量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)

量子力学专题二：

波函数和薛定谔方程

一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解）

1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年）

p h =λ

实验：黑体辐射

2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年）

h

E =ν 实验：光电效应

二、波函数的标准化条件（熟练掌握）

1、有限性：

A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有

=⎰ψψτ*

d 有限值

有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有

=⎰

ψψτ*

d 有限值 全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续；

3、单值性：2

ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）

三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；

2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；

四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解）

1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则

2211ψψψC C +=

也是体系的一个态。其中，1C 、2C 是任意复常数。

2、两种表象下的平面波的形式：

A 、坐标表象中

r d e p r r p i 3/2/3)()

2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中

p d e r p r p i 3/2/3)()

2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell

速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！

五、Schrodinger Equation （1926年）

1、Schrodinger Equation 的建立过程（熟练掌握）

ψψH t

i ˆ=∂∂ 其中，V T H ˆˆˆ+=。

2、定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相关联系（深入了解）

A 、定态：若某一初始时刻（0=t ）

体系处于某一能量本征态)()0,(r r E ψψ=，则

/)(),(iEt E e r t r -=ψψ

说描述的态，叫做定态（stationary state ）；

B 、非定态：由不同能量能量本征态线性叠加而形成的态，叫做非定态（nonstationary state ）。

3、连续性方程的推导及其物理意义（了解）

Schrodinger Equation ：

ψψ]2[22

V m t i +∇-=∂∂ （1） 取*

V V =，则有

*22

*]2[ψψV m t i +∇-=∂∂- （2） 由)2()1(*

⨯-⨯ψψ，得

)(2)(*22*2*ψψψψψψ∇-∇-=∂∂m t i 由格林公式，得

)(2)(**2

*ψψψψψψ∇-∇•∇-=∂∂m t i 在空间区域，将上式积分。根据高斯定理，有

S d m d t i S •∇-∇-=∂∂⎰⎰)(2**2

*ψψψψτψψτS 是τ的表面。

令

),(),(),(*t r t r t r ψψρ=

)(2),(**ψψψψ∇-∇-=m

i t r j 或者写成

)ˆˆ(21),(**ψψψψP P m t r j -= ρ表示概率密度，j 表示概率流密度。

根据上面的推导，有

S d j d dt d S

•-=⎰⎰τρτ 此即概率守恒的积分表达式。其微分表达式为

0=•∇+∂∂j t

ρ 其形式和电磁学中电荷守恒定律、流体力学中连续性方程相同。