初中数学竞赛辅导资料

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初中数学竞赛辅导资料(二)

初中数学竞赛辅导资料(二)

初中数学竞赛辅导资料(二)(含答案)式子的整除甲内容提要1.定义:如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式,并且余式是零,则称这个整式被另一个整式整除。

2.根据被除式=除式×商式+余式,设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式,那么式的整除的意义可以表示为:若f(x)=p(x)×q(x),则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如∵x2-3x-4=(x-4)(x +1),∴x2-3x-4能被(x-4)和(x +1)整除。

显然当x=4或x=-1时x2-3x-4=0,3.一般地,若整式f(x)含有x –a的因式,则f(a)=0反过来也成立,若f(a)=0,则x-a能整除f(x)。

4.在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab在恒等式中,左右两边同类项的系数相等。

这可以推广到任意多项式。

乙例题例1己知x2-5x+m能被x-2整除,求m 的值。

x-3解法一:列竖式做除法(如右)x-2 x2-5x+m由余式m-6=0得m=6x2-2x解法二:∵x2-5x+m 含有x-2 的因式-3x+m∴以x=2代入x2-5x+m 得-3x+622-5×2 +m=0 得m=6 m-6解法三:设x2-5x+m 除以x-2 的商是x+a (a为待定系数)那么 x 2-5x+m =(x+a)(x -2)= x 2+(a-2)x-2a根据左右两边同类项的系数相等,得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a (本题解法叫待定系数法)例2 己知:x 4-5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2-2x+1整除求:m 、n 的值及商式解:∵被除式=除式×商式 (整除时余式为0)∴商式可设为x 2+ax+b得x 4-5x 3+11x 2+mx+n =(x 2-2x+1)(x 2+ax+b )=x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中,左右两边同类项的系数相等,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b mb a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a ∴m=-11, n=4, 商式是x 2-3x+4例3 m 取什么值时,x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除?解:当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时,它含有x+y+z 因式令x+y+z =0,得x=-(y+z ),代入原式其值必为0即[-(y+z )]3+y 3+z 3-myz(y+z)=0把左边因式分解,得 -yz(y+z)(m+3)=0,∵yz ≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立∴当x,y (或y,z 或x,z )互为相反数时,m 可取任何值 ,当m=-3时,x,y,z 不论取什么值,原式都能被x+y+z 整除。

初中数学竞赛辅导资料(22)

初中数学竞赛辅导资料(22)

初中数学竞赛辅导资料(22)分式甲内容提要1. 除式含有字母的代数式叫做分式。

分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。

(1)分式BA 中,当B ≠0时有意义;当A 、B 同号时值为正,异号时值为负,反过来也成立。

分子、分母都化为积的形式时,分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。

(2)若A 、B 及BA 都是整数,那么A 是B 的倍数,B 是A 的约数。

(3)一切有理数可用B A 来表示,其中A 是整数,B 是正整数,且A 、B 互质。

2. 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型,要用特殊方法解答方便。

乙例题例1.x 取什么值时,分式xx x x 23222+--的值是零?是正数?是负数? 解: xx x x 23222+--=)2()3)(1+-+x x x x ( 以零点-2,-1,0,3把全体实数分为五个区间,标在数轴上(如上图) 当x=-1,x=3时分子是0,分母不等于0,这时分式的值是零;当x<-2, -1<x<0, x>3时,分式的值是正数(∵负因数的个数是偶数) 当-2<x<-1, 0<x<3时,分式的值是负数(∵负因数的个数是奇数)例2.m 取什么值时,分式172-+m m 的值是正整数? 解:172-+m m =1922-+-m m =2+19-m 当例3.计算14++x x +32--x x -12-+x x -34++x x 19-m >-2且m -1是9的约数时,分式的值是正整数 即m -1=1,3,9,-9 解得m=2,4,10,-8。

答:(略)3解:用带余除法得,原式=1+13+x +1+31-x -1-13-x -1-31+x =)1)(1()1(3)1(3-++--x x x x +)3)(3()3()3(+---+x x x x =162-x -+962-x =)9)(1(4822--x x 4.已知(a+b )∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a ∶b ∶c ②bcc ab a +-22 解:设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加得2(a+b+c )=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式得a=2k, b=k, c=3k∴①a ∶b ∶c =2∶1∶3 ②bc c ab a +-22=kk k k k k 3)3(2)2(22⨯⨯-+=61 例5.一个两位数除以它的两个数位上的数字和,要使商为最小值,求这个两位数;如果要使商为最大值呢?解:设这个两位数为10x+y ,那么0<x ≤9, 0≤y ≤9 y x y x ++10=1+yx x +9 当x 取最小值1,y 取最大值9时,分式y x x +9的值最小;当x 取最大值9,y 取最小值0时,分式yx x +9的值最大。

初中数学竞赛辅导资料(66)

初中数学竞赛辅导资料(66)

初中数学竞赛辅导资料(66)辅助圆甲内容提要1. 经过两个点可以画无数个圆;经过三个点作圆,必须是不在同一直线上的三个点,可以作一个圆,并且只能作一个圆.2. 经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理:① 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). ② 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. ③ 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. ④ 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论:同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径). 3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有:① 同弧所对的圆周角相等.② 圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. ③ 圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.④ 圆中成比例线段定理:相交弦定理4. 证明 型如ab+cd=m 2常用切割线定理 乙例题例1.已知:点O 是△ABC 的外心,BE ,CD 是高.求证:AO ⊥DE证明:延长AO 交△ABC 的外接圆于F ,连接BF. ∵O 是△ABC 的外心 ∴AF 是△ABC 外接圆的直径,∠ABF=Rt ∠.∵BE ,CD 是高,∠BDC=∠CEB=Rt ∠.∴B,C ,E ,D 四点共圆(∴∠ADE=∠ECB=∠F. ∴∠AGD=∠ABF=Rt ∠, 即AO ⊥DE. 例2.正方形ABCD 的中心为O ,面积为1989cm 2,P 为正方形内的一点,且∠OPB=45,PA ∶PB=5∶14,则PB=____cm. (1989年全国初中数学联赛题) 解:∵∠OPB=∠OAB=45∴ABOP 四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆)∴∠APB=∠AOB=Rt ∠.在Rt △APB 中,设PA 为5x ,则PB 是14x. ∴(5x)2+(14x)2=1989. 解得x=3, 14x.=42. ∴PB=42 (cm).例3.已知:平行四边形ABCD 中,CE ⊥AB 于E ,AF ⊥BC 于F.求证:AB ×AE+CB ×CF=AC 2. 证明:作BG ⊥AC 交AC 于G. ∵CE ⊥AB , AF ⊥BC.∴A ,F ,B ,G 和B ,E ,C ,G 分别共圆.(对角互补的四边形顶点共圆)根据切割线定理,得 AB ×AE=AG ×AC CB ×CF=CG ×AC∴AB ×AE+CB ×CF=AC(AG+CG)=AC 2.例4.已知:AD 是Rt △ABC 斜边的高,角平分线BE 交AD 于F.求证:AE 2=AB 2-BE ×BF.分析:根据同角的余角相等,可证AE=AF.由射影定理AB 2=BD ×BC.故只要证AE ×AF =BD ×BC -BE ×BF 创造应用切割线定理的条件,作△ABC 的 外接圆并延长BE 交圆于G ,得F 、D 、C 、G 四点共圆 . ∴ BD ×BC=BF ×BG.∴右边= BF ×BG .- BE ×BF=BF(BG -BE)=BF ×EG 从而转为要证AE ×AF= BF ×BG . 即AFEGBF AE 只要证△AEG ∽△BFA ……(证明由同学自已完成)例5已知:从⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA ,PB 切点A 和B ,在AB 上任取一点C ,经过点C 作OC 的垂线交PA 于M ,交PB 于N. 求证:OM=ON.证明:连结OA ,OB .∵A ,B 是切点 ∴OA ⊥PA ,OB ⊥PB.又∵OC ⊥MN.∴A ,M ,C ,O 和B ,N ,O ,C 分别共圆.(辅助圆可以不画) 根据同弧所对的圆周角相等,得 ∠OAC=∠OMC , ∠ONC=∠OBC. ∵OA=OB , ∴∠OAC=∠OBC.∴∠OMC=∠ONC , ∴OM=ON.丙练习661.已知:AD 是△ABC 的高,DE ,DF 分别是△ADB 和△ADC 的高 求证: B ,C ,F ,E 四点共圆2.已知:两条线段AB 和CD 相交于点P ,且PA ×PB=PC ×PD. 求证:A ,B ,C ,D 四点共圆.3.已知:⊙O 和⊙O ,相交于A ,B ,过点A 作一直线交⊙O 于C ,交⊙O ,于D ,分别过 点C 和点D 作⊙O 和⊙O ,的切线相交于点P .求证:P ,C ,B ,D 四点在同一个圆上.4.已知:E 是正方形ABCD 边BC 上的一点,过点E 作AE 的垂线和∠C 的外角平分线交于点F. 求证:AE=AF.5.已知:M 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的一点,过点M 画两组对边的垂线段分别交AB ,CD 于E ,F 交AD ,BC 于G ,H.求证:EG ∥FH.6.已知:△ABC 的三条高AD ,BE ,CF 交于点H. 求证:BH ×BE+CH ×CF=BC 2.7.已知:AB 是⊙O 的直径,C 是半圆上的一点,CD ⊥AB 于D ,G 是CD 上的一点,AG 的延长线交半圆于H. 求证:CD 2+AD 2=AG ×AH.8.已知:AD 是△ABC 的角平分线 . 求证:AD 2=AB ×AC.=DB ×DC9.已知:凸五边形ABCDE 中.∠A=3α,BC=CD=DE ,∠C=∠D=180.=2α. 求证:AC ,AD ,AE 三等分∠A. (1990年全国初中数学联赛题) 10.求证:圆上一点到圆内接四边形两组对边的距离的积相等11.求证:圆内接四边形两组对边积的和等于两对角线的积(托列密定理)12.如图已知:圆内接四边形ABCD 中,由AB 上一点M 作MP ⊥BC ,MQ ⊥CD , MR ⊥DA ,PR 交MQ 于N.C求证:MABMNR PN . (1983年福建省初中数学联赛题)13.如图已知:∠ACE=∠CDE=Rt ∠,点B 在CE 上,CA=CB=CD ,过A ,C ,D 的圆交AB 于F.求证:点F 是△CDE 的内心(1995年全国初中数学联赛题)13。

关于初中数学竞赛的书籍

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初中数学竞赛是许多学生热衷的学科,以下是一些相关的书籍推荐:
1.《初中数学竞赛全解析》——这本书提供了各种数学竞赛题目的详细解析和解题思路,适合准备竞赛的学生查阅。

2. 《初中数学竞赛习题集》——该书汇集了大量经典数学竞赛题目,按照题型和难易程度进行分类,帮助学生巩固知识并提高解题能力。

3. 《初中数学竞赛冲刺指南》——这本书介绍了常见竞赛的出题规律和解题技巧,通过精选的例题和训练题,帮助学生提高应试能力。

4. 《初中数学竞赛辅导教材》——该教材系统地介绍了数学竞赛中常见的知识点和题型,并提供了大量的例题和习题供学生练习。

5. 《初中数学竞赛秘籍》——这本书总结了数学竞赛中常见的解题技巧和方法,通过实例讲解帮助学生理解和掌握。

这些书籍都可以在学校教材供应店或者在线书店购买到。

希望这些书籍能够帮助到对数学竞赛感兴趣的同学们。

初中奥数竞赛辅导教案

初中奥数竞赛辅导教案

初中奥数竞赛辅导教案通过本节课的辅导,使学生掌握奥数竞赛的基本解题技巧和方法,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 数论:质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与欧拉函数等。

2. 几何:平面几何中的点、线、面的关系,三角形、四边形的性质,圆的性质等。

3. 代数:一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数等。

4. 组合数学:排列组合、计数原理、图论等。

5. 数学思维:逻辑推理、归纳总结、演绎推理等。

三、教学方法1. 实例讲解:通过具体的题目实例,讲解解题思路和方法,使学生掌握解题技巧。

2. 练习巩固:布置适量的练习题,让学生在课后进行巩固练习,提高解题能力。

3. 小组讨论:组织学生进行小组讨论,分享解题心得和方法,互相学习,共同进步。

4. 竞赛模拟:定期举办模拟竞赛,检验学生的学习成果,提高学生的应试能力。

四、教学安排1. 数论:安排4课时,讲解质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与欧拉函数等基本概念和性质。

2. 几何:安排6课时,讲解平面几何中的点、线、面的关系,三角形、四边形的性质,圆的性质等。

3. 代数:安排8课时,讲解一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数等基本概念和解法。

4. 组合数学:安排4课时,讲解排列组合、计数原理、图论等基本概念和方法。

5. 数学思维:安排4课时,讲解逻辑推理、归纳总结、演绎推理等方法。

五、教学评价1. 课后练习:检查学生的课后练习情况,了解学生对知识的掌握程度。

2. 模拟竞赛:定期举办模拟竞赛,评估学生的竞赛能力和水平。

3. 学生反馈:听取学生的反馈意见,了解教学方法的适用性和改进方向。

4. 教学总结:定期进行教学总结,调整教学计划和方法,提高教学质量。

通过以上教学安排和教学方法,相信能够有效地提高学生的奥数竞赛水平,培养学生的数学思维和解决问题的能力。

初中数学竞赛辅导材料目录

初中数学竞赛辅导材料目录

初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用(如乘法口诀、整数加减乘除的计算等)-快速计算较大数的方法(如分解因数、整理计算顺序等)2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目,以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录,通过系统的学习与实践,相信学生们可以提升数学竞赛的能力,取得更好的成绩。

祝学习愉快!。

初中数学竞赛辅导资料(总24页)

初中数学竞赛辅导资料(总24页)

初中数学竞赛辅导资料-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如:方程 2x +6=0, x (x -1)=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是: x =-3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数,无解。

2. 关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax =b 后, 讨论它的解:当a ≠0时,有唯一的解 x =ab ; 当a =0且b ≠0时,无解;当a =0且b =0时,有无数多解。

(∵不论x 取什么值,0x =0都成立)3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a |b 时,方程有整数解;当a |b ,且a 、b 同号时,方程有正整数解;当a 、b 同号时,方程的解是正数。

综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时,方程a (a -2)x =4(a -2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时,方程①k(x+1)=k-2(x-2)的解是整数?②(1-x)k=6的解是负整数?例3己知方程a(x-2)=b(x+1)-2a无解。

问a和b应满足什么关系?例4a、b取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7有无数多解?第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义,写出下列方程的解:① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9, ④|x |=-3,⑤3x +1=3x -1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解,那么a __________3. 在方程a (a -3)x =a 中,当a 取值为____时,有唯一的解; 当a ___时无解;当a _____时,有无数多解; 当a ____时,解是负数。

初中数学竞赛辅导资料(初一用)

初中数学竞赛辅导资料(初一用)

初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要:如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除。

0能被所有非零的整数整除。

能被7整除的数的特征:①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100-2=98(能被7整除)又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征:①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100-1=99(能11整除)又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x ,y解:x ,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6。

∵328+92x =567,∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除,求x解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除, 当1+2+3+4+x 能被3整除时,x=2,5,8 当末两位4x 能被4整除时,x =0,4,8∴x =8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解:五位数字都不相同的最小五位数是10234,但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为30,41,52,63,均可,∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

练习一1、分解质因数:(写成质因数为底的幂的连乘积)①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除,那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除,那么x=__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时,59610能被7整除5、当n=__________时,n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最大四位数是_________。

初中数学竞赛辅导(初二分册)文件123页

初中数学竞赛辅导(初二分册)文件123页

第一讲:因式分解(一) (1)第二讲:因式分解(二) (4)第三讲实数的若干性质和应用 (7)第四讲分式的化简与求值 (10)第五讲恒等式的证明 (13)第六讲代数式的求值 (16)第七讲根式及其运算 (18)第八讲非负数 (22)第九讲一元二次方程 (26)第十讲三角形的全等及其应用 (29)第十一讲勾股定理与应用 (33)第十二讲平行四边形 (36)第十三讲梯形 (39)第十四讲中位线及其应用 (42)第十五讲相似三角形(一) (45)第十六讲相似三角形(二) .........................................48 第十七讲* 集合与简易逻辑.. (51)第十八讲归纳与发现 (56)第十九讲特殊化与一般化 (59)第二十讲类比与联想 (63)第二十一讲分类与讨论 (67)第二十二讲面积问题与面积方法 (70)第二十三讲几何不等式 (73)第二十四讲* 整数的整除性 (77)第二十五讲* 同余式 (80)第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 (83)第二十七讲列方程解应用问题中的量 (86)第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (90)第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (94)第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99)第一讲:因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.1.运用公式法在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:(1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充几个常用的公式:(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+,+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数;(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-,+ab n-2-b n-1),其中n 为偶数;(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-,-ab n-2+b n-1),其中n为奇数.运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例 1 分解因式:(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4;(2)x3-8y3-z3-6xyz;(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;(4)a7-a5b2+a2b5-b7.解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2.(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2=(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2.本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)1=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 例 2 分解因式:a3+b3+c3-3abc.本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性,现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导.解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a 3+b3+c3-3abc?0,即a3+b3+c3?3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.如果令x=a30,y=b3?0,z=c3?0,则有等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.例 3 分解因式:x15+x14+x13+,+x2+x+1.分析这个多项式的特点是:有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式a n-b n来分解.解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+,x2+x+1),所以说明在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用.2.拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.例 4 分解因式:x3-9x+8.分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.解法 1 将常数项8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法 2 将一次项-9x拆成-x-8x.原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法 3 将三次项x3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8).解法 4 添加两项-x2+x2.原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8).说明由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.例 5 分解因式:(1)x9+x6+x3-3;(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;(4)a3b-ab3+a2+b2+1.解 (1)将-3拆成-1-1-1.原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3).(2)将4mn拆成2mn+2mn.原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2.原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=[(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=[(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).(4)添加两项+ab-ab.原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1).说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.3.换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.例 6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12.分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.解设x2+x=y,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5).说明本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试.例7 分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.分析先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合.解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.令y=2x2+5x+2,则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.例8 分解因式:(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.解设x2+4x+8=y,则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式.例9分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6.解法 1 原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2=6[(x4-2x2+1)+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x][3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体.解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).分析本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式.解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=u,xy=v,则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2.第二讲:因式分解(二)1.双十字相乘法分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式.对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为即:-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以,原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)] =(x+2y-3)(2x-11y+1).上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:它表示的是下面三个关系式:(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.这就是所谓的双十字相乘法.用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.例 1 分解因式:(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;(2)x2-y2+5x+3y+4;(3)xy+y2+x-y-2;(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1).(2)原式=(x+y+1)(x-y+4).(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.原式=(y+1)(x+y-2).(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.2.求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+,+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),,等记号表示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,,,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)f(1)=12-331+2=0;f(-2)=(-2)2-33(-2)+2=12.若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.定理2的根,则必有p是a0的约数,q是a n的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为a n 的约数.我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.例 2 分解因式:x3-4x2+6x-4.分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:±1,±2,±4,只有f(2)=23-4322+632-4=0,即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2.解法 1 用分组分解法,使每组都有因式(x-2).原式=(x 3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2).解法 2 用多项式除法,将原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x2-2x+2).说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.例 3 分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2.分析因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,±为:所以,原式有因式9x2-3x-2.解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.3.待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用.在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.例 4 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3.分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比较两边对应项的系数,则有解之得m=3,n=1.所以原式=(x+2y+3)(x+y+1).说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.例 5 分解因式:x4-2x3-27x2-44x+7.分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有由bd=7,先考虑b=1,d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7).说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止.本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础.在初中代数中没有系统地介绍实数理论,是因为它涉及到极限的概念.这一概念对中学生而言,有一定难度.但是,如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识,中学数学也将无法继续学习下去了.例如,即使是一元二次方程,只有有理数的知识也是远远不够用的.因此,适当学习一些有关实数的基础知识,以及运用这些知识解决有关问题的基本方法,不仅是为高等数学的学习打基础,而且也是初等数学学习所不可缺少的.本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用.用于解决许多问题,例如,不难证明:任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数,或者说,有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的.性质 1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式,反之亦然.例1分析要说明一个数是有理数,其关键要看它能否写成两个整数比的形式.证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93,无限不循环小数称为无理数.有理数对四则运算是封闭的,而无理是说,无理数对四则运算是不封闭的,但它有如下性质.性质 2 设a为有理数,b为无理数,则(1)a+b,a-b是无理数;有理数和无理数统称为实数,即在实数集内,没有最小的实数,也没有最大的实数.任意两个实数,可以比较大小.全体实数和数轴上的所有点是一一对应的.在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算,其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性).任一实数都可以开奇次方,其结果仍是实数;只有当被开方数为非负数时,才能开偶次方,其结果仍是实数.例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事.由于有理数与无理数共同组成了实数集,且二者是矛盾的两个对立面,所以,判定一个实数是无理数时,常常采用反证法.证用反证法.所以p一定是偶数.设p=2m(m是自然数),代入①得4m2=2q2,q2=2m2,例 4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1,a2,b1,b2为有理数,a为无理数),则a1=a2,b1=b2,反之,亦成立.分析设法将等式变形,利用有理数不能等于无理数来证明.证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1.若b1≠b2,则反之,显然成立.说明本例的结论是一个常用的重要运算性质.是无理数,并说明理由.整理得:由例4知a=Ab,1=A,说明本例并未给出确定结论,需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点,以其作为推理的基础.例 6 已知a,b是两个任意有理数,且a<b,求证:a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性).分析只要构造出符合条件的有理数,题目即可被证明.证因为a<b,所以2a<a+b<2b,所以说明构造具有某种性质的一个数,或一个式子,以达到解题和证明的目的,是经常运用的一种数学建模的思想方法.例7 已知a,b是两个任意有理数,且a<b,问是否存在无理数α,使得a<α<b成立?即由①,②有存在无理数α,使得a<α<b成立.b4+12b3+37b2+6b-20的值.分析因为无理数是无限不循环小数,所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来,这样涉及无理数小数部分的计算题,往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的),然后再寻求其小数部分的表示方法.14=9+6b+b2,所以b2+6b=5.b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+226b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10.例9 求满足条件的自然数a,x,y.解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得例10 设a n是12+22+32+,+n2的个位数字,n=1,2,3,,,求证:0.a1a2a3,a n,是有理数.分析有理数的另一个定义是循环小数,即凡有理数都是循环小数,反之循环小数必为有理数.所以,要证0.a1a2a3,a n,是有理数,只要证它为循环小数.因此本题我们从寻找它的循环节入手.证计算a n的前若干个值,寻找规律:1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0,0,1,5,4,0,5,1,0,4,,发现:a20=0,a21=a1,a22=a2,a23=a3,,,于是猜想:a k+20=a k,若此式成立,说明0.a1a2,a n,是由20个数字组成循环节的循环小数,即下面证明a k+20=a k.令f(n)=12+22+,+n2,当f(n+20)-f(n)是10的倍数时,表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数,而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+,+(n+20)2=10(2n2+422n)+(12+22+,+202).由前面计算的若干值可知:12+22+,+202是10的倍数,故a k+20=a k成立,所以0.a1a2,a n,是一个有理数.第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似,例如,分式的分母的值不能是零,即分式只有在分母不等于零时才有意义;也像分数一样,分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中,主要是通过约分和通分来化简分式,从而对分式进行求值.除此之外,还要根据分式的具体特征灵活变形,以使问题得到迅速准确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值.例 1 化简分式:分析直接通分计算较繁,先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式,再化简将简便得多.=[(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)]说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式.例 2 求分式当a=2时的值.分析与解先化简再求值.直接通分较复杂,注意到平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),可将分式分步通分,每一步只通分左边两项.例 3 若abc=1,求分析本题可将分式通分后,再进行化简求值,但较复杂.下面介绍几种简单的解法.解法 1 因为abc=1,所以a,b,c都不为零.解法 2 因为abc=1,所以a≠0,b≠0,c≠0.例 4 化简分式:分析与解三个分式一齐通分运算量大,可先将每个分式的分母分解因式,然后再化简.说明互消掉的一对相反数,这种化简的方法叫“拆项相消”法,它是分式化简中常用的技巧.例 5 化简计算(式中a,b,c两两不相等):似的,对于这个分式,显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c),而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c),因此有下面的解法.解说明本例也是采取“拆项相消”法,所不同的是利用例 6 已知:x+y+z=3a(a≠0,且x,y,z不全相等),求分析本题字母多,分式复杂.若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0,那么题目只与x-a,y-a,z-a 有关,为简化计算,可用换元法求解.解令x-a=u,y-a=v,z-a=w,则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0.由于x,y,z不全相等,所以u,v,w不全为零,所以u2+v2+w2≠0,从而有说明从本例中可以看出,换元法可以减少字母个数,使运算过程简化.例7 化简分式:适当变形,化简分式后再计算求值.(x-4)2=3,即x2-8x+13=0.原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10,原式分母=(x2-8x+13)+2=2,说明本例的解法采用的是整体代入的方法,这是代入消元法的一种特殊类型,应用得当会使问题的求解过程大大简化.解法 1 利用比例的性质解决分式问题.(1)若a+b+c≠0,由等比定理有所以a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a,于是有(2)若a+b+c=0,则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b,于是有说明比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时,灵活巧妙地使用,便于问题的求解.解法 2 设参数法.令则a+b=(k+1)c,①a+c=(k+1)b,②b+c=(k+1)a.③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c),所以 (a+b+c)(k-1)=0,故有k=1或 a+b+c=0.当k=1时,当a+b+c=0时,说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件,可使已知条件便于使用.第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容,它涉及的基础知识较多,主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则,因式分解的知识与技能技巧等等,因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一.本讲主要介绍恒等式的证明.首先复习一下基本知识,然后进行例题分析.两个代数式,如果对于字母在允许范围内的一切取值,它们的值都相等,则称这两个代数式恒等.把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形.恒等式的证明,就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等.证明恒等式,没有统一的方法,需要根据具体问题,采用不同的变形技巧,使证明过程尽量简捷.一般可以把恒等式的证明分为两类:一类是无附加条件的恒等式证明;另一类是有附加条件的恒等式的证明.对于后者,同学们要善于利用附加条件,使证明简化.下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧.1.由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式).例 1 已知x+y+z=xyz,证明:x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz.分析将左边展开,利用条件x+y+z=xyz,将等式左边化简成右边.证因为x+y+z=xyz,所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边.说明本例的证明思路就是“由繁到简”.例 2 已知1989x2=1991y2=1993z2,x>0,y>0,z>0,且证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k>0),则又因为所以所以说明本例的证明思路是“相向趋进”,在证明方法上,通过设参数k,使左右两边同时变形为同一形式,从而使等式成立.2.比较法a=b(比商法).这也是证明恒等式的重要思路之一.例 3 求证:分析用比差法证明左-右=0.本例中,这个式子具有如下特征:如果取出它的第一项,把其中的字母轮换,即以b代a,c代b,a代c,则可得出第二项;若对第二项的字母实行上述轮换,则可得出第三项;对第三项的字母实行上述轮换,可得出第一项.具有这种特性的式子叫作轮换式.利用这种特性,可使轮换式的运算简化.证因为所以所以说明本例若采用通分化简的方法将很繁.像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式,是分式恒等变形中的常用技巧.全不为零.证明:(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r).同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r).说明本例采用的是比商法.3.分析法与综合法根据推理过程的方向不同,恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法.分析法是从要求证的结论出发,寻求在什么情况下结论是正确的,这样一步一步逆向推导,寻求结论成立的条件,一旦条件成立就可断言结论正确,即所谓“执果索因”.而综合法正好相反,它是“由因导果”,即从已知条件出发顺向推理,得到所求结论.证要证 a2+b2+c2=(a+b-c)2,只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc,只要证 ab=ac+bc,只要证 c(a+b)=ab,只要证这最后的等式正好是题设,而以上推理每一步都可逆,故所求证的等式成立.说明本题采用的方法是典型的分析法.例 6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd,且a,b,c,d都是正数,求证:a=b=c=d.证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0,(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0,所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.因为(a2-b2)2?0,(c2-d2)2?0,(ab-cd)2?0,所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0,所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)=0.又因为a,b,c,d都为正数,所以a+b≠0,c+d≠0,所以a=b,c=d.所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0,所以a=c.故a=b=c=d成立.说明本题采用的方法是综合法.4.其他证明方法与技巧求证:8a+9b+5c=0.a+b=k(a-b),b+c=2k(b-c),(c+a)=3k(c-a).所以6(a+b)=6k(a-b),3(b+c)=6k(b-c),2(c+a)=6k(c-a).以上三式相加,得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a),即 8a+9b+5c=0.说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法,前面的例2用的也是类似方法.这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧.例8 已知a+b+c=0,求证2(a4+b4+c4)=(a2+b2+c2)2.分析与证明用比差法,注意利用a+b+c=0的条件.左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0.所以等式成立.说明本题证明过程中主要是进行因式分解.分析本题的两个已知条件中,包含字母a,x,y 和z,而在求证的结论中,却只包含a,x和z,因此可以从消去y着手,得到如下证法.证由已知说明本题利用的是“消元”法,它是证明条件等式的常用方法.例10 证明:(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z).分析与证明此题看起来很复杂,但仔细观察,可以使用换元法.令y+z-2x=a,①z+x-2y=b,②x+y-2z=c,③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc.联想到乘法公式:a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),所以将①,②,③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0,所以 a3+b3+c3-3abc=0,所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z).说明由本例可以看出,换元法也可以在恒等式证明中发挥效力.例11 设x,y,z为互不相等的非零实数,且求证:x2y2z2=1.分析本题x,y,z具有轮换对称的特点,我们不妨先看二元的所以x2y2=1.三元与二元的结构类似.证由已知有①3②3③得x2y2z2=1.说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中.总之,从上面的例题中可以看出,恒等式证明的关键是代数式的变形技能.同学们要在明确变形目的的基础上,深刻体会例题中的常用变形技能与方法,这对以后的数学学习非常重要.第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切.许多代数式是先化简再求值,特别是有附加条件的代数式求值问题,往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等,经过恒等变形,把代数式中隐含的条件显现出来,化简,进而求值.因此,求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法.下面结合例题逐一介绍.1.利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中,经常被采用.分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的,若解出x后,再求值,将会很麻烦.我们可以先将所求的代数式变形,看一看能否利用已知条件.解已知条件可变形为3x2+3x-1=0,所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1.说明在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能避免解方程(或方程组),而要将所要求值的代数式适当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题得到简捷的解答.例 2 已知a,b,c为实数,且满足下式:a2+b2+c2=1,①求a+b+c的值.解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0.若bc+ac+ab=0,则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,所以 a+b+c=±1.所以a+b+c的值为0,1,-1.说明本题也可以用如下方法对②式变形:。

初中数学竞赛辅导资料

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初中数学竞赛辅导资料解三角形甲内容提要1. 由三角形的已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt △ABC 中,∠C=Rt ∠). ① 边与边的关系: 勾股定理----――c 2=a 2+b 2. ② 角与角的关系:两个锐角互余----∠A+∠B=Rt ∠ ③ 边与角的关系:(锐角三角函数定义)SinA=c a , CosA=c b , tanA=b a , CotA=ab. ④ 互余的两个角的三角函数的关系:Sin(90-A)= CosA , Cos(90-A)= SinA , tan(90-A)= CotA, Cot(90-A)= tanA. ⑤;余弦、余切随着角度的增大而减小(即减函数).3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)① 正弦定理:SinCcSinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径). ② 余弦定理: c 2=a 2+b 2-2abCosC ; b 2=c 2+a 2-2ca CosB ; a 2=c 2+b 2-2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系:Sin(180-A)= sinA , Cos(180-A)= - cosA , tan(180-A)=-cotA , cotA(180-A)=-tanA. ④ S △ABC =21absinC=21bcsinA=21casinB.4. 与解三角形相关的概念:水平距离,垂直距离,仰角,俯角,坡角,坡度,象限角,方位角等. 乙例题例1. 已知:四边形ABCD 中,∠A =60,CB ⊥AB ,CD ⊥AD ,CB =2,CD =1.求:AC 的长.解:延长AD 和BC 相交于E ,则∠E =30.在Rt △ECD 中,∵sinE=CECD, ∴CE=30sin 1=1÷21=2. EB =4. 在Rt △EAB 中, ∵tanE=EBAB,∴AB=EBtan30。

(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)

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(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax (0≠a )的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。

思路点拨:从指数运算律、±1的特征人手,将问题转化为解方程。

【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根,那么1942231+-x x 的值等于( )A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨:求出1x 、2x 的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次,如1213x x -=,2223x x -=。

【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。

思路点拨:因不知晓原方程的类型,故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。

【例4】设方程04122=---x x ,求满足该方程的所有根之和。

思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。

【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等,且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111, 试求x 的值。

思路点拨:运用连等式,通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示,由解方程求得x 的值。

初中数学竞赛辅导资料(六)

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初中数学竞赛辅导资料(六)(含答案) 分式甲内容提要1. 除式含有字母的代数式叫做分式。

分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。

(1)分式BA 中,当B ≠0时有意义;当A 、B 同号时值为正,异号时值为负,反过来也成立。

分子、分母都化为积的形式时,分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。

(2)若A 、B 及BA 都是整数,那么A 是B 的倍数,B是A 的约数。

(3)一切有理数可用BA 来表示,其中A 是整数,B是正整数,且A 、B 互质。

2. 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型,要用特殊方法解答方便。

乙例题 例1.x取什么值时,分式xx x x 23222+--的值是零?是正数?是负数?解: xx x x 23222+--=)2()3)(1+-+x x x x (以零点-2,-1,0,3把全体实数分为五个区间,标在数轴上(如上图)当x=-1,x=3时分子是0,分母不等于0,这时分式的值是零;当x<-2, -1<x<0, x>3时,分式的值是正数(∵负因数的个数是偶数)当-2<x<-1, 0<x<3时,分式的值是负数(∵负因数的个数是奇数)例2.m 取什么值时,分式172-+m m 的值是正整数?解:172-+m m =1922-+-m m =2+19-m当例3.计算14++x x +32--x x -12-+x x -34++x x19-m >-2且m -1是9的约数时,分式的值是正整数即m -1=1,3,9,-9 解得m=2,4,10,-8。

3答:(略)解:用带余除法得,原式=1+13+x +1+31-x -1-13-x -1-31+x =)1)(1()1(3)1(3-++--x x x x +)3)(3()3()3(+---+x x x x=162-x -+962-x =)9)(1(4822--x x 4.已知(a+b )∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a ∶b ∶c ②bcc aba +-22解:设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加 得2(a+b+c )=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式得a=2k, b=k, c=3k∴①a ∶b ∶c =2∶1∶3 ②bc c ab a +-22=k k k kk k 3)3(2)2(22⨯⨯-+=61例5.一个两位数除以它的两个数位上的数字和,要使商为最小值,求这个两位数;如果要使商为最大值呢?解:设这个两位数为10x+y ,那么0<x ≤9, 0≤y ≤9y x yx ++10=1+yx x +9 当x 取最小值1,y 取最大值9时,分式yx x+9的值最小;当x 取最大值9,y 取最小值0时,分式yx x +9的值最大。

初中竞赛书籍推荐数学试卷

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在初中阶段,参加各类竞赛对于提高学生的数学素养和应试能力具有重要意义。

为了帮助同学们在竞赛中取得优异成绩,本文为您推荐几本优秀的初中数学竞赛书籍,并附上相应的试卷,供同学们参考和练习。

一、书籍推荐1.《初中数学竞赛一本通》本书由我国著名数学家、竞赛教练编写,内容涵盖了初中数学竞赛的各个知识点,包括数论、组合、几何、概率与统计等。

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2.《数学奥林匹克竞赛试题精选》本书收集了全国各地数学竞赛的真题,内容丰富,难度适中。

书中不仅提供了详细的解答过程,还附有答案解析,帮助同学们掌握解题技巧。

3.《初中数学竞赛必备》本书是专为初中数学竞赛设计的辅导书,涵盖了竞赛中的所有知识点,并配有大量的例题和习题。

书中还介绍了各种解题方法和技巧,帮助同学们在竞赛中脱颖而出。

二、试卷推荐1.数论试卷(1)已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2,且a+b+c=100,求a、b、c的值。

(2)设正整数m、n、p、q满足m^2+n^2=p^2+q^2,且m+n+p+q=100,求m、n、p、q的值。

2.组合试卷(1)从1到9这9个数字中,任取3个不同的数字,组成一个三位数,求这个三位数的个数。

(2)从1到10这10个数字中,任取4个不同的数字,组成一个四位数,求这个四位数的个数。

3.几何试卷(1)已知直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,求BC的长度。

(2)在平面直角坐标系中,点A(2,3)、B(5,1),求线段AB的长度。

4.概率与统计试卷(1)一个袋子里有5个红球、3个蓝球和2个绿球,随机取出一个球,求取到红球的概率。

(2)某班有40名学生,其中男生20名,女生20名。

随机选取3名学生,求这3名学生中至少有2名男生的概率。

通过以上书籍和试卷的推荐,相信同学们在初中数学竞赛中能够取得优异的成绩。

在备考过程中,同学们要注重基础知识的学习,掌握各种解题方法,多做题、多总结,不断提高自己的数学素养。

全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲

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合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。
2.根椐质数定义可知
1)质数只有1和本身两个正约数,
2)质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,
如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
8.8个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972中,能被下列各数整除的有(填上编号):6________,8__________,9_________,11__________
9.从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个,
解:五位数字都不相同的最小五位数是10234,
但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行
调整末两位数为30,41,52,63,均可,∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习
1.分解质因数:(写成质因数为底的幂的連乘积)
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
那么N+2,N+3,N+4,N+5就是适合条件的四个合数. 即32,33,34,35就是所求的一组数。
本题可推广到n个。
令N等于不大于n+1的所有质数的积,那么N+2,N+3,N+4,……N+(n+1)就是所求的合数。
练习3
1.小于100的质数共___个,它们是__________________________________
三在近似数中,当0作为有效数字时,它表示不同的精确度。
例如 近似数1.6米与1.60米不同,前者表示精确到0.1米(即1分米),误差不超过5厘米;

初中数学竞赛辅导讲义(总77页)

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初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义(初三)第一讲 分式的运算[知识点击]1、分部分式:真分式化为另几个真分式的和,一般先将分母分解因式,后用待定系数法进行。

2、综合除法:多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算,可列竖式来进行。

3、分式运算:实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]例1.化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解:原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2. 已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ,且xyz ≠0,求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

解:易知:z y x + = y z x + = x z y + =k 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x (1)+(2)+(3)得:(k-2)(x+y+z)=0 k=2 或 x+y+z=0 若k=2则原式= k 3 = 8 若 x+y+z=0,则原式= k 3 =-1例3.设 12+-mx x x =1,求 12242+-x m x x 的值。

解:显然X 0≠,由已知x mx x 12+- =1 ,则 x +x1 = m + 1 ∴ 22241x x m x +- = x2 + 21x - m2= (x +x1)2-2 –m2 =( m +1)2-2- m2= 2m -1 ∴原式=121-m例4.已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除,求a的值。

解:1- a=0 ∴ a=1例5:设n为正整数,求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n < 21证:左边=21(1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ) =21(1- 121+n )∵n 为正整数,∴121+n < 1 ∴1- 121+n < 1 故左边< 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式:)(1k x x + = k 1 (x 1 - kx +1) 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法,其优点在于设连比值为K ,将连等式化为若干个等式,把各字母用同一字母的解析式表示,从而给解题带来方便。

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第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如:方程 2x +6=0, x (x -1)=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解分别是: x =-3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数,无解。

2. 关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax =b 后,讨论它的解:当a ≠0时,有唯一的解 x =ab ; 当a =0且b ≠0时,无解;当a =0且b =0时,有无数多解。

(∵不论x 取什么值,0x =0都成立)3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a |b 时,方程有整数解;当a |b ,且a 、b 同号时,方程有正整数解;当a 、b 同号时,方程的解是正数。

综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时,方程a (a -2)x =4(a -2) ①有唯一的解?②无解?③有无数多解?④是正数解?例2 k取什么整数值时,方程①k(x+1)=k-2(x-2)的解是整数?②(1-x)k=6的解是负整数?例3己知方程a(x-2)=b(x+1)-2a无解。

问a和b应满足什么关系?例4a、b取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7有无数多解?第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义,写出下列方程的解:① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9, ④|x |=-3,⑤3x +1=3x -1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解,那么a __________3. 在方程a (a -3)x =a 中,当a 取值为____时,有唯一的解; 当a ___时无解;当a _____时,有无数多解; 当a ____时,解是负数。

4. k 取什么整数值时,下列等式中的x 是整数?① x =k4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时,方程x -k =6x 的解是 ①正数? ②是非负数?6. m 取什么值时,方程3(m +x )=2m -1的解 ①是零? ②是正数?7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数,那么a 、b 应满足什么关系?8. m 取什么整数值时,方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解,求a 、b 的值。

第二篇 二元一次方程的整数解第一部分 基本方法1. 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax +by =c 中,若a ,b 的最大公约数能整除c ,则方程有整数解。

即如果(a ,b )|c 则方程ax +by =c 有整数解显然a ,b 互质时一定有整数解。

例如方程3x +5y =1, 5x -2y =7, 9x +3y =6都有整数解。

返过来也成立,方程9x +3y =10和 4x -2y =1都没有整数解,∵(9,3)=3,而3不能整除10;(4,2)=2,而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数,(a ,b )中的a ,b 实为它们的绝对值。

2. 二元一次方程整数解的求法:若方程ax +by =c 有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k 来表示它的通解(即所有的解)。

k 叫做参变数。

方法一,整除法:求方程5x +11y =1的整数解解:x =5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数),则y =1-5k (2) , 把(2)代入(1)得x =k -2 (1-5k )=11k -2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 51211(k 是整数) 方法二,公式法:设ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00(x 0,y 0可用观察法) 1, 求二元一次方程的正整数解:① 出整数解的通解,再解x ,y 的不等式组,确定k 值② 用观察法直接写出。

第二部分 典例精析例1 求方程5x -9y =18整数解的能通解例2 求方程5x+6y=100的正整数解例3 甲种书每本3元,乙种书每本5元,38元可买两种书各几本?第三部分典题精练1. 求下列方程的整数解①公式法:x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法:3x+10y=1, 11x+3y=42.求方程的正整数解:①5x+7y=87, ②5x+3y=1103.一根长10000毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长300毫米,乙种毛坯长250毫米,有几种截法可百分之百地利用钢材?4.兄弟三人,老大20岁,老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97,求兄弟三人的岁数。

5. 下列方程中没有整数解的是哪几个?答:(填编号)③4x+2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.6.一张试巻有20道选择题,选对每题得5分,选错每题反扣2分,不答得0分,小这军同学得48分,他最多得几分?7. 用观察法写出方程3x +7y =1几组整数解:第三篇 二元一次方程组解的讨论第一部分 基本方法1. 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种:① 当212121c c b b a a ==时,方程组有无数多解。

(∵两个方程等效) ② 当212121c c b b a a ≠=时,方程组无解。

(∵两个方程是矛盾的) ③ 当2121b b a a ≠(即a 1b 2-a 2b 1≠0)时,方程组有唯一的解: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x (这个解可用加减消元法求得) 2. 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行。

3. 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。

(见例2、3)第二部分 典例精析例1. 选择一组a ,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275例2. a 取什么值时,方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数?例3. m 取何整数值时,方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数?例4. (古代问题)用100枚铜板买桃,李,榄橄共100粒,己知桃,李每粒分别是3,4枚铜板,而榄橄7粒1枚铜板。

问桃,李,榄橄各买几粒?第三部分 典题精练1. 不解方程组,判定下列方程组解的情况:① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x1. a 取什么值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=+229691322a a y x a a y x 的解是正数?2. a 取哪些正整数值,方程组⎩⎨⎧=--=+ay x ay x 24352的解x 和y 都是正整数?3. 要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x kky x 的解都是整数, k 应取哪些整数值?4.(古代问题)今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,鸡翁,鸡母,鸡雏都买,可各买多少?第四篇用交集解题第一部分基本方法1. 某种对象的全体组成一个集合。

组成集合的各个对象叫这个集合的元素。

例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个。

1.由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A ={1,2,3,6},10的正约数集合B ={1,2,5,10},6与10的公约数集合C ={1,2},集合C 是集合A 和集合B 的交集。

2. 几个集合的交集可用图形形象地表示, 右图中左边的椭圆表示正数集合, 右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆 的公共部分,是它们的交集――正整数集。

不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。

例如不等式组⎩⎨⎧<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是不等式(1)的解集x >3和不等式(2)的解集x >2的交集,x >3.0 2 34.一类问题,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答。

把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案。

有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案。

(如例2)第二部分 典例精析例1. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值。

例2. 有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数。

例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人,订阅B种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A种、只订B种的各几人?数学兴趣小组共有几人?[公式一]N=N+ N(A)+N(B)-N(AB)。

例4. 在40名同学中调查,会玩乒乓球的有24人,篮球有18人,排球有10人,同时会玩乒乓球和篮球的有6人,同时会玩乒乓球和排球的有4人,三种球都会的只有1人,问:有多少人①只会打乒乓球②同时会打篮球和排球③只会打排球?19xy能被33整除,求x和y的值例5.十进制中,六位数87第三部分典题精练1. 负数集合与分数集合的交集是 . 等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。

2. 12的正约数集合A={},30的正约数集合B={}12和30的公约数集合C={},集合C是集合A和集合B的__3. 某数除以3余1,除以5余1,除以7余2,求某数的最小值。

4. 九张纸各写着1到9中的一个自然数(不重复),甲拿的两张数字和是10,乙拿的两张数字差是1,丙拿的两张数字积是24,丁拿的两张数字商是3,问剩下的一张是多少?5. 求符合如下三条件的两位数:①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。

6. 据30名学生统计,会打篮球的有22人,其中5人还会打排球;有2人两种球都不会打。

那么①会打排球有几人?②只会打排球是几人?7. 100名学生代表选举学生会正付主席,对侯选人A 和B 进行表决,赞成A 的有52票,赞成B 的有60票,其中A 、B 都赞成的有36人,问对A 、B 都不赞成的有几人?8. 数、理、化三科竞赛,参加人数按单科统计,数学24人,物理18人,化学10人;按两科统计,参加数理、数化、理化分别是13、4、5人,没有三科都参加的人。

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