全微分方程的解法

所以是全微分方程.
例：求方程ydx xdy 0的通解。
解：因为d ( xy ) ydx xdy, 所以ydx xdy 0为恰当方程， 且通解为xy C .
问题: （1）如何判断全微分方程？ （2）如何求解全微分方程？
（3）如何转化为全微分方程？
定理1 设函数 和 在一个矩形区域
由前面的例子可以看到，把微分方程写成这种形式的优点在 于：既可以把y看成未知函数，x看成自变量；也可以把x看 成未知函数，y看成自变量。即变量x与变量y在方程中的地位 是对称的，因此也常称形式为P ( x , y )dx Q ( x , y )dy 0的方程 为对称形式的微分方程。
一、概念 定义: 若有全微分形式
x2 y2 xdx ydy d ( ) 2
ydx xdy d ( xy )
xdy ydx x d ( ) 2 y y
xdy ydx y d( ) 2 x x
xdy ydx y d (ln ) xy x
xdy ydx y 2 2 d (arctan ) x x y
x0
代入第二个等式，应有
x P( x, y) dx ( y) y x0 y x Q ( x, y ) dx ( y ) x0 x
Q( x, y ) dx ( y ) x0 x
x
Q( x, y) Q( x0 , y) ( y)
(2) 偏积分法

( x, y )Βιβλιοθήκη Baidu
( x0 , y0 )
P( x, y)dx Q( x, y)dy
P( x, y), Q( x, y ) x y 第一个等式对 x 积分 ( x, y ) P( x, y )dx ( y)
代入第二个等式求 ( y ) ，即可得 ( x, y ) (3)凑微分法 直接凑微分得 ( x, y ) 例2：验证方程 是全微分方程，并求它的通解。
2 P 2 Q , xy y yx x 又因为 P( x, y), Q( x, y) 偏导数连续， P Q 2 2 所以 ，即 y x xy yx
所以
（2）证明充分性
P Q ，求一个二元函数 ( x, y) 使它满足 设 y x d ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy 这里 ( x0 , y0 ) R P( x, y), Q( x, y) 即 x y x 由第一个等式，应有 ( x, y ) P( x, y )dx ( y )
( m P ) ( m Q ) m P P m m Q Q m , y y x x y x
P Q m m Q P m x y y x
Q 1 m 1 m P Q P m x m y y x
d ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy
则 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 称为全微分方程。 通解则为 ( x, y ) C （C为任意常数）。
例1： 方程 xdx ydy 0是否为全微分方程？ 1 2 解： 令u ( x, y ) ( x y 2 ), du ( x, y) xdx ydy, 2
3 2
3 2 y 2 原方程的通解为 x y C 2 x
练习 求微分方程
( y x 2 )dx xdy 0
的通解。
因此 ( y) Q( x0 , y) ，则 ( y )

y y0
Q( x0 , y)dy C
y y0
因此可以取 ( x, y)
这里由于 P
此时 d ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy

x
x0
P( x, y)dx Q( x0 , y)dy
中连续且有连续的一阶偏导数，则
是全微分方程
（1）证明必要性 证明：
因为
是全微分方程，
则存在原函数 ( x, y ) ，使得
d ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy
P( x, y), Q( x, y) x y 将以上二式分别对 x, y 求偏导数，得到
故通解为 (2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为 ,则有
所以 从而 即
(3) 凑微分法:
根据二元函数微分的经验,原方程可写为
方程的通解为：
练习：验证方程 是全微分方程，并求它的通解。
方程的通解为：
积分因子法
一、概念 二、积分因子的求法
一、定义: m ( x, y ) 0 连续可微函数，使方程 m( x , y ) P ( x , y )dx m( x , y )Q ( x , y )dy 0成为全
恰当方程（全微分方程）
一、概念 二、全微分方程的解法
接下来，我们探讨另外一类可用初等解法求解的方程 dy 类型。为此，将一阶正规形微分方程 f ( x , y )改写成 dx f ( x , y )dx dy 0，或更一般地，P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0 的形式。
微分方程.则称 m ( x , y ) 为方程的积分因子.
例1 验证 x 是方程 (2 y 4 x 2 )dx xdy 0 的积分因子，并求方程的通解。 解： x(2 y 4 x 2 )dx x 2dy 0 方程通解为 x 2 y x 4 C 是全微分方程。
二、积分因子的求法 1.公式法:
xdx ydy 2 2 d (ln x y ) 2 2 x y
xdy ydx 可选用的积分因子有
1 1 1 1 , 2, 2 , 2 2 x y x y xy
xdx ydy 可选用的积分因子有
1 1, 2 x y2
一般可选用的积分因子有
1 1 1 1 x y , 2, 2 2, 2 , 2 , 2 等。 2 x y x x y x y y x
解：由于
所以方程为全微分方程。 (1) 线积分法:
故通解为
(2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为 ,则有
代入可得
因此
从而
即
(3) 凑微分法: 由于
根据二元函数微分的经验,原方程可写为
方程的通解为：
例3：验证方程 是全微分方程，并求它的通解。
解：由于
所以方程为全微分方程。 (1) 线积分法:
例2 求微分方程 (3x3 y)dx (2 x 2 y x)dy 0 的通解.
解 1.公式法:
2 dx 1 P Q 2 1 ( ) , m ( x) e x 2 . Q y x x x
则原方程成为 y 1 (3x 2 )dx (2 y )dy 0, x x ydx xdy 3 2 y 2 3 xdx 2 ydy d( x y ) 2 x 2 x 原方程的通解为
m y u 0, b. 当 只与 有关时， x
m dm , y dy
d ln m 1 Q P ( ) g( y ) dy P x y
g ( y ) dy m ( y) e .
2.观察法: 凭观察凑微分得到 m ( x , y )
常见的全微分表达式
(两边同除 m , )
ln m ln m P Q Q P x y y x
m m dm 0 , , 有关时， y x dx
求解不容易 特殊地:
a. 当
m 只与 x
d ln m 1 P Q ( ) f ( x) dx Q y x
f ( x ) dx m ( x) e .
Q y x
，故曲线积分与路径无关。因此
( x, y )
( x, y)
( x0 , y0 )
P( x, y)dx Q( x, y)dy
二、全微分方程的解法
(1) 线积分法:
( x, y) P( x, y)dx Q( x0 , y)dy
x0 y0
x
y
或 ( x, y)
3 2 y 2 x y C 2 x
2.观察法: 分组求积分因子的思想。
将方程左端重新组合,有
(3x3dx 2 x 2 ydy) ( ydx xdy) 0
ydx xdy 可选用的积分因子有
1 1 1 1 , 2, 2 , 2 2 x y x y xy
1 3 x dx 2 x ydy 可选用的积分因子有 2 x 因此取积分因子为 12 x