上海(沪教版)数学高一下学期同步辅导讲义教师版：第十二讲 等差数列

沪教版数学高一下春季班第12讲

课题 等差数列

单元

第章

学科

数学

年级

十

学习 目标 1.掌握等差数列的概念；

2.熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；

3.灵活掌握等差数列的性质；

4.等差数列求最值。

重点 1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；

2.灵活掌握等差数列的性质；

难点 3.灵活掌握等差数列的性质；

数列通项公式求法：

1、等差数列的定义:

①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示

2、等差数列的判定方法:

②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列

③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列

3、等差数列的通项公式:

④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=该公式整

理后是关于n 的一次函数

教学安排

版块

时长

1 知识梳理 30

2 例题解析 60

3 巩固训练 20

4 师生总结 10 5

课后练习

30

知识梳理

4、等差数列的前n 项和:

⑤2)

(1n n a a n S +=

⑥d n n na S n 2

)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数

5、等差中项:

⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2

b

a A +=

或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项

6、等差数列的常用性质:

⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且

n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=

⑧对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+

⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*

N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等

差数列

7、奇数项和与偶数项和的关系：

⑩设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：

前n 项的和偶奇S S S n += 当n 为偶数时，d 2

n

S =

-奇偶S ，其中d 为公差； 当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 2

1

n S -=，

11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n 8前n 项和与通项的关系：

（11）若等差数列

{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则

'1

2

1

2--n n n n S b a 9、等差数列的单调性

等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。 10、等差数列的最值

○

11若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时， （1）若1

a >0,d<0,且满足10

n n a a +≥⎧⎨

≤⎩，前n 项和n S 最大；

（2）若1

a <0,d>0，且满足1

0n n a a +≤⎧⎨

≥⎩，前n 项和n S 最小；

（3）除上面方法外，还可将{}n a 的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n N *∈。

一、等差数列的概念与公式

【例1】在等差数列{}n a 中： （1）若13,21,2n a a d ===，求n ；

（2）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为多少升？ 【难度】★

【答案】（1）10；（2）66

67.

【例2】已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=-，求数列的通项公式. 【难度】★ 【答案】2－n

【例3】已知a ，b ，c 成等差数列，求证：b +c ，c +a ，a +b 也是等差数列. 【难度】★ 【答案】略

【例4】已知{}n a 是各项不同的正数等差数列，124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，又21

n

n b a =，*n N ∈． （1） 证明{}n b 为等比数列； （2） 如果数列{}n b 前3项和等于7

24

，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． 【难度】★★

【答案】（1）提示：证明

11

2

n n b b +=；（2）13a d ==．

【例5】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列

{}n

S 是公差为d 的

例题解析