三角形的内角与外角角平分线培优练习题
三角形培优精选题---思维能力提升
12.五种基本图形(必会)：写出∠BOC与∠A之间的数量关系。
(1)如图1,∠BOC=____________ (2)如图2,八字形的结论______________
(3)如图3若OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,则∠BOC=___________
A、0 B、 C、 D、
37.若a、b、c是△ABC的三边，化简 + + =( )
A、a+b-c B. a-b+c C. a+b+c D. a-b-c
41.如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边
上的高，并且CD、BE交于，点P，若∠A=500，则∠BPC等于（）
A、90°B、130°C、270°D、315°
(4)如图4若OB,OC分别平分∠CBF,∠ECB,则∠BOC=____________
(5)如图5若OB,OC分别平分∠ABC,∠ACD,则∠BOC=_____________
13.已知等腰三角形的两个内角的度数比为1:2,求这个等腰三角形的顶角是多少度?
14.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=?
BE与CE交于G，若∠BDC=140O,∠BGC=110O,则∠A的
度数为（）
A.50OB.55OC.800D.700
23、如图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.
如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：
问题(3)：若点 是内角∠ 、外角∠ 的平分线的交点，试探索：∠ 与∠ 的数量关系，并说明理由．
[数学]-必考点05 角平分线的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上
![[数学]-必考点05 角平分线的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上](https://img.taocdn.com/s3/m/6a3e1acc8662caaedd3383c4bb4cf7ec4bfeb650.png)
11．（2021秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论序号是．
7．（2021秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
◆◆题型三角的平分线的性质与判定的综合应用
8．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H．
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．
1．（2022春•六盘水期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（ ）
A．5B．7C．7.5D．10
2．（2022•雁塔区模拟）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．△ABC三条高线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【例题20】（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处
三角形培优专题 - 参考答案
《三角形培优专题》参考答案【例题讲解】例题1．已知等腰三角形的周长为24，试求腰长x 的取值范围和底边长y 的取值范围．【解答】解：依题意有2x +y = 24 ；对于腰长，有：y < 2x < 24 ，即：24 - 2x < 2x < 24 ，解得：6 <x < 12 ；对于底长，有：0 <y < 2x ，即：0 <y < 24 -y ，解得：0 <y < 12 ．故腰长x 的取值范围是 6 <x < 12 ，底边长y 的取值范围是0 <y < 12 ．例题2．如图，已知∠B =∠C =∠BAD ，∠ADC =∠DAC ，AE ⊥BC ，求∠DAE 的度数．【解答】解： ∠ADC =∠B +∠BAD ，∠B =∠C =∠BAD ，∠ADC =∠DAC ，∴∠B +∠C +∠BAD +∠DAC = 180︒，∴ 5∠B = 180︒，解得∠B = 36︒，∴∠ADC = 72︒．AE ⊥BC ，∴∠DAE = 90︒-∠ADE = 90︒- 72︒= 18︒．例题3．（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B 向右移动到AC 上，那么还能求出∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E 的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点 B 向右移动到AC 的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B 、E 移动到∠CAD 的内部时，结论又如何？根据图3 或图4，说明你计算的理由．【解答】解：（1）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C=∠1，∠B+∠D=∠2，∠1 +∠2 +∠E = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒；（2）如图，由三角形的外角性质，∠A +∠D =∠1 ，∠1 +∠DBE +∠C +∠E = 180︒，∴∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E = 180︒；（3）如图，由三角形的外角性质，∠A +∠C =∠1，∠B +∠D =∠2 ，∠1 +∠2 +∠E = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒；（4）如图，延长CE 与AD 相交，由三角形的外角性质，∠A +∠C =∠1，∠B +∠E =∠2 ， ∠1 +∠2 +∠D = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒．例题4．Rt∆ABC 中，∠C = 90︒，点D 、E 分别是∆ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令∠PDA =∠1，∠PEB =∠2 ，∠DPE =∠α．（1）若点 P 在线段 AB 上，如图（1）所示，且∠α= 50︒，则∠1 +∠2 =140 ︒；（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？（3）若点P 在Rt∆ABC 斜边BA 的延长线上运动(CE <CD) ，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？猜想并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接PC ，由三角形的外角性质，∠1 =∠PCD +∠CPD ，∠2 =∠PCE +∠CPE ，∴∠1+∠2 =∠PCD +∠CPD +∠PCE +∠CPE =∠DPE +∠C ，∠DPE =∠α= 50︒，∠C = 90︒，∴∠1+∠2 = 50︒+ 90︒=140︒，故答案为：140︒；（2）连接PC ，由三角形的外角性质，∠1 =∠PCD +∠CPD ，∠2 =∠PCE +∠CPE ，∴∠1+∠2 =∠PCD +∠CPD +∠PCE +∠CPE =∠DPE +∠C ，∠C = 90︒，∠DPE =∠α，∴∠1+∠2 = 90︒+∠α；（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2 =∠C +∠1+∠α，∴∠2 -∠1 = 90︒+∠α；如图2，∠α= 0︒，∠2 =∠1+ 90︒；如图3，∠2 =∠1-∠α+∠C ，∴∠1-∠2 =∠α- 90︒．例题 5．如图 1，在 ∆ABC 中， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，若∠A = 82︒，则∠BEC = 131︒；若∠A =a︒，则∠BEC = ．【探究】（1）如图2，在∆ABC 中，B D ，B E 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分∠ACB ，若∠A =a︒，则∠BEC = ；（2）如图3，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 和∠A 有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．【解答】解： ∠A = 82︒，∴∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A = 180︒- 82︒= 98︒， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠EBC =1∠ABC ，∠ECB =1∠ACB ，2 2∴∠EBC +∠ECB =1(∠ABC +∠ACB) =1⨯ 98︒= 49︒，2 2∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- 49︒= 131︒；由三角形的内角和定理得，∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A = 180︒-a︒， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠EBC =1∠ABC ，∠ECB =1∠ACB ，2 2∴∠EBC +∠ECB =1(∠ABC +∠ACB) =1⨯ (180︒-a︒) = 90︒-1a︒，2 2 2∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- (90︒-1a︒) = 90︒+1a︒；2 2故答案为：131︒，90︒+1a︒；2探究：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180︒-∠A=180︒-a︒， BD ，BE 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分∠ACB ，∴∠EBC =2∠ABC ，∠ECB =2∠ACB ，3 3∴∠EBC +∠ECB =2(∠ABC +∠ACB) =2⨯ (180︒-a︒) = 120︒-2a︒，3 3 3∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- (120︒-2a︒) = 60︒+2a︒；3 3故答案为：60︒+2a︒；3（2）∠BOC =1∠A ．2理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD =∠A +∠ABC ，∠OCD =∠BOC +∠OBC ，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠ABC = 2∠OBC ，∠ACD = 2∠OCD ，∴∠A +∠ABC = 2(∠BOC +∠OBC ) ，∴∠A = 2∠BOC ，∴∠BOC =1∠A ；2（3）∠BOC = 90︒-1∠A ．2理由如下： O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠OBC =1(180︒-∠ABC) = 90︒-1∠ABC ，∠OCB =1(180︒-∠ACB) = 90︒-1∠ACB ，2 2 2 2在∆OBC 中，∠BOC =180︒-∠OBC -∠OCB =180︒- (90︒-1∠ABC) - (90︒-1∠ACB) =1(∠ABC +∠ACB) 2 2 2，由三角形的内角和定理得，∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A ，∴∠BOC =1(180︒-∠A) = 90︒-1∠A ．2 2【巩固练习】1．已知线段AB = 3cm ，BC =1cm ，则线段AC 的长度为( )A ．一定是4cmB ．一定是2cmC ．一定是2cm 或4cmD ．以上都不对【解答】选：D．2．如图，∠ABC =∠ACB ，AD ，BD ，CD 分别平分∆ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF ．以下结论：①AD / / B C ；②∠ACB = 2∠ADB ；③DB 平分∠ADC ；④∠ADC = 90︒-∠ABD ；⑤∠BDC =1∠BAC ．其中正确的结论有( ) 2A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解： AD 平分∠EAC ，∴∠EAC = 2∠EAD ，∠EAC =∠ABC +∠ACB ，∠ABC =∠ACB ，∴∠EAD =∠ABC ，∴AD / / BC ，∴①正确；AD / / BC ，∴∠ADB =∠DBC ，BD 平分∠ABC ，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ACB = 2∠DBC ，∴∠ACB = 2∠ADB ，∴②正确；BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∠ADB =∠DBC ，∠ADC = 90︒-1∠ABC ，2∴∠ADB 不等于∠CDB ，∴③错误； AD 平分∠EAC ，CD 平分∠ACF ，∴∠DAC =1∠EAC ，∠DCA =1∠ACF ，2 2∠EAC =∠ACB +∠ACB ，∠ACF =∠ABC +∠BAC ，∠ABC +∠ACB +∠BAC = 180︒，∴∠ADC = 180︒- (∠DAC +∠ACD)= 180︒-1(∠EAC +∠ACF ) 2= 180︒-1(∠ABC +∠ACB +∠ABC +∠BAC) 2= 180︒-1(180︒+∠ABC) 2= 90︒-1∠ABC ，∴④正确；2∠BDC =∠DCF -∠DBF =1∠ACF -1∠ABC =1∠BAC ，∴⑤正确，2 2 2故选：D ．3．如图，要使六边形木架（用六根木条钉成）不变形，至少要再钉上木条的根数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6 - 3 = 3 条对角线， 所以至少要钉上 3 根木条． 故选： C ．4．如图，在 ∆ABC 中， ∠ABC 的平分线与 ∠ACD 的平分线交于点 A 1 ， ∠A 1BC 的平分线与∠A CD 的平分线交于点 A ，依此类推 ．已知∠A = α，则∠A 的度数为α（用含12n 、α的代数式表示）．n2n【解答】解： ∆ABC 中， ∠A = ∠ACD - ∠ABC ， A 1 是 ∠ABC 角平分与 ∠ACD 的平分线的交点， ∠A = α，∴∠A = ∠A CD - ∠A BC = 1 (∠ACD - ∠ABC ) = 1∠A ；1 1 12 2同理可得， ∠A = 1 ∠A = 1∠A ，22 1 22∠A = 1 ∠A = 1∠A ， 32 2 23依此类推， ∠A = 1∠A ，即∠A = α ．n 2n 故答案为： α．2nn2n5．如图，线段 AB 、CP 相交于点O ，连接 AD 、CB ， ∠DAB 、∠BCD 的平分线 AP 、CP 相交于点 P ，并且为CD 、 AB 分别相交于 M 、N 两点，若∠D = 40︒ ，∠B = 30︒ ，则∠P 的度数为 35︒ ．【解答】解：在∆AOD 中，∠AOD =180︒-∠OAD -∠D ，在∆BOC 中，∠BOC = 180︒-∠B -∠OCB ，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），∴180︒-∠OAD -∠D = 180︒-∠B -∠OCB ，∴∠OAD +∠D =∠B +∠OCB ，∠D = 40︒，∠B = 30︒，∴∠OAD + 40︒=∠OCB + 30︒，∴∠OCB -∠OAD = 10︒，AP 、CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的角平分线，∴∠1 =1∠OAD ，∠3 =1∠OCB ，2 2又 ∠1 +∠D =∠3 +∠P ，∴∠P =∠1 +∠D -∠3 =1(∠OAD -∠OCB) +∠D =1⨯ (-10︒) + 40︒= 35︒．2 2故答案为：35︒．6．在∆ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线BD 把三角形ABC 的周长分为9cm 和12cm 的两部分，求三角形各边的长．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设等腰三角形的腰长AB =AC = 2x ，BC =y ，BD 是腰上的中线，∴AD =DC =x ，若AB +AD 的长为12，则2x +x = 12 ，解得x = 4cm ，则x +y = 9 ，即 4 +y = 9 ，解得y = 5cm ；若AB +AD 的长为9，则2x +x = 9 ，解得x = 3cm ，则x +y = 12 ，即3 +y = 12 ，解得y = 9cm ；所以等腰三角形的腰长为8 厘米，底边长为 5 厘米．或腰长为6cm ，底长为9cm ．7．已知a，b，c 是△ABC 的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x．（1）直接写出c 及x 的取值范围；（2）若x 是小于18 的偶数①求c 的长；②判断△ABC 的形状．【解答】解：（1）因为a=4，b=6，所以2＜c＜10．故周长x 的范围为12＜x＜20．（2）①因为周长为小于18 的偶数，所以x=16 或x=14．当x 为16 时，c=6；当x 为14 时，c=4．②当c=6 时，b=c，△ABC 为等腰三角形；当c=4 时，a=c，△ABC 为等腰三角形．综上，△ABC 是等腰三角形．8．如图，四边形ABCD 中，BE 、CF 分别是∠B 、∠D 的平分线．且∠A =∠C = 90︒，试猜想BE 与DF 有何位置关系？请说明理由．【解答】解：BE / / DF ，理由是： 四边形内角和等于360︒，∠A =∠C = 90︒，∴∠ABC +∠ADC = 180︒，BE 、CF 分别是∠B 、∠D 的平分线，∴∠1 =1∠ABC ，∠2 =1∠ADC ，2 2∴∠1 +∠2 = 90︒，在Rt∆DCF 中，∠3 +∠2 = 90︒，∴∠1 =∠3 ，∴BE / / DF ．9．如图，∆ABC 中，三条内角平分线AD 、BE 、CF 相交于点O ，OG ⊥BC 于点G ．（1）若∠ABC = 40︒，∠BAC = 60︒，求∠BOD 和∠COG 的度数．（2）若∠ABC =α，∠BAC =β，则∠BOD 和∠COG 相等吗？请说明理由．【解答】解：（1）∠BOD=∠OAB+∠OBA=1∠BAC +1∠ABC = 50︒2 2∠COG = 90︒-∠OCG= 90︒-1(180︒-∠ABC -∠BAC) 2= 90︒- 40︒= 50︒；（2）∠BOD 和∠COG相等． 理由： ∠BOD =∠OAB +∠OBA=1∠BAC +1∠ABC 2 2=1(α+β) 2=1(180︒-∠ACB) 2= 90︒-1∠ACB 2= 90︒-∠OCG =∠COG ．10．如图1 ，在∆ABC 中，∠B = 90︒，分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点 E ．（1）∠E = 45 ︒；（2）分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点F ．①依题意在图1 中补全图形；②求∠AFC 的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM 在∠AFC 的内部且∠AFM =1∠AFC ，设3EC 与AB 的交点为H ，射线HN 在∠AHC 的内部且∠AHN =1∠AHC ，射线3HN 与 FM 交于点 P ，若∠FAH ，∠FPH 和∠FCH 满足的数量关系为∠FCH =m∠FAH +n∠FPH ，请直接写出m ，n 的值．【解答】解：（1）如图 1 ， EA平分∠DAC ，EC 平分∠ACB ，∴∠CAF =1∠DAC ，∠ACE =1∠ACB ，2 2设∠CAF =x ，∠ACE =y ，∠B = 90︒，∴∠ACB +∠BAC = 90︒，∴ 2 y +180 - 2x = 90，x -y = 45，∠CAF =∠E +∠ACE ，∴∠E =∠CAF -∠ACE =x -y = 45︒，故答案为： 45 ；（2）①如图 2 所示，②如图 2 ， CF 平分∠ECB ，∴∠ECF = 1 y ， 2∠E + ∠EAF = ∠F + ∠ECF ，∴ 45︒ + ∠EAF = ∠F + 1 y ①， 2同理可得： ∠E + ∠EAB = ∠B + ∠ECB ， ∴ 45︒ + 2∠EAF = 90︒ + y ，∴∠EAF = 45 + y ②，2把②代入①得： 45︒ + 45 + y = ∠F + 1 y ，2 2∴∠F = 67.5︒，即∠AFC = 67.5︒ ；（3） 如图 3 ，设∠FAH =α，AF 平分∠EAB ，∴∠FAH = ∠EAF =α，∠AFM = 1∠AFC = 1⨯ 67.5︒ = 22.5︒ ，3 3 ∠E + ∠EAF = ∠AFC + ∠FCH ，∴45 +α= 67.5 + ∠FCH ，∴∠FCH =α- 22.5①，∠AHN = 1 ∠AHC = 1 (∠B + ∠BCH ) = 1 (90 + 2∠FCH ) = 30 + 2∠FCH ， 3 3 3 3 ∠FAH + ∠AFM = ∠AHN + ∠FPH ，∴α+ 22.5 = 30 + 2∠FCH + ∠FPH ，②3 把①代入②得： ∠FPH = α+ 22.5 ，3∠FCH = m ∠FAH+ n ∠FPH ，α- 22.5 = m α+ n α+ 22.5 ，3解得： m = 2 ， n = -3．。
培优专题四三角形中角度的证明与计算
三角形中角度的证明与计算类型一：三角形中两个角的角平分线的夹角1、两个内角平分线的夹角如图，在△ABC 中，O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求∠O 与∠A 之间的关系。
2、一个内角平分线与一个外角平分线的夹角如图，在∆ABC 中，D 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，求∠D 与∠A 之间的关系。
3、两个外角平分线的夹角如图，在∆ABC 中，E 点是∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，求∠E 与∠A 之间的关系。
练习1、如图，在∆ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，BC IH ⊥于H ，试比拟∠CIH 和∠BID 的大小练习2、如图，在∆ABC 中，∠A=n o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ，求2015A ∠ =。
类型二：三角形中两条边的高线的夹角如图，在∆ABC 中，O 点是BC 和AC 边上高的交点，求∠AOB 与∠之间的关系。
E D CBA O类型三：三角形中同一顶点的高线与角平分线的夹角如图，在 ABC 中，AD 是BC 边上高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 与∠B 和∠C 之间的关系。
练习3、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC.(1)假设点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数；(2)假设点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数；(3)假设点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？类型四：三角形中两边中垂线的交点〔锐角、直角、钝角三角形分类讨论〕如图，在△ABC 中，OD 垂直平分AB 交AB 于点D ，OE 垂直平分AC 交AC 于点E ，连接OB ，OC ，求∠BOC 与∠A 之间的关系。
1.4 角平分线同步培优练习题(含答案解析) (2)
1.4 角平分线同步培优练习题一．选择题（共10小题）1．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（）A．8.5B．15C．17D．342．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2B．2.5C．3D．43．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（）A．4B．3C．2D．14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝20，CD＝6，若∠C＝90°，则△ABD面积是（）A．120B．80C．60D．405．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE＝∠DBF B．DE＝DF C．2DF＝DB D．∠BDE＝∠BDF 6．如图，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数（）A．30°B．45°C．60°D．50°7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2B．3C．4D．无法确定8．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三边的垂直平分线的交点9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，则△ADC 的面积是（）A．3B．4C．5D．610．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）11．如图，点O在△ABC内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝．12．如图，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的面积是30，则OD＝．13．如图，∠AOP＝∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠AOB＝45°，PC＝6，则PD的长为．14．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝度．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，角平分线AE与BF相交于点O，则点O到斜边AB的距离为．三．解答题（共7小题）16．在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，请解答下列问题：（1）若AD＝2cm，则D点到BC边的距离是．（2）若BC＝7cm，则△CDE的周长为．（3）连接AE，试判断线段AE与BD的位置关系，并说明理由．17．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．18．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．19．已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．（1）求证：BD＝2CD；（2）若CD＝2，求△ABD的面积．20．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．21．在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，点F在线段CE上运动．（1）如图1，已知∠A＝∠D＝90°①若BF平分∠ABC，则∠BFC＝°②若∠BFC＝90°，试说明∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，已知∠A＝∠D＝∠BFC，试说明BF平分∠ABC．22．证明命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，，．求证：．（请你补全已知和求证）（2）写出证明过程．参考答案一．选择题（共10小题）1．【分析】根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，然后计算出AB+AC+BC即可．【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，∴点O到△ABC各边的距离相等，而OD⊥BC，OD＝4，∴点O到△ABC各边的距离为4，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，∴AB+AC+BC＝17，即△ABC的周长为17．故选：C．2．【分析】作DE⊥AB于E，如图，先根据勾股定理计算出BC＝8，再利用角平分线的性质得到DE＝DC，设DE＝DC＝x，利用面积法得到10x＝6（8﹣x），然后解方程即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC＝＝8，∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，S△ABD＝DE•AB＝AC•BD，即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，即点D到AB边的距离为3．故选：C．3．【分析】过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得解．【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵BD、CE是△ABC的外角平分线，∴PF＝PG，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH，∵点P到AC的距离为4，∴PH＝4，即点P到AB的距离为4．故选：A．4．【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝6，进而利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝6，∴△ABD面积＝，故选：C．5．【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE＝∠DBF，∠BDE＝∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，故选：C．6．【分析】由角平分线性质定理的逆定理和角的和差直接求出∠AOB的度数为60°．【解答】解：如图所示：∵点P在∠AOB的内部，PM⊥AO，PN⊥OB，PM＝PN，∴点P在∠AOB的角平分线上，∴OC平分∠AOB，∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°，故选：C．7．【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题；【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．8．【分析】根据角平分线的性质解答．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的三条角平分线的交点，故选：B．9．【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据（1）中所求S△ACD＝3列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE＝DF＝2．∴S△ACD＝AC•DF＝×3×2＝3，故选：A．10．【分析】如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．利用角平分线的判定定理和性质定理可得PB是∠ABC的平分线，由△P AN≌△P AH，△PCM≌△PCH，推出∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，由∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，推出∠APC＝∠MPN＝60°，由∠BPN＝∠CP A＝60°，推出∠CPB＝∠APN＝∠APH即可一一判断．【解答】解：如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．∵∠P AH＝∠P AN，PN⊥AD，PH⊥AC，∴PN＝PH，同理PM＝PH，∴PN＝PM，∴PB平分∠ABC，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，故①正确，∵在Rt△P AH和Rt△P AN中，，∴△P AN≌△P AH，同理可证，△PCM≌△PCH，∴∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，∵∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠APC＝∠MPN＝60°，故②正确，在Rt△PBN中，∵∠PBN＝30°，∴PB＝2PN＝2PH，故③正确，∵∠BPN＝∠CP A＝60°，∴∠CPB＝∠APN＝∠APH，故④正确．二．填空题（共5小题）11．【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A．【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣2×（180°﹣∠BOC）＝180°﹣2×（180°﹣130°）＝80°，故答案为：80°．12．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×OD＝×20×OD＝30，解得：OD＝3，故答案为：313．【分析】过P作PE⊥OB，根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直角三角形，得出PE＝3，根据角平分线的性质即可证得PD＝PE＝3．【解答】解：过P作PE⊥OB，∵∠AOP＝∠BOP，∠AOB＝45°，∴∠AOP＝∠BOP＝22.5°，∵PC∥OA，∴∠OPC＝∠AOP＝22.5°，∴∠PCE＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝PC＝×6＝3，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE＝3，故答案为3．14．【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等，∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，∴∠CBP+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD），∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBP+∠BCP＝×180°＝90°，∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°．故答案为：9015．【分析】利用勾股定理列式求出BC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O 到△ABC三边的距离相等，设为h，再利用△ABC的面积列出方程求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵角平分线AE与BF相交于点O，∴点O到△ABC三边的距离相等，设为h，则S△ABC＝（10+6+8）h＝×6×8，解得h＝2，即点O到斜边AB的距离为2．故答案为：2．三．解答题（共7小题）16．【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；（2）证明△ABD≌△EBD，得到BA＝BE，根据三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的判定定理解答．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A＝90°，∴DE＝AD＝2cm，故答案为：2cm；（2）在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴BA＝BE，△CDE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD+CE＝AC+CE＝AB+CE＝BE+CE＝BC＝7cm，故答案为：7cm；（3）∵DA＝DE，BA＝BE，∴BD⊥AE．17．【分析】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PM，同理可得PM＝PN，从而得到PD＝PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解答】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD＝PM，同理，PM＝PN，∴PD＝PN，∴点P在∠A的平分线上．18．【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC∴CD＝DE又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．∴DE＝DC＝2.6cm．∴点D到AB的距离为2.6cm．19．【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE＝CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；（2）依据AD＝BD＝2CD＝4，即可得到Rt△ACD中，AC＝＝2，再根据△ABD的面积＝×BD×AC进行计算即可．【解答】解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴DE＝CD，又∵∠B＝30°，∴Rt△BDE中，DE＝BD，∴BD＝2DE＝2CD；（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝2CD＝4，∴Rt△ACD中，AC＝＝2，∴△ABD的面积为×BD×AC＝×4×2＝4．20．【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．【解答】解：如图，点P为所作．21．【分析】（1）①先根据∠A+∠D＝180°得AB∥CD，可得∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线和三角形的内角和可得结论；②先根据同角的余角可得：∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，可得结论；（2）如图2，延长BF交于点M，根据四边形的内角和定理和邻补角的性质可得∠DCF ＝∠EMF，根据三角形的内角和定理得∠FEM＝∠CBF，同理得∠FEM＝∠ABF，从而得结论．【解答】解：（1）①∵∠A＝∠D＝90°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CE平分∠BCD，BF平分∠ABC，∴∠CBF＝，∠BCF＝，∴∠CBF+∠BCF＝＝90°，∴∠BFC＝90°；故答案为：90②∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCF，∴∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBF＝∠ABC，∴∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，延长BF交于点M，∵∠BFC＝∠D，∠BFC+∠CFM＝180°，∴∠CFM+∠D＝180°，∴∠FMD+∠DCF＝180°，∵∠FMD+∠EMF＝180°，∴∠DCF＝∠EMF，∵CE平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠BCF＝∠EMF，∵∠EFM＝∠BFC，∴∠FEM＝∠CBF，∵∠CFB＝∠A，同理得∠FEM＝∠ABF，∴∠ABF＝∠CBF∴BF平分∠ABC．22．【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证；（2）证明△OPD≌△OPE，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】解：（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD＝PE，故答案为：PD⊥OA于D；PE⊥OB于E；PD＝PE；（2）证明：在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD＝PE．。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题04 三角形的角平分线及其规律
()专题04 三角形的角平分线及其规律专题解读】无论是中考，或者是竞赛中，常常有与三角形的角平分线（包括内、外角的平分线）相关的问题.这类题目形式多样，变化方向非常广泛。
如果我们能够善于对这类有关三角形的角平分线的基本图形进行归类，并对角平分线的性质和结论做好总结，那么必将对我们的学习产生很大的帮助，也将更有利于我们有效地找寻到解决有关的较难几何证明题的思路与方法.思维索引例1.（1）如图（1），在△ABC 中，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，已知：∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE 的度数； （2）如图（2），∠BAC 的角平分线AF 交BC 于点E ，过点F 作FD ⊥BC 于点D ，若∠C -∠B=30°，求∠F 的度数.E DAED AB BF图（1） 图（2）例2.已知：∠MON=40°，OE 平分∠MON ，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点（A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D .设OAC x ∠=︒图1 图2 （1）如图1，若AB /∥ON ，则 ①∠ABO 的度数是____________②当∠BAD =∠ABD 时，x =__________；当∠BAD =∠BDA 时，x =____________（2）如图2，若AB ⊥OM ，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由.例3.已知：△ABC 中，记,BAC ACB αβ∠=∠=.（1）如图1，若AF 平分∠BAC ，BF 、CF 分别平分△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE ，BG ⊥AF 于点G . ①用α的代数式表示∠BFC 的度数；②用β的代数式表示∠FBG 的度数；（2）如图2，若点F 为△ABC 的三条内角平分线的交点，且BG ⊥AF 于点G . ①请补全图形；②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请直接写出正确的结论.EB图1 图2素养提升1.△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点D ，连接AD ，若∠BDC =130°，则∠BAD 为（ ） A.65° B.60° C.40° D.35°2.如图，在△ABC 中，∠B=42°，△ABC 的外角∠EAC 和∠FCA 的平分线交于点D ，则∠ADC 为（ ） A.75° B.69° C.63° D.45°3.如图，∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点F 、D ，若∠BEC=132°，∠BGC=118°，则∠A 为（ ） A.65° B.66° C.70°D.78°BBEB第1题图 第2题图 第3题图4.如图，在△ABC 中，∠A=52°，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于1D ，∠AB 1D 与∠AC 1D 的角平分线于点2D ，依次类推，∠AB 5D 与∠AC 5D 的角平分线交于点6D ，则∠B 6D C 的度数是（ ） A.56° B.60° C.68° D.54°5．如图，∠ABC =∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF .以下结论：①AD //BC ；②∠ACB=2∠ADB ；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 平分∠ADC ；⑤∠BDC =12∠BAC .其中正确的结论有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个BBB第4题图 第5题图 第6题图6．△ABC 的外角平分线CD 与∠ABC 平分线BD 交于点D ，若∠BDC =40°，则∠CAD =________． 7．如图，在△ABC 中，∠A =m °，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点1A ，∠1A BC 的平分线与1ACD ∠的平分线交于点21,,n A A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，则n A ∠=__________°.（用含m 的代数式表示） 8.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC 的角平分线与∠DCB 的外角平分线相交于点F ，且∠A +∠D=210°，则∠F =_____________°.9.如图，若AB //CD ，BF 平分∠ABE ，CF 平分∠DCE ，∠BEC=86°，则∠BFC =__________°.2BB第7题图 第8题图 第9题图10.如图，在△ABC 中，∠A=60°，HI 、FI 分别平分∠ABC 、∠ACB ，BD 、CD 分别平分∠HBC 、∠BCF ，BE 、CE 分别平分∠DBC 、∠DCG ，则∠E =_________°.11.（1）如图甲，在凹四边形ABCD 中，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点E ，∠A=60°，∠BDC=140°，则∠E =__________°（2）如图乙，∠ABD ，∠BAC 的角平分线交于点E ，∠C=40°，∠BDC=140°，求∠AEB 的度数； （3）如图丙，∠ABD ，∠ACD 的10等分线相交于点1F 、2F 、…、9F ，若∠BDC =120°，∠B 3F C =64°，则∠A 的度数为___________.B图甲 图乙 图丙12.如图，已知点A 、B 分别在∠ECF 的两边上（不与点C 重合），AD 、BD 平分∠EAB 和∠ABF 相交于点D .（1）如图1，若∠ECF =90，试猜想∠ADB =________________°； （2）在（1）的基础上，若∠ECF 每秒钟变小10°，经过了1秒（09t <<）， ①试用含t 的代数式表示∠ADB 的度数；②并求出当t 取何值时，∠ECF 与∠ADB 的度数相等；（3）如图3，在（2）的条件下，若BG 平分∠ABC ，其它条件不改变，是否存在t ，使得23BGD ADB ∠=∠，若存在直接写出t 的值，若不存在，请说明理由.CA图（1） 图（2）13．（1）如图1，BD 、BC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∠A ＝70°，则∠BDC ＝ ．（2）如图2，将△ABC 沿BC 向右平移后可得△FCE ，BD 、DE 分别平分∠ABC 、∠FE C ．∠A ＝n °，求∠BDE 的度数；（3）如图3，将△ABC 绕点C 旋转180°得△EFC ，DA 平分∠BAC ，DB 平分∠ABC ，GF 平分∠CFE 、GE 平分∠CEF 的外角，试探究∠ADB 与∠FGE 有何确定的数量关系，并说明理由．BCD A BCDEFAAH GFEDCB图1 图2 图314．直线EF 与直线MN 垂直相交于O ，点A 在直线EF 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AG 、BG 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AGB 的大小是否会发生变化?若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AGB 的大小；（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠EAB 和∠ABM 的角平分线，又DG 、CG 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CGD 的大小是否会发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，延长AB ，已知∠BAO 和它的外角平分线分别与∠AON 的角平分线及其延长线相交于G 、C ，在△BCG 中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求∠BAO 的度数．AOMGF E BNAONM GFED CB A ONMG FECB图1 图2 图3专题04三角形的角平分线及其规律思维索引】例1．(1)∠DAE ＝10° (2)∠F ＝15°例2．(1)①∠ABO ＝20° ②120；60 (2)20；35；50；125例3．(1)①∠BFC ＝90°－12α； ②．∠FBG ＝90°－12β (2)①∠BFC ＝90°＋12α； ②∠FBG ＝12β．素养提升】1．C ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．C ； 6．50°； 7．2nm； 8．15°； 9．43°； 10．30°； 11．(1)100°； (2)130°； (3)40°；12．(1)45°； (2)①45°＋5t ； ②t ＝3秒； (3)t ＝1.8． 13．(1)125°； (2) 90°＋12n ； (3)∠ADB ＝90°＋∠FGE ．14．(1)45°； (2)67.5°； (3)45°或36°．。
最新七年级下北师大版认识三角形,三角形的中线、角平分线高线培优试题
认识三角形（一） 一．边的大小关系，范围讨论例1 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm ）（1） 1， 3， 3 （ ）（2） 3， 4， 7 （ ）（3） 5， 9， 13 （4） 14， 15， 30 （ ）例2已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 ；若X是奇数，则X 的值是 ，这样的三角形有 个；若X 是偶数，则X 的值是 ；这样的三角形又有 个。
例3一个等腰三角形的一边是5cm ，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是多少例4如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，求AC 的长．过手变式练习：1 有一个三角形的两边分别为5和12，且周长为奇数，则满足条件的三角形的个数为__________2 已知一个三角形有两边相等，周长为56cm ，两边之比为3：2，则这个三角形各边的长为_______4 若a ，b ，c 是△ABC 的三边，试化简=+-+-++--c b a c b a c b a __________________5 已知在△ABC 中，010616222=++--bc ab c b a ，若a ，b ，c 是三角形的三边，求证b c a 2=+ 二．角的关系例1 AD 是△ABC 的一条高，也是△ABC 的角平分线，若∠B =40°,求∠BAC 的度数.例2如图，△ABC 中，∠ B ＝34°，∠ACB＝104°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠ BAC 的平分线，求∠ DAE的度数．B CD E例3（1）如图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = （ ）A.180°B.260°C.270°D.360°例4.一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于 （ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°过手变式练习：1、如图，已知 ∠E ＋∠F ＝∠H ，求：∠A ＋∠B ＋∠ACD ＋∠CDG 的度数．2、如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．解答下列问题：(1)若∠D ＝40，∠B ＝36，求∠P 的度数；(2)如果图中的∠D 和∠B 为任意角时，其它条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系？（直接写出结论即可）3、如图，BD 是△ABC 中∠ABC 的角平分线，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线，它与BD 的延长线交于点D ，我们将会得到∠A ＝2∠D 这一结论，试想一想为什么？并加以说明．5（1）在△ＡＢＣ中，∠A-∠B=20°，∠B-∠C=20°，求∠A 和∠C 的度数。
培优专题3：三角形中与角平分线有关的规律探究
30°
.
3. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，∠ ACB ＝60°，点 P 为 BC 上任意一点，
可以与点 C 重合但不与点 B 重合， AD 平分∠ BAP ， BD 平分∠ ABP .
（1）当点 P 与 C 重合时，∠ ADB 的度数为 120°
（2）当 AP ⊥ BC 时，∠ ADB 的度数为 135°
◉答案 解：（2）由题意知∠ B ＝∠ C ＋ x °.∵ AF 平分∠ BAC ，∴∠
BAE ＝∠ CAE . 又∵∠ BAE ＋∠ B ＋∠ AEB ＝∠ CAE ＋∠ C ＋∠
AEC ，∴∠ B ＋∠ AEB ＝∠ C ＋∠ AEC ，∴∠ AEC ＝∠ AEB ＋ x °.又
∵∠ AEB ＋∠ AEC ＝180°，∴∠ AEB ＋∠ AEB ＋ x °＝180°，∴∠
DB ， DC ， BC 的延长线上， BE ， CE 分别平分∠ MBC ，∠ BCN ， BF ， CF 分别
52° .
平分∠ EBC ，∠ ECQ ，若∠ F ＝16°，则∠ A ＝
第9题图
规律四：角平分线与高线的夹角
方法归纳：三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的
一半.如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ， AE 平分∠ BAC ，则∠ EAD ＝
（∠ B －∠ C ）（其中∠ B ＞∠ C ）.
10. （深圳期中）如图，△ ABC 中， AD ⊥ BC ， AE 是∠ BAC 的平分线，∠ B ＝
60°，∠ BAC ＝84°，则∠ DAE ＝
1. [模型观念]如图，点 O 是△ ABC 中∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的平分线的交点，
三角形的内角与外角角平分线培优练习题
三角形的内角与外角角平分线培优练习题集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]三角形的内角与外角角平分线1、如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点。
（1）∠ABC=50°，∠ACB=80°则∠D=.（2）∠A=100°，则∠D=.（3）∠D=150°，则∠A=.（4）写出∠D和∠A的关系2、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，（1）∠ABC=50°，∠A=80°则∠D=.（2）∠A=100°，则∠D=.（3）∠D=50°，则∠A=.（4）写出∠D和∠A的关系3、如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，（1）∠1=80°，∠2=50°则∠O=.（2）∠A=100°，则∠O=.（3）∠D=50°，则∠A=.（4）设∠BOC=a，则∠A等于.4、如图已知△ABC中，∠A=39°，∠B和∠C的三等分线分别交于D、E两点，则∠BDC度数是（）A．133°B．86°C．109.5°D．88°5、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CB两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CB两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数是.6、如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）7、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM 两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CM两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CM两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数是.8、如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°,则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______.P3P2P1C B。
【能力培优】与三角形有关的角(含答案)
11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20° C．25° D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC ，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC ，所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，6．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．祝福语祝你考试成功!。
【能力培优】12.3 角的平分线的性质(含答案)
12.3 角的平分线的性质专题一 利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC 中，AC=AB ，D 在BC 上，若DF ⊥AB ，垂足为F ，DG ⊥AC ，垂足为G ，且DF=DG ．求证：AD ⊥BC.2．如图，已知CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE ，CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ． 求证：OB =OC ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，21BAC B ∶∶∠∠，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，AC =3 cm ，求BE 的长．专题二角平分线的性质在实际生活中的应用4．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．参考答案:1．证明：∵DF AB DG AC DF DG ⊥⊥=，，，∴AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD =∠∠．在ABD △和ACD △中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已求）已知）AD AD DAC DAB AC AB (∴SAS)ABD ACD (△≌△． ∴ADB ADC =∠∠．又∵180BDA CDA +=︒∠∠，∴90BDA =︒∠，∴AD BC ⊥．2．证明：∵AO 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OD =OE ，在Rt △BDO 和Rt △CEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,COE DOB OEOD CEO BDO∴(ASA)BDO CEO △≌△．∴OB =OC ．3．解：∵∠C =90°，∴∠BAC +∠B =90°，又DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°，又21BAC B =∶∶∠∠，∴∠A =60°，∠B =30°，又∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC =DE ，∴3AE AC ==cm ．在Rt △DAE 和Rt △DBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.DE DE BED AED B DAE∴△DAE ≌△DBE （AAS ），∴3BE AE == cm ．4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选C．5．∠A的角平分线上，且距A1cm处角平分线上的点到角两边的距离相等6．解：作两个角的平分线，交点P就是所求作的点．祝福语祝你考试成功!。
[数学]-专项7.5三角形的内角和与外角和专项提升训练(重难点培优)-【】2022-2023学年七年
![[数学]-专项7.5三角形的内角和与外角和专项提升训练(重难点培优)-【】2022-2023学年七年](https://img.taocdn.com/s3/m/e74dbb46bb1aa8114431b90d6c85ec3a87c28bb2.png)
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题7.5三角形的内角和与外角和专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•楚雄州期末）在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝35°，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形2．（2022•天津模拟）直角三角形的一锐角是50°，那么另一锐角是（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．（2021秋•绥德县期末）如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，连接CE，下列结论不一定正确的是（）A．∠BCD＞∠A B．∠BCD＞∠1 C．∠2＞∠3 D．∠BCD＝∠A+∠B4．（2022春•九龙坡区校级月考）如图，已知AD和AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝56°，∠EAD＝10°，则∠C的度数为（）A．80°B．76°C．74°D．66°5．（2022秋•江汉区期中）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（）A．42°B．40°C．38°D．35°6．（2022秋•延平区校级月考）将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2的度数等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°7．（2022秋•阜阳期中）如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C ＝64°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（）A．44°B．46°C．48°D．50°8．（2022秋•新洲区期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC的度数为（）A．B．C．30°﹣D．45°﹣α二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022秋•阜康市校级月考）在△ABC中，已知∠A＝∠B+∠C，那么△ABC的形状．10．（2022秋•衢江区期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝度．11．（2022•永丰县模拟）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，AD∥BC，则∠D的度数为．12．（2022秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，F在射线AD上，FE⊥BC于E，∠C＝80°，∠B＝36°，则∠F＝度．13．（2022秋•武昌区校级期中）在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，∠BOC＝150°，则∠A 的度数为．14．（2022秋•新田县期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，∠A2021BC的平分线与∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝．15．（2022•寻乌县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A′处，若A′P∥AC，则∠PDA′的度数为．16．（2021秋•昭阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝α，则∠2＝，∠BOC＝．（用含α的式子表示）三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADE的度数．18．（2022秋•中江县校级月考）已知△ABC中，∠B＝5∠A，∠C﹣∠B＝15°，求∠A，∠B，∠C的度数．19．（2022秋•江汉区期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C ＝70°．（1）∠AOB的度数为；（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．20．（2022秋•阜阳期中）如图，在△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于点F，交BC于点D．（1）求证：∠ABC＝∠AFE；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD交BC于点G，EH⊥BE交BC于点H，求∠HEG的度数．21．（2021秋•长乐区期末）如图，在△ABC中，DE∥AC交AB，BC于点D，E，EF平分∠DEB交AB于点F，且∠B＝42°，∠DFE＝73°，求∠A的度数．22．（2021秋•兴庆区校级期末）（1）如图1，已知任意△ABC，过点C作DE∥AB，求证：△ABC的三个内角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°；（2）如图2，求证：∠AGF＝∠AEF+∠F；（3）如图3，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线于点F，∠AGF＝150°，求∠F的度数．23．（2022秋•阜阳期中）如图，△AOB与△COD中的∠AOB与∠COD是对顶角．（1）如图1，证明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，AP，DP分别是∠BAO，∠CDO的平分线，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，∠BAO与∠CDO的相邻补角平分线交于点P，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明．24．（2022春•泰州月考）如果三角形的两个内角a与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．（1）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，求证：△ABD是“奇妙互余三角形”．（2）关于“奇妙互余三角形”，有下列结论：①在△ABC中，若∠A＝130°，∠B＝40°，∠C＝10°，则△ABC是“奇妙互余三角形”；②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．其中，结论正确的有．（填写序号）（3）在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝52°，点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出∠APB的度数．。
三角形培优训练100题集锦(一)2024
三角形培优训练100题集锦（一）【引言概述】三角形是数学中的一个重要几何概念，对于学生的数学培优训练具有重要意义。
本文整理了一份包含一百道三角形相关题目的训练集锦，旨在帮助学生系统地掌握三角形的性质、定理和计算方法，提高解题能力。
以下将从五个大点来阐述这份题集的内容。
【大点1：三角形基础知识】1. 三角形的定义及分类2. 三角形内角和的性质3. 三角形边长关系：三角不等式定理4. 三角形的周长和面积计算公式5. 三角形的特殊点：重心、垂心、外心、内心、费马点等【大点2：三角形的相似与全等】1. 相似三角形的性质2. 判定三角形相似的方法3. 三角形的全等的条件4. 利用相似三角形或全等三角形解题的方法5. 实际问题中的应用：测量、定位、相似比例等【大点3：三角形的角与线段关系】1. 角的平分线与垂直平分线的特点2. 三角形的角平分线定理3. 三垂线定理与垂心定理4. 外角与内角的关系5. 角与弧的关系及其应用：圆周角、弦切角、弧度制等【大点4：三角形的特殊性质与定理】1. 等腰三角形的性质与判定2. 直角三角形的性质与判定3. 正三角形的性质及计算4. 等边三角形的性质及计算5. 锐角三角形和钝角三角形的性质及判定【大点5：三角形的应用问题】1. 三角形的角度测量与边长测量2. 三角形在建筑工程中的应用：测量高度、角度与距离3. 三角形在地理学中的应用：测量地底深度、地图测量等4. 三角形在航空航天领域的应用：导航、角度计算等5. 三角形在日常生活中的应用：地理问题、旅行导航、地震角度计算等【总结】通过对本文中所整理的三角形培优训练100题集锦的学习，同学们将能够掌握三角形的基础知识，灵活运用三角形的相似与全等等性质和定理，熟练解决三角形的角与线段关系问题，理解各种特殊三角形的性质，并能够应用三角形的知识解决实际问题。
这将为学生的数学学习和思维能力的提高提供坚实的基础。
三角形的内角和及外角定理 培优练习
三角形的内角和及外角定理培优练习一、单选题(共12道，每道8分)1.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数为( )A.10°B.12°C.15°D.18°答案：A解题思路：2.已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )A.30°B.40°C.60°D.80°答案：B解题思路：3.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( )A.40°B.45°C.50°D.55°答案：A解题思路：4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，∠AFD=158°，则∠EDF=( )A.79°B.68°C.44°D.42°答案：B解题思路：5.如图，在△ABC中，∠BAC=4∠1=4∠C，BD⊥CA于点D，则∠DBA=( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：6.如图，一个直角三角形纸片ABC，剪去直角后，得到一个四边形GBCH，则∠1+∠2=( )A.90°B.180°C.240°D.270°答案：D解题思路：7.如图，在四边形ABCD中，∠A=62°，∠B=38°，∠BCD=140°，则∠D的度数为( )A.40°B.24°C.50°D.45°答案：A解题思路：8.如图，已知∠A=35°，∠B=20°，∠C=25°，则∠BDC的度数为( )A.55°B.60°C.80°D.90°答案：C解题思路：9.一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中α的度数为( )A.90°B.105°C.120°D.135°答案：B解题思路：10.如图，P为△ABC内任一点，延长CP交AB于点D，则下列结论一定正确的是( )A.∠1=∠2+∠3B.∠1=∠2+∠A+∠ACDC.∠2=∠A+∠ACDD.∠3=∠A+∠ACD答案：D解题思路：11.已知△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD，BE相交于点H，则∠AHB的度数为( )A.90°B.100°C.110°D.120°答案：C解题思路：12.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠B=∠1，∠ADC=80°．求∠C的度数．解：如图，∵∠ADC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠ADC=∠1+∠B（_______________________）∵∠B=∠1（已知）∴∠ADC=2∠1（等式的性质）∵∠ADC=80°（已知）∴∠1=∠ADC=40°（_______________________）∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠2=∠1=40°（角平分线的定义）∴∠C=180°-∠2-∠ADC=180°-40°-80°=60°（_______________________）①三角形的内角和是180°；②同角或等角的补角相等；③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；④等式的性质；⑤等量代换．以上空缺处依次所填正确的是( )A.②④①B.③④①C.③②①D.②⑤④答案：B解题思路：。
角平分线的性质同步培优题典(解析版)
专题2.6角平分线的性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•碑林区校级模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，若AC ＝3，BC ＝4，则S △ABD ：S △ACD 为（ ）A ．5：4B ．5：3C ．4：3D ．3：4【分析】过D 作DF ⊥AB 于F ，根据角平分线的性质得出DF ＝DC ，再根据三角形的面积公式求出△ABD 和△ACD 的面积，最后求出答案即可．【解析】过D 作DF ⊥AB 于F ，∵AD 平分∠CAB ，∠C ＝90°（即AC ⊥BC ），∴DF ＝CD ，设DF ＝CD ＝R ， 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，由勾股定理得：AB =√32+42=5，∴S △ABD =12×AB ×DF =12×5×R =52R ，S △ACD =12×AC ×CD =12×3×R =32R ，∴S △ABD ：S △ACD ＝（52R ）：（32R ）＝5：3， 故选：B ．2．（2020春•高明区期末）如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，若CD ＝4，AB ＝14，则S △ABD ＝（ ）A ．56B ．28C ．14D ．12【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE ＝CD ，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ＝4，∴△ABD 的面积=12AB •DE =12×14×4＝28．故选：B ．3．（2020•怀化）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ，若BD ＝3，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．6【分析】根据角平分线的性质即可求得．【解析】∵∠B ＝90°，∴DB ⊥AB ，又∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，∴DE ＝BD ＝3，故选：A．4．（2020春•龙岗区期末）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC＝3，则点P到OB的距离为（）A．3B．4C．5D．6【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC＝PD，从而得解．【解析】如图，过点P作PD⊥OB于D，∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA，∴PC＝PD＝3，即点P到OB的距离等于3．故选：A．5．（2020春•锦江区期末）点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜10B．PQ＞10C．PQ≥10D．PQ≤10【分析】过P作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质得出PC＝PD＝10，再根据垂线段最短得出即可．【解析】过P 作PD ⊥OB 于D ，∵PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，OP 平分∠AOB ，∴PC ＝PD ，∵点P 到OA 边的距离等于10，∴PD ＝PC ＝10，∴PQ ≥10（当Q 与点D 重合时，PQ ＝10），故选：C ． 6．（2020•岐山县二模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（ ）A ．2B ．2√2C ．√3D ．52 【分析】作DH ⊥AB 于H ，如图，根据角平分线的性质得到DH ＝DC ＝2，然后根据垂线段最短求解．【解析】作DH ⊥AB 于H ，如图，∵AD 平分∠BAC ，DH ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DH ＝DC ＝2，∵Q 为AB 上一动点，∴DQ 的最小值为DH 的长，即DQ 的最小值为2．故选：A ．7．（2020•丽水模拟）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，小明进行如图步骤尺规作图，根据操作，对结论判断正确的序号是（）①AD平分∠BAC；②AC＝2DG；③S△ADC＝S△ABD；④S△ADC＝2S△ADG．A．①②③④B．③④C．②③D．②③④【分析】利用基本作图得到DG⊥BC，BD＝CD，则AD为△ABC的中线，则可对①进行判断；再证明DG为△ABC的中位线，则可对②进行判断；然后根据三角形面积公式对③④进行判断．【解析】由作法得DG垂直平分BC，∴DG⊥BC，BD＝CD，∴AD为△ABC的中线，所以①错误；∵∠C＝90°，∴DG∥AC，∴DG为△ABC的中位线，∴AC＝2DG，所以②正确；BG＝AG，∴S△ADC＝S△ABD，所以③正确；S△ADG＝S△BDG，∴S△ADC＝2S△ADG，所以④正确．故选：D．8．（2020•南山区模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（）A．4B．5C．9D．10【分析】作GM⊥AB于M，如图，先利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到GM ＝GH＝2，然后根据三角形面积公式计算．【解析】作GM⊥AB于M，如图，由作法得AG平分∠BAC，而GH⊥AC，GM⊥AB，∴GM＝GH＝2，∴S△ABG=12×5×2＝5．故选：B．9．（2020•长春模拟）如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（）A．4√3cm2B．2√3cm2C．4cm2D．2cm2【分析】先确定OB是∠MON的角平分线，得出∠BON＝30°，作BD⊥ON于D，根据等腰三角形的性质得出∠BCN＝60°，解直角三角形求得BD，然后根据三角形面积公式求得△BOC的面积，进而求得四边形OABC的面积．【解析】由题意可知OB是∠MON的角平分线，∵∠MON＝60°，∴∠BON＝30°，作BD⊥ON于D，∵OC＝BC＝2，∴∠BOC＝∠OBC＝30°，∴∠BCN＝60°，∴BD=√32BC=√3，∴S△BOC=12×OC×BD=12×2×√3=√3，∴四边形OABC的面积＝2S△BOC＝2√3，故选：B．10．（2019秋•霸州市期末）如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（）A．20B．12C．10D．8【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD＝2，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF＝OD＝2，∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积=12×（AB+BC+AC）×OD=12×10×2＝10，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•宁德期末）如图，已知△ABC，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AD＝3，CD＝2，则点D到AB边的距离为2．【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，即可得解．【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，BD是三角形的角平分线，∴DE＝CD＝2，即点D到AB边的距离是2．故答案为：2．12．（2020•湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为3．【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．【解析】根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，∴PM＝PD＝3，故答案为：3．13．（2020春•市北区期末）如图，△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为1cm．【分析】根据角平分线的性质得出PE＝PD＝PF，进而利用三角形的面积公式解答即可．【解析】过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴PD＝PE，PD＝PF，∴PE＝PD＝PF，∵△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC=12×AB×AC=12AB⋅PE+12BC⋅PD+12AC⋅PF，即12×6×2.5=12PD ⋅(AB +AC +BC)=12PD ×(2.5+6+6.5)， 解得：PD ＝1（cm ），故答案为：1．14．（2020春•太原期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CD ＝3，DB ＝5，点E 在边AB 上运动，连接DE ，则线段DE 长度的最小值为 3 ．【分析】当DE ⊥AB 时，线段DE 的长度最小，根据角平分线的性质得出CD ＝DE ，代入求出即可．【解析】当DE ⊥AB 时，线段DE 的长度最小（根据垂线段最短），∵AD 平分∠CAB ，∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DE ＝CD ，∵CD ＝3，∴DE ＝3，即线段DE 的长度的最小值是3，故答案为：3．15．（2020春•南岗区校级期中）如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，若△ABC 的面积为21cm 2，AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，则DE 的长为 3 cm ．【分析】先根据角平分线的性质得到DE ＝DF ，再利用三角形面积公式得到12×AB ×DE +12×DF ×AC ＝21，所以12×8×DE +12×DE ×6＝21，然后解关于DE 的方程即可． 【解析】∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∵S △ABD +S △ACD ＝S △ABC ，∴12×AB ×DE +12×DF ×AC ＝21， 即12×8×DE +12×DE ×6＝21，∴DE ＝3（cm ）．故答案为3．16．（2019秋•安居区期末）三条公路将A 、B 、C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是 ∠A 、∠B 、∠C 的角平分线的交点处 ．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【解析】在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A 、∠B 、∠C 的角平分线的交点处．故答案为：∠A 、∠B 、∠C 的角平分线的交点处．17．（2019秋•余姚市期末）在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，点P ，Q ，M ，N 是四个格点，则这四个格点中到∠AOB 两边距离相等的点是 M 点．【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解析】由图形可知，点M 在∠AOB 的角平分线上，∴点M 到∠AOB 两边距离相等，故答案为：M ．18．（2019秋•南江县期末）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为30，40，15，点P 是△ABC 三个内角平分线的交点，则S △P AB ：S △PBC ：S △PCA ＝ 6：8：3 ．【分析】先根据角平分线的性质得到P点到三边的距离相等，设这个距离为m，然后根据三角形面积公式得到S△P AB：S△PBC：S△PCA＝AB：BC：AC．【解析】∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，∴P点到三边的距离相等，设这个距离为m，∴S△P AB：S△PBC：S△PCA=12×AB×m−12×BC×m−12×AC×m＝AB：BC：AC＝30：40：15＝6：8：3．故答案为6：8：3．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•南岗区期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DH＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．【解析】（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=12×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB=12×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面积=12DF•AC=12×2×4＝4．20．（2019秋•临西县期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC 于点N．求证：P A平分∠MAN．【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根据角平分线的判定定理证明即可．【解析】证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴P A平分∠MAN．21．（2019秋•呼和浩特期末）已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD 于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC＝90°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．【解析】证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，又CE平分∠BCD，∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．22．（2019秋•涡阳县期末）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【分析】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PM，同理可得PM＝PN，从而得到PD＝PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD＝PM，同理，PM＝PN，∴PD＝PN，∴点P在∠A的平分线上．23．（2019秋•交城县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD．【分析】根据条件可得到FM＝FN，再根据角的度数可求得∠NEF＝75°＝∠MDF，可证明△EFM≌△DFN，可得到FE＝FD．【解析】证明：连接BF，∵F是△ABC的角平分线交点，∴BF也是角平分线，∵FM ⊥AB ，FN ⊥BC ，∴MF ＝FN ，∠DNF ＝∠EMF ＝90°，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∴∠DAC =12∠BAC ＝15°，∴∠CDA ＝75°，∵∠NFC ＝45°，∠MFN ＝120°，∴∠MFE ＝15°，∴∠MEF ＝75°＝∠NDF ，在△DNF 和△EMF 中，{∠DNF =∠EMF ∠NDF =∠MEF NF =MF，∴△DNF ≌△EMF （AAS ），∴FE ＝FD ．24．（2019秋•潮州期末）如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD ＝CD ，BE ＝CF求证：AD 平分∠BAC ．【分析】由DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD ＝CD ，BE ＝CF ，即可判定Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），则可得DE ＝DF ，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD 平分∠BAC ．【解析】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠E ＝∠DFC ＝90°，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，{BD=CDBE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC．。
北京师范大学第二附属中学八年级数学上册第十一章《三角形》基础练习(培优专题)
一、选择题1．如图，AD 是ABC 的外角CAE ∠的平分线，35B ∠=︒，60=︒∠DAC ，则ACD ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．85︒C ．60︒D ．95︒D解析：D【分析】 根据角平分线的定义可得∠DAC ＝∠DAE ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵AD 是∠CAE 的平分线，60=︒∠DAC ，∴∠DAC ＝∠DAE ＝60°，又∵35B ∠=︒由三角形的外角性质得，∠D ＝∠DAE−∠B ＝60°−35°＝25°，∴在△ACD 中，∠ACD ＝180°−∠DAC －∠D ＝180°−60°−25°＝95°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．2．已知长度分别为3cm ，4cm ，xcm 的三根小棒可以摆成一个三角形，则x 的值不可能是（ ）A ．2.4B ．3C ．5D ．8.5D解析：D【分析】先根据三角形的三边之间的关系求解1＜x ＜7，从而可得答案．【详解】 解： 长度分别为3cm ，4cm ，xcm 的三根小棒可以摆成一个三角形， 43∴-＜x ＜43+，1∴＜x ＜7，x 的值不可能是8.5.故选：.D【点睛】本题考查的是三角形的三边之间的关系，掌握三角形的三边之间的关系是解题的关键．3．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．11B解析：B【分析】逐一探究在三角形，四边形，五边形一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，得到分割成的三角形的数量，再总结规律，运用规律列方程即可得到答案．【详解】解：如图，探究规律：在三角形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与三角形的各顶点连接起来，可以将三角形分割成2个三角形，在四边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与四边形的各顶点连接起来，可以将四边形分割成3个三角形，在五边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与五边形的各顶点连接起来，可以将五边形分割成4个三角形，总结规律：在n边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n边形的各顶点连接起来，可以将n边形分割成()1n-个三角形，应用规律：n-=由题意得：18,n∴=9.故选：.B【点睛】本题考查的是规律探究及规律运用，探究“在n边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n边形的各顶点连接起来，把n边形分割成的三角形的数量”是解题的关键．4．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10D解析：D【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解方程即可．【详解】解：设多边形有n条边，由题意得：180（n﹣2）＝360×4，解得：n＝10，故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．5．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，6，10C 解析：C【分析】根据三角形三边关系逐一进行判断即可．【详解】A、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；B、1+3=4＜5，不能构成三角形，故不符合题意；C、2+3=5>4，可以构成三角形，故符合题意；D、2+6=8＜10，不能构成三角形，故不符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键．6．若多边形的边数由3增加到n（n为大于3的正整数），则其外角和的度数（）A．不变B．减少C．增加D．不能确定A 解析：A【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题．【详解】解：因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的度数是不变的．故选：A．【点睛】此题考查多边形内角与外角的性质，容易受误导，注意多边形外角和等于360°．7．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（）A．4cm, 5cm,9cm B．4cm, 5cm, 6cmC．5cm,12cm,6cm D．4cm,2cm,2cm B解析：B【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．【详解】解：根据三角形的三边关系，知：A中，4+5=9，排除；B中，4+5＞6，满足；C中，5+6＜12，排除；D中，2+2=4，排除．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．a b，含30角的直角三角板按如图所示放置，顶点A在直线a上，斜边8．已知直线//BC与直线b交于点D，若135∠=︒，则2∠的度数为（）A．35︒B．45︒C．65︒D．75︒C解析：C【分析】如图，根据三角形外角的性质可得出∠3，再根据平行线的性质可得出∠2．【详解】解：如图，∠=︒，∠B=30°∵135∴∠3=∠1+∠B=35°+30°=65°a b∵//∴∠2=∠3=65°故选：C【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．解题时注意掌握平行线的性质以及三角形外角的性质的应用．9．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，5，8 D．6，3，3B解析：B根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长大于最长的边即可．【详解】A 、1+2=3，不能构成三角形， A 错误；B 、2+3=5>4可以构成三角形，B 正确；C 、2+5=7＜8，不能构成三角形， C 错误；D 、3+3=6，不能构成三角形，D 错误．故答案选：B ．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键． 10．如图，在ABC 中，48BAC ∠=︒，点 I 是ABC ∠、ACB ∠的平分线的交点．点D 是ABC ∠、 ACB ∠的两条外角平分线的交点，点E 是内角ABC ∠、外角ACG ∠的平分线的交点，则下列结论 不正确．．．的是（ ）A ．180BDC BIC ∠+∠=︒B ．85ICE ∠=︒C ．24E ∠=︒D ．90DBE ∠=︒B解析：B【分析】 根据题意，结合三角形内角和定理、角平分线的性质，三角形外角的性质分别求解即可得出结论.【详解】解：由题意可得：在四边形BDCI 中，1180902IBD IBC CBD ∠=∠+∠=⨯︒=︒，90ICD ∠=︒， 可得180BDC BIC ∠+∠=︒，故A 选项不符合题意， 90ICE ∠=︒，故B 选项符合题意，48BAC ∠=︒，在三角形ICE 中， EIC ∠=18048662IBC ICB ︒-︒∠+∠==︒，90ICE ∠=︒， 906624E ∠=︒-︒=∴︒ ，故C 选项不符合题意，90DBE ∠=︒，故D 选项不符合题意，【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，结合图形熟练运用定理和性质进行求解是解题的关键.二、填空题11．如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠=︒∠=︒，则∠A的度数为_________．BDC BGC130,9050°【分析】连接BC根据三角形内角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度数再利用三角形内角和定理及角平分线的定义可求得∠ABC ＋∠ACB的度数即可求得∠A的度数【详解】解：连接BC∵∠BDC＝130°解析：50°【分析】连接BC，根据三角形内角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度数，再利用三角形内角和定理及角平分线的定义可求得∠ABC＋∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．【详解】解：连接BC，∵∠BDC＝130°，∴∠DBC＋∠DCB＝180°−∠BDC＝50°，∵∠BGC＝90°，∴∠GBC＋∠GCB＝180°−∠BGC＝90°，∴∠GBD＋∠GCD＝（∠GBC＋∠GCB）−（∠DBC＋∠DCB）＝40°，∵BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，∴∠ABD＋∠ACD＝2∠GBD＋2∠GCD＝80°，∴∠ABC＋∠ACB＝（∠ABD＋∠ACD）＋（∠DBC＋∠DCB）＝130°，∴∠A＝180°−（∠ABC＋∠ACB）＝180°−130°＝50°．故答案为：50°．【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．12．如图1，ABC 纸片面积为24，G 为ABC 纸片的重心，D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）连结CG ，DG ，并将纸片剪去GDC ，则剩下纸片（如图2）的面积为__________．18【分析】连接BG 根据重心的性质得到△BGC 的面积再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积故可求解【详解】连接BG ∵G 为纸片的重心∴S △BGC=S △ABC=8∵D 为边上的一个四等分点（）∴S △解析：18【分析】连接BG ，根据重心的性质得到△BGC 的面积，再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积，故可求解．【详解】连接BG ，∵G 为ABC 纸片的重心，∴S △BGC =13S △ABC =8 ∵D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <） ∴S △DGC =34S △BGC =6 ∴剪去GDC ，则剩下纸片的面积为24-6=18故答案为：18．【点睛】此题主要考查重心的性质，解题的关键是熟知重心的性质及面积的换算关系．13．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．25°【分析】先求出∠A 的度数再根据折叠的性质可得∠E 的度数根据平行线的性质求出∠ADE 的度数进而即可求解【详解】∵∴∠A=40°∵沿折叠后点B 落在点E 处∴∠E=∠B=50°∵∴∠ADE=∠E=50解析：25°【分析】先求出∠A 的度数，再根据折叠的性质可得∠E 的度数，根据平行线的性质求出∠ADE 的度数，进而即可求解．【详解】∵90,50ACB B ︒︒∠=∠=， ∴∠A=40°，∵BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，∴∠E=∠B=50°，∵//CE AB ，∴∠ADE=∠E=50°，∴∠BDC=∠EDC=（180°-50°）÷2=65°，∴∠ACD=∠BDC-∠A=65°-40°=25°，故答案是：25°．【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握平行线的性质以及三角形外角的性质，是解题的关键．14．如果点G 是ABC ∆的重心，6AG =，那么BC 边上的中线长为_______________________．【分析】根据三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍求得DG=3继而求得边上的中线长为9【详解】∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍∴DG=AG=×6=3∴AD=AG+GD 解析：9【分析】根据三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍求得DG=3，继而求得BC 边上的中线长为9．【详解】∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG=12AG=12×6=3，∴AD=AG+GD=6+3=9．即BC 边上的中线长为9．故答案为：9．【点睛】本题考查的是三角形重心的性质，熟知三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍是解决问题的关键．15．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DC ，∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF 、∠AFE 、∠FED 、∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4＝_____．180°【分析】根据多边形的外角和减去∠B 和∠C 的外角的和即可确定四个外角的和【详解】解：∵AB ∥DC ∴∠B+∠C ＝180°∴∠B 的外角与∠C 的外角的和为180°∵六边形ABCDEF 的外角和为360解析：180°【分析】根据多边形的外角和减去∠B 和∠C 的外角的和即可确定四个外角的和．【详解】解：∵AB ∥DC ，∴∠B +∠C ＝180°，∴∠B 的外角与∠C 的外角的和为180°，∵六边形ABCDEF 的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，故答案为：180°．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，解题的关键是发现∠B 和∠C 的外角的和为180° 16．已知//AB CD ，点P 是平面内一点，若30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，则CDP ∠=___________度．10或50【分析】分点P 在AB 的上方点P 在AB 与CD的中间点P在CD的下方三种情况再分别根据平行线的性质三角形的外角性质求解即可得【详解】由题意分以下三种情况：（1）如图点P在AB的上方；（2）如图解析：10或50【分析】分点P在AB的上方、点P在AB与CD的中间、点P在CD的下方三种情况，再分别根据平行线的性质、三角形的外角性质求解即可得．【详解】由题意，分以下三种情况：（1）如图，点P在AB的上方，∠=︒∠=︒，BPD PBA30,20∴∠=∠+∠=︒，150BPD PBAAB CD，//CDP∴∠=∠=︒；150（2）如图，点P在AB与CD的中间，延长BP，交CD于点E，∠=︒，AB CD PBA//,20∴∠=∠=︒，BED PBA20∠=︒，BPD30∴∠=∠-∠=︒；CDP BPD BED10（3）如图，点P在CD的下方，∠=︒，AB CD PBA//,20∴∠=∠=︒，PBA120∠=︒，BPD30∠=︒不符，∴∠=∠+∠=∠+︒>︒与120CDP BPD CDP13030即点P不可能在CD的下方；综上，10CDP ∠=︒或50CDP ∠=︒，故答案为：10或50．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．17．如图，ABC 面积为1，第一次操作：分别延长,,AB BC CA 至点111,,A B C 使111,,A B AB B C BC C A CA ===顺次结111,,A B C ，得到111A B C △，第二次操作：分别延长111111,,A B B C C A 至点222A B C ，使211121112111,,A B A B B C B C C A C A ===，顺次连结222,,A B C ，得到222A B C △…，按此规律，则333A B C △的面积为_______．343【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积再根据两三角形的倍数关系求解即可【详解】△ABC 与△A1BB1底相等（AB ＝A1B ）高为1：2（BB1＝2BC ）故面积比为1：2∵解析：343【分析】先根据已知条件求出△A 1B 1C 1及△A 2B 2C 2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．【详解】△ABC 与△A 1BB 1底相等（AB ＝A 1B ），高为1：2（BB 1＝2BC ），故面积比为1：2， ∵△ABC 面积为1，∴112A BB S =△，同理可得11112C B C A C A S S ==△△, ∴1112317A B C S =⨯+=△；同理可证222111749A B C A B C S S ==△△，所以333749343A B C S =⨯=△，故答案为：343．【点睛】本题考查了图形面积的规律探究，准确找到每变化一次之后图形面积的变化规律是解决问题的关键．18．如图，把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若150,222∠=︒∠=︒，则3∠=_______．30°【分析】通过正三角形正四边形正五边形的内角度数结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】等边三角形的内角的度数是60°正方形的内角度数是90°正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝10解析：30°【分析】通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：15（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣50°﹣22°=30°． 故答案是：30°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用，准确分析图形中角的关系式解题的关键．19．如图，若//AB CD ，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，90BED ∠=，则BFD ∠=______．45°【分析】如图作射线BF 与射线BE 根据平行线的性质和三角形的外角性质可得∠ABE+∠EDC ＝90°然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质即可求出答案【详解】解：如图作射线BF 与射线BE ∵AB ∥ 解析：45°【分析】如图，作射线BF 与射线BE ，根据平行线的性质和三角形的外角性质可得∠ABE +∠EDC ＝90°，然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质即可求出答案．【详解】解：如图，作射线BF 与射线BE ，∵AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠4，∠1＝∠2，∵∠BED ＝90°，∠BED ＝∠4+∠EDC ，∴∠ABE +∠EDC ＝90°，∵BF 平分∠ABE ，DF 平分∠CDE ，∴∠1+∠3＝12∠ABE +12∠EDC ＝45°， ∵∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD ＝45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．20．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，13AE AD =，12BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．【分析】直接根据高相等的三角形面积之比等于底之比【详解】解：∵是边上的中线∴BD=DC 又∵的面积是2和的高相等∴∵和的高相等∴∴又∴同理：故答案为：【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形面积之比等于 解析：49 【分析】 直接根据高相等的三角形，面积之比等于底之比． 【详解】 解：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=DC又∵ABC ∆的面积是2，D AB ∆和D A C ∆的高相等∴D DC S =S =1AB A ∆∆∵13AE AD = E AB ∆和BDE ∆的高相等∴E BDE ABD 11S =S =S 23AB ∆∆∆ ∴BDE 2S =3∆ 又12BF EF =，∴1B 3BF E =，同理： DEF BFD BDE 24S =2S =S =39∆∆∆ 故答案为：49． 【点睛】 此题主要考查根据高相等的三角形，面积之比等于底之比求三角形的面积，解题的关键是正确理解高相等的三角形之间的关系．三、解答题21．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且BE 、CE 交于点E ，∠ABC ＝∠ACE ．（1）求证：AB//CE ；（2）猜想：若∠A ＝50°，求∠E 的度数．解析：（1）见解析；（2）25°【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ECD=∠ACE ，得到∠ABC=∠ECD ，根据平行线的判定定理证明结论；（2）根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算，得到答案．【详解】（1）证明：∵CE 平分∠ACD ，∴∠ECD ＝∠ACE ，∵∠ABC ＝∠ACE ，∴∠ABC ＝∠ECD ，∴AB ∥CE ；（2）∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD ＝∠ABC+∠A ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ，∴∠E ＝∠ECD ﹣∠EBC ＝12∠ACD ﹣12∠ABC ＝12∠A ＝25°． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质及平行线的判定、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．22．在ABC ∆中， ,AB AC CG BA =⊥交BA 的延长线于点G ，点D 是线段BC 上的一个动点．特例研究： ()1当点D 与点B 重合时，过B 作BF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，如图①所示，通过观察﹑测量BF 与CG 的长度，得到BF CC =．请给予证明．猜想证明：()2当点D 由点B 向点C 移动到如图②所示的位置时，过D 作DF AC ⊥交CA 的延长线于点F ，过D 作DE BA ⊥交BA 于点E ，此时请你通过观察，测量DE DF 、与CG 的长度，猜想并写出DE DF 、与CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．拓展延伸：()3当点D 由点B 向点C 继续移动时（不与C 重合） ，过D 作DF AC ⊥交AC 于点F ，过D 作DF BA ⊥交BA （或BA 的延长线）于点E ，如图③，图④所示，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立?（不用证明）解析：（1）证明见解析；（2）CG DE DF =+，证明见解析；（3）结论不变：CG DE DF =+【分析】（1）根据12ABC S AC BF =⋅△，12ABC S AB CG =⋅△， 即可解决问题； （2）结论CG DE DF =+，利用面积法证明即可；（3）结论不变，证明方法类似（2）． 【详解】（1）证明：如图①中，∵90F G ︒∠=∠=，∴12ABC S AC BF =⋅△，12ABC S AB CG =⋅△， ∴1122AC BF AB CG ⋅=⋅， 又∵AB AC =，∴BF AC =；（2）解：结论CG DE DF =+，理由：如图②中，连接AD ，∵ABC ABD ADC SS S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，∴CG DE DF =+；（3）结论不变：CG DE DF =+，证明如下：如图③，连接AD ，∵ABC ABD ADC SS S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，∴CG DE DF =+；如图④，连接AD ，∵ABC ABD ADC SS S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，∴CG DE DF =+．【点睛】本题考查三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法证明线段之间的关系．23．在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝60°，AD 平分∠BAC ，点E 为AD 延长线上的点，EF ⊥BC 于F ，求∠DEF 的度数．解析：10°【分析】利用三角形的外角的性质求出∠ADC ，再利用三角形内角和定理求出∠DEF 即可．【详解】解：∵∠B ＝40°，∠C ＝60°，∴∠BAC ＝180°-∠B-∠C ＝80°．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝12∠BAC ＝40° ∴∠ADC ＝∠B+∠BAD ＝80°∴∠EDF ＝∠ADC ＝80°∵EF ⊥BC ，∴∠EFD ＝90°∴∠DEF ＝90°-80°＝10°【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 24．()1若n 边形的内角和等于它外角和的3倍，求边数n ．()2已知a ，b ，c 为三角形三边的长，化简：a b c b c a --+--．解析：()18；()22c ．【分析】（1）根据多边形的内角和与外角和公式列出方程即可求解；（2）根据三角形的三边关系可得a c b +>，b c a +>，再根据化简绝对值的方法即可求解．【详解】解：()1由题意得：()18023603n ︒-=︒⨯，解得：8n =．()2∵a ，b ，c 为三角形三边的长，∴a c b +>，b c a +>， ∴a b c b c a --+--()()2a b c b c a b c a a c b c =-++-+=+-++-=．【点睛】此题主要考查多边形的内角和与外角和、三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟知多边形的性质及去绝对值的方法．25．已知，a ，b ，c 为ABC 的三边，化简|a ﹣b ﹣c|﹣2|b ﹣c ﹣a|+|a+b ﹣c|． 解析：﹣2a+4b ﹣2c【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【详解】解：∵a ，b ，c 为ABC 的三边，∴a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b∴|a ﹣b ﹣c|﹣2|b ﹣c ﹣a|+|a+b ﹣c|=|a-(b+c)|-2|b-(c+a)|+ |a+b ﹣c|＝﹣[a ﹣（b+c ）]+2[b ﹣（c+a ）]+（a+b ﹣c ）=-a+(b+c)+2b-2(c+a)+a+b-c＝﹣a+b+c+2b ﹣2c ﹣2a+a+b ﹣c＝﹣2a+4b ﹣2c ．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理． 26．如图，直线AB 与直线MN 相交，交点为O ，OC ⊥AB ，OA 平分∠MOD ，若∠BON ＝20°，求∠COD 的度数．解析：∠COD ＝70°【分析】利用对顶角相等可得∠AOM 的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可．【详解】解：∵∠BON ＝20°，∴∠AOM ＝20°，∵OA 平分∠MOD ，∴∠AOD＝∠MOA＝20°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣20°＝70°．【点睛】本题考查了垂线，关键是掌握对顶角相等，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．27．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB= ，则∠ADB= ．解析：（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC ，∴∠D=12∠A=35°； （2）∵BD 平分∠ABC ，BE 平分∠CBF ， ∴∠DBC=12∠ABC ，∠CBE=12∠CBF ， ∴∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF ）=90°， ∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A ，∠A=α， ∴∠D=12α， ∵∠DBE=90°， ∴∠E=90°-12α； （3）如图，∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACG ，∴AD 平分∠MAC ，∠ABD=12∠ABC ， ∴∠DAM=12∠MAC ， ∵∠DAM=∠ABD+∠ADB ，∠MAC=∠ABC+∠ACB ，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β． 故答案为：12β． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．28．如图1，已知ACD ∠是ABC 的一个外角，我们容易证明ACD A B ∠=∠+∠，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图2，DBC ∠与ECB ∠分别为ABC 的两个外角，则DBC ECB ∠+∠_______180A ∠+︒（横线上填“>”、“<”或“=”）．初步应用：（2）如图3，在ABC 纸片中剪去CED ，得到四边形ABDE ，1135∠=︒，则2C ∠-∠=_______．（3）解决问题：如图4，在ABC 中，BP 、CP 分别平分外角DBC ∠、ECB ∠，P ∠与A ∠有何数量关系？请尝试证明．（4）如图5，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别平分外角EBC ∠、FCB ∠，请利用上面的结论直接写出P ∠与A ∠、D ∠的数量关系．解析：（1）= （2） 45° （3）1902P A ∠=︒-∠；证明见解析 （4）1118022P A D ∠=︒-∠-∠ 【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC ＝∠A ＋∠ACB ，∠ECB ＝∠A ＋∠ABC ，两式相加可得结论；（2）利用（1）的结论：∵∠2＋∠1−∠C ＝180°，将∠1＝135°代入可得结论； （3）根据角平分线的定义得：∠CBP ＝12∠DBC ，∠BCP ＝12∠ECB ，根据三角形内角和可得：∠P 的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC ＋∠ECB ＝180°＋∠A ，可得：∠P ＝90°−12∠A ； （4）根据平角的定义得：∠EBC ＝180°−∠1，∠FCB ＝180°−∠2，由角平分线得：∠3＝12∠EBC ＝90°−12∠1，∠4＝12∠FCB ＝90°−12∠2，相加可得：∠3＋∠4＝180°−12（∠1＋∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．【详解】（1）∠DBC ＋∠ECB−∠A ＝180°，理由是：∵∠DBC ＝∠A ＋∠ACB ，∠ECB ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠DBC ＋∠ECB ＝2∠A ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°＋∠A ，∴∠DBC ＋∠ECB ＝∠A ＋180°，故答案为：＝；（2）∠2−∠C ＝45°．理由是：∵∠2＋∠1−∠C ＝180°，∠1＝135°，∴∠2−∠C ＋135°＝180°，∴∠2−∠C＝45°．故答案为：45°；（3）∠P＝90°−12∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP＝12∠DBC，∠BCP＝12∠ECB，∵△BPC中，∠P＝180°−∠CBP−∠BCP＝180°−12（∠DBC＋∠ECB），∵∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，∴∠P＝180°−12（180°＋∠A）＝90°−12∠A；（4）∠P＝180°−12（∠A＋∠D）．理由是：如图：∵∠EBC＝180°−∠1，∠FCB＝180°−∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠3＝∠EBC＝90°−12∠1，∠4＝12∠FCB＝90°−12∠2，∴∠3＋∠4＝180°−12（∠1＋∠2），∵四边形ABCD中，∠1＋∠2＝360°−（∠A＋∠D），又∵△PBC中，∠P＝180°−（∠3＋∠4）＝12（∠1＋∠2），∴∠P＝12×[360°−（∠A＋∠D）]＝180°−12（∠A＋∠D）．【点睛】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．。
人教版八年级上册《角平分线、三角形性质》综合培优训练
《角平分线、三角形性质》综合培优训练一．选择题1．下列各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，4，6 B．2，3，6 C．2，5，6 D．2，2，62．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（）A．75°B．135°C．120°D．105°4．如图，△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别为AB、AC上的点，则∠1+∠2＝（）A．180°B．200°C．220°D．240°5．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°6．AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）A．25°B．60°C．85°D．95°7．画△ABC中BC边上的高，下面的画法中，正确的是（）A．B．C．D．8．如图所示，以BC为边的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，则图中x的值是（）A．75 B．65 C．60 D．5510．如图，△ABC中，∠A＝α°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A n﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠A n的度数为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，四边形ABCD中，∠B＝88°，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，且AE∥CF，若∠BAE＝54°，则∠D的度数等于．12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝320°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是．13．如图，在△ABC中，两个内角∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D，若∠B＝70°，则∠D ＝度．14．如图，在△ABC中，∠ABC：∠ACB：∠CAB＝5：6：7，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，DA平分∠CAM，DC平分∠ACN，连接BD，则∠BDC﹣∠ADB＝度．15．在正六边形ABCDEF中，对角线BD、AC交于点M，则∠CMD的度数为．16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的外部．已知∠A＝30°，∠1＝100°，则∠2的度数是度．三．解答题17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝40°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF＝∠CFE．18．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACB＝°；若∠MON＝90°，则∠ACB＝°；（2）若∠MON＝n°．请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）19．已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）如图1，求∠B与∠D的和为多少度？（2）如图2，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，求证：BE∥DF．20．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．参考答案一．选择题1．解：A、2+4＝6，不能构成三角形；B、2+3＜6，不能构成三角形；C、2+5＞6，能够组成三角形；D、2+2＜6，不能构成三角形．故选：C．2．解：∵多边形的每个内角都是108°，∴每个外角是180°﹣108°＝72°，∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5，∴这个多边形是五边形，故选：C．3．解：∵图中是一副直角三角板，∴∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠α＝180°﹣45°﹣30°＝105°．故选：D．4．解：∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝120°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C＝360°﹣120°＝240°，故选：D．5．解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．6．解：∵AD是∠CAE的平分线，∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，故选：D．7．解：由题可得，过点A作BC的垂线段，垂足为D，则AD是BC边上的高，∴表示△ABC中BC边上的高的是D选项．故选：D．8．解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，故选：C．9．解：∵AB∥CD，∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∵五边形ABCDE内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴在五边形ABCDE中，∠E＝540°﹣135°﹣120°﹣60°﹣150°＝75°．故图中x的值是75．故选：A．10．解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1＝α，∴∠A1＝α°，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2＝α°，∴∠A2＝α°，∴∠A＝2n∠A n，∴∠A n＝α°•（）n＝（）°．故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：∵∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣88°﹣54°＝38°，∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠DAE＝∠BAE＝54°，∠DCF＝∠BCF，∵CF∥AE，∴∠DFC＝∠DAE＝54°，∠FCB＝∠AEB﹣38°，∴∠DCF＝∠FCB＝38°，∴∠D＝180°﹣∠DFC﹣∠DCF＝180°﹣54°﹣38°＝88°，故答案为88°．12．解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝320°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣320°＝220°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝110°，∴∠CPD＝180°﹣110°＝70°．故答案是：70°．13．解：∵AD、CD是∠BAC与∠BCA的平分线，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B＝125°，故答案为：125．14．解：过D作DE⊥BM于E，DH⊥AC于H，DF⊥BN于F，∵DA平分∠CAM，DC平分∠ACN，∴DE＝DH，DH＝DF，∴DE＝DF，∴BD平分∠ABC，∵在△ABC中，∠ABC：∠ACB：∠CAB＝5：6：7，∴设∠ABC＝5x，∠ACB＝6x，∠CAB＝7x，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∴5x+6x+7x＝180°，∴x＝10°，∴∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∠CAB＝70°，∴∠MAC＝110°，∠ACN＝120°，∵DA平分∠CAM，DC平分∠ACN，∴∠MAD＝MAC＝55°，∠NCD＝ACN＝60°，∠ABD＝∠CBD＝25°，∴∠BDC＝∠NCD﹣∠DBC，∠ADB＝∠MAD﹣∠ABD，∴∠BDC﹣∠ADB＝∠NCD﹣∠DBC﹣（∠MAD﹣∠ABD）＝∠NCD﹣∠MAD＝60°﹣55°＝5°，故答案为：5．15．解：根据题意得∠ABC＝，∵AB＝BC，∴∠ACB＝，∴∠CMD＝2∠ACB＝60°．故答案为：60°．16．解：如图∵∠1＝100°，∴∠ADF＝80°，∵△A′ED是△AED翻折变换而成，∴∠A′＝∠A＝30°，∵∠A′FE是△ADF的外角，∴∠A′FE＝∠A+∠ADF＝30°+80°＝110°，∵∠A′FE+∠2+∠A′＝180°，∴110°+∠2+30°＝180°，∴∠2＝40°．故答案为：40．三．解答题（共4小题）17．解：（1）∵CD是高，∠DCB＝40°，∴∠B＝50°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝40°，又∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝20°，∴∠CEF＝∠B+∠BAE＝50°+20°＝70°；（2）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，∴∠CFE＝∠ACD+∠CAE，∠CEF＝∠B+∠BAE，∴∠CFE＝∠CEF．18．解：（1）∵∠MON＝60°，∴∠OBA+∠OAB＝120°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×120°＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠MON＝90°，∴∠OBA+∠OAB＝90°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n°），即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，∴∠ACG＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°．故答案为：120，135．19．（1）解：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠B+∠D+∠A+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°，∴∠B+∠D＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°；即∠B与∠D的和为180度；（2）证明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE+∠EDF＝90°，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠ADF，∴BE∥DF．20．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．。
第1章三角形 单元培优提升测评2024-2025学年鲁教版(五四制)七年级数学上册
2024-2025学年鲁教版七年级数学上册《第1章三角形》单元培优提升测评一．选择题1．如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB ＝∠E，AC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（）A．∠A＝∠DCE B．AB∥DE C．BC＝DE D．AB＝CD 2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，BE∥AC，连接ED．若∠A＝56°，∠E＝48°，则∠ADE的大小为（）A．94°B．98°C．102°D．104°3．如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AD⊥BP于点P，则△BPC的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．124．下列图形不具有稳定性的是（）A ．正方形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形5．能确定ABC 与DEF 全等的条件是（ ）．A ．AB DE =，BC EF =，A E ∠=∠ B ．AB DE =，BC EF =，C B ∠=∠C ．A E ∠=∠，AB EF =，BD ∠=∠ D ．A D ∠=∠，AB DE =，B E ∠=∠6．如图，在△ABC 中，∠B=∠C=50º，BF=CD ，BD=CE ，若∠FDE=α，则α的度数为( )A ．50ºB ．80ºC ．60ºD ．45º7．（3分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，AC ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，AB ＝68．下列说法正确的是（ ）A ．三角形的三个外角的和是180°B ．三角形的一个外角大于任何一个内角C ．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等D ．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积一定不相等9．下列各组条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠DB ．∠A ＝∠D ，∠C ＝∠F ，AC ＝EFC．AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长＝△DEF的周长D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F10．如图，AD和BE是△ABC的中线，则以下结论①AE＝CE②O是△ABC的重心③△ABD与△ACD面积相等④过CO的直线平分线段AB⑤∠ABE＝∠CBE⑥AD＝BE，其中正确的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB延长线上的一点，则∠CBD的度数是 ______ °．12．如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A=36°，∠C'=24°，则∠B= ______ ．13．已知△ABC的三边长a、b、c,化简|a+b-c|-|b-a-c|的结果是 ______ ．14．如图，将一个三角形纸片ABC沿着DF折叠，点A与点E为对应点，若∠1＝74°，∠2＝144°，则∠A的度数为．15．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为．16．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为．三．解答题17．（1）如图1，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；①其中以AB为一边可以画出个三角形；②其中以C为顶点可以画出个三角形．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）①AC边上的中线BE；②AC边上的高BF；③作出与∠BAC相邻的外角．18．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝°；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）19.(2024·高邮市期中)如图,△ABO≌△CDO,点E,F在线段AC上,且AF=CE.试说明FD与BE的关系,并说明理由。
三角形的内角与外角角平分线培优练习题
1 / 2三角形的内角与外角角平分线1、 如图１，点D 是△ABC 两个内角平分线的交点。
（1）∠ABC =50°，∠ACB=80°则∠D= . （2）∠A=100°，则∠D= . （3）∠D=150°，则∠A= .（4）写出∠D 和∠A 的关系2、如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点，（1）∠ABC =50°，∠A=80°则∠D= .（2）∠A=100°，则∠D= .（3）∠D =50°，则∠A= .（4）写出∠D 和∠A 的关系3、 如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，（1）∠1=80°，∠2=50°则∠O= .（2）∠A=100°，则∠O= .（3）∠D =50°，则∠A= .（4）设∠BOC=a ，则∠A 等于 .4、如图已知△ABC 中，∠A=39°，∠B 和∠C 的三等分线分别交于D 、E 两点，则∠BDC 度数是（ ）A ．133°B ．86°C ．109.5°D ．88°5、如图所示，已知△ABC 中，∠A=84°，点B 、C 、M 在一条直线上，∠ABC 和∠ACM 两角的平分线交于点P 1，∠P 1BC 和∠P 1CB 两角的平分线交于点P 2，∠P 2BC 和∠P 2CB 两角的平分线交于点P 3，则∠P 3的度数是 .P3P2P1C B6、如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）7、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CM两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CM两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数是 .8、如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______.温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形的内角与外角角平分线
1、如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点。
（1）∠ABC=50°，∠ACB=80°则∠D=.
（2）∠A=100°，则∠D=.
（3）∠D=150°，则∠A=.
（4）写出∠D和∠A的关系
2、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，
（1）∠ABC=50°，∠A=80°则∠D=.
（2）∠A=100°，则∠D=.
（3）∠D=50°，则∠A=.
（4）写出∠D和∠A的关系
3、如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，
（1）∠1=80°，∠2=50°则∠O=.
（2）∠A=100°，则∠O=.
（3）∠D=50°，则∠A=.
（4）设∠BOC=a，则∠A等于.
4、如图已知△ABC中，∠A=39°，∠B和∠C的三等分线分别
交于D、E两点，则∠BDC度数是（）
A．133°B．86°C．109.5°D．88°
5、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CB两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CB两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数是.
6、如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1
∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）
7、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CM两角的平分线交于点P2，∠
P2BC和∠P2CM两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数是.
8、如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC的内角平分线与
∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,
且∠A=60°,则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______.
P3
P2
P1
C B。