弹簧振子的简谐运动
机械振动知识点
机械振动知识点Revised on November 25, 2020简谐运动及其图象知识点一：弹簧振子（一）弹簧振子如图，把连在一起的弹簧和小球穿在水平杆上，弹簧左端固定在支架上，小球可以在杆上滑动。
小球滑动时的摩擦力可以，弹簧的质量比小球的质量得多，也可忽略。
这样就成了一个弹簧振子。
注意：（1）小球原来的位置就是平衡位置。
小球在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动。
（2）小球的运动是平动，可以看作质点。
（3）弹簧振子是一个不考虑阻力，不考虑弹簧的，不考虑振子（金属小球）的的化的物理模型。
（二）弹簧振子的位移——时间图象（1）振动物体的位移是指由位置指向_的有向线段，可以说某时刻的位移。
说明：振动物体的位移与运动学中位移的含义不同，振子的位移总是相对于位置而言的，即初位置是位置，末位置是振子所在的位置。
（2）振子位移的变化规律振子的运动A→O O→BB→OO→A对O点位移的方向向左向右大小变化减小（4）弹簧振子的位移－时间图象是一条曲线。
知识点二：简谐运动（一）简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从函数的规律，即它的振动图象（x-t图象）是一条正弦曲线，这样的振动，叫做简谐运动。
简谐运动是机械振动中最简单、最基本的振动。
弹簧振子的运动就是简谐运动。
（二）描述简谐运动的物理量（1）振幅（A）振幅是指振动物体离开位置的距离，是表征振动强弱的物理量。
一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是变的，而位移是时刻在变的。
（2）周期（T）和频率（f）振动物体完成一次所需的时间称为周期，单位是秒（s）；单位时间内完成的次数称为频率，单位是赫兹（H Z）。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量。
周期越小，频率越大，表示振动得越快。
周期和频率的关系是：（3）相位（φ）相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。
（三）固有周期、固有频率任何简谐运动都有共同的周期公式：2m=m是振动物体的，k是回复力系Tk数，对弹簧振子来说k为弹簧的系数。
弹簧振动与简谐运动
弹簧振子：弹簧振子是一种常见的简谐运动实例，当弹簧振子受到外力作用时，会进行简谐振动。
单摆：单摆是一种简单的简谐运动实例，当单摆受到重力作用时，会进行简谐振动。
弦振动：弦振动是一种常见的简谐运动实例，当弦受到外力作用时，会进行简谐振动。
电磁振荡：电磁振荡是一种常见的简谐运动实例，当电磁系统受到外力作用时，会进行简谐振动。
弹簧振动的谐振频率与振幅的关系
弹簧振动与简谐运动的理论研究
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理论模型与公式推导
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弹簧振动方程：描述弹簧振动的物理规律
胡克定律：描述弹簧的形变与弹力之间的关系
简谐运动方程：描述简谐运动的物理规律
公式推导：从胡克定律和弹簧振动方程推导出简谐运动方程
理论分析与计算方法
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差异：弹簧振动的振幅和频率与弹簧的刚度和质量有关，而简谐运动的振幅和频率与物体的质量和弹簧的刚度有关。
联系：弹簧振动是简谐运动的一种特殊情况，当弹簧的刚度和质量满足一定条件时，弹簧振动可以简化为简谐运动。
弹簧振动与简谐运动的关系在现实生活中的应用
钟摆：钟摆的摆动是简谐运动，其振动周期与弹簧的刚度和质量有关。
弹簧振动的能量守恒，即动能和势能相互转化，没有能量损失。
弹簧振动的应用
机械手表：利用弹簧振动来控制手表的走时精度
地震监测：利用弹簧振动来监测地震活动，提前预警
简谐运动的定义
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简谐运动的描述
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简谐运动的特点是位移、速度和加速度都与时间呈正弦或余弦关系
简谐运动是一种周期性、重复性的运动
弹簧的弹性系数：决定弹簧振动频率和振幅的重要参数
弹簧振子的简谐振动
弹簧振子的简谐振动【实验目的】：1.测量弹簧振子的振动周期T2.求弹簧的劲度系数k 和有效质量m【实验器材】：气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、秒表【实验原理】：1.弹簧振子的简谐运动方程质量为m 1的质点由两个弹簧拉着, 弹簧的劲度系数分别为k 当m 偏离平衡位置的距离为x 时, 它受弹簧作用力并用牛顿第二定律写出方程−kx = mx ¨方程的解为:x = A sin(ω0t + ϕ0) 即物体作简谐振动, 其中ω0 =kmω0是振动系统的固有角频率. m = m 1 + m 0 是振动系统的有效质量, m 0是弹簧的有效质量. A 是振幅, φ0是初相位, ω0有系统本身决定, A 和φ0由初始条件决定. 系统的振动周期: T =2πω0= 2π,mk=2πm 1 + m 0k在实验中改变质量，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出劲度系数与有效质量【实验过程】：1.将各装置装好并调到工作状态2.将滑块从平衡位置拉到某一合适位置，然后放手让滑块振动与此同时按下秒表，当振子振动10个周期时再按下秒表，记录下时间，重复测量10次得到每次的振动周期如下表所示： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T/s 1.7531.7531.7531.7541.7431.7531.7561.7531.7501.7563.称量滑块质量为319.748g ，四个砝码的质量为67.862g ，六个砝码的质量为100.087g ，将四个砝码对称地放到滑块的两边，重复过程2，得到下表一的数据。
将六个砝码对称地放到滑块的两边，同样重复过程2，得到下表二的数据。
表一：次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10T/s 1.922 1.932 1.934 1.934 1.919 1.925 1.925 1.918 1.928 1.929表二：次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10T/s 2.004 2.019 1.984 2.000 1.996 1.994 1.997 1.994 1.985 1.9974.用逐差法处理上述数据得弹簧等效劲度系数k=4.39N/m弹簧等效质量m=0.218g丁朝阳2012301020025。
斜面弹簧的简谐运动方程
斜面弹簧的简谐运动方程
斜面弹簧的简谐运动方程可以根据简谐振动的定义和弹簧振子的运动规律来推导。
首先，简谐振动的定义是物体在一定范围内周期性地来回运动，其运动方程可以表示为：
x = A * sin(ωt + φ)
其中，x 表示物体在垂直方向上的位移，A 是振幅，ω 是角频率，t 是时间，φ 是初相角。
对于斜面弹簧的简谐运动，假设弹簧的弹性系数为 k，弹簧振子的质量为 m，初始位移为 x0，初始速度为 v0。
根据牛顿第二定律和胡克定律，弹簧振子的运动方程可以表示为：
F = -k * x
其中，F 是弹簧的弹力，x 是弹簧振子的位移。
结合简谐振动的定义和弹簧振子的运动方程，我们可以得到斜面弹簧的简谐运动方程为：
x = A * sin(ωt + φ)
其中，A = x0 + (mv0^2/2k)，ω = sqrt(k/m)，φ 是初相角。
需要注意的是，这个方程是在理想情况下推导出来的，实际情况中可能存在阻尼、摩擦等因素的影响。
实验报告弹簧振子的简谐运动
表格 2 振子周期和质量之间的关系
A = 40.0(cm)
m0(g) 453.8 505.0 556.3 608.5 659.7 710.9
TL (s) 2.08580 2.19880 2.30622 2.41073 2.50893 2.60368
2.08582 2.19866 2.30653 2.41077 2.50916 2.60376
vmax = ω0A ...............................................................................(5)
3.
简谐振动的机械能
在实验中, 任何时刻系统的振动动能为:
系别 同组姓名
___________ __________
实验日期 _________________________
教师评定 ______________
800.1 700.1
y = 4180.7x - 6.9347
600.1
500.1
t2/4pi2
400.1
300.1
200.1
100.1
0.1 0.000000
0.020000
0.040000
0.060000
有效质量;
2.
观测简谐振动的运动学特征;
3.
测量简谐振动的机械能.
【仪器用具】
气轨, 弹簧, 划块, 骑码, 挡光刀片, 光电计时器(精度:0.00001s), 电子天平(精度:0.01g), 游 标卡尺(游标刻度 0.02mm).
【实验原理】
k
m1
k
1.
弹簧振子的简谐运动方程
质量为 m1 的质点由两个弹簧拉着, 弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2, 如图所示. 当 m 偏离平 衡位置的距离为 x 时, 它受弹簧作用力:
气轨上的弹簧振子的简谐振动
X X 大学实验报告课程名称 基础物理实验 实验项目名称 气轨上的弹簧振子的简谐振动指导教师 学生姓名 学号 系 同组姓名实验日期 年 月 日 成绩评定【实验目的】1.观察简谐振动现象，测定简谐振动的周期。
2.求弹簧的劲度系数k 和有效质量m 03.观察简谐振动的运动学特征4.验证机械能守恒定律【实验原理】1.弹簧振子的简谐运动在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图1所示。
如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。
设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1只受弹性力-k 1(x +x 0)与-k 1(x -x 0)的作用，其中k 1是弹簧的倔强系数。
根据牛顿第二定律，其运动方程为（1） ，01m m m =+ （2）式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。
方程（1）的解为00sin()x A t ωϕ=+ （3）说明滑块是做简谐振动。
式中：A —振幅；0ϕ—初相位。
0ω= （4）0ω叫做振动系统的固有频率，由振动系统本身的性质所决定。
振动周期T 与0ω有下列关系：图1简谐运动原理图02/22T πω=== （5）（5）式两边平方即可得到22104()/T m m k π=+ （6）在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，采用作图法获得T 2-m 的曲线，该曲线应该为一条直线，直线的斜率为24/k π，采用最小二乘法可以计算出该斜率值，并得到k 的值。
同时，可以从该条直线的截距获取m 0的值。
也可采用逐差法求解k 和m 0的值。
2.简谐运动的运动学特征描述 对（2）式在时间上进行求导即可得到000cos()dxv A t dtωωϕ==+ （7） 由（7）式可见，速度v 与时间有关，且随时间的变化关系为简谐振动，角频率为0ω，振幅为0A ω，而且速度v 的相位比x 超前π/2。
简谐振子的运动规律
简谐振子的运动规律引言简谐振子是物理学中的一个重要概念，它是指在没有阻力的情况下，受到一个恢复力作用的质点所进行的振动。
简谐振子具有规律性、周期性和对称性等特点，在物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍简谐振子的定义、运动方程、能量变化以及一些实际应用。
一、简谐振子的定义简谐振子是指在一个势能函数关于平衡位置展开成幂级数后，只保留到二次项，并且质点偏离平衡位置越小，势能函数越接近二次型。
这样的势能函数可以表示为：U(x)=12kx2其中，U(x)表示势能，k表示弹簧系数，x表示质点离平衡位置的位移。
二、简谐振子的运动方程根据牛顿第二定律和胡克定律（恢复力与位移成正比），可以得到简谐振子的运动方程：m d2xdt2=−kx其中，m表示质点的质量，t表示时间。
上述方程是一个二阶常微分方程，可以通过求解得到简谐振子的位移随时间变化的函数。
通常情况下，我们假设解为：x(t)=Acos(ωt+ϕ)其中，A表示振幅，ω表示角频率，ϕ表示相位差。
将上式代入运动方程中可得：−mω2Acos(ωt+ϕ)=−kAcos(ωt+ϕ)由于cos(ωt+ϕ)不为零，所以可以得到：mω2=k这就是简谐振子的角频率和弹簧系数之间的关系。
三、简谐振子的能量变化对于简谐振子来说，其机械能是守恒的。
机械能包括动能和势能两部分。
动能可以表示为：T=12m(dxdt)2势能可以表示为：U(x)=12kx2根据机械能守恒定律可得：E=T+U=12m(dxdt)2+12kx2将x(t)=Acos(ωt+ϕ)代入上式可得：E=12mω2A2sin2(ωt+ϕ)+12kA2cos2(ωt+ϕ)由于sin2(ωt+ϕ)+cos2(ωt+ϕ)=1，所以可以得到：E=12mω2A2+12kA2=常数这表明简谐振子的机械能是守恒的。
四、简谐振子的应用简谐振子在物理学中有着广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用场景。
1. 音叉音叉是一种常见的简谐振子实例。
当击打音叉时，音叉会产生固定频率的声音。
简谐运动的六种图象
简谐运动的六种图象北京顺义区杨镇第一中学范福瑛简谐运动在时间和空间上具有运动的周期性，本文以水平方向弹簧振子的简谐运动为情境，用图象法描述其位移、速度、加速度及能量随时间和空间变化的规律，从不同角度认识简谐运动的特征．运动情境：如图1，弹簧振子在光滑的水平面B、C之间做简谐运动，振动周期为T，振幅为A，弹簧的劲度系数为K。
以振子经过平衡位置O向右运动的时刻为计时起点和初始位置，取向右为正方向。
分析弹簧振子运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能随时间或位置变化的关系图象。
1.位移-时间关系式，图象是正弦曲线，如图22．速度-时间关系式，图象是余弦曲线，如图33．加速度-时间关系式，图象是正弦曲线，如图44.加速度-位移关系式，图象是直线，如图55．速度-位移关系式，图象是椭圆，如图6，整理化简得6．能量-位移关系弹簧和振子组成的系统能量（机械能）守恒，总能量不随位移变化，如图7直线c弹性势能，图象是抛物线的一部分，如图7曲线b振子动能，图象是开口向下的抛物线的一部分，如图7曲线a图象是数形结合的产物，以上根据简谐运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能与时间或位移之间的关系式，得到对应的图象，从不同角度直观、全面显示了简谐运动的规律，同时体现了数与形的和谐完美统一。
2011-12-20 人教网【基础知识精讲】1.振动图像简谐运动的位移——时间图像叫做振动图像，也叫振动曲线.(1)物理意义：简谐运动的图像表示运动物体的位移随时间变化的规律，而不是运动质点的运动轨迹.(2)特点：只有简谐运动的图像才是正弦(或余弦)曲线.2.振动图像的作图方法用横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据定出坐标的单位及单位长度，根据振动质点各个时刻的位移大小和方向指出一系列的点，再用平滑的曲线连接这些点，就可得到周期性变化的正弦(或余弦)曲线.3.振动图像的运用(1)可直观地读出振幅A、周期T以及各时刻的位移x.(2)判断任一时刻振动物体的速度方向和加速度方向(3)判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况.【重点难点解析】本节重点是理解振动图像的物理意义，难点是根据图像分析物体的运动情况.一切复杂的振动都不是简谐运动.但它们都可以看做是若干个振幅和频率不同的简谐运动的合运动.所有简谐运动图像都是正弦或余弦曲线，余弦曲线是计时起点从最大位移开始，正弦曲线是计时起点从平衡位置开始，即二者计时起点相差.我们要通过振动图像熟知质点做简谐运动的全过程中，各物理量大小、方向变化规律.例1一质点作简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如下图所示，由图可知，在t=4S时，质点的( )A.速度为正最大值，加速度为零B.速度为负最大值，加速度为零C.速度为零，加速度为正最大值D.速度为零，加速度为负最大值解析：(1)根据简谐运动特例弹簧振子在一次全振动过程中的位移、回复力、速度、加速度的变化求解.由图线可知，t=4s时，振动质点运动到正最大位移处，故质点速度为零，可排除A、B选项.质点运动到正最大位移处时，回复力最大，且方向与位移相反，故加速度为负最大值，故选项D正确.(2)利用图线斜率求解.该图线为位移、时间图像，其曲线上各点切线的斜率表示速度矢量.在t=4s时，曲线上该点切线的斜率为零，故该点速度大小为零，可排除A、B项.由简谐运动的动力学方程可得a=-x,当位移最大时，加速度最大，且方向与位移方向相反，故选项D正确.说明本题主要考查简谐运动过程中的位移，回复力，速度和加速度的变化情况.运用斜率求解的意义可进一步推得质点在任意瞬间的速度大小，方向.t=1s、3s时质点在平衡位置，曲线此时斜率最大，速度最大，但1s时斜率为负，说明质点正通过平衡位置向负方向运动，3s时斜率为正，表过质点通过平衡向正方向运动.例2如下图所示是某弹簧振子的振动图像，试由图像判断下列说法中哪些是正确的.( )A.振幅为3m，周期为8sB.4s末振子速度为负，加速度为零C.第14s末振子加速度为正，速度最大D.4s末和8s末时振子的速度相同解析：由图像可知振幅A=3cm，周期T=8s，故选项A错.4s末图线恰与横轴相交，位移为零，则加速度为零.过这一点作图线的切线，切线与横轴的夹角大于90°(或根据下一时刻位移为负)，所以振子的速度为负.故选项B正确.根据振动图像的周期性，可推知第14s末质点处于负的最大位移处(也可以把图线按原来的形状向后延伸至第14s末)，因此质点的加速度为正的最大值，但速度为零，故选项C 错误.第4s末和第8s末质点处在相邻的两个平衡位置，则速度方向显然相反(或根据切线斜率判断)，所以选项D错误.选B.说明根据简谐运动图像分析简谐运动情况，关键是要知道图像直接表示出哪些物理量，间接表示了哪些物理量，分析间接表示的物理量的物理依据是什么.【难题巧解点拨】简谐运动图像能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图像跟具体的运运过程联系起来不失为讨论简谐运动的一种好方法.(1)从简谐运动图像可直接读出不同时刻t的位移值，从而知道位移x随时间t的变化情况.(2)在简谐运动图像中，用作曲线上某点切线的办法可确定各时刻质点的速度大小和方向，切线与x轴正方向的夹角小于90°时，速度方向与选定的正方向相同，且夹角越大表明此时质点的速度越大.当切线与x轴正方向的夹角大于90°时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大表明此时质点的速度越小.也可以根据位移情况来判断速度的大小，因为质点离平衡位置越近，质点的速度就越大，而最大位移处，质点的速度为零.(3)由于简谐运动的加速度与位移成正比，方向相反，故可以根据图像上各时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况.同样，只要知道了位移和速度的变化情况，也就不难判断出质点在不同时刻的动能和势能的变化情况.根据简谐运动图像分析其运动情况，方法直观有效.简谐运动的周期性是指相隔一个周期或周期的整数倍时，这两个时刻质点的振动情况完全相同，即质点的位移和速度大小和方向(以至于回复力、加速度等)都总是相同的.同相的两个时刻之差等于周期的整数倍，这两个时刻的振动情况完全相同；但是位移相同的两个时刻，不一定是同相的，振子通过某一位置时，它们的位移相同，但它们的速度方向可能相同，也可能相反.如果时间相隔半个周期的奇数倍时，这两个时刻的振动反“相”，其振动位移和速度大小相等，方向相反.例甲、乙两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动的情况.(1)甲开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动.试画出甲观察到的弹簧振子的振动图像.已知经过1s后，振子第一次回到平衡位置.振子振幅为5cm(设平衡位置上方为正方向，时间轴上每格代表0.5s).(2)乙在甲观察3.5s后，开始观察并记录时间.试画出乙观察到的弹簧振子的振动图像.解析：由题意知，振子的振动周期T=2s，振幅A=5cm.根据正方向的规定，甲观察时，振子从平衡位置向-y方向运动，经t=0.5s，达到负方向最大位移，用描点法得到甲观察到的振子图像如图(甲)所示.因为t=3.5s=1T，根据振动的重复性，这时振子的状态跟经过t′=T的状态相同，所以乙开始观察时，振子正好处于正向最大位移处，其振动图像如图(乙)所示.【课本难题解答】167页(3)题：a.处在平衡位置左侧最大位移处；b.4S；c.10cm,d.200N,400m/s2【命题趋势分析】本节主要考查学生运用图像来表达给出的条件，然后去回答问题的能力，命题一般以选择、填空形式出现.【典型热点考题】例1如下图所示为一单摆(单摆周期公式T=2π)及其振动图像由图回答：(1)单摆的振幅为，频率为，摆长为，一周期内位移x(F回，a，E p)最大的时刻为.(2)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中点.一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是，势能增加且速度为正的时间范围是.解析：(1)由图像可知：A=3cm,T=2s,振动频率f==0.5Hz,摆长l==1(m)，位移为最大值时刻为0.5s末和1.5s末.(2)图像中O点位移为零，O到A过程位移为正，且增大，A处最大，历时周期，即摆球是从E点起振并向G方向运动的.所以O对应E，A对应G，A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C分别对应E、G、E、F点.摆动中F、E间加速度为正且向E过程中减小，在图像中为C到D过程，时间范围1.5s～2.0s.从E向两侧运动势能增加，从E向G的过程速度为正，在图像中为从O到A，时间范围是0～0.5s.例2下图(甲)是演示简谐振动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系.板上的直线OO′代表时间轴.下图(乙)是两个摆中的沙在自各木板上形成的曲线.若板N1和板N2的速度υ1和υ2的关系为υ2=2υ1，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为( )A.T2=T1B.T2=2T1C.T2=4T1 D.T2=T1解析：因N2板和N1板匀速拉过的距离相同，故两板运动时间之比==2. ①在这段距离为N1板上方的摆只完成一个全振动，N2板上方的摆已完成两个全振动，即t1=T1和t2=2T2. ②将②式代入①式，得T2=T1.可知选项D正确.【同步达纲练习】1.一质点做简谐运动的振动图像如下图所示，由图可知t=4s时质点( )A.速度为正的最大值，加速度为零B.速度为零，加速度为负的最大值C.位移为正的最大值，动能为最小D.位移为正的最大值，动能为最大2.如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度υ、加速度a的大小的变化情况为( )A.υ变大，a变大B.υ变小，a变小C.υ变大，a变小D.υ变小，a变大3.某质点做简谐运动其图像如下图所示，质点在t=3.5s时，速度υ、加速度α的方向应为( )A.υ为正，a为负B.υ为负，a为正C.υ、a都为正D.υ、a都为负4.如下图所示的简谐运动图像中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为( )A.加速度B.位移C.速度D.回复力5.如下图所示为质点P在0～4s内的振动图像，下列说法中正确的是( )A.再过1s，该质点的位移是正的最大B.再过1s，该质点的速度方向向上C.再过1s，该质点的加速度方向向上D.再过1s，该质点的加速度最大6.一质点作简谐运动的图像如下图所示，则该质点( )A.在0至0.01s内，速度与加速度同方向B.在0.01至0.02s内，速度与回复力同方向C.在0.025s末，速度为正，加速度为负D.在0.04s末，速度为零，回复力最大7.如下图所示，简谐运动的周期等于s，振幅m，加速度为正的最大时刻是，负的最大时刻是，速度为正的最大时刻是，负的最大时刻是，0.1s末与0.2s 末的加速度大小分别是a1与a2，则大小是a1，0.1s末与0.2s末其速度大小分别υ1与υ2，则其大小是υ1υ2.8.下图(A)是一弹簧振子，O为平衡位置，BC为两个极端位置，取向右为正方向，图(B)是它的振动图线，则：(1)它的振幅是cm,周期是s,频率是Hz.(2)t=0时由图(B)可知，振子正处在图(A)中的位置，运动方向是(填“左”或“右”)，再经过s,振子才第一次回到平衡位置.(3)当t=0.6s时，位移是cm，此时振子正处于图(A)中的位置.(4)t由0.2s至0.4s时，振子的速度变(填“大”或“小”，下同)，加速度变，所受回复力变，此时速度方向为(填“正”或“负”，下同)，加速度方向为，回复力方向为.【素质优化训练】9.如下图所示，下述说法中正确的是( )A.第2s末加速度为正最大，速度为0B.第3s末加速度为0，速度为正最大C.第4s内加速度不断增大D.第4s内速度不断增大10.一个做简谐振动的质点的振动图像如下图所示，在t1、t2、t3、t4各时刻中，该质点所受的回复力的即时功率为零的是( )A.t4B.t3C.t2D.t111.如下图所示为一单摆做间谐运动的图像，在0.1～0.2s这段时间内( )A.物体的回复力逐渐减小B.物体的速度逐渐减小C.物体的位移逐渐减小D.物体的势能逐渐减小12.一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如下图a所示，以某一时刻作计时起点(t为0)，经周期，振子具有正方向增大的加速度，那么在下图b所示的几个振动图像中，正确反映振子振动情况(以向右为正方向)的是( )13.弹簧振子做简谐运动的图线如下图所示，在t1至t2这段时间内( )A.振子的速度方向和加速度方向都不变B.振子的速度方向和加速度方向都改变C.振子的速度方向改变，加速度方向不变D.振子的速度方向不变，加速度方向改变14.如下左图所示为一弹簧振子的简谐运动图线，头0.1s内振子的平均速度和每秒钟通过的路程为( )A.4m/s,4mB.0.4m/s,4cmC.0.4m/s,0.4mD.4m/s,0.4m15.如上右图所示是某弹簧振子在水平面内做简谐运动的位移-时间图像，则振动系统在( )A.t1和t3时刻具有相同的动能和动量B.t1和t3时刻具有相同的势能和不同的动量C.t1和t5时刻具有相同的加速度D.t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶116.从如下图所示的振动图像中，可以判定弹簧振子在t= s 时，具有正向最大加速度；t= s时，具有负方向最大速度；在时间从s至s内，振子所受回复力在-x方向并不断增大；在时间从s至s内振子的速度在+x方向上并不断增大.17.如下图所示为两个弹簧振子的振动图像，它们振幅之比A A∶A B= ；周期之比T A∶T B= .若已知两振子质量之比m A∶m B=2∶3，劲度系数之比k A∶k B=3∶2，则它们的最大加速度之比为.最大速度之比.18.一水平弹簧振子的小球的质量m=5kg，弹簧的劲度系数50N/m，振子的振动图线如下图所示.在t=1.25s时小球的加速度的大小为，方向；在t=2.75s时小球的加速度大小为，速度的方向为.19.如下图所示，一块涂有碳黑的玻璃板，质量为2kg，在拉力F的作用下，由静止开始竖直向上做匀变速运动，一个装有水平振针的振动频率为5Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，量得OA=1.5cm,BC=3.5cm.求：自玻璃板开始运动，经过多长时间才开始接通电动音叉的电源?接通电源时玻璃板的速度是多大?【知识探究学习】沙摆是一种经常用来描绘振动图像的简易演示实验装置.同学们弄清如下问题对深入细致地理解沙摆实验很有帮助.(1)水平拉动的玻璃板起到了怎样的怎用?答：使不同时刻落下的沙子不会重叠，区别出各时刻沙摆的位置，起到了相当于用时间扫描的作用.(2)为什么要匀速拉动玻璃板?答：因为沙摆实验显示的是纵轴表示位移、横轴表示时间的单摆振动较图像，玻璃板的中轴线就是表示时间的横轴.而时间轴应是均匀的，所以玻璃板必须匀速拉动.(3)玻璃板静止时沙子落下形成沙堆的形状是怎样的?答：应为中间凹两端高的沙堆如图1-A，不能为图1-B的形状.原因是沙摆过最低点的速度最快，所以中间漏下的沙子最少.(4)玻璃板抽动速度的大小对图像的形状有什么影响?答：玻璃板的速度越大，图像中OB段的长度也越大，其中=υ(式中υ为玻璃板抽动的速度，T为沙摆的周期).因图2-A比图2-B中的抽动速度大；所以OB的长度前者也比后者大，但不能说成周期变大.另外图像的振幅不受玻璃板抽动速度的影响.(5)由这个实验能否求出拉动玻璃板的速度?答：能够利用式子υ=/T求出，这时需要测出沙摆的周期和的长度，并多测几组数据，求出其平均值.(6)玻璃板的速度恒定，形成的图像是否为正弦(或余弦)曲线?答：严格的说不是.因为随着沙子的漏下，沙摆的周期越来越大，一个周期里玻璃板的位移越来越大，图像出现变形.沙子全部漏出后，沙摆的周期又保持不变，但这时没有图像了.当然如果沙粒很细，漏孔又很小，而且沙摆线摆动的角度很小(小于5°)，那么开始的一段图像，可近似看成是正弦(或余弦)曲线.参考答案【同步达纲练习】1.B、C2.C3.A4.C5.A、D6.A、D7.5；0.1；1.5s末；0.5s末；0与2s末；1s末；＜；＞8.(1)2；0.8；1.25 (2)0；右；1.4；-2；C；大；小；小；负；负；负【素质优化训练】9.A、B、C 10.D 11.A、C、D 12.D 13.D 14.C 15.B、D16.0.4；0.2；0.6；0.8；0.4；0.617.2∶1；2∶3；9∶2；3∶118.6m/s2；向上；0；向下19.0.1s；0.1m/s—。
弹簧振子的简谐运动
弹簧振子的简谐运动原始数据：弹簧质量：m1=9.952g; m2=10.480g.砝码质量：m120=17.504g; m115=17.740g; m17=14.551g; m135=17.840g; m82=17.747g; m85=17.774g一．实验目的（1）测量弹簧振子的动周期T。
（2）求弹簧的倔强系数k和有效质量m0二．实验器材气垫导轨，滑块，附加砝码，弹簧，光电门，数字毫秒计。
三．实验原理在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一块滑块，让滑块作往返振动。
如果不考虑滑块运动的的阻力，那么滑块的振动可以看成是简谐振动。
设质量为m1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x0,当m1距离平衡点x时，m1只受到弹性力−k(x+x0)和−k(x−x0)的作用，其中k1是弹簧的倔强系数。
根据牛顿第二定律，其运动方程为：−k(x+x0)−k(x−x0)=mẍ令k1=2k则有：−2k1=mẍm=m1+m0式子中，m为振动系统的有效质量，m0为弹簧的有效质量，m1为滑块和砝码的质量。
ω0由振动系统本身的性质所决定。
振动周期T与ω0有下列关系：T=2πω0=2π√m0+m1k在实验中，我们改变m1,测出相应的T，考虑T与m 的关系，从而求出k和m0四．实验具体操作（1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。
（2）将滑块从平衡位置拉到光电门左边某位置，然后放手让滑块振动，记录T A的值。
要求记录五位有效数字，共测量十次。
（3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉到光电门的右边某处，测量记录TB，共测量十次。
取T A和T B的平均值作为振动周期T，与T相应的有效质量是m=m1+m0，其中m1就是滑块本身的质量，m0为弹簧的有效质量。
（4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（２）和（３）测量相应的周期T。
有效质量m=m2+m0，m2为滑块本身质量加上俩砝码质量的和。
（5）再继续两个两个地增加砝码，且滑块和砝码总质量分别记为ｍ３，ｍ４．（6）测量完毕，先取下砝码，弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。
简谐运动 课件
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解析:如图所示,振子在 A、B 间做简谐运动,O 点为平衡位置,C、D 关于 O 点对称。由图可知,当振子远离平衡位置 O 运动时,位移增大,加速度增大, 而速度减小;当振子向平衡位置 O 运动时,位移减小,加速度减小,而速度增 大。所以在简谐运动过程中,速度和加速度的变化趋势总是相反的。选项 A 错误,选项 B 正确。振子由 O 向 B 运动经过 D 点时和由 B 向 O 运动经 过 D 点时,位移相同,速度大小相等,但方向相反,说明位移相同时,速度不一 定相同。选项 C 错误。振子由 B 向 O 运动经过 D 点时和由 O 向 A 运动 经过 C 点时,速度大小相等,方向相同,而位移虽然大小相等,但方向相反,说 明速度相同时,位移不一定相同,选项 D 错误。
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答案:AD 解析:从图象中能看出坐标原点在平衡位置,A 对。横轴是由底片 匀速运动得到的,已经转化为时间轴,小球只在 x 轴上振动,所以 B、C 错。因图象中相邻小球之间所经时间相同,密处说明位置变化慢,D 正 确。
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1.振动图象描述的是振动质点的位移随时间的变化关系,而非质点 运动的轨迹。比如弹簧振子沿一直线做往复运动,其轨迹为一直线,而 它的振动图象却是正弦曲线。
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迁移与应用 1 如图所示,弹簧下端悬挂一钢球,上端固定,它们组 成一个振动的系统,用手把钢球向上托起一段距离,然后释放,钢球便上 下振动起来,若以竖直向下为正方向,下列说法正确的是( )
A.钢球运动所能达到的最低处为平衡位置 B.钢球原来静止时的位置为平衡位置 C.钢球振动到距原静止位置下方 3 cm 处时位移为 3 cm D.钢球振动到距原静止位置上方 2 cm 处时位移为 2 cm
2.1 简谐运动(解析版)
第1节简谐运动一、弹簧振子及其运动1．对于做简谐运动的弹簧振子，下述说法正确的是（）A．振子通过平衡位置时，加速度最大B．振子在最大位移处时，速度最大C．振子在连续两次通过同一位置时，位移相同D．振子连续两次通过同一位置时，动量相同【答案】C【详解】A．振子经过平衡位置时速度最大，加速度是零，A错误；B．振子在最大位移处时速度最小，是零，B错误；C．振子在连续两次经同一位置时，相对于平衡位置的位移相同，C正确；D．动量是矢量，振子连续两次经同一位置时，速度的大小相同，方向相反，则动量大小相同，方向相反，D错误。
故选C。
2．如图所示为一弹簧振子，O为平衡位置，以向右为正方向，则振子在B、C之间振动时（）→位移为正、速度为负A．B O→位移为负、速度为正B．O C→位移为正、速度为负C．C O→位移为负、速度为正D．O B【答案】A【详解】A．速度方向即振子运动方向，则B O→位移向左为负，速度向右为正，A正确；→位移向右为正，速度向右为正，B错误；B．O CC．C O→位移向右为正，速度向左为负，C错误；→位移向左为负，速度向左为负，D错误。
故选A。
D．O B二、简谐运动的x-t图像3．如图所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法正确的是（）A．因为振动图像可由实验直接得到，所以振动图像就是振子实际运动的轨迹B．振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹C．振子在B位置的位移就是曲线BC的长度D．振子运动到B点时的速度方向即该点的切线方向【答案】B【详解】ABC．振动图像表示振子位移随时间的变化规律，并不是振子实际运动的轨迹，故B正确，AC错误；D．B点切线的方向不表示振子运动到B点时的速度方向，故D错误。
故选B。
4．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时为计时起点，其振动的x －t图像如图乙所示，则下列说法正确的是（）A．t4时刻振子在A点B．t2时刻振子在B点C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小【答案】C【详解】AB．振子在A点和B点时位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，运动到B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故AB错误；CD．振子的位移以平衡位置为起点，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故C正确，D错误。
机械振动——简谐运动的基本概念
式中的比例系数k为弹簧的劲度系数（Stiffness），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。
2．动力学方程及其解
根据牛顿第二定律，
f=ma
可得物体的加速度为
对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令
则上动的微分方程。
三、简谐运动的运动学特征：
1．简谐振动的表达式（运动学方程）
简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式，即
这就是简谐运动的运动学方程，式中A和φ是积分常数。
说明：
1）简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。
定义：物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad. s-1或s-1)。
说明：
1）简谐运动的基本特性是它的周期性；
2）周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有圆频率。
3）对于弹簧振子， ， ， 。
4）简谐运动的表达式可以表示为
三、相位(Phase)—反映振动的状态
物体在B、C之间来回往复运动。
结论：物体作简谐运动的条件：
物体的惯性——阻止系统停留在平衡位置
作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
二、弹簧振子的动力学特征：
1．线性回复力
分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为X轴的正方向。由胡克定律可知，物体m(可视为质点)在坐标为x(即相对于O点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为
弹簧振子的简谐运动
弹簧振子的简谐运动弹簧振子是物理学中重要的一个概念，它是指一个质点固定在一根弹簧的一个端点，然后在重力或其他外力的作用下，它能够在一根垂直线上进行来回振动的现象。
弹簧振子的运动遵循简谐运动的规律，而简谐运动是力学中的基本运动之一。
弹簧振子的简谐运动可以通过数学模型进行描述。
首先，我们可以建立一个坐标系，在这个坐标系中，弹簧振子的平衡位置为原点O，向上为正方向。
然后，我们令x表示质点离开平衡位置的位移，设弹簧的劲度系数为k，质点的质量为m。
根据胡克定律，弹簧对质点的恢复力与质点的位移成正比，可以表示为F = -kx，其中负号表示力的方向与位移方向相反。
根据牛顿第二定律，质点所受合外力等于质点的质量乘以加速度，即ma = -kx。
根据简谐运动的定义，加速度与位移有关，可表示为a = -ω²x，其中ω表示角频率。
将上述两式联立，得到质点的运动微分方程：m( d²x/dt² )+ kx = 0。
通过求解这个微分方程，我们可以得到弹簧振子的解析解，进而可以了解其运动特性。
弹簧振子的解析解为：x(t) = A * cos(ωt + Φ)，其中A表示振幅，即质点离开平衡位置的最大位移。
Φ表示相位常数，它决定了弹簧振子的初始相位。
ω表示角频率，它与弹簧的劲度系数k和质点的质量m 有关，具体计算公式为ω = sqrt(k/m)。
从这个解析解中，我们可以得到弹簧振子的一些运动特性。
首先是周期性，弹簧振子的运动是周期性的，即在一定时间内，它能够完成一个完整的振动周期。
这个周期为T = 2π/ω，与振幅A和劲度系数k无关。
其次是频率，频率指的是单位时间内完成的振动次数，可用f = 1/T表示。
频率与角频率之间有简单的联系，即f = ω/2π。
根据这个公式，我们可以得到频率与振幅和劲度系数的关系。
此外，还有相位差的概念，当我们观察两个弹簧振子同时运动时，它们之间可能存在相位差。
相位差可以用相位角来表示，相位角等于两个质点的相位常数之差，即ΔΦ = Φ₁ - Φ₂。
弹簧振子与谐振原理
弹簧振子与谐振原理弹簧振子是一种常见的物理实验装置，它由一个固定在一端的弹簧和一个悬挂在另一端的质点组成。
当质点受到外力作用而偏离平衡位置时，弹簧会产生恢复力，使质点向平衡位置回复，并且由于惯性的作用，质点会超过平衡位置继续运动，形成振动。
弹簧振子的振动过程符合谐振原理，下面将详细介绍弹簧振子的谐振原理。
一、弹簧振子的基本结构弹簧振子由弹簧和质点组成。
弹簧是一种具有弹性的物体，当受到外力拉伸或压缩时，会产生恢复力。
质点是挂在弹簧下端的物体，可以是一个小球或者其他形状的物体。
弹簧的上端固定在一个支架上，下端悬挂着质点。
当质点受到外力偏离平衡位置时，弹簧会产生恢复力，使质点向平衡位置回复，并且由于惯性的作用，质点会超过平衡位置继续运动，形成振动。
二、弹簧振子的谐振原理弹簧振子的振动过程符合谐振原理。
谐振是指在一定条件下，振动系统受到周期性外力作用时，振幅达到最大的状态。
弹簧振子的谐振原理可以通过以下几个方面来解释。
1. 弹簧的恢复力与位移成正比弹簧振子的振动是由弹簧的恢复力驱动的。
根据胡克定律，弹簧的恢复力与弹簧的伸长或压缩量成正比。
当质点偏离平衡位置时，弹簧会产生恢复力，使质点向平衡位置回复。
当质点偏离平衡位置越大，弹簧的伸长或压缩量越大，恢复力也越大。
因此，弹簧振子的恢复力与质点的位移成正比。
2. 质点的惯性使其超过平衡位置继续运动当质点受到外力偏离平衡位置时，弹簧会产生恢复力，使质点向平衡位置回复。
然而，由于质点具有惯性，它会超过平衡位置继续运动。
当质点超过平衡位置时，弹簧的恢复力方向与质点的运动方向相反，使质点减速并逐渐回到平衡位置。
当质点回到平衡位置时，弹簧的恢复力为零，质点的速度最大。
然后，质点又因惯性而继续向相反方向运动，形成来回振动。
3. 弹簧振子的振动频率与弹簧的劲度系数有关弹簧振子的振动频率与弹簧的劲度系数有关。
劲度系数是衡量弹簧的硬度的物理量，它与弹簧的材料和形状有关。
根据振动理论，弹簧振子的振动频率与弹簧的劲度系数成正比。
弹簧振子简谐运动条件
弹簧振子简谐运动条件有质量的弹簧振子的简谐运动是一个经典的物理实验，由$textit{Isaac}$ $textit{Newton}$他的《自然哲学原理》一书中作出解释。
简谐运动是一种周期性，有规律的运动,在每个周期内，它的物理量都会有一种振荡的运动。
一般情况下，简谐运动可以被软件模拟，来测量振子的运动模式。
在有质量的弹簧振子的简谐运动中，给定一些条件和参数，当给定的条件被满足时，就可以产生简谐运动。
一般来说，这些条件有：振子的质量、弹簧的劲度、摩擦系数、质量的位置、应力等等。
第一个条件是关于振子的质量，即 m。
要产生简谐运动，质量 m 不能是零。
如果质量为零，则振子不受力，弹簧不会拉伸，也不会发生简谐运动。
第二个条件是关于弹簧的劲度，即 $k$。
弹簧的劲度越大，质量的运动越快，反之越慢。
由于弹簧的劲度有限，当弹簧的劲度越大时，质量所承受的力也越大，弹簧的拉伸量也越大，此时质量本身也会缓慢收敛，所以弹簧的劲度不能无限大。
第三个条件是关于摩擦系数，即 $zeta$。
摩擦系数对质量的运动有重要的影响。
当摩擦系数 $zeta$大时，质量摩擦力就越大，摩擦力会减缓质量的运动速度，当摩擦系数 $zeta$小时，摩擦力就越小，质量的运动速度就会加快。
第四个条件是关于质量的位置，即 $x$。
改变质量的位置，会改变弹簧的力，这也会影响质量的运动。
当质量的位置为零时，弹簧的力就会减小，这时质量的运动速度也会减慢。
最后，还有一个条件是关于应力。
当我们将外力施加到振子上时，振子会改变位置，弹簧也会拉伸，从而产生一定的力。
当外力施加到振子上时，质量的运动也会受到影响，但是，应力对质量的运动模式不大。
总而言之，要产生简谐运动，我们必须满足以上所有条件。
满足这些条件之后，整个物体就会出现简谐运动现象，有规律的振荡过程。
现在，有质量的弹簧振子的简谐运动已经应用在许多领域，比如天文、声学、电子、机械等，都可以用简谐运动现象来解释一些现象或进行模拟。
力学练习题弹簧振子与简谐运动
力学练习题弹簧振子与简谐运动力学练习题：弹簧振子与简谐运动弹簧振子是力学中常见的简谐振动系统，其运动规律与弹性力和质量有关。
本文将通过一系列力学练习题，深入探讨弹簧振子的相关概念和运动特性。
1. 弹簧振子的基本概念弹簧振子由质量为m的物体固定在一根无质量弹簧的一端而成。
当物体受到外力拉伸或压缩，弹簧产生弹性力使物体进行振动。
振子的自由长度为L0，振子在平衡位置处时，弹簧的长度为L1。
弹性力与弹簧的伸缩量ΔL之间满足胡克定律的关系：F = kΔL，其中k为弹簧的弹性系数。
2. 简谐运动的特点弹簧振子的运动是一种简谐运动，具有以下特点：- 振子的周期T与频率f之间满足T = 1/f，频率的单位是赫兹(Hz)。
- 角频率ω与周期之间有关系ω = 2πf，角频率的单位是弧度/秒(rad/s)。
- 振子的角频率与弹性系数和质量之间有关系：ω = √(k/m)。
- 振子做简谐运动的加速度与位移之间满足a = -ω^2x，其中a为加速度，x为位移。
3. 弹簧振子的力学练习题为了更好地理解弹簧振子和简谐运动，下面给出几个力学练习题：题目一：已知一个质量为2kg的振子，在弹簧振子一侧进行拉伸后，振子以10cm/s的速度在平衡位置处开始运动，求该振子的角频率。
解析：根据已知条件，质量m=2kg，弹簧的劲度系数k未知，振子的速度v = 10cm/s = 0.1m/s。
根据角频率的计算公式，可以得到ω =√(k/m)。
由题目可知，ΔL = 0.1m，而弹性力F = kΔL，由此可以解得k = F/ΔL。
将k代入角频率公式中，即可计算得到振子的角频率。
题目二：一个弹簧振子的固有周期为2s，已知弹簧的劲度系数为80N/m，求该振子的质量。
解析：根据已知条件，振子的周期T = 2s，弹簧的劲度系数k =80N/m。
根据周期和角频率之间的关系T = 1/f，可以求得频率f = 1/T。
再根据角频率与弹性系数和质量之间的关系ω = √(k/m)，可以求得振子的质量。
弹簧振子的谐振简谐运动和周期性振动的原理
弹簧振子的谐振简谐运动和周期性振动的原理谐振是物体在外力作用下发生周期性振动的现象。
而弹簧振子是一种经典的谐振系统，在许多物理领域有广泛的应用。
本文将探讨弹簧振子的谐振简谐运动以及周期性振动的原理。
一、弹簧振子的谐振简谐运动弹簧振子由一个质量为m的物体和一个弹性劲度系数为k的弹簧组成，当物体在弹簧的拉伸或压缩作用下发生振动时，形成了弹簧振子的谐振简谐运动。
弹簧振子的谐振简谐运动满足以下条件：1. 力的方向与位移的方向相同，即弹簧和物体之间的力是恢复力，与物体的位移方向相反。
2. 力的大小与位移呈线性关系，即恢复力的大小正比于物体的位移。
根据胡克定律，弹簧恢复力的大小与物体的位移成正比，即F = -kx，其中F为恢复力，x为位移，k为弹簧的劲度系数。
根据牛顿第二定律，物体受到的合力与物体的加速度成正比，即F= ma，其中F为物体所受合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
将上述两个方程联立可得：ma = -kx，整理得到物体的振动方程为m¨x = -kx，其中¨x表示物体位移的二阶导数。
解以上振动方程可得到物体的位移解为x(t) = A sin(ωt + φ)，其中A 为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
二、周期性振动的原理周期性振动是指物体在一定条件下，周期地重复发生相同的振动过程。
弹簧振子的谐振简谐运动就是一种周期性振动。
周期性振动的原理可用能量转化和损耗的角度来解释。
在弹簧振子的谐振简谐运动过程中，弹簧和物体之间的能量不断地由动能转化为势能，同时由势能转化为动能。
当物体经过平衡位置并完成一次往复振动后，其动能和势能的总能量恢复初始状态。
然而，在实际振动过程中，存在着摩擦阻力等非保守力的损耗，使得物体的振幅逐渐减小，最终停止振动。
这是因为非保守力将机械能耗散为热能和其他形式的能量，从而导致周期性振动的停止。
为了维持周期性振动的稳定，需要外力对系统进行周期性的驱动，这个外力称为驱动力。
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2π
改变m1，测出相应的T，根据T与m的关系，求出 k和 m0
实验步骤
1. 调节气垫导轨和计时器，调到正常工作状态。 2. 令滑块处于平衡位置，把光电门放在当光板A-A边上，测量振动周期TA。将 滑块拉至某位置，并使振幅小于挡板的宽度，然后让 滑块振动。滑块A-A 边二次挡光时，记录TA的值。 A 5位有效数字，共测10次。 光 电 门 3. 再测TB10次. TA和TB的平 值 振动周期T， 的有效 量 m=m1+m0 的周期T， 的有效 4. 在滑块上 块 ，再 量 m=m2+m0。m2 滑块 5. 再 m=m3+m0和m=m4+m0测量 ， 滑块， 的实 量 6. 测量 7. 在 平上 挡光板 A
当弹簧处于平衡位置时，每个滑块 的伸长量为x0，当滑块距平衡位置 x时（图1b），若两个弹簧的弹性 系数分别为k1、k2，则滑块受到的 弹性力 为 –k1(x+x0)-k2(x-x0)。 图1
o (b)
x
x x
运动方程：
− k1 ( x + x0 ) − k 2 ( x − x0 ) = m&& x
令
k=2k1 (k1=k2 )，则方程的解为：
x = A sin(ω0t + ϕ 0 )
ω0 =
k m
为简谐振动。 式中：A——振幅
ϕ 0 ——初相位
ω0 ——系统的固有频率。
m ——系统的有效质量 m0——弹簧的有效质量 m1——滑块和砝码的质量 T——振动周期 m=m1+m0
m1 + m0 T= = 2π ω0 k
步骤2和3测量 的 量。 的周期T。 ，再 有效 气 量 ， 。
电
，
器。
思考题
仔细观察，可发现滑块的振幅是不断减小的，为什么可认为滑块 做简谐振动？实验中应如何尽量保证滑块做简谐振动？
习题
1. 整理实验数据，用逐差法求弹簧的倔强系数 k 和有效质量m0。 2. 弹簧的实际质量与有效质量比，哪一个大？求出二者之比。 3. 用作图法处理实验数据，并计算出弹簧的倔强系数 k 和有效质 量m0。
弹簧振子特征，测出弹簧振子的振动周期 2 测量弹簧的倔强系数和等效质量
实验仪器
气垫导轨、气源、数字毫秒计、光电门，滑块、条形挡光片、弹簧、砝码
实验原理
在水平的气垫导轨上放置一滑块， 用两个弹簧分别将滑块和气垫导轨
(a)
x0
两端连接起来，如图1（a）所示。
o X