第3章 渐近均分性与香农第一定理
渐近均分性
个数。
定义 对每个n=1，2，…，设 Bδ(n) ⊂ X n为满足如下条
( ) 往的最小集 Pr Bδ(n) > 1−δ
(3-24)
讨论Bε(n)与Aε(n)的交集充分大，使其含有足够多的元素。
第三章 渐近均分性
最小集
定理3.3.1 设X1,X2,…,Xn为服从概率密度函数p(x)的i.i.d随机
( ) 变量序列。对δ<1/2及任意δ>0，如果 Pr Bδ(n) > 1 − δ ，
定理(贝努里大数定律) 设Un是n 重贝努里试验中事件A出现的次
数, p是事件A在每次试验中出现
的概率,则对任意的ε>0,
有
lim
n→∞
P
⎛ ⎜⎝
un n
−
p
<
ε
⎞ ⎟⎠
=1
Jacob Bernoulli (1654-1705)
第三章 渐近均分性
§3.1 渐进等同分割定理
Th 3.1.1(AEP)：设 X1, X2,", Xn是概率密
第三章 渐近均分性
第三章 渐近均分性
The Asymptotic Equipartition Property
3.1 渐进均分性定理 3.2 AEP的推论：数据压缩 3.3 高概率集与典型集 要点
第三章 渐近均分性
信源的研究
1、信源的建模－－随机过程
2、信息符号冗余度：冗余度高，符号携带的信 息率低，易于压缩；反之，符号携带的信息率 高，难于压缩。
定义 设 X1, X 2,", X n是概率密度函数为p(x)的i.i.d随 机序列，满足下列条件：
log p( x1, x2,", xn ) + H ( X ) ≤ ε n
信息论基础 第10章 失真渐近均分性与香农第三定理
ˆ PD (X / X)
失真渐近均分性与香农第三定理
连续信源的n次扩展信源
ˆ p nD (X n / X n ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p D (X1 / X1 ), p D (X 2 / X1X1 ), , p D (X n / X1X1 X n 1 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p (X / X X X ), , p (X / X X X X )
R 1,1 (D) R 2, 2 /1 (D) R n ,n /12n 1 (D) R 1,1 (D) R 2, 2 (D) R n ,n (D) nR (D)
失真渐近均分性与香农第三定理
10.2 失真渐近均分性定理 定理
保真度准则下n次扩展信源的失真典型序列，任意 给定ε >0，当n足够大
D 2 1 2 1 D n 1 2 1 n 1
ˆ ˆ ˆ PD (X n / X1 X n X1 X n 1 )
失真渐近均分性与香农第三定理
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ PD (X1 / X1 ), PD (X 2 / X1X 2 X1 ), , PD (X n / X1 X n X1 X n 1 ) ˆ ˆ ˆ P (X / X ), P (X / X ), , P (X / X )
D 2 1 2 1 D n 1 2 1 n 1
ˆ ˆ ˆ p D (X n / X1 X n X1 X n 1 )
失真渐近均分性与香农第三定理
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p D (X1 / X1 ), p D (X 2 / X1X 2 X1 ), , p D (X n / X1 X n X1 X n 1 ) ˆ ˆ ˆ p (X / X ), p (X / X ), , p (X / X )
第6章 联合渐近均分性与香农第二定理
联合渐近均分性与香农第二定理
3、n维离散平稳无记忆信道
定义
n维离散平稳信道的符号序列中各符号相互独立
P( y j2 / x i1 x i 2 y j1 ) P( y j2 / x i 2 ) P( y jn / x i1 x i n y j1 y jn1 ) P( y jn / x i n )
联合渐近均分性与香农第二定理
1 log P( x i1 x i 2 x i n ) n 1 log P( x i1 )P( x i 2 ) P( x i n ) n 1 n log P( x i k ) n k 1
H(X) H(X k ) P( x i k ) log P( x i k )
n
n
n
n
数量
n (1 )2n[ H ( X ) ] A (X) 2n[ H ( X ) ] n (1 )2n[ H ( Y ) ] A (Y) 2n[ H ( Y ) ]
联合渐近均分性与香农第二定理
n (1 )2 n[ H ( XY ) ] A (XY ) 2n[ H ( XY ) ]
例1
1 p p P( Y / X ) p 1 p
二次扩展信道的信道矩阵和信道容量
记1 p p
联合渐近均分性与香农第二定理
二次扩展信道的信道矩阵
p2 2 2 pp P( Y / X ) pp 2 p pp pp p 2 2 2 p p pp p 2 p 2 pp 2 pp pp p
i 1 N
E[ log P( x i k )]
联合渐近均分性与香农第二定理
取n≥n1，当n1足够大 由大数定理
香农第一定理公式
香农第一定理公式
C = B * log2(1 + S/N)
其中，C代表信道的容量（Capacity），B代表信道的带宽（Bandwidth），S代表信号的平均功率（Signal Power），N代表噪声的
平均功率（Noise Power）。
这个公式的意义在于，它描述了在给定一个信道的带宽和信号与噪声
的功率比例时，信道能够承载的最大信息传输速率。
更具体地说，传输速
率与信噪比（信号功率与噪声功率的比值）成正比，而带宽则作为一个乘
法因子，影响着传输速率的上限。
从公式中可以看出，当信噪比非常小的时候，即噪声水平较高，传输
速率将趋于零。
这是因为噪声会干扰信号的传输，导致错误率增加。
而当
信噪比很高，即噪声水平较低，传输速率将趋于传输信道的带宽上限。
这
是因为在这种情况下，信号的功率远远大于噪声的功率，所以可以通过多
种技术手段来提高传输速率。
需要注意的是，香农第一定理是一个理论上的上限，实际中会受到多
种因素的限制。
例如，信道本身的特性、编码和解码算法的复杂性、信号
的调制方式等。
因此，在实际应用中，我们需要通过适当的技术手段来提
高实际传输速率，以满足不同应用场景的需求。
总结起来，香农第一定理（带宽定理）是通信理论中的一个重要定理，它描述了在一个有噪声的信道中，信道能够承载的最大信息传输速率。
这
个定理的公式可以用来计算信道容量，从而提供了设计和优化通信系统的
理论依据。
然而，由于实际应用中的各种限制因素，我们往往需要采用不
同的技术手段来提高实际传输速率，以满足实际应用的需求。
香农定理到底有什么含义？能通俗地解释一下么？
香农定理到底有什么含义？能通俗地解释一下么？香农定理是信息论的主要内容。
香农定理实际上是多个定理构成，国内似乎比较常用“香农三定理”的提法，而在国外资料很少这么提. 信息论和香农定理信息论研究信息的量化，存储和传播。
最初由克劳德·香农于1948年提出，他在具有里程碑意义的题为《通讯的数学原理》的论文中阐述了信号处理和通信操作（如数据压缩）的基本限制。
信息论的基本的应用主题包括无损数据压缩（例如ZIP文件），有损数据压缩（例如MP3和JPEG）和信道编码（例如用于DSL）。
信息论的一个关键量是“熵”。
熵是不确定性的定量描述。
例如，掷骰子的可能性。
信息论中还讨论的其他一些重要的量包括：互信息、信道容量、误差指数和相对熵等等。
上图：克劳德·艾尔伍德·香农-1916.4.30-2001.2.24,享年84岁。
美国。
专业领域：电子工程学和数学。
香农定理涉及这三个部分：•信道编码——主要涉及噪音下模拟信道的信道容量的定理，即香农-哈特利定理（香农-哈特利定理只描述涉及高斯噪音的模拟信道，但还有二进制信道模式的模式的对应定理这里略述）•信源编码——包含涉及无损编码和有损编码的两个定理；•信源采样——奈奎斯特-香农采样定理但国内资料常说的“香农三定理”是指前两个部分所涉及的的三个定理，下面主要详述这三个定理：有噪音的模拟信道编码定理（国外资料一般称“香农-哈特利定理”）注意：这个定理在国外资料中才通常被简称为“香农定理”这个定理通俗地说，就是首先表明了如果传输信息的信道存在噪音，但是也可以实现信息的传递，然后可以根据带宽等参数计算出信息传递的最大的有效速率。
这可以通俗地类比我们熟悉的语音通话，虽然在电话里面有很多电流噪音或者环境噪音，但是我们仍然可以听懂对方讲的话。
因为我们用语音和语言对信息进行了双重的编码，“语音”这种编码可以在大量噪音干扰的情况下仍然能够工作，那是因为我们的声音通常有一个带宽，但噪音往往只是某一个频率的声音，不一定能够覆盖我们嗓音的全频段。
香农三大定理
香农第一、二、三定理
第一定理：
将原始信源符号转化为新的码符号，使码符号尽量服从等概分布，从而每个码符号所携带的信息量达到最大，进而可以用尽量少的码符号传输信源信息
第二定理：
当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的信道编码方法可以实现任意高的传输可靠性，但若信息传输率超过了信道容量，就不可能实现可靠的传输。
第三定理：
只要码长足够长，总可以找到一种信源编码，使编码后的信息传输率略大于率失真函数，而码的平均失真度不大于给定的允许失真度，即D'<=D。
信息论第3章课后习题答案
信息论第3章课后习题答案信息论是一门研究信息传输、存储和处理的学科。
它的核心理论是香农信息论，由克劳德·香农于1948年提出。
信息论的应用范围广泛，涵盖了通信、数据压缩、密码学等领域。
在信息论的学习过程中，课后习题是巩固知识、检验理解的重要环节。
本文将对信息论第3章的课后习题进行解答，帮助读者更好地理解和掌握信息论的基本概念和方法。
1. 证明：对于任意两个随机变量X和Y，有H(X,Y)≤H(X)+H(Y)。
首先，根据联合熵的定义，有H(X,Y)=-∑p(x,y)log2p(x,y)。
而熵的定义为H(X)=-∑p(x)log2p(x)和H(Y)=-∑p(y)log2p(y)。
我们可以将联合熵表示为H(X,Y)=-∑p(x,y)log2(p(x)p(y))。
根据对数的性质，log2(p(x)p(y))=log2p(x)+log2p(y)。
将其代入联合熵的表达式中，得到H(X,Y)=-∑p(x,y)(log2p(x)+log2p(y))。
再根据概率的乘法规则，p(x,y)=p(x)p(y)。
将其代入上式中，得到H(X,Y)=-∑p(x,y)(log2p(x)+log2p(y))=-∑p(x,y)log2p(x)-∑p(x,y)log2p(y)。
根据熵的定义，可以将上式分解为H(X,Y)=H(X)+H(Y)。
因此，对于任意两个随机变量X和Y，有H(X,Y)≤H(X)+H(Y)。
2. 证明：对于一个随机变量X，有H(X)≥0。
根据熵的定义，可以得到H(X)=-∑p(x)log2p(x)。
由于概率p(x)是非负的，而log2p(x)的取值范围是负无穷到0之间，所以-p(x)log2p(x)的取值范围是非负的。
因此，对于任意一个随机变量X，H(X)≥0。
3. 证明：对于一个随机变量X，当且仅当X是一个确定性变量时，H(X)=0。
当X是一个确定性变量时，即X只能取一个确定的值，概率分布为p(x)=1。
香农定理通俗解释
香农定理通俗解释
香农定理是由信息论的创始人克劳德·香农提出的，它包括三个部分：信息熵定理、信道容量定理和数据压缩定理。
通俗地讲，这三个定理主要研究信息的量化、存储和传播。
1. 信息熵定理：这是用来衡量信息量的一个概念。
香农提出了一个数学公式，可以计算出一个信息源的熵值。
2. 信道容量定理：这是关于信道容量的计算的一个经典定律，可以说是信息论的基础。
在高斯白噪声背景下的连续信道的容量= （b/s）。
其中B为信道带宽（Hz），S为信号功率（W），n0为噪声功率谱密度（W/Hz），N为噪声功率（W）。
这个定理告诉我们，信道容量受三要素B、S、no的限制，提高信噪比S/N可增大信道容量。
3. 数据压缩定理：这个定理与压缩理论有关，主要研究如何通过压缩数据来减少冗余信息，从而实现更高效的数据传输和存储。
香农定理为我们提供了一套完整的理论框架，用于研究和优化信息的传输、存储和处理过程。
信息论基础第3章 渐近均分性与香农第一定理
例1
X 0 1 P(X) 0.9 0.1
二次、三次和四次扩展信源的概率分布特点
渐近均分性与香农第一定理
二次扩展信源的概率分布
P(00) 0.9 0.9 0.81 P(01) 0.9 0.1 0.09 P(10) 0.1 0.9 0.09 P(11) 0.1 0.1 0.01
渐近均分性与香农第一定理
P(0000) P(0001) P(0010) P(0100) P(1000) P(0011) P(0101) P(0110) P(1001) P(1010) P(1100) P(0111) P(1011) P(1101) P(1110) 0.6561 4 0.0729 6 0.0081 4 0.0009 0.9999 P(1111) 0.0001
渐近均分性与香农第一定理
四次扩展信源的概率分布
P(0000) 0.9 0.9 0.9 0.9 0.6561 P(0001) P(0010) P(0100) P(1000) 0.9 0.9 0.9 0.1 0.0729 P(0011) P(0101) P(0110) P(1001) P(1010) P(1100) 0.9 0.9 0.1 0.1 0.0081 P(0111) P(1011) P(1101) P(1110) 0.9 0.1 0.1 0.1 0.0009 P(1111) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.0001
渐近均分性与香农第一定理
4、n次扩展信源的联合熵
H(X k X k 1 X k n 1 ) H(X1X 2 X n ) H(X n )
香农定理
谈香农定理克劳德.香农,1916年4月30日出生于美国密歇根州的加洛德，他是信息时代的奠基人。
他这一生的两大贡献之一便就是信息论，信息熵的概念提出和香农公式。
信息传输给出基本数学模型的核心人物是香农。
1948年香农长达数十页的论文“通信的数学理论”成了信息论正式诞生的里程碑。
在他的通信数学模型中，清楚地提出信息的度量问题，他把哈特利的公式扩大到概率pi不同的情况，得到了著名的计算信息熵H的公式：H=∑-pi log pi如果计算中的对数log是以2为底的，那么计算出来的信息熵就以比特(bit)为单位。
今天在计算机和通信中广泛使用的字节 (Byte)、KB、MB、GB等词都是从比特演化而来。
“比特”的出现标志着人类知道了如何计量信息量。
香农的信息论为明确什么是信息量概念作出决定性的贡献。
香农在进行信息的定量计算的时候，明确地把信息量定义为随机不定性程度的减少。
这就表明了他对信息的理解：信息是用来减少随机不定性的东西。
或香农逆定义：信息是确定性的增加。
事实上，香农最初的动机是把电话中的噪音除掉，他给出通信速率的上限，这个结论首先用在电话上，后来用到光纤，现在又用在无线通信上。
我们今天能够清晰地打越洋电话或卫星电话，都与通信信道质量的改善密切相关。
香农定理：香农定理描述了有限带宽、有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽、信号噪声功率比之间的关系.在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，数据传输率Rmax与信道带宽B，信噪比S/N关系为： Rmax=B*Log2(1+S/N)。
在信号处理和信息理论的相关领域中，通过研究信号在经过一段距离后如何衰减以及一个给定信号能加载多少数据后得到了一个著名的公式，叫做香农（Shannon）定理。
它以比特每秒（bps）的形式给出一个链路速度的上限，表示为链路信噪比的一个函数，链路信噪比用分贝（dB）衡量。
因此我们可以用香农定理来检测电话线的数据速率。
香农定理由如下的公式给出: C=B*log2(1+S/N) 其中C是可得到的链路速度也就是信道容量，B是链路的带宽，S是平均信号功率,N是平均噪声功率，信噪比（S/N）通常用分贝（dB）表示，分贝数=10×log10（S/N）。
香农采样定理
采样定理由于数字化和计算机技术的广泛应用，使传感与系统互连时必须考虑接口界面问题。
大多数传感器是用来获取连续的模拟信号的，这种信号是数字系统或计算机系统无法接收的输入。
因此，传感器系统设计中，除了硬件接口外，还要考虑软件接口问题。
这就是所谓采样定理。
传感器检测/监视系统大多是利用基于离散数字信号的连续采样硬件系统。
它们利用采得的离散数字信号再现传感器获得的连续模拟信号。
1．香农采样定理该采样定理表述为，如果信号中所包括的频率不高于，则可由一系列相隔1/（2）时间的抽样值所确定。
该定理的物理含义是，遵循香农采样定理对连续模拟信号进行周期性的离散采样，所采得的离散信号数列可以保持频率特性不变，即不发生混频（叠）现象。
图1表示了模拟信号A 的两类离散采样结果。
其中图a表示遵从香农采样定理对模拟信号A进行采样后，按采样系列值恢复得到的信号B与信号A相比不发生“混叠”现象，即两者的信号频率相等。
图b 表示不遵从香农采样定理采得的信号B′与信号A频率不一致，发生“混叠”现象。
图1 模拟信号A采样与“混叠”现象a）遵循采样定理，不发生“混叠”现象；b）不遵循采样定理，产生“混叠”现象为了便于应用，可以把香农采样定理表述为，离散采样的频率应大于或等于被采样信号包含的最高频率的两倍。
其数学表达形式可以为≥2（1）例如：对频率100kHz～1MHz的声发射信号进行采样时，其最高频率为=1MHz，故按采样定理，其采样频率应该是≥2=2×1MHz=2MHz。
由式（1）可知，采样的间隔（周期）T S应为1/T S≥2（2）或T S≤1/（2）（3）上例的采样周期是T S≤1/（2）=1/2×1MHz=0.5μs2．工程采样的考虑由于工程要求的不同，应用采样定理时有不同的考虑。
1）把香农采样定理作为近似准则使用，严格地讲，采样定理只适于窄带信号的采样。
所谓窄带信号指的是信号的频率分散在信号中心频率Ω。
附近一个较窄的频率范围内。
香农第一定理公式和含义
香农第一定理公式和含义香农第一定理也叫无噪信道编码定理，这可是信息论里超重要的一个定理呢。
那它的公式是啥样的呢？香农第一定理的公式是：C = B log₂(1 + S/N)。
这里面的C呢，指的就是信道容量啦，就像是一个管道能通过多少信息的极限值一样。
B 是信道带宽，就好比是道路的宽度，越宽呢，能传输的信息就可能越多哦。
S/N呢，就是信号与噪声的功率比啦，这个比值越大，说明信号相对噪声就越强，那在这个信道里能准确传输的信息也就越多。
说到这个定理的含义呀，可有趣啦。
它告诉我们在无噪信道中，存在着一个最大的信息传输速率，这个速率就是信道容量C。
这就像是你有一个超级大的购物袋，这个购物袋的大小就是C，你能往里面装的东西是有限的，这个东西就是信息。
你可以想象一下，假如你要给朋友传消息，这个信道就像是你们之间的传声筒。
如果这个传声筒很粗（信道带宽大），而且周围很安静（噪声小，S/N大），那你就能快速地传递好多好多消息（接近信道容量的信息传输速率）。
但是如果这个传声筒很细（信道带宽小），周围还特别吵（噪声大，S/N小），那你能传递的消息就很有限啦。
再从数据传输的角度看，比如说网络通信。
网络就像是这个信道，当网络带宽（类似信道带宽）很大，而且信号干扰小（信号与噪声功率比大）的时候，我们就能快速地下载东西，浏览网页也特别流畅，因为信息能够以比较接近信道容量的速度传输。
但要是网络带宽小，信号还不好，那我们就会觉得网络特别卡，因为信息传输的速度远远达不到信道容量，就像小马拉大车，怎么都快不起来。
香农第一定理就像是给我们画了一个信息传输的大饼，告诉我们在理想情况下能传输多少信息。
虽然实际情况中会有各种各样的干扰和限制，但这个定理给了我们一个理论上的上限，让我们知道朝着哪个方向努力可以提高信息传输的效率。
它就像一个灯塔，指引着通信技术不断发展，让我们能够在信息的海洋里更畅快地遨游。
这个定理在现代通信技术里无处不在呢。
像我们用的手机通信、Wi - Fi技术，工程师们都要考虑这个定理。
2024年度信息论与编码教案渐近等分割性与定长编码定理
2024/3/23
1
目录
2024/3/23
• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾 • 渐近等分割性原理 • 定长编码定理及其证明 • 变长编码方法及其性能分析 • 误差控制编码技术探讨 • 课程总结与展望
2
01
课程介绍与目标
2024/3/23
3
信息论与编码概述
01
实现：算术编码的实现包括以下步骤
02
1. 统计信源符号的频率或概率；
03
2. 根据频率或概率确定每个符号对应的实数区间；
28
算术编码算法原理及实现
2024/3/23
3. 对信源符号序列进行扫描，根据扫 描到的符号不断更新当前实数区间的 范围；
4. 当扫描完整个符号序列后，得到一 个唯一的小数作为该序列的算术编码 。
2024/3/23
31
循环码原理及性能评估
2024/3/23
原理
循环码是一种具有循环特性的线性分组码，其编码和解码过程可以利用循环移位寄存器 实现。循环码具有良好的代数结构和检错、纠错能力，广泛应用于通信和存储系统中。
性能评估
循环码的性能评估同样包括误码率、纠错能力和编码效率等方面。与线性分组码相比， 循环码具有更高的编码效率和更强的纠错能力，但相应地也需要更复杂的编解码电路实
• 原理：算术编码是一种基于信源概率分布的连续型变长编码方法。它将信源符号序列映射到一个实数区间[0,1) 内的某个小数上，小数的精度与信源符号序列的长度和概率分布有关。算术编码可以实现比霍夫曼编码更高的 压缩比，但解码时需要知道信源的概率分布。
2024/3/23
27
算术编码算法原理及实现
现代通信与香农的三大定理
现代通信与香农的三大定理LT至此，香农开创性地引入了“信息量”的概念，从而把传送信息所需要的比特数与信号源本身的统计特性联系起来。
这个工作的意义甚至超越了通信领域，而成为信息储存，数据压缩等技术的基础。
解决了信号源的数据量问题后，我们就可以来看信道了。
信道（channel）的作用是把信号从一地传到另一地。
在香农以前，那奎斯特已经证明了：信道每秒能传送的符号数是其频宽的一半。
但问题是，即使这些符号，也不是总能正确地到达目的地的。
在有噪声的情况下，信道传送的信号会发生畸变，而使得接收者不能正确地判断是哪个符号被发送了。
对付噪声的办法是减少每个符号所带的比特数：“而每个波特所含的比特数，则是受噪声环境的限制。
这是因为当每个波特所含的比特数增加时，它的可能值的数目也增加。
这样代表不同数据的信号就会比较接近。
例如，假定信号允许的电压值在正负1伏之间。
如果每个波特含一个比特，那么可能的值是0或1。
这样我们可以用-1伏代表0，用1伏代表1。
而假如每波特含两个比特，那么可能的值就是0，1，2，3。
我们需要用-1伏，-0.33伏，0.33伏，1伏来代表着四个可能值。
这样，如果噪声造成的误差是0.5伏的话，那么在前一种情况不会造成解读的错误（例如把-1V 错成了-0.5伏，它仍然代表0）。
而在后一种情况则会造成错误（例如把-1V错成了-0.5伏，它就不代表0，而代表1了）。
所以，每个波特所含的比特数也是不能随便增加的。
以上两个因素合起来，就构成了对于数据传输速率的限制。
”其实，除此之外，还有一个对付噪声的办法，就是在所有可能的符号序列中只选用一些来代表信息。
例如，如果符号值是0和1，那么三个符号组成的序列就有8个：000，001，010，011，100，101，110，111。
我们现在只用其中两个来代表信息：000和111。
这样，如果噪声造成了一个符号的错误，比如000变成了010，那我们还是知道发送的是000而不是111。
香农三大定理
二进代码
10
1110
000
香农三大定理 简介
单词间隔 ——————
000000
{A,B,…,Z}
信源编码器I
二进符号
信源编码器II
码符号集{点/划/字母间隔/单词间隔}
码符号集{0，1}
信息论与编码基础
1、信源编码器 b、举例
3）22”
香农三大定理 简介
“01101 01101 11001 11001”
00000 01101 10111 11010
信道
00000 00010 01000 10001
01101 01111 00101 11100
10111 10101 11111 00110
11010 11000 10010 01011
香农三大定理 简介
00001 00100 10000 00011
01100 01001 11101 01110
当N趋H(于S)无= H穷(3时/4,，1/4平) =均0.码811长(b可it/s以ign无) 限制地减小吗？
N=3
R3
H (S ) L3 / 3
0.985
(bit/code)
N=4 R4 0.991(bit/code)
3
L3
H (S ) / 3 log
2
0.985
4 0.991
信息论与编码基础
Wi {xi1 , xi2 ..., xili }
码长
X : x {x1,..., xr} 码符号
单符号信源无失真编码器
信息论与编码基础
1、信源编码器 a、模型
香农三大定理 简介
S N (S1,..., SN )
Si {a1,..., aq} i 1, 2,..., N
简述香农定理
简述香农定理
香农定理，也称信源编码定理，是由美国科学家克劳德·香农
于1948年提出的。
该定理主要是基于信息论的原理，用于描
述信息压缩的极限。
根据香农定理，一个离散的信息源可以通过编码的方式实现数据压缩，使得所生成的编码的平均码长接近于信息源的信息熵，即信息源的平均自信息量的下界。
信息熵表示了一个信息源所包含的平均信息量，是信息的不确定性的量化指标。
香农定理除了提供了数据压缩的极限，还有效地揭示了信息传输的容量限制。
根据定理，一个通信信道的容量可以通过信道的带宽和信噪比来衡量，且信道的传输速率可以无限地接近其容量。
在实际应用中，香农定理为数据压缩、通信理论、计算机科学等领域提供了基本原理和指导。
它对于信息的编码和传输的优化起到了重要的作用。
奈奎斯特 香农定理
奈奎斯特香农定理奈奎斯特-香农定理又称为奈奎斯特采样定理，是一个关于采样的基本定理。
它给出了在一定频率范围内，保证完全重构原始信号的采样率最小值，是大量数字信号处理与通信领域的基础知识，其重要性不言而喻。
下面我们将通过以下步骤详细介绍奈奎斯特-香农定理：1. 信号采样在数字信号处理中，首先要进行的便是信号采样。
采样是将连续的信号转化为离散的数字信号的过程。
即将原始信号在时间域上离散化的过程，将连续时间的信号转换成离散时间的信号，也就是我们常说的离散化。
采样是任何数字信号处理的基础。
一段时间内采集的样本数目越多，信封的模仿才更精确，反过来就是样本数目越少就越不准确，采样并不会导致有损失的信号信息。
2. Nyquist频率Nyquist频率就是指采样率的一半，记为f_n，它是使用奈奎斯特-香农定理计算最小采样率的重要值。
根据奈奎斯特-香农定理，如果采样率高于信号最大频率的两倍，则可以完全还原原始信号，也即f_s>=2*f_n。
3. 香农定理香农定理是在Nyquist采样频率已知的情况下，给出了采样率和信号频率之间的数学关系。
根据香农定理，为了完全重构原始信号，采样率必须不小于信号带宽的两倍。
4. 应用例子假设我们有一个信号，其最高频率为1000Hz，那么根据奈奎斯特-香农定理我们可以得知，最小采样频率为2 x 1000 = 2000Hz。
这意味着我们需要在每秒至少采集2000个信号样本，以完全保留原始信号的所有信息。
如果采样率低于2000Hz，那么便无法完整地重构原始信号。
总而言之，奈奎斯特-香农定理是数字信号处理领域中非常重要的一个定理。
它给出了在一定频率范围内，保证完全重构原始信号的采样率最小值。
它是数字通信和信号处理工程师们必须要掌握的基础知识。
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渐近均分性与香农第一定理
27 9 27 P(000) P(001) P(010) P(100) 3 64 64 32 3 1 5 P(011) P(101) P(110) P(111) 3 64 64 32 27 5 22 [P(000) P(100)] [P(011) P(111)] 32 32 32 27 9 9 P(000) P(001) 64 64 32 3 1 1 P(011) P(111) 64 64 32
H(X) H(X k ) P( x i k ) log P( x i k )
i 1 N
E[ log P( x i k )]
渐近均分性与香农第一定理
当n足够大 由大数定理
1 P{ P( x i1 x i 2 x i n ) H(X) } n 1 n P{ log P( x i k ) E[ log P( x i k )] } n k 1 1
( x i1 x i 2 x i n )
A 2
n
n[ H ( X ) ]
A 2
n
n[ H ( X ) ]
渐近均分性与香农第一定理
1 P(
n x i1 x i2 x in A
x i1 x i 2 x i n )
i1
n x i1 x i2 x in A
例1
1 X 0 P(X) 3 / 4 1 / 4
二次和三次扩展信源的概率分布特点
渐近均分性与香农第一定理
二次扩展信源的概率分布
3 3 9 P(00) P(0)P(0) 4 4 16 3 1 3 P(01) P(0)P(1) 4 4 16 1 3 3 P(10) P(1)P(0) 4 4 16 1 1 1 P(11) P(1)P(1) 4 4 16
香农第一定理表明了n次扩展信源无失真信源编码 的存在性，明确了熵H(X)是无失真信源编码平均 码率的下界——香农界
渐近均分性与香农第一定理
3.3 香农第一定理 定理
信源的熵为H(X)，对n次扩展信源进行二进制信源 编码，对任意给定的ε>0，只要平均码率
L H(X) ，当n足够大，编码无失真 n
L 如果平均码率 H(X) 2，无论n多大，编码 n 一定失真
渐近均分性与香农第一定理
(1)正定理 当n足够大，n次扩展信源的符号序列划分为典型 序列与非典型序列，典型序列的数量
二次扩展信源及联合熵 二次扩展信源
X 2 x1 x1 x1 x 2 x1 x 3 x 2 x1 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x1 x 3 x 2 x 3 x 3 2 P(X ) 1 / 4 1 / 8 1 / 8 1 / 8 1 / 16 1 / 16 1 / 8 1 / 16 1 / 16
P( x
i1
x i2 x in )
2 L Pmax ( x i1 x i 2 x i n ) 2 n[ H ( X ) 2 ] 2 n[ H ( X ) ] 2 n
译码错误概率
Pe 1 2
n
即使n ，Pe 1
渐近均分性与香农第一定理
渐近均分性与香农第一定理
满足该式的符号序列——典型序列 典型序列的联合自信息等于联合熵——典型序列 等概率
满足该式的符号序列——非典型序列
渐近均分性与香农第一定理
推论1
记P( x i1 x i 2 x i n )为典型集A 中符号序列— —典型 序列的概率
n[ H ( X ) ]
x i1 x i 2 x i n X1X 2 X n P(X1X 2 X n ) P( x i1 )P( x i 2 ) P( x i n ) i1 , i 2 ,, i n 1,2,, N
X P( X n )
n
n维离散平稳无记忆信源——独立同分布，相当于 单符号离散信源的n次扩展信源
2 n[ H( X)] P(x i1 x i 2 x i n ) 2 n[ H( X)]
渐近均分性与香农第一定理
推论2
记 A 为典型集A 中符号序列— —典型序列的 数量
n (1 )2 n[ H ( X ) ] A 2n[ H ( X ) ]
n n
H(X) P( x i ) log P( x i )
i 1
3
1 1 1 1 log 2 log 1.5(bit ) 2 2 4 4
H(X ) 2H(X) 2 1.5 3(bit )
2
渐近均分性与香农第一定理
3.2 渐近均分性定理
1、n次扩展信源的渐进均分性
渐近均分性与香农第一定理
三次扩展信源的概率分布
3 3 3 27 P(000) 4 4 4 64 3 3 1 9 P(001) 4 4 4 64 3 1 3 9 P(010) 4 4 4 64 3 1 1 3 P(011) 4 4 4 64 1 3 3 9 P(100) 4 4 4 64 1 3 1 3 P(101) 4 4 4 64 1 1 3 3 P(110) 4 4 4 64 1 1 1 1 P(111) 4 4 4 64
n
2
P(x i1 x i 2 x i n ) 2
n[ H ( X ) ]
渐近均分性与香农第一定理
1 log P( x i1 x i 2 x i n ) H(X) n
1 log P( x i1 x i 2 x i n ) H(X) n n[H(X) ] log P(x i1 x i 2 x i n ) n[H(X) ]
渐近均分性与香农第一定理
4、n次扩展信源的联合熵
H(X k X k 1 X k n 1 ) H(X1X 2 X n ) H(X n )
H(X k )
k 1
n
nH (X)
渐近均分性与香农第一定理
例1
x1 x 2 x 3 P(X) 1 / 2 1 / 4 1 / 4 X
渐近均分性与香农第一定理
9 3 3 P(00) P(01) 16 16 4 3 1 1 P(10) P(11) 16 16 4
3 1 1 [P(00) P(01)] [P(10) P(11)] 4 4 2 9 3 3 P(00) P(01) 16 16 8 3 1 1 P(10) P(11) 16 16 8
渐近均分性与香农第一定理
22 1 32 2
9 3 32 8 1 1 32 8
n次扩展信源的符号序列分为两组，n越大，组间 的概率之和相差越大，组内的概率相差越小—— 渐进均分性
渐近均分性与香农第一定理
2、渐进均分性定理
定理
n次扩展信源，任意给定ε>0，当n足够大
1 log P( x i1 x i 2 x i n ) H(X) n
渐近均分性与香农第一定理
2、n维离散平稳信源的联合熵
H(X k X k 1 X k n 1 ) H(X1X 2 X n ) H(X1 ) H(X 2 / X1 ) H(X n / X1X 2 X n 1 )
H(X k )
k 1
n
nH (X )
渐近均分性与香农第一定理
3、n维离散平稳无记忆信源/n次扩展信源
定义
n维离散平稳信源的符号序列中各符号相互独立
P( x i 2 / x i1 ) P( x i 2 ) P( x i n / x i1 x i 2 x i n1 ) P( x i n )
渐近均分性与香农第一定理
表示
L 如果 H(X) 2 n
n 2 L 2 n[ H ( X ) 2 ] A
必然有部分典型序列没有对应的码字
有一一对应码字的这些典型序列的编码无失真，它 们的概率之和为译码正确概率1-Pe
渐近均分性与香农第一定理
1 Pe
n x i1 x i2 x in A
渐近均分性与香农第一定理
1 P( x i1 x i 2 x i n )
i1 1 i 2 1 i n 1
N
N
N
n x i1 x i2 x in A
P( x P
min
i1
x i2 x in )
n x i1 x i2 x in A
n A 2 n[ H ( X ) ]
无失真编码——保证对典型序列进行一一对应的 编码 无失真编码的码字数量
n A 2 n[ H ( X ) ] 2 L
渐近均分性与香农第一定理
L n[H(X) ] L H(X) n
渐近均分性与香农第一定理
(2)逆定理
渐近均分性与香农第一定理
第3章 渐近均分性与香农第一定理
n次扩展信源有什么特性？
香农第一定理明确了什么？
渐近均分性与香农第一定理
3.1 n次扩展信源
1、n维离散平稳信源
定义
多符号离散信源对任意两个不同时间起点k和1， 概率及直到n维的各维联合概率相同
渐近均分性与香农第一定理
P(X k ) P(X1 ) P(X k X k 1 ) P(X1X 2 ) P(X k X k 1 X k n 1 ) P(X1X 2 X n )
P( x P
max
x i2 x in )
n x i1 x i2 x in A