上海(沪教版)数学高一下学期同步辅导讲义教师版：第十二讲 等差数列

沪教版数学高一下春季班第12讲课题 等差数列单元第章学科数学年级十学习 目标 1.掌握等差数列的概念；2.熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；3.灵活掌握等差数列的性质；4.等差数列求最值。

重点 1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2.灵活掌握等差数列的性质；难点 3.灵活掌握等差数列的性质；数列通项公式求法：1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示2、等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=该公式整理后是关于n 的一次函数教学安排版块时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 10 5课后练习30知识梳理4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数5、等差中项:⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项6、等差数列的常用性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列7、奇数项和与偶数项和的关系：⑩设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：前n 项的和偶奇S S S n += 当n 为偶数时，d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差； 当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n 8前n 项和与通项的关系：（11）若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--n n n n S b a 9、等差数列的单调性等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。

10、等差数列的最值○11若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时， （1）若1a >0,d<0,且满足10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，前n 项和n S 最大；（2）若1a <0,d>0，且满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩，前n 项和n S 最小；（3）除上面方法外，还可将{}n a 的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n N *∈。

一、等差数列的概念与公式【例1】在等差数列{}n a 中： （1）若13,21,2n a a d ===，求n ；（2）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为多少升？ 【难度】★【答案】（1）10；（2）6667.【例2】已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=-，求数列的通项公式. 【难度】★ 【答案】2－n【例3】已知a ，b ，c 成等差数列，求证：b +c ，c +a ，a +b 也是等差数列. 【难度】★ 【答案】略【例4】已知{}n a 是各项不同的正数等差数列，124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，又21nn b a =，*n N ∈． （1） 证明{}n b 为等比数列； （2） 如果数列{}n b 前3项和等于724，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． 【难度】★★【答案】（1）提示：证明112n n b b +=；（2）13a d ==．【例5】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列{}nS 是公差为d 的例题解析等差数列．（1） 求数列{}n a 的通项公式（用n d 、表示）；（2） 设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数m n k 、、，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92． 【难度】★★★【答案】（1）()221n a n d =-；（2）提示：转化为222minm n c k ⎛⎫+< ⎪⎝⎭【巩固训练】1.已知{}n a 为等差数列，则下列各式所确定的数列{}n b 必为等差数列的是（ ） A .n n b a =B .2n n b a =C .1n n n b a a +=D .5n n b a =【难度】★ 【答案】D2.等差数列{}n a 中，372,5a a =-=,则1113________,_______.a a == 【难度】★ 【答案】231,123.{}n a 为等差数列，若16340,1a a a a +==-，则_________n a =. 【难度】★【答案】－2n +7或2n -74.已知数列{}n a 是等差数列，且610a =，则使12a a 最小的公差.________=d 【难度】★ 【答案】495.等差数列{}n a 的前10项和为140，其中项数为奇数的各项和为125，求前100项和. 【难度】★ 【答案】－976006.已知等差数列{}n a 中，10100100,10S S ==，求110S .【难度】★ 【答案】－1107.已知数列{}n a 的各项均不为零，且满足关系式：113(2)3n n n a a n a --=≥+，（1）求证数列1{}na 是等差数列；（2）当10.5a =时，求数列{}n a 的通项公式. 【难度】★【答案】(1)略；（2）53+n .8.数列{},{}n n a b 中，13lg3lg 2,n n n n n a b a +=-=，试问数列{}n b 是否为等差数列？如果是，写出它的通项公式；如果不是，说明理由. 【难度】★【答案】3(3lg )lg 22n b n =-二、等差数列的性质【例6】一个共有n 项的等差数列前4项之和为26，末4项之和为110，且所有项之和为187，则n=____ 【难度】★ 【答案】11【解析】()14136n a a += n=11【例7】 等差数列前9项和等于前4项和，若141,0k a a a =+=，则k= 【难度】★★ 【答案】10【解析】94987657,0,0s s a a a a a a =++++==，472k a a a +=，k=10【例8】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 【难度】★ 【答案】24【解析】 {}n a Q 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =∴ 2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==.、【例9】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 【难度】★ 【答案】9【解析】 {}n a Q 为等差数列，9553995S a S a ∴==【例10】等差数列}{n a 的前n 项和为951,1830(9),336,n k k S S a k S k --==>==若，则_____ 【难度】★★ 【答案】22k =【解析】根据959S a =求出5a ，再根据551(1)()2k k k a a S ---+=，求出k 。

21(21)n n S n a -=-，注意n a 是21n S -的中间项。

由于918S =，959S a =，有52a =，再由551(1)()2k k k a a S ---+=，代入可求得22k =【例11】已知等差数列{}n a 的前10项之和为30，前20项之和为100，则283a a += 【难度】★★ 【答案】14【解析】对等差数列{}n a 进行分组，十个一组，则每组之和也成等差数列由以上分析，得101120122303010070S T T S T T T ===⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩，由于123,,T T T 成等差，所以3110T =， 所以30123210S T T T =++=，再由1303283030()30()22a a a a S ++==,得到32814a a +=【例12】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32：27，则公差d =_________ 【难度】★★ 【答案】5【解析】根据:=32:27S S 奇偶，可设3227S kS k =⎧⎪⎨=⎪⎩偶奇，代入求出k【解答】：由分析，设3227S k S k=⎧⎪⎨=⎪⎩偶奇，再由12354S =，可知=35432273546S S k k k +⇒+=⇒=奇偶又因为=6S S d -奇偶，所以6305d S S d =-=⇒=奇偶【例13】设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数，前n 项和为n S ，且11a >，46a >，312S ≤，则2012a =【难度】★★ 【答案】4024【解析】1112a a >⇒≥，由分析有3113312312362S a d d a d =+≤⇒=-≤⇒≤再由d 是正整数，当1d =时，41131136333123a a d a S a d a =+>⇒>⎧⎨=+≤⇒≤⎩，矛盾，舍掉当2d =时3111331222S a d a a =+≤⇒≤⇒= 所以201222(1)24024n a n n a =+-=⇒=【例14】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24121n na n a n -=-，则2n nS S = ．【难度】★★ 【答案】4【解析】由24121n na n a n -=-，即 4121n na nd n a n +-=-，得121,22n n d a d a -==．21()22n n n a a n d S +==，22(2)42n n n d S S ==．故2n nSS =4．【例15】已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：cb a bc a a c b +++,,也成等差数列. 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由c b a 1,1,1成等差数列，有1122()2ba bc ac b a c ac a c b+=⇒+=⇒+= 2222222()2()2()()b c a b c bc a ba c ac a c a c a c a a c ac ac ac b a c b++++++++++∴+=====+cba b c a a c b +++,,也成等差数列.【巩固训练】1、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =【难度】★★ 【答案】10【解析】因为{}n a 是等差数列，所以，112m m m a a a -++=，由2110m m m a a a -++-=，得：2m a －2ma ＝0，所以，m a ＝2或0（舍），又2138m S -=，即2))(12(121-+-m a a m ＝38，即（2m －1）×2＝38，解得m ＝10，故选.2、首项为-24的等差数列{}n a 从第10项起为正数，则公差d 的取值范围是 【难度】★★ 【答案】833d ≤＜ 【解析】 提示：91000a a ≤且＞833d ≤＜3、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，若5999=T S ，求55b a【难度】★★ 【答案】59【解析】根据21(21)n nS n a -=-，可得959599S a T b =⎧⎨=⎩由次可得955595559995S a a a T b b b ==⇒=4. 设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为【难度】★★ 【答案】1941【解析】93936578466622a a a a a b b b b b b b +=+=++ …. =19415. 等差数列{}n a 中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。