第五章线性空间与线性变换

-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2)) =((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2
3. 0=0, k0=0, V, kK 0+=0+1=(0+1)=, 由1.得0=0 .
4. 若k=0, 则, k=0或=0. =1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0
三. 子空间
定义5.3 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U 对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的 子空间.
实系数齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U, 对解 向量的加法和乘数两种运算, 构成实数域R上的一个线性 空间.
数域K上的所有次数小于n的多项式的集合K[x]n, 对多 项式的加法和乘数两种运算, 构成K上的一个线性空间.
线性空间具有下列简单性质: 1. 零向量是唯一的.
01=01+02=02 2. 每个向量的负向量是唯一的.
一. 基 维数 坐标 定义5.4 在线性空间V中, 如果有n个向量1, 2,…,n 线性无关, 而且V中任意向量都可由它们线性表示, 则称 1, 2,…,n为V的一组基, n称为V的维数, V称为n维线性 空间. 仅含零向量的线性空间维数是零, 如果V中有任意多个 线性无关的向量, 称其为无限维线性空间. 如K[x]. 在线性 代数中, 只讨论有限维线性空间.
可见, 如果将线性空间V看成一向量组, 所谓基就是V 的一个极大线性无关组, 所谓维数就是V的秩. 例如
齐次线性方程组Ax=0的基础解系就是方程组解空间 U的基, 如果n元方程组的系数矩阵的秩为r, 则U是n-r维线 性空间.
K[x]n是n维线性空间, 1, x, x2,…,xn-1 是它的一组基. Rmn是mn维线性空间, 如R23的一组基为:
1
0
0 0
0
0
,
0 0
1 0
0 0
,
0 0
0 0
1 0
,
0 1
0 0
0 0
,
0 0
0 10 0 ,源自0 00 00
1
向量组1, 2,…r的一个极大线性无关组, 就是线性
空间L(1, 2,…r)的一组基, 其维数就是向量组的秩.
定理5.2 设V是n维线性空间, 如果V中向量组1, 2,…, m线性无关, 则在V中必有n-m个向量m+1, m+2,…,n, 使 得1, 2,…, m, m+1, m+2,…,n是V的一组基.
例1 试求线性空间R3中向量=(1, 2, 3)T在基:
1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 1, -1)T, 3=(1, -1, -1)T
下的坐标.
解 设所求坐标为(x1, x2, xn)T, 则
=x11+x22+x33
即
x1 x1
x2 x2
x3 x3
1 2
x1 x2 x3 3
解之得, x1=2, x2=-1/2, x3=-1/2.
所以, 向量在基1, 2, 3下的坐标是(2, -1/2, -1/2)T.
也可以写成:
2
1
,2
,3
1 2
1 2
一般地, 向量在基1, 2,…, n下的坐标为(x1, x2,…xn)T, 也可表示为:
数集
Q( 2) {a+b 2|a, b Q}
也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于 有理数域.
二. 线性空间的定义和例子
对几何空间中的向量, 实数域上的n维向量, 实数域 上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两 种运算, 而且满足相同的运算规律, 这就是线性空间.
第五章 线性空间与线性变换
线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线 性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的 概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示.
§1 线性空间的概念
一. 数域 定义5.1 设K是一个数集, 如果 (1) 0, 1K ; (2) a, bK, 都有a+bK, a-bK, abK, 且当b0时, a/bK, 那么称K是一个数域. 可见, 有理数集Q, 实数集R, 复数集C都是数域.
定义5.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在 V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算, 且满足
(1) +=+(加法交换律); (2) (+)+=+(+)(加法结合律); (3) V中有零元素0, 使V有 +0= ; (4) V, -V, 使 +(-)=0, 称-为的负元素; (5) k(+)=k+k , , V, kK; (6) (k+l)=k+l , V, k, lK; (7) (kl)=k(l ) , V, k, lK; (8) 1= , V, 1K;
由定理可见, 含有非零向量的线性空间一定存在基. 基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示.
定义5.5 设1, 2,…, n是线性空间VK的一组基, 如 果VK可以表示为:
=x11+x22+…+xnn
则称(x1, x2,…xn)T为向量在基1, 2,…, n下的坐标. 可见, 坐标是由向量及基的选取唯一确定的.
空间. K[x]n是K[x]的子空间. Knn中所有对称矩阵构成Knn的子空间. 设1, 2,…r 是线性空间VK中的一组向量, 则 L(1,2,…r)={k11+k22+…+krr|k1,k2,…,krK}
是VK的子空间. 称为由1, 2,…r生成的子空间.
§2 基 维数 坐标
齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U构成解空间, 我们知道U中所有向量都可以有Ax=0的基础解系表示. 这 是线性空间的重要性质.
则称V为数域K上的一个线性空间. 记为VK , 或V.
线性空间也称为向量空间, 其元素都称为向量. 例如:
数域K上的所有n维向量组成的集合Kn, 对向量的加法 和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间.
数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn, 对矩阵的加法和 乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间.
按定义可见, 集合{0}是V的子空间, 称之为零子空间, V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它 的称为非平凡子空间.
定理5.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V 的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算 是封闭的. 即
, U, kK, 都有+U, kU
例如 n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子