整数n，它的大于1的最小因数一定是质数． 例3、设n是大于1的正整数，
• 这与假设的p1，p2，…，pn为全部质数矛盾． 例3、设n是大于1的正整数，
• 于是有(n！，n！-1)=1．
• 由于不超过n的自然数都是n！的约数，所以不 超过n的自然数都与n！-1互质(否则，n！与n！-1 不互质)，于是n！-1的质约数p一定大于n，
• 即n＜p≤n！-1＜n！．
• 所以，在n与n！之间一定有一个素数．
例6 、证明素数有无穷多个．
• 证：下面是欧几里得的证法．
等于19的奇数n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和表示．
• 综上所述，不能表示为三个不同的合数的和的最大奇数 是17．
• 1．求出所有的质数p，使p+10，p+14都是质数．
• 2．若p是质数，并且8p2+1也是质数，求证： 8p2-p+2也是质数．
• 3．当m＞1时，证明：n4+4m4是合数．
• 故p不会是3k的形式，从而p必定是3k+1或3k+2 的形式，k是正整数．
• 若p=3k+1，则
• 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数，
• 与题设矛盾．所以p=3k+2，这时
• 4p+1=4(3k+2)+1=3(4k＋3)是合数．
• 例3、设n是大于1的正整数，
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲质数与合数
第二十讲质数与合数趣题引路】由超级计算机运算得到的结果2対川3_1是一个质数，则泸9433+1是（）A.质数B.合数C.奇合数D.偶合数解析V2859433-l, 2溯33, 2*眇*33+1.是三个连续正整数，T2859433 — 1的末位数字是1. 285<M33 是偶合数，I•上述三个数中一泄有一个能彼3整除，而2対"33一1是质数，.・.2劭9433+ 1的末位数字是奇数且能被3整除，故2归《33+ 1是奇合数.故选C.同学们，你们知道什么是“哥徳巴赫猜想”吗？二百多年前，徳国数学家哥徳巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和.如6=3 + 3, 12=5+7等.对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例.到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的"1+2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为"陈氏定理”.知识延伸】1.正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类：（1）只有一个正约数的数，它只能是1：（2）只有两个正约数的数，如2, 3, 11这样的数叫质数：（3）有两个以上正约数的数，如4, 10, 12这样的数叫合数.2.（1> 2是最小的质数，也是唯一的偶质数：除2以外，苴余的质数都是奇数。
（2）质数有无穷多：合数也有无穷多.证明假设只有有限多个质数,设为P2, P、，…,几考虑P1P2P3…几+1,由假设可知，PxPzPy- 几+1是合数，它一定有一个质因数P,显然，P不同于巴，Pi，A，…，P”，这与假设Pi，B，A，…，几为全部质数矛盾.3.质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判左.如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43来除2003,它们都不能整除2003,而下一个质数47,它的平方472 = 2209大于2003,由此就可判定2003为质数。
七数培优竞赛讲座第24讲 质数、合数与因数分解
第二十四讲 质数、合数与因数分解一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫做质数；一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：⎪⎩⎪⎨⎧合数质数单位正整数1质数，合数有下面常用的性质：1．1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数．2．若质数p │ab ，则必有p │a 或p │b ．3．若正整a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p ．4．算术基本定理：任意一个大于l 的整数N 能分解成K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N 可以写成标准分解形式：k k p p p N ααα 2121=其中k p p p <<21，i p 为质数，i a 为非负整数，(i ＝1，2，…k)．例题【例1】 已知三个不同的质数a ，b ，c 满足ab b c+a=2000，那么a 十b 十c= ．(江苏省竞赛题)思路点拨 运用乘法分配律、算术基本定理，从因数分解人手，突破a 的值．+注： 对于研究者来说，寻找最大质数的精神，犹如物理学家在寻找比原子更懂小的粒子、或天文学家在不断追寻未为人所知的星体般，都须付出惊人的救力，正是这种单纯为满足求知欲的好奇心，正好是人类突破知识领域的动力．18世纪，欧拉发现了当时最大的质数231一l ，20世纪末人类借助超级计算机，发现了最大的质数2859433—1．【例2】 不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( )．A ．3B ．1C ．7D ．9思路点拨 从寻找适合题意的质数人手．【例3】 求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛题)思路点拨 由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数进行实验，但这样的质数惟一吗?还需按剩余类的方法进行讨论．【例4】(1)将l ，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N ．求证：N 一定是合数；(2)若n 是大于2的正整数，求证：2n 一1与2n +1中至多有一个是质数．思路点拨 (1)将1到2004随意排成一行的数有很多，不可能一一排出，不妨能找出无论怎样排．所得数都有非1和本身的约数；(2)只需说明2n 一1与2n +1中必有一个是合数，不能同为质数即可．【例5】 用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm 规格的地砖，恰用n 块；若选田边长为ycm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x ，y 、n 都是正整数．且(x ，y)＝1．试问这块地有多少平方米?(湖北省荆州市竞赛题)思路点拨 虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x 、y 、n 的等式．寻找解题的突破口．【例6】由超级计算机运算得到的结果2859433—1是一个质数，则2859433+1是( )A ．质数B ．合数C 奇合数D ．偶合数思路点拨 ∵ 2859433—1，2859433，2859433+1是三个连续正整数，∵2859433—1的末位数字是1，∴2859433是偶合数．∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433—1是质数，∴2859433+1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433+1是奇合数，故选C ．注：同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗?二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6=3+3，12=5+7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1+2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．【例7】用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x(㎝)规格的地砖，恰用n 块；若选用边长为了y(cm)规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x ，、y 、n 都是正整数，且(x ，y)=1．试问：这块地有多少平方米?思路点拨 设这块地的面积为S ，则S=nx 2=(n+124)y 2，得n (x 2—y 2)=124y 2． ∵ x>y ，(x ，y)=1，∴．(x 2－y 2，y 2)=l ，得(x 2－y 2)│124．∵124=22×31，x 2－y 2=(x 十y)(x －y)，x 十y>x －y ，且x 十y 与x －y 奇偶性相同， ⎩⎨⎧=-=+131y x y x 或⎩⎨⎧=-⨯=+2312y x y x 解之得x=16，y=15，此时n=900．故这块地的面积为S=nx 2=900×162=230400(cm 2)=23．04(m 2) ．注：虽然同—块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x 、y 、n 的等式，寻找解题的突破口．【例8】p 是质数，p 4+3仍是质数，求p 5+3的值．思路点拨 ∵ p 是质数，∴p 4+3 >3又p 4+3为质数，∴p 4+3必为奇数，∴p 4必为偶数，∴p 必为偶数．又∵p 是质数，∴p=2，∴p 5+3=25+3=35．【例9】已知正整数p 和q 都是质数，且7p+q 与pq+11也都是质数，试求p q +q p 的值．思路点拨 pq+11＞11且pq+11是质数，∴pq+11必为正奇质数，pq 为偶数，而数p 、q 均为质数，故p=2或q=2．当p=2时，有14+q 与2q+11均为质数．当q=3k+1(k ≥2)时，则14+q=3 (k+5)不是质数；当q==3k+2(k ∈N)时，2q+11=3(2k+5)不是质数，因此，q=3k ，且q 为质数，故q=3． 当q=2时，有7p+2与2p+11均为质数．当p==3k+1(k ≥2)时，7p+2=3(7k+3)不是质数；当p=3k+2(k ∈N )时，2p+11=3(2k+5)不是质数，因此，p=3k ，当p 为质数，故p=3． 故p q +q p =23+32=17．【例10】若n 为自然数，n+3与n+7都是质数，求n 除以3所得的余数．思路点拨 我们知道，n 除以3所得的余数只可能为0、1、2三种．若余数为0，即n=3k(k 是一个非负整数，下同)，则n+3=3k+3=3(k+1)，所以3│n+3，又3≠n+3，故n+3不是质数，与题设矛盾．若余数为2，且n=3k+2，则n+7=3k+2+7=3(k+3)，故3│n+7，n+7不是质数；与题设矛盾．所以n 除以3所得的余数只能为1．注：一个整数除以m 后，余数可能为0，1，…，m —1，共m 个，将整数按除以m 所得的余数分类，可以分成m 类．如m=2时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数；另一类是除以2余数为1的整数，即奇数．同样，m=3时，就可将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的三类．通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用．【例11】设a 、b 、c 、d 都是自然数，且a 2+b 2=c 2+d 2，证明：a+b+c+d 定是合数． 思路点拨 ∵a 2+b 2与a+b 同奇偶，c 2+d 2与c+d 同奇偶，又a 2+b 2=c 2+d 2，∴a 2+b 2与c 2+d 2同奇偶，因此a+b+c+同奇偶． ∴ a+b+c+d 是偶数，且a+b+c+d ≥4， ∴a+b+c+d 一定是合数．注：偶数未必都是合数，所以a+b+c+d ≥4在本题中是不能缺少的．【例12】正整数m 和m 是两个不同的质数，m+n+mn 的最小值是p ，求222pn m +的值． 思路点拨 要使p 的值最小，而m 和n 都是质数，则m 和n 分别取2和3，于是p=m+n+mn=11，故12113222=+p n m ． 注：要使p 值最小，别m 和n 尽可能取较小的值，而m 、n 是两个不同的质数，故m 和n 分别取2和3，从而p 值可求．【例13】若a 、b 、c 是1998的三个不同的质因数，且a ＜b ＜c ，则(b+c)a 的值是多少? 思路点拨 ∵1998=2×3×3×37，而a 、b 、c 为质数，∴a 、b 、c 的值分别为2、3、37．a ＜b ＜c ，故a=2，b=3，c=37，得(b+c)a =1600．【例14】n 是不小于40的偶数，试证明：n 总可以表示成两个奇合数的和．思路点拨 因为n 是不小于40的偶数，所以，n 的个位数字必为0、2、4、6、8，现在以n 的个位数字分类：(1)若n 的个位数字为0，则n=15+5k(k ≥5为奇数)；(2)若n 的个位数字为2，则n=27+5k(k ≥3为奇数)；(3)若n 的个位数字为4，则n=9+5k(k ≥7为奇数)；(4)若n 的个位数字为6，则n=21+5k(k ≥5为奇数)；(5)若n 的个位数字为8，则n=33+5k(k ≥3为奇数)；综上所述，不小于40的任一偶数，都可以表示成两个奇合数的和．注：本题证明一个不小于40的偶数可以表示成两个奇合数之和，其难度与“哥德巴赫猜想”当然不可同日而语，但本题证明时使用了构造的方法，值得大家注意．【例15】 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．思路点拨 (1)能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，…，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，…，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．(2)不能办到．若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．注 站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．【例16】 (第62届莫斯科竞赛试题)写出5个正整数，使它们的总和等于20，而它们的积等于420．思路点拨 设这5个正整数为54321x x x x x 、、、、，则7532420254321⨯⨯⨯==⋅⋅⋅⋅x x x x x ，而2054321=++++x x x x x ，故知这5个数分别为1、4、3、5、7．注： 在420的分解式中，把22看作2×2(即两个数相乘)还是一个数4，是否再增加一个因数1，这取决于对求和式的观察．【例17】若自然数n+3与n+7都是质数，求n 除以6的余数．思路点拨 不妨将n 分成六类，n=6k ，n=6k+1，…，n=6k+5，然后讨论． 当n=6k 时，n+3=6k+3=3(2k+1)与n+3为质数矛盾；当n=6k+1时，n+3=6k+4=2(3k+2)与n+3为质数矛盾；当n=6k|+2时，n+7=6k+9=3(2k+3)与n+7为质数矛盾；当n=6k+3时，n+3=6k+6=6(k+1)与n+3为质数矛盾；当n=6k+5时，n+7=6k+12=6(k+2)与n+7为质数矛盾．所以只有n=6k+4，即n除以6的余数为4．本题利用分类讨论进行．学力训练1．在l，2，3，…，n这n个自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q一m)十(p一k)＝．2．p是质数，并且p+3也是质数，则p11一52＝．(北京市竞赛题)3．若a、b、c、d为整数，且(a2+b2)(c2+d2)=1997，则a2+b2+c2+d2= ．4．已知a是质数，b是奇数，且a2+b＝2001，则a+b＝．(江苏省竞赛题)5．以下结论中( )个结论不正确．(1)1既不是合数也不是质数；(2)大于0的偶数中只有一个数不是合数；(3)个位数字是5的自然数中，只有一个数不是合数；(4)各位数字之和是3的倍数的自然数，个个都是合数．A．1 B．2 C．3 D．4( “五羊杯”竞赛题)6．若p为质数，p3+5仍为质数，p5+7为( )．A ．质数B ．可为质数也可为合数C ．合数D ．既不是质数也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛题)7．超级计算机曾找到的最大质数是2859433一1，这个质数的末尾数字是( )．A ．1B ．3C ．7D ．98．若正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，a 为质数，那么b 、c 两数( )．A ．同为奇数B ．同为偶数C ． 一奇一偶D ．同为合数9．设n 为自然数，n+3与n+7都是质数，求n 除以3所得的余数．10．试证明：形如11111l 十9×10n (n 为自然数)的正整数必为合数．11．若p 、q 为质数，m 、n 为正整数，p ＝m+n ，q ＝mn ，则m n qp nm q p ++= ． 12．若质数，m 、n 满足5m+7n ＝129，则m+n ＝ ．(河北省竞赛题)13．已知三个质数m 、n 、p 的积等于这三个质数的和的5倍，则m 2+n 2+p 2＝ ． (2004年武汉市选拔赛试题)14．一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于 ．15．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1992个数是 ．(北京市“迎春杯”竞赛题)16．证明有无穷多个n ，使多项式n 2+n 十41(1)表示合数；(2)为43的倍数．17．已知正整数p 、q 都是质数，且7p+q 与pq+1l 也都是质数，试求pq q p +的值． (湖北省荆州市竞赛题)18． 1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…… 请你回答：在这串数中有多少个质数?并证明你的结论．(北京市竞赛题) 19．41名运动员所穿运动衣号码是l ，2，…，40，41这41个自然数，问：(1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请单一例；若不能办到，请说明理由．参考答案。
质数、合数与分解质因数++课件PPT
8、用短除法把下面各数分解质因数。
18 25 28 34 60
2 18
39 3
18＝2×3×3
2 34 17
34＝2×17
9、下列各式是分解质因数吗？
（1）8＝2×4 X 8＝2×2×2 （2）15＝3×5×1 X 15＝3×5 （3）12＝2＋3＋7 X 12＝2×2×3 （4）20＝2×2×5 √
7的因数： 1、7 8的因数：1、2、4、8 9的因数： 1、3、9 10的因数：1、2、5、10 11的因数：1、11 12的因数：1、2、3、4、6、12
10以内
有一个因数的：1 有两个因数的：2、3、5、7…… 有三个因数的：4、9…… 有四个因数的：6、8、10……
有一个因数的：1 有两个因数的：2、3、5、7…… 有两个以上因数的：4、9、6、8、10……
23
11
13
21
23
31
33
41
43
51
53
61
637173 Nhomakorabea81
83
91
93
划去 3 的倍数（3 除外）
5
7
9
15
17
19
25
27
29
35
37
39
45
47
49
55
57
59
65
67
69
75
77
79
85
87
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95
97
99
23
11
13
23
31
41
43
53
61
71
73
83
91
划去 5 的倍数（5 除外）
质数和合数ppt课件下载
合数的分解质因数
定义
合数是可以被除了1和它本身以外的数整除的数。
分解质因数
合数可以表示为两个或多个质数的乘积。例如，60 = 2x2x3x5 = 2^2x3x5。
重要性质
合数的质因数分解是唯一的。
质数和合数在数学中的重要地位
01
质数是构成所有自然数的基石， 因为任何自然数都可以表示为质 数的乘积。
质数加密
质数加密是一种基于大质数的公钥加密方法，其安全性基于 质数计算的困难性。RSA算法是最著名的质数加密算法之一 ，广泛应用于数据传输和存储的加密。
合数加密
合数加密通常利用合数的性质，如中国剩余定理，来构建加 密方案。合数加密在某些情况下比质数加密更安全，因为合 数比质数更难以分解。
在计算机科学中的应用
约瑟夫斯问题法
利用约瑟夫斯问题的解法，通过 构造一个循环移除数字的序列， 如果最后剩下的数字是1，则给
定的数是合数。
检验特定范围内的质数和合数
逐一检验
对范围内的每个数字进行质数和合数的 检验，这种方法适用于较小的范围。
VS
筛选法
利用筛法排除合数，剩下的数字就是质数 。这种方法适用于大范围的质数检验。
02
合数在密码学、计算机科学等领 域有广泛应用，例如在RSA加密 算法中，合数的性质被用来实现 加密和解密。
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质数和合数
目 录
• 质数和合数的定义 • 质数和合数的性质 • 质数和合数的应用 • 质数和合数的生成算法 • 质数和合数的检验方法 • 质数和合数的扩展知识
01
质数和合数的定义
质数的定义
总结词
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数称为质数 。
七年级数学竞赛 第1讲 质数、合数与因数分解
数就不是质数，矛盾。
质数的孤独： 意大利工程师保罗·乔尔达诺曾写过畅销书(质数的孤独)他写道：“在所有数字中，质数是最迷惑人心，
也是最孤独的，它尽管有同伴，却没有规律能指出它的同伴在哪里。” 千百年来，人类对质数的探索从未停止，欧几里德、高斯欧拉、费马…都曾痴迷于质数的无穷魅力，坚
1．1 不是质数，也不是合数；2 是唯一的偶质数； 2．若质数 p|ab，则必有 p|a 或 p|b； 3．若正整数 a，b 的积是质数 p，则必有 a=p 或 b=p。 4．算术基本定理：任意一个大于 1 的整数 N 能分解成 k 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，
则这种分解是唯一的，从而
解题思路：因要求使其中任意三个数的和都是质数，故可将正整数按模 3 分类：3k，3k+1，3k+2，k 为正整 数，由此展开讨论。
刻意练习
1．炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励 40 岁以下的数学家。华人数学家丘成桐、陶 哲轩分别于 1982 年、2006 年荣获此奖。我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一 个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数 k，存在无穷多组含有是个等间隔质数(素数)的数组。例如，k=3 时，3，5，7 是间隔为 2 的 3 个质数；5，11，17 是间隔为 6 的 3 个质数；而 ， ， 是间隔为 12 的 3 个质数(由小到大排列，只写一组 3 个质数即可。
A．21
B．23
C．25
D．28
(第 26 届“希望杯”邀请赛试题)
11．若两位自然数 ab 是质数，且交换数字后的两位 ba 也是质数，则称 ab 为绝对质数”，于是两位数中的所
2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-3-质数合数
5
如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿ 如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿ 5, 两个质数x和y，己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c它们的积等于2020.
a b 那么 c
7, 能整除311＋513的最小质数是＿＿ 8，己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M。
a 2 a 2 a 3 a 3 a 5 a 5 b 3 b 5 b 2 b 5 b 2 b 3 适合条件的值共有： c 5 c 3 c 5 c 2 c 3 c 2
应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210, 即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。 例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。 解：（本题答案不是唯一的）
13，一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿。
1. 25个 2. 2，9 3. 2，43 4. 1，19；1，73或－1，－73
5
6. 1900＝2×5×199 有6组
7. 2 8.
2
9.令N＝2×3×5×7＝210，所求合数为N＋2，N＋3，…… 10. 分母只含2和5的质因数 11. 11×11 12. 37 13. 3
设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5 那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数
即32，33，34，35就是所求的一组数。 本题可推广到n 个。令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2，
1
N＋3，N＋4，……N＋（n+1）就是所求的合数。
质数,合数与分解质因数
质数、合数与分解质因数一、教学建议【抛砖引玉】通过本段内容的教学使学生理解和掌握质数、合数、质因数和分解因数的概念，并能运用概念进行判断，会把自然数按约数个数分类，能正确地把一个合数分解质因数。
培养学生观察、比较、抽象概括能力。
(一)教学质数与合数教学质数与合数要注意抓住以下四点1.从把自然数按约数“个数”这个标准进行分类入手，引出质数和合数的概念。
要注意给学生提供全面、充实、恰当的感性材料，使学生通过观察、比较、抽象、概括得到清晰、准确的质数与合数概念。
例如：先说出下面各数的约数，再观察比较：哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？1、2、3、4、5、6、7、8…19、20只有1个约数的自然数有1有两个约数（1和它本身）自然数有2、3、5、7、11、13、17、19有两个以上约数的自然数有4、6、8、9、12、14、15、16、18、20通过只有两个约数的自然数观察比较概括出质数的概念。
即一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。
通过只有两上以上约数的自然数观察、比较、抽象概括出合数概念。
即一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
2.要明确“1”为什么既不是质数？也不是合数？“1”不是合数，按合数定义去解释学生很快就能接受。
“1”不是质数，按质数定义去解释有些学生想不通。
原因是受“一个自然数的约数个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身”这句话的影响，认为1有两个约数其中最小的约数是1，最大的约数还是1，所以“1”有两个相同的约数。
学生这样理解是有一定道理的。
这时老师要指出，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。
如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。
因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数。
3.自然数的分类(1)按自然数约数的“个数”这个标准分类，则自然数可分为三类。
初中数学竞赛奥数讲义数论专题：质数与合数及答案
华杯赛数论专题：质数与合数基础知识：1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.1不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数，3是最小的奇质数.除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1,3,7,9.2.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P的质数q（均为整数），使得q能够整除P ，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但这样的计算量很大，对于不太大的P ，可以先找一个大于且接近P的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除P ，如果没有能除尽的，那么P就为质数.3.唯一分解定理每个大于1的自然数均可以分解为有限个素数的乘积，并且具有唯一（不计次序变化）的素数分解形式.例题例1.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？【答案】23，37，53，73.【解答】首先，个位数字不能是0，2，4，6，8，5，十位数字只能是3，7，所以满足要求的两位数有四个：23，37 ，53 ，73.例2.把质数373拆开（不改变各数字间的顺序），所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数. 请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数.【答案】23，37，53，73，373【解答】用排除法，在所找的数中，各个数位上都不能出现0，1，4，6，8和9，否则拆成一位数时将出现这六个数，都不是质数. 另外除首位外，各位数字都不能出现2和5. 因此，可采用的数字只有3，7，2，5，其中2，5只能出现在首位，并且同一个数字不能连续出现.经检验，满足题意的数只有五个：23，37，53，73和373.例3.老师想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【答案】167、257、347、527或617中间的任意一个【解答】因为是质数，所以个位数不可能为偶数0，2 ，4 ，6 ，8. 也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9，那么数字和将是3或9的两倍，因而能被它们整除，就不是质数了.所以个位数只能是7.这个三位数可以是167、257、347、527或617中间的任意一个.例4.连续的九个自然数中至多有几个质数？为什么？【答案】4个【解答】如果连续的9个自然数在1到20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1~9中有4个质数2、3、5、7）.如果这连续的9个数中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中的奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必定有一个个位数是5，因而该数为合数.这样，至多另外4个奇数都是质数.综上，连续9个数中最多有4个质数.例5.三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.【答案】2，11，13或3，7，11【解答】设三个不同质数是a、b、c因为，所以a、b、c中，必定有一个质数是11，不妨设a＝11，则故可得<I>b</I>=2，c=13，或<I>b</I>=3，c=7，所以三个质数是2，11，13或3，7，11.例6.质数A、B、C、D满足A＋B＝C，A＋C＝D，那么A×C＋B×D是.【答案】31【解答】如果A、B都是奇数，则C＝A＋B是大于2的偶数，不可能是质数，所以A、B有一个是偶数.同理A、C也有一个是偶数，因此只能是A＝2.那么B＋2＝C，C＋2＝D，即B、C、D是三个连续奇数，必定有一个是3的倍数，那么只能是B＝3，C＝5，D＝7.因此A×C＋B×D＝2×5＋3×7＝31.例7. 将135拆成4个互不相同的质数之和，使得其中两个质数的个位数字分别为1和7. 请写出两种满足要求拆分的方法：135＝________＝________.【答案】135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67【解答】四个质数不可能同为奇数，至少有一个偶质数，即为2，因此个位数字为1、2、7，所以第四个数字的个位数字是5且是质数，只能是5，所以原题变为把128拆成个位数字为1和7的两个质数之和，128＝31＋97=61＋67，所以135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67.例8.已知两个质数与一个合数的和是293，乘积是10336，那么这三个数中最大的是.【答案】272【解答】因为，其中三个数分别为2、19、272满足要求，故最大的数是272.例9.请在下列算式中的每个方框内填入一个质数数字，使得等式成立，共有______种.□□＋□＝□□×□－□＝□□－□□＝□□÷□＋□【答案】4种【解答】第一个算式：32＋7或37＋2第二个算式：22×2－5或23×2－7第三个算式：72－33第四个算式：72÷2＋3例10. 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个合数，那么在这4个数字所能组成的四位数中，最大的是多少？【答案】8533【解答】将360分解质因数得，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个合数，所以该合数必至少为个质因数之积.而只有3个2相乘才小于10，所以这四个数为3、3、5、8，所能组成的最大四位数是8533.例11.把下面八个数分成两组，使这两组数的乘积相等.14、55、21、30、75、39、143、169【答案】（55、30、169、21）；（143、75、14、39）【解答】先把每个数都分解质因数如下：14＝2×7 21＝3×7 30＝2×3×5 39＝3×13 55＝5×11 75＝3×5×5 143＝11×13 169＝13×13，观察因子得到分组为：（55、30、169、21）；（143、75、14、39）.例12.5个连续质数的乘积是一个形如□△□□△□的六位数，其中□和△各代表一个数字，那么这个六位数是多少？【答案】323323【解答】因为□△□□△□＝□△□×1001＝□△□×7×11×13，又□△□为两个质数的乘积，所以□△□＝17×19=323，故六位数为323323.例13.幼儿园王老师带216元去买皮球，预计正好花光. 可实际上所购皮球价格比预计的便宜2元，个数比原计划的多9个，仍然恰好花光。
人教版质数和合数PPT优秀课件
这个数的因数 1,11 1,2,3,4,6,12 1,13 1,2,7,14 1,3,5,15 1,2,4,8,16 1,17 1,2,3,6,9,18 1,19 1,2,4,5,10,20
这个数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
因数个数 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6
写出下面各数的所有因数。
2的因数： 1 2 5的因数： 1 5
；3的因数： 1 3 ； ；6的因数：1 2 3 6 ；
8的因数：1 2 4 8 ；9的因数：1 3 9 ；
6、8、9除了1和它本身还有别的因数。
6、8、9这几个数除了1 和它本身还有别的因数， 这样的数叫作合数。
这个数 因数个数
1
练习六 第2题
21 25 23 29 27 31 35
质数
合数
请学号为质 数的同学起 立。
请学号既不 是质数也不是 合数的同学起 立。
我每天跳绳的 时间是10以内 最大的质数。
我每天跳绳的时 间是10以内既是 奇数又是合数的 数。
我每天跳绳的时 间是10以内既是 偶数又是质数的 数。
智慧城堡
7.记 录 自 己 在 农村 生活的 点点滴 滴。
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说出下面各数的所有因数。
2的因数：1 、2 ；3的因数：1、3
；
5的因数：1、5
；6的因数：1、2、3、6；
8的因数：1、2、4、8；9的因数： 1、3、9 ；
2、3、5的因数只有两个（1和它本身）
2、3、5这几个数只 有1和它本身两个因数， 这样的数叫作质数 （也叫作素数）。
加油啊！
你会在括号里填上合适的质数吗?
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题01 质数那些事_答案-精编
专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求 提示：当p =3k ＋1时，p ＋10=3k ＋11，p ＋14=3(k ＋5)，显然p ＋14是合数，当p =3k ＋2时，p ＋10=3(k ＋4)是合数，当p =3k 时，只有k =1才符合题意．例4 （1）因1＋2＋…＋2004=21×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n 是大于2的正整数，则n 2－1≥7，n 2－1、n 2、n 2＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除n 2，故n 2－1与n 2＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a 的所有正约数之和为b ，1d ，2d ，3d ，…，n d 为a 的正约数从小到大的排列，于是1d =1，n d =a ．由于nd d d d S 1111321+⋅⋅⋅+++=中各分数分母的最小公倍数n d =a ，故S =n n n n n d d d d d d 11⋅⋅⋅++-=n n d d d d ⋅⋅⋅++21=ab ，而a =360=53223⨯⨯，故b =（1＋2＋22＋32）×（1＋3＋23）×（1＋5）=1170．a b =3601170=413． 例5 由xy y x +=p 2，得x ＋y =pxy 2=k ．（k 为正整数），可得2xy =kp ，所以p 整除2xy 且p 为奇质数，故p 整除x 或y ，不放设x =tp ，则tp ＋y =2ty ，得y =12-t tp 为整数．又t 与2t －1互质，故2t －1整除p ，p 为质数，所以2t －1=1或2t －1=p ．若2t －1=，得t =1，x =y =p ，与x ≠y 矛盾；若2t －1=p ，则xyy x +=p 2，2xy =p （x ＋y ）．∵p 是奇质数，则x ＋y 为偶数，x 、y 同奇偶性，只能同为xy =()2y x p +必有某数含因数p ．令x =ap ，ay =2y ap +，2ay =ap ＋y ．∴y =12-a ap ，故a ，2a －1互质，2a －1整除p ，又p 是质数，则2a －1=p ，a =21+p ，故x =p p ⋅+21=()21+p p ，∴x ＋y =()21+p p ＋21+p =()212+p 。
七年级数学培优 质数那些事
专题01质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：1⎧⎪⎨⎪⎩单位正整数质数合数关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4． 2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数p |ab ，则必有p |a 或p |b ．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N 能唯一地分解成k 个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N= 1212k a a ak P P P ，其中12k P P P <<<，i P 为质数，i a 为非负数(i =1，2，3，…，k )．正整数N 的正约数的个数为(1＋1a )(1＋1a )...(1＋1a )，所有正约数的和为(1＋1P ＋ (11)P )(1＋2P ＋…＋22a P )…(1＋k P ＋…＋k ak P )．例题与求解【例1】已知三个质数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＋abc =99，那么a b b c c a -+-+-的值等于_________________．(江苏省竞赛试题)解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a ，b ，c 的值．【例2】若p 为质数，3p ＋5仍为质数，则5p ＋7为( )A ．质数B ．可为质数，也可为合数C ．合数D ．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数n，求证：n一定是合数．⑵若n是大于2的正整数，求证：2n－1与2n＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明2n－1与2n＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且112x y p+=，求x＋y的值．解题思想：由题意变形得出p整除x或y，不妨设x tp=．由质数的定义得到2t－1=1或2t－1=p．由x≠y及2t－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A 级1．若a ，b ，c ，d 为整数，()()2222a bcd ++=1997，则2222a b c d +++=________．2．在1，2，3，…，n 这个n 自然数中，已知共有p 个质数，q 个合数，k 个奇数，m 个偶数，则(q －m )＋(p －k )=__________．3．设a ，b 为自然数，满足1176a =3b ，则a 的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题)4．已知p 是质数，并且6p ＋3也是质数，则11p －48的值为____________．(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( )A ．4B ．8C ．12D ．0 6．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个(“希望杯”邀请赛试题)7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有( )A ．1个B ．3 个C ．5个D ．6 个(“希望杯”邀请赛试题)8．设p ，q ，r 都是质数，并且p ＋q =r ，p <q ．求p ．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x cm 规格的地砖，恰用n 块，若选用边长为y cm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x ，y ，n 都是正整数，且(x ，y )=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B 级1．若质数m ，n 满足5m ＋7n =129，则m ＋n 的值为__________．2．已知p ，q 均为质数，并且存在两个正整数m ，n ，使得p =m ＋n ，q =m ×n ，则p qnmp q m n ++的值为__________．3．自然数a ，b ，c ，d ，e 都大于1，其乘积abcde =2 000，则其和a ＋b ＋c ＋d ＋e 的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题)4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题)5．若a ，b 均为质数，且满足11a ＋b =2 089，则49b －a =_________． A ．0B ．2 007C ．2 008D ．2 010(“五羊杯”竞赛试题)6．设a 为质数，并且72a ＋8和82a ＋7也都为质数，记x =77a ＋8，y =88a ＋7，则在以下情形中，必定成立的是( )A ．x ，y 都是质数B ．x ，y 都是合数C ．x ，y 一个是质数，一个是合数D ．对不同的a ，以上皆可能出现(江西省竞赛试题)7．设a ，b ，c ，d 是自然数，并且2222a b c d +=+，求证：a ＋b ＋c ＋d 一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足： ⑴ 6个数中任意两个都互质；⑵ 6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数p ，q 都是质数，并且7p ＋q 与pq ＋11也都是质数，试求qpp q 的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．专题01 质数那些事例1 34 例2 C例3 3符合要求 提示：当p =3k ＋1时，p ＋10=3k ＋11，p ＋14=3(k ＋5)，显然p ＋14是合数，当p =3k＋2时，p ＋10=3(k ＋4)是合数，当p =3k 时，只有k =1才符合题意． 例4 （1）因1＋2＋ (2004)21×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n 是大于2的正整数，则n2－1≥7，n2－1、n2、n2＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除n2，故n2－1与n2＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a 的所有正约数之和为b ，1d ，2d ，3d ，…，n d 为a 的正约数从小到大的排列，于是1d =1，n d =a ．由于nd d d d S 1111321+⋅⋅⋅+++=中各分数分母的最小公倍数n d =a ，故S =n n n n n d d d d d d 11⋅⋅⋅++-=n n d d d d ⋅⋅⋅++21=ab ，而a =360=53223⨯⨯，故b =（1＋2＋22＋32）×（1＋3＋23）×（1＋5）=1170．a b =3601170=413． 例5 由xy y x +=p 2，得x ＋y =pxy2=k ．（k 为正整数），可得2xy =kp ，所以p 整除2xy 且p 为奇质数，故p 整除x 或y ，不放设x =tp ，则tp ＋y =2ty ，得y =12-t tp为整数．又t 与2t －1互质，故2t －1整除p ，p 为质数，所以2t －1=1或2t －1=p ．若2t －1=，得t =1，x =y =p ，与x ≠y 矛盾；若2t －1=p ，则xy y x +=p2，2xy =p （x ＋y ）．∵p 是奇质数，则x ＋y 为偶数，x 、y 同奇偶性，只能同为xy =()2y x p +必有某数含因数p ．令x =ap ，ay =2y ap +，2ay =ap ＋y ．∴y =12-a ap，故a ，2a －1互质，2a －1整除p ，又p 是质数，则2a －1=p ，a =21+p ，故x =p p ⋅+21=()21+p p ，∴x ＋y =()21+p p ＋21+p =()212+p 。
初中数学培优辅导资料(1-10)讲
初中数学竟赛辅导资料(1)数的整除（一）内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2．若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3．若五位数3435m能被25整除4．当m=_________时，59610能被7整除5．当n=__________时，n6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9．从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
小升初数学总复习知识质数与合数知识点总结
小升初数学总复习知识质数与合数知识点总结质数与合数是数学中的重要概念，对于小升初的数学复习来说也是必不可少的内容。
下面是对质数与合数的知识点进行总结：一、质数的概念与性质：1.质数定义：质数是指除了1和本身外，没有其他正因数的自然数。
例如2、3、5、7等都是质数。
2.质数的性质：(1)除了1和本身外，质数没有其他的因数。
(2)任意一个大于1的自然数，都可以被唯一地分解为质数的乘积。
二、合数的概念与性质：1.合数定义：合数是指除了1和本身外，还有其他的正因数的自然数。
例如4、6、8、9等都是合数。
2.合数的性质：(1)合数可以分解为两个或更多的自然数相乘。
(2)除了1和本身外，合数还有其他的因数。
三、质数的判定方法：1.除法判定法：对于一个自然数n，如果它不能被2到n-1之间的任何一个数整除，那么它就是质数。
2. 筛法：埃拉托斯特尼（Eratosthenes）筛法是判定质数的一种常用方法。
具体操作是，先把2的倍数筛掉，然后把剩下的第一个未被筛掉的数作为质数，再将它的倍数筛掉，重复这个步骤直至筛子中没有数为止。
四、判断质数的规律：1.质数越往后越稀疏。
2.质数除了2以外，都是奇数。
3.除以质数的余数只可能是0和1五、质因数与唯一分解定理：1.质因数：一个合数的因数如果是质数，就称为这个合数的质因数。
2.唯一分解定理：任意一个大于1的自然数，都可以被唯一地分解为质数的乘积。
六、常见的质数与合数特征：1.2是最小的质数，也是唯一的偶质数。
2.1既不是质数也不是合数，不属于质数和合数定义范围。
3.任何一个质数都不能被它自身以外的质数整除。
4.除了2以外的所有偶数都是合数。
七、质数与合数的应用：1.公约数与最大公约数：求两个数的最大公约数时，需要找到两个数的所有公约数中最大的那个数。
其中，两个数的公约数必然包含两个数中较小的数的所有质因数。
2.最小公倍数：求两个数的最小公倍数时，需要找到两个数的所有质因数和最多的次数，然后将这些质因数相乘得到最小公倍数。
人教版数学七年级讲练教程培优和竞赛二合一：3-质数合数
人教版数学七年级讲练教程（培优和竞赛二合一）（3） 质数 合数【知识精读】1 正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
2 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数，② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
【分类解析】例1两个质数的和等于奇数a (a ≥5)。
求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a －2。
例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解：∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵（－1）（－m ）=m∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m.例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30求适合条件的a,b,c 的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来。
例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。
解：（本题答案不是唯一的）设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数。
本题可推广到n 个。