正态分布练习题(含部分答案)
正态分布习题与详解(非常有用-必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
正态分布练习题
正态分布练习题一、选择题：1. 正态分布曲线的特点是（）。
A. 左右对称B. 呈钟形C. 均值、中位数和众数相等D. 所有选项都正确2. 正态分布的数学期望μ和标准差σ决定了（）。
A. 分布的形态B. 分布的中心位置C. 分布的离散程度D. 以上都是3. 正态分布中，数据在均值两侧各占总体的百分比是多少？（）A. 34.1%B. 68.2%C. 95.4%D. 99.7%4. 以下哪个不是正态分布的性质？（）A. 曲线是连续的B. 曲线是无界的C. 曲线是对称的D. 曲线的总面积为1二、填空题：1. 正态分布的概率密度函数是 \( f(x) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \) ，其中 \( \mu \) 代表______，\( \sigma \) 代表______。
2. 如果一个正态分布的均值是100，标准差是15，那么数据落在85到115之间的概率是______。
三、计算题：1. 假设某次考试的成绩服从正态分布，均值为80分，标准差为10分。
计算成绩在70分到90分之间的学生所占的百分比。
2. 一个工厂生产的零件尺寸服从正态分布，均值为50mm，标准差为0.5mm。
如果要求零件尺寸在49.5mm到50.5mm之间的合格率不低于99%，计算工厂需要控制的不合格率。
四、简答题：1. 描述正态分布的三个主要特征，并解释它们在统计学中的意义。
2. 为什么在实际应用中，正态分布被认为是一种理想的分布？请结合实际例子说明。
五、应用题：1. 某公司员工的月工资服从正态分布，均值为5000元，标准差为800元。
如果公司希望95%的员工工资在4000元到6000元之间，问公司需要调整工资分布的均值和标准差吗？如果需要，应如何调整？2. 某大学统计了学生的身高数据，发现这些数据服从正态分布，均值为170cm，标准差为10cm。
利用正态分布求概率练习题
利用正态分布求概率练习题正态分布是概率论与统计学中的一种重要分布，也被称为高斯分布。
利用正态分布求概率是统计学中常见的问题，下面将通过一些练习题来演示如何利用正态分布求解概率。
1. 练习题一：假设某城市成年男性的身高服从均值为175厘米，标准差为6厘米的正态分布。
现在我们想要计算这个城市成年男性身高在160厘米到170厘米之间的概率。
解答：首先，我们需要将身高标准化为标准正态分布。
标准化的方法是计算出以下z分数：z = (x - μ) / σ其中，x代表某个具体的身高数值，μ代表均值，σ代表标准差。
将x=160代入计算：z1 = (160 - 175) / 6 = -2.5将x=170代入计算：z2 = (170 - 175) / 6 = -0.83然后，我们需要查找标准正态分布表来获得对应z值的概率。
查表可知，z1对应的概率为0.0062，z2对应的概率为0.2031。
因此，成年男性身高在160厘米到170厘米之间的概率为：P(160 ≤ x ≤ 170) = P(-2.5 ≤ z ≤ -0.83) = P(z ≤ -0.83) - P(z ≤ -2.5) ≈0.2031 - 0.0062 ≈ 0.1969，约为0.197。
2. 练习题二：某汽车厂商生产的轮胎的寿命服从均值为40000公里，标准差为2000公里的正态分布。
现在要求计算这种轮胎的寿命超过43000公里的概率。
解答：同样地，我们需要将寿命标准化为标准正态分布。
标准化的公式为：z = (x - μ) / σ将x=43000代入计算：z = (43000 - 40000) / 2000 = 1.5我们需要查找标准正态分布表来获得对应z值的概率。
查表可知，z=1.5对应的概率为0.9332。
因此，这种轮胎的寿命超过43000公里的概率为：P(x > 43000) = P(z > 1.5) = 1 - P(z ≤ 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668，约为0.067。
正态分布高中练习题及讲解
正态分布高中练习题及讲解1. 题目一：某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 16)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。
2. 题目二：假设某大学新生的数学成绩服从正态分布N(70, 25)，求数学成绩超过80分的学生所占的比例。
3. 题目三：某市居民的身高数据服从正态分布N(170, 10)，如果随机选择一名居民，求其身高超过180cm的概率。
4. 题目四：某公司员工的工作时间服从正态分布N(8, 2)，计算工作时间超过9小时的员工所占的比例。
5. 题目五：某品牌手机的电池寿命服从正态分布N(300, 50)，求电池寿命超过350小时的概率。
讲解：正态分布是统计学中最常见的分布之一，其图形呈钟形，对称于均值。
正态分布的数学表达式为N(μ, σ²)，其中μ是均值，σ²是方差。
正态分布的特点是：- 均值μ决定了分布的中心位置。
- 方差σ²决定了分布的宽度，方差越大，分布越宽，反之亦然。
- 68%的数据位于距均值一个标准差(σ)的范围内。
- 95%的数据位于距均值两个标准差的范围内。
- 99.7%的数据位于距均值三个标准差的范围内。
要解决上述题目，我们可以使用正态分布的性质和Z分数来计算概率。
解题步骤：1. 将数据转换为Z分数，Z = (X - μ) / σ。
2. 查找Z分数对应的概率，通常可以使用标准正态分布表或计算器。
例如，对于题目一，我们首先计算48和52对应的Z分数：- Z1 = (48 - 50) / 4 = -0.5- Z2 = (52 - 50) / 4 = 0.5然后，查找Z分数表或使用计算器得到Z1和Z2对应的概率，最后计算两者之差。
对于题目二至题目五，解题步骤类似，只需将题目中的数据代入相应的公式中计算即可。
通过这些练习，学生可以更好地理解正态分布的概念，掌握如何使用Z 分数来解决实际问题。
同时，这些练习也有助于提高学生的计算能力和逻辑思维能力。
正态分布练习题(含部分答案)
正态分布练习题1正态分布1.1正态函数及曲线特点1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。
若P (ξ>C +1)=P (ξ<C −1)，则C =3.2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π，则总体的均值和方差分别为0和16。
1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)P 1=P (µ−σ<X ≤µ+σ)=0.6826;P 2=P (µ−2σ<X ≤µ+2σ)=0.9544;P 3=P (µ−3σ<X ≤µ+3σ)=0.9974.类型1:(µ,µ+nσ]型,(n =1,2,3):P (µ<X ≤µ+nσ)=12P n ,(n =1,2,3);如：P (µ<X ≤µ+2σ)=12P 2=12×0.9544=0.4772.类似也可求解(µ−nσ,µ]型,(n =1,2,3).类型2:(µ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):P (µ±nσ<X <+∞)=12×[1∓P n ],(n =0,1,2,3);如：P (µ−2σ<X <+∞)=12×[1+P 2]=12×[1+0.9544]=0.9772.类似也可求解(−∞,µ±nσ)型,(n =0,1,2,3).类型3:(µ+kσ,µ+tσ)型,−3≤k <t ≤3:case 1:kt ≤0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P M +P m ],M =max {|k |,|t |},m =min {|k |,|t |}.总结,以上各类型需要与正态曲线的图形有机结合在一起,把概率问题转化为对应区间上图形的面积问题.1练习:1.若X N(µ,1)，求P(µ−3<X≤µ−2)=0.0215.2.若X N(5,1)，求P(6<X≤7)=0.1359.3.若X N(1,1)，求P(3<X≤4)=0.0215.4.若X N(0,1)，求P(−3<X<−∞)=0.9987.1.3应用问题1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。
2020-2021学年北师大版数学选修2-3课后作业：第二章 6 正态分布 Word版含解析
[A 组 基础巩固]1．下列函数中哪个是正态分布密度函数( ) A ．f (x )＝12πσe 222x μσ(-)-，μ和σ(σ>0)都是实数B ．f (x )＝2π2πe 22x -C ．f (x )＝122πe214x (-)-D ．f (x )＝12πe 22x解析：仔细对照正态分布密度函数：f (x )＝12πσ·e 222x μσ-(-)，x ∈(－∞，＋∞)，注意指数上的σ和系数分母上的σ要一致，且指数部分是一个负数．选项A 是错误的，错在系数部分中的σ应该在分母根号的外面． 选项B 是正确的，它是正态分布密度函数N (0,1)．选项C 是错误的，从系数方面看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，不统一． 选项D 是错误的，指数部分缺少一个负号． 所以，选择B. 答案：B2．关于正态曲线性质有下列叙述：(1)曲线关于直线x ＝μ对称，这条曲线在x 轴的上方；(2)曲线关于直线x ＝0对称，这条曲线只有当x ∈(－3σ，3σ)时，才在x 轴的上方； (3)曲线关于y 轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x ＝μ时位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； (5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”． 上述说法正确的是( ) A ．只有(1)(4)(5)(6) B ．只有(2)(4)(5) C ．只有(3)(4)(5)(6)D ．只有(1)(5)(6)解析：正态曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ时处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸时，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x 轴的上方，曲线的形状由σ确定，而且当μ一定时，比较若干不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．答案：A3．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 解析：由P (ξ>1)＝p ，知P (－1<ξ<1)＝1－2p ， ∴P (－1<ξ<0)＝12－p .答案：D4．设随机变量X 服从正态分布，且相应的分布密度函数为f (x )＝16πe －24+46x x -x 2－4x ＋46，则( )A ．μ＝2，σ＝3B ．μ＝3，σ＝2C ．μ＝2，σ＝ 3D ．μ＝3，σ＝ 3解析：由f (x )＝12π×3e 2，得μ＝2，σ＝ 3. 故选C. 答案：C5．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD.2π解析：由正态分布密度曲线上的最高点为(10，12)知12π·σ＝12，∴DX ＝σ2＝2π.答案：C6．已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，则P (X <3)＝________. 解析：由正态分布图像知，μ＝3为该图像的对称轴， P (X <3)＝P (X >3)＝12.答案：127．已知随机变量x ～N (2，σ2)，若P (x ＜a )＝0.32，则P (a ≤x ＜4－a )＝________.解析：由正态分布图像的对称性可得： P (a ≤x ＜4－a )＝1－2P (x ＜a )＝0.36. 答案：0.368．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵X ～N (1，σ2)，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示，故X 落在(0,2)内的概率为P (0<X <1)＋P (1<X <2) ＝0.4＋0.4＝0.8. 答案：0.89．某批待出口的水果罐头，每罐净重X (g)服从正态分布N (184，2.52)，求： (1)随机抽取1罐，其实际净重超过186.5 g 的概率；(2)随机抽取1罐，其实际净重大于179 g 小于等于189 g 的概率． 解析：由题意知μ＝184，σ＝2.5. (1)∵P (X ＞186.5)＝P (X ＜181.5)，又P (181.5≤X ≤186.5)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.683， ∴P (X ＞186.5)＝12[1－P (181.5≤X ≤186.5)]＝12(1－0.683)＝0.158 5. (2)P (179＜X ≤189)＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954.10．某厂生产的圆柱形零件的外直径X (单位：cm)服从正态分布N (4,0.25)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm ，试问该厂生产的这批零件是否合格？请说明理由．解析：由于随机变量X ～N (4,0.25)，由正态分布的性质和3σ原则可知，正态分布N (4,0.25)在(μ－3σ，μ＋3σ)＝(4－3×0.5,4＋3×0.5)＝(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而 5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了小概率事件，所以据此可认为该批零件是不合格的．[B 组 能力提升]1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝() A．0.447 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：由ξ～N(0，σ2)，且P(ξ>2)＝0.023，知P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.答案：C2．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于________．解析：由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k.而μ＝2，所以k＝2.答案：23．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，则此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为________．解析：由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.683，又由于P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954，所以此人在10分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954，那么此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954－0.683＝0.271，由正态密度曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 5.答案：0.135 54．若一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式；(2)求正态总体在(－4,4)内的概率．解析：(1)由于该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即μ＝0，由14 2π＝12πσ，解得σ＝4，所以该函数的解析式为f(x)＝142πe232x，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4＜X<4)＝P(0－4＜X<0＋4)＝P(μ－σ＜X<μ＋σ)＝0.683.5．某投资商制定了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，他应该选择哪一个方案？解析：①当选择X～N(8,32)的方案时，则有μ＝8，σ＝3.∴P (8－3<X <8＋3)＝P (5<X <11)＝0.683，∴P (X >5)＝12＋P (5<X <8)＝12＋12P (5<X <11)＝0.5＋0.341 5＝0.841 5.即选择X ～N (8,32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.841 5. ②当选择X ～N (7,12)的方案时， 则有μ′＝7，σ′＝1.∴P (7－2×1<X <7＋2×1)＝P (5<X <9)＝0.954，∴P (X >5)＝12＋P (5<X <7)＝12＋12P (5<X <9)＝0.5＋0.477＝0.977.即选择X ～N (7,12)的方案时，利润超过5万元的概率为0.977. 综上可得选择X ～N (7,12)的方案时，利润超过5万元的概率大． 故他应该选择X ～N (7,12)的方案．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
正态分布练习题
正态分布练习题正态分布是概率论和统计学中非常重要的概率分布之一，广泛应用于各个领域。
为了帮助读者更好地理解和应用正态分布，下面将给出一些正态分布的练习题。
练习题1：某大学的数学成绩呈正态分布，平均分为70，标准差为10。
请计算以下问题的概率：a) 某位学生得分高于85分的概率。
b) 某位学生得分在60分到80分之间的概率。
c) 某位学生得分低于60分的概率。
练习题2：某工厂生产的零件长度呈正态分布，平均长度为100mm，标准差为5mm。
请计算以下问题的概率：a) 从生产线上随机抽取一只零件，其长度在105mm到110mm之间的概率。
b) 从生产线上随机抽取10只零件，其平均长度大于105mm的概率。
c) 从生产线上随机抽取100只零件，其平均长度在98mm到102mm 之间的概率。
练习题3：某城市的日降水量呈正态分布，平均降水量为10mm，标准差为3mm。
请计算以下问题的概率：a) 某天降水量超过14mm的概率。
b) 连续5天的平均降水量低于8mm的概率。
c) 连续10天的总降水量在90mm到110mm之间的概率。
练习题4：某配送中心的送货时间呈正态分布，平均送货时间为30分钟，标准差为5分钟。
请计算以下问题的概率：a) 某次送货时间少于20分钟的概率。
b) 连续10次送货的平均时间在28分钟到32分钟之间的概率。
c) 某天送货总时间超过8小时的概率。
练习题5：某社交平台上用户每日登录次数呈正态分布，平均登录次数为50次，标准差为10次。
请计算以下问题的概率：a) 某用户某天登录次数超过60次的概率。
b) 某用户连续7天的登录次数少于45次的概率。
c) 某用户连续30天的平均登录次数在48次到52次之间的概率。
以上是关于正态分布的一些练习题，通过计算这些概率问题可以更好地理解正态分布的特点和应用。
希望读者能够通过这些练习题提高对正态分布的理解和掌握。
高中数学选修2-3同步练习题库：正态分布(填空题：一般)
正态分布（填空题：一般）1、某班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在分以上的有人；2、若随机变量服从正态分布，，，设，且则__________.3、在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则__________．4、在我校2017年高二某大型考试中，理科数学成绩，统计结果显示.假设我校参加此次考试的理科同学共有2000人，那么估计此次考试中我校成绩高于120分的人数是___________.5、已知正态总体落在区间上的概率是，则相应的正态曲线在__________时，达到最高点．6、若，，，则_____.7、某班有45名学生，一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为__________．8、已知正态分布总体落在区间（0.2，+∞）的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x= ______时达到最高点．9、设随机变量，且，，则__________．10、设随机变量ξ～N（4，9），若P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣3），则c=-__________11、设随机变量服从正态分布，若，则_________12、在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则落在内的概率为__________．13、商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布N(10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为________．（精确到0.0001）注：P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜x≤μ＋3σ)＝0.9974．14、已知随机变量服从正态分布，且方程有实数解得概率为，若，则__________．15、若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．16、某地区数学考试的成绩服从正态分布，正态分布密度函数为，其密度曲线如图所示，则成绩位于区间的概率是__________．（结果保留3为有效数字）本题用到参考数据如下：，.17、若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．18、若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．19、若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．20、某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________．21、在某项测量中，测量结果ξ～N(1，σ2)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(－∞，2]内取值的概率为________．22、在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩（），统计结果显示，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有人．23、设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为________．24、已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若，则．25、某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人．26、已知随机变量，，若，，则__________．27、在某市日前进行的2009年高三第二次模拟考中，参加考试的2000名理科学生的数学成绩在90—110分的人数为800人，统计结果显示，理科学生的数学成绩服从正态分布，则2000名理科学生的数学成绩不低于110分的人数是28、设随机变量，则______.29、已知随机变量服从正态分布. 若，则等于．30、已知随机变量服从正态分布，，则．31、设随机变量服从正态分布，若，则．32、设随机变量服从正态分布，若，则的值为 .33、已知正态分布密度曲线,且,则方差为 .34、已知正态分布密度曲线,且,则方差为 .35、商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为 .（精确到0.0001）36、设X～N(0,1)．①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③已知P(－1＜X＜1)＝0.6826，则P(X＜－1)＝0.1587；④已知P(－2＜X＜2)＝0.9544，则P(X＜2)＝0.9772；⑤已知P(－3＜X＜3)＝0.9974，则P(X＜3)＝0.9987.其中正确的有________(只填序号)．37、已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(0<X<2)＝________．38、已知正态分布总体落在区间(－∞，0.3)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．39、设，且总体密度曲线的函数表达式为：，x∈R求的值。
(完整版)高中正态分布经典练习题
正态散布一、选择题1.已知随机变量听从正态散布 N ( 2,9) ，若 P( c 1) P( c 1) ，则 c 等于（）2.已知随机变量听从正态分 N ( 2, 2 ) ，且 P( 4) 0.8 ，则 P(0 2) 等于（）3.已知随机变量听从正态散布 N ( 2, 2 ) ， P( ≤ 4) 0.84 ，则 P( ≤ 0) 等于（）4.已知随机变量X 听从正态散布N (2,2)，P(0 X 4) 0.8 ，则 P( X 4) 等于（）A ．5.已知随机变量听从正态散布 N ( 3, 2 ) ，且 P( 2) 0.3 ，则 P(2 4) 等于（）6.已知随机变量听从正态散布 N ( 3, 2 ) ， P( ≤ 4) 0.842 ，则 P( ≤ 2) 等于（）7.已知随机变量X 听从正态散布N (3,1)，且P(2 X 4) 0.6826 ，则 P( X 4) 等于（）8.已知随机变量X 听从正态散布N (0, 2 ) ，若 P( X 2) 0.023 ，则 P( 2 ≤ X ≤ 2) 等于（）9.在某次联考数学测试中，学生成绩听从正态散布(100, 2 ) ( 0) ，若在（ 80,120）内的概率为，则落在（ 0,80）内的概率为（）10. 已知随机变量X 服从正态分布 N ( , 2 ) ，且 P( 2 X 2 ) 0.9544 ，P( X ) 0.6826 ，若4, 1 ,则 P(5 X 6) （）11.某商场经营的一种袋装的大米的质量听从正态散布2 )（单位 kg）,任选一袋这类大米，其质量在9.8~10.2kg 的概率为（）12.一批电池的使用时间 X （单位：小时）听从正态散布N ( 36,42 ) ，在这批灯泡中任取一个“使用时间不小于 40 小时”的概率是（）第 1 页共2页二、填空题13. 某校在本学期期中考试中，理科数学考试成绩~ N ( 90,2 ),统计结果显示P(60 120) ，该校参加此次考试的理科学生共420 人，试预计该校成绩高于120 分的理科学生数为 __________.14. 某班有50 名学生，一次考试的成绩服从正态分布 N (100, 2 ) , 已知P(90 100) ,预计该班数学成绩在110分以上的人数为 __________.15.某中学 200 名考生的高考数学成绩近似听从正态散布N (120,102)，则此校数学成绩在140 分以上的考生人数约为 __________.16.某市高二理科学生数学考试的成绩 x 听从正态散布，其密度曲线如图，已知该市理科学生总数是 10000 人，则成绩位于(65,85]的人数约 __________.17. 在某项丈量中，丈量结果听从正态散布N (1, 2 ) (0) ，若在(0,1)内取值的概率为，则在(0,2)内取值的概率为__________.18.假定每日从甲地去乙地的游客人数 X 是听从正态散布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的游客人数不超出900 的概率为 __________.19.一批电阻的阻值 X 听从正态散布N (1000,52) (单位 ).今从甲乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011和982，能够以为__________. (填写正确序号)①甲乙两箱电阻均可出厂；②甲乙两箱电阻均不行出厂；③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不行出厂；④甲箱电阻不行出厂，乙箱电阻可出厂.20. 某一零件由三个电子元件按下列图方式连结而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3正常工作，则零件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时 )均听从正态散布N (1000,502 ) ，且各个元件可否正常工作互相独立，那么该零件的使用寿命超出1000 小时的概率为 __________.15 2O75x20 题图16题图第 2 页共2页。
正态分布课后练习题
正态分布课后练习题正态分布是概率论与统计学中非常重要的一个概念，它在现实生活中的应用非常广泛。
为了更好地掌握正态分布的相关知识，下面我将给大家提供一些正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家巩固所学知识。
练习题1：某公司的员工薪资服从正态分布，均值为5000元，标准差为1000元。
请计算以下几个问题：1. 员工薪资在4000元以上的概率是多少？2. 员工薪资在6000元以下的概率是多少？3. 员工薪资在4000元到6000元之间的概率是多少？练习题2：某学校的学生身高服从正态分布，均值为165厘米，标准差为5厘米。
请计算以下几个问题：1. 学生身高在170厘米以上的概率是多少？2. 学生身高在160厘米以下的概率是多少？3. 学生身高在160厘米到170厘米之间的概率是多少？练习题3：某超市的顾客购买的商品金额服从正态分布，均值为50元，标准差为10元。
请计算以下几个问题：1. 顾客购买的商品金额在60元以上的概率是多少？2. 顾客购买的商品金额在40元以下的概率是多少？3. 顾客购买的商品金额在40元到60元之间的概率是多少？练习题4：某地区的降雨量服从正态分布，均值为50毫米，标准差为10毫米。
请计算以下几个问题：1. 降雨量在60毫米以上的概率是多少？2. 降雨量在40毫米以下的概率是多少？3. 降雨量在40毫米到60毫米之间的概率是多少？以上是一些关于正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家更好地理解和应用正态分布的知识。
在解答这些问题时，可以利用标准正态分布表或者统计软件进行计算。
同时，在计算过程中要注意将问题转化为标准正态分布的问题，再进行计算，以便得到准确的结果。
正态分布在实际生活中有着广泛的应用，比如在质量控制中，我们可以利用正态分布来判断产品是否合格；在心理学研究中，我们可以利用正态分布来分析人群的智力水平分布；在金融领域，我们可以利用正态分布来分析股票价格的变动情况等等。
因此，掌握正态分布的相关知识对我们的学习和工作都具有重要意义。
正态分布练习题
正态分布练习题一、选择题A. 正态分布是一种连续概率分布B. 正态分布的形状呈对称性C. 正态分布的均值等于其众数D. 正态分布的方差可以小于0A. (1, 1)B. (2, 2)C. (3, 3)D. (∞, +∞)3. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，若P(X > μ) =0.5，则σ的值：A. 等于0B. 等于1C. 等于μD. 无法确定二、填空题1. 正态分布的密度函数为 _______，其中μ表示 _______，σ表示 _______。
2. 在标准正态分布中，Z分数为2对应的概率约为 _______。
3. 若随机变量X服从正态分布N(0, 1)，则P(X < 1.96)的值约为 _______。
三、计算题2. 设随机变量X服从正态分布N(50, 100)，求P(30 < X < 70)。
3. 已知某班级学生的成绩服从正态分布N(75, 16)，若要选拔前10%的优秀学生，分数线应定为多少分？四、应用题1. 某电子产品生产线上，次品率服从正态分布N(0.02, 0.0025)。
现从生产线上随机抽取100件产品，求恰好有2件次品的概率。
2. 一项研究表明，某城市居民的平均月收入服从正态分布N(5000, 40000)。
求该城市居民月收入超过6000元的概率。
五、判断题1. 正态分布的曲线随着均值μ的增加而向右平移。
（）2. 在正态分布中，标准差σ越大，数据的离散程度越小。
（）3. 任何正态分布都可以通过标准化转换为标准正态分布。
（）六、简答题1. 简述正态分布的特点。
2. 什么是标准正态分布？它有什么特殊意义？3. 如何利用标准正态分布表查找特定区间内的概率？七、作图题均值μ = 60，标准差σ = 102. 在同一坐标系中，绘制两个正态分布曲线，一个均值为50，标准差为5，另一个均值为60，标准差为10，并比较两个曲线的形状和位置。
八、综合题2. 一项心理学研究发现，人们的智商IQ服从正态分布N(100, 15)。
正态分布练习题
正态分布一、选择题１. ［2016·原创信息卷］设随机变量X 服从正态分布N (3,4),若P (Ｘ＞ａ2-４)=P (Ｘ<６-3a ）,则实数a 的值为()A. -5或2 Ｂ. -1或4 C. -5或４ D. -５或－1或2或42. 某班有41的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出5名同学,那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B )41,5(,则Ｅ(2X +1)等于 ()Ａ. 45 B. 25 C ． ３ D. 27 3. 已知X~Ｂ（ｎ,21)，Y~B （ｎ，31）,且Ｅ(X )＝15,则E （Y ）等于 () Ａ. 5 B. １0 C. 1５ D ． ２0 4． 已知随机变量X 服从正态分布N （1,σ2),若Ｐ(X ≤2)=0.7２，则P （X ≤０）＝()A ． 0.22 B. 0.２８ Ｃ. 0.36 D ． 0．６45. 已知随机变量ξ服从正态分布Ｎ(1,σ2）,且P (ξ<2)=0.8,则Ｐ(０<ξ＜1）=()A. 0.2B. 0.3C. ０.4D. 0.6６． 如果随机变量ξ~Ｎ(μ,σ2),Eξ=3,Dξ=1,则Ｐ(－1≤ξ＜1)等于(）A. 2Φ(4)-1B. Φ(4)－Φ(2)C. Φ(2)-Φ（4) D ． Φ(-４)-Φ（-２）7． 设随机变量Ｘ服从正态分布N (μ,σ2),且函数f (x ）=x 2+4x +X 没有零点的概率为21,则μ为 () A. 1 B ． ４ C ． 2 D. 不能确定8. 已知随机变量X 服从正态分布N （0，σ２）,Ｐ(Ｘ＞2)=0.０23,则P (-2≤X ≤2）等于 （)A. 0.477 Ｂ. ０.６28 C. 0.９54 D. ０.９779． 已知随机变量Ｘ～N （2,σ２),若P (X ＜a ）＝０.３2，则P （a ≤X <４-a )等于 (）A. 0.36B. 0.６４C. 0.48D. ０.5210． 某次数学考试中考生的分数X~N (90，１00),则分数在70~１10分的考生占总考生数的百分比是 (）A ． ３1.74%B ． 68.２6％C ． 95.４４%D ． 99.74%二、填空题11. 有学生６00人,一次数学考试的成绩(试卷满分150分）服从正态分布Ｎ(1００,σ2）,统计结果显示学生考试成绩在８0分到100分之间的人数约占总人数的31,则此次考试成绩不低于120分的学生约有人． 12. 已知Ｘ~N (０，σ２),且Ｐ(-2<Ｘ<0)＝0．4，则Ｐ(X >２)的值为.13. 如果随机变量X 服从N (μ,σ2)(σ＞０),且E (Ｘ)=3,Ｄ（X ）=１，则μ=_＿＿_＿＿_，σ=___＿___. 14. 某中学高三年级共有学生１ 20０人,一次数学考试的成绩（满分150分)服从正态分布N (100,σ2），统计结果显示学生成绩在8０分到１００分之间的人数约占总人数的31，则此次考试成绩不低于120分的学生约有人.１5.已知正态分布的数据落在区间(－3，-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态分布的均值为.16. 设随机变量X～N(2,9),若P（X>c+１)=P(Ｘ<c-1）,c的值是.参考答案１．【答案】B【解析】本题考查正态分布的几何性质.由随机变量X服从正态分布N(３,４）可知正态函数关于x＝３对称,又P(X＞ａ2－４)=P(Ｘ<6－3a),所以ａ2-4＋6-3ａ=6,解得ａ=－1或4．2.【答案】D【解析】3.【答案】B【解析】4. 【答案】B【解析】因为X服从正态分布N(1,σ2）,所以对称轴是ｘ=1，所以Ｐ（X≤0)=P(X≥2)=1－ P(X≤２)=1-0.７２＝０.28,所以选Ｂ.5.【答案】B【解析】因为ξ服从正态分布N（１,σ２),即对称轴是x=1,所以P(ξ≤1)＝０.5，且Ｐ(0<ξ<１)=P(1<ξ<2)．因为P(ξ＜2)=０.8，所以P(１<ξ<2)=P(ξ＜2)-P(ξ≤1）=0.3,即P(0<ξ<１)=0.3. 6．【答案】B【解析】7.【答案】B【解析】二次函数没零点，则判别式小于零，据此得到,所以8．【答案】C【解析】由题意得,∵P(X>2)＝０.02３,∴P（Ｘ＜－2)=０.023，故P(－2≤X≤2)=1-P(X＞2）-P(X<-2)=0．9５4.9.【答案】A【解析】1０. 【答案】C【解析】X～N(9０，100),则μ=9０,σ=10．则μ-2σ=7０，μ+2σ=110．故分数在70~1１0分的考生占总考生数的百分比是９5．44%.11. 【答案】１00【解析】因为数学考试成绩X~N(100,σ２)，所以对称轴为x=10０，因为P(８0≤X≤100)＝，所以P（100≤X≤120)=，且P(X≥12０)=P(Ｘ≤80),所以Ｐ(X≥120)＝，所以成绩不低于120分的学生约为600×＝１00(人).１2. 【答案】0.1【解析】由题意知,∵正态曲线关于直线x=0对称,∴Ｐ(0＜X<2)＝0.４.∴Ｐ（X>2)＝P(X>0)-P(0<X<２)＝０.５-0.4=0.１.1３.【答案】31【解析】由题意知,∵X~N（μ,σ2)，∴E(X)＝μ=3，D(X)＝σ2=１.∴σ=１．１4. 【答案】2０0【解析】由于成绩服从正态分布N(100，σ2), 且在80分到100分之间的人数约占总人数的, 因此100分到1２０分之间的人数也约占总人数的，而80分以下与不低于120分的人数共占总人数的，且比例相同,故要求的学生约有×１ 20０=200 (人).１５. 【答案】１【解析】该正态曲线在区间(－３,-1)和区间(３,5)上是对称的．∵区间(-３,-1)和区间(３,5)关于直线x=1对称, ∴正态分布的均值就是1.1６．【答案】2【解析】由Ｘ~N(２,９)可知，密度函数关于直线x=2对称，如图所示，由题意知2-（c-1）=(c+１)－2,故c=２.。
2023年新教材人教A版高中数学选择性必修第三册7.5正态分布 同步课时练习题含答案解析
7.5 正态分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题 1．（2022春·广东潮州·高二统考期末）随机变量ξ服从正态分布()10,4N ξ，则标准差为（ ） A ．2 B ．4C ．10D ．14【答案】A【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差. 【详解】因为ξ服从正态分布()10,4N ξ可知:方差为4，故标准差为2，2．（2022春·江苏常州·高二统考期中）如图是三个正态分布()~0,0.64X N ，()~0,1Y N ，()~0,4Z N 的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为（ ）.A ．①②③B ．③②①C ．②③①D ．①③②【答案】A【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【详解】由题意，得()0.8X σ=，()1Y σ=，()2Z σ=，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且()()()X Y Z σσσ<<， 所以三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为①，②，③.3．（2022春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）随机变量X 的概率分布密度函数()()()2212x f x x σ--=∈R ，其图象如图所示，设()2P X p ≥=，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．pB ．2pC ．12p -D ．12p -A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0B ．若X 是随机变量，则()()()()2121,2141E X E X D X D X +=++=+.C ．已知随机变量()0,1N ξ，若(1)P p ξ>=，则(1)12P p ξ>-=-D ．设随机变量ξ表示发生概率为p 的事件在一次随机实验中发生的次数，则()14D ξ≤某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布()29,1N ，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（ ）. 附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=. A ．12 B ．16C ．30D ．32所以每天学习时间超过10小时的人数为1000.158716⨯≈，6．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）正常情况下，某厂生产的零件尺寸X 服从正态分布()22,N σ（单位：m ），()1.90.1P X <=，则()2.1P X <=（ ）A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.9【答案】D【分析】根据正态分布概率的对称性求解. 【详解】因为()()1.9 2.10.1P X P X <=>=， 所以()1.9 2.110.10.10.8P X <<=--=，所以()()()2.1 1.9 2.1 1.90.9P X P X P X <=<<+<=，7．（2022·高二课时练习）4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：h ）()8,4XN ，则下列说法错误的是（ ）A ．该校学生每周平均阅读时间为8hB ．该校学生每周阅读时间的标准差为2C ．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在46h 的人数约为2718D ．该校学生每周阅读时间低于4h 的人数约占2.28% ()8,4N 知)100.6826≤≈46h 的人数约占(62P X -≤，所以C 错误；0.95442.28%=从N （90，2σ），若()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．30则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为500.210⨯=人， 9．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且(1)(5)P X P X >-=<，则下列说法一定正确的是（ ）A ．3μ=B ．2μ=C ．3σ=D ．2σ=分）服从正态分布()285,N σ，且(8387)0.3,(7883)0.26P P ξξ<≤=<≤=，则(78)P ξ≤=（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.07D ．0.0911．（2022春·江苏苏州·高二校考期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z 服从正态分布()282.5,5.4N ，则(人数保留整数) （ ）参考数据：若20.682 7220.954 5()()()Z N P Z P Z μσμσμσμσμσ<≤≈<≤≈～，，则－＋，－＋，330.997 3()P Z μσμσ<≤≈－＋．A ．年级平均成绩为82.5分B ．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等C ．成绩不超过77分的人数少于150D ．超过98分的人数为1 【答案】ABD【分析】根据正态分布的概念可知A 对，根据对称性可知B 对，根据3σ原则和曲线的对称性即可求解C,D.【详解】由()282.5,5.4N Z ～，可知82.5, 5.4μσ==，所以平均分为82.5μ=，故A 对.12．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知121,X N σ~，220,Y N σ~，则下列结论中正确的是（ ）A ．若12σσ=，则()()10P X P Y >>>B ．若12σσ=，则()()101P X P Y >+>=C ．若12σσ>，则()()0211P X P Y ≤≤<-≤≤D ．若12σσ>，则()()0101P X P Y ≤≤>≤≤13．（2022春·云南昭通·高二校联考期末）设随机变量()2,X N μσ，X 的正态密度函数为()22x f x -，则μ=______.14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）已知随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，若()310.5P a ξ≤+=，则实数=a ______．【答案】3【分析】由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（），结合题意得到a 的值．【详解】随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（）， 由()310.5P a ξ≤+=，可知3110a +=，解得3a =．15．（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()260.6P X <<=，()60.2P X ≥=，则μ=______． 【答案】4【分析】先求出()2P X ≤的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥ ∴2与6关于x μ=对称 ∴4μ=．16．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）某学校高二年级有1500名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()2110,10N ．已知(100110)0.34P X <≤=，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人．17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）随机变量X 服从正态分布，即()10,9X N ~，随机变量23Y X =-，则()E Y =__________，()D Y =__________． 【答案】 17 36【分析】首先根据正态分布的知识得()(),E X D X ，然后可得答案. 【详解】因为()10,9X N ~，所以()()10,9E X D X ==，因为23Y X =-，所以()()2320317E Y E X =-=-=，()()436D Y D X ==， 五、解答题18．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm ）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为μ，标准差为σ． (1)求μ和σ；(2)已知这批零件的内径X （单位：mm ）服从正态分布()2,N μσ，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm ）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由． 参考数据：若()2,XN μσ，则：()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈，()330.9974P X μσμσ-<≤+≈，40.99740.99≈． (200,36N )200180.9974+≈所以五个零件的内径中恰有1态分布()2N 500,5（单位：g ）．(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？。
概率分布的正态分布与均匀分布练习题
概率分布的正态分布与均匀分布练习题1. 问题描述：设随机变量X服从正态分布N(μ1, σ1^2)，随机变量Y服从均匀分布U(a, b)。
根据给定的参数，回答以下问题：1.1 正态分布题a) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(X ＜ 8)。
b) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(X＞6)。
c) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(8＜X＜12)。
d) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(|X - 10| ≤ 2)。
1.2 均匀分布题a) 若Y服从均匀分布U(0, 2)，求P(Y＞1)。
b) 若Y服从均匀分布U(-1, 1)，求P(Y ≥ -0.5)。
c) 若Y服从均匀分布U(2, 6)，求P(3＜Y＜5)。
d) 若Y服从均匀分布U(3, 9)，求P(Y - 6 ≤ 1)。
2. 解答：2.1 正态分布题a) 根据正态分布的性质，转化为标准正态分布求解：Z = (X - μ1) / σ1 = (8 - 10) / 2 = -1标准正态分布表中查得P(Z ＜ -1) = 0.1587因此，P(X ＜ 8) = P(Z ＜ -1) = 0.1587b) 同样转化为标准正态分布求解：Z = (X - μ1) / σ1 = (6 - 10) / 2 = -2标准正态分布表中查得P(Z ＞ -2) = 0.9772因此，P(X ＞ 6) = P(Z ＞ -2) = 0.9772c) 根据性质转化为标准正态分布求解：Z1 = (8 - μ1) / σ1 = (8 - 10) / 2 = -1Z2 = (12 - μ1) / σ1 = (12 - 10) / 2 = 1P(8＜X＜12) = P(-1＜Z＜1)在标准正态分布表中查得P(-1＜Z＜1) = 0.6827因此，P(8＜X＜12) = P(-1＜Z＜1) = 0.6827d) 将不等式转化为两个等式，并根据性质求解： |X - 10| ≤ 2 --> -2 ≤ X - 10 ≤ 2X - 10 ≥ -2 --> X ≥ 8X - 10 ≤ 2 --> X ≤ 12P(|X - 10| ≤ 2) = P(8 ≤ X ≤ 12)P(8 ≤ X ≤ 12) = P((8 - μ1) / σ1 ≤ Z ≤ (12 - μ1) / σ1)P(8 ≤ X ≤ 12) = P((-1) ≤ Z ≤ 1)在标准正态分布表中查得P(-1 ≤ Z ≤ 1) = 0.6827因此，P(8 ≤ X ≤ 12) = P((-1) ≤ Z ≤ 1) = 0.68272.2 均匀分布题a) 根据均匀分布的概率密度函数，计算概率： P(Y＞1) = (b - 1) / (b - a)P(Y＞1) = (2 - 1) / (2 - 0) = 1/2b) 同样利用概率密度函数求解：P(Y ≥ -0.5) = (1 - (-0.5)) / (1 - (-1))P(Y ≥ -0.5) = 1.5 / 2 = 3/4c) 根据概率密度函数计算概率：P(3＜Y＜5) = (5 - 3) / (6 - 2)P(3＜Y＜5) = 2 / 4 = 1/2d) 利用概率密度函数求解：P(Y - 6 ≤ 1) = (1 - (3 - 6)) / (9 - 3)P(Y - 6 ≤ 1) = (1 + 3) / 6 = 4/6 = 2/3以上就是给定问题的解答，涉及到正态分布和均匀分布的概率计算及性质运用。
正态分布公式练习题
正态分布公式练习题正态分布是统计学中的一种重要概率分布，也被称为高斯分布或钟形曲线。
它在自然界和社会科学的许多现象中都有广泛应用。
了解正态分布的公式和运用方法对于统计学学习和实践具有重要意义。
本文将针对正态分布的公式进行练习题，并帮助读者加深对该概率分布的理解。
练习题一：某服装店销售的服装裤子的腰围（cm）符合正态分布，均值为80，标准差为5。
计算：1. 高于85cm的裤子的概率是多少？2. 低于75cm的裤子的概率是多少？解答：1. 高于85cm的裤子概率 = 1 - P(X <= 85)其中，X为服装裤子的腰围，符合正态分布，均值为80，标准差为5。
首先将85转化为标准分数（Z-Score）：Z = (X - μ) / σ = (85 - 80) / 5 = 1然后查找标准正态分布表，找到Z为1对应的累积概率为0.8413。
高于85cm的裤子概率 = 1 - 0.8413 = 0.15872. 低于75cm的裤子概率 = P(X < 75)同样地，将75转化为标准分数：Z = (75 - 80) / 5 = -1查找标准正态分布表，找到Z为-1对应的累积概率为0.1587。
低于75cm的裤子概率 = 0.1587练习题二：某班级的学生成绩符合正态分布，均值为75，标准差为10。
计算：1. 该班级有多少学生的成绩在65分以上？2. 该班级有多少学生的成绩在85分以下？解答：1. 成绩在65分以上的学生数量 = 所有学生数量 - 成绩在65分以下的学生数量首先计算成绩在65分以下的学生概率：P(X < 65)将65转化为标准分数：Z = (65 - 75) / 10 = -1查找标准正态分布表，找到Z为-1对应的累积概率为0.1587。
成绩在65分以下的学生概率 = 0.1587成绩在65分以上的学生概率 = 1 - 0.1587 = 0.84132. 成绩在85分以下的学生数量 = 所有学生数量 - 成绩在85分以上的学生数量计算成绩在85分以上的学生概率：P(X > 85)将85转化为标准分数：Z = (85 - 75) / 10 = 1查找标准正态分布表，找到Z为1对应的累积概率为0.8413。
高中数学选择性必修三 精讲精炼 7 5 正态分布(精练)(含答案)
7.5 正态分布(精练)【题组一 正态分布曲线】1(2021·全国·高二课时练习)(多选)已知正态分布的密度函数()()222,x x μσμσϕ--=，(),x ∈-∞+∞，以下关于正态曲线的说法正确的是( ) A ．曲线与x 轴之间的面积为1 B ．曲线在x μ=C ．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移D ．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖” 【答案】ABC【解析】由正态分布的密度函数的解析式()()222,x x μσμσϕ--=可知曲线与x 轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为1，故A 正确；()2202x μσ--≤，(),x μσϕ∴≤x μ=时取等号，∴曲线在x μ=B 正确；其图像关于直线对称，且当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，故C 正确；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，故D 错误..故选：ABC.2．(2021·江苏·吴江汾湖高级中学高二月考)(多选)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N (μ，302)和N (280，402)，则下列选项正确的是( )附：若随机变量X 服从正态分布N (μ，2σ)，则P(μσ-＜X ＜μσ+)≈0.6826．A ．若红玫瑰日销售量范围在(30μ-，280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中C ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.3413 【答案】ACD【解析】若红玫瑰日销售量的范围在(30,280)μ-的概率0.6826，则30280μ+=，可得250μ=， 所以红玫瑰日销售量的平均数为250，所以A 正确；因为红玫瑰日销售量的方差为1900σ=，白玫瑰日销售量的方差为21600σ=，因为12σσ<，所以红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，所以B 不正确，C 正确； 由白玫瑰日销售量在(280,320)的概率为1()()0.34132P X P X μμσμσμσ<<+=-<<+≈， 所以D 正确. 故选：ACD.3．(2021·全国·高二课时练习)(多选)在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X (满分为150分)服从正态分布()100,100N ，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是( ) A ．该市学生数学成绩的期望为100 B ．该市学生数学成绩的标准差为100 C ．该市学生数学成绩的及格率超过0.8D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AC【解析】依题意，知100μ=，10σ=.易知A 说法正确，B 说法错误；()()9011010010100100.6827P x P x <<=-<<+≈，所以()1900.50.68270.840.82P x ≥≈+⨯≈>，故C 说法正确；()()()1208090P x P x P x >=<<<，所以该市学生数学成绩不及格的人数大于优秀的人数，D 说法错误.故选：AC.4．(2021·全国·高二课时练习)(多选)下列关于概率密度函数22()2()x x μσϕ--=(()x R ∈)对应的正态曲线的性质的说法中正确的是( )A ．曲线关于直线x μ=对称，且恒位于x 轴上方B ．曲线关于直线x σ=对称，且仅当[3,3]x σσ∈-时才位于x 轴上方C ．曲线在x μ=处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低D ．曲线的位置由μ确定，曲线的形状由σ确定 【答案】ACD【解析】概率密度函数()ϕx 对应的正态曲线是一条关于直线x μ=对称，在x μ=处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x 轴上方，曲线的位置由μ确定，形状由σ确定． 故选：ACD ．5．(2021·全国·高二课时练习)关于正态分布N (μ，2σ)，下列说法正确的是( )A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C ．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件D ．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件 【答案】D【解析】由正态分布中的3σ原则，可得3309().973P X μσμσ-≤≤+≈， 所以(3P X μσ>-或3)1(33)10.99730.0027X P X μσμσμσ<+=--≤≤+=-≈， 所以随机变量X 落在[]33μσμσ-+，之外是一个小概率事件. 故选：D.6．(2021·全国·高二课时练习)某市一次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)如图所示，则由曲线可得下列说法中正确的一项是( )A ．甲科总体的标准差最小B ．丙科总体的平均数最小C ．三科总体的平均数不相同D ．乙科总体的标准差及平均数都居中【答案】A【解析】由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等.由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 故选：A.【题组二 正态分布(小题)】1．(2021·全国·高二课时练习)设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<<≈( ) 附：若()2,N ξμσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈.A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.3413【答案】B【解析】若函数()22f x x x ξ=+-没有零点，∴二次方程220x x ξ+-=无实根， ∴()440ξ∆=-⨯-<，∴1ξ<-.又∵()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，∴()10.5P ξ<-=.由正态曲线的对称性知1μ=-， ∴()1,1N ξ-，∴1μ=-，1σ=，∴2μσ-=-，0μσ+=，23μσ-=-，21μσ+=， ∴()200.6827P ξ-<<≈，()310.9545P ξ-<<≈， ∴()()()10131202P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦ ()10.95450.68270.13592≈⨯-=. 故选：B.2．(2021·全国·高二课时练习)设有一正态总体，它的正态曲线是函数f (x )的图象，且()2(10)8x f x --=，则这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10【答案】B【解析】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值10μ=，方差24σ=，即2σ=. 故选：B.3(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X 服从正态分布即X ～N (μ，σ2)，且P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6，若随机变量X ～N (5,1)，则P (X ＞6)≈( ) A ．0.341 3 B ．0.317 4 C ．0.158 7 D ．0.158 6 【答案】C【解析】由题设P (4＜X ≤6)≈0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P (X ≥6)＝12[1－P (4＜X ≤6)]≈12(1－0.682 6)≈0.158 7.故选：C4．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P x >=，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】因为随机变量X 服从正态分布(,4)N a ， 所以曲线关于x a =对称，且()0.5P x a >=， 由(1)0.5P x >=，可知1a =. 故选：A.5．(2021·全国·高二单元测试)若随机变量X ～N (μ，σ2)(σ＞0)，则有如下结论：()0.6826,(22)0.9544,P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤，高三(1)班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为( ) A ．19 B ．12 C ．6 D ．5【答案】C【解析】∵数学成绩近似地服从正态分布N (120，102)， 又()0.6826P X μσμσ-<≤+= ∴(1201012010)0.6826P X -<≤+=根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为12(1﹣0.6826)＝0.1587∴理论上说在130分以上人数约为0.1587×40≈6. 故选：C6．(2021·河南·辉县市第一高级中学高二月考(理))已知随机变量ξ服从正态分布()24,N σ，若()20.3P ξ<=，则()26P ξ<<=( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.7 D ．0.2【答案】B【解析】依题意4μ=，4264-=-，所以()()260.50.320.4P ξ<<=-⨯=.故选：B7．(2021·全国·高二单元测试)为准备2022年北京冬季奥运会，某冰上项目组织计划招收-批青少年参加集训，以选拔运动员，最终共有20000名青少年报名参加测试，其测试成绩X (满分100分)服从正态分布()260,N σ，成绩在90分以上者可以进入集训队．若80分以上的人数为460，则可推断进入集训队的人数为( ) A ．18 B ．22 C ．26 D ．30【答案】D【解析】由题意，得460(80)0.02320000P X >==．又()260,X N σ~， 所以由正态分布曲线的对称性可得(4080)12(80)0.954(602602)P X P X P X σσ≤≤=->==-≤≤+，故10σ=，所以(3090)0.997P X ≤≤=， 所以1(3090)(90)0.00152P X P X -≤≤>==，则90分以上的人数为200000.001530⨯=，即进入集训队的人数为30． 故选：D8．(2021·全国·高二课时练习)甲命题：若随机变量()2~3,X N σ，()20.3P X ≤=，则()40.7P X ≤=.乙命题：随机变量()~,Y B n p ，且()300E Y =，()200D Y =，则13p =.下列说法正确的是( )A ．甲正确、乙错误B ．甲错误、乙正确C ．甲错误、乙也错误D ．甲正确、乙也正确【答案】D【解析】∵随机变量X 服从正态分布()23,N σ，∴曲线关于直线3x =对称，∴()()4120.7P X P X ≤=-≤=，∴甲命题正确；随机变量(),~Y B n p ，且()300E Y =，()200D Y =，则()300,1200,np np p =⎧⎨-=⎩解得13p =，∴乙命题正确.故选：D.9．(2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高二月考(理))某电动汽车配件生产厂生产1000个配件，已知生产的配件的尺寸(单位：cm )指标ξ服从正态分布()2100,N δ，若()1001100.36P ξ≤≤=，则估计该批配件尺寸超过110cm 的个数为( ) A ．140B ．180C ．280D ．540【答案】A【解析】由()2~100,N ξδ，()1001100.36P ξ≤≤=，可得()1100.50.360.14P ξ>=-=，所以估计该批配件尺寸超过110cm 的个数为140. 故选：A10．(2021·湖北十堰·高二期末)某服装专卖店的某款上衣的月销量X 服从正态分布()120,36X N ～，若()09772P X k =≤.，则k =( )(参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=)A ．126B ．132C ．156D ．192【答案】B【解析】因为X 服从正态分布()120,36X N ～，所以120μ=，6σ=， 因为()0.954420.50.97722P X μσ+=+=≤， 所以2132k μσ=+=. 故选：B11．(2021·河南平顶山·高二期末(理))设每天去某网红景点旅游的人数(单位：万人)为随机变量X ，且()22,0.5XN ，则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率为( )参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+=，()220.9545P X μσμσ-≤≤+=，()330.9973P X μσμσ-≤≤+=．A ．0.97725B ．0.84135C ．0.6827D ．0.15865【答案】B 【解析】∵()22,0.5X N ，∴()()1.5 2.520.520.50.6827P X P X ≤≤=-≤≤+=，∴()10.68271.50.158652P X -<==，∴()1.510.158650.84135P X ≥=-=． 故选：B.12(2021·全国·高二单元测试)(多选)红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X 表示其测量体温误差，且()2~0.2,0.3X N ，则下列结论正确的是(附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()68.3%P X μσμσ-≤≤+≈，())2295.4%P X μσμσ-≤≤+≈( )A ．()0.2E X =，()0.3D X =B ．()0.20.5P X ≥=C ．()0.50.1585P X ≥≈D ．()0.40.023P X ≤-≈【答案】BCD【解析】依题意()2~0.2,0.3X N ，所以0.2μ=，220.3σ=，即()0.2E X =，()20.3D X =，故A 错误；由于0.2μ=，所以()0.20.5P X ≥=，故B 正确；由于0.2μ=，0.3σ=，所以()()10.10.510.6830.50.158522P X P X --≤≤-≥=≈=，故C 正确.由于0.2μ=，0.3σ=，所以()()10.40.810.9540.40.02322P X P X --≤≤-≤-=≈=，故D 正确.故选：BCD.13．(2021·全国·高二课时练习)(多选)若随机变量()0,1N ξ，()()x P x ϕξ=≤，其中0x >，则下列等式成立的是( ) A ．()()1x x ϕϕ-=- B ．()()22x x ϕϕ= C ．()()21P x x ξϕ<=- D ．()()2P x x ξϕ>=-【答案】AC【解析】因为随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ， 所以正态曲线关于0ξ=对称，如图所示.又()()x P x ϕξ=≤，0x >，所以()()()()1x P x P x x ϕξξϕ-=≤-=≥=-，故选项A 正确；因为()()22x P x ϕξ=≤，()()22x P x ϕξ=≤，所以()()22x x ϕϕ≠，故选项B 不正确；因为()()()()()1212121P x P x x x x x ξξϕϕϕ<=-<<=--=--=-⎡⎤⎣⎦，故选项C 正确；()()()()112122P x P x x x ξξϕϕ>=-<=--=-⎡⎤⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC.14．(2021·河北大名·高二期中)(多选)设随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且X 落在区间(4,2)--内的概率和落在区间(2,4)内的概率相等．若(2)P X p >=，则下列结论正确的有( ) A ．0μ= B ．2σ=C ．1(02)2P X p <<=- D ．(2)P X p <-=【答案】ACD【解析】∵正态分布()2,N μσ关于x μ=对称，又X 落在区间(4,2)--内的概率和落在区间(2,4)内的概率相等，∴0μ=，故A 正确；∵正态分布()2,N μσ关于0x =对称，∴1(0)2P X >=，则1(02)(0)(2)2P X P X P X p <<=>->=-，故C正确；(2)(2)P X P X p <-=>=，σ不确定，B 错误，D 正确． 故选：ACD ．15．(2021·福建厦门·高二期末)(多选)随机变量()~2,4X N ，则( ) A ．()2E X =B ．()2D X =C ．()()41P X P X >><D ．()()131P X P X >+>=【答案】AD【解析】因为()~2,4X N ，则()2E X =，()4D X =，A 对，B 错；()()()401P X P X P X >=<<<，C 错；()()()()13111P X P X P X P X >+>=>+<=，D 对. 故选：AD.16．(2021·全国·高二课时练习)设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则下列结论正确的是______.(填序号)①()()()()0P a P a P a a ξξξ<=<+>->； ②()()()210P a P a a ξξ<=<->；③()()()120P a P a a ξξ<=-<>； ④()()()10P a P a a ξξ<=->>. 【答案】②④【解析】因为()()P a P a a ξξ<=-<<，所以①不正确； 因为()()P a P a a ξξ<=-<<()()()()P a P a P a P a ξξξξ=<-<-=<-> ()()()()121P a P a P a ξξξ=<--<=<-， 所以②正确，③不正确；因为()()1P a P a ξξ<+>=，所以()()()10P a P a a ξξ<=->>，所以④正确. 故答案为：②④.17．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，且()()0P X a m a <-=>，则()P X a <=______.【答案】12m -【解析】由正态曲线的对称性及意义可得：()()2[((0)()]20.512P X a P X P X a m m <=<-<-=-=-.故答案为：12m -．18．(2021·全国·高二单元测试)已知()~0,1X N ，如图是正态分布()0,1N 的密度函数图像，若()23P X a <=，则图中阴影部分的面积为___________.【答案】16【解析】∵()23P X a <=，∴()21133P X a <-=-=，∴图中阴影部分的面积为()11112236P X a -<-=-=，故答案为：16.【题组三 正态分布的应用(解答题)】1．(2021·全国·高二课时练习)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差s 2，经计算得s 2＝6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E (ξ)．≈2.63，若随机变量X 服从正态分布N (μ，2σ)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3．【答案】(1)17.40千元；(2)①14.77千元；②E (ξ)＝977.3． 【解析】(1)由题意，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(千元)故估计50位农民的年平均收入17.40千元．(2)由题意知，随机变量(17.40,6.92)X N ，①0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈， 所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元． ②由0.9554(12.14)(2)0.50.97732P X P X μσ>=>-=+≈， 每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.9773， 则(1000,)B p ξ，其中0.9973p =，所以()10000.9973977.3E ξ=⨯=．2．(2021·山东无棣·高二期中)为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下：得分在[)70,80内的学生获三等奖，得分在[)80,90内的学生获二等奖，得分在[]90,100内的学生获一等奖，其它学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表．(1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；(2)若该校所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布()64,225N ，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)； ②若从所有参赛学生中(参赛学生人数大于10000)随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤+≈＜．【答案】(1)1433；(2)①1587；②分布列见解析，数学期望为2． 【解析】(1)由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人获奖，70人没有获奖，故从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率P ＝11307021001433C C c =．(2)该校所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布N (64，225)， ①∵μ+σ＝79， ∴P (X ＞79)10.68270.158652-≈=， ∴估计参赛学生中超过79分的学生人数为0.15865×10000≈1587． ②∵μ＝12，∴P (X ＞64)＝12，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为12， ∴随机变量ξ～B (4，12)，P (ξ＝k )＝4411()()22k k k C - (k ＝0，1，2，3，4)，所以P (ξ＝0)＝440011()(6)221=1C ，P (ξ＝1)＝341111()(4)221=C ， P (ξ＝2)＝242211()(8)223=C ，P (ξ＝3)＝143311()(4)221=C ， P (ξ＝4)＝044411()(6)221=1C ， ∴ξ的分布列为：故E (ξ)＝4×122=． 3．(2021·全国·高二单元测试)设从某地前往火车站，可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间(单位：min)X ～N (50，102)，乘地铁所需时间Y ～N (60，42)，则 (1)若有70min 可用，则乘公共汽车好还是乘地铁好？(2)由于时间紧迫，决定做出租车去火车站，此时使用手机中打车软件甲，甲软件定位了A 公司2辆出租车，B 公司4辆出租车，每车被叫中的概率相等，甲软件能叫来两辆车，求A 公司出租车被叫来的辆数ξ的分布列和数学期望E (ξ).(已知P (μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ)＝0.9974，P (μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ)＝0.9544)【答案】(1)乘地铁；(2)分布列见解析，23.【解析】(1)乘公共汽车及时赶到的概率为()()10.9544070170192.772P X P X ≤=->-=-= 乘地铁及时赶到的概率为()()()7068168110.95440.97722P Y P Y P Y ≤>≤=->==--因此在这种情况下应乘地铁. (2)ξ的取值为0，1，2.则P (ξ＝0)＝2426C C ＝25，P (ξ＝1)＝112426C C C ＝815，P (ξ＝2)＝2226C C ＝115，ξ的分布列E ξ＝0×25+1×815+2×115＝23. 4．(2021·全国·高二课时练习)零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术.某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布()2,N μσ.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下面是样本的尺寸i x (1,2,3,,10i =，单位：mm )：用样本的平均数x 作为μ的估计值，用样本的标准差s 作为σ的估计值.(1)按照技术标准的要求，若样本尺寸均在[]3,3μσμσ-+范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格；(2)该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制订了两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在[]99.7,100.3范围内，则该零件为A 级零件，每个零件定价100元，否则为B 级零件，每个零件定价60元.哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.附：1021100601.8ii x =≈∑，样本方差()22221111n n i i i i s x x x nx n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑.【答案】(1)合格；(2)方案2，说明见解析.【解析】(1)由表格中数据计算可得1011100.310i i x x ===∑，()101022221111100.091010i i i i s x x x x ==⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∑∑.故可得100.3μ=，0.3σ=，所以399.4μσ-=，3101.2μσ+=结合题中表中数据知所有样本都在区间[]99.4,101.2内，故该切割设备质量合格； (2)方案1：每个零件售价为70元.方案2：设生产的零件售价为随机变量ξ，故ξ可取60，100. 由(1)可知，该设备生产的零件尺寸()2100.3,0.3XN ，所以()()()10099.7100.320.47725P P X P X ξμσμ==≤≤=-≤≤=；()()6011000.52275P P ξξ==-==. 所以随机变量ξ的分布列为故()600.522751000.47725600.51000.477770E ξ=⨯+⨯>⨯+⨯=>. 综上，可得方案2的利润更大.5．(2021·全国·高二单元测试)为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准(2014年修订)》(简称《标准》)，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，并依据学生学年总分评定等级.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试(满分100分)，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)估计这200名学生测试成绩的平均数x 和方差2s (同一组数据用该组区间的中点值作代表).(2)由频率分布直方图知，该市高三学生的健康指数X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .①求()63.498.2P X <≤；②已知该市高三学生约有10000名，记测试成绩在区间(]63.4,98.2的人数为ξ，求E ξ.1.16.若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈，()330.9974P X μσμσ-<≤+≈.【答案】(1)75x =，2135s =；(2)①0.8185；②8185.【解析】(1)由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：∴()14555515654075758545952075200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， ()()()()()22222251540754545755575657575758575200200200200200s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+()2209575135200-⨯=. (2)①由(1)知X 服从正态分布()75,135N ，且11.6σ≈，∴()()1163.498.220.95440.68260.818522P X P X μσμσ<≤=-<≤+≈⨯+⨯=.②依题意，知()~10000,0.8185B ξ， 则100000.81858185E ξ=⨯=.6．(2021·全国·高二课时练习)某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：μm ).97 97 98 102 105 107 108 109 113 114 (1)计算平均值μ与标准差σ；(2)假设这台3D 打印设备打印出的零件内径Z 服从正态分布()2,N μσ，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm )86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：()220.954P Z μσμσ-<≤+≈，()330.997P Z μσμσ-<≤+≈，30.9540.87≈，40.9970.99≈，20.0460.002≈.【答案】(1)105μ=，6σ=；(2)需要，答案见解析. 【解析】(1)利用测量数据，即可计算平均值μ与标准差σ.97979810210510710810911311410510μ+++++++++==.264644990491664813610σ+++++++++==，∴6σ=.(2)需要进一步调试.∵Z 服从正态分布()105,36N ，()330.997P Z μσμσ-<≤+≈，∴内径在()87,123之外的概率为0.003，而()8687,123∉，根据3σ原则，需要进一步调试.7(2021·河北·大名县第一中学高二月考)人口普查是调查国情国力的一种方式，也是提供全国人口数据的主要来源，距今为止我国已经进行了七次人口普查.某教育机构对河北省全省高中男生身高进行统计，统计调查数据显示：全省接受统计的100000名男生的身高服从正态分布()170.5,16N .现从我校高二年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[)157.5,162.5，第二组[)162.5,167.5，，第六组[]182.5,187.5.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估我校高二年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5cm )的人数；(3)在这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5cm )的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的均值.参考数据：若()2~,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-<≤+=，()220.9544P μσξμσ-<≤+=，()330.9974P μσξμσ-<≤+=.【答案】(1)高于全省的平均值170.5；(2)10人；(3)1. 【解析】(1)由直方图，经过计算得我校高三年级男生平均身高为1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，高于全省的平均值170.5.(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数为0.25010⨯=，即这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5cm )的人数为10人.(3)∵(170.534170.534)0.9974P ξ-⨯<≤+⨯=， ∴10.9974(182.5)0.00132P ξ-≥==，0.0013100000130⨯=. ∴全省前130名的身高在182.5cm 以上，这50人中182.5cm 以上的有5人.随机变量ξ可取0，1，2，于是()252101020459C P C ξ====，()11552102551459C C P C ξ====，()252101022459C P C ξ====， ∴252()0121999E ξ=⨯+⨯+⨯=.8．(2021·湖北·武汉市光谷第二高级中学高二月考)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s (同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用(i)的结果，求()E X .12.2≈，若()2~,Z N μσ则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=．【答案】(I)200x =，2150s =；(II)(i) 0.6827；(ii)68.27. 【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+2300.02⨯200=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．(II)(i)由(I)知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6827+=．(ii)由(i)可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6827， 依题意知(100,0.6827)X B ~，所以()1000.682768.27E X =⨯=．。
高中试卷-专题7.5 正态分布(含答案)
专题7.5 正态分布姓名： 班级： 重点正态分布的特征难点正态分布的相关计算例1-1．已知随机变量)2(~2σ，N X （0>σ），若7.0)4(=<X P ，则=<)0(X P （ ）。
A 、2.0B 、3.0C 、5.0D 、7.0【答案】B【解析】∵随机变量)2(~2σ，N X （0>σ），当7.0)4(=<X P ，又∵5.0)2(=<X P ，∴2.0)42(=<<X P ，根据正态分布的对称性可得2.0)20(=<<X P ，∴3.02.05.0)0(=-=<X P ，故选B 。
例1-2．已知)41(~，N η，若)1()2(-<η=>ηa P a P ，则=a （ ）。
A 、1-B 、0C 、1D 、2【答案】C【解析】∵)41(~，N η，∴对称轴方程为1=η=x ，∵)1()2(-<η=>ηa P a P ，∴1212=-+a a ，解得1=a ，故选C 。
例1-3．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布)1675(，N ，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在]8379(，内的个数约为（ ）。
附：若)(~2σμ，N X ，则6827.0)(=σ+μ≤<σ-μX P ，9545.0)22(=σ+μ≤<σ-μX P 。
A 、134B 、136C 、817D 、819【答案】B【解析】由题意，75=μ、4=σ，则)]()22([21])8379(σ+μ≤<σ-μ-σ+μ≤<σ-μ=≤<X P X P X P 1359.026827.09545.0=-=，故直径在]8379(，内的个数约为1369.1351359.01000≈=⨯，故选B 。
例1-4．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险。
为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布)3.01.0(2，N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间)7.04.0(，内的概率为（ ）。
正态分布练习题
正态分布1.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（） A. 2p B. 1p - C. 12p - D. 12p - 2.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ ）μμσ...0.D C B A - 3.设ξ的概率密度函数为2)1(221)(--=x e x f π，则下列结论错误的是（ ）(A) )1()1(>=<ξξp p (B))11()11(<<-=≤≤-ξξp p(C))(x f 的渐近线是0=x (D) 1-=ξη～)1,0(N4.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，记()()＜x P x ξΦ=，则下列结论不正确的是（ ）A ．()102Φ= B ．()()1x x Φ=-Φ- C ．()()()＜21＞0P a a a ξ=Φ- D ．()()()＞1＞0P a a a ξ=-Φ5.设随机变量),(~2σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( ) 1)2(2.)4()2(.)2()4(.1)1(2.-ΦΦ-ΦΦ-Φ-ΦD C B A6.如果随机变量)1,0(~N ξ，),(~2σμηN ，那么 =η（ ）)(....μξσμσξμσξσμξ++--D C B A7.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.848.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A.1B.2C.3D.4 9.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（ ） (A)15 (B)14 (C)13 (D)1210.若φ(3)=0.9987，则标准正态总体在区间(－3，3)内取值的概率为 （）A ．0.9987B ．0.9974C ．0.944D ． 0.841311.下图是正态分布N ∽(0,1)的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的有（ ）个 ①1()2a φ-- ② ()a φ- ③1()2a φ- ④1[()2a φ-(A)1 (B)2 (C)3 (D)412.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，则有（ ）A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>13.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，δ2)(δ＞0)，若P (ξ＜0)＋P (ξ＜1)＝1，则μ的值为 ( )A ．－1B ．1C ．12- D ．1214以()x Φ表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμσ-<等于（ ）A.()()μσμσΦ+-Φ-B. ()()11Φ-Φ-C. 1μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭D. ()2μσΦ+ 15.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N 。
正态分布计算练习题求正态分布的概率
正态分布计算练习题求正态分布的概率正态分布是统计学中常见的一种概率分布，也被称为高斯分布。
它具有呈钟形曲线的特点，对于许多自然界和社会现象的描述都非常准确。
在实际应用中，我们经常需要计算正态分布的概率，以帮助我们进行决策或者做出推断。
本文将通过一些练习题来帮助读者进一步理解如何求解正态分布的概率。
练习题1：假设某工厂生产的零件长度服从均值为50mm，标准差为2mm的正态分布。
现从该工厂生产的零件中随机抽取一个，求它的长度小于54mm的概率。
解答：首先，我们需要将题目中给出的参数转换为标准正态分布。
正态分布的标准化公式为：Z = (X - μ) / σ，其中Z为标准正态分布的值，X为观测值，μ为总体的均值，σ为总体的标准差。
根据题目给出的参数：μ = 50mm，σ = 2mm。
我们将长度小于54mm的问题转化为标准正态分布中Z值小于多少的概率。
Z = (54 - 50) / 2 = 2在标准正态分布概率密度表中查找Z值为2的概率，可以得到概率为0.9772。
即长度小于54mm的概率为0.9772。
练习题2：某品牌手机的电池寿命服从均值为1800小时，标准差为200小时的正态分布。
如果一台手机使用时间超过2000小时，则认为其电池寿命过长。
求购买该品牌手机的用户中，使用时间超过2000小时的概率。
解答：根据题目给出的参数：μ = 1800小时，σ = 200小时。
我们将使用时间超过2000小时的问题转化为标准正态分布中Z值大于多少的概率。
Z = (2000 - 1800) / 200 = 1在标准正态分布概率密度表中查找Z值为1的概率，可以得到概率为0.8413。
即购买该品牌手机的用户中，使用时间超过2000小时的概率为0.8413。
练习题3：某门考试的成绩服从均值为75分，标准差为8分的正态分布。
如果分数在85分以上，则学生可以获得奖励。
求学生中获得奖励的概率。
解答：根据题目给出的参数：μ = 75分，σ = 8分。
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正
态分布练习题1
正态分布1.1正态函数及曲线特点
1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。
若P (ξ>C +1)=P (ξ<C −1)，则C =3.
2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π
，则总体的均值和方差分别为0和16。
1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)
P 1=P (µ−σ<X ≤µ+σ)=0.6826;
P 2=P (µ−2σ<X ≤µ+2σ)=0.9544;
P 3=P (µ−3σ<X ≤µ+3σ)=0.9974.
类型1:(µ,µ+nσ]型,(n =1,2,3):
P (µ<X ≤µ+nσ)=12
P n ,(n =1,2,3);如：P (µ<X ≤µ+2σ)=12P 2=12×0.9544=0.4772.
类似也可求解(µ−nσ,µ]型,(n =1,2,3).
类型2:(µ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):
P (µ±nσ<X <+∞)=12×[1∓P n ],(n =0,1,2,3);如：P (µ−2σ<X <+∞)=12×[1+P 2]=12×[1+0.9544]=0.9772.
类似也可求解(−∞,µ±nσ)型,(n =0,1,2,3).
类型3:(µ+kσ,µ+tσ)型,−3≤k <t ≤3:
case 1:kt ≤0时
P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12
×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时
P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P M +P m ],M =max {|k |,|t |},m =min {|k |,|t |}.总结,以上各类型需要与正态曲线的图形有机结合在一起,把概率问题转化为对应区间上图形的面积问题.
1
练习:
1.若X N(µ,1)，求P(µ−3<X≤µ−2)=0.0215.
2.若X N(5,1)，求P(6<X≤7)=0.1359.
3.若X N(1,1)，求P(3<X≤4)=0.0215.
4.若X N(0,1)，求P(−3<X<−∞)=0.9987.
1.3应用问题
1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).
（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；
（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。
2.设在一次数学考试中，高三学生的成绩服从ξN(110,202)，且知满分为150分，共有1000名学生参加考试。
求这次考试中及格（不小于90分）的人数；130分以上的人数。
842;159.
题后反思:要注意解答题的格式。
一、要写出两个参量的值；二、用参数表示出所求的区间段；
三、利用公式求解；四、最后答题。
文中“服从”符号未打。
2。