第六章 椭球面上的测量计算

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3）子午面直角坐标系
设P点的大地经度为L， 在过P点的子午面上， 以子午圈椭圆中心为 原点，建立x，y平面 直角坐标系。在该坐 标系中，P点的位置 用L，x，y表示
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4）大地极坐标系
M为椭圆体面上任意 一点，MN为过M点的子 午线，S为连结MP的大 地线长，A为大地线在M 点的大地方位角。以M 为极点、MN为极轴、S 为极径、A为极角，就构 成了大地极坐标系。P点 位置用S、A表示。 椭球面上的极坐标（S、A）与大地坐标（L、B） 可以互相换算，这种换算叫大地主题解算。
2
P Ｑ N (1 e )
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Ｑn Ne
2
2）空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系
X x cos L, Y x sin L, Z y
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x N cos B
y N (1 e )sin B
2
X x cos L, Y x sin L, Z y
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3）空间直角坐标系与大地坐标系的关系
克拉索夫斯基椭球 1975国际椭球 WGS-84系椭球
a
b c
6378245
6356863.018773 0473 6399698.901782 7110
6378140
6356755.288157 5287 6399596.651988 0105
6378137
6356752.3142 6399593.6258
N0 a
a＜N＜c
说明 卯酉圈变为赤道 N随B的增大而增大
B=900
N90=c
卯酉圈变为子午圈，N=c
子午曲率半径M及卯酉圈曲率半径 N,在微分几何中称主曲率半径
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3、任意法截弧的曲率半径
1 2 RA R(1 )(1 2 cos 2 A) 2 R 2 R e cos B cos 2 A R 2
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4、平均曲率半径
由于RA的数值随方位A的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中， 往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此， 就要推求该球面的曲率半径--平均曲率半径[就是过椭球面上一点的一切法截 弧(0—2π），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限， 就称为平均曲率半径，用R表示]。
从赤道开始到任意纬度Ｂ的平行圈 之间的弧长可由下列积分求出：
X MdB
0 B
式中M可用下式表达：
M a 0 a 2 cos 2 B a 4 cos 4 B a 6 cos 6 B a8 cos 8B
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a0 a2
其中：
a4 a6 a8
m2 3 5 35 m0 m4 m6 m8 2 8 16 128 m 2 m 4 15 7 m 6 m8 2 2 32 16 m 3 7 4 m6 m8 8 16 32 m m 6 8 32 16 m8 128
b c N a 2 R MN 2 2 2 (1 e ) W V V W .
M、N、R的关系：N>R >M
只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半 径c，即：
N 90 R90 M 90 c
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7.4 椭球面上的弧长计算
1.子午线弧长计算公式
子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道 又把子午线分成对称的两部分。 如下图所示，取子午线上某微分弧 PP dx ，令Ｐ点 纬度为Ｂ， P 点纬度为 B dB ，Ｐ点的子午圈曲率半径为 Ｍ，于是有：dx MdB
1
7-1地球椭球的基本几何参数及相互关系

1.地球椭球的基本几何参数
地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它 是地球的数学模型。 参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以 代表某一地区大地水准面的地球椭球。地面上一切观测 元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。 参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地 球形状和地图投影的参考面。
r N cos B
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平行圈半径r就等于P点的横坐标x（子午 面直角坐标系），即：
a N W
a cos B xr W
子午平面直角 坐标系与大地 坐标系的关系
x N cos B
a cos B xr W a N W 2 2 W 1 e sin B
B B=00 00<B<900 N
a c b
M随B的增大而增大 M等于极点曲率半径
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2、卯酉圈曲率半径


过P点作以 O′为中心的平行圈 PHK 的切线 PT ，该切线位于垂直于子 午面的平行圈平面内。因卯酉圈 也垂直于子午面，故 PT 也是卯酉 圈在P点处的切线，即PT垂直于 Pn。 所以 PT 是平行圈 PHK 及卯酉圈在 P 点处的公切线。 麦尼尔定理：假设通过曲面上一 点引两条截弧，一条为法截弧、 一条为斜截弧，且在该点上这两 条截弧具有公共切线，这时斜截 弧在该点的曲率半径等于法截弧 的曲率半径乘以两截弧平面夹角 的余弦。又因为平行圈平面与卯 酉圈平面之间的夹角即为大地纬 度B，所以有：
大地坐标系、 空间直角坐标系 （大地测量中两种基本坐标系） 子午平面直角坐标系 大地极坐标系
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1）大地坐标系
P点的子午面NPS与起始子 午面NGS所构成的二面角 叫做P点大地经度，P点的 法线Pn与赤道面的夹角B叫 P点的大地纬度，P点的位 置用L、B表示 。
若P点不在椭球面上，还要 一个参数：大地高H来表示 点位。它与正常高及正高的 关系为： P
a2 c , t tan B, 2 e2 cos 2 B b
W 1 e sin B ,V 1 e cos B
2 2 2 2
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
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我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克 拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐 标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是 WGS-84系椭球参数。
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2、各种坐标系间的关系

1）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系
a cos B x W 1 e 2 sin 2 B
a b sin B 2 y (1 e )sin B V 1 e2 sin 2 B W
过p 点作法线Pn，它 与x 轴之夹角为B，过点作 子午圈的切线TP，它与x 轴的夹角为（90°+B）--该角的正切值为曲线在P 点处切线的斜率.
百度文库
H H 正常 (高程异常) H H 正 N (大地水准面差距)
N过中心
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大地坐标系是基本的坐标系 是全世界公用的最方便的坐标系 与同一点的天文坐标比较可确定垂线偏差 对于大地测量计算、地球形状研究和地图 制图都很有用。
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2）空间直角坐标系
以椭球中心O为原点，起 始子午面与赤道面交线 为X轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y轴，椭 球体的旋转轴为Z轴，构 成右手坐标系O-XYZ， 在该坐标系中，P点的位 置用X、Y、Z表示
2 e2 cos2 B
平均曲率 半径
当A=0°或180°时，RA的值最小，此时R0=M（子午曲率半径）
当A=90°或270°时，RA的值最大，此时R90=N（卯酉圈曲率半径）；
当A由0°→90°时，RA之值由M→N；当A由90°→180°时，RA之值 由N→M。 RA值的变化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
2
25
a (1 e ) M W3
2
W 1 e sin B
2 2
B B=0（在赤道处） 0＜B＜90 B=90（在极点处）
M
M 0 a (1 e )
2
说 明
c (1 e' 2 ) 3
M小于赤道半径a
2
a (1 e 2 ) M c a M 90 c 2 1 e
a b 1 e' b a 1 e
2
2
c a 1 e' a c 1 e 2 2 e' e 1 e' e e' 1 e
2 2
V W 1 e W V 1 e
2
2
7
7-2椭球面上的常用坐标系及其相互关系 （重点）

1.常用的四种坐标系


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已知空间直角坐标计算大地坐标
Y L arctg X
tgB 或 ctgB X
2
Z Ne 2 sin B X
2
Y 2 Y 2 Ne 2 cos B Z
Z H N (1 e 2 ) sin B H
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X 2 Y 2 N cos B
3 站心地平坐标系及其应用（了解）
当P点位于椭球面上时：
x N cos B
y N (1 e2 )sin B
X x cos L, Y x sin L, Z y
X Y
X N cos B cos L Y N cos B sin L Z N (1 e ) sin B
2
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当P点不在椭球面上时：
X ( N H ) cos B cos L ( N H ) cos B sin L Y 2 Z N ( 1 e ) H sin B
2
a、b称为长度元素
五个基本几何参数
椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b 椭圆的扁率：
扁率反映了椭球体的 扁平程度
a b a
a2 b2 e a
椭圆的第一偏心率：
椭圆的第二偏心率：
a2 b2 e b
3
e′和e反映椭球体的扁平程 度，偏心率越大，椭球愈 扁
注 意


决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中 的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如 a或b）。 为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
a2 b2 e b
a b e' b2
2 2 2
a2 b2 e a
2 2 a b e2 a2
2 a 1 e2 2 b
2 b 1 e2 2 a
(1 e )(1 e' ) 1
2 2
2 e ' e2 2 1 e'
6
2 e 2 e' 2 1 e
大地站心地平坐标系：站心点的法线为z轴，向上 为正在地平面上以子午线方向为x轴，y与x、z 轴正交，指向以东为正。
Z
x
L
z y
P 0 B0 , L0
O
B Y
KP
Q
X
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大地站心极坐标系：以站心系原点到点的空间距 离、方位角和天顶距为坐标参数来确定三维点 位，称为站心极坐标系。
z
Z A
x
P
D
y
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1、子午圈曲率半径 DE dx dS dS M sin B sin B dB dx 1 a cos B M x dB sin B W
dW sin BW cos B dx dB a 2 dB W
a (1 e ) M 3 W
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a cos B
a(1 e2 )sin B

1）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系
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一个有用的结论推导：
设Pn=N，则有：
x N cos B
a N W
a cos B x W
a y (1 e 2 )sin B W
y N (1 e2 )sin B
y PＱsinB
[知识点及学习要求] 1．地球椭球的定义及其几何意义； 2．常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用； 3．各种测量坐标系统之间的相互转换； 4．椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算； 5．地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。
[难点]在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。
各种常用测量坐标系统的建立与相互转换； 几种常用的椭球计算公式； 地面观测值归算到椭球面的方法与计算。
1/298.3
1/298.257
0.006694384999 588 0.006739501819 473
1/298.257223563
0.0066943799013 0.0067394967422 7
e2
0.006693421622 966
5
e’ 0.006738525414 683 2
2.地球椭球参数间的相互关系
o
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7.3椭球面上的几种曲率半径（重点）
几个基本概念： 无穷多个 法截面：过椭球面上任意一点 可作垂直于椭球面的法线，包 含这条法线的平面就叫法截面。 法截线（法截弧）：法截面与 椭球面的交线。 卯酉圈：过某点法线的无数个 法截面中，与子午面相垂直的 法截面同椭球面相截形成的闭 合圈就称为卯酉圈。 子午圈：与卯酉圈垂直