非线性系统分析习题

非线性系统分析习题第2章2-1 电路如题图2-1所示，若11tanh 2u i =，22322i i +=ψ，33ln u q =，试讨论对下列各组变量：（1）2i 和3u ；（2）2i 和3q ；（3）2ψ和3u ；（4）2ψ和3q ；是否存在标准形式的状态方程？若存在，请导出该状态方程。

题图 2-12i 和3u 存在标准状态方程3233212222))2(tan (231dt u i dtdu u i u i i di s =--+=-2-2 题图2-2所示电路，非线性电阻的特性为：22223R R R u u i -=，试导出电路的状态方程。

题图 2-2L C C L C C L C L s C i LR u L u L dt di u u C i C du i C i C du 22122222211111)3(11dt 11dt --=--=-= 2-3 试确定下列函数是否满足全局Lipschitz 条件 （1）2211212()[2]T f x x x x x x =--可能不满足 （2）222112()[]x x T f x x e x e --=满足2-4 Van der pol 方程可以用状态方程描述为1222112(1)x x xx x x ε=⎧⎨=-+-⎩ 试证明，任取初始条件1020x x ，，对于某些充分小的δ，状态方程在[0]δ上有唯一解。

2-5 考虑标量微分方程0tan(()),(0)xx t x x ==试证明微分方程对于任意0x ，在区间[0,)∞上具有唯一解。

2-6 已知非线性系统的状态方程为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t te x x x x x t dt dx dt dx 22212131213tanh 43试判断该状态方程是否有唯一解。

当00,0t t t ≥>时有唯一解 2-7 试求下列电路状态方程的平衡点。

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=dxy by dt dy cxy ax dt dx （0，0） （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=2222y x y x dt dy y x x y dtdx （0，0）（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3x x dt dy y dtdx（0，0）；（1，0）；（-1，0）（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1sin 2x dtdy y dtdx,2,1,0),1();k 1±±=-k k ππ，（（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=+31dy by dtdy e dtdx yx (0,0)；0,0db)d b,d b ();d b ,d b (≠>--d第3章3-1 分别取5.0=ε，2=ε，用等倾线法绘出范德坡方程的轨线。

设初值为：（1）3)0(,3)0(-==xx ;（2）1)0(,0)0(-==x x ;(3) 3)0(,3.2)0(=-=x x 。

3-2 用liénard 作图法绘出5.0=ε时，范德坡方程初值为3)0(,3)0(-==xx 的轨线。

3-3 试证明在ε<m 时，范德坡方程的等倾线包含3个分支。

3-4 试确定下列线性微分方程组奇点的类型，并定性作出相图。

（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3212； 稳定结点 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 2223；鞍点 （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3212 ； 不稳定结点 （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3001； 稳定结点 （5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3002； 鞍点 （6）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 1224； 非初等奇点，轨线趋于奇线 （7）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 2412； 非初等奇点，轨线平行于奇线（8）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3002； 不稳定结点 （9）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 0210; 中心 (10) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 1331 不稳定焦点 3-5 试求下列各非线性状态方程平衡点处的线性化系统，并决定该平衡点的类型。

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=xy y dtdy xy x dtdx平衡点（0，0）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y dt dy x dt dx鞍点 （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=2222y x y x dt dy y x x y dtdx平衡点（0，0）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x dtdy y dt dx中心、焦点或中心焦点之一 （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3x x dtdy y dt dx 平衡点（0，0），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==xdt dy y dt dx 鞍点（1，0），（-1，0）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆-=∆∆=∆x dty d y dt xd 中心、焦点或中心焦点之一 （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+21y y dtdy e dt dx y x 平衡点（0，0）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y dt dy y x dt dx 不稳定退化结点3-6 考察下列非线性系统是否存在极限环，如存在极限环，通过极坐标变换来判断极限环的稳定性。

（1）22121122221212(1)(1)x x x x x xx x x x ⎧=+--⎪⎨=-+--⎪⎩ 2(1)1rr r θ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ，存在稳定的极限环1=r （2）22121122212222121222121(1)sin()11(1)sin()1x x x x x x x x x x x x x x ⎧=---⎪+-⎪⎨⎪=----⎪+-⎩11sin )1(22---=r r r r 存在半稳定的极限环（3） 2112211,xx x x x =-=不存在极限环 （4）12121cos(),sin x x x x x == 不存在第4章4-1 试对二阶自治系统的各类平衡点，按Lyapunov 稳定性的定义对平衡点的稳定性类型进行分类。

4-2 试判断下面的每一个函数是否为：（1）局部正定函数；（2）正定函数；（3）半正定函数；（4）不定函数。

（1）421212(,)V x x x x =+； 正定函数（2）22212112(,)2V x x x x x =-；局部正定函数（2< （3）221212(,)sin()V x x x x =+； 局部正定函数22120x x π≤+<（）（4）221212212(,)1+x x V x x x +=；正定函数（5）12122(,)xV x x x e = 半正定函数4-3 试讨论下列系统原点的稳定性，指出它们是否稳定；如果稳定，是否全局的。

（1）222111,x xx x x x -=+-= ；局部渐近稳定 （2）)1(),1(22212122221121x x x x xx x x x x---=----= ；局部渐近稳定（设222121),(x x x x V +=）（3）)3(cos )(sin -28275x x x x x x x=++ ；不稳定，利用首次近似 （4）)1(,sin 222111t x xt x x x+-=--= ; 4-4 考虑系统3221222112,2x x x xx x x+=+-= 预选V 函数为222121),(x x x x V -=,证明平衡点（0,0）是不稳定的。

4-5 某非线性电路的状态方程为212231113,x x xx x x x -=+-= （1） 求系统的所有平衡点；（0,0），（2,6）（-2，-6）（2） 通过平衡点处的线性化系统研究所有平衡点处的局部稳定性；（0,0）不稳定；（2,6），稳定；（-2，-6）；稳定（3） 利用二次Lyapunov 函数，估计每个渐近稳定的平衡点的吸引域，并尽可能极大化吸引域（提示：对每个渐近稳定的平衡点，将坐标原点平移到平衡点处，然后进行分析）；（4） 绘出系统的相轨迹和前列分析对比。

4-6 试证明：如果存在对称矩阵P 和Q 使得Q P PA P A T-=++λ2则A 的所有特征值的实部均小于λ-。

4-7 考虑一个二阶系统⎩⎨⎧+-=++=u x x x u x sat x x x 21222211sin )2(-3其中sat 函数定义为⎪⎩⎪⎨⎧><=1)(1)(σσσσσsign sat当0=u 时，试采用平衡点（0,0）处的线性化系统证明系统是局部不稳定的； 4-8 通信网络锁相环回路方程可描述为[c o s ()]s i n ()y a b y y c y +++= （1） 取12=,x y x y= ，试导出状态方程； （2） 设0c >，取预选Lyapunov 函数为22121(,)(1cos )2x V x x c x =-+，证明：如果0a b ≥≥，平衡点（0,0）是稳定的；如果0a b >≥，平衡点（0,0）是渐近稳定的（提示：应用Lasalle 定理）。