第6章习题答案

《现代控制理论》第6章习题解答

6.1 分析开环状态估计方案的误差动态特性。（说明开环形式的观测器其误差的衰减是不变的，而闭环形式的观测器其误差的衰减是可以改变的）。 答：针对线性时不变系统

x Ax Bu

y Cx

=+⎧⎨

=⎩ (1) 开环形式的观测器：x Ax Bu =+

误差动态方程为

e x x Ae =-=

其初始误差(0)e 的时间响应为

()(0)At e t e e =

误差的衰减是由系统模型的状态矩阵决定的，无法改变。

(2) 闭环形式的观测器：()()x Ax Bu L y Cx A LC x Bu Ly =++-=-++

误差动态方程为

()()e x x Ax Bu A LC x Bu Ly A LC e =-=+----=-

其初始误差(0)e 的时间响应为

()()(0)A LC t e t e e -=

误差的衰减由A LC -决定，其中A 、C 由系统模型确定，而观测器增益矩阵L 由设计者决定，所以误差的衰减是可以改变的。

6.2 为什么要构建状态观测器？画出全维状态观测器的系统结构图。写出状态观测器的状态

方程。

答: 构建状态观测器的原因：

（1）在许多实际系统中，系统的状态变量并非都是物理量，从而这些状态变量未必都可以直接测量得到。

（2）即使状态变量是物理量，可以通过传感器测量得到，但要直接测量所有的信号一方面会造成系统成本的提高，另一方面，大量传感器的引入会使系统可靠性降低。

状态观测器的模型为

()

()x Ax Bu L y y A LC x Bu Ly

=++-=-++

其中，x 是观测器的n 维状态，L 是一个n p ⨯维的待定矩阵。

全维状态观测器的系统结构图为：

+

-

y x

6.3 存在龙伯格状态观测器的条件是什么？龙伯格状态观测器中的增益矩阵L 的行数和列数怎样确定？

答：存在龙伯格状态观测器的条件是：系统是状态能观的。龙伯格状态观测器中的增益矩阵

L 的行数和列数分别等于状态变量和输出量的个数。

6.4 在观测器设计中，如何选取观测器极点？

答：在选取观测器极点时，作为一般规则，观测器的极点应该比系统极点快2～5倍，从而使得状态估计误差的衰减比系统响应快2～5倍。当传感器噪声相当大时，可以把观测器极点选择的比系统极点慢两倍，以便使系统的带宽变得比较窄，并且对噪声进行平滑。

6.5 龙伯格状态观测器的增益矩阵L 的计算方法有哪几种？ 答：龙伯格状态观测器的增益矩阵L 的计算方法有

1. 直接法

2. 变换法

3. 爱克曼公式

6.6 给定线性定常系统

x Ax Bu y Cx

=+=

式中

[]110,,10121A B C -⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

试设计一个全维状态观测器，使得观测器的极点为125,5μμ=-=-。

答：首先验证系统的能观性。由于

10[,]11o C A C CA ⎡⎤⎡⎤

Γ==⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦

显然，系统的能观性矩阵是非奇异的，故系统完全能观。因此存在龙伯格型状态观测器，且

状态观测器极点可以任意配置，结合本题，就是存在一个适当维数的常数矩阵L ，使得观测器的极点为125μμ==-。

以下用直接法来确定L ：设[]T

1

2L l l =

[]122112011det[()]det 10012(3)21

l I A LC l l l l λλλλλ⎛⎫

-⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭=+++++

期望的特征多项式是

2(5)(5)1025λλλλ++=++

通过比较系数得到线性方程组

112310

2125

l l l +=⎧⎨

++=⎩ 求解该线性方程组，得到

127,10l l ==

故所求观测器的增益矩阵是

[]T

710L =

相应的状态观测器为

8107()92110x A LC x Bu Ly x u y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=-++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

6.7 在设计基于观测器的输出反馈极点配置控制器中，系统设计的分离性原理指的是什么？ 答: 系统设计的分离性原理是指，在设计基于观测器的输出反馈极点配置控制器时，状态反馈部分和观测器部分的设计彼此独立，互不影响。

6.8 何为全阶观测器？何为降阶观测器？降阶观测器的阶数是怎样确定的？

答: 全阶观测器：该观测器的状态和系统状态具有相同维数，即全阶观测器和系统具有相同阶数。

降阶观测器：观测器的维数小于系统的维数，即只是对状态中一部分分量的估计。 降阶观测器的阶数是状态的维数减去独立测量的输出变量个数。

6.9 考虑习题6.6定义的系统。试设计一个降阶观测器，使得观测器的极点是5μ=-。 答： 由于状态中的第1个分量是可直接测量的，故只需估计状态中的第2个分量，要设计的降阶观测器是1阶的。将矩阵,A B 和状态向量x 作如下分块：

12110,

,121a b x x x A B x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦⎣⎦

因此，

1aa A =-，1ab A =，1ba A =，2bb A =-，0a B =，1b B =

从而可以得到估计不可直接测量状态2x 的观测器为