正余弦定理应用举例导学案及练习题
正余弦定理应用举例
《正弦定理、余弦定理应用举例》学案 第一课时【学习目标】1、 会应用正弦定理、余弦定理解实际问题2、 体会数学知识在生活中的应用【重疑难点】解实际问题需注意的地方（如长度、面积等）【知识链接】正弦定理和余弦定理【学习内容】一、 基础过关1.轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船的航行方向之间的夹角为︒120 ，轮船Α的航行速度是25海里/时 ，轮船Β的航行速度是15海里/时 ，下午2时两船之间的距离是多少？2.一架飞机在海拔8000m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是︒27 和︒39 ，计算这个海岛的宽度。
二、 理解应用1.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250 m ，速度为1000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为 3018︒ ，经过150 s 后又看到山顶的俯角为︒81 ，求山顶的海拔高度（精确到1m ）.2.（2010）在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是︒30 ，︒60 ，问；塔高多少？三、 探究拓展在△ABC 中，已知 cosA =53 。
（1）求 sin 22A － cos （B +C ）的值 ； （2） 若△ABC 的面积为 4 ， AB = 2 , 求BC 的长 。
【检测反馈】一架飞机在海拔8000m 的高空飞行，在空中Α处测得前下方海岛两侧海岸上两点Ρ ，Q 的俯角分别是︒45 和 ︒30 ，且A , P ,Q 在同一个铅垂平面内，计算这个海岛的宽度 PQ （ 精确到 1m ）.【练习巩固】为测量河对岸两目标 A 、B 之间的距离，在岸边选择相距3km 的 C ,D 两点，并测得∠ACB= ︒75 ,∠BCD =︒45 ,∠ADC = ︒30 ,∠ADB = ︒45 ,（ A ,B ,C ,D 在同一个平面内）， 求两目标A ,B 之间的距离 。
【课后反思】。
北师大版数学必修五：《正弦定理、余弦定理的综合应用》导学案(含答案)
第3课时正弦定理、余弦定理的综合应用1.掌握正弦定理、余弦定理的内容.2.能根据给出的已知条件,选择恰当的公式解三角形.3.掌握三角形边角互化思想,进一步理解正弦定理、余弦定理的作用.2013年,叙利亚内战期间,为了准确分析战场形式,美军派出侦查分队由分别位于叙利亚的两处地点C和D进行观测,测得叙利亚的两支精锐部队分别位于A和B处,美军测得的数据包含CD的长度,∠ADB,∠BDC,∠DCA,∠ACB大小,你能用学过的数学知识计算叙利亚精锐部队之间的距离吗?问题1:若要用解三角形的知识求AB的长度,则在求解中要用定理和定理.问题2:正、余弦定理的数学公式表述为:正弦定理;余弦定理.余弦定理的推论用公式表示为:cos A=;cos B=;cos C=.问题3:在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知,求其他边或角;(2)已知,求其他边或角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.问题4:应用余弦定理及其推论可解决三类三角形问题:(1)已知,求其他三个角.(2)已知,求第三边和其他两个角.(3)已知,求第三边.1.在△ABC中,已知sin2B-sin2C-sin2A=sin A sin C,则角B的大小为().A.150°B.30°C.120°D.60°2.若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B等于().A.B.C.D.3.在△ABC中,A=120°,c=5,a=7,则b=.4.在锐角三角形中,b=4,c=,且BC边上的高h=2.(1)求角C;(2)求边长a.利用正弦定理或余弦定理求解三角形的边长设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c=.利用正弦定理或余弦定理求解三角形的角度在△ABC中,已知a=2,b=2,C=15°,求A的大小.正、余弦定理的综合应用在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C=-,且a2+b2<c2. (1)求sin C的值;(2)当a=2,2sin A=sin C时,求b及c的长.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a sin A+c sin C-a sin C=b sin B. (1)求B;(2)若A=75°,b=2,求a,c.在△ABC中,BC=7,AC=3,cos C=,则A的大小为().A.B.C.D.在△ABC中,已知角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2c2=(2a-b)a+(2b-a)b.(1)求角C的大小;(2)求2cos A+2cos B的最大值.1.在△ABC中,已知a=,b=2,B=45°,则角A等于().A.30°或150°B.60°或120°C.60°D.30°2.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则().A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b的大小关系不能确定3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B等于.4.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且满足(sin A+sin B)2-sin2C=3sin A·sin B,求证:A+B=120°.(2013年·安徽卷)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.考题变式(我来改编):第3课时正弦定理、余弦定理的综合应用知识体系梳理问题1:正弦余弦问题2:==b2=c2+a2-2ac cos B、c2=a2+b2-2ab cos C、a2=b2+c2-2bc cos A问题3:(1)两角及任一边(2)两边及一边的对角问题4:(1)三角形的三边(2)两边和夹角(3)两边及其中一边的对角基础学习交流1.A由正弦定理可得b2-c2-a2=ac,由余弦定理可得cos B==-,故角B为150°.2.D∵6sin A=4sin B=3sin C,∴6a=4b=3c.不妨令a=1,则b=,c=2,由余弦定理可知cosB==.3.3根据余弦定理,a2=b2+c2-2bc cos A,∴72=b2+52-2·b·5cos120°,∴b2+5b-24=0,∴b=3或b=-8(舍去).4.解:(1)如图,作AD⊥BC交BC于点D,则sin C==,则C=60°.(2)由余弦定理可知c2=a2+b2-2ab cos C,则21=a2+16-2×a×4×,即a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1(舍去),所以a=5.重点难点探究探究一:【解析】由已知条件可得sin A=,sin B=,而sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=,根据正弦定理=得c=.【答案】【小结】正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.探究二:【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2ab cos C=22+(2)2-2×2×2cos15°=4+8-8×=8-4,∴c=-.而在求A时,可以应用正弦定理或余弦定理.(法一)由正弦定理,得sin A====.∵b>a,∴B>A.又∵0°<A<180°,∴A必为锐角,∴A=30°.(法二)由余弦定理,得cos A===.∴A=30°.【小结】已知三角形的两边及其夹角解三角形时,应先利用余弦定理求出第三边,再求其余角.其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求解;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题,因为在(0°,180°)上,余弦值所对应的角是唯一的,所以用余弦定理求解较好.探究三:【解析】(1)因为cos2C=1-2sin2C=-,且0<C<π,所以sin C=.(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理=,得c=4.由cos2C=2cos2C-1=-及0<C<π,得cos C=±.由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,得b2±b-12=0,解得b=或2,所以或[问题]根据题目中的条件,cos C的值有两个吗?[结论]上述求解中没有使用条件a2+b2<c2,故导致cos C的值出现增解,从而在计算b 的值时出错.(1)因为cos2C=1-2sin2C=-,且0<C<π,所以sin C=.(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理=,得c=4.由cos2C=2cos2C-1=-及0<C<π得cos C=±,又a2+b2<c2,所以cos C<0,故cos C=-.由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,得b2+b-12=0,解得b=,所以【小结】应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.思维拓展应用应用一:(1)由正弦定理得a2+c2-ac=b2.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B,故cos B=,因此B=45°.(2)sin A=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=.故a=b×==1+,c=b×=2×=.应用二:A由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos C=9+49-2×3×7×=25,∴AB=5,∴cos A===-,又A∈(0,π),因此A=.应用三:(1)原式2c2=(2a-b)a+(2b-a)b可以化简为c2=a2+b2-ab,由余弦定理得cos C==,∴C=60°.(2)由(1)知C=60°,又A+B+C=180°,∴A+B=120°,∴2cos A+2cos B=2[cos A+cos(120°-A)]=2(sin A+cos A)=2sin(A+30°),∴当A+30°=90°,即A=60°时,2cos A+2cos B取得最大值2.基础智能检测1.D由正弦定理=得,sin A=sin B=sin45°=,又因为b>a,故A=30°.2.A cos C<0⇒a2+b2<c2,即a2+b2<2a2,所以b<a.3.或由(a2+c2-b2)tan B=ac得·tan B=,再由余弦定理cos B=得2cos B·tan B=,即sin B=,∴角B的值为或.4.解:∵(sin A+sin B)2-sin2C=3sin A·sin B,∴由正弦定理得(a+b)2-c2=3ab⇒a2+b2-c2=ab⇒=1⇒cos C==,∵0°<C<180°,∴C=60°,∴A+B=180°-C=180°-60°=120°.全新视角拓展根据正弦定理可将3sin A=5sin B化为3a=5b,所以a=b,代入b+c=2a可得c=b,然后结合余弦定理可得cos C==-,所以角C=.思维导图构建2R sin B2R sin C。
正弦定理和余弦定理及应用(导学案)
课题：正弦定理和余弦定理及应用（导学案）学习目标：1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用2、探究三角形的面积公式3、能根据条件判断三角形的形状4.能根据条件判断某些三角形解的个数学法指导1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。
知识点梳理已知在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边。
则：1.正弦定理：____________________===_______（ ）2.正弦定理的几个变形(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3、余弦定理222____________________________________________________________________________________a b c ===推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C === 4.在解三角形时，常用的结论 （1）在ABC ∆中，A>B ⇔______（大边对大角，大角对大边）( 2 ) A+B+C= ；sin sin()C A B =+； cos cos()C A B =-+（3）三角形的面积公式：=∆ABC S=∆ABC S基础练习：1、在ABC ∆中，ο45=A ，ο60=B ，4=b ，求a . 2、已知ο30=A ，4=a ，5=b ，则=B sin .3、已知8=b ，3=c ，ο60=A ，则=a .4、已知5=a ，13=b ，12=c ，求角B .5、在ABC ∆中，1=AB ，4=BC ，ο30=B ，则ABC ∆的面积等于 . 归纳：课堂探究题型一：探究三角形中的边角运算例1 在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο45=B ，求角A .变式：1、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο30=A ，求角B .2、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο150=A ，求角B .题型二：探究三角形的面积求解例2 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，求ABC S ∆.变式：在ABC ∆中，ο120=A ，5=AB ，7=BC ，求ABC ∆的面积.题型三：探究三角形的形状判断例3 在ABC ∆中，已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状.变式：1、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，而A 、B 、C 三内角的对边a 、b 、c 成等比数列，判断ABC ∆的形状.反思总结高考真题体验：在ABC ∆中，B ∠，C ∠的对边分别为b ，c ，且ο45=∠B ，2=b ，3=c .（1）求C ∠；（2）求ABC S ∆.课后巩固1、 在ABC ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆的外接圆的周长为________ 2、在ABC ∆中,______,cos cos 的形状为则ABC BC b c ∆= 3、ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一定是_______4、在ABC ∆中，7:5:3sin :sin :sin =C B A ，那么这个三角形的最大角是_____5、已知三角形一个内角为ο60，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。
正弦定理和余弦定理导学案及习题
高一数学必修5解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理（第一课时）一、学习目标：1.在初中解直角三角形的基础上，引导学生推出正弦定理，通过定理的简单应用,使学生能够熟使用定理解决相关问题.二、教学重点与难点重点：正弦定理的探索和简单应用。
难点：探索过程的组织和引导。
三、教法与建议学生分组讨论，教师引导总结。
四、教学练评活动程序【课前诊断】1、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30° 45° 60° 90°弧度制sinαcosαtanα2、设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．（1)．角与角关系：_________，（2）．边与边关系：a + b > c，_________，_________;a－b < c，_________，_________．3、解直角三角形（△ABC中，∠C＝90°，每小题6分，共24分）：1．已知：c＝83，∠A＝60°，求∠B、a、b．2．已知：a＝36，∠A＝30°，求∠B、b、c.3．已知：a＝6，b＝23，求∠A、∠B、c.【构建新知】【活动1】想一想：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1.1-2，在Rt∆ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc=，sinbBc=，又sin1cCc==,A则sin sin sina b ccA B C=== b c从而在直角三角形ABC中，sin sin sina b cA B C== C a B(图1.1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？正弦定理：在一个三角形中，_________________________________,即___________.思考：下列有关正弦定理的叙述正确的是：○1正弦定理只适用于锐三角形；○2正弦定理不适用于直角三角形；○3在某一确定三角形中，各边与它对应的角的正弦的比是定值；○4在ABC∆中，::::A B C a b c=【活动2】让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由两边一角求出一角，能否由两角一边求出一边？【例1】在ABC∆中，已知a＝10，A＝45°，C＝75°，则b= .【例2】（1）在ABC∆中,已知38,8,30==︒=baA,求B.【课中检测】1、在ABC∆中,︒=30A,3=a，则ABC∆的外接圆半径为（）（A）23（B）3 （C）33（D）62、在ABC∆中，已知下列条件，解三角形（边长精确到1cm）：(1)45,30,10A C c cm===；(2) 60,45,20A B c cm===。
正弦定理、余弦定理(经典导学案及练习答案详解)
§4.7 正弦定理、余弦定理学习目标1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；(2)a sin B ＝b sin A ， b sin C ＝c sin B ， a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C2；cos A ＋B 2＝sin C 2. (5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．( × ) 教材改编题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 C解析 因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7， 所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝2π3.2．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝ . 答案 45°解析 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22.又a >b ，则A >B ，所以B 为锐角，故B ＝45°.3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则c ＝ ，△ABC 的面积＝ . 答案7 332解析 易知c ＝4＋9－2×2×3×12＝7，△ABC 的面积等于12×2×3×32＝332.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD ·sin ∠ABC ＝a sin C . (1)证明：BD ＝b ;[切入点：角转化为边](2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .[关键点：∠BDA 和∠BDC 互补]高考改编在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C . (1)求A ；(2)设D 是线段BC 的中点，若c ＝2，AD ＝13，求a . 解 (1)根据正弦定理，由b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C ， 可得bc ＋a 2＝b 2＋c 2， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A 为三角形内角，所以A ＝π3.(2)因为D 是线段BC 的中点，c ＝2，AD ＝13， 所以∠ADB ＋∠ADC ＝π， 则cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＋AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝0，即13＋a 24－22213·a 2＋13＋a 24－b 2213·a 2＝0，整理得a 2＝2b 2－44，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4－2b ， 所以b 2＋4－2b ＝2b 2－44， 解得b ＝6或b ＝－8(舍)， 因此a 2＝2b 2－44＝28， 所以a ＝27.思维升华 解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．跟踪训练1 (2021·北京)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3.(1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝2b ；②周长为4＋23；③面积为S △ABC ＝334. 解 (1)∵c ＝2b cos B ，则由正弦定理可得sin C ＝2sin B cos B ， ∴sin 2B ＝sin 2π3＝32，∵C ＝2π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，2B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， ∴2B ＝π3，解得B ＝π6.(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得 c b ＝sin C sin B ＝3212＝3， 与c ＝2b 矛盾，故这样的△ABC 不存在； 若选择②：由(1)可得A ＝π6，设△ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得a ＝b ＝2R sin π6＝R ，c ＝2R sin 2π3＝3R ，则周长为a ＋b ＋c ＝2R ＋3R ＝4＋23， 解得R ＝2，则a ＝2，c ＝23， 由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为 (23)2＋12－2×23×1×cos π6＝7；若选择③：由(1)可得A ＝π6，即a ＝b ，则S △ABC ＝12ab sin C ＝12a 2×32＝334，解得a ＝3，则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为 b 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2×b ×a 2×cos 2π3 ＝3＋34＋3×32＝212. 题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 三角形形状判断例2 在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2 B2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 A解析 由cos B ＝1－2sin 2 B2，得sin 2 B 2＝1－cos B 2，所以c －a 2c ＝1－cos B 2，即cos B ＝a c.方法一 由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等． 方法二 由正弦定理得cos B ＝sin Asin C ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，所以cos C ＝0，又角C 为三角形的内角，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．延伸探究 将“c －a 2c ＝sin 2 B 2”改为“sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解 因为sin A sin B ＝ac ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．思维升华 判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． 命题点2 三角形的面积例3 (2022·沧州模拟)在①sin A ，sin C ，sin B 成等差数列；②a ∶b ∶c ＝4∶3∶2；③b cos A ＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，c ＝1， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解 因为a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理得a (a －b )＋b 2＝c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)， 所以C ＝π3.选择①：因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 所以sin A ＋sin B ＝2sin C ，即a ＋b ＝2c ＝2， 由a 2＋b 2－c 2＝a 2＋b 2－1＝ab ， 得(a ＋b )2－3ab ＝1，所以ab ＝1， 故存在满足题意的△ABC ， S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×sin π3＝34.选择②：因为a ∶b ∶c ＝4∶3∶2， 所以A >B >C ＝π3，这与A ＋B ＋C ＝π矛盾，所以△ABC 不存在． 选择③：因为b cos A ＝1， 所以b ·b 2＋1－a 22b ＝1，得b 2＝1＋a 2＝c 2＋a 2， 所以B ＝π2，此时△ABC 存在．又C ＝π3，所以A ＝π6，所以a ＝1×tan π6＝33，所以S △ABC ＝12ac ＝36.思维升华 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 命题点3 与平面几何有关的问题例4 如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长．解 (1)在△BEC 中，由正弦定理， 知BE sin ∠BCE ＝CEsin B.∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714. ∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5， ∴ED ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝⎛⎭⎫－12＝49. ∴CD ＝7. 教师备选1．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，则该三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)， ∴C ＝π3，由2cos A sin B ＝sin C ，得cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc ，∴b 2＝a 2，即b ＝a ，又C ＝π3，故三角形为等边三角形．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C －c cos(B ＋C )＝－b3cos (A ＋B ).(1)求tan C ；(2)若c ＝3，sin A sin B ＝1627，求△ABC 的面积．解 (1)∵a cos C －c cos(B ＋C ) ＝－b3cos (A ＋B )，∴a cos C ＋c cos A ＝b3cos C.由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B3cos C，∴sin(A ＋C )＝sin B3cos C ，即sin B ＝sin B3cos C ，又∵sin B ≠0， ∴cos C ＝13，∴sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，tan C ＝sin Ccos C＝2 2.(2)若c ＝3，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin A ＝b sin B ＝3223＝924， 则a ＝924sin A ，b ＝924sin B ，则ab ＝924sin A ·924sin B ＝16216sin A sin B＝16216×1627＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×223＝2 2.思维升华 平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝ (2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 答案 D解析 因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)， 所以△ABC 为等腰或直角三角形．(2)(2022·郑州模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝9，cos B ＝23，点D 在BC 边上，AD ＝7，∠ADB 为锐角．①求BD ；②若∠BAD ＝∠DAC ，求sin C 的值及CD 的长．解 ①在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝AD 2， 整理得BD 2－12BD ＋32＝0，所以BD ＝8或BD ＝4.当BD ＝4时，cos ∠ADB ＝16＋49－812×4×7＝－27， 则∠ADB >π2，不符合题意，舍去； 当BD ＝8时，cos ∠ADB ＝64＋49－812×8×7＝27， 则∠ADB <π2，符合题意， 所以BD ＝8.②在△ABD 中，cos ∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝92＋72－822×9×7＝1121， 所以sin ∠BAD ＝8521， 又sin ∠ADB ＝357， 所以sin C ＝sin(∠ADB －∠CAD )＝sin(∠ADB －∠BAD )＝sin ∠ADB cos ∠BAD －cos ∠ADB sin ∠BAD ＝357×1121－27×8521＝175147，在△ACD 中，由正弦定理得CDsin ∠CAD ＝ADsin C ，即CD ＝ADsin C ·sin ∠CAD ＝7175147×8521＝39217.课时精练1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C 等于() A.π2 B.π3C.π4 D.π6答案 C解析 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．(2022·北京西城区模拟)在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于() A.35 B.31C ．6D ．5答案 B解析 因为sin A ＝6sin B ，由正弦定理可得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝62＋12－2×1×6×12， 解得c ＝31.3．(2022·济南质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，a ＝4，cos 2A ＝ －725，则△ABC 外接圆半径为( ) A ．5 B ．3 C.52 D.32答案 C解析 因为cos 2A ＝－725， 所以1－2sin 2A ＝－725， 解得sin A ＝±45， 因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝45， 又a ＝4，所以2R ＝a sin A ＝445＝5， 所以R ＝52. 4．(2022·河南九师联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2b ，sin 2A－3sin 2B ＝12sin A sin C ，则角C 等于( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 B解析 ∵sin 2A －3sin 2B ＝12sin A sin C ， 由正弦定理可得a 2－3b 2＝12ac ， ∵c ＝2b ，∴a 2－3b 2＝12a ·2b ＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3b 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 5．(多选)(2022·山东多校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,2b sin A ＝5a cos B ， AB ＝2，AC ＝26，D 为BC 的中点，E 为AC 上的点，且BE 为∠ABC 的平分线，下列结论正确的是( )A ．cos ∠BAC ＝－66 B ．S △ABC ＝3 5 C ．BE ＝2D ．AD ＝ 5答案 AD解析 由正弦定理可知2sin B sin A ＝5sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴2sin B ＝5cos B .又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴sin B ＝53，cos B ＝23， 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝6.A 项，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝4＋24－362×2×26＝－66； B 项，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2×6×53＝25； C 项，由角平分线性质可知AE EC ＝AB BC ＝13， ∴AE ＝62. BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos A ＝4＋32－2×2×62×⎝⎛⎭⎫－66＝152， ∴BE ＝302； D 项，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝4＋9－2×2×3×23＝5， ∴AD ＝ 5.6．(多选)(2022·张家口质检)下列命题中，正确的是( )A ．在△ABC 中，A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 必是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形答案 ABD解析 对于A ，由A >B ，可得a >b ，利用正弦定理可得sin A >sin B ，正确；对于B ，在锐角△ABC 中，A ，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∵A ＋B >π2， ∴π2>A >π2－B >0， ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，∴不等式sin A >cos B 恒成立，正确；对于C ，在△ABC 中，由a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴是假命题，错误；对于D ，由于B ＝60°，b 2＝ac ，由余弦定理可得b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故正确．7．(2022·潍坊质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3.则△ABC 的面积为 ．答案 1534解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3， ∴(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3c ×⎝⎛⎭⎫－12， 解得c ＝5，则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×32＝1534. 8．(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝ .答案 2 2解析 由题意得S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac ＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝22(负值舍去)． 9．(2022·南平模拟)在①2c cos B ＝2a －b ，②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且 ．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2且4sin A sin B ＝3，求△ABC 的面积．解 (1)若选条件①2c cos B ＝2a －b ，则2c ·a 2＋c 2－b 22ac＝2a －b ， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ， 所以cos C ＝12， 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 若选条件②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)， 则34(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， 即sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝3， 又因为C ∈(0，π)， 所以C ＝π3. 若选条件③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，则(1－sin 2A )－(1－sin 2C )＝sin 2B －sin A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12， 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为c ＝2，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43， 所以sin A ＝34a ，sin B ＝34b ， 又因为4sin A sin B ＝3，所以ab ＝4，△ABC 的面积为12ab sin C ＝ 3. 10．(2022·湘豫联盟联考)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝8，AD ＝7，点D 在BC 上，且cos ∠ADC ＝17.(1)求BD ；(2)若cos ∠CAD ＝32，求△ABC 的面积． 解 (1)∵cos ∠ADB ＝cos(π－∠ADC )＝－cos ∠ADC ＝－17. 在△ABD 中，由余弦定理得82＝BD 2＋72－2·BD ·7·cos ∠ADB ，解得BD ＝3或BD ＝－5(舍)．(2)由已知sin ∠ADC ＝437，sin ∠CAD ＝12，∴sin C ＝sin(∠ADC ＋∠CAD )＝437×32＋17×12＝1314. 由正弦定理得CD ＝AD sin ∠CAD sin C ＝7×121314＝4913， ∴BC ＝3＋4913＝8813， ∴S △ABC ＝12×8×8813×32＝176313.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S＝(a ＋b )2－c 2，则sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C 等于 ( ) A ．1B ．－22C.22D.32 答案 C解析 因为S ＝12ab sin C ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 所以2S ＝ab sin C ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .又4S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以2ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab .因为ab ≠0，所以sin C ＝cos C ＋1.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以(cos C ＋1)2＋cos 2 C ＝1，解得cos C ＝－1(舍去)或cos C ＝0，所以sin C ＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝22(sin C ＋cos C )＝22. 12．(2022·焦作模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，且(sin A ＋sin B )2＋cos 2C ＝1＋sin A sin B ，则cos B 等于( )A.1314B.1114C.12D ．－12答案 B解析 因为(sin A ＋sin B )2＋cos 2C＝1＋sin A sin B ， 所以sin 2A ＋sin 2B ＋2sin A ·sin B ＋1－sin 2C＝1＋sin A ·sin B ，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，又a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，即a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝15，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－c 2＝－ab ，a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝5，c ＝7.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32＋72－522×3×7＝1114. 13．(2022·开封模拟)在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B ＝3π4，AB ＝32，AD ＝210，若AC ＝35，则CD 为 ．答案 1或5解析 因为在△ABC 中，∠B ＝3π4，AB ＝32， AC ＝35，由正弦定理可得AC sin B ＝AB sin ∠ACB， 所以sin ∠ACB ＝AB ·sin B AC ＝32×2235＝55， 又BC ⊥CD ，所以∠ACB 与∠ACD 互余，因此cos ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝55， 在△ACD 中，AD ＝210，AC ＝35，由余弦定理可得cos ∠ACD ＝55＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝5＋CD 265CD，所以CD 2－6CD ＋5＝0，解得CD ＝1或CD ＝5.14．(2022·大连模拟)托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC ，BD 是其两条对角线，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，AC ＝6，则四边形ABCD 的面积为 ．答案 9 3解析 在△ABD 中，设AB ＝a ，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝3a 2，所以BD ＝3a ，由托勒密定理可得a (BC ＋CD )＝AC ·3a ，即BC ＋CD ＝3AC ，又∠ABD ＝∠ACD ＝30°，所以四边形ABCD 的面积S ＝12BC ·AC sin 30°＋12CD ·AC sin 30° ＝14(BC ＋CD )·AC ＝34AC 2＝9 3.15．(多选)中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222(S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边)．现有△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝63，则下列结论正确的是( )A ．△ABC 的周长为10＋27B ．△ABC 的三个内角满足A ＋B ＝2CC ．△ABC 的外接圆半径为4213D ．△ABC 的中线CD 的长为3 2答案 AB解析 A 项，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t (t >0)，因为S △ABC ＝63，所以63＝14⎣⎡⎦⎤7t 2×4t 2－⎝⎛⎭⎫7t 2＋4t 2－9t 222，解得t ＝2，则a ＝4，b ＝6，c ＝27，故△ABC 的周长为10＋27，A 正确； B 项，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋36－282×4×6＝12， 所以C ＝π3，A ＋B ＝π－π3＝2π3＝2C ， 故B 正确；C 项，因为C ＝π3，所以sin C ＝32， 由正弦定理得2R ＝c sin C ＝2732＝4213， R ＝2213， C 错误；D 项，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋28－362×4×27＝714， 在△BCD 中，BC ＝4，BD ＝7，由余弦定理得cos B ＝16＋7－CD 22×4×7＝714， 解得CD ＝19，D 错误．16．(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝a ＋1，c ＝a ＋2.(1)若2sin C ＝3sin A ，求△ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)因为2sin C ＝3sin A ，则2c ＝2(a ＋2)＝3a ，则a ＝4，故b ＝5，c ＝6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝18，所以C 为锐角， 则sin C ＝1－cos 2C ＝378，因此， S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×378＝1574.(2)显然c >b >a ，若△ABC 为钝角三角形，则C 为钝角， 由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＝a 2－2a －32a (a ＋1)<0， 则0<a <3，由三角形三边关系可得a ＋a ＋1>a ＋2，可得a >1，因为a ∈N *，故a ＝2.。
(完整版)正弦定理、余弦定理综合应用典型例题
正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭． 3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π.例4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求ac的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-= 故3a c =例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 612例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________.3例7.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =【解析】0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得sin 2sin a b B A =⋅=, 例8.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 2 ，AC 的取值范围为 (2,3) .解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈例9.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。
《余弦定理、正弦定理应用举例》教案、导学案、课后作业
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第3课时余弦定理、正弦定理应用举例【教材分析】三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.【教学目标与核心素养】课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．【教学重点和难点】重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.【教学过程】一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语四、典例分析、举一反三题型一测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．跟踪训练一1、乙两楼相距200 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 【解析】如图所示，AD 为乙楼高，BC 为甲楼高．在△ABC 中，BC ＝200×tan 60°＝2003，AC ＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°，∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 120°，4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AD 2，AD 2＝40023，AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033 m. 题型二 测量角度问题例2 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】 救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【解析】由题意，知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， 即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB＝＝＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， 3)sin 45sin1055(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝ 300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ， 则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h. 解题技巧： (测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．跟踪训练二1、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】 设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝ACBC ·sin∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角．∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三 测量距离问题例3 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a 则可求出A ，B 两点间的距离．若测得CA＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】A ，B 两点间的距离为2007 m.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m.例4 如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.【答案】20 6 .【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝a2＋b2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC 和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC 中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【答案】A，B两点间的距离为64km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64km. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.【教学反思】对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。
《余弦定理、正弦定理的应用》教学设计、导学案、同步练习
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教学设计第3课时余弦定理、正弦定理的应用【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习利用正弦定理、余弦定理来求不能到达的两点之间的距离、底部不能到达的建筑物的高、角度问题。
正弦定理、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
这是一节关于正、余弦定理应用举例课.利用应用举例培养学生的数学建模能力。
把应用正余弦定理解决有关距离、高度、角度等问题融合起来，让学生经历情景的过程中解决数学问题。
【教学目标与核心素养】A.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；B.了解常用的测量相关术语；C.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。
【教学重点】：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；【教学难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图。
3.余弦定理：变形：4.三角形中的结论：5.情境引入：（1）现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？ （2）在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？二、探索新知 类型一 距离问题例1 如图， A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A ，B两点间的距离的方法.并求出A ，B 间的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===c b a C B A ::sin :sin :sin =Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=abc b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=;π=++C B A C B A C B A cos )cos(,sin )sin(-=+=+2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？【分析】先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)
【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形 内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .
正余弦定理典型例题
正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。
解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。
由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。
因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。
再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。
所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。
2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。
解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。
把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。
因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。
当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。
正、余弦定理在实际中的应用应用题
正、余弦定理在实际中的应用应用题正弦定理和余弦定理是三角形中的重要定理，它们在实际问题中有着广泛的应用。
下面将通过几个例子来说明它们在实际问题中的应用。
例1：一座山的高度是100米，从山顶到山脚的水平距离是500米。
现在我们要在山脚处建造一座高塔，使得从山顶到塔顶的视角恰好等于直角的一半（即45度）。
求塔的高度。
h/sin45° = 500/sin90°因为 sin45° = √2/2， sin90° = 1，例2：一座大桥的桥面宽度为 10米，桥下水流的深度为 2米。
为了使桥下水的流速达到每秒 5米，现要在桥边修建一条人行道，要求人行道的宽度为 3米。
问人行道的长度应该是多少？解：设人行道的长度为 L米。
由余弦定理得：L2 = （10 - 3）2 + （2 + 5）2 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 9 + 67 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 76 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （17 ×√3）×（√3/2）× 2答：人行道的长度为 25米。
本节课是介绍余弦定理和正弦定理的内容。
这两个定理是三角学的基本定理，对于理解三角形的属性和解决三角形的问题有着重要的意义。
余弦定理和正弦定理的发现和证明，也体现了数学中普遍存在的一种方法——归纳法。
通过本节课的学习，学生将更好地理解三角形的属性和解三角形的方法，同时也能提高他们的数学思维能力和推理能力。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案章节一：正弦定理的应用1.1 导入：通过复习正弦定理的定义和公式，引导学生理解正弦定理在几何中的应用。
1.2 实例讲解：以一个等腰三角形为例，利用正弦定理求解三角形的角度和边长。
1.3 练习：给出几个应用正弦定理的例题，让学生独立解答。
章节二：余弦定理的应用2.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在几何中的应用。
2.2 实例讲解：以一个直角三角形为例，利用余弦定理求解三角形的角度和边长。
2.3 练习：给出几个应用余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节三：正弦定理和余弦定理的综合应用3.1 导入：介绍正弦定理和余弦定理的综合应用，引导学生理解两者之间的关系。
3.2 实例讲解：以一个复杂的三角形为例，利用正弦定理和余弦定理相互验证，求解三角形的角度和边长。
3.3 练习：给出几个综合应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节四：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用4.1 导入：引导学生思考正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用，如测量学和工程学。
4.2 实例讲解：以一个实际问题为例，如测量一个未知角度的三角形，利用正弦定理和余弦定理求解。
4.3 练习：给出几个实际问题应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节五：总结与拓展5.1 总结：回顾本节课学习的正弦定理和余弦定理的应用，让学生总结关键点和注意事项。
5.2 拓展：引导学生思考正弦定理和余弦定理在其他领域的应用，如物理学和天文学。
5.3 练习：给出一个拓展性问题，让学生独立解答，激发学生的思考和创造力。
正余弦定理的应用举例教案章节六：正弦定理在三角形判定中的应用6.1 导入：引导学生思考正弦定理在三角形判定中的应用，如判断三角形的类型。
6.2 实例讲解：以一个给定角度的三角形为例，利用正弦定理判断三角形的类型。
6.3 练习：给出几个利用正弦定理判断三角形类型的例题，让学生独立解答。
章节七：余弦定理在三角形判定中的应用7.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在三角形判定中的应用。
北师大版必修5高中数学2.1正余弦定理的应用导学案(二)
(本节课有哪些收获？请写 下来，并与组内同学分享)
A．一定是锐角三角形
B．一 定是直角三角形
C．一定是钝角三角 形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
[ B ]4．a、b、c是△ABC的三边，B＝60°，那么a2－ac＋c2－b2的值()
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不确定
个性笔记
哪能通过探究一总结出已知三角形三边判断三角形形状的方法吗？
（提示：b2+c2=(b+c)2-2bc.本题是对正，余弦定理及三角形面积公式的总和应用）
（二）当堂检测
[ A ]1．△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()
A. B．2
C.D.
[ B ]2．若△ABC的三 个内角满足sinA∶ sinB∶sinC＝5∶11∶13， 则△
北师大版必修5
【学习目标】
1.能利用正,余弦定理解三角形
2.能利用正,余弦定理解判断三角形的形状
【学习重点】
正弦定理与余弦定理的综合应用
【使用说明】
[A]2三角形 面积定理是什么？写出来。
[A]3余弦定理的内容是什么？它的变形有哪些？写出 来。
（一）学习探究
探究一
[B]在△ABC中，AB＝5,BC=6,AC=8,则△ABC是什么三角形
(提示：利用三角形最大内角的余弦值与零的大小关 系判断)
探 究二
[B]在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2a 错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。b
(1)求角A的大小
(2)若a=6,b+c=8.求△ABC的面积，
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正余弦定理应用举例导学案及练习题
【学习目标】
．复习巩固正弦定理、余弦定理．
．能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题．
【学习重难点】
能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题．
【复习巩固】
．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA＝______＝csinc＝2R．
．应用：利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：
①已知两角与一边，解三角形；
②已知两边与其中一边的对角，解三角形．
做一做：在△ABc中，a＝4，b＝3，A＝30°，则sinB 等于
A．1B.12c.38D.34
．余弦定理：三角形中任何一边的______等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍．即：在△ABc中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝____________，c2＝a2＋b2－2abcosc.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝______________，cosc＝a2＋b2－c22ab.
应用：利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问
题：
①已知三边，解三角形；
②已知两边及其夹角，解三角形．
做一做：在△ABc中，AB＝3，Bc＝13，Ac＝4，则A＝__________.
【典例分析】
题型一测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题
例题1：如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点之间的距离，先在岸边取基线Ac，测得Ac＝120，∠BAc＝45°，∠BcA＝75°，求A，B两点间的距离．题型二测量两个不可到达的点之间的距离问题
例题2：如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距3的c，D两点，并测得∠AcB＝75°，∠BcD ＝45°，∠ADc＝30°，∠ADB＝45°，求两个目标A，B之间的距离．
【课堂达标】
已知A，B两地相距10，B，c两地相距20，且∠ABc＝120°，则A，c两地相距
A．10B．c．D．
设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点c，测出A，c的
距离是100，∠BAc＝60°，∠AcB＝30°，则A，B两点的距离为__________.
如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距nile，则此船的航行速度是__________nile/h.。