二次根式除法》公开课课件
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年人教版八年级数学下册第十六章《 二次根式的除法》优质公开课课件
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/232021/7/232021/7/237/23/2021 9:52:38 AM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/232021/7/232021/7/23Jul-2123-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/232021/7/232021/7/23Friday, July 23, 2021
1．计算 8的结果是 2
A．± 4 B．4 2．下列计算正确的是
A. 3÷ 5＝15 3 C. 125÷ 5＝ 5 3．下列计算正确的是
A. 59＝3 5 C. 132＝12
C．2
D．±4
B. 3÷ 25＝15 3 D. x÷x＝ x
B.
25＝
2 5
D. 66＝16
( C) ( B)
( C)
【解析】 A 项： 59＝ 35，计算错误；B 项： 25＝ 510，计
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/232021/7/232021/7/232021/7/23
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
二次根式的除法课件
平方根。
$sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$（$a geq 0, b > 0$），即非负数的平方根与正数的 平方根的商等于这两个数商的平方根。
二次根式的化简
化简二次根式的一般步骤是
把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；化简 后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
二次根式的除法课件
目录
• 引言 • 二次根式的基本概念 • 二次根式的除法法则 • 二次根式除法的运算步骤 • 二次根式除法的应用举例 • 练习题与解答 • 总结与回顾
01
引言
目的和背景
掌握二次根式的除法 运算法则，理解其算 理。
通过学习，提高学生 的运算能力和数学素 养。
能够运用二次根式的 除法运算法则进行简 单的计算。
解答
$(sqrt{3} + sqrt{2}) div (sqrt{3} - sqrt{2}) = frac{(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} + sqrt{2})}{(sqrt{3} - sqrt{2})(sqrt{3} + sqrt{2})} = frac{5 + 2sqrt{6}}{1} = 5 + 2sqrt{6}$
数学兴趣和数学素养。
02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
二次根式是指形如$sqrt{a}$ （$a geq 0$）的代数式，其中
$a$叫做被开方数。
当$a > 0$时，$sqrt{a}$表示 $a$的正平方根；当$a = 0$时，
$sqrt{a} = 0$。
$sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$（$a geq 0, b > 0$），即非负数的平方根与正数的 平方根的商等于这两个数商的平方根。
二次根式的化简
化简二次根式的一般步骤是
把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；化简 后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
二次根式的除法课件
目录
• 引言 • 二次根式的基本概念 • 二次根式的除法法则 • 二次根式除法的运算步骤 • 二次根式除法的应用举例 • 练习题与解答 • 总结与回顾
01
引言
目的和背景
掌握二次根式的除法 运算法则，理解其算 理。
通过学习，提高学生 的运算能力和数学素 养。
能够运用二次根式的 除法运算法则进行简 单的计算。
解答
$(sqrt{3} + sqrt{2}) div (sqrt{3} - sqrt{2}) = frac{(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} + sqrt{2})}{(sqrt{3} - sqrt{2})(sqrt{3} + sqrt{2})} = frac{5 + 2sqrt{6}}{1} = 5 + 2sqrt{6}$
数学兴趣和数学素养。
02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
二次根式是指形如$sqrt{a}$ （$a geq 0$）的代数式，其中
$a$叫做被开方数。
当$a > 0$时，$sqrt{a}$表示 $a$的正平方根；当$a = 0$时，
$sqrt{a} = 0$。
二次根式的除法课件(PPT 18页)
初中代数第二册第十一章第三小节
二次根式的除法
（第三课时）
会熟练地运用二次根式的性质化简二次 根式；
会运用二次根式的除法法则及分母有理 化方法，熟练进行简单二次根式的除法 运算；
学习、体会灵活运用二次根式的性质和 法则的方法。
复习提问
1、二次根式的性质有哪些？
1) a 0a 0
2) a 2 aa 0
2
x y x y
x y
x y
2 m m m m 1 m 1
m
m
3 x2 2 x 2 x 2 x 2
x 2
x 2
1
1 1
2
6 2
2
1
5x
5x
5x
3 y xy
x
x
4 4 a 2 2a
2
已知：
2 1.414 ，如何求
1 2
与
8的
近似值？（结果保留两位有效数字）
解：
例题选讲
分母有理化： 3x 6
x2
解：方法1
3x 6 x2 方法2
(
3x (
6) x
x 2 )2
2
3(x 2) x 2 x2
3
x2
3x 6 3( x 2 ) 3( x 2 两种方法的依据各是什么？哪种
方法更简便？
把下列各式分母有理化
1
x y
方法2： 10 27 10 3 3 3 30
解（2）：方法1： 15 12 2 45 15 12 45 15 22 3532
2 45 45
2 45
15 2 3 15 15 2 45
方法2： 15 12 2 45 15 2 3 5 3 15
23 5 5
二次根式的除法
（第三课时）
会熟练地运用二次根式的性质化简二次 根式；
会运用二次根式的除法法则及分母有理 化方法，熟练进行简单二次根式的除法 运算；
学习、体会灵活运用二次根式的性质和 法则的方法。
复习提问
1、二次根式的性质有哪些？
1) a 0a 0
2) a 2 aa 0
2
x y x y
x y
x y
2 m m m m 1 m 1
m
m
3 x2 2 x 2 x 2 x 2
x 2
x 2
1
1 1
2
6 2
2
1
5x
5x
5x
3 y xy
x
x
4 4 a 2 2a
2
已知：
2 1.414 ，如何求
1 2
与
8的
近似值？（结果保留两位有效数字）
解：
例题选讲
分母有理化： 3x 6
x2
解：方法1
3x 6 x2 方法2
(
3x (
6) x
x 2 )2
2
3(x 2) x 2 x2
3
x2
3x 6 3( x 2 ) 3( x 2 两种方法的依据各是什么？哪种
方法更简便？
把下列各式分母有理化
1
x y
方法2： 10 27 10 3 3 3 30
解（2）：方法1： 15 12 2 45 15 12 45 15 22 3532
2 45 45
2 45
15 2 3 15 15 2 45
方法2： 15 12 2 45 15 2 3 5 3 15
23 5 5
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
人教版数学八年级下册《二次根式的除法》课件
5 8
=
2 3
1 =21=1. 36 3 6 9
二 商的算术平方根的性质 我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就
得到积的算术平方根的性质.
类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到 二次根式的商的算术平方根的性质:
a a (a 0,b 0). bb
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式 的算术平方根的商.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
a
a a 0,b 0
注意： 如果被开方数是带分
bb
数，应先化成假分数。
例5：化简 (1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
解：1 3 3 3
100 100 10
（1）化什么？
（2）观察三个式子 有什么共同特征？
（2）1 3 ＝ 19 ＝ 19 ＝ 19 根号内有分母 16 16 16 4
5
34 2 3 2
4
计算：
(1) 18 2;
(2) 6a 3a;
(3) 72 ; 6
(4) 2 3 1 3. 45 2 5
解: (1)原式= 18 2 9 3；
(2)原式= 6a 2；
3a
(3)原式= 72 6 12 2 3；
(4)原式=
1
3 2
2 8 45 5
1
2 3
2 45
10
高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地 所需时间t1的多少倍？
2 100
解:由题意得 t2 10 20 2.
t1 2 50 10 10
1.【章前引言】如果两个电视塔的高分别是h1km，
h2km，那么它们的传播半径的比为
二次根式的除法 公开课一等奖课件
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设铁桶的底面边长为x cm，则有x2＝××，x2＝150，∵x＞0， ∴x＝＝5，所以铁桶的底面边长为5cm.
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1 b b (1) ＝ ＝ a b a b· b ab 3＋1 1 3＋1 (2) ＝ ＝ 3－1 （ 3－1） （ 3＋1） 2 2（ 5－ 3） 2 (3) ＝ ＝ 5－ 3 5＋ 3 （ 5＋ 3） （ 5－ 3） 2 5－5 2 1 5 2－2 5 (4) ＝ ＝ 2 5＋5 2 （2 5＋5 2） （2 5－5 2） 30
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附赠 中高考状元学习方法
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前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他 们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实 际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方 面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校 的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
分母
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开得尽方的因数或因式
D
B
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2
原式＝2
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A
C
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A
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C
A
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1
2Hale Waihona Puke 5四清导航四清导航
x－2 x x－2 1 x－2 ÷ ＝ ÷ ＝ × x× x－2＝ x. 答案不唯一，但 3 2 x －2x x－2 x－2 x（x－2） x－2 选的 x 的值必须满足 x＞2 解：
《二次根式除法》课件
02
二次根式除法运算
除法运算步骤
1 2
3
步骤一
确定被除数和除数：首先需要确定二次根式的被除数和除数 ，这是进行除法运算的基础。
步骤二
进行除法运算：根据二次根式的性质，将被除数和除数进行 相除，得到商。
步骤三
化简结果：对得到的商进行化简，确保结果是最简二次根式 。
运算注意事项
注意一
除数不能为零：在二次根式除法中，除数不能为零，否则会导致无意义。
分母有理化的应用
解决二次根式的除法问题
通过分母有理化，可以将二次根式的除法问题转化为乘法问题，简化计算过程。
化简复杂表达式
在数学和物理中，有些表达式可能包含难以处理的根式，通过分母有理化可以化简这些表达式，使其更易于理解 和计算。
04
二次根式除法在数学中的应 用
在代数方程中的应用
代数方程是数学中常见的形式之一，二次根式除法在解决代 数方程中具有重要作用。通过将方程中的根式化为分数指数 幂，可以简化方程，使其更容易求解。
《二次根式除法》ppt课件
$number {01}
目录
• 二次根式除法概述 • 二次根式除法运算 • 二次根式除法与分母有理化 • 二次根式除法在数学中的应用 • 二次根式除法的练习与巩固
01
二次根式除法概述
定义与性质
定义
二次根式除法是指将一个二次根 式除以另一个二次根式的过程。
性质
二次根式除法具有乘法的分配律 、结合律等基本性质，同时还有 除法的倒数性质等特殊性质。
除法与乘法的关联
关联
二次根式除法可以转化为乘法运算，即被除数乘以除数的倒 数。
应用
通过这种转化，可以简化二次根式除法的计算过程，提高运 算效率。
二次根式的除法课件
04 典型例题解析
分母有理化的应用
总结词
分母有理化是一种重要的二次根式除 法技巧，通过将分母转化为有理数， 可以简化二次根式的运算。
详细描述
分母有理化的目的是将二次根式中的 分母转化为一个平方数，从而消除根 式中的分母。实现分母有理化的关键 是找到与分母相乘的平方数。
复杂二次根式的除法
总结词
复杂二次根式的除法需要灵活运用各种运算法则和技巧，如因式分解、分母有理化等，以简化运算。
详细描述
在进行复杂二次根式除法时，应先观察被除式的特点，选择合适的运算顺序和技巧。例如，可以先运 用因式分解将复杂二次根式化为多个简单二次根式的积，再运用分母有理化等方法进行化简。
含参变量的二次根式除法
总结词
含参变量的二次根式除法是数学运算中常见的题型之一，需要学生掌握如何处理参数与二次根式之间的关系。
03 二次根式除法的技巧和方 法
分子有理化
总结词
利用有理化分子的方法，将二次根式 化简成最简二次根式。
详细描述
通过分子有理化，可以将二次根式转 化为有理数或整式，从而简化计算过 程，提高运算效率。具体方法包括： 分母有理化和分子有理化。
换元法
总结词
用字母代替未知数，将复杂表达式转换为简单表达式。
二次根式的定义
二次根式是一种表达数值的方式，它 表示对一个数或代数式进行开方运算 。
课程目标与内容
课程目标
帮助学生掌握二次根式除法的基 本原理、方法和技巧，理解其运 算过程，培养其数学思维和解决 问题的能力。
课程内容
介绍二次根式除法的定义、性质 、法则和运算方法，并通过例题 和练习题加深学生对知识点的理 解和掌握。
1. $\frac{4 \div 2}{\sqrt{4}} = 2 \div 2 = 1$
人教版数学八年级下册《二次根式的除法》ppt课件
不是“ a ”，而是“
a 3
a a”3刘敏说：哎呀，真抄错了，好在
不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按
a
a
3计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
a 3
课堂小结
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4 ； 99
(2) 16 = 16 ； 25 25
(3)
36 36 . 49 49
猜测 你发现了什么规律？能用字母表示你所发
现的规律吗？ 猜测： a a bb
从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范 围有没有限制呢？
回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道
h 5
40时，此时
他看到的水平线的距离d2是多少？
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到 的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
d2 16 10 . d1 16 5
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？
除法有没有类似的法则？
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进
行化简,如 0.3 3 30 30 .
10 100 10
巩固练习
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是
最简二次根式的进行化简．
（1）
45
;
（2） 1 ;
3
（3） 5 ;
2
（4）
0.5
;（5） 1 4
5
.
新人教版《二次根式的乘除》课件公开课PPT
n（n2－1）＋n n2－1
＝
综设上AE所的述长,符为合m,条△件AD的E点的P面只积有为一S个,求,其S关坐于标m为的(2函,-2数√(关"3系" )式). ,并写出自变量m的取值范围;
"(i∴)当△四C边DE形的C最DM大N面是积平为行" 四"8边1"形/",8∵" M,此向时下A平E=移m4=个"9单" /"位2"得"N,B,∴E=NA的B-坐A标E=为" ("39+"n/,"n2-"2).,
按团体票一次性购买16张门票需要35×60%×16＝336(元)．
示为( B ) ②在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
解：由题意，得：①甲组单独施工12天完成，商店需付装修费用3 600元；乙组单独施工24天完成，商店需付装修费用3 360元，比较可 知，甲组比乙组早12天完工，商店早开业12天可盈利200×12＝2 400(元)． 知识点四 列一元一次不等式解应用题
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
8．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) 3.5 ；
解：原式＝
14 2
(2)
4 15
；
解：原式＝35 5
(3)
27 3x
；
(4) 16x3＋32x2 (x＞0).
解：原式＝3x x
解：原式＝4x x＋2
∴(的2)A函点B数E=从9关9,O点系．CA式=(出9绵,.并发写阳,沿出x中轴自向变考点量Bm)运等的动取式(值点范E与围xx点; － ＋A,B31不重＝合),过点xxE作－ ＋直31线l平成行立于B的C,交xAC的于点取D.设值AE范的长围为在m,△数AD轴E的上面积可为S表,求S关于m
二次根式的除法课件
例2 化简
(1) 3 ; 100
(2) 75 . 27
还有其他
解: (1) 3 3 3 ； 100 100 10
解法吗?
(2)
75 27
52 3
32 3
52 5 . 32 3
补充解法：
75 27
75 5 3 5 27 3 3 3
分母有理化 把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就
性质
a a (a 0,b 0). bb
分母有理化
相关概念 最简二次根式
15 ， 6 ，2 a 53a
简记为：分母
无根号，根号
无分母
可以发现这些式子有如下两个特点：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最
简二次根式．
课堂小结
二次根 式除法
法则
a a (a 0,b 0) bb
拓展法则： m a n b=（m n） a b （a 0,b 0)
2
2
（2 2） 36 18
归纳总结
4 2.
二次根式的乘法扩充法则 m a n b =（m n） a b（a 0,b 0)
二次根式的商的算术平方根的性质
a a (a 0,b 0). bb
利用它可以进行二次根式的化简.
小提醒： 记住成立的
条件！
(1) 3 ; 100
(2) 75 . 27
（3） 1 1 = 1 1 1 16 = 4 =2 4 16 4 16 4
（4） 64 8
64
=
=
8
8 =2 2
12 2 3.
小提醒： 除式是分数（或分式的） 先要转让化为乘法再进行 运算.
人教版初中数学八年级下册《二次根式的除法》PPT课件
温故：
二次根式的乘法：
如果a≥0,b≥0,那么有 a· b ab 如果a≥0,b≥0,那么有 ab a· b
计算
（1） （3） （5）
4 9 49 100 25 64
（2） （4） （6）
4 9 49 100 25 64
a 一般地,有 a _____b___, (a 0,b 0)
b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开方 数相除的商，作为商的被开方数；
这个公式反过来写,得到:___ba_____ba____( a 0,b 0)
例1.计算或化简:
(1) 15
3
(2) 24 3
解：(1) 15 15 5
33
(2) 24 24 8 22 2 2 2 33
探究
把 a a bb
2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2 ）。
我们把满足上述两个条件的二次根式，
叫做最简二次根式。 二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要 写成最简二次根式的形式。
下列哪些是最简二次根式 2 5、36、12、27、 2、 7 、 2
3 32
练习：
（1）3 6
（2）- 45 （3） 2
2 20Leabharlann 3（4）-4 2 37
二次根式除法法则:
一般地,有 a ________, (a 0,b 0)
b 化简二次根式
（1）当二次根式的被开方数中含有字母时应充分注
意式子中所含字母的取值范围
（2）进行二次根式的乘除运算或化简，最终结果定
要尽可能化简
作业
反过来，就可以得到:
a a （a≥0，b＞0） bb
二次根式的乘法：
如果a≥0,b≥0,那么有 a· b ab 如果a≥0,b≥0,那么有 ab a· b
计算
（1） （3） （5）
4 9 49 100 25 64
（2） （4） （6）
4 9 49 100 25 64
a 一般地,有 a _____b___, (a 0,b 0)
b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开方 数相除的商，作为商的被开方数；
这个公式反过来写,得到:___ba_____ba____( a 0,b 0)
例1.计算或化简:
(1) 15
3
(2) 24 3
解：(1) 15 15 5
33
(2) 24 24 8 22 2 2 2 33
探究
把 a a bb
2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2 ）。
我们把满足上述两个条件的二次根式，
叫做最简二次根式。 二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要 写成最简二次根式的形式。
下列哪些是最简二次根式 2 5、36、12、27、 2、 7 、 2
3 32
练习：
（1）3 6
（2）- 45 （3） 2
2 20Leabharlann 3（4）-4 2 37
二次根式除法法则:
一般地,有 a ________, (a 0,b 0)
b 化简二次根式
（1）当二次根式的被开方数中含有字母时应充分注
意式子中所含字母的取值范围
（2）进行二次根式的乘除运算或化简，最终结果定
要尽可能化简
作业
反过来，就可以得到:
a a （a≥0，b＞0） bb