导数的运算及几何意义

个性化教学辅导教案

1、某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均数为________．

2、已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23

＋y 2

＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且

椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )

A ．2 3

B ．6

C ．4 3

D ．12 3、如图已知圆的半径为，其内接的内角分别为和，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在内的概率为（ ）

A.

B. C. D.

10ABC ∆,A B 6045ABC ∆3316π+334π+433π+1633

π

+

1、导数的概念：

用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数．

2.导数的几何意义:

曲线221y x =+在P （－1，3）处的切线方程是______________

3.导数的运算: 求下列函数的导数：

(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3

(3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3 (4)y ＝ln(2x ＋5)

1.学生对导数的概念不理解，没有学会利用定义求函数的导数；

2.本节课的知识点对于学生而言开始引入导数内容，难度中等，需要在对导数的定义理解的基础上，通过老师的总结引导，能够进行函数的导数运算，同时掌握导数的几何意义；

3.学生在学习导数时对公式的记忆不够熟练，对函数求导的练习量不够，学生学习比较积极，但是缺乏将知识融汇在一起的能力，总结归纳能力还需提高。

【知识点梳理】

1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率

函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，

则平均变化率可表示为Δy

Δx .

2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义

称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →

Δy

Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx .

(2)几何意义

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝__0__ f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝αx α－

1

f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x

f ′(x )＝e x f (x )＝lo

g a x (a >0，且a ≠1)

f ′(x )＝1

x ln a

f (x )＝ln x

f ′(x )＝ 1

x

5.导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

B 、若曲线()x f y =在点()()00,x f x 处有切线，则()0'x f 必存在

C 、若()0'x f 不存在，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在

D 、若曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线

4.已知函数33y x x =-，过点A(2,-6)作曲线()y f x =的切线，求此切线方程

1、【导数的概念】

(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率Δy

Δx ＝________；该函数在x ＝1

处的导数是____________________． (2)已知f (x )＝

1

x

，则f ′(1)＝________.

2、【导数的几何意义】

(1)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2

＋b

x

(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______． (2)如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 (3)已知直线l 1为曲线y ＝x 2

＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.求直线l 2的方程；

3、【导数的运算】

(1)下列求导数运算正确的是( )