高等数学等价替换公式
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无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念;
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限;
3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】
1、无穷小与无穷大;
2、无穷小的比较;
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换;
4、求极限的方法。 【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟),在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()
x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-
→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面
我们用
→x *表示上述七种的某一种趋近方式,即
*{
}
-
+
→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00
x x x x x x x x x n
定义:当在给定的→x *下,()f x 以零为极限,则称()f x 是→x *下的无穷小,即()0lim =→x f x *
。
例如, ,0sin lim 0
=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x
,01lim
=∞→x x .1
时的无穷小是当函数∞→∴x x
,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n
n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数,任何
非零常量都不是无穷小。
定义: 当在给定的→x *下,()x f 无限增大,则称()x f 是→x *下的无
穷大,即()∞=→x f x *
lim 。显然,∞→n 时, 、
、、32n n n 都是无穷大量, 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一。无穷
小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如
0lim =-∞
→x x e , +∞=+∞
→x x e lim ,
所以x e 当-∞→x 时为无穷小,当+∞→x 时为无穷大。
2.无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中,如果()x f 为无穷大, 则
()x f 1为无穷小;反之,如果()x f 为无穷小,且()0≠x f ,则()
x f 1为无穷大。 小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0
lim ()
()(),x x x
f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过
程0x x →(或∞→x )中的无穷小.
证:(必要性)设0
lim ()
,x
x f x A 令()(),x f x A α则有0
lim ()
0,x
x x α
).()(x A x f α+=∴
(充分性)设()
(),f x A x α其中()x α是当0x
x 时的无穷小,则
lim ()
lim(())x
x x
x f x A x α )(lim 0
x A x x α→+= .A =
【意义】
(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
(2)0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为
3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
是无穷小,
时例如n
n 1
,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
如:01)1(lim =-∞→n n
n ,01sin lim 0=→x
x x ,0sin 1
lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如,221
0,,,sin ,sin
x
x x x x x
当时都是无穷小,
观察各极限: x
x x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x x
x
x sin lim
0→,1=;sin 大致相同与x x
2
201sin
lim
x x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 1.定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小,且0.α
(1)lim
0,,();o β
βαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ
≠=C C
lim 1,~;β
βααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小,记作
(3)lim (0,0),.k C C k k β
βαα
如果就说是的阶的无穷小
例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →
证:430tan 4lim x x x x →3
0)tan (lim 4x
x x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan lim
x x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,2
1
=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴
2.常用等价无穷小:,0时当→x
(1)x sin ~x ; (2)x arcsin ~x ; (3)x tan ~x ; (4)x arctan ~x ; (5))1ln(x +~x ; (6)1-x e ~x