高三数学指数式与对数式2
人教高中数学必修二B版《指数与指数函数》指数函数、对数函数与幂函数说课复习(实数指数幂及其运算)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练 1 化简与计算下列各式:
(1) 2
(2) 2
3 0
5
1
+2-2× 2
7 0.5
9
1 -2
4
-(0.01)0.5;
2
+(0.1)-2+ 2
10 -3
27
37
48
-3π0+ ;
1
-1
+1
-3
(2) (-6)2 =|-6|=6.
4
(3) (-8)4 =|-8|=8.
(4) (-)2 =|x-y|=
3
(5) (3-π)3 =3-π.
-, ≥ ,
-, < .
课前篇自主预习
一
二
三
三、指数幂的运算法则
m-n
1.如何推导 =a (m>n,a≠0)?
m 1
提示: =a ·=am·a-n=am-n.
3 -1
=
1
2
3 -1+ 3
−
1
2
3 +1- 3
−
1
1
3 =- 3 .
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当堂检测
利用根式的性质化简或求值
例2 (1)计算下列各式:
①(
5)2;
4
③ (-2)4 ;
3
② (-2)3 ;
④ (-)2 (a>b).
(2)化简下列各式:
6
2
人教高中数学必修二B版《指数与指数函数》指数函数、对数函数与幂函数说课复习(指数函数的性质与图像)
5 -3
8
与 1;
.
分析:若两个数是同底指数幂,则直接利用指数函数的单调性比
较大小;若不同底,一般用中间值法.
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规范解答
3
4
解:(1)∵0< <1,
3
∴y= 4 在定义域 R 内是减函数.
3 -1.8
3 -2.6
又∵-1.8>-2.6,∴
<
.
4
4
5
(2)∵0< <1,
1
(a>0,且
a≠1)的图像关于 y 轴对
称,分析指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像时,需找三个关键
点:(1,a),(0,1),
1
-1,
.
③指数函数的图像永远在 x 轴的上方.当 a>1 时,图像越接近于
y 轴,底数 a 越大;当 0<a<1 时,图像越接近于 y 轴,底数 a 越小.
解:因为y=(a2-3a+3)ax是指数函数,
所以
2 -3 + 3 = 1,
> 0,且 ≠ 1,
所以 a=2.
解得
= 1 或 = 2,
> 0,且 ≠ 1,
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反思感悟1.判断一个函数是指数函数的方法:
(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,a≠1,x∈R)这一结构形式.
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高中数学 第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 对数函数的图象和性质 第1课时 反函数及对
2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的图象和性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．[知识]1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象与性质.a＞10＜a＜1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 单调性是R上的增函数是R上的减函数[预习导引]1．对数函数的概念把函数y＝log a x(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质定义域(0，＋∞)值域R过点过点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数3.反函数(1)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).要点一对数函数的概念例1 指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定答案 A解析设对数函数的解析式为y＝log a x(a＞0且a≠1)，由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a ＝2，∴该对数函数的解析式为y＝log2x.要点二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35、110，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( )A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35 答案 A解析 方法一 先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图低的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时底大的图高，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.方法二 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.规律方法 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 跟踪演练2 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1) D ．(－1,1)(2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1 答案 (1)D (2)B解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1， 得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．(2)作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1. 要点三 对数函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)若f (x )＝121log (21)x +，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0，解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式． 跟踪演练3 (1)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] (2)函数y ＝lgx ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C. 要点四 反函数例4 求下列函数的反函数：(1)y ＝2x －5；(2)y ＝x1－x ；(3)y ＝1＋e 2x . 解 (1)从x ＝2y －5中解得y ＝x ＋52，即为所求；(2)从x ＝y 1－y 中解得y ＝xx ＋1，即为所求；(3)从x ＝1＋e 2y 移项得x －1＝e 2y .两端取自然对数得到ln(x －1)＝y2，解得y ＝2ln(x －1)，即为所求．规律方法 要找寻函数y ＝f (x )的反函数，可以先把x 和y 换位，写成x ＝f (y )，再把y 解出来，表示成y ＝g (x )的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f (x )的反函数g (x )．既然y ＝g (x )是从x ＝f (y )解出来的，必有f (g (x ))＝x ，这个等式也可以作为反函数的定义． 跟踪演练4 y ＝ln x 的反函数是________． 答案 y ＝e x解析 由y ＝ln x ，得x ＝e y ，所以反函数为y ＝e x.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x 答案 D解析 选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合． 2．函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞) B．(－∞，－13)C ．(－13，13)D ．(－13，1)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1,0)，排除B 项； 当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除D 项，A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________． 答案 (2,1)解析 函数图象过定点，则与a 无关， 故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1， 所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1)． 5．函数y ＝lg x 的反函数是________． 答案 y ＝10x解析 由反函数的定义知x ＝10y，故反函数为y ＝10x.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、基础达标1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则a 的值可以是( )A ．0.5B ．2C ．eD ．π 答案 A解析 ∵函数y ＝log a x 的图象单调递减，∴0＜a ＜1，只有选项A 符合题意． 2．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.3．在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称 答案 B解析 ∵y ＝13log x ＝－log 3x ，∴函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象关于x 轴对称．4．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x， x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f (f (18))的值为( )A ．27 B.127C ．－27 D ．－127答案 B解析 f (18)＝log 218＝log 22－3＝－3，f (f (18))＝f (－3)＝3－3＝127.6．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 答案 －32解析 设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， 则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.7．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解之得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解之得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4)． 二、能力提升8．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x，即g (x )＝2x. 又∵g (a )＝14，∴2a＝14，∴a ＝－2.9．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )答案 D解析 由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数．所以0＜a ＜1且0＜b ＜1.所以g (x )＝a x＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B.由g (x )的值域为(b ，＋∞)．所以g (x )＝a x＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C. 10．若log 2a 1＋a21＋a<0，则a 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 11．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值X 围． 解 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：函数f (x )为单调增函数，当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值X 围为(0,2)． 三、探究与创新12．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解 因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.13．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的word 11 / 11 表达式，并画出大致图象．解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，－lg 1－x ，x ＜0，∴f (x )的大致图象如图所示：。
指数函数和对数函数ppt课件
解法 2：a－b＝ln22－ln33＝3ln2－6 2ln3 ＝16(ln8－ln9)<0. ∴a<b.同理可得 c<a，∴c<a<b.故选 C.
[答案]C
4．考查函数的定义域 函数的定义域是历年高考中均考查的知识点，其难度 不大，属中低档题，但在求解时易漏掉部分约束条件造成错 解，因而也是易错题． [例 4] 函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域是
[例 1] (1)化简
3 ÷(1－2
ba)×3 ab；
(2)求值：12lg3429－43lg 8＋lg 245.
(2)解法一 12lg3429－43lg 8＋lg 245 ＝lg472－lg4＋lg7 5 ＝lg(472×14×7 5) ＝lg 10＝12lg10＝12.
解法二 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12.
[例7]求不等式x－1<log6(x＋3)的所有整数解． [解析]设y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作
出它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标
显然在－3和－2之间，另一个交点设为P.
因为x＝1时，log6(1＋3)－(1－1)>0，x＝2时， log6(2＋3)－(2－1)<0，所以1<xP<2.
2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数． (2)y＝ax(a>0，a≠1)的图像
0<a<1
a>1
高三数学 第一轮复习 06：对数、对数方程
高中数学第一轮复习06对数、对数方程·知识梳理·模块01：对数1、对数的定义：在0a >，1a ≠，且0N >的条件下，唯一满足x a N =的数x ，称为N 以a 为底的对数（logarithm），并用符号log a N 表示，而N 称为真数。
注意：对数的底是不等于1的正数。
负数和零没有对数。
2、指数式与对数式的关系：log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。
由对数定义可知：log 1a a =(0,1)a a >≠。
3、对数恒等式：log a N a N =(0,01N a a >>≠且)。
4、对数的运算性质：对数性质1：当0,0M N >>成立，则log ()log log a a a MN M N =+。
对数性质2：当0,0M N >>成立，则log log log aa a MM N N=-。
对数性质3：当0N >，对任何给定得实数c 成立，则log log c a a N c N =。
特别的：log c a a c =公式拓展：b nmb a m a n log log =5、换底公式及衍生性质：换底公式：log log log m a m N N a=(0a >且1a ≠,0m >,1m ≠,0N >)换底公式推论：(1)ab b a log 1log =;(2)log log log a b a b c c ⋅=。
6、两种特殊的对数：①通常将以10为底的对数叫做常用对数。
N 的常用对数记作lg N 。
②另外在科学技术中，常使用无理数 2.71828e = 为底的对数，以e 为底的对数叫做自然对数，记为ln N 。
模块02：对数方程1、基本概念：在指数中含有未知数的方程叫指数方程。
2、解指数方程的基本思想：化同底或换元。
《对数》指数函数与对数函数PPT教学课件(第二课时对数的运算)
第二课时 对数的运算
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
核心素养
对数的运算 掌握对数的运算性质，能运用运算性 数学运算
性质 质进行对数的有关计算
了解换底公式，能用换底公式将一般
换底公式
数学运算
对数化为自然对数或常用对数
能灵活运用对数的基本性质、对数的 对数运算的
运算性质及换底公式解决对数运算 综合问题
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
■名师点拨 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意 义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5) 是错误的． 2．换底公式
logcb logab＝__l_o_g_ca_____ (a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
2. 1 1＋ 1 1＝________． log149 log513 11
解析：log14119＋log11513＝llgg419＋llgg513＝－ －22llgg23＋－ －llgg53＝llgg23＋llgg53＝lg13＝ log310. 答案：log310
)
A．8
B．6
C．－8
D．－6
解析：选 C.log219·log3215·log514＝log23－2·log35－2·log52－2＝ －8log23·log35·log52＝－8.
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第四章 指数函数与对数函数
4．已知
a2＝1861(a>0)，则
log2a＝________． 3
解析：由 a2＝1861(a>0)得 a＝49， 所以 log3249＝log23232＝2. 答案：2
2指数方程和对数方程的讨论二
高三复习第27课：指数方程和对数方程的讨论（2）【教学目标】掌握含参数的指数、对数方程的解题方法【教学重点】掌握含参数的指数、对数方程的解题方法【教学难点】学会分类讨论、转化的数学思想【知识整理】【例题解析】【属性】高三，函数，指数和对数方程，填空题，易，逻辑能力【题目】函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上最大值比最小值大2a ，则_________=a 【解答】解：3122或【属性】高三，函数，指数和对数方程，填空题，易，逻辑能力【题目】函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a【解答】 解：22{,}ππ【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，易，计算能力【题目】解指数方程12492800x x ++-+=【解答】令2x y =，得2436800y y -+=∴45y =或∴22log 5x x ==或【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，易，计算能力【题目】 解对数方程42log log 30x x --=2（）【解答】 令2log x y =，得16464x x ==或【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，易，计算能力【题目】解对数方程21log 235x x x ++-（）（）=2【解答】得2235x x +-=2(1)0x +>∴2x =【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，分析问题解决问题能力【题目】 已知函数2()1x x f x a x -=++(1)a >， 求证：方程()0f x =没有负数根．【解答】证明：假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201x x a x -+=+，即00000023(1)31111x x x a x x x --+===-+++， ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121x ->+,而由1a >知01x a <. ∴①式不成立；当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111x -<-+，而00x a >. ∴①式不成立． 综上所述，方程()0f x =没有负数根【课堂反馈】【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，易，计算能力【题目】 解指数方程033492222=+⨯-x x【解答】令3y =，得108x x ==或【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，易，计算能力【题目】解对数方程1log 325log 225=-x x【解答】令log 25x y =，得321y y-= 312y =-或 2312525x =或【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，探究能力【题目】若关于x 的方程25-|x +1|－4·5-|x +1|－m =0有实根，求m 的取值范围.【解答】解法一：设y =5－|x +1|，则0＜y ≤1，问题转化为方程y 2－4y －m =0在（0，1］内有实根.设f （y ）=y 2－4y －m ，其对称轴y =2，∴f （0）＞0且f （1）≤0，得－3≤m ＜0.解法二：∵m =y 2－4y ，其中y =5－|x +1|∈（0，1］，∴m =（y －2）2－4∈［－3，0）.【课堂小结】1、指对数方程的解法2、含参方程的求解，常依具体条件，确定参数的取值范围.【作业布置】【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，探究能力【题目】若关于x 的方程9-|x -2|－4·3-|x -2|－a =0有实根，求a 的取值范围.【解答】解法一：设y =3-|x -2|，则0＜y ≤1，问题转化为方程y 2－4y －a =0在（0，1］内有实根.设f （y ）=y 2－4y －a ，其对称轴y =2，∴f （0）＞0且f （1）≤0，得－3≤a ＜0.解法二：∵a =y 2－4y ，其中y =3-|x -2|∈（0，1］，∴a =（y －2）2－4∈［－3，0）.【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，难，分析问题解决问题能力【题目】k 为何值时，方程0324=++⋅-k k x x 有两解？一解？无解？【解答】令2,(0,)xt t =∈+∞，则原方程化为 230t k t k -⋅++=，进一步整理得23(1),0t k t t +=->23,0(1)y t t y k t ⎧=+>⎨=-⎩的交点情况即为解的情况 先求0∆=得26k =-或由图像知：6k >时 两解63k k =<-或时 一解36k -≤<时 无解【属性】高三，函数，指数和对数方程，解答题，中，逻辑能力【题目】若关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-有实数解，求实数a 的范围。
高中数学第四章 指数函数与对数函数之函数的应用(二)(精讲)(必修第一册)(教师版含解析)
4.5 函数的应用(二)思维导图常见考法考点一 零点的求解【例1】(2020·武威第六中学高二期末(文))若函数()f x ax b =+的零点是2(0a ≠)，则函数2()g x ax bx=+的零点是( ) A ．2 B ．2和0C ．0D ．2-和0【答案】B【解析】由条件知(2)0f =，∴2b a =-，∴2()(2)g x ax bx ax x =+=-的零点为0和2.故选B.【举一反三】1．(2020·全国高三课时练习(理))已知函数f (x )＝22111log 1x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，，，则函数f (x )的零点为( )A ．，0B ．－2，0C ．D ．0【答案】D【解析】当1x ≤时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当1x >时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12， 又因为1x >，所以此时方程无解.综上所述，函数f (x )的零点只有0.故选：D（1）代数法：根据零点的定义，解方程()0f x =，它的实数解就是函数()y f x =的零点. （2）几何法：若方程()0f x =无法求解，可以根据函数()y f x =的性质及图象求出零点.2.已知函数221,1()1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为________．【答案】0【解析】当1x ≤时，由()210xf x =-=，解得0x =；当1x >时，由2()1log 0f x x =+=，解得12x =，又因为1x >，所以此时方程无解． 综上，函数()f x 的零点为0.考点二 零点区间的判断【例2】(2020·湖南娄底·高二期末)函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C 【解析】可以求得，所以函数的零点在区间(2,3)内．故选C ．【举一反三】1．(2020·宁县第二中学高二期中(文))函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．(-2，-1) B ．(-1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)【答案】B【解析】因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f(0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(-1,0)，选B ．2．(2020·甘肃省岷县第一中学高二月考(文))函数1()22xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在区间为( )判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D 【解析】()12125f -=++=，()01023f =-+=，()1311222f =-+=， ()1122244f =-+=，()1733288f =-+=-，()()230f f ∴⋅<， 由零点存在定理可知：()f x 零点所在区间为()2,3.故选：D .3．(2020·浙江衢州·高一期末)函数()24xf x x =+-的零点所在的区间是( )A ．()1,0-B ．()2,3C ．()0,1D ．()1,2【答案】D 【解析】()19114022f -=--=-<，()010430f =+-=-<，()121410f =+-=-<，()242420f =+-=>，()38347f =+-=()()120f f ∴⋅< ()f x ∴零点所在区间为()1,2故选：D考点三 零点个数的判断【例3】(1)(2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末(文))函数()212log 6y x x =-++的零点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(2)(2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中)方程0lnx x +=的实数解的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】(1)C(2)A【解析】(1)令0y =，则()212log 60x x -++=，即250x x -++=，又Δ1200=+>，故该方程有两根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选：C(2)方程0lnx x +=的实数解的个数，即为方程lnx x =-的实数解的个数， 即为函数ln y x =与函数y x =-图象的交点的个数，在同一坐标系中作出函数ln y x =与函数y x =-的图象，如图所示：只有一个交点，所以方程0lnx x+=的实数解的个数为1故选：A【举一反三】1．(2020·四川内江·高三三模(理))函数()()2ln14xf x x=⋅+-的零点个数为_______.【答案】2【解析】令()()2ln140xf x x=⋅+-=，则()24ln122xxx-+==，在同一直角坐标系中作出函数()ln1y x=+与22xy-=的图象，如图：由图象可知，函数()ln1y x=+当1x→-时，()ln1y x=+→+∞则与22xy-=的图象有必有两个交点，所以方程()24ln122xxx-+==有两个不同实根，所以函数()()2ln14xf x x=⋅+-的零点个数为2.判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y ＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．故答案为：2.2．(2020·浙江高一课时练习)方程21lg22x x-=的实根的个数为________．【答案】2个【解析】方程21lg22x x-=的实根个数可转为函数2122y x=-和lgy x=的交点个数，在同一坐标系中作出2122y x=-和lgy x=的图像，如图，可得交点个数为2个，故方程的实根个数是2个，故答案为：2个3.已知01a<<，则函数logxay a x=-的零点的个数为______.【答案】2【解析】函数logxay a x=-的零点的个数即为方程logxaa x=的解的个数，也就是函数()(01)xf x a a=<<与()log(01)ag x x a=<<的图象的交点的个数.画出函数图象如图所示，观察可得函数()(01)xf x a a=<<与()log(01)ag x x a=<<的图象的交点的个数为2，从而函数logxay a x=-的零点的个数为2考点四 根据零点求参数【例4】．(2020·山西应县一中高二期中(文))已知关于x 的方程21xm -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1]-∞- B ．(),1-∞-C ．[1,)+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】由题意,画出()2xf x m =-的图像如下图所示:由图像可知,若方程21x m -=有两个不等实根则函数图像在y 轴左侧的最大值大于等于1即可 所以1m 即(1,)m ∈+∞故选:D 【举一反三】1．(2020·江苏省海头高级中学高一月考)方程222(1)3110x k x k +-+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为( ) A ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(3,2)-C ．(2,3)-D ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】方程222(1)3110x k x k +-+-=中，令∆0>，得224(1)4(311)0k k --->，化简得260k k +-<，解得32k -<<，所以(3,2)k ∈-时，方程有两个不相等的实数根；故选：B. 2．(2020·内蒙古集宁一中高二月考(文))若函数()27x f x x =+-的零点所在的区间为(,1)()k k k +∈Z ,则k =( ) A ．3B ．4C ．1D ．2【答案】D【解析】∵(2)4270,(3)8370,ff=+-<⎧⎨=+->⎩且()f x单调递增,∴()f x的零点所在的区间为(2,3),∴2k=.故选：D 3．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】(1,2)【解析】由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.即a的取值范围为(1,2)．考点五二分法【例5】(2020·福建高一期中)设()338xf x x=+-，用二分法求方程3380x x+-=在(1,2)x∈内近似解的过程中得()10f<，()1.50f>，()1.250f<，则方程的根落在区间()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定【答案】B【解析】()338xf x x=+-又(1.5)0,(1.25)0f f><∴(1.5)(1.25)0f f⋅<由零点存在定理可得()f x在区间(1.25,1.5)存在零点.3380x x+-=∴方程的根落在区间(1.25,1.5)故选：B．【举一反三】1．(2020·全国高一单元测试)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．C．5[2,]2-D．1[,1]2-【答案】D【解析】∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为1155 [2,],[,1],[1,],[,4] 2222---.2．(2020·浙江高一单元测试)利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：0.20.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…1.149 1.5162.0 2.6393.4824.595 6.0638.010.556…0.040.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间( )A．(0.6，1.0)B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2)D．(2.6，3.0)【答案】C【解析】构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C3．(2019·海南龙华·海口一中高二月考)下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是() A．B．C．D．【答案】C【解析】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)•f(b)＜0A、B中不存在f(x)＜0，D中函数不连续．故选C．考法六函数模型【例6】(2020·定远县育才学校)某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.10.041,lg20.301==)A ．2022年B ．2023年C ．2024年D ．2025年【答案】C【解析】设从2016年后，第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元， 由题意可得：()100110%200n⨯+≥，即1.12n ≥， 两边取对数可得：lg20.3017.3lg1.10.041n >=≈，则8n ≥， 即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年.故选C . 【举一反三】1．(2020·湖北郧阳·高二月考)一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过( )小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h )A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时【答案】A【解析】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x=，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ．2．(2020·重庆)某品牌牛奶的保质期y (单位：天)与储存温度x (单位：C ︒)满足函数关系()0,1kx b y a a a +=>≠.该品牌牛奶在0C ︒的保质期为270天，在8C ︒的保质期为180天，则该品牌牛奶在24C ︒的保质期是( )A ．60天B ．70天C ．80天D ．90天【答案】C【解析】由题意可知，0270ba+=，8180k ba+=，可得8823k b kb a aa +==，所以()332482270803k b k b a a a +⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故该品牌牛奶在24C ︒的保质期是80天.故选：C3．(2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为( )(提示：31.065 1.208≈)A ．93.8万亿元B ．97万亿元C ．99.9万亿元D ．106.39万亿元 【答案】C【解析】依题意可得2020年的国内生产总值约为()382.71 6.5%82.7 1.20899.901699.9⨯+≈⨯=≈ 故选：C4．(2020·辽宁锦州)水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为218m ，经过3个月其覆盖面积为227m . 现水葫芦覆盖面积y (单位2m )与经过时间()x x N ∈个月的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0)=+>y px q p 可供选择. (参考数据：2 1.414,3 1.732,lg 20.3010,lg 30.4771≈≈≈≈ )(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(Ⅱ)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.【答案】(1)38()()2x y x N =∈(2)原先投放的水葫芦的面积为8m 2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.【解析】(Ⅰ)(0,1)x y ka k a =>>的增长速度越来越快，12(0)y px q p =+>的增长速度越来越慢. (0,1)x y ka k a ∴=>>依题意应选函数则有23=18=27ka ka ⎧⎨⎩， 解得3=2=8a k ⎧⎪⎨⎪⎩ ()382x y x N ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，(Ⅱ)当0x =时，8y =该经过x 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍. 有 38810002x ⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭32log 1000x ∴= lg10003lg 2=3lg3lg2=- 17.03≈ 答：原先投放的水葫芦的面积为8m 2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.。
2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算第2课时换底公式课件
题型 3 实际问题中的对数运算
例3 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋
S
)，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道
N
带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，
S
S
其中 叫做信噪比．当信噪比 比较大时，公式中真数里面的1可以忽
N
N
S
b
将本例条件改为“4 ＝5 ＝10”，求 ＋ 的值．
解析：由4a＝5b＝10，得a＝logபைடு நூலகம்10，b＝log510，
1
2
1
2
所以 + ＝
+
＝lg 4＋2lg 5＝lg (4×25)＝2.
a
b
log4 10
log5 10
学霸笔记：
利用等式运算性质与换底公式求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和
第2课时
换底公式
预学案
共学案
预学案
换底公式❶
1．换底公式
log
log
b＝________(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
loga
2．对数换底公式的重要推论
1
(1)logaN＝
(N＞0，且N≠1；a＞0，且a≠1)．
logN a
m
log an ＝ logab(a＞0，且a≠1，b＞0)．
的值吗？(lg 2，lg 3可利用计算器查得)
(2)把(1)一般化，由对数的定义，你能否用logca，logcb表示logab(a>0，
且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)吗？
数学高考复习名师精品教案：第15课时：第二章 函数-指数式与对数式
数学高考复习名师精品教案第15课时：第二章 函数——指数式与对数式一．课题：指数式与对数式二．教学目标：1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．三．教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明．四．教学过程：（一）主要知识：1．指数、对数的运算法则；2．指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=．（二）主要方法：1．重视指数式与对数式的互化；2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．（三）例题分析：例1．计算：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）2(lg 2)lg 2lg50lg 25+⋅+；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+．解：（1）原式12133(1)246324(113228⨯-⨯-⨯⨯=-+-⨯21333211222118811⨯=+-⨯=-=．（2）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=．（3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()(()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg352lg36lg 24=⋅=．例2．已知11223x x -+=，求22332223x x x x --+-+-的值． 解：∵11223x x -+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+⋅-+=⋅-=， ∴223322247231833x x x x --+--==-+-．例3．已知35a b c ==，且112a b +=，求c 的值． 解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a =； 同理可得1log 5c b =，∴由112a b += 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c >，∴c =例4．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >．由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t -+=，∴22320t t +-=，∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2x y =，∴12y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--，∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-．例5．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=．（1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b+-+++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值． 证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=⋅ 22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====； 解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b c a++=，∴30a b c -++=……………① 由82log ()3a b c +-=得2384a b c +-==………… ……………② 由①+②得2b a -=……………………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=……………………………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =．（四）巩固练习：12b =，则a 与b 的大小关系为 ；2．若2lg lg lg 2x y x y -=+的值．。
2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案：B分析：根据题意可得I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，根据e0.38(t+t1)=2e0.38t，解得t1即可得结果.因为R0=3.28，T=6，R0=1+rT，所以r=3.28−16=0.38，所以I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln2，所以t1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.2、已知函数f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，若函数g(x)=f(x)−m恰有两个零点，则实数m不可能．．．是（）A．−1B．0C．1D．2答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m的零点，转化为函数y=f(x)与函数y=m的交点，数形结合即可求出参数m的取值范围；解：因为f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示，函数g(x)=f(x)−m的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m=0有两个实数根，即f(x)=m，即函数y=f(x)与函数y=m有两个交点，由函数图象可得m≤0或m=1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、已知f(x)＝a−x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是（）A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <1 答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1． 故选：D4、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34) 答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图， 则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34． 故选：D ．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．5、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.6、已知函数y=a x、y=b x、y=c x、y=d x的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A．b+d>a+c B．b+d<a+c C．a+d>b+c D．a+d<b+c答案：B分析：如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ，即得解.如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ， 所以b +d <a +c . 故选：B7、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13) 答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增，所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)，故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题. 8、若n <m <0，则√m 2+2mn +n 2−√m 2−2mn +n 2等于（ ） A ．2m B ．2n C ．−2m D ．−2n 答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.9、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A10、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.11、函数y =2x −2−x （ ） A ．是R 上的减函数 B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性 答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数，故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.12、满足函数f (x )=ln (mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A ．−4<m <−2B ．−3<m <0C ．−4<m <0D ．−3<m <−1 答案：D分析：根据复合函数的单调性，求出m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可．解：若f(x)=ln(mx+3)在(−∞,1]上单调递减，则满足m<0且m+3>0，即m<0且m>−3，则−3<m<0，即f(x)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是−3<m<−1，故选：D．双空题13、已知函数f(x)=2−x2+2x,x∈[0,3]，则该函数的最大值为__________，最小值为_________.答案： 2 18分析：先求g(x)=−x2+2x值域，再根据y=2x单调性求f(x)最值.因为函数g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1在[0,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，且g(0)=0,g(3)=−3，g(1)=1∴g(x)∈[−3,1]，因为函数y=2x单调递增，∴18≤2g(x)≤2，即函数f(x)的最大值为2，最小值为18.所以答案是：2；18小提示：本题考查函数最值、指数函数单调性、二次函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题.14、已知函数f(x)={log0.5x,x>0x2+2x,x≤0，那么f(2)=_________;当函数y=f(x)−a有且仅有三个零点时，实数a的取值范围是__________.答案：−1−1<a<0解析：由f(2)=log0.52可得结果，函数y=f(x)−a有且仅有三个零点，即函数y=f(x)的图象与y=a的图象仅有三个交点，作出函数y=f(x)的图象，根据图象可得答案.f(2)=log0.52=−1函数y=f(x)−a有且仅有三个零点，即函数y=f(x)的图象与y=a的图象仅有三个交点.作出函数y =f (x )的图象,如图.由图可知，当−1<a <0时，函数y =f (x )的图象与y =a 的图象有三个交点. 所以函数y =f (x )−a 有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是−1<a <0 所以答案是： −1 ； −1<a <015、2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足N =N 0⋅2− t 5730（N 0表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：log 23≈1.6,log 25≈2.3） 答案： 12 4011分析：（1）根据衰变规律，令t =5730，代入求得N =12N 0；（2）令N =35N 0，解方程求得t 即可.当t =5730时，N =N 0⋅2−1=12N 0 ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令N =35N 0，则2−t 5730=35 ∴−t 5730=log 235=log 23−log 25≈−0.7∴t =0.7×5730=4011 ∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间 故答案为12；4011小提示：本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.16、已知函数f(x)={2xlog2x (x<1)(x≥1)，则f(8) = _________，若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点，则实数m的取值范围是_________．答案： 3 {0}∪[2,+∞)解析：根据自变量范围代入对应解析式，求得f(8)；作出函数f(x)图象，再结合图象确定参数取值范围.f(8)=log28=3，作出函数f(x)的图象，如图所示，若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点，则m≥2或m=0，所以答案是：3，{0}∪[2,+∞)小提示：本题考查求分段函数值以及根据函数零点个数求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.17、若实数a，b满足log a2=blog23=1,则a=__________，3b=__________．答案： 2 2解析：根据对数的运算法则和概念求解．因为log a2=1，所以a=2，因为blog23=1，所以log23b=1，所以3b=2．所以答案是：2；2．小提示：本题考查对数的概念与运算法则，属于基础题．解答题18、给出下面两个条件：①函数f(x)的图象与直线y=−1只有一个交点；②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数f(x)的解析式确定.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)−f(x)=2x−1，且______.(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.答案：(1)选①f (x )=x 2−2x ，选②f (x )=x 2−2x(2)(−∞,−16](3){−√3+12}∪(12,+∞) 分析：（1）利用已知条件求出a 、b 的值，可得出f (x )=x 2−2x +c .选①，由题意可得出f (1)=−1，可得出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；选②，由根与系数的关系求出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；（2）ℎ=log 3x ，ℎ∈[−2,3]，由参变量分离法可得出m ≤[−2f (ℎ)]min ，结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围；（3）令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根，对实数t 的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组，综合可解得实数t 的取值范围.（1）解：因为二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，f (x +1)−f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+c −ax 2−bx −c =2ax +a +b =2x −1，所以{2a =2a +b =−1 ，解得{a =1b =−2，所以f (x )=x 2−2x +c . 选①，因为函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点，所以f (1)=1−2+c =−1，解得c =0， 所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .选②，设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则|x 1−x 2|=2，且Δ=4−4c >0，可得c <1， 由根与系数的关系可知x 1+x 2=2，x 1x 2=c ，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4−4c =2，解得c =0，所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .（2）解：由2f (log 3x )+m ≤0，得m ≤−2f (log 3x )，当x ∈[19,27]时，log 3x ∈[−2,3]，令ℎ=log 3x ，则ℎ∈[−2,3]， 所以对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，等价于m ≤−2f (ℎ)在ℎ∈[−2,3]上恒成立， 所以m ≤[−2f (ℎ)]min =−2f (−2)=−16，所以实数m 的取值范围为(−∞,−16].（3）解：因为函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点， 令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根， 因为f (x )=x 2−2x ，所以(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根， 当2t −1=0，即t =12时，方程可化为−2n −2=0，解得n =−1，不符合题意； 当2t −1>0，即t >12时，函数y =(2t −1)x 2−4tx −2的图象是开口向上的抛物线，且恒过点(0,−2)， 所以方程(2t −1)n 2−4tn −2=0恒有一个正实根；当2t −1<0，即t <12时，要使得(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根， {∆=16t 2+8(2t −1)=02t 2t−1>0 ，解得t =−√3+12. 综上，实数t 的取值范围为{−√3+12}∪(12,+∞). 19、设函数f (x )=log m x （m >0且m ≠1）的图像经过点(3,1).（1）解关于x 的方程f 2(x )+(m −1)f (x )+1−m 2=0；（2）不等式[1+f (x )]⋅[a −f (x )]>0的解集是(13,9)，试求实数a 的值. 答案：（1）x =9或x =181；（2）a =2.分析：(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出f (x )范围，换元借助一元二次不等式即可得解.（1）由已知得f(3)=1，即log m3=1，则m=3，于是得f(x)=log3x，方程f2(x)+(m−1)f(x)+1−m2=0⇔f2(x)+2f(x)−8=0，从而得f(x)=2或f(x)=−4，即log3x=2或log3x=−4，x=9或x=181，所以原方程的根为x=9或x=181；（2）依题意，函数f(x)=log3x中，x∈(13,9)，从而得log3x∈(−1,2).又[1+f(x)]⋅[a−f(x)]>0⇔(log3x+1)⋅(log3x−a)<0，令log3x=t，即一元二次不等式(t+1)⋅(t−a)<0的解集为(−1,2)，因此有-1，2是关于t的方程(t+1)⋅(t−a)=0的两根，则a=2，所以实数a的值为2.20、已知f(x)=(log12x)2−2log12x+4，x∈[2 , 4]．（1）设t=log12x，x∈[2 , 4]，求t的最大值与最小值；（2）求f(x)的值域．答案：（1）最大值-1，最小值-2；（2）[7，12]解析：（1）t=log12x，x∈[2，4]，可得t在x∈[2，4]上是减函数，即可得出．（2）f(x)=t2−2t+4=(t−1)2+3=g(t)，可得g(t)在t∈[−2，−1]单调递减，即可得出值域．（1）t=log12x，x∈[2，4]，∴t在x∈[2，4]上是减函数，∴x=2时t有最大值log122=−1；x=4时t有最小值log124=−2．（2）f(x)=t2−2t+4=(t−1)2+3=g(t)，∴g(t)在t∈[−2，−1]单调递减，∴t=−2（即x=4)，取得最大值，g(−2)=12．t=−1（即x=2)，取得最小值，g(−1)=7．所以函数f(x)的值域[7，12]．小提示：利用换元法求函数值域是常用的方法也是重要方法.。
高三数学对数和对数函数
知识要点
1.对数及其运算 （5）换底公式：
log a N logb N (a 0, a 1, b 1, N 0) log a b
几个常见推论：
m log an b log a b n
m
1 log a b logb a log an1 an log a1 an
log a1 a2 log a2 a3
类型之一：求值、化简、证明问题 例1.计算(1)lg3 2 lg3 5 3lg 2 lg5； (2)已知 loga 2 m,loga 3 n, 求a 2 m n的值；
(3)已知 10a 2， 10b 3，求 1002 a b 的值.
答案(1)1；(2)12； (3) 16 .
例3 设 y log a2 x (ab) x 2b2 x 1 (a 0, b 0)， 1
2
求能使y为负值的x的取值范围.
①若a>b>0,则x>0；
答案：
②若b>a>0,则x<0； ③若a=b>0,则x .
类型之二：对数函数的性质问题
2.单调性
例4.比较下列各数的大小
9
类型之一：求值、化简、证明问题
练习： (2004 江苏)若函数 y loga ( x b)(a 0, a 1) 的图象 过两点(-1,0)和(0,1),则a= 2 ,b= 2 .
类型之二：对数函数的性质问题 1.定义域、值域
1 ∪(1,+) 例2 函数 y lg(1 ) 的定义域是 (,0) . x
在区间 .
2 4
[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=
类型之三：对数函数的图象
高考总复习一轮数学精品课件 第3章 函数与基本初等函数 第6节 指数与对数运算
3
1.(-3) =
3
-3 =
6
2
(-3) .( × )
2.log2a2=2log2|a|.(
)
3.若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1).( × )
1
2 4
1
4
2
4.(m ) = ( ) .( × )
题组二 回源教材
1
2
1
2
-
5.(人教A版必修第一册习题4.1第8题改编)已知 + =3 ,则a+a-1=______,
于底数的右上角
个
正整数指数幂 an=···…·(n∈N*)
指 有理指数幂 零指数幂 a0=1(a≠0)
数 的分类
-n 1
负整数指数幂 a = (a≠0,n∈N*)
幂
0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义
aman=am+n(a>0,m,n∈Q)
有理指数幂 m n mn
(a ) =a (a>0,m,n∈Q)
5
a-3b 25
,所以 4 = ,故选
3
9
C.
9.(2021·全国甲,文6)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助
视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的
数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法
的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(
1
5+
(4)(2024·辽宁沈阳模拟)若log32=m,则log296=________(用含m的式子表示).
解析 由
§2.2.1-2对数与对数运算 (二)
20
§2.2.1-2对数与对数运算 (二)
课堂练习 <<教材>> P.68 书面作业 <<教材>> P.74 习题2.2 A组3.4.5 练习1.2.3
2013-1-15
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21
n
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12
§2.2.1-2对数与对数运算 (二)
思考2:下列7个式子中,其中正确的有___________.
(1)(log a x) n log a x;
n
(3)(6)(7) n n (2)(log a x) log a x
loga (MN ) loga M loga N
M log a log a M log a N N
loga M n loga M
n
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§2.2.1-2对数与对数运算 (二)
loga (MN ) loga M loga N
p
M pq pq log a log a a N loga M loga N
M log a log a M log a N N
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§2.2.1-2对数与对数运算 (二)
loga M n loga M
§2.2.1-2对数与对数运算 (二)
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§2.2.1-2对数与对数运算 (二)
教学目标：
1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的 依据和过程； 2．能较熟练地运用法则解决问题.
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。
另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。
整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。
其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。
例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。
二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。
例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。
例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。
二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。
当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。
规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。
第四章 指数函数与对数函数(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第四章指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）一．根式及相关概念(1)a 的n 次方根定义如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)a 的n 次方根的表示n 的奇偶性a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数n aR n 为偶数±n a[0，＋∞)(3)根式式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．二．根式的性质(n >1，且n ∈N *)(1)n 为奇数时，na n＝a .(2)n 为偶数时，na n＝|a|＝≥0，a <0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(na )n 中实数a 的取值范围是任意实数吗？提示：不一定，当n 为大于1的奇数时，a ∈R ；当n 为大于1的偶数时，a ≥0.三．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)负分数指数幂规定：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式a m n ＝n a m中，为什么必须规定a >0?提示：①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝a mn ＝0，无研究价值．②若a <0，a m n ＝n a m 不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.四．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )．(3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．五．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．六．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .七．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝a x与y＝a－x的图象关于y轴对称思考1：指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？提示：指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？提示：指数函数值随自变量的变化规律．八．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.九．常用对数与自然对数十．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？提示：由对数的定义：a x＝N (a >0且a ≠1)，则总有N >0，所以转化为对数式x ＝log a N 时，不存在N ≤0的情况．十一．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．思考：当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？提示：不一定．十二．对数的换底公式若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c blog c a.十三．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y ＝2log 3x ，y ＝log 3(2x )是对数函数吗？提示：不是，其不符合对数函数的形式．十四．对数函数的图象及性质提示：底数a 与1的关系决定了对数函数的升降．当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”．十五．反函数指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数．十六、三种函数模型的性质y＝a x(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；②存在一个x，当x>x时，有a x>kx>logax十七．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．十八．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．十九．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．思考2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.二十．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．二十一．二分法求函数零点近似值的步骤(1)确定零点x的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．二十二．常用函数模型思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：<解题方法与技巧>1.带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.典例1：(1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．[思路点拨](1)由x <0，先计算|x |及x 2，再化简．(2)结合－3<x<3，开方、化简，再求值．(1)－1[∵x<0，∴|x|＝－x，x2＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋x2x＝x－x－1＝－1.](2)[解]x2－2x＋1－x2＋6x＋9＝(x－1)2－(x＋3)2＝|x－1|－|x＋3|，当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.x－2，－3<x≤1，x<3.2.根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．典例2：将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a(a>0)；(2)13x(5x2)2；－23(b>0)．[解](1)原式＝a·a12＝a34.(2)原式＝13x·(x25)2＝13x·x45＝13x95＝11x35＝x－35.－23＝b－23×14×＝b19.3.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.典例3：化简求值：4.解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.典例4：已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.[思路点拨]a 12＋a －12＝4――――→两边平方得a ＋a －1的值――――→两边平方得a 2＋a －2的值[解](1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.5．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)a x的系数必须为1.典例5：(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x；④y ＝2·3x.A．1B．2C．3D．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且＝39，则f (－2)＝________.(1)D(2)19[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，由＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]6.指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.典例6：(1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()A．a >1，b <0B．a >1，b >0C．0<a <1，b >0D．0<a <1，b <0(2)函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．(1)D(2)(3,4)[(1)由于f (x )的图象单调递减，所以0<a <1，又0<f (0)<1，所以0<a －b <1＝a 0，即－b >0，b <0，故选D.(2)令x －3＝0得x ＝3，此时y ＝4.故函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点(3,4)．]7.比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时，要按底数a >1和0<a <1两种情况分类讨论.典例7：比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1)．[解](1)1.52.5,1.53.2可看作函数y ＝1.5x 的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y ＝1.5x在R 上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y ＝0.6x的两个函数值，因为函数y ＝0.6x 在R 上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a >1时，y ＝a x 在R 上是增函数，故a 1.1>a 0.3；当0<a <1时，y ＝a x在R 上是减函数，故a 1.1<a 0.3.8.利用指数函数的单调性解不等式（1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．（2）解不等式af (x )>ag (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，典例8：(1)解不等式x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．[解]，∴原不等式可以转化为x －1.∵y 在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0，故原不等式的解集是{x |x ≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在R 上是减函数，∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x2－4x－5>0，根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；②当a>1时，函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x<5.综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5.9.函数y＝a f(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.典例9：判断f(x 2－2x的单调性，并求其值域．[思路点拨]令u＝x2－2x―→函数u(x)的单调性――→函数f(x)的单调性[解]令u＝x2－2x，则原函数变为y.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y在(－∞，＋∞)上递减，∴y 2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y，u∈[－1，＋∞)，＝3，∴原函数的值域为(0,3]．10.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.典例10：将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)2－7＝1128；(2)log 1232＝－5；(3)lg 1000＝3；(4)ln x ＝2.[解](1)由2－7＝1128，可得log 21128＝－7.(2)由log 12＝32.(3)由lg 1000＝3，可得103＝1000.(4)由ln x ＝2，可得e 2＝x .11.求对数式log a N (a >0，且a ≠1，N >0)的值的步骤(1)设log a N ＝m ；(2)将log a N ＝m 写成指数式a m ＝N ；(3)将N 写成以a 为底的指数幂N ＝a b ，则m ＝b ，即log a N ＝b .典例11：求下列各式中的x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x;(4)－ln e 2＝x .[解](1)x ＝(64)－23＝(43)－23＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝(x 6)16＝816＝(23)16＝212＝ 2.(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2，所以x ＝－2.12.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.典例12：已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b＝2，求c 的值．[思路点拨]3a ＝5b ＝c ――――→指对互化求1a ，1b ――――→1a ＋1b ＝2求c 的值[解]∵3a ＝5b ＝c ，∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，∴1a ＝log c 3，1b＝log c 5，∴1a ＋1b＝log c 15.由log c 15＝2得c 2＝15，即c ＝15.13.求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负.(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.典例13：求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)．[解](1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．＋1>0，x >0，>－1，<2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．x ＋8>0，x －1>0，x －1≠1，<2，>12，≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为|12<x<2，且x ≠114.函数图象的变换规律(1)一般地，函数y ＝f (x ±a )＋b (a ，b 为实数)的图象是由函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左或向右平移|a |个单位长度，再沿y 轴向上或向下平移|b |个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y ＝f (|x －a |)的图象是关于直线x ＝a 对称的轴对称图形；函数y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象在f (x )≥0的部分相同，在f (x )<0的部分关于x 轴对称.典例14：(1)当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为()A B C D(2)已知f (x )＝log a |x |，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象．[思路点拨](1)结合a >1时y ＝a －x 及y ＝log a x 的图象求解．(2)由f (－5)＝1求得a ，然后借助函数的奇偶性作图．(1)C [∵a >1，∴0<1a<1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.](2)[解]∵f (x )＝log a |x |，∴f (－5)＝log a 5＝1，即a ＝5，∴f (x )＝log 5|x |，∴f (x )是偶函数，其图象如图所示．15.比较对数值大小的常用方法(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.典例15:比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.[解](1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54.16.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x的单调性求解；典例16：已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域；(2)试确定不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围．[思路点拨](1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x 的取值集合．(2)分a ＞1和0＜a ＜1求解不等式得答案．[解]－1>0，x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x ＜3}．(2)不等式f (x )≤g (x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )，①当a ＞1x <3，－1≤6－2x ，解得1<x ≤73；②当0＜a ＜1x <3，－1≥6－2x，解得73≤x <3.综上可得，当a ＞11，73；当0＜a ＜1时，不等式的解集为73，317.常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.典例17：(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y ＝2019x B．y ＝2019C．y ＝log 2019xD．y ＝2019x(2)下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x 与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢B．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快C．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度不变D．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快(1)A(2)C [(1)指数函数y ＝a x，在a >1时呈爆炸式增长，并且随a 值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f (x )＝log 12x ，g (x 与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象递减速度不变．]18.由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.典例18：函数f (x )＝2x和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f f (2019)与g (2019)的大小．[解](1)C 1对应的函数为g (x )＝2x ，C 2对应的函数为f (x )＝2x.(2)∵f (1)＝g (1)，f (2)＝g (2)从图象上可以看出，当1＜x ＜2时，f (x )＜g (x )，∴当x ＞2时，f (x )＞g (x )，∴f (2019)＞g (2019)．19.函数零点的求法(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根.(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来.图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.典例19：(1)求函数f (x 2＋2x －3，x ≤0，x ，x >0的零点；(2)已知函数f (x )＝ax －b (a ≠0)的零点为3，求函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点．[解](1)当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3；当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f (x 2＋2x －3，x ≤0x ，x >0的零点为－3和e 2.(2)由已知得f (3)＝0即3a －b ＝0，即b ＝3a .故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)．令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )的零点为0和－13.20.判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.典例20：(1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是()A．(3,4)B．(2，e)C．(1,2)D．(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程e x －x －3＝0的一个根所在区间是()x －10123e x 0.371 2.727.3920.08x ＋323456A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)(1)C (2)C [(1)因为f (1)＝ln 2－21<0，f (2)＝ln 3－1>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，C.(2)构造函数f (x )＝e x －x －3，由上表可得f (－1)＝0.37－2＝－1.63<0，f (0)＝1－3＝－2<0，f (1)＝2.72－4＝－1.28<0，f (2)＝7.39－5＝2.39>0，f (3)＝20.08－6＝14.08>0，f (1)·f (2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]21.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.典例21：已知函数f (x )的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3D [图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]22.函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.典例22:某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示：x1234f (x ) 4.00 5.587.008.44(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？[思路点拨]描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模[解](1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ＋b ＝4，a ＋b ＝7，＝1.5，＝2.5，∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．。
3.2.2 指数和对数
高考总复习· 数学
a 2b (a a ) 1 1 1 （2）原式= 1 1 1 1 a 3 2 3 3 3 2 (a ) a (2b ) (2b ) (a 2 a 3 ) 5 a [(a ) (2b ) ]
1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 3 2 3 1 2
4 3
1 3
(a
2 3
23 b a 3 a2 ) 5 a a 3 a
（式中字母都是正数）
8 3 49 2 1000 3 4 2 625 4 ) 50 ]( ) 解: (1) 原式= [( ) ( ) ( 27 9 8 10 10000
2 1 2 1
4 7 1 4 2 1 17 2 [ 25 ] ( 2) 2 9 3 2 9 9 5 2 10
3lg 2 5lg 3 5 2lg 3 6lg 2 4
⑶
2 分子= lg 5(3 3 lg 2) 3(lg 2) 3 lg 5 3 lg 2(lg5 lg 2) 3
36 1 6 lg 6 2 lg 4 分母= (lg 6 2) lg 1000 10 100 3 原式= 4
loga b logb a 1
（ a, b > 0且均不为1）
log a m
n b log a b m
n
高考总复习· 数学
5.常用对数与自然对数：以10为底的对数，叫常用对数。
log10 x 记作 lg x ；以无理数e为底的对数叫自然对数，
loge x 记作
ln x ， 其中 e 2.718
(1 1) lg 2 2lg 5 2(lg 2 lg 5) 2
高三数学(文)对数指数
指数对数（必修一） 一、概念性质1、指数对数的定义域指数：n a （0a ≠） 对数：log (01,0)a n a a n >≠>且2、指数运算法则 ①m n m n a a a +⋅= ②m n m n a aa -÷= ③()m n mn a a = ④()m m m ab ab = 运用指数运算法则，一般从右往左变形。
3、对数运算法则同底公式：①log a b a b = ②log log log ()a a a M N MN +=③log log log a a a M M N N-= ④log log n a a M n M = 不同底公式：①log log log m a m N N a=②log log m n a a n b b m = ③1log log a b b a = (2,3,11题) 4、对数和指数的单调性 5、指数函数y=a x 与对数函数y=x a log ,(1,0≠>a a )是互为反函数即b x b a a x log =⇔=它是实现指数式与对数式相互转换的桥梁。
当a>1时，两个函数在定义域内都递增；当0<a<1时，两个函数在定义域内都递减。
(4,5,6,10，填空4题）6、通过对比指数、对数、幂数的图像，掌握它们的性质与关联（重要）7、对数与导数的结合考察（解答题7，8）二、课前复习1、设函数()f x 是定义在（0，+∞）上的增函数，且(2)1,()()()f f xy f x f y ==+，求不等式()(2)3f x f x +-≤的解集。
2、已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-，求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数。
3、设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+⋅x f x f ，若2)1(=f ，则=)99(f4、若),1()2ln(21)(2+∞-++-=在x b x x f 上是减函数，则b 的取值范围是（ ） (A)),1[+∞-(B)),1(+∞- (C)]1,(--∞ (D))1,(--∞ 5、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数6、设偶函数()f x 在[0)+∞，上为增函数，且(2)(4)0f f ⋅<，那么下列四个命题中一定正确的是（ ） (A) (3)(5)0f f ⋅≥ (B)(3)(5)f f ->-(C) 函数在点(4(4))f --，处的切线斜率10k < (D)函数在点(4(4))f ，处的切线斜率20k ≥ 三、深入探讨Ⅰ选择题1、下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是（） （A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数2、设25a b m ==，且112a b +=，则m =（ ）（A（B ）10 （C ）20 （D ）1003、则且均为正数设c 。
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教案12：指数式与对数式（2）
一、课前检测
1.已知log 2,log 3a a m n ==，则2m n a +=
答案：12
2. 已知532log [log (log )]0x =，那么12
x -等于（ ） A. 13
B.
C. 4
D. 答案：C
3. 式子
82log 9log 3的值为 ( ) A.2
3 B.32 C.2 D.3
答案：A
二、知识梳理
灵活运用指数式和对数式解决问题
1．重视指数式与对数式的互化；
2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；
3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．
三、典型例题分析
例1．计算：（1
）1
2
0.50.75163(12427162(8)--+-+-；
（2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；
（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+．
解：（1
）原式121
33(1)246324(113
228⨯-⨯-⨯⨯=+-+-⨯
2
1
3332113222118811⨯=++-⨯=+-=．
（2）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++
(11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=．
（3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3(
)()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24
=⋅=． 小结与拓展：
例2．已知35a b c ==，且112a b +=，求c 的值． 解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a =； 同理可得1log 5c b =，∴由112a b
+= 得 log 3log 52c c +=，
∴log 152c =，∴215c =，∵0c >，∴c =． 例3 设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >． 由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t
-+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2
x y =，∴12y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--，
∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-．
例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=．
（1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b
+-+
++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3
a b c +-=，求a 、b 、c 的值． 证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=⋅ 22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====； 解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b c a
++=，∴30a b c -++=……………① 由82log ()3
a b c +-=得2384a b c +-==………… ……………②
由①+②得2b a -=……………………………………………③
由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=……………………………………………………④
由③、④解得6a =，8b =，从而10c =．
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.教学反思（不足并查漏）：。