第六章 频响函数脉冲响应函数

y(t ) H () x(t )
则输出简谐分量y(t)又可表示为
y (t ) H ( ) 1 X ( )d e jt 2
所以X(ω)、Y(ω)和H(ω)三者之间的重要关系式为
Y ( ) H ( ) X ( )
or
Y ( ) H ( ) X ( )
Y ( ) H ( ) X ( )
y(t ) H () x0e jt
y0 j e x0e jt x0
H(ω)又可写成复指数形式
H () H () e j
|H(ω)|表示复数H(ω)的模，φ表示其幅角。于是:
y(t ) y0e jt y0e j e jt
y(t ) H () x0e jt
此式对任一频率分量都成立，则对于任意非周期 输入来说，频率响应函数等于输出的傅里叶变换 与输入的傅里叶变换之比。
根据单位脉冲输入和脉冲响应函数的傅里叶变换：
X ( ) 1 Y () h(t )e jt dt

将它们代入到X(ω)、Y(ω)和H(ω)三者的关系式
Y ( ) H ( )
k m 2 jc 1 y (t ) x(t ) 2 k m jc 1 j y0 e x0 2 k m jc

1
x0 e jt
y (t ) y0 e j y0 1 H ( ) (cos j sin ) x(t ) x0 x0 k m 2 jc
系统的线性假设可以使问题的分析大为简化，当系 统受到联合激励时，可以分别确定各个激励单独作用 时引起的响应，然后把它们叠加起来，便得到系统的 总响应。 常参数线性振动系统的运动可用常系数线性微分 方程来描述。 单自由度系统可用一个二阶常微分方程来描述； 多自由度系统则需用多个互相耦合的二阶常微分 方程来描述，其方程个数与自由度数相同。
频响函数： H ( )
1 k m 2 jc
k m 2 c j 2 2 2 (k m ) (c ) (k m 2 ) 2 (c ) 2 A( ) jB( )
实部A(ω)和虚部B(ω)皆为实函数，它们与ω的关系曲 线分别称为频率响应函数的实频特性和虚频特性。
第六章 线性系统的动特性分析
第六章 线性系统的动特性分析
§6-1
§6-2 §6-3 §6-4
频率响应函数
单位脉冲响应函数 单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系
卷积定理
本章将讨论振动系统的激励与响应关系，且 仅限于讨论稳定的常参数线性振动系统。
常参数系统（非时变系统）：振动系统的参数 （如质量、刚度和阻尼等）不随时间而变化。 线性系统:是指适用叠加原理的系统。 若系统在激励x1作用下,其响应为y1； 在激励x2作用下，其响应为y2； 则系统在激励ax1与bx2的联合作用下， 其响应为ay1+by2。
cy ky x(t ) m y
位移 y(t) k c 力 x(t)
对恒幅的正弦激励 x(t)=x0sinωt ，稳态响应是具有相 同频率的恒幅正弦波，但相位滞后φ角，即 y(t)=y0sin(ωt-φ) 设： x(t ) x0e jt 带入方程：
y(t ) y0e j (t )
dt h(t )e jt dt

对于非周期输入信号 x(t) ，可将其利用傅立叶变换展 成一系列谐和分量之和。分别考虑各个谐和分量对系 统的作用结果，然后把它们叠加起来，就得到系统的 总响应。 对于任意输入信号 x(t) ，其频谱 X(ω) 连续变化，取其 由ω到ω＋ dω频带内的频率分量 X(ω) dω讨论，与之 对应的在同一频带内的输出y(t)的频率分量为Y(ω) dω
方程的位移响应 y(t) 就是脉冲响应 函数 h(t) 。当 t>0 时上式变为
my cy ky 0
my cy ky 0
这是弹簧—质量系统的有阻尼自由振动微分方程。表 示衰减振动，在小阻尼情况下，其通解为
y(t ) Ae pt sin(qt )
p k m
q 1 2 p
y0 j e x0e jt x0
用复数H(ω)表示输出与输入的振幅比y0/x0和相位φ， 其模代表了振幅比，幅角即为输出与输入之间的相 位差，φ前面的负号表示输出比输入滞后。
复数H(ω)描述了线性系统在频率域上的动态特性，称 为频率响应函数，简称频响函数。 频率响应函数是线性动力系统的本身特性，与外加激 励(输入)无关。
如图所示的单输入和单输出的常参数系统，其响应 y(t)与激励x(t)之间的关系，可用如下一般形式的线性 微分方程来描述：
x(t) 输入（激励） 常参数线性振动系统 y(t) 输出（响应）
dny d n 1 y dy a n n a n1 n 1 a1 a0 y dt dt dt d mx d m1 x dx bm m bm1 m1 b1 b0 x dt dt dt



x(t )dt I (t )dt I


“冲量”一词原只用于力冲量，在此进行扩展，x(t)可 代表任意一种输入参量，随x(t)代表的物理量不同，I 的量纲也不同。 如当x(t) 代表加速度时， I的量纲为加速度×时间
系统对在 t=0 时作用的单位脉冲所产生的响应 h(t)， 称为单位脉冲响应函数。 如图所示，由于系统在冲量作用之前是静止的，故当 t<0时，有h(t)=0。

单位脉冲输入 脉冲响应函数

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h(t ) dt 0
x(t ) (t ) y (t ) h(t )
分别作傅里叶变换
X ( ) x(t )e
jt
dt (t )e jt dt 1


Y ( ) y(t )e
jt
0 (t ) (t 0) (t 0)



(t )dt (t )dt 1
0
0
若系统激励x(t)的作用时间非常短，可视为理想脉冲
(t )
量纲:[时间]
1
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x(t ) I (t )
当x(t)代表力时，则表示一次锤击或一个脉冲冲量，I 具有力乘时间的量纲。
激励x(t)可能是力、位移、速度或加速度等； 响应y(t)可能是力、位移、速度、加速度或应力等。
§6-1
频率响应函数
对常参数线性振动系统，采用频率响应法或脉 冲响应法来确定响应与激励之间的关系非常方便 ，上述两种方法中的频率响应函数与脉冲响应函 数互为傅里叶变换的关系。 频率响应法是描述线性系统动态特性的一种常 用方法。 对于常参数线性系统，当激励是稳态简谐输入 时，其稳态响应也一定是具有相同频率的简谐输 出，但其幅值和相位有所改变：
1 (k m 2 ) 2 (c) 2
c k m 2
H(ω)的模与相位分别称为幅频特性和相频特性。
6-2 单位脉冲响应函数
除了频率响应函数(对单位简谐输入的响应)也可以 用脉冲响应函数来描述系统的动态特性，它定义为系 统对单位脉冲（即冲量）输入的瞬态响应。
单位脉冲可以用狄拉克δ函数表示
c k 2p 2 m m

c 2 km
两种初始条件分别为： (1)当t≤0时，系统是静止的 y(0 ) y(0 ) 0 (2) 在 t=0 的邻域内，单位脉冲力 δ(t) 引起 位移与速度:
y(0 ) 0
1 y (0 ) m
pt
y(t ) Ae
sin(qt )
频率响应函数是系统对单位简谐输入的响应。
若已知系统的运动微分方程，则将x(t)与y(t)代入运动 微分方程并消去 ejωt 项，可得到 H(ω) 的代数方程。求 解此代数方程，便可得到复数频率响应函数H(ω)。
例5.1 图示弹簧—阻尼器系统。假设在质量为 m的小车上作用激励力 x(t)，小车的位移响应为 y(t)。试确定响应对激励的振幅比和相位角。 解：对于刚度为 k 的线性弹 簧和阻尼系数为 c 的线性阻 尼器，可得系统的运动微 分方程
H ( ) h(t )e jt dt

H ( ) h(t )e jt dt


说明频率响应函数是脉冲响应函数的傅里叶变换。
1 h(t ) 2



H ( )e jt d
而脉冲响应函数是频率响应函数的傅里叶逆变换
H ( ) 1 k m 2 c
1 pt e sin qt h(t ) mq 0 (t 0) (t 0)
可证明上述两式分别为傅立叶变换对
6-4 卷积定理
本章1－2节讨论了系统对单位简谐激励和单位脉 冲激励的响应。以此为基础应用频率响应法或脉冲 响应法分析线性系统对任意输入的响应。
求得： 0
1 A mq
故在单位脉冲力作用下，图示系统的脉冲响应函数为
1 pt e sin qt h(t ) mq 0 (t 0) (t 0)
6-3单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系
频率响应函数H(ω)描述了系统对单位简谐输入的响应 脉冲响应函数h(t)描述了系统对单位脉冲输入的响应 两者分别在频域和时域描述了系统的动态特性。
cy ky x(t ) m y
( j )2 my0e j (t ) jcy0e j (t ) ky0e j (t ) x0e jt (k m 2 jc ) y0e j (t ) x0e jt
y0 e
j (t )
对应简谐分量输入的时域波形
1 x(t ) X ( )d e jt 2 1 Y ( )de jt 2
与此简谐输入相对应的简谐输出的时域波形
y (t )
1 x(t ) X ( )d e jt 2
1 y (t ) Y ( )de jt 2
对于简谐输入x(t)=x0ejωt来说，与其相应的输出为
y(0 ) 0
1 y (0 ) m
x(t)=δ(t) m y(t) k c
将上述初始位移与初始速度带入方程：
y(t ) Ae
pt
sin(qt )
sin(q *0 ) Asin
y(0) Ae
p 0
y(0) ( Ae pt sin(qt ))'
x(t ) x0 sin t
y(t ) y0 sin(t )
x(t ) x0 sin t
y(t ) y0 sin(t )
将输入简谐函数表示为复指数
x(t ) x0e jt
稳态输出则可表示为复数H(ω)与输入x0ejωt的乘积
y(t ) y0e j (t ) y0e j e jt
H ( )
1 k m 2 jc
k m 2 c j 2 2 2 (k m ) (c ) (k m 2 ) 2 (c ) 2 y (t ) y0 H ( ) (cos j sin ) x(t ) x0
H ()
tan
H ( ) 1 k m 2 jc
(t 0) (t 0)
1 pt e sin qt h(t ) mq 0
两者都取决于系统参数，之间有何内在联系
假定系统稳定，即受激励前是静止的，且在脉冲作用 之后，其运动又逐渐衰减，则系统对单位脉冲输入的 响应函数h(t)是绝对可积的，即满足收敛条件：
h(t) x(t)=δ(t) y(t)=h(t) t
0
例：图示的单自由度线性系统在 t=0 时受到单位力冲 量输入 x(t)=δ(t) ，求该系统的脉冲响应函数 h(t) 。 解 : 设系统的位移响应为 y(t) ，其运 动微分方程可表示为
my cy ky (t )
x(t)=δ(t) m y(t) k c