第二章 系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
2.4第二章 系统的数学模型--第四节 系统的微分方程及线性化
四、电气系统中的元件复阻抗
2、电容
i(t)
C
u(t)
u (t )
1 C
i(t
)dt
u(t)
1 C
i(t)
sU (s) 1 I (s) U (s) 1 I (s)
C
Cs
零初始状态下
四、电气系统中的元件复阻抗 3、电感 i(t) L
u(t)
u(t) L di(t) dt
U (s) Ls I (s) 零初始状态下
R
ui
C
uo
3、列出如图电气系统的微分方程。
解：物理规律： 基尔霍夫原理 输 入: 电压 ui(t) 输 出: 电压 uo(t)
设：电路电流为 i(t)
i
ui
R
C
uo
ui (t)
uo (t)
R i
1 C
(t) 1 C
i(t)d t
i(t
)d
t
iu(it()t
五、微分方程建立示例
2、列出如图机械系统的微分方程。
解：物理规律： 达朗贝尔原理 输 入: 力矩 τ(t) 输 出: 位移 θ(t)
τ
ห้องสมุดไป่ตู้
kJ
θ(t)
J
t kJ t cJ wt J t t kJ t cJt Jt Jt cJt kJ t t
线性系统的特点：可以运用叠加原理。
2、非线性系统 必须用非线性微分方程描述
的系统。 不能使用叠加原理
y(t) x2 (t) 对于非线性问题通常采用如下的处理途径 线 性 化 处 理：在工作点附近将非线性函数用泰勒级
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章系统数学模型的建立
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
第二章线性系统的数学模型ppt课件
传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入函 数的拉氏变换之比为系统的传递函数。
传递函数有如下性质： (1) Xo(S)= G(S)Xi(S)，信号传递的性质。
用方框图表示：
Xi(S)
G(S)
Xo(S)
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ia(t)CJm ddn(tt)iL(t)
（2-3）
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ua(t)R aia(t)Ladd a(it)tea(t)
ea(t)Cen(t)
（2-1） （2-2）
J dn(t) ia(t)Cm dt iL(t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
Ti (t)
La Ra
（电磁时间常数）
T m T id d 2 n ( 2 t)t T m d d ( t)n tn ( t) C 1 eu a ( t) T m J C m iL ( t) d d L ( t) i t
输出 输入
负载扰动
（2-3）
将式(2-2)、 (2-3)一起代入式(2-1)中，消去中间
变量得：
L C a m Jd d 2 n 2 ( t)t R C a m Jd d ( t)n tC e n ( t) u a ( t) L ad d L ( t) i tR a iL ( t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
整理得：
第2章 系统的数学模型 02
零点和极点 bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b.0 G( s) n n 1 an s an 1 s ...... a1 s a0 bm s z1 s z2 ...... s zm G( s) an s p1 s p2 ...... s pn bm s z1 s z2 ...... s zm 0 的根
v
T s 1 T
j 1 j k 1
i 1 d
l 1 e
s e s
2 2 k
s 2 kTk s 1
二阶振荡环节
积分环节
惯性环节
延迟环节
小结：
环节是根据微分方程划分的，不是具体 的物理装置或元件； 一个环节往往由几个元件之间的运动特 性共同组成； 同一元件在不同系统中作用不同，输入 输出的物理量不同，可起到不同环节的作 用。
所以位移 x
式中A—活塞的面积 对式（2-63）取拉氏变换，并 整理，则得其传递函数为 ：
q dt（2-63） A
1 G ( s ) X ( s ) / Q( s ) （2-64） 图2-12 As
液压积分环节
注意：位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来 说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统 而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出输入量与 输出量后的传递函数而定。
机械工程控制基础之系统的数学模型.pptx
氏变换之比。
传递函数特点：
传递函数方框
1.传递函数是关于复变量s的复变函数，为复域数学模型；
2.传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性， 传递 函数的分子反映系统与外界的联系；
3. 在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系 统的传递函数 xo (t) L1[ X o (s)] L1[G(s) X i (s)]
若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微 分方程表示的系统为线性系统；否则，系统为非线性系统。 对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统。
xo(t)3xo(t)7xo(t) 4xi(t)5xi(t)
x (t)3x (t)7x (t) 4t2x (t)5x (t)
o
o
o
i
i
线性定常系统 线性时变系统
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmM L 设平衡点 (ua0,M L0, ) 即有 Cdua0 CmM L0
当偏离平衡点时，有
ua ua0 ua
M L M L0 M L
则 TaTm ( ) '' Tm ( ) ' ( )
Cd (ua0 ua ) CmTa (M L0 M L ) ' Cm (M L0 M L )
TaTm () '' Tm () ' Cdua CmTa (M L ) ' CmM L 增量化
1. 增量化方程与实际坐标方程形式相同
2. 当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。
第二章自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型本章要点系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。
本章主要介绍从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。
内容包括系统微分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。
为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静态性能指标。
而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。
这种描述系统各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。
系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。
解析法是从系统元件所遵循的一些基本规律出发去推导系统的数学模型。
如果不了解系统的结构和运动规律，则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出的输出响应信号建立其数学模型。
系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结构图(几何模型)。
第一节系统的微分方程微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。
当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。
一、系统微分方程的建立步骤1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。
2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。
联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。
3．将方程整理成标准形式。
即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。
二、举例说明例2-1求图2-1所示RC网络的微分方程。
解：由图可知，输入量为u i(t) , 输出量为u o(t) ，根据电路遵循的基尔霍夫电压定律，有dtt du Ct i t u R t i t u o o i )()()()()(=+=消去上式中的中间变量i(t) ，得)()()(t u dtt du RCt u o o i += 整理得 ()()()o o i du t RCu t u t dt+= 例2-2 求直流电动机的微分方程。
机械工程控制基础-系统数学模型
由于：
d 1 A ( H 0 H ) H0 H qi 0 qi dt 2 H0
阻尼
v1 ( t ) x1(t) fC (t)
C
v2 ( t ) x2(t) fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C 6 dt
机械平移系统
E Ri
12
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻 i( t)
R
u ( t) 电容 i( t)
C u ( t)
u(t ) Ri(t )
1 u (t ) i (t )dt C du (t ) i (t ) C Cu dt
13
电感 i( t) L u ( t) R-L-C无源电路网络
消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
3、 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
4
质量
fm(t)
m
x (t) v (t) 参考点
2
d d f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) mx dt dt
21
液位系统
A：箱体截面积；
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
线性系统微分方程的一般形式
第二章 控制系统的数学模型
bm s bm1s ... b1s b0 G( s) n n 1 an s an1s ... a1s a0
m
m1
有理分式形式
bm ( s z1 )(s z2 )...(s zm ) G( s) an ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
惯性 T0 KT 有限
– 近似微分环节
KTs G s Ts 1
u
C
i
R
o i
u
o
s R U G s U s R 1
RCs 其中：T RC RCs 1 K 1 Cs
• 3. 积分环节
ui(t) i1(t) R A B
i2(t) C
_ K0 +
• 三、传递函数的优点
3、令传递函数中s j，可进行频率 域分析；
4、传递函数的零、极点分布，决定系统 动态过程。
2.3、 典型环节的传递函数
由各个元件组成的系统，可能是电气的，
机械，液压的，气动的等等。尽管这些系统的
物理本质差别很大，但是描述他们的动态性能 的传递函数可能是相同的。了解各个元件的传 递函数，对于建立系统的传递函数是很重要的。
解析法：根据系统及元件各变量遵循的物理规律，推 导出数学表达式从而建立数学模型.各学科的基本定理：
如牛顿定律、质量守恒、电学定律。
实验法：对复杂的系统，设计的因素较多时，通过实验 法，即根据实验数据进行整理和编写，拟合曲线从而求出 系统的数学模型。
• 常见的数学模型有:
经典控制
• • •
微分方程
其中：E—电位器电源电压；
θmax—电位器最大工作角。
• 2. 微分环节 – 理想微分环节
第2章 连续系统的数学模型
本章主要内容
1. 控制系统数学模型的概念 2. 控制系统常用的几种数学模型(微分方程、传 递函数和动态结构图)。 3. 了解这些数学模型之间的相互关系。
2
第2章 连续系统的数学模型
1 2 3 4 5
系统数学模型的概念
系统的微分方程 传递函数 动态结构图 系统数学模型的MATLAB表示
3
2.1 系统数学模型的概念
G( s)
c(t)/r(t) ξ =0.2 ξ =0.5 ξ =1 R(s) ωnt
1 T 2 s 2 2Ts 1
n 2 G( s) 2 2 s 2n s n
n2 2 S 2 2 n S n
C(s)
实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。
6. 延迟环节 （时滞环节、滞后环节）
动态结构图包含四个基本元素：
信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。 这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。从 同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同。 比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。 方框：表示对输入信号进行的数学变换。 对于线性定常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数。
(a0 s n a1s n1 (b0 s m b1s m1 an1s an )C (s) bm1s bm ) R(s)
bm1s bm an1s an
系统
C ( s) b0 s m b1s m1 G ( s) R( s) a0 s n a1s n1
F (t ) F 1 F 2 ma
F(t) 2
f
m
dx(t ) d 2 x(t ) X(t) 得 F (t ) kx(t ) f m dt dt 2
机械控制工程(董玉红 第二版)—第二章 系统的数学模型
解：设电路中电流为 i(t)
d Ri (t ) L i (t ) U o(t ) U i (t ) 0 dt
Ui(t)
R
L C 图2-3 uo(t)
电容两端电压为：
1 U o (t ) C
t
0
i (t ) dt
d2 d 整理得: LC 2 uo (t ) RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt dt
df ( x) y f ( x0 ) ( x x0 ) dx x0
※
y y0 y k x
机械控制工程基础
第二章 系统的数学模型
2 ）具有两个自变量的非线性函数，设输入量为 x1(t) 和 x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作点为y0＝ f(x10, x20) 。
出响应，通过比较输入和输出信号获得系统的数
学模型。
9
对系统数学模型的基本要求
• 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确 ）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都 是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因 素，系统越复杂，情况也越复杂。 • 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统 运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行 建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模 型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑 。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：
得：y y 0 f ' x0 x x0 。取增量为变量，得到 线性 化方程：
y y0 y k x
对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20) 在平衡点邻域内进行小偏差线性化：
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
第2章 系统的数学模型(拉普拉斯变换)
lim f t 的值
1 lim f t lim sF s lim s 0 t 0 s s s s 1
1 lim f t lim sF s lim s 1 t s 0 s 0 s s 1
3 拉普拉斯反变换 对于任何时间连续的时间函数来 说，它与拉普拉斯变换之间保持唯 一的对应关系。 一一对应
1 定义与基本变换
例5 脉冲函数 0, t ,
t 0 t 0
0
dt 1
单位脉冲函数的拉氏变换为 1
L t 1
2 拉普拉斯变换性质
1.线性定理：
Lk1 f1 t k 2 f 2 t k1 L f1 t k 2 L f 2 t
k13
2
s s1 l 1
k1l
kn k2 s s1 s s 2 s sn
k1
1 d l 1 k1l l 1 F s s s1 s s1 l 1! ds
k11 F s s s1 | s s1
4 求解线性微分方程
解：1、对微分方程进行拉氏变换 利用微分定理： 2 ( s 5s 6)Y ( s) s 7 s
2
4、查表求各分式的拉氏反变换 1 1 L 1(t ) 3s 3 1 4 2 t L 4 e s 2
1
2、求系统输出变量表达式 s 7s 2 Y ( s) s( s 2)( s 3)
1 定义与基本变换
例3 斜坡函数
f(t) A t 0 1
At (t 0) f t 0(t 0)
A L f t s2
自动控制理论第二章--线性系统的数学模型全
理
论 一.物理模型 、数学模型及数学建模
物理模型 ：
任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对
它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。
简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。
简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确
要求来确定出合理的物理模型。
2
第二章 线性系统的数学模型
自
动
控
制 理
物理模型的数学描述。是指描述系统
零初使条件是指当t≤0时,系统r(t)、c(t)以及它们的各阶
导数均为零。
传递函数
输出信号的拉氏变换 输入信号的拉氏变换
零初始条件
C(s) R(s)
26
第二章 线性系统的数学模型
自
动
控 线性系统微分方程的一般形式为:
制
理 论
制 理 论
F(s)
br (s p1)r
br 1 (s p1)r1
b1 (s p1)
ar 1 s pr1
an s pn
br
B(s)
A(s)
(s
p1
)r
s p1
br 1
d
ds
B(s) A(s)
(s
p1 ) r
s p1
br j
1 dj
j!
ds
j
B(s) A(s)
(s
p1
La
dia (t ) dt
Raia (t )
Ea
+
(1) -
La
if Ra
m
+ ia
Ea ——电枢反电势，其表达式为 Ua
Ea S M
负 载
jmfm
Ea Cem(t) (2) --
第二章物理系统的数学模型及传递函数
要 消去它们, 就要找出中间变量与其它因素间的关系. 感应 电势 E ( t ) 正比于转速 m ( t ) 和激磁电流 I f 产生的磁通量 由于激磁电流是恒定的, 所以磁通量也恒定, 感应电势仅取 决于转速, 并可表示为:
a
(3) 消去中间变量 从式(1)和式(2)中可见,
i a ( t ), E a ( t ), M m ( t ) 是中间变量,
uC (t ) u (t )
m
d x(t ) dt
2
2
f
dx(t ) dt
Kx(t ) F (t )
相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系
三、非线性系统的线性化
1）线性系统 线性系统是由线性元件组成的系统，线性微分
方程用来描述线性系统。 若微分方程的系数是常数称线性定常系统，或 线性时不变系统。 这是经典控制论主要研究的对象，因为它可以 方便地进行拉氏变换，并求得传递函数。
4.用解析法建立运动方程的步骤
1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确 定出待研究元件或系统的输入量和输出量； 2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手）， 依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写 各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就 是考虑后一级对前一级的影响。 3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输 出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：① 将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有 关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列； ③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定 物理意义的系数。
§2-1 系统的数学模型
线性系统微分方程的建立
步骤：1.分析系统和元件的工作原理，找出 各物理量之间的关系，确定输出量及输入 量。 2.设中间变量，依据物理、化学等定律忽 略次要因素列写微分方程式。 3. 将所有方程联解，消去中间变量，得出系统
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第二章系统的数学模型2．3图中三图分别表示三个机械系统。
求出他们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。
解：（1）、对图（a）所示系统，有牛顿定律有c1(x i-x0)-c2x0=m x0即m x0+(c1-c2) x0= c1x i（2）、对图（b）所示系统，引入一中间变量x，并有牛顿定律有(x i-x)k1=c(x-x0)c(x-x0)=k2x0消除中间变量有c(k1+k2)x0+k1k2x0=ck1x i（3）、对图（c）所示系统，有牛顿定律有c(x i-x0)+ k1 (x i-x)= k2x0即c x0+(k1+k2)x0=c x i+ k1x i2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有⎰+=idt C i R u o 22111i R u u o i =-dt i i C u u o i ⎰-=-)(111消除中间变量，并化简有ii i oo o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R uR C 12211221122112211)(1)1(+++=++++（2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有dt i C i R u u o i ⎰++=111i R dt i C u o 221+=⎰消除中间变量，并化简有i i o o u C u R u C C uR R 2221211)11()(+=+++2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。
图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。
解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：图 2.5M=J θ＋C m θ＋Rk(R θ－x) (1)K(R θ－x)=m x ＋c x (2)消除中间变量x ，即可得到系统动力学方程mJ θ（4）＋（mC m ＋cJ ）θ＋(R 2km ＋C m C ＋kJ) θ＋k(cR 2＋C m ) θ=m M ＋c M ＋k M 2.6 已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s) (a) y •••+15y ••+50y •+500y=r ••+2r (b) 5y ••+25y •=0.5r •(c) y ••+25y=0.5r (d) y ••+3y •+6y+4ydt ⎰=4r解: 根据传递函数的定义, 求系统的传递函数, 只需将其动力方程两边分别在零初始条件进行拉式变换, 然后求Y(s)/R(s). (a) 3s Y(s) + 152s Y(s) + 50sY(s) + 500 Y(s)=2s R(s) + 2R(s)∴ Y(s)/R(s) = 23221550500s s s s ++++ (b) 52s Y(s) + 25sY(s) = 0.5sR(s)∴ Y(s)/R(s) =20.5525ss s+ (c) 2s Y(s) + 25Y(s) = 0.5R(s)∴ Y(s)/R(s) =20.525s + (d) 2s Y(s) + 3sY(s) + 6 Y(s) + 41s Y(s) = 4R(s)∴ Y(s)/R(s) = 324364ss s s +++ 2.7 若某线性定常系统在单位阶跃输入作用下，其输出为y(t)=1－22t t e e --+。
试求系统的传递函数。
解：由传递函数的定义有()i X s =1sY(s) =11221s s s -+++ ∴ Y(s)/()i X s = 2226232s s s s ++++2.8 输出y （t ）与输入x （t ）的关系为y （t ）=2x （t ）+0.5x 3（t ） （a ）求当工作点分别为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值。
（b ）在这些工作点处作小偏差线性化的模型，并以对工作点的偏差来定义x 和y ，写出新的线性化模型。
解：（a ）将x 0=0, x 0=1, x 0=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x 3(t)中，即得当工作点为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值分别为y 0=0,y 0=2.5,y 0=8(b) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点（x 0,y 0）附近,将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得Y 0+△y=2x 0+0.5x 03+(2+1.5x 2)∣x=x0·△x△y=（2+1.5x 2）∣x=x0△x若令x=△x,y=△y 有 y=（2+1.5x 02）x 当工作点为x 0=0时,y=（2+1.5x 02）x=2x 当工作点为x 0=1时,y=（2+1.5x 02）x=3.5x 当工作点为x 0=2时,y=（2+1.5x 02）x=8x 2.9 已知滑阀节流口流量方程式ρpcwx Q v2=,，式中，Q 为通过节流阀流口的流量；P 为节流阀流口的前后油压差；v x 为节流阀的位移量；c 为流量系数；w 为节流口面积梯度；ρ为油密度。
试以Q 与P 为变量（即将Q 作为P 的函数）将节流阀流量方程线性化。
解：利用小偏差线性化的概念，将函数),(p x F Q v =在预定工作点),(οοp x F v 处按泰勒级数展开为：),(p x F Q v ==),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(+…消除高阶项，有：),(p x F Q v ==),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+ p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(∴ ),(),(00p x F p x F Q v v -=∆=),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(-),(οοp x F v=v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(若令=1K )(00,)(p x x Fv v∂∂，=2K )(00,)(p x p F v ∂∂，则有：p K x K Q v ∆*+∆*=∆21 若上式改写为增量方程的形式为： p K x K Q v *+*=212.10试分析当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节，微分环节，积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。
解：由于惯性环节、微分环节，积分环节的传递函数分别是G(s)= 1KTs +，而闭环传递函数为G(s)=Ts ，G(s)=Ks，而闭环函数为G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•，则（1） 当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•=111KTs K Ts +±+= 1KTs K ++（2）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为微分环节时， G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•= 1TsTs±（3）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为积分环节时，G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•= 1Ks K s±=Ks K ±2.11证明图（题2.11）与图（题2.4（a ））所示系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同的形式）。
解：对题2.4（a ）系统，可列出相应的方程。
()()()22110111121()3o i o i u R i idt C u u R i u u i i dt C ⎧=+⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎩⎰⎰对以上三式分别做Laplace 变换，并注意到初始条件为零，即 (0)(0)0I I •== 11(0)(0)0I I •== 则()()()()()2()2()22()()11()()1()()()111()456o i o S i o I s U s R I s R I s C s C s U s U s R I I s I s U s U s C s C s ⎧=+=+⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎩11(5)C s⨯，得()1()()1()111[]7i o S R U s U s I C s C s-= 1(6)R ⨯，得()1()11()()1()11[]8S i o S R I R R U s U s I C s C s-=- (7)(8)+，得11()()()111()[]i o S R R U s U s I C s C s+-= 即111()()()()1111111i o R C s R U s U s I s I s C s R C s R C s -=⨯=++ 则()1()()()1191i o R U s U s I s R C s=++将（4）式中的()o U s 带入（9）式1()2()()21112()2111()11()1i R U s R I s I s C s R C sR R I s C s R C s=+++=+++再用（4）式与上式相比消去()I s ，即得电系统的传递函数为2()()2()1()2()21122122111()1()1111o i R I s U s C s G s R U s R I s C s R C sR C s R R C s R C s+==++++=+++而本题中，引入中间变量x ，依动力学知识有22111()()()()i o i o i o o x x k x x c x x c x x c k x••••••⎧-+-=-⎪⎨⎪-=⎩对上二式分别进行拉氏变换有2()()2()()()()11()()11[][][]i o i o o o k X s X s sc X s X s X s X s sc c sX s X s k c s -+-=-⎧⎪⎨=⎪+⎩ 消除()X s 有22()22()1121()22211111o i k c X s k c ssG s k c s k c X s k c s c c k c s s sk ++===++++++ 比较两系统的传递函数有 122k C ⇔111k C ⇔22c R ⇔ 11c R ⇔2.12求图所示两系统的传递函数。
解：（1）由图（a）中系统，可得动力学方程为(x i(t)-x o(t))k=m x o(t)+cox(t)作Laplace变换，得[X i(s)-X o(t)]k=ms2Xo(s)+ csX o (s) 则有G（s）= X o (s)/ X i(s)=k/( ms2+cs+k)(2) 由图（b）中系统,设i为电网络的电流，可得方程为u i=Ri+L didt+1cidt⎰u o=1cidt ⎰作Laplace变换，得U i(s)=RI(s)+LsI(s)+ 1csI(s)U o(s)= 1csI(s)消除中间变量有G（s）= U o(s)/ U i(s)=211LCs RCs++ 2.13求图（题2、13）所示系统的传递函数。