高等数学等价替换公式
lncosx等价无穷小替换公式
lncosx等价无穷小替换公式
在高等数学中，我们经常会涉及到极限和无穷小的概念。
其中，lncosx等价无穷小替换公式是一条非常重要的公式。
具体而言，当$xto0$时，我们有以下等价无穷小替换公式：
$$ln(1+cos x)sim cos x sim 1-frac{x^2}{2}$$
其中，符号“$sim$”表示两个函数在$xto0$时等价，即它们的极限比值等于1。
该公式的证明可以通过泰勒公式展开和极限运算得到。
这个公式有很多应用，例如在求解一些极限问题时，可以利用它将一个较为复杂的函数转化为一个简单的等价无穷小式子，从而更方便地求解。
总之，lncosx等价无穷小替换公式是高等数学中非常实用的一个公式，值得我们深入学习和掌握。
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高等数学等价替换公式
[评析]：楼主被网上误导了！
x 与 ln(1+x） 是同价无穷小
x^2 与 x*ln(1+ ln(1+x)〕也是同价无穷小。
[评析]：完全正确！
4、“而如果分子或分母上的无穷小不是由一个因式（如单单一个SIN X,或tan X）构成的，而是由多个因式通过相乘除或相加减构成的，如 ln（1+x）* x 和ln（1+x）+ x 。那么可以找一个与ln（1+x）* x 或 ln（1+x）+ x 的等价无穷小量来替换他。
[评析] 完全正确！
2、“等价无穷小在是乘除时可以替换，加减时不可替换”。
[评析] 不完全对！
如果只是无穷小之间的加加减减时，结果一定还是无穷小，完全可以替代。
如果加减时，还涉及到其他运算，则不能一概而论。
只要是等价无穷小，都可以替换。
3、“在计算等价无穷小之比的极限时，理论上要替换，是要替换掉分子上的无穷小（整个式子），或者分母上的无穷小（整个式子），这时其实是将整个分子或分母当作一个无穷小”。
因为ln（1+x）*X 这个无穷小是由两个因式 想乘而成的，所以替换掉其中一个ln（1+x）为 x，之后形成的x^2 就是ln（1+x）* x的 等价无穷小，所以可以替换。而ln（1+x）+ x ，因为其是由两个因式相加而形成的无穷小量，所以如果替换掉ln（1+x）为X，而形成的2X不是ln（1+x）+ x的等价无穷小，所以也就不能替换”。
【高等数学】等价无穷小代换
【高等数学】等价无穷小代换定义1. 若 x \to x_0 时，函数f(x) \to 0 , 则称函数f(x) 为 x \to x_0 时的无穷小。
注. x_0 可以是 \pm \infty ；无穷小说的是“函数”，唯一的常数无穷小是 0，其实不是常数 0 而是 0 函数。
•有限个无穷小的和仍是无穷小；(无限个不一定)•有限个无穷小的乘积仍是无穷小；(无限个不一定)•有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
无穷小与函数极限的关系：\lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \Leftrightarrow \quadf(x) = A +\alpha(x), \, \,其中, \alpha(x) 为 x \to x_0 时的无穷小。
二. 无穷小的阶同样是无穷小，在 x \to x_0 时，都趋于 0，但趋于 0 的速度快慢可能是不一样的，为了描述此事，引入无穷小的阶的概念。
定义2. 设 f(x) 和 g(x) 都是 x \to x_0 时的无穷小，（i）若 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 ，则称f(x) 为 g(x) 的高阶无穷小，此时也称 g(x) 为 f(x) 的低阶无穷小；结合该例来记： \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0 , 故 x \to 0 时， x^2 是 x 的高阶无穷小， x 是 x^2 的低阶无穷小。
（ii）若 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l, \quad ( l \neq 0, \infty) , 则称 f(x) 为 g(x) 的同阶无穷小；特别地，若 l = 1 , 则称 f(x) 与 g(x) 为等价无穷小。
三. 等价无穷小代换等价无穷小代换，是求极限过程中经常用到的一种方法，它实际上就是泰勒公式展开的前一项或前两项。
其原理，是基于“等价无穷小”的定义以及“极限的乘法、除法运算法则”：定理1. 设 f(x) 与 g(x) 为 x \to x_0 时的等价无穷小，则（i）若\lim_{x \to x_0} f(x) h(x) =A ，则 \lim_{x\to x_0} g(x) h(x) =A ；（ii）若 \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} = A , 则\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} = A证明: f(x) 与 g(x) 为 x \to x_0 时的等价无穷小，则\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1（i）由极限的乘法运算法则，\lim_{x \to x_0} g(x) h(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{g(x)}{f(x)} \cdot f(x) h(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) h(x) = 1 \cdot A = A（ii）由极限的除法运算法则，\lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} \cdot \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} \frac{h(x)}{f(x)} \cdot \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = A注. 该定理表明求极限时，表达式 f(x)g(x) 的乘法因子 f(x) 可替换为等价无穷小的 g(x) ;表达式 \frac{h(x)}{f(x)} 的除法因子 f(x) 可替换为等价无穷小的 g(x) .特别注意:用等价无穷小代换求极限时，乘积项可以直接代换，和差项不能直接代换，可以整体代换。
高等数学等价交换分式
高等数学等价交换分式
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件
1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。
等价无穷小也是同阶无穷小。
从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。
常用等价无穷小公式是什么
常用等价无穷小公式=1-cosx。
等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。
无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
当x趋近于0时：
e^x-1~x；
ln(x+1)~x；
1-cosx~(x^2)/2；
(1+bx)^a-1~abx。
等价无穷小替换公式加减使用条件
等价无穷小替换公式加减使用条件1.当常数a为有限值时，有以下等价无穷小替换公式：-a*ε≈0（其中ε为无穷小量）-ε/a≈0（其中ε为无穷小量）2.当函数f(x)为有界函数时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)*ε≈0（其中ε为无穷小量）3.当函数f(x)在其中一点x=a处连续且不为零时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)≈f(a)（当x趋近于a时）-ε/f(x)≈0（当x趋近于a时）在加减运算中使用等价无穷小替换公式的条件如下：1.替换公式的使用要满足数学定义的条件。
例如，进行除法运算时，被除数不能为零。
2.进行替换时，需要将等价无穷小放在有界函数或常数的前面进行替换。
即等价无穷小应该在乘法或除法运算中作为因子，而不是作为被乘数或被除数。
3.在进行替换时，需要注意确保替换后的函数与原函数在极限点处的极限值是相等的。
如果替换后的函数与原函数的极限值不相等，可能导致计算结果的误差。
举例说明，在计算极限的过程中使用等价无穷小替换公式：例题1：计算极限lim(x->0) (3x - sinx) / x由于sin(x)是一个连续函数且lim(x->0) sinx = 0，因此可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0。
即lim(x->0) (3x - sinx) / x ≈ lim(x->0) (3x - 0) / x =lim(x->0) 3 = 3例题2：计算极限lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx)由于lim(x->0) sinx = 0且lim(x->0) 1 - cosx = 0，所以可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0，cosx替换为1即lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx) ≈ lim(x->0) (0 - 0) / (1 - 1) = 0在以上例题中，都是通过使用等价无穷小替换公式简化计算过程，但在应用中需要注意使用等价无穷小替换公式的条件，确保计算结果的准确性。
无穷等价替换公式
无穷等价替换公式摘要：1.引言：介绍无穷等价替换公式的概念2.公式推导：详述无穷等价替换公式的推导过程3.公式应用：讨论无穷等价替换公式在数学中的应用4.结论：总结无穷等价替换公式的重要性和影响正文：【引言】在高等数学中，无穷等价替换公式是一种重要的数学工具，它可以帮助我们在求解极限、积分等数学问题时，将复杂的问题转化为更容易求解的形式。
无穷等价替换公式的核心思想是利用无穷小量的性质，将一个函数的无穷小量替换为另一个无穷小量，从而简化问题的求解过程。
在本文中，我们将详细介绍无穷等价替换公式的概念、推导过程以及在数学中的应用。
【公式推导】无穷等价替换公式的推导过程涉及到一些基本的极限性质。
首先，我们需要了解什么是无穷小量。
在数学中，无穷小量是指当自变量趋近于某个值时，因变量趋近于零的量。
例如，当x 趋近于0 时，x^2、x^3、sin(x) 等都是无穷小量。
无穷等价替换公式的推导过程主要依赖于无穷小量的性质：若两个无穷小量在某一点的比值相等，则它们是等价无穷小量。
考虑以下两个无穷小量：f(x) 和g(x)，当x 趋近于a 时，f(x)/g(x) 的极限值为0。
根据等价无穷小量的定义，我们可以得到：lim(x->a) [f(x)/g(x)] = 0将f(x) 替换为h(x)g(x)，其中h(x) 也是无穷小量，那么我们可以得到：lim(x->a) [h(x)g(x)/g(x)] = lim(x->a) [h(x)]由于g(x) 趋近于无穷大，所以g(x) 在分母中可以忽略不计。
因此，我们可以得到：lim(x->a) [h(x)] = 0这说明h(x) 也是无穷小量，并且与f(x) 等价。
因此，我们可以将f(x) 替换为h(x)，从而简化问题的求解过程。
【公式应用】无穷等价替换公式在数学中有广泛的应用，下面我们通过一个具体的例子来说明如何应用无穷等价替换公式求解极限。
例：求极限lim(x->0) [sin(x) - x]我们可以将sin(x) 替换为x + o(x)，其中o(x) 表示一个无穷小量。
x-lnx等价无穷小替换公式
x-lnx等价无穷小替换公式摘要：1.等价无穷小替换公式的概念与意义2.等价无穷小替换公式的应用步骤3.等价无穷小替换公式在极限计算中的作用4.举例说明等价无穷小替换公式的运用5.总结与展望正文：一、等价无穷小替换公式的概念与意义在高等数学中，等价无穷小替换公式是一种求极限的方法，它将复杂函数的极限问题转化为简单函数的极限问题。
所谓等价无穷小，指的是当自变量趋于某个值时，两个函数的比值趋于1。
在这种情况下，我们可以说这两个函数是等价无穷小的。
等价无穷小替换公式就是利用这种等价关系，将原函数中的部分替换为与之等价的函数，从而简化极限问题的求解。
二、等价无穷小替换公式的应用步骤1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项。
2.验证等价无穷小关系，即验证两个函数的比值趋于1。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分，得到一个新的函数。
4.求解新函数的极限，得到原函数的极限。
三、等价无穷小替换公式在极限计算中的作用等价无穷小替换公式在极限计算中的作用主要体现在以下几点：1.简化极限问题：通过将复杂函数替换为简单函数，降低了求解难度。
2.提高计算效率：利用等价无穷小替换公式，可以避免复杂的数学推导和计算。
3.拓宽求解范围：对于一些直接求解困难的极限问题，通过等价无穷小替换公式，可以转化为更容易求解的问题。
四、举例说明等价无穷小替换公式的运用例如，求极限：当x趋于0时，sinx/x的极限为1。
解析：1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项：sinx和x。
2.验证等价无穷小关系：当x趋于0时，sinx/x的极限为1，满足等价关系。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分：将sinx替换为x，得到新函数x/x。
4.求解新函数的极限：当x趋于0时，x/x的极限为1。
因此，原函数sinx/x的极限也为1。
五、总结与展望等价无穷小替换公式是高等数学中求解极限的一种重要方法。
通过寻找合适的等价无穷小项，将原函数简化，从而降低求解难度。
在实际应用中，掌握好等价无穷小替换公式，能够帮助我们更快地解决各种极限问题。
高数中的等价无穷小替换公式
高数中的等价无穷小替换公式在我们学习高等数学的时候，有一个特别重要的知识点，那就是等价无穷小替换公式。
这玩意儿可太有用啦，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多复杂问题的大门。
记得我当年上大学的时候，有一次参加数学竞赛的集训。
那时候，大家都在为了比赛拼命地刷题。
有一道题，是求一个复杂函数的极限。
当时好多同学都被难住了，抓耳挠腮的。
我一开始也有点懵，但是突然想到了等价无穷小替换公式。
那道题大概是这样的：求当 x 趋近于 0 时，(sin x - x)/x³的极限。
一般看到这种式子，可能会觉得很头疼，但是我发现，当x 趋近于0 时，sin x 等价于 x - (1/6)x³。
于是我就把 sin x 替换成了 x - (1/6)x³，式子就变成了 [(x - (1/6)x³) - x]/x³，经过一番化简，答案就轻松出来啦。
咱先来说说等价无穷小替换公式到底是啥。
简单来说，就是在求极限的时候，如果两个函数在某个变化过程中比值的极限是 1 ，那么在一定条件下，就可以把其中一个函数替换成另一个函数来进行计算。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小，tan x 和 x也是等价无穷小，还有 1 - cos x 和 (1/2)x²也是等价无穷小等等。
那为啥要用等价无穷小替换公式呢？这就好比你走在路上，有一条近道能让你更快到达目的地，谁不想走呢？等价无穷小替换能大大简化计算过程，让那些原本复杂得让人头疼的极限问题变得简单明了。
比如说，要求lim(x→0) (tan x - sin x)/x³，如果不用等价无穷小替换，那得用各种复杂的方法，比如洛必达法则，反复求导，算起来可麻烦了。
但如果我们知道当 x 趋近于 0 时，tan x 等价于 x ，sin x 等价于 x ，那式子就可以变成lim(x→0) (x - x)/x³= 0 ，是不是一下子就简单多啦？不过，使用等价无穷小替换公式也有一些要注意的地方。
高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大 1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如,,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim =-∞→x x e ，+∞=+∞→x x e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:定理 10lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则 0lim ()lim(())x x xx f x A x α =+)(lim 0x A x x α→+=.A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); （2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如n n 1,,∞→.11不是无穷小之和为个但n n定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→x x x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x ®当时都是无穷小，观察各极限：x x x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x x x x sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sin limx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义:设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作 (3)lim (0,0),.k C C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1.tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x → 证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4x x x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ；（2）x arcsin ～x ；（3）x tan ～x ；（4）x arctan ～x ；（5）)1ln(x +～x ；（6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ（9）1x a -～ln a x * 用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-=3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设证：αβlim )lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''= 例3 （1）.cos 12tan lim 20x x x -→求；（2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当故原极限202(2)lim12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220x x x -→=21- 例4.2sin sin tan lim3x xx x -→求错解:.~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx x x x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
(2021年整理)高等数学等价替换公式
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无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念;2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较;3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换;4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限. 难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）.最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习(15分钟）. 【授课内容】一、无穷小与无穷大1。
常用的等价无穷小及泰勒公式
常用的等价无穷小及泰勒公式在高等数学的学习中，等价无穷小和泰勒公式是两个非常重要的概念和工具。
它们在极限的计算、函数的近似表达以及解决各种数学问题中都发挥着关键作用。
首先，我们来聊聊等价无穷小。
等价无穷小简单来说就是在某个极限过程中，两个函数的比值趋近于1 。
当我们遇到复杂的极限计算时，如果能够找到合适的等价无穷小进行替换，往往可以大大简化计算过程。
常见的等价无穷小有很多。
比如当 x 趋近于 0 时，sin x 等价于 x ，tan x 等价于 x ，arcsin x 等价于 x ，arctan x 等价于 x 。
还有 1 cos x 等价于 x²/2 ，ln(1 ＋ x) 等价于 x ，e^x 1 等价于 x 等等。
为了更好地理解和运用这些等价无穷小，我们来看几个例子。
假设要求极限lim(x→0) （sin x)／x ，由于 sin x 等价于 x （当 x 趋近于 0 时），所以这个极限就等于 1 。
再比如求极限lim(x→0) （tan x x)／（x³) ，这里我们可以将 tan x 展开为 x ＋ x³/3 ＋ o(x³) （o(x³) 表示 x³的高阶无穷小），然后代入原式进行计算。
接下来，我们说一说泰勒公式。
泰勒公式是用一个多项式函数来逼近一个给定的函数。
它可以将一个复杂的函数在某个点附近展开成一个无穷级数的形式。
对于一个在 x ＝ a 处具有 n 阶导数的函数 f(x) ，它在 x ＝ a 处的泰勒展开式为：f(x) ＝ f(a) ＋ f'（a)（x a) ＋ f'＇（a)（x a)²/2! ＋ f'＇＇（a)（x a)³/3! ＋＋ f⁽ⁿ⁾（a)（x a)ⁿ/n! ＋ Rₙ(x)其中 Rₙ(x) 是余项，表示展开式与原函数之间的误差。
常见函数的泰勒展开式也有很多。
比如 e^x 在 x ＝ 0 处的泰勒展开式为：e^x ＝ 1 ＋ x ＋ x²/2! ＋ x³/3! ＋＋xⁿ/n! ＋sin x 在 x ＝ 0 处的泰勒展开式为：sin x ＝ x x³/3! ＋ x⁵/5! x⁷/7! ＋cos x 在 x ＝ 0 处的泰勒展开式为：cos x ＝ 1 x²/2! ＋ x⁴/4! x⁶/6! ＋泰勒公式的应用非常广泛。
高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求 错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
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无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx .161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5 .3sin 1cos 5tan lim0xx x x +-→求 解: ),(5tan x o x x += ),(33sin x o x x +=).(21cos 122x o x x +=-原式2215()()2lim3()x xo x x o x x o x xx o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim20++++=→.35= 三、极限的简单计算1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，例如924231232lim3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法例如，()63lim 39lim323=+=--→→x x x x x 。
3. 分子（分母）有理化法 例如，()()()()()()355125125123535lim51235lim222222++++-+++++-+=-+-+→→x x x x xxx x x x424lim 22--=→x x x()()()2222lim2--+=→x x x x 2= 又如，()011lim1lim22=++=-++∞→+∞→xx x x x x4. 化无穷大为无穷小法例如，2222173373lim lim142422x xx x x x xx x x ，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。
由此不难得出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→mn m n m n ba b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00110110又如，12111lim21lim=++=+++∞→+∞→xxx x x x ，（分子分母同除x ）。
再如，1153152lim 5352lim -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→n nn n n n n n ，（分子分母同除n 5）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，()0131arctan lim 2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.3214lim 21-+-→x x x x 求解：)32(lim 21-+→x x x ,0=商的法则不能用)14(lim 1-→x x 又,03≠=1432lim21--+∴→x x x x .03== 由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21∞=-+-→x x x x再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7. 分段函数、复合函数求极限例如，).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x)1(lim )(lim 0x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20+=++→→x x f x x ,1=左右极限存在且相等, .1)(lim 0=→x f x 故【启发与讨论】 思考题1：110,sin xyx x当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0 =+=k k x ππ取,22)(0ππ+=k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界， ),3,2,1,0(21)2(0 ==k k x π取,,δ<k x k 充分大时当 ππk k x y k 2sin 2)(=但 .0M <=不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(>x f ，且A x f x =+∞→)(lim ，问：能否保证有0>A 的结论？试举例说明.解：不能保证. 例xx f 1)(=,0>∀x 01)(>=xx f =+∞→)(lim x f x.01lim ==+∞→A xx 思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当+∞→x 时,1)(x x f =x xx g sin )(=都是无穷小量但=+∞→)()(lim x f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxe x x cos lim 0-→；解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim000=-+-=-→→→xxx e x x e x x x x x（2）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 【分析】 “0”型，拆项。