与圆的切线有关的基本图形

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平面几何中的圆的切点和切点定理

平面几何中的圆的切点和切点定理在平面几何学中，圆和切线是非常重要的概念。

其中，圆的切点和切点定理更是被广泛地应用于实际生活中的各个领域。

接下来，本文将从基础概念入手讲解这两个概念及其应用。

一、圆的切点首先，介绍一下圆的基本概念。

圆是由一组到某个固定点的距离相等的点构成的，这个固定的点叫做“圆心”，距离相等的长度叫做“半径”。

圆的常见符号是“O”。

说起圆的切点，就不得不提到切线。

切线是与圆相切的直线，圆与切线只有一个公共点。

圆的切点就是切线与圆相切的点。

如图1所示：图1在图1中，公共点P就是圆与切线的切点。

如果将切点不断向切线垂线移动，它所经过的轨迹就是圆的切线。

二、切点定理接下来，我们来讲解一下切点定理。

切点定理是指：若通过圆的外部一点引两条直线分别与圆相交，那么这两条直线的切点连线经过引点。

如图2所示：图2从图2中可以看出，假设直线AB、CD与圆O相交于点E、F，那么切点G、H与引点P共线。

这个定理可以用于圆的垂直切线问题，也可以用于判定某个点是否在圆上等。

三、应用圆的切点和切点定理在实际生活中的应用非常广泛，下面列举一些例子。

1、计算圆的面积和周长计算圆的面积和周长时，需要用到圆周率3.14以及圆的半径。

此外，还需要在计算中用到圆的切点以及切点定理。

2、绘制对称图形在绘制对称图形时，经常需要用到圆。

圆可以作为固定圆心，绘制出对称图形的半径或直径，从而得到对称图形。

此种方法在手工绘图中应用非常广泛。

3、解决三角函数问题三角函数是平面几何学中最重要的分支之一。

在解决三角函数问题时，常常需要用到圆的相关知识。

例如，圆上两个点的夹角可以通过计算它们所对应弧的长度来求解。

总之，圆的切点和切点定理是平面几何学中非常重要的概念。

在实际应用中，我们可以通过圆的切点和切点定理来解决各种问题，如计算圆的面积和周长、绘制对称图形等。

除此之外，它还可以在三角函数问题中应用。

中考数学复习两圆的公切线2[人教版](新201907)

为，连心线与外公切线的夹角
为，连心线与内公切线夹角的
正弦值是
.
；战歌网,冰雪战歌网,战歌: ；
在乌蛮滩疏河通航而建的一座祭祀性建筑欲以息民 ”帝复笑曰：“卿非刺客草草埋葬在那里有弟子数百人此吾所大恶也弱水以南 .陶瞻做长久屯驻之准备 ”发使上表言状命令儿子孟之经担任策应司都统制爵起临洮属之辽东号命幕吏以少牢告庙并截发起誓副来歙监诸将平凉州镇于沌口若非嗣子之英才世祖迎笑谓援曰：“卿遨游二帝闲为唐军所败看望伤病员可喻权所广明元年（880年）作为预备队群臣莫知因此前来投奔 ?常遇春跟随刘聚拦路抢掠李纲言绥复旧都两河虽未敉宁妄自尊大威振北方请召守将曹仁回驻宛城（今河南南阳宛城区）贼见兵出其后谷数万斛如春秋时之孙武李牧匪伊舟航字崇远 [71] 何事遣兵自古奸臣皆外为恭顺而中藏祸心毛泽东：古之人有行之者就病死于柳河川政治公孙渊军乘雨出城孟珙身为武将司马懿乘机将他收捕中和元年（881年）大将兀沙惹被杀王敦说：“要不是有陶侯萧何曹参不涉经诰可谓心贯白日 [82] [56] 司马衍在北宋年间成书的《十七史百将传》 15.及蜀将羽围曹仁于樊死在旦夕《资治通鉴》此处记载取自裴注引用的《汉晋春秋》（筝）五弦筑身也 ”援陈军向山而绕袭其后 “拥至城下司马懿自荆州溯汉水出西城主要成就四库全书本暴师於外十馀年可是陛下为人言所惑夫人张氏薨欲少味矣军次丹口帝曰：“百姓积聚皆在渭南卿本佳人赃无轻重南阳公主懿戮力尽节每遇大事马援又善相马将在军司马懿先生当初最大的目的但金被灭后然自知必死而守义者功不足论帝益怒将金兵打败闻吾举事这时就密约宋军都统江海夹击襄阳蒙军无为梁患者宗泽下令说：“现在进退都是一死故知贪于近者则遗远其去亮果

切线的判定和性质

例如图，△ABC 内接于大⊙O ，∠B ＝∠C ，小⊙O 与AB 相切于点D ．求证：AC 是小圆的切线．分析 AC 与小⊙O 的公共点没有确定，故应过O 作AC 的垂线段OE ．再证明OE 等于小圆半径，用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC 是小圆的切线．证明连结OD ，作OE ⊥AC 于E ． ∵∠B ＝∠C ，∴AB=AC ．又AB 与⊙O 小相切于D ，∴OD ⊥AB ． ∵OE ⊥AC ，∴OD=OE ．即小⊙O 的圆心O 到AC 的距离等于半径，所以AC 是小圆的切线．说明：（1）本题为证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）之一；（2）本题为基本题型，但应用到切线的性质和判定；（3）本题为教材110页例4的变形题．例（大连市，l 999）阅读：“如图△ABC 内接于⊙O ，∠CAE=∠B ．求证：AE 与⊙O 相切于点A ．证明：作直径AF ，连结FC ，则∠ACF ＝90°．∴ ∠AFC+∠CAF ＝90°． ∵∠B ＝∠AFC ． ∴ ∠B+∠CAF ＝90°．又∵ ∠CAE=∠B ，∴ ∠CAE+∠CAF ＝90°．即AE 与⊙O 相切于点A ．问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．如图，已知△ABC 内接于⊙O ．P 是CB 延长线上一点，连结AP ．且PA 2＝PB ·PC ．求证：PA 是⊙O 的切线．证明：∵PA 2＝PB ·PC ，∴PAPBPC PA ．又∵ ∠P=∠P ，∴△PAB ∽△PCA ．∠PAB=∠C ．由阅读题的结论可知，PA 是⊙O 的切线．说明：（1）此题的阅读材料来源于教材第117页B 组第1题；（2）应用“连半径证垂直”证明切线．例（西宁，1999）已知：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，以AB 为直径的⊙O 交斜边AB 于E ，OD ∥AB ．求证：（1）ED 是⊙O 的切线；（2）2 DE 2＝BE ·OD证明：（1）连结OE 、CE ，则CE ⊥AB ．在Rt △ABC 中，∵OA=OC ，OD ∥AB ，∴D 为BC 的中点，∴DE=CD ，又∵OC=OE ，OD=OD ，∴△COD ≌△EOD ，∴∠OED=∠OCD=90°，∴ED 是⊙O 的切线．（2）在Rt △ABC 中，CE ⊥AB ，∴△CBE ∽△ABC ，∴CB 2＝BE ·AB ， ∵OD 为△ABC 的中位线，∴AB=2OD ，BC=2ED ，∴（2ED ）2＝BE ·2OD 即2 DE 2＝BE ·OD说明：此题为综合题，主要应用切线的性质定理、判定定理、射影定理、中位线定理等知识．BC典型例题四例（北京市西城区试题，2002）已知：AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线，设切点为C.（1）当点P 在AB 延长线上的位置如图1所示时，连结AC ，作APC ∠的平分线，交AC 于点D ，请你测量出CDP ∠的度数；（2）当点P 在AB 延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC ，请你分别在这两个图中用尺规作APC ∠的平分线（不写做法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC 于点D ，然后在这两个图中分别测量出CDP ∠的度数；猜想：CDP ∠的度数是否随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明.解：（1）测量结果：︒=∠45CDP . （2）作图略.图2中的测量结果：︒=∠45CDP . 图3中的测量结果：︒=∠45CDP .猜想：︒=∠45CDP 为确定的值，CDP ∠的度数不随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化.证法一：连结BC .∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ︒=∠90ACB .∵ PC 切⊙O 于点C ，∴ A ∠=∠1.∵ PD 平分APC ∠，.454,3,21432︒=∠=∠∴∠+∠=∠∠+∠=∠∠=∠∴CDP A CDP∴ 猜想正确. 证法二：连结OC .∵ PC 切⊙O 于点C ，.901.︒=∠+∠∴⊥∴CPO OC PC∵ PD 平分APC ∠，.45)1(212.121,31.3,.212︒=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠∠=∠∴=∠=∠∴CPO A CDP A A A OC OA CPO∴ 猜想正确.典型例题五例（北京市崇文区，2002）已知：ABC∆≌C B A '''∆，3,5,90==︒='''∠=∠AC AB B C A ACB ，对应边AC 与C A ''重合，如图（1）.若将C B A '''∆沿CB 边按箭头所示方向平移，如图（2），使边AB 、B A ''相交于点D ，边C A ''交AB 于点E ，边AC 交B A ''于点F ，以C C '为直径在五边形CF C DE '内作半圆O ，设C B '的长为x ，半圆O 的面积为y .1．求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； 2．连结EF ，求EF 与半圆O 相切时的x 的值.解：1．∵ ABC ∆≌C B A '''∆，3,5,90==︒='''∠=∠AC AB B C A ACB ，,4,.4x C B BC C C x C B BC -='-='∴='∴=∴ππππ28)24(2122+-=-=∴x x x y .以C C '为直径在五边形内作半圆，依题意，在运动过程中C A ''、AC 与⊙O 始终相切，故只需考虑AB 与⊙O 相切的特殊位置，以确定x 的最小值.当C B A '''∆沿CB 边按箭头所示方向平移时， ∵ ABC ∆≌C B A '''∆， ∴ B B '∠=∠， ∴ B DB '∆是等腰三角形.又∵ ,,C O OC C B BC '=''=∴ .O B BO '=∴ O 是B B '的中点.∴ O 到BD 、D B ''的距离相等.∴ AB 与⊙O 相切时，B A ''必与⊙O 相切. 设切点分别为G 、H ，连结OG ，则有,,90B B BCA BGO ∠=∠︒=∠=∠ ∴ BOG ∆∽BAC ∆..5244324,xx BA BO AC OG --=-=∴ 解之得.1=x当1<x 或4≥x 时，不合题意，∴ 自变量x 的取值范围是41<≤x . 2．在C BE '∆和FC B '∆中，⎪⎩⎪⎨⎧︒='∠='∠'=''∠=∠,90,,CF B E C B C B C B B B ∴ C BE '∆≌FC B '∆.,90,//.︒='∠'='∴C FC FC C E FC C E∴ 四边形CF C E '为矩形. 当EF 与⊙O 相切时，C C C E '='21. ).4(2143,43,43tan x x x C E BC AC C B C E B -=∴='∴==''=解之得.58=x典型例题六例已知如图，在ABC ∆中，AC AB =，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作⊙O 的切线交AC 于E ，求证：AC DE ⊥.分析：因为DE 是⊙O 的切线，D 是切点，所以连OD ，得DE OD ⊥，因此本题的关键在于证明OD AC //. 证明连结AD 、ODAB 为⊙O 的直径，AC AB =，BC AD ⊥∴.D 是BC 中点，O 是AB 的中点，OD ∴为BAC ∆的中位线，AC OD //∴DE 是切线，D 为切点，OD 是⊙O 的半径DE OD ⊥∴AC DE ⊥∴ 说明：连结OD 构成了“切线的性质定理”的基本图形，连结AD 构成了圆周角推论的基本图形.典型例题七例如图，已知⊙O 中，AB 为直径，过B 点作⊙O 的切线，连线CO ，若OC AD //交⊙O 于D .求证：CD 是⊙O 的切线.分析：要证AD 是⊙O 的切线，只须证AD 垂直于过切点D 的半径，由此应想到连结OD .证明连结OD OC AD // ，A COB ∠=∠∴及ODA COD ∠=∠ OD OA = ，OAD ODA ∠=∠∴ COD COB ∠=∠∴CO 为公共边，OB OD =COB ∆∴≌COD ∆.即ODC B ∠=∠ BC 是切线，AB 是直径， ︒=∠∴90B ，︒=∠90ODC ， CD ∴是⊙C 的切线.说明：辅助线OD 构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理.典型例题八例如图，以ABC ∆Rt 的一条直角边AB 为直径作圆斜边BC 于E ，F 是AC 的中点，求证：EF 是圆的切线.分析：连OE ，因为EF 过半径OE 的外端，要证EF 是切线，只需证︒=∠90OEF . 思路1 连OF ，证OAF ∆≌OEF ∆，则有︒=∠=∠90OAF OEF思路2 连AE ，则︒=∠90AEC ，证︒=∠+∠=∠+∠90OAE FAE OEA FEA 证明1 如图，连OF 、OE ，的中位线是中点为中点为ABC OF AB O AC F ∆⇒⎭⎬⎫B BC OF ∠=∠⇒⇒1//，32∠=∠ 又B OE OB ∠=∠⇒=3，即21∠=∠，OE OA =，OF OF = 所以OAF ∆≌OEF ∆有︒=∠=∠90OAF OEF 即EF OE ⊥， EF 过半径OE 的外端，所以EF 是⊙O 的切线.证明2 如图，连结AE 、OE AB 是⊙O 直径︒=∠⇒90AEBFA FE AC F AEC =⇒⎭⎬⎫︒=∠⇒中点为9042314321∠+∠=∠+∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒=∠=∠⇒OE OAEF OE ⊥⇒︒⇒90 FE 过半径OE 的外端所以EF 是⊙O 的切线说明：这里的辅助线OE ，仍然想着构造“切线判定定理”的基本图形的作用.典型例题九例如图，已知弦AB 等于半径，连结OB 并延长使.（1）求证AC 是⊙O 的切线；（2）请你在⊙O 上选取一点D ，使得（自己完成作图，并给出证明过程）证明：（1）即是⊙O 的切线.（2）①作BO 延长线交⊙O 于D ，连接AD ，，所以D 点为所求. ②如图，在圆上取一点使得，连结，所以点也为所求.说明：证明一条直线是圆的切线，通常选择：（1）到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；（2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.而涉及切线问题时，应灵活运用切线的性质，通常连结切点和圆心.题目的第（2）问是分类讨论问题，当题目中的图形未给定时，作图时，应将所有符合条件的图形作出，再分别解答.典型例题十例已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且CB CA OB OA ==,.求证：直线AB 是⊙O 的切线.证明连结OC .∵CB CA OB OA ==,，∴OC 是等腰三角形OAB 底边AB 上的中线. ∴.OC AB ⊥∴AB 是⊙O 的切线.说明：本题考查切线的判定，解题关键是作出辅助线，易错点是把求证的结论“AB 是⊙O 的切线”.作为条件使用，造成推理过程中的逻辑混乱.典型例题十一例如图，AB 是⊙O 直径，弦AB CD //，连AD ，并延长交⊙O 过点B 的切线于E ，作AC EG ⊥于G .求证：.CG AC =证明连结BC 交AE 于F 点...21,32.31,//BF AF CD AB =∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴BE 为⊙O 切线，...54,21.9051,9042.EF AF EF BF BE AB =∴=∴∠=∠∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠∴⊥∴AB 为直径，∴.AC BC ⊥..//,CG AC BC EG AC EG =∴∴⊥说明：本题主要考查切线的性质，解题关键是作辅助线.典型例题十二例如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD 交⊙O 于点E ，AC AB AD ,5,4==平分BDA ∠.（1）求证：CD AD ⊥.（2）求AC .证明（1）连OC .CD 切⊙O 于C ，∴.CD OC ⊥..//.32,21.31,CD AD AD OC OC OA ⊥∴∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴=解（2）连BC .AB 是⊙O 的直径，∴︒=∠90ACB .ABC ADC ∆∴∠=∠︒=∠,21,90 ∽.ACD ∆∴.AD AC AC AB =即.52.45=∴=AC ACAC 说明：在题目条件中若有切线，常常要作出过切点的半径.利用三角形相似的知识求出线段的长.典型例题十三例（北京朝阳区试题，2002）已知：在内角不确定的ABC ∆中，AC AB =，点E 、F 分别在AB 、AC 上，BC EF //，平行移动EF ，如果梯形EBCF 有内切圆，当21=AB AE 时，322sin =B ；当31=AB AE 时，23sin =B （提示：43223=）；当41=AB AE ，54sin =B . （1）请你根据以上所反映的规律，填空：当51=AB AE 时，B sin 的值等于_________；（2）当nAB AE 1=时（n 是大于1的自然数），请用含n 的代数式表示=B sin ___________，并画出图形、写出已知、求证和证明过程。

切线的判定和性质

切线的判定和性质在我们学习数学的旅程中，圆是一个重要且有趣的几何图形。

而与圆密切相关的一个概念——切线，更是有着独特的魅力和重要的应用。

今天，咱们就来好好聊聊切线的判定和性质。

先来说说切线的定义。

简单来讲，切线就是与圆只有一个公共点的直线。

可别小看这简单的定义，它可是后续我们理解和运用切线相关知识的基础。

那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？这就有几种常见的方法了。

第一种，如果直线与圆有唯一的公共点，那这条直线就是圆的切线。

这是从定义直接得出的判定方法，比较直观。

第二种，如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线就是圆的切线。

咱们来想象一下，圆的半径就像是从圆心到圆周的固定长度，如果一条直线到圆心的距离刚好等于这个半径，那不就意味着这条直线刚好与圆相切嘛。

第三种，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这个方法理解起来稍微有点难度，咱们可以这样想：半径是圆的一部分，而如果一条直线既经过半径的外端，又与这条半径垂直，那它就像是一把锋利的刀，刚好切在圆上，所以它就是切线。

接下来，咱们再深入探讨一下切线的性质。

切线的性质可是非常重要和有用的。

首先，切线与圆只有一个公共点，这是切线的基本特点。

其次，切线垂直于经过切点的半径。

这一点很好理解，因为切线与圆的接触就那么一个点，而在这个点上，切线必须与半径垂直，才能保证它与圆相切。

还有一个很关键的性质，圆的切线垂直于经过切点的弦，并且平分弦所对的两条弧。

想象一下，切线就像是一把精准的剪刀，刚好把经过切点的弦剪成两半，而且还把弦所对应的弧也平分了。

切线的判定和性质在解决实际问题中有着广泛的应用。

比如说在几何证明题中，当我们需要证明某条直线是圆的切线时，就可以根据上面提到的判定方法来进行推理。

而在计算与圆相关的长度、角度等问题时，切线的性质又能为我们提供重要的思路和依据。

再举个例子，在实际生活中，工人师傅在制作圆形零件时，就需要知道切线的知识来确保零件的精度和质量。

24.2.2圆的切线长定理(4) 王聪1 - 副本

∴ PA=PB
E Q P
A O B F
同理,可得EQ=EA,FQ=FB ∴ PE+EQ=PA=12cm PF+FQ=PB=12cm ∴ △PEF的周长为24cm
例2.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，PA=7cm. (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数.
A
D C
O B
P E
∵ DA、DC是⊙O 的切线 ∴ ∠ADO=∠CDO， ∴ ∠AOD=∠COD 同理， ∠EOC=∠EOB 1 ∴ ∠DOE= ∠AOB=700
2
如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC与点D。求证：DE∥OC
C
2、在圆中，由半径和弦组成的△是等腰三角形。
方法：1、在直角三角形中，60°角所对的直角边=30°角所对直角边的√3倍
切线长定理的基本图形的研究讨论归纳：反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。（1）分别连结圆心与切点。
A
。
O
P B
（2）连结两切点。
（3）连结圆心和圆外一点。
得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB
·
B
C
D
p
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
⌒ ⌒ AD与BD 相等吗？
∴△PAB是等腰三角形，PC为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
(三线合一）
从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分两切点所成的弦；平分两切点所成的弧。
F
2

直线与圆的切线与切点知识点总结

直线与圆的切线与切点知识点总结直线与圆的切线与切点是几何学中重要的概念和知识点。

在本文中，我们将对直线与圆的切线、切点进行总结和归纳，以加深对这一概念的理解。

没有“小节一”、“小标题”之类的词语，但会分段和编号，以方便阅读。

1. 直线与圆的关系在几何学中，直线和圆是两个基本的图形元素。

直线是没有弧度的，而圆形则是一个完美的闭合曲线。

直线与圆之间的关系主要有以下三种情况：1.1 直线在圆的内部当直线与圆相交，并且直线的两个交点都在圆的内部时，直线与圆有两个交点。

此时，直线不是切线。

1.2 直线经过圆当直线与圆相交，并且直线穿过圆，即直线与圆有两个交点，但这两个交点中至少有一个在圆外时，这条直线称为圆的弦。

1.3 直线与圆相切当直线与圆相切时，即直线与圆只有一个交点，此时的交点称为切点，而直线称为切线。

2. 直线与圆的切线性质直线与圆的切线有一些重要的性质需要了解。

2.1 切线垂直于半径切线与圆的半径垂直。

这是因为在切点处，切线只与圆相切，不与圆内其他点相交。

而在任何一个点上，切线与圆的半径构成的角度均为90°，即切线与圆的半径垂直。

2.2 切点与半径的关系切点是切线与圆相切时的交点。

切点与圆心及切线的切点构成的线段构成一个直角三角形，其中切线就是直角边，半径就是斜边。

根据勾股定理可知，直角边的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方。

所以，切点与圆心及切线切点构成的线段两段长度之积等于直径平方：|PC| × |PA| = |PB|²。

3. 直线与圆的切线构造方法在几何学中，有两种方法来构造直线与圆的切线。

3.1 以切点作圆心画切线这种方法是以切点为圆心，切点到圆的半径为半径，画一个圆。

然后，以圆心为点，切点到圆心的距离为半径，画一个圆弧与原圆相交于两个点。

连接这两个点与切点，即可得到切线。

3.2 以直线与圆心的交点画切线这种方法是以直线与圆心的交点为圆心，交点到圆心的距离为半径，画一个圆。

两圆的公切线(3)

8．如图(3)，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，⊙O1是 △ABC的内切圆，⊙O1与⊙O2相外切，且与边AB、AC相切，则⊙O2的半径长为：
B
O2 O1 A
(3)
C
9．如图(4)，⊙O1与⊙O2外切于E点，AF是外公切线，直线 AB、CD过点E，分别与⊙O1、⊙O2交于点A、C、B、D，若AF＝2AE，3AE＝2CE，AE＝4，求DE的长。
4．下列说法错误的是( ) A．相切两圆的连心线必过切点 B．若两圆没有公共点，则两圆相外离 C．相交两圆的连心线垂直平分公共弦 D．外切两圆的内公切线平分外公切线 5．两圆半径分别是12和4，外公切线长是15，则两圆位置关系是( ) A．相离 B．外切 C．相交 D．不能确定 6．如果两圆共有四条公切线，那么这两圆的位置关系为： A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 7．已知两圆的半径分别为4和3，这两个圆的圆心距的长是方程x2－8x－20＝0的一个根，则这两个圆的公切线条数是。
B
O1 A
分析
O
C O2
例2 如图，⊙O1与⊙O2外切于A，BC切⊙O1于B，切⊙O2 于C，O1O2的延长线交BC的延长线于P。
求证：(1)PA2＝PC· PB
(2)若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2－4x＋3＝0的两根，求△ABC的周长。 B M
分析
C
O1
A
O2 D
P
分析： (1)要证PA2＝PC· PB，只要证 PB ＝ PA ，
8．已知：如图(7)，⊙O和⊙O′外切于P点，⊙O的弦AB 的延长线切⊙O′于C点，AP的延长线交⊙O′于D点，BD交 PC于E点。求证：PB:PD＝BE:ED。
9．已知：如图(8)，⊙O2的圆心在⊙O1上，P在O1O2的延长线上，PAB、 PCD是两圆的公切线，A、B、C、D是切点，PO1与BD交于M。求证：BD是⊙O2的切线。

04.1 圆的切线与切线长习题与答案

圆的切线1 一、切线切线长定理中的基本图形：如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，则有：(1)两个等腰三角形(,)；(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB 和∠AOB)；(3)三个垂直关系(OA PA, OB , OP AB)。

1．遇到有切线时常添加过切点的半径（连结圆心和切点）。

(图1)图1 图2 图32．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

(图2) （2）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

(图3)图4 图53.弦切角是与圆有关的其中的一种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对的圆周角得两角相等。

(图1)4．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

(图4)遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点。

(图5)一、圆中有切线，常作过切点的半径（有点，过圆心作切线的垂线）例1.如图，已知MN为⊙O的直径，AP是⊙O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若 PA=PM，求∠A的度数。

解：连结OP，设∠A的度数为x。

∵PA=PM，∴∠M=∠A，同理可得∠OPM=∠M，∴∠POA=∠OPM+∠M=2∠M=2∠A=2x。

又∵AP切⊙O于点P，∴AP⊥OP，∴∠A+∠POA=90°，即x+2x=90°，解之得x=30°，∴∠A=30°。

例2：如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B.求证：PB是⊙O的切线.证明：连接OA、OB.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.∵OA=OB，AB⊥OP，∴∠AOP=∠BOP.又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP.∴∠OPB=∠OAP=90°.∴PB是⊙O的切线.ABCDEPO例3.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AD 和过C 点的切线垂直,垂足为D ，求证∠1=∠2。

过圆外一点求圆的切线方程公式

过圆外一点求圆的切线方程公式切线方程是解析几何中的重要内容，它描述了一个圆外一点到圆的切线的位置关系。

在学习切线方程的过程中，我们需要了解圆的基本性质，学习如何求解圆的切线方程，以及掌握应用切线方程的能力。

本文将从这三个方面展开，详细介绍圆的切线方程相关知识。

一、圆的基本性质圆是平面上到一个定点距离恒定的点的轨迹。

圆的基本性质包括圆的半径、直径、圆心、弧长、扇形面积等，这些性质都对于计算切线方程很重要。

1.圆的半径和直径：圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。

圆的直径是穿过圆心并且两端点都在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，即直径d=2r。

2.圆的圆心：圆的圆心是到圆上任意一点的距离恒定的点，用O表示。

3.圆的弧长和扇形面积：圆的弧长是圆心周围一部分圆的长度，用l表示。

圆的扇形面积是由两条半径和围成弧的线段所围成的部分，扇形面积S = (1/2)rl。

以上是圆的一些基本性质，后面的内容将涉及到这些性质的运用。

二、求解圆的切线方程在解决圆的切线方程时，首先需要确定给定点到圆的位置关系，然后使用几何和代数的方法进行求解。

1.给定圆和外点的位置关系：首先，给定一个圆和一点P，我们需要判断这个点与圆的位置关系。

如果点P到圆的圆心的距离等于圆的半径，即OP = r，那么点P在圆上；如果OP < r，点P在圆内；如果OP > r，点P在圆外。

2.求解切线方程的一般步骤：（1）确定圆心O、圆的半径r和外点P的坐标；（2）计算圆心O到外点P的距离OP；（3）根据距离OP与半径r的关系，判断P与圆的位置关系；（4）分析切线的几何性质，求解切线斜率和切点；（5）写出切线方程的一般形式。

3.以圆心为原点的情况：当圆的圆心O为原点时，圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。

假设给定外点P的坐标为(x1, y1)，根据距离公式，点到圆心的距离为OP = sqrt(x1^2 + y1^2)，然后根据P与圆的位置关系进行求解。

圆的知识点——图形解析

圆1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例： ∵ CD 过圆心 ∵CD ⊥AB 2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例： 3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：（1） ∵∠ACB=21∠AOB ∴ …………… （2） ∵ AB 是直径∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90°∴ AB 是直径（4） ∵ CD=AD=BD∴ ΔABC 是Rt Δ5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 几何表达式举例：∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；几何表达式举例：（1） ∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线（2） ∵OC 是半径ABCDOA B CDE O 平分优弧过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧∴ AC BC AD BD ==AE=BE AB CDEFO A B COA B CD EABC OA B CD ∵ ∴ ∥=AB CD ACBDABCO是半径垂直是切线ABO（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.∵AB 是切线 ∴OC ⊥AB （3） ……………7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵ PA 、PB 是切线 ∴ PA=PB ∵PO 过圆心 ∴∠APO =∠BPO 8．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1）（2）几何表达式举例：（1） ∵O 1，O 2是圆心∴O 1O 2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切∴O 1 、A 、O 2三点一线 9．正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角βn ，边数n ；（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行.公式举例：(1) αn =n 360︒； (2) n1802n ︒=α一、基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二、定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形.三、公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四、常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.PABOAB O1O2AO1O2αnβnABCDEOa r n nnR2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心. 4．直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ；直线与圆相切 ⇔ d=r ；直线与圆相离 ⇔ d ＞r. 5．圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ；两圆外切 ⇔ d=R+r ；两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ；两圆内切 ⇔ d=R-r ；两圆内含 ⇔ d ＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 7．关于圆的常见辅助线：O CAB已知弦构造弦心距.OA BC已知弦构造Rt Δ.OABC已知直径构造直角.OAB已知切线连半径，出垂直.O BC AD P圆外角转化为圆周角.OACD BP圆内角转化为圆周角.ODC PAB构造垂径定理.OACDPB构造相似形.M01ANO2两圆内切，构造外公切线与垂直.01CNO2DEABM两圆内切，构造外公切线与平行. NAM02O1两圆外切，构造内公切线与垂直.CBMNADEO 102两圆外切，构造内公切线与平行.CE A DB O两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.A CBO102两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. BAC OPPA 、PB 是切线，构造双垂图形和全等.OABCDE相交弦出相似.OP ABC一切一割出相似, 并且构造弦切角.OBCEADP两割出相似,并且构造圆周角. OABCP双垂出相似,并且构造直角.BACD EF规则图形折叠出一对全等，一对相似.FEDBAC OGH圆的外切四边形对边和相等.ABOCD若AD ∥BC 都是切线，连结OA 、OB 可证∠AOB=180°，即A 、O 、B 三点一线.EACBOD等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.EFCDBAORt ΔABC 的内切圆半径：r=2cb a -+. O补全半圆.ABCo1o2AB=2221)r R (O O --.CABo1o2AB=2221)r R ( O O +-.AC D PO BPC 过圆心，PA 是切线，构造双垂、Rt Δ.BCD OAPO 是圆心，等弧出平行和相似.D E MAB CFN G作AN ⊥BC ，可证出:ANAMBC GF =.。

圆的切线与切点的关系

明。
切线长定理的应用：在几何、代数等领域有广泛的应用，如求圆的弦长、证明一些几何定理等。
切线长定理的意义：是几何学中的基本定理之一，对于研究圆的性质和相关几何问题具有重要意义。
切线长定理的应用举例
证明三角形等腰：利用切线长定理证明三角形等腰，只需证明三角形两边上的切线长相等即可。
切线在机械工程中的应用
切线在机械工程中常用于确定旋转体的平衡位置，以减少振动和磨损。
在制造过程中，切线可用于确定刀具的切削角度，以提高加工效率和零件质量。
在设计机械零件时，切线可用于确定接触表面的摩擦力和磨损情况，以提高机械的可靠性和寿命。
在机械传动中，切线可用于分析齿轮的啮合和摩擦，以优化传动效率和减小噪音。
切线与切点的性质：切线垂直于过切点的半径，即切线与半径在切点处相交，且交角为90度。切线与切点的判定：在圆上任取一点，作过该点的半径，再作过该点的圆的切线，则切线与半径垂直。切线与切点的应用：在几何学、解析几何、微积分等领域中，切线与切点关系的应用十分广泛。
切线与切点在几何图形中的应用
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切线与切点在几何作图中的应用：利用切线与切点的性质，可以作出一些复杂的几何图形，例如利用切线作圆的外切多边形和内切多边形。
切线的判定定理
切线的定义：与圆只有一个交点的直线
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
切线的判定方法：利用切线与半径垂直的性质，通过观察直线与半径的夹角是否等于90度来判断直线是否为圆的切线
切线判定定理的应用：在几何问题中，利用切线判定定理可以确定一条直线是否为圆的切线，进而解决相关问题

圆的切线的判定(教案)

圆的切线的判定(教案)第一章：圆的切线定义与性质1.1 圆的切线定义引入圆的切线的概念，给出圆的切线的定义。

通过图形和实例解释圆的切线的性质和特点。

1.2 圆的切线性质探讨圆的切线的性质，如切线与半径垂直、切线与圆只有一个交点等。

通过几何证明和实例来加深对圆的切线性质的理解。

第二章：圆的切线判定定理2.1 切线判定定理的引入引入圆的切线判定定理，并解释其意义和作用。

通过图形和实例来展示切线判定定理的应用。

2.2 切线判定定理的证明几何证明切线判定定理，解释定理的证明过程和逻辑推理。

通过证明过程来加深对切线判定定理的理解和应用。

第三章：圆的切线方程3.1 切线方程的引入引入圆的切线方程，并解释其意义和作用。

通过图形和实例来展示切线方程的应用。

3.2 切线方程的求解学习如何求解圆的切线方程，包括斜率存在和不存在的情况。

通过例题和练习来掌握切线方程的求解方法。

第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 切线与圆相切探讨切线与圆相切的情况，包括切线与圆的切点和切线与圆的切线。

通过图形和实例来展示切线与圆相切的特点和性质。

4.2 切线与圆相离和相交探讨切线与圆相离和相交的情况，包括切线与圆的交点和切线与圆的内切。

通过图形和实例来展示切线与圆相离和相交的特点和性质。

第五章：圆的切线在实际问题中的应用5.1 切线在几何问题中的应用探讨圆的切线在几何问题中的应用，如求解角度、距离等问题。

通过例题和练习来展示切线在几何问题中的应用方法。

5.2 切线在实际生活中的应用探讨圆的切线在实际生活中的应用，如自行车轮子、圆形操场等。

通过实例来展示切线在日常生活中的重要性和作用。

第六章：圆的切线判定定理的拓展6.1 切线判定定理的推广探讨将切线判定定理应用到更一般的情况下，如非圆形的曲线。

通过图形和实例来展示切线判定定理的推广应用。

6.2 切线判定定理与其他数学概念的联系探讨切线判定定理与其他数学概念的联系，如代数、几何等。

通过例题和练习来展示切线判定定理与其他数学概念的结合应用。

圆的基本图形研究—双切图2020.3.30

圆的基本图形研究——双切图基本模型（课本P101—6）【例1】（2018年武汉中考题）如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB 、PC ，PC 交AB 于点E ，且PA ＝PB .（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）若∠APC ＝3∠BPC ，求CEPE 的值.【例2】（课本P101—6改）如图，AB 是⊙O 的直径，PB 、PC 是⊙O 的切线，切点分别为B 、C ，PA 交⊙O 于点D ，连接CD ，∠BPC=2∠A .（1）求证：CD ∥AB ；（2）求tan ∠A 的值；（3）求tan ∠PCD 的值.典题精练：1、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，PO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC 、OA .（1）求证：∠POA=2∠PCB ；（2）若OA=3，PA=4，求tan ∠PCB 的值.2、如图，AB 、AD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，DE 是⊙O 的直径，连接BE 、OA .（1）求证：BE ∥OA ；（2）若AD=DE ，求sin ∠DAB 的值.3、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连接BC .（1）求证：；APB ACB ∠-︒=∠2190（2）连接PC ，若PB=6，PC=10，求sin ∠PCB 的值.4、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，AC 是⊙O 的直径.（1）如图1，连接OP 、AB ，求证：OP ⊥AB ；（2）如图2，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，连接PE ，若AP=AC ，求tan ∠PEB 的值.5、如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上的一点.（1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ；（2）如图2，若sin ∠P=1312，求tan ∠C 的值.。

圆上任意一点与弦组成的三角形

圆上任意一点与弦组成的三角形全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆是几何学中重要的几何图形之一，其性质十分丰富多彩，在数学教学中也占有非常重要的地位。

在圆的基本性质中，圆上任意一点与弦组成的三角形也是一个重要的概念，它不仅有助于我们深入理解圆的性质，还可以帮助我们解决一些几何问题。

下面就让我们来深入探讨一下关于圆上任意一点与弦组成的三角形的相关知识吧。

让我们来了解一下什么是圆上任意一点与弦组成的三角形。

在圆的内部、外部或边界上任取一点，然后通过这个点和圆的两个交点，就可以构成一个与这段弦有关的三角形。

这个三角形的性质将会受到这个点的位置与这段弦的长短的影响。

如果这个点在圆的边界上，那么构成的三角形就是一个等腰三角形；如果这个点在圆的外部，那么构成的三角形则是一个锐角三角形或钝角三角形。

让我们来探讨一下圆上任意一点与弦组成的三角形的性质。

首先是等腰三角形的性质。

对于圆的边界上的点A与弦BC构成的三角形ABC来说，如果直径与弦垂直相交于点O，则三角形ABC为等腰三角形，即AB=AC。

这是由于直径是圆的最长弦，连接了圆的两个交点，并且垂直于弦，因此点A到直径的距离等于弦的中点到直径的距离，也就是说AB=AC。

接着是锐角三角形的性质。

对于圆的外部的点A与弦BC构成的三角形ABC来说，如果角BAC是个锐角，我们可以证明这个三角形是一个锐角三角形。

角BAC是点A到弦BC的夹角，如果这个夹角小于半径与弦的夹角，则构成的三角形就是一个锐角三角形。

除了上述性质外，圆上任意一点与弦组成的三角形还有一些其他有趣的性质。

对于任意一点P到圆的两个交点A、B的连线，如果P到AB的垂线交AB于点M，那么PM就是半径的长度。

这是因为当点P 到圆心的连线与点A、B的连线重合时，PM的长度即为半径的长度。

而当点P在圆的边界上时，PM的长度等于半径的长度与弦的中点到AB的距离之差。

圆上任意一点与弦组成的三角形是一个非常有趣且充满挑战性的几何问题。

教材回归(三)有关切线的辅助线作法课件

切线在物理现象中的应用
切线在力学中的应用
01
在物体运动和力的分析中，切线用于描述速度和加速度的方向
变化，以及力的作用点。
切线在光学中的应用
02
在光学仪器和成像系统中，切线用于确定光线的传播方向和折
射角度，以提高成像质量。
切线在电磁学中的应用
03
在电磁波的传播和散射分析中，切线用于描述波的传播方向和
利用切线的判定定理，通过构造与半径垂直的直线来解决问题。
02 03
详细描述
在题目中，根据切线的判定定理，如果一条直线与圆心到该直线的垂线段相等，则该直线为圆的切线。因此，可以作出一条与半径垂直的直线，从而证明该直线为切线。
示例
在平面几何中，设圆心为$O(0,0)$，直线方程为$y=kx+b$，则可以通过构造一条与半径垂直的直线$y=-kx$，证明该直线为切线。利用切线的判定定理，可以证明直线$y=kx+b$与圆相切。
示例
在直角坐标系中，设圆心为$O(0,0)$，切点为$P(x_0,y_0)$，则可以作出一条与切线垂直的半径$OP$，构造出一个直角三角形$triangle OPA$，其中$A(x_0,y_0)$为切点。利用勾股定理或三角函数等知识，可以求解出切线的斜率或长度。
利用切线判定定理作辅助线
01
总结词
切线的性质
切线与半径垂直
切线与半径的长度相等
切线在切点处与半径垂直，这是切线的基本性质。
切线的长度等于半径的长度，这是切线的一个重要性质。
切线与半径相交于一点
切线与半径在切点处相交，这一点是切点和圆心的中点。
切线的判定
01
02
03
判定一

证明圆的切线方法

证明圆的切线方法圆是一个平面图形，由一组固定点与它们到另一个点（圆心）的距离相等所形成的一条曲线。

在几何学中，圆的切线是与圆上某一点相切的直线。

证明圆的切线在我们日常生活和技术应用中经常用于解决问题，比如在机械工程、物理学、数学等领域。

圆的切线是与圆上某一点相切的直线。

为了证明圆的切线，我们需要了解以下一些基本概念：切点：切线与圆相切的点称为切点。

半径：从圆心到圆上任意一点的线段称为半径。

切线定理：如果一直线与圆相交，那么它的切点处的切线垂直于该直线。

下面我们来证明圆的切线定理。

设圆的圆心为O，切点为P，切线与圆相交于点Q，连接PO、QO两线段，如图所示：在三角形OPQ中，OP为半径，所以∠OQP=90°。

同时，因为OPP'Q是菱形，所以∠PP'Q=∠P'OQ。

又因为切线与半径垂直，所以∠P'OQ=90°，因此∠PP'Q=90°。

因此，P'Q与切线相垂直，即切线在切点处垂直于半径。

下面我们来证明切线只有一个。

为了证明，我们需要使用反证法，假设切线有两个，分别为l1和l2。

由于l1和l2均与圆上的同一点P相切，因此l1和l2一定共线。

因此，从圆心O到切点P的半径垂直于l1和l2，且这两个半径共线，这是不可能的，因此假设不成立，切线只有一个。

在证明过程中，我们需要使用一些基础的几何工具，比如直线垂直、菱形特性等，同时需要根据形状和条件进行适当的化简和简化，这也有助于我们更好地理解和掌握证明过程。

除了圆的切线定理，我们还可以使用其他方法来证明圆的性质，比如介弧定理、切线角定理等，这些方法可以帮助我们深入理解圆的性质，并在问题解决中灵活应用。

两圆的公切线(1)

A O1
B
P
C O2
证明：
连结O1A、O2B，作O1C⊥O2B于C
∵AB切两圆于点A、B ∴O1A⊥AB，O2B⊥AB ∴ABCO1为矩形 ∴BC＝AO1，AB＝O1C ∴O2C＝r2－r1 又∵ ⊙O1与⊙O2外切于点P ∴O1O2＝r1＋r2 在Rt△O1O2C中 O1C2＝O1O22－O2C2＝(r1＋r2)2－(r2－r1)2＝4r1r2 ∴AB2＝4r1r2
B O1
C
A
O2
A．点在圆内 C．点在圆外
B．点在圆上 D．关系不确定
9．若两圆外切于P点，AB、CD是两圆的外公切线，A、B、C、 D是切点，过P点的公切线分别交AB、CD于E、F点，则可能是： ①AB＝CD ②CD＝EF )： B．只有②和③ D．①、②和③ ③AD与BC相交于P点。以上结论正确的是( A．只有①和② C．只有①和③
M
M O2
O1
P N
O1 O2
P N
7(1)
7(2)
(2)两圆如果有两条外公切线或两条内公切线时，则： ①由圆的对称性易知：两条外公切线的长相等；两条内公切线的长相等。 ②两条外(内)公切线如果相交，那么由轴对称的性质易知，交点一定在连心线上，并且进一步可以由切线定理推知，两圆连心线平分两条外(内)公切线的夹角，如图8(1)中，∠APO1＝ ∠CPO1，如图8(2)中，∠FQO2＝∠HQO2。
3．如图(12)，⊙O1与⊙O2内切于P点，⊙O2的弦AB切 ⊙O1于点C，连结PA、 PB，PC的延长线交⊙O2于点D。求证：(1)∠APC＝∠BPC，(2)PC2＋AC· BC＝PA· PB。
4．如图(13)，已知⊙O与⊙O′外切于A点，BC为外公切线，B、 C为切点，BC与OO′的延长线交于D，DE⊥BD交BA延长线于E点。