第4章 多自由度系统的振动题解

习 题4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。

解：由题3-10的结果22121111)(l g m l gm m k k +++=，2221l g m k -=，2212l g m k -=，22222l g m k k +=代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m M 00；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=l mg l mg l mg l mg K 3 由频02=-M p K ，得0322=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=mp l mg l mg lmgmp l mgB 0242222242=+-∴lg m p lg m p mlg p )22(1-=∴ ，lg p )22(2+=为求系统主振型，先求出adjB 的第一列 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=l mg mpl mgadjB 2分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112)1(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=112)2(A题4-1图4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。

解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。

设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2111,k k ，由平衡条件得到，222111ak b k k +=， a k k 221-=设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到，12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000312222221221x a k a k a k a k b k x m a m θθ由频率方程02=-M K p ，得031222222212221=----+pm a k ak a k pa m a kb k4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和k 1=k 2=k 时系统的固有频率。

解：如图取21,θθ为广义坐标，分别画受力图。

由动量矩定理得到，ll k l l k I 43434343211111θθθ+-=224343434322211122l l k l l k l l k I θθθθ--=整理得到，016916922112111=-+θθθl k l k I题4-3图题4-2图0)4169(1692222112122=++-θθθlk l k l k I则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=221212121241169169169169k l k l k l k l k l K ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+===-2222222122144491641l k l k l k l k l k adj K K K∆ 系统的质量矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222121487003100l m l m I I M 由频率方程02=-M K p ，并代入已知条件得，048716131691693116922222222=----pml kl kl kl pml k l整理得到03248131122224=+-mk mk pp ,求得mk p 6505.01=，mk p 6145.22=。

用刚度影响系数法求解刚度矩阵。

令0,121==θθ，分别由两杆的受力图，列平衡方程为21211116943l k l k k =⎪⎭⎫ ⎝⎛=；2121169l k k -= 同理，令0,121==θθ得到212221222216941692l k l k l k l k k +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=212112169l k k k -==∴ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=222121212141169169169169l k l k l k lk l k k4-4 题4-4图所示，滑轮半径为R ，绕中心的转动惯量为2mR 2，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。

解：如图选x 1，x 2，x 3为广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。

设0,1321===x x x ，画出受力图，并施加物体312111,,k k k ，由平衡条件得到，k k =11， 021=k ，kR k -=31设0,1312===x x x ，画出受力图，并施加物体322212,,k k k ，由平衡条件得到，12k = 0， k k =22，kR k =32设0,1213===x x x ，画出受力图，并施加物体332313,,k k k ，由平衡条件得到，kRk -=13，kR k =23，2332kR k =则刚度矩阵和质量矩阵分别得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2200kR kRkRkR k kR kK ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=220000mR m mM 由频率方程02=-M K p ，得220022222=-----pmR kRkRkRkRmp k kR mpk展开为0)2()(22222=--R k mp p mp k m ，解出频率为01=p ，mk p =2，mk p 23=由特征矩阵M K B 2p -=的伴随矩阵的第一列，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=)()22)(()22)((2222222222222)1(mp k kR p mR kR mp k R k R k p mR kR mp k adj B并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为题4-4图⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=R R101111111A4-5 三个单摆用两个弹簧联结，如题4-5图所示。

令m 1=m 2=m 3=m 及k 1=k 2=k 。

试用微小的角1θ、2θ和3θ为坐标，以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。

解：如图选321,,θθθ为广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵K 。

设0,1321===θθθ，画出受力图，并施加物体于312111,,k k k ，由平衡条件得到，mglkh k +=211， 221kh k -=，031=k设0,1312===θθθ，画出受力图，并施加物体322212,,k k k ，由平衡条件得到，212khk -=， m g l kh k +=2222，232kh k -=设0,1213===θθθ，画出受力图，并施加物体332313,,k k k ，由平衡条件得到，013=k ，223khk -=，mgl kh k +=233题4-5图则刚度矩阵和质量矩阵分别得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+=mgl kh khkh mgl kh khkhmgl kh 2222222020K ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22200000ml ml ml M特征矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+---+=2222222222222 0 2 0 l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh B由频率方程02=-M K p ，得=B 0，202222222222222=-+---+---+pml mgl kh khkhpml mgl kh kh khpml mgl kh展开为，()()()()[]()()()()()()[]()()()03 2 222222222222222222222222222222222222=-+--+=--+-+-+=-+-----+-+-+l mp mgl kh l mp mgl l mp mgl kh kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh 0]4)(4))[((4222222222=+-+--h k p ml mgl kh p ml mgl p ml mgl解出频率为lg p =1，222mlkh lg p +=，2233mlkh lg p +=。

由特征矩阵M K B 2p -=的伴随矩阵的第一列，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-+=42222242222222)1()())(2(h k p ml mgl kh kh h k p ml mgl kh p ml mgl kh adj B并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111201111A4-6 题4-6图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ ，本身质量不计，以微小的平动x 1、x 2和x 3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。

假设m 1=m 2=m 3=m 。

解：如图取广义坐标，用柔度影响系数法求柔度矩阵。

首先，仅在质量1m 处施加竖直单位力F=1，其余各质量块处不受力，则1m 产生的静挠度是11δ；2m 处产生的静挠度是21δ；3m 处产生的静挠度是31δ。

则由材料力学知识，得到EJl7689311=δ，EJl76811321=δ，EJl7687331=δ同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=911711161171197683EJ l ∆ 得到系统的位移方程为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧32133210000091171116117119768x x xm m mEJ l x x x 由系统的特征矩阵I M L 21p-=∆，得频率方程0=L ，即091171116117119=---λααααλααααλα题4-6图其中231,768pEJml==λα，展开频率方程为0)1432)(2(22=+--ααλλαλ解出αλαλαλ444.0,2,556.31321===。

由特征矩阵的伴随矩阵的第一列⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=)16(7121)9(1177121)9)(16(222λαααλααααλαλαL adj ，分别代入特征值，得到主振型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000.1000.1000.1414.1000.0414.1000.1000.1000.1A 。

4-7 如题4-7图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设m 1=m 2=m 3=m 4=m 和k 1=k 2=k 3=k ，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。

解：如图选择广义坐标。

求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=k kk k k k k k k k 0200200K ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m m m m 0000000000M 由频率方程02=-M K p ，得002002002222=----------mpk kk mp k k k mp k k k mp k因此可得到频率方程()2644322236104p p m k p m kp m km -+-= 解出210 p =,(22 2kp m=-， 232k p m=， 24(2k p m=+题4-7图解出频率为01=p ，mk p )22(2-=，mk p 23=。