1-第一章 数值计算中的误差分析

前言
课程目的和任务： 通过对一些基本声学和水声学问题的分析和
求解，掌握基本声学理论计算与工程研究中常用的 数值计算方法，培养综合运用声学专业知识、数学 知识和计算机技术解决科学研究中手工所不能解算 的问题，具备应用现代计算工具解决工程实际问题 的能力。
前言
水声学主要研究声波在水下的辐射、传播与接收，用 以解决与水下目标探测和信息传输过程有关的各种声学问 题。声波是目前在海洋中唯一能够远距离传播的能量辐射 形式。因此作为信息载体的声波，在海洋中所形成的声场 时空结构，就成为近代水声学的基本研究内容，而提取海 洋中声场信息的结构是我们用来进行水下探测、识别、通 信及环境监测等的手段。



c*

1.2 299792458
4.1 109 (4.002769
109 )
数值计算中的误差分析
有效数字
如果近似值 x* 的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其
“准
x*
确”到这一位x*，且从该位开始直到 的第一位非零数字共有n位，
则称近似数 有n位有效数字。
有效数字既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度（绝对
学习目的：
提高应用计算机解决实际问题的能力。
前言
数值计算流程：
实际问题
理论模型
数学问题
误差分析
上机计算
程序设计
算法设计
特点：
既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与实际实 验的技术性，是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研 究方法与理论体系的计算数学课程。
前言
数学问题可以通过离散化、逼近转化为数值问题，在计算机上 可执行的（指计算公式中只有四则运算和逻辑运算等计算机上能够 执行的计算）求解数值问题的系列计算公式称为数值方法。
和相对误差限是无量纲的，工程中常以百分数来表示。
数值计算中的误差分析
例1.1 国际大地测量学会建议光速采用 c 2997924581.2m/ s
其含义是绝对误差限为多少？而其相对误差限为多少？
数值计算中的误差分析
绝对误差限： 近似值： 相对误差限：
1.2m/ s
c* 299792458
利用四阶龙格库塔算法求解
前言
四阶龙格库塔算法
xn1

xn

1 6
k1
2k2
2k3
k4 ,
n 0,1,
,N
1
k1 K axn bxn3 un
k2

K

a
xn

k1 2
b xn

k1 2
3

u
n
1

2
p

1 c2

2 p t 2
2为拉普拉斯算符，在直角坐标系中
2

2 x 2

2 y 2

2 z 2
前言
海洋声场的数值预报
在建立了能够反映海洋环境因素对声场的制约关系的声场物 理模型（波动方程+定解条件）的基础上，根据可测海洋环境参数 的测定值或预报值，编写程序完成数值计算，给出相应海洋环境条 件下的有关场值。近年来，由于计算机的快速发展，数值计算声场 是一个快速发展的领域。
z1 n2 (z) cos2 0
前言
问题：利用射线声学模型对海洋声场进行求解
前言
伪彩色图
前言
三维环境下声传播
接收船
GPS2
垂直阵
GPS1
发射船
声源 水层
沉积层
前言
三维海洋环境下特征声线求解： k1, k2 , 1, 2, 1, 2 为声线的
位置信息，需要求解，其它参数已知。
（3）研究小振幅波的传播规律，所谓小振幅波是指各声学量都 是一级小量。
波动方程是描述波动运动的数学表达式，它由连续性方程、状 态方程和运动方程推导得到。
前言
波动方程：
理想流体介质中小振幅平面波的波动方程为（沿 x 轴向传播）：
2 p x 2

1 c2

2 p t 2
小振幅声压在三维坐标下的波动方程为
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n1 1 x2n1
3! 5!
(2n 1)!
取部分和作近似
Pn (x)

x 1 x3 3!

1 x5 5!

(1)n1
1
x 2n1
(2n 1)!
截断误差：
En (x) sin x Pn (x)
数值计算中的误差分析
0.1
1 0.05
0
0
-0.05 -1
-0.1
-2 -0.15
-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10

0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10
SR处 理 后 信 号 2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10
前言
必要性：
现代科学研究和高技术的发展越来越需要借助计算机进行数 值计算，水声领域也不例外。
用 x x* 表示近似值的精度或精确值的范围。
绝对误差限不是唯一的，因为一个数的上界不唯一。实际应用中 ，往往根据需要对准确值取近似，使用最广泛的方法是按照四舍五入 原则取近似。
数值计算中的误差分析
例：用毫米刻度的尺子测得桌子长度近似值为 x* 1235 mm，由
尺子的精度可以知道，近似值的误差不超过0.5mm，即
误差限）。
x 0.0330551
x* 0.033056
x*
例1.2 设
x* ，0.其03近30似5值5 x*
，问
有几位有效数字？如果
， 有几位有效数字？
数值计算中的误差分析
1.指出如下有效数的绝对误差限、相对误差限和有效数字位数。
2. 进化算法： 遗传算法、模拟退化算法、粒子群算法等
前言
曲线拟合：
已知目标散射场指向性的实验测量结果如图所示，如何比对其 与理论计算结果的误差？
130铝球散射声场指向性 频率 f 28kHz
ka 7.6
前言
微分方程求解：
随机共振系统对微弱信号的检测 非线性双稳态随机共振系统
x ax bx3 A0 cos(t) 2D(t)
海洋声场的数值预报方法主要有射线算法、简正波算法、抛 物方程（PE）算法、快速场（FFP）算法等，各自有不同的适应范 围。
前言
函数插值：
已知一组不同深度处的声速值，如何得到任意深度处的
声速值？
深度（m） 声速(m/s)
0.0 1510.5
50.0 1510.4
100.0 1505.8
200.0 1500.8
-3000
-3500
-4000
-4500
-5000 1480
1490
1500
1510
1520 1530 声 速 (m/s)
1540
1550
1560
1570
前言
数值积分：
声线轨迹计算：声线从深度 z1传播到深度 z 2所经过的水平距
离为
n(z) c0 c(z)
r z2
cos 0
dz
数学模型是通过对实际问题进行抽象和简化建立的，是一种 近似描述。
观测误差：
测量工具精度与测量手段的限制。
舍入误差：
计算机位数的限制，由于计算机的字长是有限的，对参与计 算的数据和最后得到的计算结果，都必然用有限位小数代替无穷 位小数。
数值计算中的误差分析
截断误差：
由数值方法求得的数学问题的近似解与数学模型的精确解 之间的误差，是数值计算方法固有的。
300.0 1496.0
400.0 1492.0
500.0 1488.1
800.0 1483.2
1000.0 1482.6
1200.0 1482.4
2000.0 1498.0
3000.0 1516.6
4000.0 1534.8
前言
深 度 (m)
声速剖面图 0
-500
-1000
-1500
-2000
-2500
n2 (k2 1)2 22
1)2

2 2

(k11
sin
1
tan
h)2 h)2


1 sin 1 tan
k1 1 12 H 2 tan k11 sin 1
12 sin1
h
1/ 2

tan
2
k2
h
前言
海洋环境
声源
海洋信道
水听器阵
前言
波动方程：
波动方程是声学量在声场中满足的基本关系式，反映了波动特征， 也是进行声场计算的基本关系式。在导出波动方程前，为了使问题简 化，需要对介质和声波做一些假设：
（1）介质是均匀连续的，即在波长数量级距离内，介质的声学 性质保持不变；
（2）介质是理想流体介质，声波在其中传播时没有能量损耗， 即忽略介质的粘滞性和热传导性；
量或计算的情况，可以事先估计出误差的绝对值不超过某个正数 ， 这个正数 叫做误差绝对值的上界或误差限。