Floyd算法详解

求最短路径算法总结

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floyd算法

it

部分内容参考

All-Pairs 的最短路径问题:所有点对之间的最短路径

Dijkstra算法是求单源最短路径的，那如果求图中所有点对的最短路径的话则有以下两种解法：

解法一：

以图中的每个顶点作为源点，调用Dijkstra算法，时间复杂度为O(n3)；

解法二：

Floyd（弗洛伊德算法）更简洁，算法复杂度仍为O(n3)。

n

正如大多数教材中所讲到的，求单源点无负边最短路径用Dijkstra，而求所有点最短路径用Floyd。确实，我们将用到Floyd算法，但是，并不是说所有情况下Floyd都是最佳选择。

对于没有学过Floyd的人来说，在掌握了Dijkstra之后遇到All-Pairs最短路径问题的第一反应可能会是：计算所有点的单源点最短路径，不就可以得到所有点的最短路径了吗。简单得描述一下算法就是执行n次Dijkstra算法。

Floyd可以说是Warshall算法的扩展了，三个for循环便可以解决一个复杂的问题，应该说是十分经典的。从它的三层循环可以看出，它的复杂度是n3，除了在第二层for中加点判断可以略微提高效率，几乎没有其他办法再减少它的复杂度。

比较两种算法，不难得出以下的结论：对于稀疏的图，采用n次Dijkstra比较出色，对于茂密的图，可以使用Floyd算法。另外，Floyd可以处理带负边的图。

下面对Floyd算法进行介绍：

Floyd算法的基本思想：

可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k 与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。

Floyd算法的基本步骤：

定义n×n的方阵序列D-1, D0 , … Dn－1,

初始化：D-1＝C

D-1[i][j]＝边的长度，表示初始的从i到j的最短路径长度，即它是从i到j的中间不经过其他中间点的最短路径。

迭代：设Dk-1已求出，如何得到Dk（0≤k≤n-1）？

Dk-1[i][j]表示从i到j的中间点不大于k-1的最短路径p：i…j，

考虑将顶点k加入路径p得到顶点序列q：i…k…j，

若q不是路径，则当前的最短路径仍是上一步结果：Dk[i][j]= Dk－1[i][j]；

否则若q的长度小于p的长度，则用q取代p作为从i到j的最短路径。

因为q的两条子路径i…k和k…j皆是中间点不大于k－1的最短路径，所以从i到j中间点不大于k的最短路径长度为：

Dk[i][j]＝min{ Dk-1[i][j], Dk-1[i][k] +Dk-1[k][j] }

Floyd算法实现：

可以用三个for循环把问题搞定了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题的。

for(int i=0; i

for(int j=0; j

for(int k=0; k

问题出在我们太早的把i-k-j的距离确定下来了，假设一旦找到了i-p-j最短的距离后，i 到j就相当处理完了，以后不会在改变了，一旦以后有使i到j的更短的距离时也不能再去更新了，所以结果一定是不对的。所以应当象下面一样来写程序：

for(int k=0; k

for(int i=0; i

for(int j=0; j

这样作的意义在于固定了k，把所有i到j而经过k的距离找出来，然后象开头所提到的那样进行比较和重写，因为k是在最外层的，所以会把所有的i到j都处理完后，才会移动到下一个k，这样就不会有问题了，看来多层循环的时候，我们一定要当心，否则很容易就弄错了。

接下来就要看一看如何找出最短路径所行经的城市了，这里要用到另一个矩阵P，它的定义是这样的：p(ij)的值如果为p，就表示i到j的最短行经为i->...->p->j，也就是说p是i 到j的最短行径中的j之前的最后一个城市。P矩阵的初值为p(ij)=i。有了这个矩阵之后，要找最短路径就轻而易举了。对于i到j而言找出p(ij)，令为p，就知道了路径i->...->p->j；再去找p(ip)，如果值为q，i到p的最短路径为i->...->q->p；再去找p(iq)，如果值为r，i到q的最短路径为i->...->r->q；所以一再反复，到了某个p(it)的值为i时，就表示i到t的最短路径为i->t，就会的到答案了，i到j的最短行径为i->t->...->q->p->j。因为上述的算法是从终点到起点的顺序找出来的，所以输出的时候要把它倒过来。

但是，如何动态的回填P矩阵的值呢？回想一下，当d(ij)>d(ik)+d(kj)时，就要让i到j 的最短路径改为走i->...->k->...->j这一条路，但是d(kj)的值是已知的，换句话说，就是k->...->j 这条路是已知的，所以k->...->j这条路上j的上一个城市(即p(kj))也是已知的，当然，因为要改走i->...->k->...->j这一条路，j的上一个城市正好是p(kj)。所以一旦发现d(ij)>d(ik)+d(kj)，就把p(kj)存入p(ij)。

下面是具体的C代码：

#include

#include

#include

#define MAXSIZE 20

void floyd(int [][MAXSIZE], int [][MAXSIZE], int);

void display_path(int [][MAXSIZE], int [][MAXSIZE], int);

void reverse(int [], int);

void readin(int [][MAXSIZE], int *);

#define MAXSUM(a, b) (((a) != INT_MAX && (b) != INT_MAX) ? \

((a) + (b)) : INT_MAX)