概率标准化作业-4答案
概率与数理统计标准化作业
普通高等教育“十五”国家级规划教材随机数学标准化作业吉林大学公共数学中心2006. 8第一次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．已知事件A 和B 满足()()P AB P AB =，且()0.4P A =，则()P B = 0.6 ． 2．在书架上任意放上20本不同的书，其中指定的两本书放在首末的概率是 ． 3．已知1()4P A =，1(|)3P B A =，1(|)2P A B =，则()P A B = ．4．两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率是19，且A 发生B 不发生和A 不发生B发生的概率相等，则()P A = ．5．在4重伯努利试验中，已知事件A 至少出现一次的概率为0.5，则在一次试验中A 出现的概率为 ．二、选择题1．下列等式不成立的是（ ） （A ）A AB AB = ． （B ）A B AB -=． （C ）()()AB AB φ=．（D ）()A B B A -= ．2．从0，1，2，…，9这十个数字中任意取出4个，则能排成一个四位偶数的概率是（ ）（A ）4190． （B ）4090． （C ）3690． （D ）3090． 3．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是（ ）（A ）1621． （B ）1421． （C ）1321． （D ）1721． 4．设有4张卡片分别标以数字1，2，3，4，今任取一张；设事件A 为取到1或2，事件B 为取到1或3，则事件A 与B 是（ ）（A ）互不相容． （B ）互为对立． （C ）相互独立． （D ）互相包含．三、计算题1．将n只球随机地放入N()n N≤个盒子中，设每个盒子都可以容纳n只球，求下列事件的概率：（1）每个盒子最多有一只球；（2）恰有()m m n≤只球放入某一个指定的盒子中；（3）n只球全部都放入某一个盒子中．2．三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为111,,534，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？3．两封信随机投入4个邮筒，求前两个邮筒没有信及第一个邮筒内只有一封信的概率．4．某商店出售的灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂产品的次品率为5%，一位顾客随机地取出一个灯泡，求：（1）取出的是合格品的概率；（2）已知取出的是合格品，问取出的是甲厂生产的概率为多少？5．在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件产品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品．四、证明题1．设0()1,0()1,(|)(|)1<<<<+=，证明事件A与B相互独立．P A P B P A B P A B2．已知任意事件123,,,A A A A 满足()1,2,3i A A i ⊆=，证明123()()()()2P A P A P A P A ≥++-．第二次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格产品的概率为()11,2,31i p i i ==+，X 表示3个零件中合格的个数，则{2}P X == ．2．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件12X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭出现的次数，则{2}P Y == ．3．设随机变量,X Y 服从同一分布，X 的概率密度函数为23,02,()80,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它, 设{}A X a =>与{}B Y a =>相互独立，且3{}4P A B =，则a = ． 4．设随机变量X 服从二项分布(2,)B p ，随机变量Y 服从二项分布(3,)B p ，若5{1}9P X ≥=，则{1}P Y ≥= ．5．设随机变量X 的概率分布为则，2Y X =-的概率分布为 ，2Z X =的概率分布为 ．二、选择题1．设1()F x 和2()F x 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）（A ）32,55a b ==-．（B ）22,33a b ==-．（C ）12,23a b ==．（D ）13,22a b ==-．0,0,(),0,1,,x F x kx b x x ππ<⎧⎪=+≤<⎨⎪≥⎩则参数 k 和b 分别为（ ）（A ）10,k b π==． （B ）1,0k b π==．（C ）1,02k b π==．（D ）10,2k b π==． 3．设随机变量()2~,X N μσ，则随着2σ的增大，概率{||0}P X μ-<（ ） （A ）单调增大． （B ）单调减少． （C ）保持不变．（D ）增减性不定．4．设随机变量X 的概率密度函数为34,01,()0,,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它 则使{}{}P X a P X a >=<成立的常数a =（ ）（A（B ）12．（C）1． （D．5．设随机变量()~0,1,21X N Y X =+，则Y 服从（ ） （A ）(1,4)N ． （B ）(0,1)N ． （C ）(1,1)N ． （D ）．(1,2)N ．三、计算题1．一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取得正品为止．用X 表示取到的次品个数，写出X 的概率分布．,01,()(2),12,0,,x x f x k x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求：（1）k 的值；（2）X 的分布函数．3．设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，求：{23},{||2}P X P X <<>，{||3}P X <．0,,()arcsin ,,(0)1,,x a x F x A B a x a a a x a ≤-⎧⎪⎪=+-<<>⎨⎪≥⎪⎩求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的概率．（3）X 的概率密度函数．5．已知随机变量X 的概率密度为e ,0,()0,0,x x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 求随机变量2Y X =的概率密度函数．6．在电压不超过200V 、在200V 和240V 之间、超过240V 三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001、0.2，并假设电源电压2~(220,25)X N ，求：（1）电子元件损坏的概率α；（2）已知电子元件损坏，电压在200V 和240V 之间的概率β．四、证明题设随机变量X服从参数为12θ=的指数分布，证明：21e XY-=-服从[0,1]上的均匀分布．第三次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．若二维随机变量(,)X Y 在区域222{(,)|}x y x y R +≤上服从均匀分布，则(,)X Y 的概率密度函数为 ．2．设随机变量X 与Y 相互独立，具有相同的分布律，则max{,}X Y 的分布律为 ．3．设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为则（1）关于X 的边缘分布律为 ；（2）关于Y 的边缘分布律为 ．4．设随机变量X 和Y 相互独立，X 在区间(0,2)上服从均匀分布，Y 服从参数为1θ=的指数分布，则概率{1}P X Y +>= ．5．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 2(3),01,02,(,)0,k x xy x y f x y ⎧+<<<<=⎨⎩其它,则k = ，()X f x = ，()Y f y = ．二、选择题1．设二维随机变量(,)X Y 在平面区域G 上服从均匀分布，其中G 是由x 轴，y 轴以及直线21y x =+所围成的三角形域，则(,)X Y 的关于X 的边缘概率密度为（ ）（A ）．182,0,()20,X x x f x ⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩其它.（B ）．184,0,()20,X x x f x ⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩其它.（C ）142,0,()20,X x x f x ⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩其它.（D ）144,0,()20,X x x f x ⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩其它. 2．设平面区域G 是由x 轴，y 轴以及直线12yx +=所围成的三角形域，二维随机变量(,)X Y 在G 上服从均匀分布，则|(|)X Y f x y =（ ）(02)y <<（A ）|2,01,22(|)0,X Y y x yf x y ⎧<<-⎪-=⎨⎪⎩其它. （B ）|2,01,12(|)0,X Y y x yf x y ⎧<<-⎪-=⎨⎪⎩其它. （C ）|1,01,22(|)0,X Y y x yf x y ⎧<<-⎪-=⎨⎪⎩其它. （D ）|1,01,12(|)0,X Y y x yf x y ⎧<<-⎪-=⎨⎪⎩其它. 3．设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)arctan arctan 222y F x y A x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则常数A 和B 的值依次为（ ）（A ）22ππ和． （B ）14ππ和． （C ）212ππ和． （D ）12ππ和．4．设1X 和2X 是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为1()f x 和2()f x ，分布函数分别为1()F x 和2()F x ，则下列说法正确的是（ ）（A ）12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度． （B ）12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度． （C ）12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数． （D ）12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数．三、计算题1．设随机变量X 在1，2，3，4四个数字中等可能取值，随机变量Y 在1~X 中等可能地取一整数值，求(,)X Y 的概率分布，并判断X 和Y 是否独立．2．已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)ke ,0,0,(,)0,x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它. （1）求系数k ；（2）求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度；（3）判断X 和Y 是否相互独立．3．已知随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,)N σ，求常数R ，使得概率}0.5P R =．4．已知随机变量X 和Y 相互独立，其概率密度分别为1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其它.，e ,0,()0,y Y y f y -⎧>=⎨≤⎩y 0.求Z X Y =+的概率密度．第四次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．设随机变量X 的分布律为则()E X = ，()E X = ，(35)E X += ．2．设随机变量X 和Y 相互独立，且21()D X σ=和22()D Y σ=都存在，则(23)D X Y -= ．3．设随机变量X 的概率密度为1cos ,0,()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 对X 独立重复地观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，则2()E Y = ． 4．设随机变量~(0,1),~(4)X N Y π，并且X 与Y 的相关系数为0.5，则有(32)D X Y -= ．5．对一批圆木的直径进行测量，设其服从[,]a b 上的均匀分布，则圆木截面面积的数学期望为 ．6．设随机变量X 在[1,2]-上服从均匀分布，设随机变量1,0,0,0,1,0,X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则()D Y = ．7．设X 服从[1,1]-上的均匀分布，则4()E X = ，3()D X = ． 二、选择题1．设X 是一随机变量，且2(),()E X D X μσ==（,0μσ>为常数），则对于任意常数C ,必有（ ）（A ）222()()E X C E X C ⎡⎤-=-⎣⎦． （B ）22()()E X C E X μ⎡⎤⎡⎤-=-⎣⎦⎣⎦． （C ）22()()E X C E X μ⎡⎤⎡⎤-<-⎣⎦⎣⎦．（D ）22()()E X C E X μ⎡⎤⎡⎤-≥-⎣⎦⎣⎦．2．设()2D X =，则(32)D X -=（ ） （A ）16 ．（B ）18．（C ）20． （D ）8．3．对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量X 和Y ，如果()()()E XY E X E Y =，则有（ ）（A ）()()()D XY D X D Y =． （B ）()()()D X Y D X D Y +=+．（C ）X 和Y 相互独立．（D ）X 和Y 不相互独立．4．设2(),()0E X D X μσ==>，则为使()0,()1E a bX D a bX +=+=，则a 和b 分别是（ ）（A ）1,a b μσσ=-=． （B ）1,a b μσσ=-=． （C ）,a b μσ=-=．（D ）1,a b μσ==．三、计算题1．设随机变量X 的概率密度为,02,(),24,0,ax x f x cx b x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其它.已知3()2,{13}4E X P X =<<=，求,,a b c 的值．1(),02,02,(,)80,,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 求(),(),cov(,),XY E X E Y X Y ρ和()D X Y +．0,1,()arcsin ,11,1,1,x F x a b x x x <-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥⎩试确定a 和b ，并求()E X 、()D X ．4．在数轴上的区间[0,]a 内任意独立地选取两点M 与N ，求线段MN 长度的数学期望．5．一民航送客车载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是否下车相互独立，求停车次数X 的数学期望．6．假设由自动流水线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布(,1)N μ，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品；销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知销售一个零件的利润T （元）与零件内径X 的关系为1,10,20,1012,5,12,X T X X -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩．问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大．第五次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式，有{||6}P X Y -≥≤ ．2．在每次试验中，事件A 发生的可能性是0.5，则1000次独立试验中，事件A 发生的次数在400次到600次之间的概率≥ ．二、选择题1．一射击运动员在一次射击中的环数X 的概率分布如下：则在100（A ）0.8233．（B ）0.8230．（C ）0.8228．（D ）0.8234．2．设随机变量12,,,,n X X X 相互独立，则根据列维—林德伯格中心极限定理，当n 定充分大时，1n X X X +++ 近似服从正态分布，只要(1,2,)i X i = 满足条件（ ）（A ）具有相同的数学期望和方差． （B ）服从同一离散型分布． （C ）服从同一连续型分布．（D ）服从同一指数分布．三、计算题1．某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X 的概率分布；（2）利用德莫佛—拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值．2．设有同类仪器1000台，各仪器的工作是相互独立的，每台仪器发生故障的概率都是0.01，假定一台仪器的故障由1名维修工人来排除，问至少需要配备多少名维修工人，才能保证仪器发生故障但不能及时排除的概率小于0.01？3．设各零件的重量都是随机变量，且相互独立，服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg．问5000只零件的总重量超过2500kg的概率是多少？第六次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．已知总体X 的样本值如下表：表中频i i i ，本方差2s = ，样本标准差s = ．2．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，记随机变量221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则当a = ，b = 时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为．3．设总体12~(,),,,,n X B m p X X X 是来自总体X 的样本，样本均值为X ，则()E X = ，()D X ＝ ．4．该总体~(0,4)X N ，从总体X 中抽取样本1210,,,X X X从 分布．5．设~(,),1,2,,1i X N i n μσ2=+ ，是相互独立的，记221111,(),1n n n i n i n i i X X S X X n n ====--∑∑则~Y ．6．设总体X 的概率密度为e ,0,()0,0,x x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，则12,,,n X X X 的联合概率密度12(,,,)n f x x x = ．二、选择题1．设总体12~(,),,,,n X N X X X μσ2 是总体X 的样本，X 为样本均值，记()()()()222212112222341111,,111,,1nniii i n n i i i i S X X S X X n n S X S X n n μμ=====-=--=-=--∑∑∑∑则下列随机变量中服从自由度为1n -的t 分布的是（ ）（A（B． （C． （D．2．设总体212~(,),,,n X N X X X μσ 是来自总体X 的简单随机样本，则0.025P u ⎧⎫⎪<=⎬⎪⎭（ ） （A ）0.025．（B ）0.975．（C ）0.95．（D ）0.05．3．设随机变量21~()(1),X t n n Y X >=，则（ ） （A ）2~()Y n χ． （B ）2~(1)Y n χ-． （C ）~(1,)Y F n ． （D ）~(,1)Y F n ． 4．设~(10)X t ，若{(10) 1.8125}0.05P t >=，则0.95(10)t =（ ） （A ）-1.8125 ． （B ）1.8125． （C ）0.95． （D ）-0.95．三、计算题1．从正态总体N (20, 3) 中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本，求样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．2．设128,,,X X X 是来自正态总体(0,0.2)N 的样本，试求k ，使{}8210.95i i P X k=<=∑．3．设1216,,,X X X 是来自正态总体(0,4)N 的简单随机样本，试求概率{}162177.476i i PX =≤∑．4．设219~(0,),,,X N X X σ 是来自总体X 的简单随机样本，样本均值为X ，试确定σ的值，使得 {}13P ≤≤为最大．5．设总体X 的概率密度为2cos2,0,()40,,x x f x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它12,,,n X X X 为总体X 的样本，求样本容量n ，使1215{min(,,,)}1216n P X X X π<≥ ．四、证明题设随机变量X 与Y 相互独立，且222~(,),~()YX N n μσχσ，证明~()t t n ．第七次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其中0λ>为未知，12,,,n X X X 为来自总体X 的样本，则λ的矩体计量为 λ＝ ． 2．设总体X 在区间[],2θ上服从均匀分布，2θ<为未知参数；从总体X 中抽取样本12,,,n X X X ，则参数θ的矩估计量为 θ＝ ． 3．设总体12~(),,,,n X X X X πλ 是来自总体X 的样本，则未知参数λ的最大似然估计量为 λ= ． 4．该总体~(,1)X N μ，一组样本值为-2，1，3，-2，则参数μ的置信水平为0.95的置信区间为 ．5．设总体 2~(,3)X N μ，要使未知参数μ的置信水平为0.95的置信间的长度2L ≤，样本容量n 至少为 ．二、选择题1．设总体X 在区间[]0,a 上服从均匀分布，其中0a >未知，则a 的无偏估计量为 （ ）（A ） 1121123X X μ=+． （B ） 2123111263X X X μ=++． （C ） 3123111423X X X μ=++．（D ） 4123121333X X X μ=++ 2．设12,,,n x x x 为总体2~(,)X N μσ的样本观察值，则2σ的最大似然似计值为 2σ=（ ）（A ）()211n i i x n μ=-∑． （B ）()11,1,2,nk ii x k n =-=∑ ． （C ）()2111ni i x xn =--∑．（D ）()211ni i x xn =-∑．3．设总体2~(,)X N μσ，μ与2σ均未知，12,,,n X X X 为总体X 的样本，则参数μ的置信水平为1α-的置信区间为（ ）（A ）22,X X αα⎛⎫- ⎪⎝⎭． （B ）22(),()X n X n αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（C ）22(1),(1)X n X n αα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． （D）22(),()n n αα⎛⎫- ⎪⎝⎭．4．设总体2~(,)X N o μ，其中2o 已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1α-的关系是（ ）（A ）当1α-缩小时，L 缩短． （B ）当1α-缩小时，L 增大． （C ）当1α-缩小时，L 不变．（D ）以上说法都不对．三、计算题1．某工厂生产一批铆钉，从这批产品中随机抽取12只，测得头部直径（单位：mm ）如下：13.30, 13.38, 13.40, 13.43, 13.32, 13.48, 13.54,13.31,13.34,13.47,13.44,13.55,设铆钉头部直径服从正态分布2(,)N μσ，试求μ与2σ的矩估计值．2．设总体X 具有概率分布其中()01θθ<<似然估计值．3．设总体X 的概率密度为()1e ,0,1!()0,0,kk x x x k f x x ββ--⎧>⎪-=⎨⎪≤⎩()0β>其中k 是已知的正整数，求未知参数β的最大似然估计量．4．从正态总体2(,)N μσ中抽取容量为5的样本值：1.86,3.22,1.46,4.01,2.64,（1）已知3μ=，求2σ的置信水平为 0.95的置信区间； （2）若μ未知，求2σ的置信水平为0.95的置信区间．5．对某种作物种子进行两种不同的药物处理，单穗增重按小区对照，则得如下数据假设经甲、乙两种药物处理得到单穗重量分别服从正态分布211(,)N μσ，222(,)N μσ，求方差比2221σσ的置信水平为0.90的置信区间．四、证明题1．设总体X 的均值()E X μ=及方差2()0D X σ=>都存在，μ与2σ均未知，12,,,n X X X 是X 的样本，试证明不论总体X 服从什么分布，样本方差()22111n ii S X X n ==--∑都是总体方差2()D X σ=的无偏估计．2．设123,,X X X 是总体X 的样本，()E X μ=，2()D X σ=存在，证明估计量1122211366X X X μ=++, 2123111424X X X μ=++, 3123311555X X X μ=++ 都是总体X 的均值()E X 的无偏估计量；并判断哪一个估计量更有效．第八次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题 1．设总体212~(,),,,,nX N X X X μσ 是来自X 的样本，记()221111,n ni i i i X X Q X Xn n ====-∑∑，当μ和2σ未知时，则检验假设00:H μμ=所使用统计量是 ．2．设两个总体X 与Y 相互独立，且222112~(,),~(,)X N Y N μσμσ，21σ与22σ已知，1μ与2μ未知，从总体X 和Y 中分别独立地抽取样本，样本容量分别为1n 和2n ，样本均值分 别为X 和Y ，在显著性水平α下，检验假设012112:,:H H μμμμ=≠的拒绝域为 ．3．设总体2~(,)X N μσ，待检的原假设2200:H σσ=，对于给定的显著性水平α，如果拒绝域为()2(1),n αχ++∞，则相应的备择假设1H ： ，若拒绝域为221220,(1)(1),n n ααχχ-⎛⎫⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则相应的备择假设1H ： ． 4．设总体2~(,)X N μσ，μ已知，给定显著性水平α，假设22220010:,:H H σσσσ=≥的拒绝域为 ．二、选择题1．在假设检验中，原假设0H ，备择假设1H ，则（ ）为犯第二类错误 （A ）0H 为真，接受1H ． （B ）0H 不真，接受0H ． （C ）0H 为真，拒绝1H ．（D ）．0H 不真，拒绝0H ．2．设总体221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，检验假设2222012112:,:,0.10H H σσσσα=≠=，从X 中抽取容量112n =的样本，从Y 中抽取容量210n =的样本，算得2212118.4,31.93S S ==，正确的检验方法与结论是（ ）（A ）用t 检验法，临界值0.05(17) 2.11t =，拒绝0H ．（B ）用F 检验法，临界值0.050.95(11,9) 3.10,(11,9)0.34F F ==，拒绝0H ． （C ）用F 检验法，临界值0.950.05(11,9)0.34,(11,9) 3.10F F ==，接受0H ． （D ）用F 检验法，临界值0.010.99(11,9) 5.18,(11,9)0.21F F ==，接受0H ．3．设总体2~(,)X N μσ， 2σ未知，假设00:H μμ=的拒绝域为αμμ≤-，则备择假设1H 为（ ）（A ）0μμ≠．（B ）0μμ>．（C ）0μμ<． （D ）0μμ≤．三、计算题1．某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装葡萄糖的净重X（单位kg）是一个随机变量，它服从正态分布2(,)Nμσ，当机器工作正常时，其均值为0.5kg，根据经验知标准差为0.015kg（保持不变），某日开工后，为检验包装机的工作是否正常，从包装出的葡萄糖中随机地抽取9袋，称得净重为0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512α=下检验机器工作是否正常．试在显著性水平0.052．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均α=下，是否可以认为这次考试全体成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05考生的平均成绩为70分？并给出检验过程．3．有两台自动机床生产小轴，从第一台的产品中随机抽取50根，测得平均长度为20.1mm ，从第二台的产品中随机地抽取50根，测得平均长度为19.8mm ，设两台机床生产的小轴长度各自服从正态分布，方差分别为1.750（mm 2）和1.375（mm 2），并设来自这两个总体的样本相互独立，试在显著性水平0.05下检验两台自动机床生产的小轴长度的均值是否相等？4．某无线电厂生产的一种高频管，其中一项指标服从正态分布2(,)N μσ，从一批产品中抽取8只，测得该指标数据如下：66,43,70,65,55,56,60,72,（1）总体均值60μ=，检验228σ=（取0.05α=）； （2）总体均值μ未知时，检验228σ=（取0.05α=）．综合练习一一、填空题1．袋中装有2红4白共6只乒乓球，从中任取2只，则取得1只红球1只白球的概率为 ．2．设A 、B 为两个随机事件，已知111(),(|),(|)223P A P A B P B A ===，则()P A B = ．3．设随机变量X 的概率分布为{},(0,1,2,),0!k P X k a k k λλ==⋅=> 常数，则a = ．4．设随机变量X 服从二项分布(,),()1.6,()1B n p E X D X ==，则分布参数n = ，p = ．5．设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方差2()D X σ=，则由切比雪夫不等式有{||3}P X μσ-<≥ ．6．设总体2~(,)X N μσ，2σ未知，X 和2S 分别是容量为n 的样本均值和样本方差，则检验假设00:H μμ=使用的检验统计量 在0H 成立的条件下服从(1)t n -．二、选择题1．设()0P AB =，则（ ） （A ）A 和B 互不相容． （B ）A 和B 相互独立． （C ）()0P A =或()0P B =．（D ）()()P A B P A -=．2．设随机变量2~(,)X N μσ，则随着2σ增大，概率{||0}P X μ-<（ ） （A ）单调增大．（B ）单调减小． （C ）保持不变．（D ）增减不变．3．设X 是来自总体211(,)N μσ的容量为m 的样本均值，Y 是来自总体222(,)N μσ的容量为n 的样本均值，两个总体相互独立，则下列结论正确的是（ ）（A ）221212~(,)X Y N mnσσμμ---． （B ）221212~(,)X Y N mnσσμμ+--． （C ）221212~(,)X Y N mnσσμμ+-+．（D ）221212~(,)X Y N mnσσμμ--+．4．设总体2~(,)X N μσ，2σ已知，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，欲求总体均值的置信度为1α-的置信区间，使用的样本函数服从（ ）（A ）标准正态分布． （B ）t 分布． （C ）2χ分布．（D ）F 分布．三、解答下列各题1．某仓库有十箱同样规格的产品，其中有五箱、三箱、两箱依次是由甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该产品的次品率依次为111,,101220，今从这十箱产品中任取一箱；再从中任取一件产品．（1）求取到的产品是合格品的概率；（2）若已知抽取的产品是合格品，求它由甲厂生产的概率．2．设随机变量X 的概率密度为||()e ,()x f x A x -=-∞<<+∞，求（1）常数A ；（2）X 的分布函数．3．求总体(20,3)N的容量分别为10和15的两个独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．（已知0.7088Φ=）．4．设总体X的概率密度为1e,0,()0,0,xxf xxθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0θ>未知，12,,,nX X X为来自X的样本，求θ的最大似然估计量．5．一电子仪器由两部件构成，以X 和Y 分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数为0.50.50.5()1e e e ,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ---+⎧--+≥≥=⎨⎩其它, 问X 和Y 是否相互独立．6．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,02,01,(,)0,Axy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它, 求（1）常数A ；（2）{1}P X Y +≤．7．设A 、B 两个排球队进行排球比赛，若有一队胜三场，则比赛结束，假设在每场比赛中A 队获胜的概率为0.5，求比赛场数X 的数学期望．四、设随机变量X 和Y 相互独立，其概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其它, e ,0,()0,0y Y y f y y -⎧>=⎨≤⎩,求Z X Y =+的概率密度．综合练习二一、填空题1．设A 与B 是两个互不相容的随机事件，且()0.4,()0P A PB ==，则(|)P A B = ．2．设随机变量X 和Y 的方差分别为()25,()36D X D Y ==，相关系数0.4XY ρ=，则()D X Y -= ．3．已知离散型随机变量X 的分布函数为：0,2,0.1,20,()0.4,01,0.8,13,1,3,x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ 则()E X = ． 4．设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，样本均值2x =，则{0}P X =的最大似然估计值是 ．5．设(1,2,,)i X i n = 是来自总体2~(,)X N μσ的容量为n 的简单随机样本，方差2σ已知，检验假设0010:,:H H μμμμ=≠，检验统计量为~(0,1)u N =，在显著性水平α下，拒绝域为 ．二、选择题1．独立地投了3次篮球，每次投中的概率为0.3，则最可能投中的次数为（ ） （A ）0．（B ）1．（C ）2．（D ）3． 2．已知()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===，则()P A B =（ ） （A ）0.5．（B ）0.6．（C ）0.7．（D ）0.8．3．设X 与Y 均服从标准正态分布，则（ ） （A ）()0E X Y +=． （B ）()2E X Y +=． （C ）~(0,1)X Y N +．（D ）X 与Y 相互独立．4．设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，X 为样本均值，则总体方差的无偏估计量为（ ）（A ）()211ni i X Xn =-∑． （B ）[]211()ni i X E X n =-∑（()E X 未知）．（C ）()2111ni i X Xn =--∑．（D ）[]211()1ni i X E X n =--∑（()E X 未知）．5．设θ为总体X 的未知参数，12,θθ为统计量，()12,θθ为θ的置信度为1(01)αα-<<的置信区间，则应有（ ）（A ）{}12P θθθα<<=． （B ）{}21P θθα<=-． （C ）{}2P θθα<=．（D ）{}121P θθθα<<=-．三、设连续型随机变量X 的概率密度为e ,0,1(),02,40,2,x k x f x x x ⎧<⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩求（1）常数k ，（2）X 的分布函数()F x ，（3）{12}P X <<，（4）()E X ．四、某商店现有15台电脑，其中3台次品，已知售出了2台，问剩下的电脑中，任取一台是合格品的概率是多少？五、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为21,01,02,(,)30,x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它, 求：（1）关于X 和Y 的边缘概率密度； （2）判定X 与Y 是否相互独立； （3）{1}P X Y +>．六、设总体X的概率密度为e,0,()0,0x xf xxλλ-⎧>=⎨≤⎩,其中0λ>为未知，12,,,nX X X为总体X的样本，求λ的矩估计量和最大似然估计量．七、设总体X 的概率分布为（10.4，0.6）之内的概率不少于0；（2）如何才能更准确地确定样本容量n ，使得{0.40.6}0.9P X <<≥？并确定n 的值，（参考数据(1.645)0.95,(1.96)0.975ΦΦ==）．。
中南大学概率论与数理统计第四册练习册详细答案汇总
第一章 随机事件及其概率练习1.1 随机事件与样本空间一、解：1. 由于每颗骰子出现1—6点数是等可能性的，同时掷三颗骰子，三个点数之和最小的为3，最大的为18，故样本空间为：S ={3, 4, 5, ……, 18}.2. 在此试验中，可能的结果有6×6=36个，故试验的样本空间为： S ={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), ……(5, 6), (6,6)}.3. 以“0”表示次品，“1”表示正品，则试验的样本空间为：S ={00, 0100, 0101, 0110, 0111, 100, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111}. 4. 设三段长分别为1x , 2x , 3x ，则试验的样本空间为： S ={(1x , 2x ,3x )| 1x +2x +3x =1, 1x >0, 2x >0, 3x >0}. 二、解：1. C AB 2. A +B +C 3. C B A C B A C B A C B A +++ 4. AB +BC +AC 5. C B A C B A C B A ++ 三、解：1. C B A 2. C AB 3. C B A C B A C B A ++ 4. C B A BC A C AB ++ 5. A +B +C 6. C B A 四、解：1. 依题意：}21210|{≤≤≤≤=x x x A 或，故}2312141|{≤≤≤≤=x x x B A 或2. S x x B A =≤≤=+}20|{.3. }2341|{≤≤==⋃=⋃=x x B B A B A B A . 4. 因为AB =}121|{<<x x ，故}21210|{≤≤≤≤=x x x AB 或.五、解：1. C B A ⋂⋂表示1990年以前出版的中文数学书；2. 在“馆中的数学书都是90年后出版的中文版”的条件下，有 C B A ⋂⋂=A ；3. CB C 表示1990年以前出版的都是中文版。
概率作业纸答案
概率作业纸答案第一章随机事件及其概率第三节事件的关系及运算一、选择1.事件AB 表示（ C ）（A ）事件A 与事件B 同时发生（B ）事件A 与事件B 都不发生（C ）事件A 与事件B 不同时发生（D ）以上都不对2.事件B A ,，有B A ?，则=B A （ B ）（A ） A （B ）B （C ） AB （D ）AB二、填空1.设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC ⑵,,ABC 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,AB C 中至少有一件发生为C B A第四节概率的古典定义一、选择1．将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上，任意取出3张排列成三位数，这个数是奇数的概率是（ B ）（A ）21 （B ）53 （C ）103 （D ）101 二、填空1.从装有3只红球，2只白球的盒子中任意取出两只球，则其中有并且只有一只红球的概率为11322535C C C = 2.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为!10!8!3 3.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组，每组10队进行比赛，则最强的两个队被分在不同组内的概率为1910102091812=C C C 三、计算1．将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率（1）A ---任意3个盒子中各有一球；（2）B ---任意一个盒子中有3个球；（3）C---任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球。
解：（1）834!3)(334==C A P （2）1614)(314==C B P （3）1694)(3132314==C C C C P第五节概率加法定理一、选择1.设随机事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子正确的是（ C ）(A))()(AB P C P = (B))()()(B P A P C P +=(C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P2.已知41)()()(===C P B P A P ， 0)(=AB P ， 161)()(==BC P AC P 。
湘教版九年级下册数学第4章 概率 含答案
湘教版九年级下册数学第4章概率含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列说法：①事件发生的概率与实验次数有关；②掷10次硬币，结果正面向上出现3次，反面向上出现7次，由此可得正面向上的概率是0.3；③如果事件A发生的概率为，那么大量反复做这种实验，事件A平均每100次发生5次.其中正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个2、下列说法中正确的是（）A.“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件B.任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的一定是10次C.“概率为0.00001的事件”是不可能事件 D.“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是随机事件3、下列事件是必然事件的是（）A.抛掷一次硬币，正面向下B.在13名同学中，至少有两名同学出生的月份相同C.某射击运动员射击一次，命中靶心D.任意购买一张电影票，座位号恰好是“7排8号”4、若一个袋子中装有形状与大小均完全相同的4张卡片，4张卡片上分别标有数字﹣2，﹣1，2，3，现从中任意抽出其中两张卡片分别记为x，y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在直线y=﹣x+1上的概率是（）A. B. C. D.5、有一新娘去商店买新婚衣服，购买了不同款式的上衣2件，不同颜色的裙子3条，利用“树状图”表示搭配衣服所有可能出项的结果数为（）A.2B.3C.5D.66、一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）A.42个B.36个C.30个D.28个7、一个不透明的袋子中只装有4个黄球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球．下列说法正确的是（）A.摸到红球的概率是B.摸到红球是不可能事件C.摸到红球是随机事件D.摸到红球是必然事件8、下列事件中，是随机事件的是（）.A.从背面朝上的5张红桃和5张梅花扑g牌中抽取一张牌，恰好是方块B.抛掷一枚普通硬币9次是正面，抛掷第10次恰好是正面C.从装有10个黑球的不透明箱子中随机摸出1个球，恰好是黑球D.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数不是奇数就是偶数9、在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（）.A. B. C. D.10、一个口袋中有2个红球，3个白球，这些球除色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是（）A. B. C. D.11、有2名男生和2名女生，王老师要随机地、两两一对地为他们排座位，一男一女排在一起的概率是( )A. B. C. D.12、班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（）A. B. C. D.13、下列事件为必然事件的是（）A.明天一定会下雨B.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C.任意买一张电影票，座位号是2的倍数D.在一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾14、小明有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，他想钉一个三角形的木框。
概率论第4章习题参考解答
概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为=⨯⨯==733103.07.0}3{C P ξ0.0090至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为=⨯⨯-=<-=≥∑=-210103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为=⨯⨯=≤∑=-20101099.001.0}2{i i i i C P ξ0.99993. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此2061.02.08.0}18{}15270{}27015{}270{20182020=⨯⨯==≥=≥=≥=≥∑=-i i i iC P P P P ξξξη4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此∑=-⨯⨯=≤=≤=≤320209.01.0}3{}15.020{}15.0{i i i iC P P P ξξη=0.8675. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率}2{}23{}2|3{≥≥⋂≥=≥≥ξξξξξP P P因事件}3{}2{≥⊃≥ξξ, 因此2}23{≥=≥⋂≥ξξξ因此5312.06083.02852.019.01.0209.019.01.01}{1}2{1}{}2{1}{}2{}{}{}{}2{}3{}2|3{192018222010202202202202203=-=⨯⨯--⨯⨯-==-=-===-===-=====≥≥=≥≥∑∑∑∑∑∑======C i P P i P P i P P i P i P i P P P P i i i i i i ξξξξξξξξξξξξξ6. 抛掷4颗骰子, ξ为出现1点的骰子数目, 求ξ的概率分布, 分布函数, 以与出现1点的骰子数目的最可能值. 解: 因掷一次骰子出现一点的概率为1/6, 则ξ~B (4,1/6), 因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==∑≤--4140656100)(),4,3,2,1,0(6561}{4444x x C x x F k C k P x k kk k kk k ξ 或者算出具体的值如下所示：ξ0 1 2 3 4 P0.48230.38580.11570.01540.0008⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=41439992.0329838.0218681.0104823.000)(x x x x x x x F从分布表可以看出最可能值为0, 或者np +p =(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数, 因此最可能值为[5/6]=0. 7. 事件A 在每次试验中出现的概率为0.3, 进行19次独立试验, 求(1)出现次数的平均值和标准差; (2)最可能出现的次数. 解: 设19次试验中事件A 出现次数为ξ, 则ξ~B (19,0.3), 因此 (1)ξ的数学期望为E ξ=np =19×0.3=5.7 方差为Dξ=np (1-p )=19×0.3×0.7=3.99 标准差为997.199.3===ξσξD(2)因np +p =5.7+0.3=6为整数, 因此最可能值为5和6. 8. 已知随机变量ξ服从二项分布, E ξ=12, D ξ=8, 求p 和n . 解: 由E ξ=np =12 (1) 和D ξ=np (1-p )=8 (2) 由(1)得n =12/p , 代入到(2)得 12(1-p )=8, 解出p =(12-8)/12=1/3=0.3333 代回到(1)式得n =12/p =12×3=36 9. 某柜台上有4个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时平均有15分钟时间使用台秤, 求一天10小时, 平均有多少时间台秤不够用. 解: 每个时刻构成一n =4的贝努里试验, 且p =15/60=0.25, 因此, 设ξ为每个时刻要用秤的售货员数, 则ξ~B (4, 0.25), 当ξ>2时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为=+⨯⨯=>433425.075.025.0)2(C P ξ0.0508因此10个小时平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用. 10. 已知试验的成功率为p , 进行4重贝努里试验, 计算在没有全部失败的情况下, 试验成功不止一次的概率. 解: 设ξ为4次试验中的成功数, 则ξ~B (4,p ), 事件"没有全部失败"即事件{ξ>0}, 而事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1}, 因此要求的是条件概率P {ξ>1|ξ>0}, 又因事件{ξ>1}被事件{ξ>0}包含, 因此这两个事件的交仍然是{ξ>1}, 因此434141}0{1}1{}0{1}0{}1{}0|1{q pq q P P P P P P ---===-=-=-=>>=>>ξξξξξξξ其中q =1-p 11. ξ服从参数为2,p 的二项分布, 已知P (ξ≥1)=5/9, 那么成功率为p 的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?解: 因ξ~B (2,p ), 则必有9/5)1(1)0(1)1(2=--==-=≥p P P ξξ, 解得3/13/213/219/49/51)1(2=-==-=-=-p p p则假设η为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数, η~B (4,1/3), 则802.081161321)1(1)0(1)1(44=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=--==-=≥p P P ηη12. 一批产品20个中有5个废品, 任意抽取4个, 求废品数不多于2个的概率解: 设ξ为抽取4个中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 且有==≤∑=-204204155}2{i i i C C C P ξ0.968 13. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为0.1, 从1000个产品中任意抽取3个, 求废品数为1的概率. 解: 设任抽3个中的废品数为ξ, 则ξ服从超几何分布, 废品数为0.1×1000=100===3100029001100}1{C C C P ξ0.2435 而如果用二项分布近似计算, n =3, p =0.1, ξ~B (3,0.1)=⨯⨯≈=2139.01.0}1{C P ξ0.2430近似误差为0.0005, 是非常准确的. 14. 从一副朴克牌(52)中发出5, 求其中黑桃数的概率分布. 解: 设ξ为发出的5中黑桃的数, 则ξ服从超几何分布, 则)5,4,3,2,1,0(}{5525135213===--i C C C i P ii ξ 则按上式计算出概率分布如下表所示:ξ0 1 2 3 4 5 P0.22150.41140.27430.08150.01070.000515. 从大批发芽率为0.8的种子中, 任取10粒, 求发芽粒数不小于8粒的概率. 解: 设ξ为10粒种子中发芽的粒数, 则ξ服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其中p =0.8, n =10, 则∑=-⨯⨯=≥10810102.08.0}8{i i i iC P ξ=0.677816. 一批产品的废品率为0.001, 用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率, 以与不超过2件的概率.解: 设ξ为800件产品中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 可以用二项分布近似,则ξ~B (800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小, 可以用普阿松分布近似, 参数为 λ=np =800×0.001=0.89526.0!8.0}2{1438.028.0}2{28.08.02=≈≤=≈=∑=--i i e i P e P ξξ 17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有0.8个疵点, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元, 疵点数大于1不多于4为二等品, 价值8元, 4个以上为废品, 求产品为废品的概率以与产品的平均价值. 解: 设ξ为产品表面上的疵点数, 则ξ服从普哇松分布, λ=0.8, 设η为产品的价值, 是ξ的函数. 则产品为废品的概率为0014.0!8.01}4{1}4{48.0=-=≤-=>∑=-i i e i P P ξξ==≤==∑=-18.0!8.0}1{}10{i i e i P P ξη0.8088==≤<==∑=-428.0!8.0}41{}8{i i e i P P ξη0.1898则产品的平均价值为Eη = 10×P {η=10}+8×P {η=8}=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元) 18. 一个合订本共100页, 平均每页上有两个印刷错误, 假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布, 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率. 解: 设ξ为每页上的印刷错误数目, 则ξ服从普哇松分布, λ=2, 则1页印刷错误都不超过4个的概率为==≤∑=-402!2}4{i i e i P ξ0.9473而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为[]=≤100}4{ξP 0.00445419. 某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布, 如果它的平均寿命E ξ=1000小时, 写出ξ的概率密度, 并计算P (1000<ξ≤1200). 解: 因Eξ=1000=1/λ, 其概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0010001)(1000x x ex xϕ 0667.0)12001000(2.111000120010001000=-=-=≤<----e e ee P ξ20. ξ~N (0,1), Φ0(x )是它的分布函数, φ0(x )是它的概率密度, Φ0(0), φ0(0), P (ξ=0)各是什么值? 解: 因有20221)(x ex -=πϕ, ⎰∞--=Φxt dt ex 20221)(π, 因此φ0(x )为偶函数, 由对称性可知Φ0(0)=0.5,并有πϕ21)0(0=,因ξ为连续型随机变量, 取任何值的概率都为0, 即P (ξ=0)=0.21. 求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下, 还可以继续使用100小时而不坏的概率?解: 要求的概率为P (ξ>600|ξ>500), 因此905.0}500{}600{}500|600{1.010005001000600===>>=>>---e e eP P P ξξξξ22. 若ξ服从具有n 个自由度的χ2-分布, 证明ξ的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=---022)(21212x x e n x x x nn ϕ称此分为为具有n 个自由度的χ-分布 证: 设ξη=, 则因ξ的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--0221)(2122x x e x n x xn nξϕη的分布函数为)0()()()()()(22>=≤=≤=≤=x x F x P x P x P x F ξηξξη对两边求导得)0(22222)(2)(2121222222>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==-----x en x en x xx x x x n n x n n ξηϕϕ23. ξ~N (0,1), 求P {ξ≥0}, P {|ξ|<3}, P {0<ξ≤5}, P {ξ>3}, P {-1<ξ<3} 解: 根据ξ的对称性质与查表得: P {ξ≥0}=1-Φ0(0)=0.5 P {|ξ|<3}=2Φ0(3)-1=2×0.99865-1=0.9973 P {0<ξ≤5}=Φ0(5)-0.5=0.5P {ξ>3}=1-Φ0(3)=1-0.99865=0.00135P {-1<ξ<3}=Φ0(3)-Φ0(-1)=Φ0(3)+Φ0(1)-1=0.99865+0.8413-1=0.83995 24. ξ~N (μ,σ2), 为什么说事件"|ξ-μ|<2σ"在一次试验中几乎必然出现?解: 因为)1,0(~N σμξ- 19545.0197725.021)2(2}2{}2|{|0≈=-⨯=-Φ=<-=<-σμξσμξP P因此在一次试验中几乎必然出现.25. ξ~N (10,22), 求P (10<ξ<13), P (ξ>13), P (|ξ-10|<2).解: 因为)1,0(~210N -ξ6826.018413.021)1(2}1210{}2|10{|0.0668193319.01)5.1(1}5.1210{}13{43319.05.093319.0)0()5.1(}5.12100{}1310{0000=-⨯=-Φ=<-=<-=-=Φ-=>-=>=-=Φ-Φ=<-<=<<ξξξξξξP P P P P P26. 若上题中已知P {|ξ-10|<c }=0.95, P {ξ<d }=0.0668, 分别求c 和d .解: 因为)1,0(~210N -ξ, 则有95.01)2(2}2210{}|10{|0=-Φ=<-=<-cc P c P ξξ解得975.0295.01)2(0=+=Φc, 查表得,96.12=c得c =3.92 再由5.00668.0)210(}210210{}{0<=-Φ=-<-=<d d P d P ξξ知,0210<-d 因此0668.0)210(1)210(00=-Φ-=-Φd d即9332.00668.01)210(0=-=-Φd ,查表得5.1210=-d , 解得7310=-=d27. 若ξ~N (μ,σ2), 对于P {μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90, 或0.95, 或0.99, 分别查表找出相应的k值.解: 先求P {μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90对应的k 值. 因)1,0(~N σμξ-, 因此 90.01)(2}{}{0=-Φ=<-=+<<-k k P k k P σμξσμξσμ 即95.0290.01)(0=+=Φk , 查表得k =1.64 同理, 由975.0295.01)(0=+=Φk , 查表得k =1.96 由995.0299.01)(0=+=Φk , 查表得k =2.57 28. 某批产品长度按N (50, 0.252)分布, 求产品长度在49.5cm 和50.5cm 之间的概率, 长度小于49.2cm 的概率.解: 设ξ为产品长度, 则ξ~N (50, 0.252), 且有)1,0(~25.050N -ξ, 则9545.0197725.021)2(2}225.050{}225.0502{}5.505.49{0=-⨯=-Φ=<-=<-<-=<<ξξξP P P0006871.09993129.01)2.3(1)2.3(}25.0502.4925.050{}2.49{00=-=Φ-=-Φ=-<-=<ξξP P29. ξi ~N (0,1)(i =1,2,3), 并且ξ1,ξ2,ξ3相互独立, ∑==3131i i ξξ,∑=-=312)(i i ξξη, 求),cov(,),,cov(1ηξηξξE解: 此题要用到, 两个独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布. 因此, 因为3131,031=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=i i D D E ξξξ, 则)31,0(~N ξ313131)()cov(2131111==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=ξξξξξξξE E E i i32313121)cov(2)2()(22222=+⨯-=+-=+-=-ξξξξξξξξξξE E E E i i i i i因此2323)()(312312=⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==i i i i E E E ξξξξη ξξ-i 也服从正态分布, 且有03131)]([),cov(2=-=-=-=-ξξξξξξξξξE E E i i i即ξ与ξξ-i 不相关, 而因为它们服从正态分布, 因此也就是ξ与ξξ-i 相互独立,则ξ与2)(ξξ-i 也相互独立, 则ξ与η中的加和中的每一项相互独立, 当然也与η相互独立, 因此有0),cov(=ηξ, 因为相互独立的随机变量一定不相关.30. (ξ,η)有联合概率密度22)(21,2122ηξζπ+=+-y x e , 求ζ的概率密度.解: 由联合概率密度看出, ξ与η相互独立服从标准正态分布, 则有 ξ2与η2也相互独立且服从自由度为1的χ2-分布, 即ξ2~χ2(1), η2~χ2(1), 因此ζ=ξ2+η2~χ2(2), 即它的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-00212x x exζϕ 即ζ服从λ=1/2的指数分布.。
(完整版)概率论第四章答案
习题4-11. 设随机变量X求()E X ；E (2－3 X );2()E X ；2(35)E X +.解 由定义和数学期望的性质知2.03.023.004.0)2()(-=⨯+⨯+⨯-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-⨯-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为,0,()0,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤求Xe Z X Y 22-==和的数学期望.解()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞-====⎰e d ,2201()()3Xx x E Z E ee e dx ∞---==⋅=⎰. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为1,060,()600,.x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它记Y 为游客等候电梯的时间,则5,05,25,525,()55,2555,65,5560.X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤因此, 6001()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞===⎰⎰()5255560525551(5)(25)(55)(65)60x dx x dx x dx x dx =-+-+-+-⎰⎰⎰⎰=11.67(分钟)..14. 某保险公司规定, 如果在一年内顾客的投保事件A 发生, 该公司就赔偿顾客a 元. 若一年内事件A 发生的概率为p , 为使该公司受益的期望值等于a 的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？解 设保险公司要求顾客交保费c 元. 引入随机变量⎩⎨⎧=.A ,0,A 1不发生事件发生事件，X 则{1},{0}1P X p P X p ====-. 保险公司的受益值1,,0.c a X Y c X -=⎧=⎨=⎩， 于是 ()(){1}{0}E Y c a P X c P X ap c =-⨯=+⨯==-+. 据题意有10%ap c a -+=⨯, 因此应要求顾客角保费(0.1)c p a =+.习题4-21. 选择题(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2[3(2)]()E X-=.(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36. 解22[3(2)]3(44)E X E X X -=-+23[()4()4]E X E X =-+23{()[()]4()4}D X E X E X =+-+ 3(3144)36=⨯+++=.可见，应选(D).(2) 设~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).(A)10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==.解 因为~(,),B n p X 所以E (X )=n p,D (X )=np (1-p ), 得到np =6, np (1-p )=3.6 . 解之,n=15 , p =0.4 . 可见，应选(C).(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2(,)N μσ, 则有( ).(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.(C)()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2()2D X Y σ-=.解 注意到0)()()(=-=-Y E X E Y XE .由于X 与Y 相互独立,所以22)()()(σ=+=-Y D X D Y X D . 选(D).(4) 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若~(,),().X B n p E X np =则(B) 若()~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =.(D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.解)1,1(~-U X , 则3112212)()(22==-=a b X D . 选(B). 2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ).解 由数学期望和方差的性质有E (3X -2Y )= 3E (X )-2 E (Y )=3×2-2×2=2,(32)9()4()D X Y D X D Y -=+})]([)({4})]([)({92222Y E Y E X E X E -⨯+-⨯=13)45(4)45(9=-⨯+-⨯=.3. 设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1服从区间[0, 6]上的均匀分布,22~0,2X N （）, 3~3X P （）, 记12323Y X X X =-+, 求E (Y )和D (Y ) .解 由题设知21122(60)()3,()3,()0,()4,12E X D X E X D X -=====3321111(),()39E X D X λλ====.由期望的性质可得123123()(23)()2()3()13203 4.3E Y E X X X E X E X E X =-+=-+=-⨯+⨯=又123,,X X X 相互独立, 所以123123()(23)()4()9()1344920.9D Y D X X X D X D X D X =-+=++=+⨯+⨯=4. 设两个随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为12的正态分布, 求||X Y -的的期望和方差.解 记UX Y =-. 由于11~(0,),~(0,)22X N Y N , 所以()()()0,E U E X E Y =-= ()()()1D U D X D Y =+=.由此~(0,1)U N . 进而2222220 (||)(||)||x x xE X Y E U x dx xe dx e+∞---+∞+∞-∞-====⎰2222(||)()()[()]101E U E U D U E U==+=+=.故而2222 (||)(||)(||)[(||)]11D X Y D UE U E Uπ-==-=-=-.5. 设随机变量]2,1[~-UX, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1XXXY求期望()E Y和方差)(YD.解因为X的概率密度为1,12,()30,.Xxf x-=⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它于是Y的分布率为00--11{1}{0}31()d d3XP Y P X f x x x∞=-=<===⎰⎰,{0}{0}0P Y P X====,+2002{1}{0}31()d d3XP Y P X f x x x∞==>===⎰⎰.因此121()1001333E Y=-⨯+⨯+⨯=,222212()(1)001133E Y=-⨯+⨯+⨯=.故有2218()()[()]199D YE Y E Y=-=-=.6. 设随机变量U在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量1,1,1, 1.UXU--=>-⎧⎨⎩若≤若1,1,1, 1.UYU-=>⎧⎨⎩若≤若求E(X+Y), D(X+Y).解(1) 随机变量(X, Y)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).{1,1}{P X Y P U =-=-=≤1,U -≤-1-211}{1}41d 4P U x =-==⋅⎰≤, {1,1}{P X Y P U =-==≤1,U -1}0>=, {1,1}{1P X Y P U ==-=>-,U ≤1111}21d 4x -==⋅⎰, 211{1,1}{1,1}41d 4P X Y P U U x ===>->==⋅⎰.于是得X 和Y 的联合密度分布为(2) Y X +和)(Y X +的概率分布分别为由此可见22()044E X Y +=-+=;2()[()]2D X Y E X Y +=+=.习题4-31. 选择题(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.解 X 与 Y 相互独立是随机变量X 与Y 不相关的充分条件,而非必要条件. 选(D).(2) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布, 且它们不相关, 则下列结论中不正确的是( ).(A) X 与Y 一定独立. (B) (X , Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.解 对于正态分布不相关和独立是等价的. 选(A).(3) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) (X , Y )是二维连续型随机变量.(D)由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布. 解 仅仅由(X , Y )的边缘分布不能完全确定(X , Y )的联合分布. 选(D)2 设D (X )=4, D (Y )=6, ρXY =0.6, 求D (3X -2Y ) .解(32)9()4()12Cov(,)D X Y D X D Y X Y -=+-)()(126449Y D X D XY ⨯⨯-⨯+⨯=ρ727.24626.0122436≈⨯⨯⨯-+=.3. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 22()()2E X E Y ==,求2[()]E XY +.解222[()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++42420.526.ρ=+=+⨯⨯=4. 设随机变量(X , Y )若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 解 首先由∑∑∞=∞==111i j ijp得4.0=+b a . 其次由0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ 得3.0=b . 进而1.0=a . 由此可得边缘分布律于是 , . 故 Cov(,)()()()0.8 1.40.50.1X Y E XY E X E Y =-=-⨯=.5. 已知随机变量(,)~(0.5,4;0.1,9;0)X Y N , Z =2X -Y , 试求方差D (Z ), 协方差Cov(,)X Z , 相关系数ρXZ .解 由于X ,Y 的相关系数为零, 所以X 和Y 相互独立(因X 和Y 服从正态分布). 因此25944)()(4)2()(=+⨯=+=-=Y D X D Y X D Z D ,Cov(,)Cov(,2)2Cov(,)Cov(,)2()08X Z X X Y X X X Y D X =-=-=-=.因此80.825XZ ρ===⨯. 6. 设随机变量(X , Y )服从二维正态分布: 2~(1,3)X N , 2~(0,4)Y N ; X 与Y 的相关系数1,232XYX YZ ρ=-=+. 求: (1) E (Z ), D (Z )； (2) X 与Z 的相关系数ρXZ ; (3)问X 与Z 是否相互独立?为什么?解 (1) 由于)3,1(~2N X , )4,0(~2N Y , 所以16)(,0)(,9)(,1)(====Y D Y E X D X E ,而1Cov(,)3462XY X Y ρ==-⨯⨯=-.因此 31021131)(21)(31)23()(=⨯+⨯=+=+=Y E X E Y X E Z E ,1111()()()()2Cov(,)329432X Y D Z D D X D Y X Y =+=++111916Cov(,)943X Y =⨯+⨯+3)6(3141=-⨯++=.(2) 由于1111Cov(,)Cov(,)()Cov(,)9(6)0,323232XY X Z X D X X Y =+=+=⨯+⨯-= 所以0XZ ρ==.(3) 由0=XZ ρ知X 与Z 不相关, 又X 与Z 均服从正态分布, 故知X 与Z 相互独立.7．证明: 对随机变量(X , Y ), E (XY )=E (X )E (Y )或者D (X ±Y )=D (X )+D (Y )的充要条件是X与Y 不相关.证 首先我们来证明)()()(Y E X E XY E =和()()()D X Y D X D Y ±=+是等价的.事实上, 注意到()()()2Cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+±.因此()()()D X Y D X D Y ±=+Cov(,)0()()()X Y E XY E X E Y ⇔=⇔=.其次证明必要性. 假设E (XY )=E (X )E (Y ), 则Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=.进而0XYρ==, 即X 与Y 不相关.最后证明充分性. 假设X 与Y 不相关, 即0=XYρ, 则Cov(,)0X Y =. 由此知)()()(Y E X E XY E =.总习题四1. 设X 和Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已知X 的分布律为1{},1,2,33P X i i ===. 又设max{,},min{,}U X Y V X Y ==.(1) 写出二维随机变量(U , V )的分布律; (2) 求()E U .解 (1) 下面实际计算一下{1,3}P UV ==.注意到max{,},min{,}U X Y V X Y ==, 因此{1,3}{1,3}{3,1}P U V P X Y P X Y =====+=={1}{3}{3}{1}P X P Y P X P Y ===+==9231313131=⨯+⨯=.(2) 由(,)U V 的分布律可得关于U 的边缘分布律所以13522()1239999E U =⨯+⨯+⨯=. 2. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗. 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率是25. 设X 为途中遇到红灯的次数, 求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.解 令X 表示途中遇到红灯的次数, 由题设知2~(3,)XB . 即X 的分布律为从而3127543686(){}01231251251251255k E X kP X k ====⨯+⨯+⨯+⨯=∑. 3. 设随机变量),(Y X 的概率密度为212,01,(,)0,.y y x f x y ⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤其它求22(),(),(),()E X E Y E XY E X Y +.解 112404()(,)1245xE X xf x y dxdy dx x y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰. 11240003()(,)1235xE X yf x y dxdy dx y y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰.112500031()(,)12362x E XY xyf x y dxdy dx xy y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅===⎰⎰⎰⎰⎰.122222220()()(,)()12xE X Y x y f x y dxdy dx x y y dy ∞∞-∞-∞+=+=+⋅⎰⎰⎰⎰155012423216(4)5653015x x dx =+=+==⎰. 4. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为1sin(),0,0,222(,)0,.≤≤≤≤其它ππx y x y f x y ⎧+⎪=⎨⎪⎩求E (X ),D (X ),E (Y ),D (Y ),E (XY )和 Cov(X ,Y ).解22001()(,)sin()24E X xf x y dxdy x x y dxdy πππ+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰.22222200()(,)1sin() 2.282E X x f x y dxdyx x y dxdy ππππ+∞+∞-∞-∞==+=+-⎰⎰⎰⎰于是有2216)]([)()(222-+=-=ππX E X E X D . 利用对称性,有2216)(,4)(2-+==πππY D Y E .又()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰22001sin()2xy x y dxdy ππ=+⎰⎰220022001sin()21[sin cos cos sin ]2xdx y x y dyxdx y x y x y dyππππ=+=+⎰⎰⎰⎰12-=π.所以协方差2Cov(,)()()()1216X Y E XY E X E Y ππ=-=--.5. 设随机变量X 与Y 独立, 同服从正态分布1(0,)2N , 求(1)();()E X Y D X Y --；(2) (max{,});(min{,})E X Y E X Y .解 (1) 记Y X -=ξ.由于)21,0(~),21,0(~N Y N X ,所以,0)()()(=-=Y E X E E ξ 1)()()(=+=Y D X D D ξ.由此)1,0(~N ξ. 所以2222(||)(||)||x x E X Y E x dx xedx ξ+∞+∞---∞-==⎰22x e+∞-==101)]([)()()|(|2222=+=+==ξξξξE D E E .故而ππξξξ2121|)](|[)|(||)(||)(|222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==-E E D Y X D .(2) 注意到2||)(),max(Y X Y X Y X -++=, 2||),min(Y X Y X Y X --+=.所以ππ21221|]}[|)()({21)],[max(==-++=Y X E Y E X E Y X E ,ππ21221|]}[|)()({21)],[min(-=-=--+=Y X E Y E X E Y X E .6. 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为,02,02,8(,)0,.x yx y f x y +⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤其它求: E (X ), E (Y ), Cov(X ,Y ), ρXY , D (X+Y ).解 注意到),(y x f 只在区域2≤≤0,2≤≤0:y x G 上不为零, 所以()(,)8Gx yE X xf x y dxdy x x y ∞∞-∞-∞+==⎰⎰⎰⎰d d222000117()(1)846dx x x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰,22()(,)E Xx f x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰222232000115()()843dx x x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰, 因而 36116735)]([)()(2222=-=-=X E X E X D .又()(,)E XY xyf x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰22220001144()()8433dx xy x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰. 由对称性知2275()(),()()63E Y E X E Y E X ====, 3611)()(==X D Y D . 这样，4491Cov(,)()()()33636X Y E XY E X E Y =-=-=-, 111XY ρ==-,5()()()2Cov(,)9D X Y D X D Y X Y +=++=.7. 设A , B 为随机事件, 且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===, 令 10A X A =⎧⎨⎩，发生,，不发生, 10B Y B =⎧⎨⎩，发生,，不发生.求: (1) 二维随机变量(X , Y )的概率分布; (2) X 与Y 的相关系数XY ρ.解 由1()(|)3()P AB P B A P A ==得1111()()33412P AB P A ==⨯=, 进而由1(|)2P A B = ()()P AB P B =得1()2()6P B P AB ==. 在此基础上可以求得(1)1{1,1}()12P X Y P AB ====,111{0,1}()()()61212P X Y P AB P B P AB ====-=-=,111{1,0}()()()4126P X Y P AB P A P AB ====-=-=,{0,0}()1()1[()()()]P X Y P AB P A B P A P B P AB ====-=-+-U 11121[]46123=-+-=.故(X , Y )的概率分布为(2) 由(1)因此211(),(),44E X E X ==22113()()[()]41616D XE X E X =-=-=, 22211115(),(),()()[()]6663636E Y E Y D Y E Y E Y ===-=-=. 又由(X , Y )的分布律可得21111()00011011312121212E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故11115XYρ-⨯===.。
概率论与数理统计》课后习题答案第四章
习题4.11．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。
解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为 ()50.10.E X =⨯= 4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。
解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ== 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。
5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解1201331221()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 (1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。
概率论第四章课后习题解答
概率论第四章习题解答1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。
“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。
解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为所以 151115()234988884E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。
（2）因为Y 的取值为2,3，4，9当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故121{2}3015C P Y ===； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故135151{3}30302C P Y ==== 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故1442{4}303015C P Y ==== 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故 993{9}303010P Y ====112314673()234915215103015E Y =⨯+⨯+⨯+⨯==。
（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。
由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。
1(1)(2)(3)(4)(5)6P X P X P X P X P X ==========(7)(8)(9)(10)P X P X P X P X =======(11)(12)P X P X ==== 111=⨯= 6121711215759()63663612i i E X i i ===+=+=∑∑2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。
概率随机变量均值方差独立性正态分布课后限时作业(四)带答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习《概率随机变量均值方差独立性正态分布》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．（汇编年高考湖北卷（理））如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的均值为()E X=（）A．126125B．65C．168125D．752．1 ．（汇编年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）A ．14B ．12C ．34D ．783．(汇编福建理)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A.16625B. 96625C. 192625D. 2566254．以平行六面体D C B A ABCD ''''-的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为A ．385367 B ．385376 C ．385192 D ．38518(汇编湖北理)5．(汇编广东理)一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ( )A.0.1536B. 0.1808C. 0.5632D. 0.97286．（汇编重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）至少有1株成活的概率；（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．解 设k A 表示第k 株甲种大树成活, 1,2k = ; 设l B 表示第l 株乙种大树成活, 1,2l =则1212,,,A A B B 独立,且121254()(),()()65P A P A P B P B ==== （Ⅰ）至少有1株成活的概率为:2212121212118991()1()()()()1()()65900P A A B B P A P A P B P B -⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=-= （Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:1122514110846655362545P C C =⋅=⨯= 7．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为A ．16 B ．14 C ．13 D ．12（汇编江西文）8．假如每次射击命中目标的概率为p ，现在完全相同的条件下，接连进行n 次射击，则命中目标的概率为---------------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A)n p (B)(1)n p - (C)1n p -(D)1(1)n p --9．2．一个口袋有9张大小相同的票，其号数分别为1，2，3，…，9，从中任取2张，其号数至少有1个位偶数的概率等于----------------------------------------------------------------------------（ ）(A )59 (B)49 (C )518 (D)131810．3．一班级有50名学生，生日均不相同的概率为------------------------------------------------（ ）(A )5036450365A (B )5036550365A (C )50364()365(D)5036511．4．有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为-（）(A)750(B)7100(C)748(D)1510012．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是[答]（）(A)．5216(B)25216．(C)31216．(D)91216．第II卷（非选择题）请点击修改第I I卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．已知33(),()105P AB P A==,那么(|)P B A=▲．14．4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好在同一辆车”的概率为_______．15．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7，若两人各投2次，则两人都投中1次的概率为▲．16．某射手在同一条件下进行射击，结果如右表所示：试依据该表，估计这个射手射击一次，击中靶心的概率约为______射击次数n102050100200500击中靶心的次数9 19449117845117．连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6).现定义数列{}n a :当向上面上的点数是3的倍数时,1=n a ;当向上面上的点数不是3的倍数时,1-=n a .设S n 是其前项和,那么S 5=3的概率是 .18．一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量x 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量x 的数学期望=Ex ． 评卷人得分 三、解答题19．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体A BC D - A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ= 0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．（1）求概率P （ξ= 0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)． m击中靶心的频率m n0.9 0.95 0.88 0.91 0.89 0.90220．（汇编年高考新课标1（理））一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.21．猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为12，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人的命中概率与距离的平方成正比，求猎人命中野兔的概率。
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七年数理统计标准化作业（答案）一、 单选题1. 设总体16212,,,),4,3(~X X X N X 为来自X 的样本，X 为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是（ A ）。
A ． 3-XB ．)3(4-XC ．43-X D ．163-X 2.设总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ为来自X 的样本，则μ的下列估计量中最有效的为（ B ）。
A ．12X X -B ．XC ．321613221X X X -+ D ． 23231X X + 3.当2σ未知时，正态总体均值μ的置信度为1-α的置信区间的长度是S 的（ D ）倍。
A ．2αt (n) B ．1-n S C ．)1(2-n t nS α D ．)1(22-n t nα4.设总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ为来自X 的样本，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-P 025.0u n X σμ=（ C ）。
A ．0.025 B ．0.975 C ．0.95 D ． 0.05二、填空题5.设总体)(~λP X ，2,S X 分别为容量n 的样本均值与样本方差，则)(X E = λ ，)(X D =.nλ6. 设)1()(~>n n t X ，则 21XY =所服从的分布是 F (n, 1) . 7. 设)(~),,(~222n X YN X σσμ 且X 与Y 相互独立，则~nY X μ-.)(n t8.设)(x Φ为N （0，1）的分布函数，且 )645.1(Φ=0.95，则 95.0u = －1.645 .三、计算题9.设有10个样本值如下：19.1，20.0，21.2，18.8，19.6，20.5，22.0，21.6，19.4，20.3 求样本的均值 x ，样本方差 2s ，样本二阶中心距 2b 。
.0485.11;165.1)25.2010(91;25.2010122210122101=-==⨯-===∑∑==s nn b x s x x i i i i10. 设总体n X X X N X ,,,),1,0(~21 为简单随机样本，试求统计量∑=⋅-ni iXX n 2211 的分布。
).1(~1)1(),1(~),1,0(~2212212221-⋅-=-∴-∑∑∑===n t XX n n XX n X N X ni ini ini i χ11.查表求下列临界值（1）);10(),15(),4(),7(202.0201.0299.0205.0χχχχ（2）);10(),18(),16(),8(201.001.005.0205.0t t t t（3）).5,8(),10,14(),5,8(),10,14(99.095.001.005.0F F F F.169.3)10(;552.2)18(;746.1)16(;306.2)8()2(.161.21)10(;578.30)15(;297.0)4(;067.14)7()1(15.001.005.0205.0202.0201.0299.0205.0========t t t t χχχχ.151.063.61)8,5(1)5,8(;385.060.21)14,10(1)10,14(;3.10)5,8(;86.2)10,14()3(01.099.005.095.001.005.0≈==≈====F F F F F F12.设总样X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-00),(x x e x f xθθθ今从总体中抽取10个样本，测得数据1055，1150，1085，1200，1300，1250，1315，1160，1150，1140，求未知参数θ的最大似然估计值。
.00085.05.11801ˆ,5.1180;1ˆ.0)(ln ,ln )(ln ),,,2,1,0()(11111≈===∑==∑-=∑-==≥∑⋅=⋅====⋅-=-=∏θθθθθθθθθθθθθx x x n x n d L d x n L n i x eeL ni ini i ni i i x nni x ni ii计算得解得令13.设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-其它10)(1x xx f θθ，其中0>θ为未知参数，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，n x x x ,,,21 为样本值，求θ的矩估计和最大似然估计。
.1ˆ,1ˆ,1)(221111⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+==⋅==⎰⎰-x x XX X dx x dx xx X E θθθθθθαθθ估计值为解得矩估计量为令.)ln (ˆ;)ln (ˆln n0ln 212)(ln ln )1(ln 2)(ln ,)(212111111211∑∑∑∑∑∏∏=====-=-===-=⇒=+=-+=⋅=⋅=ni ini ini ini ini iini nini Xnxnx xn d L d x nL x x L θθθθθθθθθθθθθθθ最大似然估计量为解得最大似然估计值为令14. 某车间生产的滚球直径),(~2σμN X ，今从中随机取出6个，量得直径为（单位：mm ）14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.4，若20.05σ=，试求X 的期望μ的置信度为0.99的置信区间。
).24.15,76.14(%99,2355.01562236.058.215ˆ,15,58.21.01.0,,2236.005.0,62,1005.0201.0的置信区间为的计算得，查附表μμασ±=⋅±========x u u n15. 在某小学7岁男童中随机抽取10人测得其身高（cm ）为118.2，114.3，112.7，117.2，113.2，116.0，120.4，120.1，119.1，120.5，若身高服从正态分布，试求7岁男童身高均数的95%的置信区间和方差的90%的置信区间。
).134.24,743.4()325.3916.89,916.16916.89(%90325.3)9()9(,916.16)9()9(4,1.0);36.119,034.115(%95,10986.2262.217.117)9(ˆ,262.2)9(,916.8,17.117,102295.0221.01205.0221.0205.02,1205.02=⨯⨯=====⋅±=⋅±=====-的置信区间为的有查附表的置信区间为的且计算得σχχχχαμμn st x t s x n16. 某大学从来自A ，B 两市的新生中，分别随机抽取10名和11名男生，测得他们的平均身高为别为 176x cm =和 172y cm =，样本方差分别为 221211.3,9.1s s ==设两市男生的身高分别服从正态分布，21(,)N μσ和 22(,)N μσ，求 12μμ- 的95%的置信区间及 2221σσ 的90%的置信区间。
）；，（）（的置信区间为的查附表由913.6087.1111101185.3093.2172176%95,185.3211101.9103.119093.2)19()19(3192111005.021025.0205.0=+⨯±--=-+⨯+⨯===-+==μμαws t t df).899.3,41.0()14.31.93.11,02.311.93.11())10,9(1,)10,9(1(%90,14.31)9,10(1)10,9()10,9(,02.3)10,9()10,9(51.095.0222105.02221222105.095.021.0105.021.0=⋅⋅=⋅⋅======-F s s F s s F F F F F 的置信区间为的查附表由σσα 17. 已知正态总体的标准差 1.2σ=，根据样本值估计总体期望μ时，置信度为0.97的置信区间的长度为0.6，求最小的样本容量n..76,34.756.02.117.2222.6.0,2.1,17.2)985.0(,03.0,97.0122221015.02==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⨯=⇒⋅⨯====Φ====--n L u n nu L L u u 取σσσααααα18.某种零件的长度服从正态分布，方差21.12=σ。
现从零件堆中随机抽取6件，测得长度（单位：毫米）为32.46 31.54 30.10 29.76 31.67 31.23.问：当显著水平01.0=α时，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？检验假设 50.32:;50.32:10≠=μμH H有显著性差异。
度与认为这批零件的平均长拒绝因此以水平且计算得已知50.32,01.0.58.205.361.150.3213.3158.2,13.31,01.0,50.32,6,1.10201.00005.0201.00H u nx u u u x n ==>=-=-========ασμαμσ19.设罐头番茄汁中Vc （维生素c ）含量服从正态分布，按照规定，VC 的平均含量不得少于 21毫克，现从一批罐头中随机抽取了16罐，算得 229.3,23==s x 。
问：这批罐头的Vc 含量是否合格（05.0=α）？7531.1)15()15(,05.0,9.3,23,1621:;21:05.010======>=t t s x n H H ααμμ且检验假设含量是合格的。
即这批罐头的，拒绝故以水平Vc H t n s x t 005.0005.0.7531.1)15(0513.2169.32123==>=-=-=αμ20.测定某种溶液中的水分（%），由它的10个测定值算出037.0,452.0==s x 。
设测定总体服从正态分布，试分别检验假设：)10.0(04.0:)2(;5.0:)1(2200===ασμH H.1.0,919.16)9(701.7)9(325.3325.3)9()9(,,919.16)9()9(1.0701.704.0037.09)1(.04.0:;04.0:)2(;1.0),9(,833.1)9()9(1.0,102.410037.05.0452.0.5.0:;5.0:102222195.02105.02222220222212200205.02010H s n H H H t t t t n s x t H H 接受故以水平显然查得由检验统计量假设检验拒绝故以水平显然查得由未知，统计量假设检验）（==<=<=======⨯=-=≠==>====-=-=≠=--αχχχχχχχασχσσααμσμμαααααα21.为考察甲、乙两批药品中某种成分的含量（%），现分别从这两批药品中各抽取9个样品进行测定，测得其样本均值和样本方差分别为25.2,43.7429.3,23.76222211====s x s x 和。