广义相对论习题

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2019-2020年粤教版物理选修3-4第04节广义相对论习题精选第一篇

2019-2020年粤教版物理选修3-4第04节广义相对论习题精选第一篇第1题【单选题】下列说法中正确的是( )A、声源向静止的观察者运动，观察者接收到的频率小于声源的频率B、麦克斯韦预言了电磁波的存在；楞次用实验证实了电磁波的存在C、由电磁振荡产生电磁波，当波源的振荡停止时，空间中的电磁波立即消失D、宇宙飞船以接近光速的速度经过地球时，地球上的人观察到飞船上的时钟变慢【答案】：【解析】：第2题【单选题】已知电子的静止能量为0.511 MeV，若电子的动能为0.25 MeV，则它所增加的质量Δm与静止质量m0的比值近似为( )A、0.1B、0.2C、0.5D、0.9【答案】：【解析】：第3题【单选题】下列说法中正确的是( )A、振动的物体通过平衡位置时，其合外力一定为零B、电磁波、超声波均可在真空中传播C、可见光在同一玻璃砖中传播时，波长越长、波速越小D、以0.75c的速度靠近地球的火箭向地球发出的光，在地球上测得其速度为c【答案】：【解析】：第4题【单选题】在一高速列车通过洞口为圆形的隧道，列车上的司机对隧道的观察结果为( )A、洞口为椭圆形，长度变短B、洞口为圆形、长度不变C、洞口为椭圆形、长度不变D、洞口为圆形，长度变短【答案】：【解析】：第5题【单选题】惯性系s中有一边长为l的正方形，从相对s系沿x方向以接近光速匀速飞行的飞行器上测得该正方形的图象是图中的( )A、B、C、D、【答案】：【解析】：第6题【多选题】以下说法中，错误的是( )A、矮星表面的引力很强B、在引力场弱的地方比引力场强的地方，时钟走得快些C、在引力场越弱的地方，物体长度越长D、在引力场强的地方，光谱线向绿端偏移【答案】：【解析】：第7题【多选题】在狭义相对论中,下列说法正确的是( )A、所有惯性系中基本规律都是等价的B、在真空中,光的速度与光的频率、光源的运动状态无关C、在不同惯性系中,光在真空中沿不同方向传播速度不相同D、质量、长度、时间的测量结果不随物体与观察者的相对状态的改变而改变【答案】：【解析】：第8题【填空题】甲、乙两人站在地面上时身高都是L0 ，甲、乙分别乘坐速度为0.6C和0.8C(C为光速)的飞船同向运动，如图所示。

15.4广义相对论简介习题

15.4广义相对论简介习题15. 4 广义相对论简介习题基础夯实一、选择题(1题为单选题，2题为多选题)1．一艘大船在平静的大洋中匀速行驶，一个人在其密闭的船舱内向各个不同的方向做立定跳远实验，并想由此来判断船航行的方向，假设他每次做的功相同，下列说法正确的是()A．如果向东跳得最远，则船向东行驶B．如果向东跳得最近，则船向东行驶C．他向各个方向跳的最大距离相同，不能由此判断船行方向D．他向各个方向跳的最大距离不同，但不能由此判断船行方向答案：C解析：根据广义相对性原理可判C选项正确。

2．下列说法中正确的是()A．物体的引力使光线弯曲B．光线弯曲的原因是介质不均匀而非引力作用C．在强引力的星球附近，时间进程会变慢D．广义相对论可以解释引力红移现象答案：ACD解析：根据广义相对论的几个结论可知，选项A、C、D正确，B 错误。

能力提升一、选择题(1题为单选题，2题为多选题)1．(河北衡水中学2013～2014学年高二下学期二调)关于相对论，下列说法正确的是()A．狭义相对论认为，如果物体在地面上静止不动，任何人在任何参考系里面测出物体的长度都是一样的B．狭义相对论认为，对于一切物理规律，所有的参考系都是平权的C．狭义相对论认为相对于观察者静止的钟走得是最慢的D．广义相对论认为一个做匀加速运动的参考系和一个均匀的引力场是等效的答案：D解析：根据尺缩效应，相对论时空观认为运动的尺子会变短，如果物体在地面上静止不动，在相对于地面运动的参考系里面测出物体的长度和在地面上测出物体的长度是不一样的，故A错误；狭义相对论认为，一切的惯性参考系都是平权的，即物理规律的形式在任何的惯性参考系中是相同的，故B错误；根据钟慢效应运动的钟比静止的钟走得慢，狭义相对论认为相对于观察者静止的钟走得最快，故C错误；广义相对论是一种新的时空与引力的理论，广义相对论认为一个做匀加速运动的参考系和一个均匀的引力场是等效的，故D 正确。

高中物理第4节广义相对论简介专项测试同步训练

高中物理第4节广义相对论简介专项测试同步训练
2020.03
1,如图所示，放在马蹄形磁铁两极之间的导体棒ab，当通有由b向a的电流时，受到的安培力方向向右，则磁铁的上端是 N 极；如果磁铁上端是S极，导体棒中的电流方向由a到b，则导体棒受到的安培力方向为。

2,如图所示，带电液滴从h高处自由落下，进入一个匀强电场与匀强磁场互相垂直的区域，磁场方向垂直纸面，电场强度为E，磁感强度为B。

已知液滴在此区域做匀速圆周运动，则圆周的半径R= 。

3,某同学用公式法测凸透镜焦距时，测得几组数据，画出图象如图10所示，则此凸透镜的焦距为（）
A．5m B．5cm C．20cm D．10cm
4,如图所示，一个匝数n=10的矩形线圈，ab长40cm，ad长25cm，放在
B=10-3T 的匀强磁场中，通过100mA 的电流，当线圈平面与磁感线平行时，线圈所受的电磁力矩为 Nm ；若转过60°角，线圈所受的电磁力矩为 Nm 。

5,某人照像，第一次照了一张小二寸，第二次照一张大二寸。

人的位置固定不变，要想第二次照片上的像也清晰，摄影师只需将（）
A ．相机离人远些，暗箱调短些
B ．相机离人近些，暗箱调长些
C ．相机离人远些，暗箱调长些
D ．相机离人管些，暗箱调短些
答案
1, 向右 2, E g h /2/B
3, C
4, 10-4 5×10-5
5, B。

广义相对论样卷答案-USTC

广义相对论样卷答案中国科大近代物理系尤一宁2017年6月11日1问答题1.1数学准备部分1.什么是张量积？若r重线性映射f:X1×···×X r→Z同构于线性映射g:W→Z，则W为X1×···×X r 的张量积.2.什么是张量？多重线性映射/多重线性函数.3.简述拓扑对于集合的意义拓扑可在集合中引入邻域、连续性、连通性等概念.4.什么是流形？X是一个Hausdorﬀ拓扑空间，且对X上∀一点p，都∃一个邻域N(p)同胚于R n中的一个开集，则称X为一个流形.简言之，流形是局部同胚于R n中的开集的Hausdorﬀ拓扑空间.5.微分结构和拓扑结构的区别拓扑结构赋予集合连续、邻域的概念，使得流形可以定义，拓扑结构产生拓扑群（连续11问答题2群）；微分结构赋予流形上坐标卡之间映射的可微性，形成坐标卡集的等价类，和拓扑结构配适的微分结构产生李群.6.什么是切空间？流形上函数f在p点的方向导数v p(f)称为切矢量，流形上p点所有切矢量的集合是切空间.7.名词解释：李导数切矢量场u沿着切矢量场v的积分曲线的变化率L v u|p=limt→0(Φ−t)∗uΦt(p)−u pt称为切矢量场u沿着切矢量场v在p点的李导数.其中v在p点的邻域N(p)生成的局部单参数变换Φt所定义的推前映射将Φt(p)点的切矢量推到p点.8.微分同胚变换与坐标变换的关系微分同胚变换ΦX→X可以等价于X上的坐标变换；主动观点看，X上的点发生变化，张量场τ在微分同胚变换下变成X上的另外一个张量Φ∗τ；被动观点看，点不变，而微分同胚变换对张量的分量做了一个坐标变换，变换后的分量等于主动观点下Φ∗τ的分量.9.在流形上引入联络的目的是什么？产生光滑流形上两点的切空间之间的同构，以建立平行移动的概念.简言之，平行移动要求切矢量沿所走曲线方向不变，而联络赋予了流形上不同点之间切矢量的比较.10.解释什么是平行移动，什么是测地线？若v(t)沿曲线c的切矢量u的协变导数∇u v=0，则称v(t)沿曲线c平行移动；若一曲线c的切矢量u沿u本身的协变导数∇u u=0，则称曲线c是测地线.11.简述两个协变导数算子之间的关系导数算子∇和 ∇之间相差了一个（1，2）型张量场C c ab，有( ∇a−∇a)u c=−C c ab u b，( ∇a−∇a)ωb=C c abωc.12.简述流形上普通导数算子的特殊性1.由于(∂a∂b−∂b∂a)τa1···r b1···b r=0，普通导数算子对应的挠率和曲率都为0；2.普通导数算子依赖坐标卡的选取，只能在局部定义，且它与一般导数算子的差别Γc ab也依赖坐标卡的选取.13.简述度规和（无挠）联络之间的关系物理上要求度规和联络相容∇a g bc，则在流形(X,g ab)上给定挠率张量，则和度规相容的协变导数唯一；无挠情况下，取 ∇a=∂a，则和度规相容的联络与之相差Christoﬀel符号Γc ab=12g cd(∂a gbd+∂b g da−∂d g ab).1问答题314.简述曲率张量的几何意义曲率张量反应了一个切矢量沿曲线c平行移动一圈回到原点时的改变量的二阶近似.15.简述Killing矢量场和一般切矢量场的关系一般切矢量场都可诱导出流形之间的微分同胚，但Killing矢量场多了一个要求，即它在(X,g ab),(Y,h ab)之间诱导的微分同胚需满足等距性：φ∗h ab=g ab.16.描述一个类时线汇需要哪些几何量？分别写出这些几何量，说明它们的意义∇a u b=−u a a b+ωab+σab+1θh ab3转动张量ωab是被测粒子O相对于粒子O的瞬时转动速度，扩张标量θ是粒子O相对于粒子O的径向速率，剪切张量σab是粒子O相对于粒子O的无穷小距离发生的剪切形变（从球面变成等体积椭球面的趋势）.1.2广义相对论部分1.广义相对论中什么是时空？时空是一个二元组(M,g ab)，其中M是一个4-维的微分流形（Hausdorﬀ、连通），而g ab 是时空上的度规，号差为(−1,1,1,1)；简言之，广义相对论中的时空是一个4-维的Lorentz 流形.2.简述相对论性时空和经典时空的区别时空是一个流形，经典和相对论时空的区别在于度规的构造：经典时空中时间和空间先验地存在且被分别对待，需引入时间度规和空间度规，而相对论性时空只引入一个度规，不先验地区分时间和空间.3.相对论性的时空中什么是观测者？什么是参考系？观测者是一条类时世界线和观测者决定的固有坐标系；参考系是一个光滑的切矢量场，这个切矢量场的每一条积分曲线都是观测者的世界线，简言之，参考系是观测者的集合.4.相对论性时空中参考系和坐标系的区别和联系参考系是类时线汇，即观测者的集合；坐标系是一条类时世界线上观测者选取的坐标架.对于一个参考系，可以由它构造出一个适配的坐标系，但不是所有的坐标系都可与参考系适配.5.简述相对论中“相对”的理解等效原理是狭义相对论的基础，因此参考系之间有Lorentz变换；但广义相对论的基础，潮汐力实验证实不包含等效原理（1912），因此广义相对论的基础只有一个流形及其度规，没有参考系之间相对性的概念.1问答题46.简述物质场的能动量张量需满足的条件狭义相对论的能动量张量T ab 满足(i)T ab 是一个对称张量，对于时空上任意p 点处未来指向的单位类时矢量u a ，P a =−T a b u b 是4-动量密度(ii)若T ab 在R n 的某个开集为0当且仅当在这个开集上物质场为0；(iii)对称张量满足方程∇a T ab =0，其中∇a 与度规ηab 相容；广义相对论的能动量张量要求相同，只是度规为g ab .7.简述狭义相对论中的Einstein-Poincare 同时性观测者O (τ)在其固有时τ1向O ′(τ′)发出光线，经O ′(τ′)镜面反射回，观测者O (τ)在其固有时τ2收到返回的信号；若O ′(τ′)接收到信号的时间τ′=12(τ1+τ2)，则称两个观测者的时钟是对准的.8.画出闵氏时空中惯性系和匀加速观测者的世界线惯性观测者世界线为直线，可洛伦兹变换为x =const.,t =τ，即垂直于x 轴的直线；匀加速观测者世界线为双曲线g −1=√−t 2+(x 1)2，加速度g 越大越弯曲靠近原点.1问答题59.简述测地偏离方程的物理含义测地线汇(a a=0)的测地偏离方程A a=−R cbd a u c z b u d体现了两个邻近的、“自由运动”的粒子的相对加速度正比于曲率张量.这是广义相对论中的潮汐力，描述了时空的弯曲程度与粒子运动的关系，因此潮汐力能够体现“引力”.10.简述费米沃克移动的含义一个矢量场v沿粒子世界线（切矢量为u）的运动若满足D F Wv a=u b∇b v a+(a a u b−dτu a a b)v b=0，则矢量场v a在基底{(e i)a}上的分量的变化率完全由基底的转动产生，换言之，v a沿着世界线不发生转动.11.什么是惯性观测者若观测者（类时世界线）的加速度a a=0，则称观测者为惯性（测地）观测者.12.简述费米法坐标系和黎曼法坐标系的区别和联系黎曼法坐标系：世界线上p点切矢量的正交基底，被指数映射到黎曼坐标系；引入一条测地线来定标，则其黎曼法坐标正比于p点基底下的分量.费米法坐标系：直接引入过p点的类空测地线来定标，且其切矢量与p点世界线切矢量正交，则在p点足够小邻域内可定义唯一的一条测地线的费米法坐标，其x0为观测者在p点的固有时.黎曼法坐标系的建立只用到指数映射和观测者的正交基底的选取，因此黎曼法坐标系上的Christoﬀel符号只能在世界线上的一点为0；但费米法坐标系可在世界线整体或一段上为0，只要观测者的4-加速度和自转为0.13.简述何谓惯性参考系、刚性参考系、超曲正交参考系对矢量场u a定义的参考系，若a a=0，则为惯性参考系；若ωab=0，则为超曲正交参考系；若θab=0,ωab=0，则为刚性参考系.1问答题614.简述等效原理弯曲时空上任意一点处的局部Lorentz系或测地无自转观测者的固有Lorentz系中的物理规律和狭义相对论中整体Lorentz系中的物理规律一样.15.爱因斯坦场方程及其含义时空的几何和物质场的能动量张量是联系在一起的：G ab=8πGT ab，其中G ab=R ab−12Rg ab是爱因斯坦张量，G是牛顿常数.16.Weyl张量的物理意义Weyl张量描述了时空弯曲程度中不是由物质场的能动量张量局部确定的“整体的”部分.17.简述什么是稳态时空、静态时空、稳态轴对称时空存在一个类时的Killing矢量场的时空，是稳态时空；存在一个类时的超曲面正交的Killing 矢量场的时空，是静态时空；存在一个类时Killing矢量场t a，和一个具有闭合轨道的类空Killing矢量场φa，且满足[t a,φa]=0，此时空是稳态轴对称时空.18.简述光线在太阳附近的偏折太阳这样巨大的星体，施瓦西半径2m很小，因此可以用围绕法求解光子轨道方程d2µdφ2+µ=3mµ2，可以得到若光子从φ=φ0的无穷远入射，则到无穷远出射时φ=π+φ0+4GmLc2，也就是说光线绕太阳行进时发生角度为4GmLc2的偏折.19.简述水星进动太阳这样巨大的星体，施瓦西半径2m很小，因此可以用围绕法求解有质量星体轨道方程d2µdφ2+µ−ml2+3mµ2=0，得到一阶近似µ1(φ)≈ml2{1+σcos[(1−δ)φ]}，得到近日点为φ=0，但近日点2π近似为2π(1+δ)，因此近日点每周期进动2πδ.20.什么是一点的编时过去、编时未来、因果过去、因果未来？p点的编时未来：集合I+(p)={q∈M|存在未来定向的类时曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)= q}.编时过去：集合I−(p)={q∈M|存在过去定向的类时曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)=q}.因果未来：集合J+(p)={q∈M|存在未来定向的因果曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)=q}.因果过去：集合J−(p)={q∈M|存在过去定向的因果曲线γ(τ)使得γ(0)=p,γ(1)=q}.21.简述一个未来不可延者的事件视界其世界线为γ，则他的未来事件视界是其编时过去的边界，他的过去事件视界是其编时未来的边界.22.什么是黑洞？黑洞是一个区域，它的事件视界是渐进无限远平坦区域中所有寿命足够长的观测者所共有的未来事件视界，即B=M−I−(R).1问答题723.Penrose图的基本特征是什么？Penrose时空图是Kruskal时空图的共形等度规映射，将无限远可视化.类时无限远为点，记为i+,i−；类空无限远为点，i0，类光无限远为线，记为I+,I−.闵氏时空中，类时测地线从i−出发，到i+终止，类空测地线的起终点为i0，；类光测地线起终点在I+,I−上，且仍为和竖直方向成45度的直线（可以进行Weyl重新标度）.24.简述Birkhoﬀ定理真空爱因斯坦场方程Rµν=0的球对称解必为静态的，且具有施瓦西解的形式.25.简述星体中可能存在的抗衡引力塌缩的机制高温高压的星体内部存在大量的电子，由于泡利不相容原理，电子气体会产生很强的排斥压力，即简并压，可以远大于热运动产生的压力，是与引力抗衡的主要压强.26.简述Buchdahl定理在广义相对论中，只要ρ(r)≥0,ρ′(r)≤0，任何半径为R的球对称星体的质量都不能超过4R.927.简述Penrose奇异性定理的内容如果时空(M,g ab)包含一个非紧的柯西面和一个闭合的未来俘获面，且对任意的因果矢量场ξa满足R abξaξb≥0，则时空中存在未来不完备的类空测地线.28.线性引力理论中，平面引力波有哪些基本特征？线性引力近似在闵氏时空中描述自由无质量点粒子的运动，自旋为2，以光速传播；用洛伦兹规范、横向无迹规范后极化为2种，为+和-极化模式.2证明题829.简述爱因斯坦引力理论在弱场、低速、弱场且低速等极限下可得到什么样的理论时空度规退化到闵氏度规时，退化为狭义相对论；弱场近似，但不需要低速近似时，退化为线性引力理论；弱场、低速、物质低压强近似下，退化为牛顿引力理论；在牛顿近似下，引入广义相对论一阶修正，称为后牛顿引力理论.30.引力波源中产生引力波的主要部分是什么？质量4-极矩31.简述宇宙学原理每一时刻宇宙的空间在大尺度上是均匀各向同性的.32.简述宇宙奇点的存在性问题由Fridman方程˙H−ka2=−4πGρ，有3¨a=−4πa(ρ+3p)；若物质满足强能量条件ρ+3p≥0，则˙θ≤0，可证明宇宙必然过去存在θ→∞的奇点.2证明题1.外代数的基本关系有：dx∧dy=−dy∧dxdx∧dx=0d(ω∧θ)=dω∧θ+(−1)deg(ω)ω∧dθ微分操作为（例如）：ω=f(x1,x2,x3,x4)dx1∧dx2dω=∂f∂x3dx3∧dx1∧dx2+∂f∂x4dx4∧dx1∧dx22证明题9因此对此题，闭形式为dω=0:ω=xdxx2+y2+ydyx2+y2dω=−2yx(x2+y2)2dy∧dx+−2xy(x2+y2)2dx∧dy=0恰当形式及凑全微分：ω=d[12ln(x2+y2)]，只用到复合函数，无需考虑外代数.2.2-阶的KroneckerDelta张量为：δa,cδb,d−δa,dδb,c和曲率进行缩并，考虑对称性化简，得到结果：2R ab ab=2R4-阶的KroneckerDelta张量为：δa1,d2δa2,d1δb1,c2δb2,c1−δa1,d1δa2,d2δb1,c2δb2,c1−δa1,d2δa2,c2δb1,d1δb2,c1+δa1,c2δa2,d2δb1,d1δb2,c1 +δa1,d1δa2,c2δb1,d2δb2,c1−δa1,c2δa2,d1δb1,d2δb2,c1−δa1,d2δa2,d1δb1,c1δb2,c2+δa1,d1δa2,d2δb1,c1δb2,c2 +δa1,d2δa2,c1δb1,d1δb2,c2−δa1,c1δa2,d2δb1,d1δb2,c2−δa1,d1δa2,c1δb1,d2δb2,c2+δa1,c1δa2,d1δb1,d2δb2,c2 +δa1,d2δa2,c2δb1,c1δb2,d1−δa1,c2δa2,d2δb1,c1δb2,d1−δa1,d2δa2,c1δb1,c2δb2,d1+δa1,c1δa2,d2δb1,c2δb2,d1 +δa1,c2δa2,c1δb1,d2δb2,d1−δa1,c1δa2,c2δb1,d2δb2,d1−δa1,d1δa2,c2δb1,c1δb2,d2+δa1,c2δa2,d1δb1,c1δb2,d2 +δa1,d1δa2,c1δb1,c2δb2,d2−δa1,c1δa2,d1δb1,c2δb2,d2−δa1,c2δa2,c1δb1,d1δb2,d2+δa1,c1δa2,c2δb1,d1δb2,d2和曲率进行缩并，考虑对称性化简，得到结果.其中分别有独立的曲率项带2个不同指标、3个不同指标、4个不同指标：4R ac ac R bd db+16R ac cb R bd ad+4R ab cd R dc ba=4R2−16R a b R b a+4R ab cd R dc ba3.(1)度规相容联络、无挠导数算子满足：∇a g bc=0(∇a∇b−∇b∇a)f=01-阶Ricci恒等式为：R abc d v d=(∇a∇b−∇b∇a)v c2证明题10应用以上各式：(∇a − ∇a)f=[(∇a g bc)∇b∇c+g bc∇a∇b∇c−g bc∇b∇c∇a]f=g bc(∇a∇b∇c−∇b∇c∇a)f=g bc[∇a∇b∇c−∇b∇a∇c+∇b(∇a∇c−∇c∇a)]f=g bc(∇a∇b∇c−∇b∇a∇c)f=g bc(∇a∇b−∇b∇a)∇c f=g bc R abc d∇d f=R ab bd∇d f=−R ab db∇d f=−R ab∇b f(2)对∇c v d的2-阶Ricci恒等式:(∇a∇b−∇b∇a)∇c v d=R abc e∇e v d+R abd e∇c v e应用以上各式：(∇a − ∇a)v d=g bc(∇a∇b∇c−∇b∇c∇a)v d=g bc[∇a∇b∇c−∇b∇a∇c+∇b(∇a∇c−∇c∇a)]v d=g bc(∇a∇b−∇b∇a)∇c v d+g bc∇b(R acd e v e)第一项为：g bc R abd e∇c v e+g bc R abc e∇e v d=R acd e∇c v e+R ab be∇e v d=R acd e∇c v e−R ae∇e v d第二项为：g bc∇b R acd e v e+g bc R acd e∇b v e=∇b R abd e v e+R acd e∇c v e相加得：(∇a − ∇a)v d=2R acd e∇c v e−R ae∇e v d+∇b R abd e v e，将指标替换为答案中的顺序d→c,c→b,e→d.2证明题114.需证明Bianchi 恒等式∇[a R bc ]de ，由Ricci 恒等式：(∇a ∇b −∇b ∇a )∇c ωd =R abc e ∇e ωd +R abd e ∇c ωe∇a [(∇b ∇c −∇c ∇b )ωd ]=∇a (R bcd e ωe )=ωe ∇a R bcd e +R bcd e ∇a ωe 对两式各做[a,b,c]的轮换，显然(∇[a ∇b ∇c ]−∇[b ∇a ∇c ])ωd =(∇[a ∇b ∇c ]−∇[a ∇c ∇b ])ωd ，因此上面右式的两个轮换也相等：R [abc ]e ∇e ωd +R [ab |d |e ∇c ]ωe =ωe ∇[a R bc ]d e +R [bc |d |e ∇a ]ωe由外微分d 2ω=0，可得∇[a ∇b ωc ]=0，故对∀ωd 有：2∇[a ∇b ωc ]=∇[a ∇b ωc ]−∇[b ∇a ωc ]=R [abc ]d ωd =0因此前面式子的左边第一项为0，而两边第二项因为轮换而相等，于是剩下：∀ωe ωe ∇[a R bc ]d e =0再降下e 指标，得到Bianchi 恒等式∇[a R bc ]de =0.展开恒等式有：∇a R bcde +∇b R cade +∇c R abde =0乘上g bd 做缩并，有：0=∇a R bc b e +∇b R cabe +∇c R ab b e=∇a R cbe b +∇b R cabe −∇c R abe b=∇a R ce −∇c R ae +∇b R ca b e再乘上g ce 做缩并，有：0=∇a R −∇e R ae +∇b R ca be=∇a R −∇e R a e −∇b R a b=∇a R −2∇b R a b于是有：∇b R a b −12∇a R =∇b (R ab −12Rg ab )=∇b G ab =05.由于v c ∇c (g ab v a v b )=g ab v a v c ∇c v b +g ab v b v c ∇c v a +v a v b v c ∇c g ab ，度规满足∇c g ab =0，测地线满足v c ∇c v a =0，因此显然v c ∇c ∥v ∥2=0.弧长定义为L =∫λq λp ds ∥v ∥，∥v ∥沿测地线为常数，得证.3计算题126.(1)Killing场满足L K g ab=∇a K b+∇b K a=0，能动量张量是对称张量，且满足∇a T ab=0，因此：∇a P a=∇a(T ab K b)=K b∇a T ab+T ab∇a K b=12(T ab+T ba)∇a K b=12T ab(∇a K b+∇b K a)=0(2)共形Killing场L K g ab=∇a K b+∇b K a=λg ab，因此：∇a P a=T ab∇a K b=12T ab(∇a K b+∇b K a)=λ2T ab g ab=0故有T ab g ab=0.7.能动张量为T ab=(ε+P)U a U b+P g ab，由于度规相容，缩并后仍有∇c g ca=0，有：0=∇c T ca=∇c[(ε+P)U c U a+P g ca]=U c∇c(ε+P)U a+(ε+P)∇c U c U a+(ε+P)a a+∇a P 使用U a U a=−1,a a U a=0，投影到U a；0=∇c T ca U a=−U c∇c(ε+P)−(ε+P)∇c U c+U a∇a P=−U c∇cε−(ε+P)∇c U c故L Uε+(ε+P)∇c U c=0使用h a b=g a b+U a U b,U a h a b=0，投影到h a b：0=∇c T ca h a b=(ε+P)a a(g a b+U a U b)+∇a P(g a b+U a U b)=(ε+P)a b+∇b P+U a∇a P U b降指标即为：(ε+P)a b+∇b P+(L U P)U b=03计算题1.完全用Mathematica计算，广义相对论常用程序包的代码如下(其中Weyl张量的代码里需改为DownRiemannCurvature)：3计算题13此题度规只有非对角分量，对半分成两个非对角元.使用此程序包，输入变量：({0,−12e 2ϕ(u,v )}{−12e 2ϕ(u,v ),0}u v)使用ChrisoﬀelSym (z )，得到Christoﬀel 符号；使用RiemannCurvature (z )，得到R abc d 的结果：3计算题14使用DownRiemanncurvature(z)，得到全下指标R abcd的结果；使用RicciT(z)，得到Ricci 张量的结果；使用RicciS(z)，得到Ricci标量的结果：2.使用MMA计算引力辐射(等质量双星系统)：星体1x=Rcos(Ωt),y=Rsin(Ωt),z=0星体2x=−Rcos(Ωt),y=−Rsin(Ωt),z=0(1)计算4-极矩†ij的代码如下：PolarmomentI[z_]:=Module[{m,x,r,l},{m,x,r}=z;l=Length[m];res=Table[Sum[m[[a]]∗(x[[a,i]]∗x[[a,j]]−(1/3)∗(r[[a]])∧2∗KroneckerDelta[i,j]),{a,1,l}],{i,1,3},{j,1,3}];FullSimplify[res]]代入参数{{M,M},{{R Cos[tω],R Sin[tω],0},{−R Cos[tω],−R Sin[tω],0}},{R,R}}，得到结3计算题15果：13MR2(3cos(2tω)+1)MR2sin(2tω)0MR2sin(2tω)13MR2(1−3cos(2tω))000−2MR23(2)计算†T T ij分量的代码如下：PolarmomentP[z_]:=Module[{x,dr,res},{x,dr}=z;res=Table[KroneckerDelta[i,j]−(x[[i]]∗x[[j]]/(dr)∧2),{i,1,3},{j,1,3}];FullSimplify[res]] PolarmomentITT[z_]:=Module[{x,xr,m,r,dr,P,I,res},{x,xr,m,r,dr}=z;I=PolarmomentI[{m,x,r}];P=PolarmomentP[{xr,dr}];res=Table[Sum[(P[[i,l]]∗P[[j,m]]−(1/2)∗P[[i,j]]∗P[[l,m]])∗I[[l,m]],{l,1,3},{m,1,3}],{i,1,3},{j,1,3}];FullSimplify[res]]代入参数z={{{R Cos[tω],R Sin[tω],0},{−R Cos[tω],−R Sin[tω],0}},{x1,x2,x3},{M,M},{R,R},r}，做中间计算：y=PolarmomentITT[z]F ullSimplify[D[y,t,2]]得到¨†T T ij，里面含场矢量的分量的项特别多，现在只取一阶量：¨†T Txx=−¨†T T yy=−4MR2Ω2cos(2Ωt)¨†T Txy=−¨†T T yx=−4MR2Ω2sin(2Ωt)h T T xx =−h T Tyy=−8MR2rΩ2cos(2Ωt)h T T xy =−h T Tyx=−8MR2rΩ2sin(2Ωt)(3)计算辐射功率的代码为：p={{M,M},{{R Cos[tω],R Sin[tω],0},{−R Cos[tω],−R Sin[tω],0}},{R,R}}u=PolarmomentI[p]Intin=Sum[D[u,{t,3}][[i,j]]∗D[u,{t,3}][[i,j]],{i,1,3},{j,1,3}]Int=(1/(5∗τ))Integrate[Intin,{t,0,τ}]得到辐射功率为1285M2R4Ω6。

广义相对论题目

广义相对论题目
广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的一种物理学理论，它描述了引力的本质和规律。

以下是一些关于广义相对论的题目：
1. 广义相对论的两条基本原理是什么？
2. 广义相对性原理和等效原理的区别和联系是什么？
3. 爱因斯坦提出的三大预言分别是什么？
4. 光线在引力场中的偏折是如何解释的？
5. 什么是引力红移现象？
6. 广义相对论如何解释水星轨道近日点的进动？
7. 什么是黑洞？广义相对论如何描述黑洞？
8. 广义相对论如何解释宇宙的膨胀？
9. 广义相对论与量子力学的矛盾在哪里？如何解决这一矛
盾？
10. 广义相对论在现代物理学和天文学中的应用有哪些？
以上题目涵盖了广义相对论的基本原理、重要预言、经典应用和最新发展等方面。

解答这些问题可以帮助我们更好地理解和掌握广义相对论。

广义相对论习题

《广义相对论基础》第一次作业答案一、解释下列概念：等效原理；广义相对性原理等效原理：弱等效原理：引力场与惯性场的力学效应是局域不可分辨的。

强等效原理：引力场与惯性场的一切物理效应都是局域不可分辨的。

广义相对性原理：一切参考系都是平权的，即一切物理规律在任何坐标系下形式都不变，即具有广义协变性。

二、在坐标变换下，联络的变换公式是：,~~~~~~~2ρτνμρρτνσμαραστμνx x x x x x x x x x x ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂Γ=Γ 证明挠率λμν][Γ（即联络的反称部分）是一个张量。

证明：()[]12λλλμνμννμΓ=Γ-Γ ()221122x x x x x x x x x x x x x x x xασλρλρλρρασσαμνρμνρνμρ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=Γ-Γ+- ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭[]x x x x x xασλρασμνρ∂∂∂=Γ∂∂∂，因此，挠率[]λμνΓ是个张量。

三、已知22τνμμνd dx dx g ds -==，从变分原理0=⎰BA ds δ或0)(2=⎰BAd d d λλτδ求出短程线方程。

解：()1ds g dx dx αβαβ=，引入标量性参量λ，则()12ds g x x d αβαβλ=，其中dx x d ααλ=。

故0BALd δλ=⎰，其中()12L g x xαβαβ=。

由拉格朗日方程：0L d L x d x ννλ∂∂-=∂∂，得到()()121210g g x g xd x x x d g x x g x x αβαβανβναβναβαβαβαβλ∂+-=∂。

当λ选为s 时，有：1dx dx dx dx g x x g g d d ds dsαβαβαβαβαβαβλλ===，此时，拉格朗日方程为(),102dg x x g x dsαβααβναν-=， 2,,2102d x dx dxg g g ds ds ds ααβανανβαβν⎛⎫+-= ⎪⎝⎭。

第3章广义相对论练习册答案

x x vt 1 (v / c)2
t t (v/c 2 )x 1 (v / c)2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

广义相对论题目

广义相对论题目
摘要：
1.广义相对论的背景与意义
2.广义相对论的基本原理
3.广义相对论的实验验证
4.广义相对论的应用领域
正文：
广义相对论是爱因斯坦在20 世纪初提出的一种描述引力现象的理论，它具有重要的物理学意义和深远的影响。

广义相对论的基本原理是等效原理和测地线原理，这两个原理构成了广义相对论的基石。

广义相对论的基本原理之一是等效原理，它认为在局部区域，无法通过实验区分引力和加速度产生的效果。

另一个原理是测地线原理，它指出在弯曲的时空中，物体的运动轨迹是测地线。

基于这两个原理，爱因斯坦提出了广义相对论的引力理论，用度量张量来描述时空的弯曲程度，从而解释了引力现象。

广义相对论的实验验证主要依赖于观测和实验。

例如，广义相对论预测了引力弯光现象，这一预测在1919 年的日食期间得到了实验验证。

此外，广义相对论还预测了引力红移现象，这一预测在实验室和天文观测中得到了验证。

这些实验验证为广义相对论的正确性提供了有力的证据。

广义相对论在多个应用领域发挥着重要作用。

例如，在导航系统中，广义相对论的修正是必不可少的，因为地球的引力场并非均匀，需要考虑引力场的弯曲效应。

此外，广义相对论还为黑洞、宇宙学等领域的研究提供了理论基
础。

总之，广义相对论是一种描述引力现象的理论，它基于等效原理和测地线原理，通过度量张量描述时空的弯曲程度。

广义相对论复习题（1）

广义相对论复习题一、填空1、（1分）用来说明某一观测者在他的局域参考系中所测到的物理量与张量性物理理论中所得出的物理量之间的关系的理论就是观测量的理论。

2、（1分）一个局域参考系就是指一个按确定方式在时空中运动的观测者所携带的局域钢架和时钟。

3、（2分）时间和空间投影算符分别定义为νμμνπu u -=、νμμνμνu u g h +=。

4、（1分）物理的坐标系意指一个物理的观测者可以相对这坐标系局域静止。

5、（1分）0=μu 、0ˆˆ=Ωba ，这样的参考系叫费米平动参考系。

6、（1分）四轴系作为观测者的局域参考系，它的基矢的变率是否为零正是这局域参考系是否为惯性系的标志。

7、（1分）在广义相对论中，通常不能建立全局性的统一时间，但如果度规有性质00≡i g ，那么坐标时不仅可以对准而且已经对准了。

8、（1分）在广义相对论中，空间距离的概念对相邻点有确切的定义，对有限间距点通常没有确切的定义。

0这时有限曲线的长度可由积分得到确定值。

9、（2分）正交归一条件和完备性条件是四轴系的最基本的性质。

10、（2分）n 维仿射空间坐标变换的变换矩阵与逆变换矩阵有关系μννααμδ=∂∂∂∂x x x x ~ 、αββμμαδ=∂∂∂∂x x x x ~~。

11、（4分）仿射空间的张量分为逆变张量、协变张量、混合张量。

一个数组是否构成张量在于它们在坐标变换下的行为。

12、（1分）n 维仿射空间中，曲线上任意相邻两点的切矢量都相互平行的曲线，叫测地线。

13、（1分）自由粒子在引力场中的运动就是沿着测地线运动。

14、（2分）曲率与挠率一起，构成了刻画空间弯曲情况的基本张量。

如果在空间某区域V 内，曲率张量和挠率张量都恒等于零，则V 内的测地线是直线，称V 内的空间是平坦的。

15、（2分）在仿射空间中引入度规场和空间相邻两点的不变距离，就构成了黎曼空间。

黎曼空间相邻两点（坐标差为μdx ）的距离为ds ，则=2ds νμμνdx dx g 。

鲁科版高中物理选修3-46.3 广义相对论初步同步练习.docx

高中物理学习材料桑水制作6.3 广义相对论初步同步练习1．惯性质量m i和引力质量m g的关系是（）A.m i=m gB.m i>m gC.m i<m gD.无法确定答案：A2．宇宙大爆炸被认为是什么的开始（）A.空间B.时间C.时间和空间D.都不是答案：C3．你站在一条长木杆AB的中央附近，并且看到木杆落在地上时是两头同时着地．所以，你认为这木杆是平着落到了地上．而此时飞飞小姐正以接近光速的速度由A到B从木杆前面掠过，她看到B端比A端先落到地，她的看法是( )①对的②错的③她感觉木杆的长度比你看到的要短④她感觉木杆的长度比你看到的要长A．①②B．③④C．①③D．②④解析：选C.根据相对论，在与杆相对静止的参考系中观察到的同时发生的事件，在与杆相对运动的参考系中观察不再是同时发生的，且观察到沿运动方向上靠前端的事件先发生，所以她的看法是正确的．由相对论“尺缩效应”可知③也是正确的．4．以下说法中，错误的是( )①矮星表面的引力很强②在引力场弱的地方比引力场强的地方，时钟走得快些③在引力场越弱的地方，物体长度越长④在引力场强的地方，光谱线向绿端偏移A．①②B．③④C．①③D．②④解析：选B.因矮星体积很小，质量却不小，所以矮星表面引力很强，①对；根据广义相对论的结论，引力场越强，时间进程越慢，在引力垂直方向上长度变短，而在引力方向上没有这种效应，所以，②对③错；在引力场强的地方，光谱线向红端偏移，称为引力红移，④错．5． 1917年,爱因斯坦用广义相对论引力场方程对宇宙进行了考察,建立了有限无边的________.后来人们又建立的_________获得了一些观测事实的支持,已被大多数科学家所接受.答案：静态宇宙模型“大爆炸”宇宙模型6．引力的存在对时间的影响是:在引力场中,时钟_________,引力场越强,时钟变慢_________.引力的存在对空间的影响是:在引力方向上,空间间隔_________,在与引力垂直的方向上,空间间隔_________,发生了_________,引力越强的地方,这种效应_________.答案：变慢越甚不变变短弯曲越明显7．“双生子佯谬”讲的是这样一件事：假设在地球上有一对孪生兄弟，哥哥乘宇宙飞船遨游太空，弟弟留在地球上，根据相对论中“时钟变慢效应”，有人认为，当哥哥返回地球，应比弟弟年轻.还有人认为，哥哥与宇宙飞船相对静止，弟弟随地球一起遨游太空，同样根据“时钟变慢效应”，弟弟应比哥哥年轻.那么,究竟谁更年轻?为什么?解析:在狭义相对论中,时间延缓效应是相对的;在广义相对论中,情况就不一样了,在引力场中,时钟变慢,时间的变慢是受引力场的影响,故事中的哥哥乘坐宇宙飞船离开地球时,要做加速运动,使自己获得某一速度后才做匀速运动.他想要返回地球与弟弟相遇,必须首先将自己的飞船减速,到达某一星球,然后调头做加速运动,在到达地球之前,又得做减速运动.飞船经历了4个加速或减速的过程,飞船不再是惯性系了.留在地球上的弟弟却没有经历这4个过程.哥哥和弟弟经历的物理过程不相同,他们不能处于“平等”地位.在这4个过程中,哥哥处在加速参考系,在加速参考系中出现的惯性力场等效于引力场,时钟在引力场中“走时变慢”.考虑到飞船中出现了引力场,无论是从地球上弟弟的观点出发,还是从飞船中哥哥的观点出发,都会得出“遨游太空的哥哥年轻”的答案.答案：哥哥年轻8．举例说明雷达回波延迟现象,并解释其中的原理.解析:例如从地球上发出的雷达信号,经太阳附近到达某一星球后再反射回地球,传播的时间会有所延迟.根据广义相对论,光线在引力场中会发生弯曲,太阳等大质量的物体附近的引力场非常强,当光经过它们附近时发生弯曲,可以看成光多走了一段路程,或等效为光速“变慢”，所以接收到的反射波在时间上有延迟现象.。

广义相对论题目

广义相对论题目
（最新版）
目录
1.广义相对论的定义与背景
2.广义相对论的基本原理
3.广义相对论的重要应用
4.我国在广义相对论领域的研究现状与成果
正文
广义相对论是爱因斯坦在 20 世纪初提出的一种描述引力的理论，它将引力从一种神秘的力量转变为一种几何效应。

广义相对论的基本思想是，物质和能量的存在会使得周围的时空产生弯曲，而其他物体在这种弯曲的时空中的运动会发生改变，这种改变就表现为引力。

广义相对论的基本原理包括等效原理和弯曲时空原理。

等效原理是指，在局部区域，无法通过实验区分引力和加速运动的效应。

弯曲时空原理则是指，物体在弯曲时空中的运动会遵循测地线，即最短路径。

广义相对论的重要应用包括 GPS 导航系统、宇宙学和大规模结构研
究等。

GPS 导航系统需要考虑广义相对论的效应，因为在地球表面，GPS 信号需要穿过弯曲的时空。

在宇宙学和大规模结构研究中，广义相对论提供了描述宇宙大尺度结构的有力工具。

我国在广义相对论领域的研究也取得了显著的成果。

我国科学家在引力波探测、黑洞物理、宇宙学等领域都做出了重要的贡献。

例如，我国参与的国际合作项目 LIGO 和 VIRGO 成功地探测到了引力波，这是广义相对论的重要预言。

此外，我国科学家还在黑洞物理和宇宙学等领域发表了大量的研究论文，推动了广义相对论的研究和发展。

总的来说，广义相对论是一种描述引力的重要理论，它不仅改变了我
们对引力的理解，也为科学技术的发展带来了深远的影响。

苏教版高中物理 4 广义相对论简介课后练习、课时练习

一、单选题(选择题)1. 关于相对论，下列说法正确的是()A．狭义相对论认为，如果物体在地面上静止不动，任何人在任何参考系里面测出物体的长度都是一样的B．狭义相对论认为，对于一切物理规律，所有的参考系都是平权的C．狭义相对论认为相对于观察者静止的钟走得是最慢的D．广义相对论认为一个做匀加速运动的参考系和一个均匀的引力场是等效的2. 下列不属于狭义相对论结论的是（）A．尺缩效应B．时空弯曲C．时钟延缓D．质量变大3. 下列说法不正确的是（）A．用透明的标准样板和单色光检查平面的平整度是利用了光的干涉B．玻璃中的气泡看起来特别明亮是光的衍射现象C．光的偏振现象证实了光是横波．D．不论光源与观察者做怎样的相对运动，光速都是一样的4. 下列说法正确的是A．伽利略发现了行星运动的规律B．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积很小的球体C．最早将实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来，从而发展了人类的科学思维方式和科学研究方法的科学家是牛顿D．爱因斯坦是最先预言了引力波的科学家5. 科学家们为人类文明的发展做出了伟大贡献。

以下说法符合物理学史的是（）A．亚里士多德提出了相对论B．伽利略发现了电流的热效应C．牛顿建立了万有引力定律D．爱因斯坦建立了行星运动定律6. 下列与物理相关的叙述错误的是（）A．卡文迪许采用“微小量放大法”测出万有引力常量，被称为“第一个能称出地球质量的人”B．海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C．开普勒通过对第谷大量观测数据的深入研究，总结出了行星运动的三大定律D．在前进速度为的列车上向后发射一束光，在地面上的观察者看来这束光的速度是7. 下列说法不正确的是（）A．分别用红光和紫光在同一装置上做衍射实验，红光条纹间距大于紫光条纹间距B．由相对论知：，所以回旋加速器无法将粒子加速到光速C．在地面附近有一高速飞过的火箭，地面上的人观察到火箭变短了，火箭上的时间进程变慢了D．根据广义相对论原理力学规律在不同参考系中是不同的8. 若宇宙飞船是全封闭的，航天员与外界没有任何联系，当他发现飞船内没有支撑的物体都以某一加速度落向舱底时，他作出的如下判断中，正确的是（）A．此飞船一定是停在某个星球的表面上B．此飞船一定是正在远离任何天体的空间加速飞行C．此飞船可能是停在某个星球的表面上，也可能是正在远离任何天体的空间加速飞行D．此飞船可能是在远离任何天体的空间中匀速飞行9. 2022年10月4日北京时间17时49分许，瑞典皇家科学院决定将2022年的诺贝尔物理学奖授予三位物理学家，以表彰他们“进行了纠缠光子的实验，证伪贝尔不等式，并开创了量子信息科学”。

[考试]广义相对论习题

名词解释：——1）惯性系疑难 ——由于引力作用的普遍存在，任一物质的参考系总有加速度，因而总不会是真正的惯性系。

在表述物理规律时惯性系占有特殊的优越地位，但自然界却不存在一个真正的惯性系。

2）广义相对性原理——所有参考系都是等价的（一切参考系都是平权的）。

3）史瓦西半径 ——史瓦西半径是任何具重力的质量之临界半径。

在物理学和天文学中，尤其在万有引力理论、广义相对论中它是一个非常重要的概念。

1916年卡尔·史瓦西首次发现了史瓦西半径的存在，他发现这个半径是一个球状对称、不自转的物体的重力场的精确解。

一个物体的史瓦西半径与其质量成正比。

太阳的史瓦西半径约为3千米，地球的史瓦西半径只有约9毫米。

小于其史瓦西半径的物体被称为黑洞。

在不自转的黑洞上，史瓦西半径所形成的球面组成一个视界。

（自转的黑洞的情况稍许不同。

）光和粒子均无法逃离这个球面。

银河中心的超大质量黑洞的史瓦西半径约为780万千米。

一个平均密度等于临界密度的球体的史瓦西半径等于我们的可观察宇宙的半径公式22Gmr c=4）爱因斯坦约定——对重复指标自动求和。

5）一阶逆（协）变张量—— 'x T T T T xαμμμαμ∂''→⇒=∂ （n 1个分量）6）二阶逆（协）变张量——''x x T T T T x xαβμνμνμναβμν∂∂''→⇒=∂∂ （n 2个分量）1）广义相对论为什么要使用张量方程？——将物理规律表达为张量方程，使它在任何参考系下具有相同的形式，从而满足广义相对性原理。

2）反称张量的性质？——(a)当任意两个指标取同样值时，张量的该分量为零。

(b)n维空间中最高阶的反称张量是n阶的，这张量只有一个独立分量。

(c)n维空间中的n-1阶反称张量只有1n个独立分量。

3）仿射联络的坐标变换公式？它是张量吗？4）仿射联络的性质？5）一阶逆（协）变张量协变微商的公式？;,T T T μμααλλμλ=+Γ;,T T T λμνμνμνλ=-Γ回答问题：——1、黎曼空间中的测地线方程？0du u u dsμμαβαβ+Γ=2、曲率张量,,()R μμμμλμλανταντατνλτανλνατ≡-Γ-Γ+ΓΓ-ΓΓ挠率[]1()2λλλμνμννμΓ≡Γ-Γ3、什么是黎曼空间？度规张量的意义是什么？——在仿射空间中引入度规场和不变距离，就构成了黎曼空间。

2020高中物理第十五章相对论简介第节第4节广义相对论简介练习(含解析)-4

广义相对论简介1．著名的科学家爱因斯坦在物理学的发展过程中做出了不可磨灭的贡献,下列不是他做出的贡献是（）A．发现了黑洞的存在B．创造狭义相对论C．提出了广义相对论D．提出质量和能量的关系解析:黑洞并不是爱因斯坦发现的．答案：A2．（多选）关于广义相对论和狭义相对论之间的关系，下列说法不正确的是（）A．它们之间没有任何联系B．有了广义相对论，狭义相对论就没有存在的必要了C．狭义相对论能够解决时空弯曲问题D．广义相对论能够解决时空弯曲问题解析：狭义相对论之所以称为狭义相对论，就是只能是对惯性参考系来讲的，时空弯曲问题是有引力存在的问题，需要用广义相对论进行解决．答案：ABC3．（多选)一个物体静止时质量为m0，能量为E0；速度为v时，质量为m,能量为E，动能为E k.下列说法正确的是( ）A．物体速度为v时能量E＝mc2B．物体速度为v时动能E k＝错误!mc2C．物体速度为v时的动能E k＝错误!mv2D．物体速度为v时的动能E k＝（m－m0)c2解析：由质能关系式E＝mc2知，物体静止时，能量为E0＝m0c2，当速度为v时，物体能量为E＝mc2，物体的动能为E k＝E－E0＝(m －m0）c2.答案：AD4．（多选)下列说法正确的是( ）A．万有引力可以用狭义相对论做出正确的解释B．电磁力可以用狭义相对论做出正确的解释C．狭义相对论是惯性参考系之间的理论D．万有引力理论无法纳入狭义相对论的框架解析：狭义相对论理论认为电磁相互作用的传播速度c是自然界中速度的极限，而星球的运动不能够超过光速影响到远处的另一个星球，所以万有引力理论无法纳入狭义相对论，故选项A错误，B、D正确;狭义相对论是惯性参考系之间的理论，故选项C正确．答案:BCD5．如果宇航员驾驶一艘飞船以接近光速的速度朝某一星体飞行，宇航员是否可以根据下述变化发觉自己在运动( ) A．他的质量在减少B．他的心脏跳动在慢下来C．他永远不能由自身的变化知道自己是否在运动D．他在变大解析：宇航员以飞船为惯性系，其相对于惯性系的速度始终为零，因此他不可能发现自身的变化,A、B、D错误，C正确．答案：C6．（多选）关于公式m＝错误!，下列说法中正确的是（）A．式中的m是物体以速度v运动时的质量B．式中的m0是物体以速度v运动时的质量C．当物体运动速度v＞0时，物体的质量m＞m0,即物体的质量改变了，故经典力学不适用D．当物体以较小的速度运动时,质量变化十分微小，经典力学理论仍然适用,只有当物体以接近光速运动时，质量变化才明显，故经典力学适用于低速运动，而不适用于高速运动解析：公式中的m0是物体的静质量；在运动速度v远小于光速时,经典力学依然成立,故选项B、C错误，A、D正确．答案：AD7．已知电子的静止能量为0。

高中物理 15.4广义相对论简介习题课课件新人教版选修34

）
AD
A．公式E=mC2也可以用来计算一个手电筒发出一定能量光时所丢失的质量
B．公式E＝mC2适用于核反应堆中的核能，不适用于电池中的化学能
C．只适用于计算核反应堆中为了产生一定的能量所需消耗的质量
D．公式E＝mC2适用于任何类型的能量。
4．在地面上观测一个物体，由于物体以一定
速度运动，发现该物体质量比静止时的质量增加了10%，求在地面上观测时，此物
(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少?
t1
L u
2.25 107
s
(2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是
多少?
t2
t1 3.75107 1 u2 c2
8．太阳在不断地辐射能量，因而其质量也不断地减少。若太阳每秒钟辐射的总能量为 4×1026J，试计算太阳在一秒内失去的质量。估算5000年内总共减少了多少质量?并与太阳的总质量2×1027t比较之。
2．如果你以接近于光速的速度朝一星体飞行，你是否可以根据下述变化发觉自己是在
运动（ D ）
A．你的质量在增加
B．你的心脏跳动在慢下来
C．你在变小
D．以上三种变化同时发生
E．你永远不能由自身的变化知道你的速度
3．用著名的公式E=mc2(C是光速)，可以计
算核反应堆中为了产生一定的能量所需消耗
的质量。下面的哪种说法是正确的？（
t t 1 u2 c2 7.5109 s
6．在地面上有一长l00m的跑道，运动员从起点跑到终点，用时l0s，现从以0.8C速度沿跑道向前飞行的飞船中观察：跑道有多长?
l l0
u2 1 100
c2
1 0.8c 2 60m c

广义相对论检测题

第4节相对论的速度变换定律质量和能量的关系第5节广义相对论点滴1．相对论的速度变换公式：以速度u相对于参考系S运动的参考系S′中，一物体沿与u相同方向以速率v′运动时，在参考系S中，它的速率为________________．2．物体的质量m与其蕴含的能量E之间的关系是：________.由此可见，物体质量________，其蕴含的能量________．质量与能量成________，所以质能方程又可写成________．3．相对论质量：物体以速度v运动时的质量m和它静止时的质量m0之间有如下的关系________________．4．广义相对论的两个基本原理(1)广义相对性原理：在任何参考系中物理规律都是____________．(2)等效原理：一个不受引力作用的加速度系统跟一个受引力作用的惯性系统是等效的．5．广义相对论的几个结论：(1)光在引力场中传播时，将会发生________，而不再是直线传播．(2)引力场使光波发生________．(3)引力场中时间会__________，引力越强，时钟走得越慢．(4)有质量的物质存在加速度时，会向外辐射出____________．6．在高速运动的火车上，设车对地面的速度为v，车上的人以速度u′沿着火车前进的方向相对火车运动，那么他相对地面的速度u与u′＋v的关系是()A．u＝u′＋v B．u<u′＋vC．u>u′＋v D．以上均不正确7．以下说法中错误的是()A．矮星表面的引力很强B．在引力场弱的地方比引力场强的地方，时钟走得快些C．引力场越弱的地方，物体的长度越短D．在引力场强的地方，光谱线向绿端偏移概念规律练知识点一相对论速度变换公式的应用1．若一宇宙飞船对地以速度v运动，宇航员在飞船内沿同方向测得光速为c，问在地上观察者看来，光速应为v＋c吗？2．一粒子以0.05c的速率相对实验室参考系运动．此粒子衰变时发射一个电子，电子相对于粒子的速度为0.8c，电子的衰变方向与粒子运动方向相同．求电子相对于实验室参考系的速度．知识点二相对论质量3．人造卫星以第一宇宙速度(约8 km/s)运动，问它的质量和静质量的比值是多少？4．一观察者测出电子质量为2m0，求电子的速度是多少？(m0为电子静止时的质量)知识点三质能方程5．一个运动物体的总能量为E，E中是否考虑了物体的动能？6．一个电子被电压为106 V的电场加速后，其质量为多少？速率为多大？知识点四了解广义相对论的原理7．假如宇宙飞船是全封闭的，航天员与外界没有任何联系．但是航天员观察到，飞船内没有支撑的物体都以某一加速度落向舱底．请分析这些物体运动的原因及由此得到的结论．8．在外层空间的宇宙飞船上，如果你正在一个以加速度g＝9.8 m/s2向头顶方向运动的电梯中，这时，你举起一个小球自由地丢下，请说明小球是做自由落体运动．方法技巧练巧用ΔE＝Δmc2求质量的变化量9．现在有一个静止的电子，被电压为107V的电场加速后，质量增大了多少？其质量为多少？(m0＝9.1×10－31 kg，c＝3.0×108 m/s)10．已知太阳内部进行激烈的热核反应，每秒钟辐射的能量为3.8×1026J，则可算出()A．太阳的质量约为4.2×106 tB．太阳的质量约为8.4×106 tC．太阳的质量每秒钟减小约为4.2×106 tD．太阳的质量每秒钟减小约为8.4×106 t1．关于广义相对论和狭义相对论之间的关系．下列说法正确的是()A．它们之间没有任何联系B．有了广义相对论，狭义相对论就没有存在的必要了C．狭义相对论能够解决时空弯曲问题D．为了解决狭义相对论中的参考系问题提出了广义相对论2．下面的说法中正确的是()A．在不同的参考系中观察，真空中的光速都是相同的B．真空中的光速是速度的极限C．空间和时间与物质的运动状态有关D．牛顿力学是相对论力学在v≪c时的特例3．根据爱因斯坦的质能方程，可以说明()A．任何核反应，只要伴随能量的产生，则反应前后各物质的质量和一定不相等B．太阳不断地向外辐射能量，因而太阳的总质量一定不断减小C．虽然太阳不断地向外辐射能量，但它的总质量是不会改变的D．若地球从太阳获得的能量大于地球向外辐射的能量，则地球的质量将不断增大4．下列说法中，正确的是()A．由于太阳引力场的影响，我们有可能看到太阳后面的恒星B．强引力作用可使光谱线向红端偏移C ．引力场越强的位置，时间进程越慢D ．由于物质的存在，实际的空间是弯曲的5．黑洞是质量非常大的天体，由于质量很大，引起了其周围的时空弯曲，从地球上观察，我们看到漆黑一片，那么关于黑洞，你认为正确的是( )A ．内部也是漆黑一片，没有任何光B ．内部光由于引力的作用发生弯曲，不能从黑洞中射出C ．内部应该是很亮的D ．如果有一个小的星体经过黑洞，将会被吸引进去6．在引力可以忽略的空间有一艘宇宙飞船在做匀加速直线运动，一束光垂直于运动方向在飞船内传播，下列说法中正确的是( )A ．船外静止的观察者看到这束光是沿直线传播的B ．船外静止的观察者看到这束光是沿曲线传播的C ．航天员以飞船为参考系看到这束光是沿直线传播的D ．航天员以飞船为参考系看到这束光是沿曲线传播的 7．下列说法中正确的是( ) A ．物质的引力使光线弯曲B ．光线弯曲的原因是由于介质不均匀而非引力作用C ．在强引力的星球附近，时间进程会变慢D ．广义相对论可以解释引力红移现象8.地球上一观察者，看见一飞船A 以速度2.5×108 m/s 从他身边飞过，另一飞船B 以速度2.0×108 m/s 跟随A 飞行．求：(1)A 上的乘客看到B 的相对速度； (2)B 上的乘客看到A 的相对速度．9．一物体静止时质量为m ，当分别以v 1＝7.8 km/s 和v 2＝0.8c 的速度飞行时，质量分别是多少？10．你能否根据质能方程推导动能的表达式E k ＝12m v 2?11．广义相对论得出了哪些重要的结论？第4节相对论的速度变换定律质量和能量的关系第5节广义相对论点滴课前预习练 1．v ＝u ＋v ′1＋uv ′c22．E ＝mc 2 越大越多正比 ΔE ＝Δmc 2 3．m ＝m 01－v 2c24．(1)一样的5．(1)偏折 (2)频移 (3)延缓 (4)引力波 6．B 7．CD 课堂探究练1．在地面的观察者看来，光速是c 不是v ＋c.解析由相对论速度变换公式u ＝u ′＋v 1＋u ′vc 2，求得光对地速度u ＝v ＋c 1＋vc c 2＝c v ＋cv ＋c ＝c.点评若仍然利用经典相对性原理解答此类题目，会导致错误结论．在物体的运动速度与光速可比拟时，要用相对论速度变换公式进行计算．2．0.817c解析已知v ＝0.05c ，u x ′＝0.8c. 由相对论速度叠加公式得 u x ＝u x ′＋v 1＋u x ′v c 2＝(u x ′＋v )c 2c 2＋u x ′vu x ＝(0.8c ＋0.05c )c 2c 2＋0.8c ×0.05c≈0.817c.点评对于微观、高速运动的物体，其速度的叠加不再按照宏观运动规律，而是遵守相对论速度变换公式．3．1.000 000 000 35解析 c ＝3×108m/s ，v c ＝8×1033×108，v 2c2≈7.1×10－10. 由m ＝m 01－⎝⎛⎭⎫v c 2，得mm 0＝1.000 000 000 35. 点评根据m ＝m 01－(vc)2直接计算mm 0不需先算m.4．0.866c解析 m ＝2m 0，代入公式m ＝m 01－(vc)2，可得2m 0＝m 01－(vc)2，解得v ＝32c ＝0.866c. 点评在v c 时，可以认为质量是不变的，但当v 接近光速时，m 的变化一定要考虑．5．总能量E 中已经计入了物体的动能．解析总能量E ＝E 0＋Ek ，E 0为静质能，实际上包括分子的动能和势能、化学能、电磁能、结合能等．E 0＝m 0c 2，Ek 为动能，Ek ＝m 0c2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－v 2c2－1，E ＝E 0＋Ek ＝mc 2.点评有人根据E ＝mc 2得出结论说“质量可以转化为能量、能量可以转化为质量”这是对相对论的曲解，事实上质量决不会变成能量，能量也决不会变成质量．一个系统能量减少时，其质量也相应减少，另一个系统因接受而增加能量时，其质量也相应增加．对一个封闭的系统，质量是守恒的，能量也是守恒的．6．2.69×10－30kg 0.94c解析 Ek ＝eU ＝(1.6×10－19×106) J ＝1.6×10－13 J 对高速运动的电子，由Ek ＝mc 2－m 0c 2得 m ＝Ek c 2＋m 0＝1.6×10－13(3×108)2 kg ＋9.1×10－31 kg ≈2.69×10－30 kg.由m ＝m 01－v 2c2得，v ＝c1－m 20m2＝2.82×108 m·s －1≈0.94c 点评当vc 时，宏观运动规律仍然适用，物体的动能仍然根据Ek ＝12mv 2来计算．但当v 接近光速时，其动能由Ek ＝mc 2－m 0c 2来计算．7．见解析解析飞船内没有支撑的物体都以某一加速度落向舱底的原因可能是飞船正在向远离任意天体的空间加速飞行，也可能是由于飞船处于某个星球的引力场中．实际上飞船内部的任何物理过程都不能告诉我们飞船到底是加速运动还是停泊在一个行星的表面．这个事实使我们想到：一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价．点评把一个做匀加速运动的参考系等效为一个均匀的引力场，从而使物理规律在非惯性系中也成立．8．见解析解析由广义相对论中的等效原理知，一个均匀的引力场与一个做加速运动的参考系等价．当电梯向头顶方向加速运动时，自由丢下的小球相对于电梯的加速度为g ＝9.8 m/s 2，与在地球引力场中做自由落体运动相同．9．1.78×10－29kg 1.871×10－29kg解析由动能定理，加速后电子增加的动能 ΔEk ＝eU ＝1.6×10－19×107 J ＝1.6×10－12 J 由ΔE ＝Δmc 2得电子增加的质量Δm ＝ΔEk c 2＝1.6×10－12(3×108)2kg ≈1.78×10－29 kg ，此时电子的质量m ＝m 0＋Δm ＝1.871×10－29kg方法总结物体的能量变化ΔE 与质量变化Δm 的对应关系为ΔE ＝Δmc 2，即当物体的能量增加时，物体对应的质量也增大；当物体的能量减少时，物体对应的质量也减小．10．C 课后巩固练1．D 2．ABCD 3．ABD 4．ABCD 5．BCD 6．AD 7．ACD8．(1)－1.125×108 m/s (2)1.125×108 m/s 解析 (1)A 上的乘客看地以－2.5×108 m/s 向后．B 在地面看以2.0×108m/s 向前，则A 上乘客看B 的速度为u ＝u ′＋v 1＋u ′·v c 2＝－2.5＋2.01＋－2.5×232×108 m/s ≈－1.125×108 m/s.(2)B 看A 则相反为1.125×108 m/s. 9．见解析解析速度为7.8 km/s 时，质量为 m 1＝m 01－(vc)2＝m 01－(7.8×1033×108)2≈m 0＝m速度为0.8c 时，质量设为m 2，有 m 2＝m 01－(0.8)2＝m 00.6＝53m 0＝53m. 10．见解析解析质能方程E ＝mc 2表示的是物体质量和能量之间的关系，所以物体运动时的能量和静止时的能量之差就是物体的动能Ek即Ek ＝E －E 0 又因为E ＝mc 2＝m 01－(v c )2c 2，E 0＝m 0c 2所以Ek ＝m 0c 2[11－(v c)2－1] 当v 很小时，即vc1时，根据数学公式有－12≈1＋12(v c)2 所以Ek ＝E －E 0≈12m 0v 211．广义相对论得出的结论：(1)物质的引力使光线弯曲．时空几乎在每一点都是弯曲的．只有在没有质量的情况下，时空才没有弯曲，如质量越大，时空弯曲的程度也越大．在引力场存在的条件下，光线是沿弯曲的路径传播的．(2)引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别．例如在强引力的星球附近，时钟要走得慢些．按照广义相对论光在强引力场中传播时，它的频率或波长会发生变化，出现引力红移现象．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

广义相对论第二次作业

1 1 1 σ 1 σ （3） R212 = Γ1 22,1 − Γ 21,2 + Γσ 1Γ 22 − Γσ 2 Γ 21 1 2 2 2 2 = Γ1 22,1 − Γ 22 Γ 21 = − cos θ + sin θ + sin θ cos θ ⋅ ctgθ = sin θ ，
2 22 1 = R121 g = R2121 g 22 R1212 ，而 R212 = g 11 R1212 ，
因此 {t ′, x′} 也是洛伦兹坐标系。
ρ ρ ρ 四、证明毕安基恒等式 Rλµν ;σ + Rλνσ ; µ + Rλσµ ;ν = 0 可以写成
( R µν −
1 µν g R) ;ν = 0. 2
证明:由毕安基恒等式，缩并 ρ ， σ 得
σ σ σ Rλµν 0， ;σ + Rλνσ ; µ + Rλσµ ;ν =
《广义相对论基础》第二次作业答案
一、一个嵌入三维欧式空间的普通球面空间，选用球极坐标系，则其线元为 ds 2 = a 2 dθ 2 + a 2 sin 2 θdϕ 2 , （1）求 g µν ；
µ ；（2）求全部的克里斯多菲联络 Γαβ
µ （3）求全部 Rνρσ ；
（4）求全部 Rµν ；（5）求 R ；（6）写出该度规表示的球面空间的测地线方程。解：（1） g 11 =
= Γ1 22
1 11 g ( g12,2 + g 21,2 − g 22,1 ) 2 1 11 1 1 g (− g 22,1 ) = (−2a 2 sin θ cos θ ) = = − sin θ cos θ , 2 2 2a
1 22 g ( g 21,1 + g12,1 = − g11,2 ) 0 ， 2

广义相对论习题79544

《广义相对论基础》第七次作业答案一、Kerr-Newman 度规为22222222224222222222(1)(2)sin 2(2)sin [()sin ],Mr Q ds dt dr d Mr Q a Mr Q a r a d dtd ρρθρθθθϕϕρρ-=--+++∆--++-其中2222cos r a ρθ=+，2222r Mr a Q ∆=-++。

（1）用000g =求出其无限红移面；（2）用110g =求出其视界；（3）能层范围；（4）黑洞边界；（5）奇性出现的位置。

解：（1）2002210Mr Q g ρ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，因此，无限红移面s r M ±=±（2）设(,,)0f r θϕ=为视界面，由对称性知可以写成(,)f r θ，则类光超曲面方程为0u f fg x xμνν∂∂=∂∂，而112g ρ∆=，2221g ρ=，因此，类光超曲面方程具体写成为2211220f f g g r θ∂∂⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()2222220f f r Mr a Q r θ∂∂⎛⎫⎛⎫⇒-+++= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。

分离变量()()(,)f r R r θθ=Θ，则()222222112dR d r Mr a Q dr R d λθΘ⎛⎫⎛⎫-++=-=- ⎪ ⎪Θ⎝⎭⎝⎭，故d Ae d λθλθ±Θ=±Θ⇒Θ=，而由()()θπθΘ=Θ-，有0λ=。

故()22220h rMr a Q r M ±-++=⇒=（3）能层范围为：h s r r r ++<<，s h r r r --<<。

（4）黑洞边界为：h r M +=±（5）奇环位置为：2222cos 00,2r a r πρθθ=+=⇒==。

二、动态球对称的Vaidya 时空线元为22222222()[1]2sin M v ds dv dvdr r d r d rθθϕ=--+++，式中v 为超前爱丁顿坐标，相应于时间。

广义相对论习题

《广义相对论基础》第四次作业答案一、从球对称Schwarzschild 时空的如下守恒量方程2d d Lr ϕτ=， (1) 2222211dr GM L E d r r τ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (2) 出发，导出在平面极坐标系下轨道所满足的微分方程（即推广的比内公式），并进而从理论上分析、讨论水星的进动问题（不要求数值的计算和估计）。

解：将（1）代入（2），并采用1G c ===的单位制，可得到轨道方程：2222321111222d E M Md r L r r rL ϕ⎡⎤-⎛⎫=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，（3）两边对ϕ微商，得2222113d M Md r r L r ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭。

（4）作变量代换Mu r=，上式化成 22223d u M u u d L ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭。

（5）因为广义相对论修正项23u 本身较小，所以可将23u 替换为牛顿解，得到2444222236cos 3cos d u M M M M u e e d L L L L ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≈+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（6）常数项会导致径向修正，角度项会导致进动。

因为243M M L L ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21ee ，所以略去高阶常数项43M L ⎛⎫⎪⎝⎭和2e 项，从而得到24226cos d u M M u e d L L ϕϕ⎛⎫⎛⎫+≈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（7）令12u u u =+，方程（7）可拆解为2211242222,6cos .d u M u d L d u M u e d L ϕϕϕ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩（8）解得()21421cos ,3sin .M u e L M u e L ϕϕϕ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩（9）从而22221cos 3sin 1cos 13M M M M u e e e L L L L ϕϕϕϕ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++≈+-⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭。

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