概率论第一篇1.3节

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概率论与数理统计第一章 1.3等可能概型

C1C1 + C1C1 = 9⋅ 3 + 3⋅ 9 = 54 . 9 3 3 9
概率论
54 3 P(C) = 2 = . 所以 8 12 (2) 采取不放回抽样.
从箱子中任取两件产品,每次取一件,取法总数为12⋅ 11 . ⋅
⋅ 即样本空间中所含有的基本事件总数为 12⋅ 11 . 1 1 事件A 事件中所含有的基本事件数为 C9C8 = 9⋅ 8 . 9⋅ 8 6 = . 所以 P( A) = 12⋅ 11 11 事件B 事件中所含有的基本事件数为 C1C1 = 9⋅ 3 . 9 3 9⋅ 3 9 所以 P( B) = = . 12⋅ 11 44
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
我们用 i 表示取到 i 号球，号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
如i =2
2
S={1,2,…,10} ,
且每个样本点(或者说基本且每个样本点或者说基本事件)出现的可能性相同事件出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验为古称这样一类随机试验为古典概型. 典概型
乘法原理
概率论
完成某件事情需先后分成m个步骤做第一步有完成某件事情需先后分成个步骤,做第一步有 1 个步骤做第一步有n 种方法,第二步有种方法,依次类推第二步有n 依次类推,第步有步有n 种方法第二步有 2种方法依次类推第m步有 m种方特点是各个步骤连续完成. 法,特点是各个步骤连续完成特点是各个步骤连续完成则完成这件事共有N=n1×n2×…×nm种不同的方法则完成这件事共有 × 种不同的方法,
即样本空间中所含的基本事件数为122 . C1C1 = 92 . 事件A 事件中所含有的基本事件数为 9 9 92 9 = 2 = . 所以 P( A) 12 16 C1C1 = 9⋅ 3 . 事件B 事件中所含有的基本事件数为 9 3 9⋅ 3 3 所以 P( B) = 2 = . 16 12 事件C 事件中所含有的基本事件数为

概率论-第一章1.3-频率与概率 (1)

这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带
有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。
问题:对于一个给定的随机事件,衡量它发生可能性大小的数量指标——概率,是如何确定的？
历史上概率的三次定义
① 古典定义 ② 统计定义 ③ 公理化定义
概率的最初定义
基于频率的定义
1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
由概率的公理化定义可推得概率的下列性质：性质1. 不可能事件的概率为零, 即
P( ) 0
证
令 An (n 1,2,) 则 Ai
i 1

且 Ai A j
于是由可列可加性，有
P( ) P( Ai ) P( Ai ) P( )
i 1 i 1 i 1
( B A) 及 A( B A)
B
知 P( B) P( B A) P( A) 移项后即得
灯泡寿命
但是，从频率的稳定性与频率的性质得得到启发，可以给出度量事件发生可能性大小的概率的定义。
频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的. 因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似.
A B
AB=
集合A与B的差集
集合A与B没有公共元素
事件A发生而事件B不发生
事件A与B互不相容
1.3 频率与概率
1. 理解事件频率的概念，了解概率的定义； 2. 熟练掌握概率的性质；
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率. 我们把衡量事件发生可能性大小的数量指标称作事件的概率.事件A的概率用P(A)来表示.

概率论第三讲

P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8
P ( A B ) = P( A ∪ B) = 0.2
陕西科技大学
3 September 2007
第一章随机事件与概率
第11页
课后同学问：上例中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？若是的话, 则应有 P ( A1 A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) 而现在题中并未给出这一条件. 在§1.5中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件A1，A2 相互独立.
3 September 2007
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第一章随机事件与概率
第16页
思考题
口袋中有2个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球. 求第k 次取到黑球的概率.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章随机事件与概率
第17页
例1.3.4
一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率. 解：用对立事件进行计算, 记 A=“至少出现一次6点”，则所求概率为
3 September 2007
陕西科技大学
第一章随机事件与概率
第20页
利用对称性
甲掷硬币n+1次，乙掷n次. (习题1.3第10题) 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率. 解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数. 因为 P(甲正>乙正)= P(n+1-甲反> n-乙反) = P(甲反-1<乙反)= P(甲反≤乙反) (对称性) = 1P(甲正>乙正) 所以 2P(甲正>乙正)=1, 由此得 P(甲正>乙正)=1/2

第一章概率论的基本概念

例1.６.1 在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求 ①两次都取到次品的概率； ②第二次才取到次品的概率； ③已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。
解：设A={第一次取到次品}，B={第二次取到次品}，
（1）P（AB）=(3×2)/(10×9) =1/15 （2）P（ A B ）=(7×3)/(10 × 9)=7/30 （3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)= (1/15)/(3/10)
第1.6节条件概率、全概率公式及贝叶斯公式
一、条件概率 1、定义对于两个事件A、B，若P（A）＞0，则称P（B|A）=P（AB）/P（A）为事件A出现的条件下，事件B出现的条件概率。注意:区别P（B|A）与P（AB）. 例有10个人,其中色盲者3人,从这10人中每次任取一人,共取两次。设A＝｛第一次取出色盲｝Ｂ＝｛第二次取出色盲｝则 P(B|A)＝２/９Ｐ(AＢ)=1/15 P(Ａ)=3/10
1.5.2. 设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A
与B 都不发生的概率为 0.15 ,求 A发生B不发生的概率；B 发生 A不发生的概率及P(A+B). 解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1，P（ B ）=0.15， A
则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.5 P（B-A）=P（B）-P（AB）
解：设A = { 取到的两个都是次品}，B={取到的两个中正、次品各一个}, C={取到的两个中至少有一个正品}. （1）基本事件总数为62，有利于事件A的基本事件数为22，所以P（A）=4/36=1/9 （2）有利于事件B的基本事件数为4×2+2×4=16，所以P（B）=16/36=4/9 （3）有利于事件C的基本事件数为62-2×2=32， P（C）=32/36=8/9 注意①若改为无放回地抽取两次呢? ②若改为一次抽取两个呢？

(完整版)《概率论与数理统计》讲义

第一章随机事件和概率第一节基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

概率论与数理统计 1-3

3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变成了新的样本空间 , 于是有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合格品的概率。
注通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有

P Bi | A P(Bi | A)
解记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)

90 100
,
P(
A2
|
A1 )

89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)

概率论lecture1.3-1.4

概率论lecture1.3-1.4第1章 1.3-1.4主要讲解内容：概率的概念、古典概率的运算本节考研大纲：理解概率的概念、掌握概率的基本性质、会计算古典概率。

讲课过程（80分钟）：二、教学过程与教学组织设计本节课内容讲解及时间分配（80分钟）问题：本课程的对象是概率，那么概率是什么，是如何定义的呢？关于概率有不同的定义。

1.笼统定义：（5分钟）概率是随机事件发生大小的可能性的数字表征，即：概率是事件的函数。

复习：什么是函数？函数是数到数的映射（mapping ）随机事件的概率是集合到数的映射。

【0，1】2．概率的统计定义（频率派）（30分钟）A ：独立重复做n 次试验，若其中事件A 发生了k 次，事件A 发生的次数k 称为事件A 发生的频数。

比值k/n 称为事件A 发生的频率，并记成fn(A).当n → 时，fn 就会在某个值p 附近晃动，我们把这个值成为事件A 的概率，记为P(A)=p.概率的公理化定义：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A 的概率，如果集合函数P(A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A ，有01)(≤≤A p（2）规范性：对于必然事件S ，有P(S)=1（3）可列可加性：若A1,A2,…,Ak 两两互不相容，则P （A j k i 1=）=∑=ki i A p 1)( 则：P ：S —>【0.1】称为S 上的一个概率。

概率性质性质1：P(φ)=0 性质2（有限可加性）若A1,A2,…,An 是两两互不相容的事件，则有P （A j ki 1=）= ∑=k i i A p 1)(性质3：设A,B 是两个事件，若A ?B,则有P(B-A)=P(B)-P(A)，P(B)≥p(A)性质4：对于任一事件A ，P(A)≤1性质5：（逆事件的概率）对任一事件A ，有P(A -)=1-P(A)性质6：（加法公式）对任意两事件A ，B 有P(A B)=P(A)+P(B)-p(AB)3.主观概率定义：（5分钟）对有的自然状态无法重复试验的合理的信念的测度。

概率论第一章PPT课件

2021/3/24
-
10
费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜，那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲甲甲甲乙甲甲乙甲甲乙甲甲乙甲甲甲乙甲甲乙
甲甲乙乙甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙甲甲乙甲乙甲
甲乙乙乙乙甲乙乙乙乙甲乙乙乙乙甲乙乙乙乙
2021/3/24
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8
直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生，即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机试验。
2021/3/24
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§1.1.2 样本空间随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本结果
2021/3/24
样本点
-
21
特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性，随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确定，二是结果不确定。

概率论与数理统计1.3 概率的古典定义

试验
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数
样本空间
Ω ={1，2，3，4，5，6} 事件A
事件A的概率
n=6
={4，6} m=2 Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”
m 2 1 P( A) n 6 3
不是古典概型的例子 1.掷两枚硬币{全H,一个H一个T,全T},则 n=3,A={掷两次出现至少一次H},P(A)=? 2/3?显然不对,原因是基本事件不是等概率的. 2.掷2个骰子出现的点数之和{2,3,…,12},不是等概率的.
(2,6),(3,5),(4, 4),(6, 2),(5,3)
所以
11 5 P( A) , P(B) 36 36
3. 包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行，求甲与乙相邻的概率。若这10个人随机地排成一圈，又如何呢？
解总的基本事件数为
10!
排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为
a a a b 1 1 Ca b1 Ca b1Ca Cb1 C1
因此，
a Ca b 1 b p a Ca b a b
1.从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四只，问能凑成两双的概率是多少？解设事件A =“能凑成两双鞋”, 总的基本事件数： C
4 10
有利事件数：C
b( a b 1)! b p (a b)! ab
解法2：
a N Ca b , 不区分同色球，所有的排法共有再将所有的位置分成两类：第k个位置和剩余的（a+b-1) 个位置，放球顺序：（1）先放置第k个位置:从一个位置上挑一个位置,在b个黑球中取一个,当然有b种方法,由于不区分 ,除去b,所以还是1. （2）再放置剩余的（a+b-1),从中挑a个位置,放进a个白球,在剩余的b-1个位置上放进b-1个黑球.

概率论第一章ppt课件

A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）：即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝。
3
第一章概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
4
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结果在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。
概率论与数理统计
1
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。

§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式

12
P ( AB ) ≤ 0.6 .
可见，可见，当 P ( B ) = 0.6 时上述不等式中的取到它的最大值，＂＝＂号成立，此时 P ( AB ) 取到它的最大值，＂＝＂号成立，号成立最大值是0.6．最大值是0.6． 0.6 另外，另外，当 B ⊂ A 时，上述不等式中的 “＝”号也成立，所以 ⊂ A 也是 P ( AB ) 号也成立， B 取到它的最大值0.6的一个充分条件．取到它的最大值0.6的一个充分条件． 0.6的一个充分条件
) +L
= ∑ P ( Ai ) .
i =1
n
性质1.1 性质1.1
8
性质1.3 对立事件的概率公式) 性质1.3 (对立事件的概率公式) 对任何事件A ，有
P ( A) = 1 − P A .
证注意，A与 A 互不相容，且 A ∪ A = Ω , 注意，互不相容，
概率的有限可加性
( )
1 = P ( Ω ) = P A ∪ A = P ( A) + P A .
2
从对应关系来说，从对应关系来说，P : F → R 是一个映射函数就是一种特殊的映射）．（函数就是一种特殊的映射）．熟知，只有当定义域和对应法则确定之后，熟知，只有当定义域和对应法则确定之后，一个映射才算确定了．在这里，映射P 一个映射才算确定了．在这里，映射P的定义域试问映射P的对应法则是什么? 是 F . 试问映射P的对应法则是什么? 映射P没有通常的函数解析式，映射P没有通常的函数解析式， 1933年前苏联数学家年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫 1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫解决了映射P的对应法则问题，解决了映射P的对应法则问题，这在概率论发展史具有重大意义．概率论发展史具有重大意义．

概率论第一章基本概念

第一章基本概念
绪言 §1.1 随机试验（ Random experiment）
§1.2 随机事件（ Random Events ） §1.3 事件的概率（ Probability ）
小结课程要求习题选讲本章测验
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第一章基本概念
本章主要讲述随机试验，样本空间，随机事件，事件间的关系与运算，频率，概率的统计定义，概率的性质，古典概型。
E7：对目标进行射击，记录着弹点的位臵。
7 {( x, y ) | x, y D}
E8：掷两次骰子作为一次试验,观察两次试验结果。
第一次有6个可能的结果第二次也有6个可能的结果
将两次试验结果排序, 则共有36种可能的结果:
8 {( x , y ) | x , y 1,2,3,4,5,6}
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具体例子
１、进货问题某商店某种商品销售的产品数量是不定的，该店需要在月初进货，货多了有积压损失，货少了又有缺货损失，那么每月进多少货合适？２、服务台设臵问题
一个随机服务系统，每天到来的顾客及服务时间是不确定的，那么需要设臵多少服务台的规模才能使顾客等候不太久？服务台的工作人员有合适的忙闲程度？３、保险问题
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何为随机现象？
人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类： 1、确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
2、非确性的现象（偶然现象） randomly, chance。
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。上抛一枚硬币，出现正面向上；某商店某天某商品的销售量为50件；测试某厂某元件的寿命为1000小时（或尺寸大小）。

概率论第一章123节(频率与概率)

称事件A包含于B或B包含A.
文氏图(Venn图)
A与B相等，记为A=B 例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标，
记 A=―长度不合格”, B=―产品不合格”,则
例2: 掷骰子,A=―出现偶数点”, B=―点数能被2整除” 则 A=B。
②事件的和、并(加法)
A和B两事件中至少有一事件发生的事件
二、随机事件与样本空间
Ⅰ. 样本空间
定义1
随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E
的样本空间,记为S 或Ω ，样本空间的元素,即E的每个结果，称为样本点, 例如上节引例中：
有限个样本点
={ H,T }
={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
={1,2,3,4,5,6}
={出现偶数点} ={出现奇数点} ={出现的点数 >4} ={出现的点数 5}
解
思考题：
1873年，英国学者沈克士公布了一个π的数值它的数目在小数点后一共有707 位之多! 但是,经过了几十年后, 曼彻斯特的费树生对它产生了怀疑原因是他统计了π的608 位小数，得到下面的表:
数字
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
概率论与数理统计
聪明在于勤奋,
天才在于积累.
任课教师：索新丽电子邮件: jenny_suo@
绪言
自然界和社会上发生的现象是多种多样的： 1．确定性现象：在一定条件下必然发生。 2．随机(不确定)现象：在个别试验中其结果呈现出
不确定性，且在大量重复试验中其结果又具有统计规
律性。
的频繁程度频率稳定值
事化定义
二、概率（概率的公理化定义）
1.定义2 设 E, S，对于E的每一事件A，赋予一实数，如果满足以下三个公理： ① 非负性：对于每一个事件 A，有概率三公理 ② 归一性： ③ 可列可加性：设则为事件 A 的概率。两两互不相容 ≥0

概率论与数理统计第1.3节条件概率及独立性

练习一个家庭中有若干个小孩，假定生
男生女是等可能的，令
A =“一个家庭中有男孩又有女孩”
B =“一个家庭最多有一个女孩”
（1）家庭中有两个小孩，（2）家庭中有三个小孩。
对上述2种情况，讨论事件
A, B 的独立性。
(1) {( B, B),( B, G),(G, B),(G, G)}
(2) {( B, B, B),( B, B, G),( B, G, B),(G, B, B), (G, G, B),(G, B, G),( B, G, G),(G, G, G)}
今任选一个袋子然后再从选到的袋子中任取一个球问取到红球的概率为多上述分析的实质是把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件再将概率的加法公式和乘法定理结合起来这就产生了全概率公式
课堂练习: 化简事件
( AB
AC
C ) AC
解原式 AB C
AC ABC AC
( A B)C
AC BC AC
P ( AB ) 1 6 P( A | B) 3 P( B) 3 6 2)从加入条件后改变了的情况去算
1
掷骰子
1 P(A|B）= 3
B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数
问题 : 分别考虑
P ( A)与P A B 哪个大？
A B, B A, AB
条件概率是概率(P30)
首先，不难验证条三条公理：
(1) 非负性 P( A | B) 0 (2) 正规性 P( | B) 1
(3) 完全可加性若A1, A2 ,, An ,两两互斥， P( B) 0, 则
由此得
P( An | B) P( An | B)

概率论第一章概率论简介

3、随机变量函数的数字特征
设随机变量X和Y的函数关系为：Y=g(X)
E[Y ]
ypY ( y)dy
g(x) p(x)dx E[g(x)]
D[Y ] E{[g(X ) E(g(X ))]2}
[g
(x)
mY
]2
p(x)dx
D[g
(x)]
即计算Y的数学期望、方差不需要pY(y)，只要知道px(x)即可。
两个随机变量不相关，则它们不一定互相独立。
正交
若随机变量X、Y的相关矩为零，即
RXY 0
则称X、Y互相正交。
对于互相正交的随机变量，若其中一个随机变量的数学期望为0，则二者一定不相关。
XY RXY E[ X ]E[Y ] 0
§ 1.5 随机变量的函数
设有一确定的实函数y=g(x)及随机变量X，定义一个新的随机变量Y=g(X)，称随机变量Y是随机变量X的函数。
假定一个y值有两个x值与之对应，则有
设y=g(x)的反函数为f1(y),f2(y)，根据等概率原理有：
pY ( y)dy pX (x1)dx1 pX (x2 )dx2
于是：pY ( y)
pX (x1) •
dx1 dy
pX (x2 ) •
dx2 dy
pX ( f1( y))• f1'( y) pX ( f2 ( y))• f2 '( y)
(
x,
y)dxdy
二维随机变量X和Y的n+k阶联合中心矩为：
nk E{(X E[X ])n (Y E[Y ])k}
(x
E[
X
])n
(
y
E[Y
])k
pXY
(x,

概率论与数理统计第1.3节

(365)r
美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.
用上面的公式可以计算此事出现的概率为
P(A)=1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为 0.476.
解方法1 把a+b个球编上1至a+b号，将球一只一只取出后排成一排，考虑取球的先后顺序，因此共有 (a+b)!种取法，由球的均匀性知每种取法机会都相同，故属于古典概型，A发生可以先从a个红球中任取一个放在第k个位置上，然后将剩下的a+b+1 个球随意排在另外a+b+1个位置上，
共有 Ca1(a b 1)! 种排法，故
（1）不放回地从中任取一件，共取3次，求取到3 件次品的概率；
（2）每次从中任取一件，有放回地取3次，求取到 3件次品的概率；
（3）从中任取3件，求至少取得1件次品的概率。
例2 已知10件产品中有7件正品，3件次品。（1）不放回地从中任取一件，共取3次，求取到3 件次品的概率；解（1）设A={取到3件次品}
由于此试验是不放回抽取3次，所以由乘法原理 3次取产品共有10×9×8=720种不同取法，
而3次取3件次品共有3×2×1=6种不同取法，所以
P( A) 6 1 0.0083 720 120
例2 已知10件产品中有7件正品，3件次品。（2）每次从中任取一件，有放回地取3次，求取到 3件次品的概率；解（2）设B={取到3件次品}
（1）事件A包含的基本事件个数是3！个，所以
P( A)
3! 33
2 9

2024年余丙森概率论辅导讲义

2024年余丙森概率论辅导讲义第一节：概率论基础1.1 概率论的起源和发展概率论是研究随机现象的数学分支，起源于古代赌博和游戏。

随着时间的推移，概率论逐渐发展成为一门独立的学科，并在各个领域中得到广泛应用。

1.2 概率的定义和性质概率是描述某个事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的一个实数表示。

概率具有可加性、非负性、规范性等基本性质。

1.3 随机变量与概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它是对随机现象的数学建模。

概率分布描述了随机变量的取值及其对应的概率。

1.4 条件概率与独立性条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

独立性是指两个事件的发生与否互不影响。

1.5 期望与方差期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。

方差是随机变量偏离其期望值的程度的度量。

第二节：概率分布2.1 离散型随机变量与概率分布离散型随机变量只能取有限或可数个数值，其概率分布由概率质量函数表示，例如伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

2.2 连续型随机变量与概率密度函数连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布由概率密度函数表示，例如均匀分布、正态分布、指数分布等。

2.3 两个重要的分布：正态分布和泊松分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，具有对称性和稳定性，广泛应用于自然科学和社会科学领域。

泊松分布用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数。

第三节：随机变量的特征函数和大数定律3.1 随机变量的特征函数特征函数是随机变量的一个重要特征，通过特征函数可以唯一确定随机变量的分布。

3.2 大数定律大数定律是概率论中的重要定理，描述了随机事件重复进行时，频率逐渐趋近于概率的现象。

第四节：中心极限定理与统计推断4.1 中心极限定理中心极限定理是概率论中的核心定理之一，描述了大量独立随机变量的和的分布近似于正态分布的现象。

4.2 统计推断统计推断是利用样本信息对总体进行推断和决策的方法，包括参数估计和假设检验两个方面。