利用定积分求极限

利用定积分求极限

临沧师范高等专科学校数理系鲁翠仙临沧市第一中学李天荣

［摘要】极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数极限的求法则成为极限思想的基础，但利用定积分求极限也是一种重要方法。定积分的本质含义是和式的极限，利用积分求解特定形式的极限问题，是微积分学的一个重要方法。本文结合具体的例子说明如何利用积分求解几种特定形式的极限以及求解方法的关键。

［关键词］定积分极限

定理ｌ：连续函数的定积分一定存在

根据该定理，只要ｙ＝ｆ（ｘ）是连续函数，ｆｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍ艺喈；）△ｘ．，

…．一Ｉ

而且该极限与曦】的取法无关，与｛】【ｊ）的分法无关。其中ＡＸｉ＝ｘ．叶ｍ正因为该极限与隈１的取法无关，与｛ｘ；｝的分法无关，经常取‰ｌ使【ａ，ｂ】区间等分，取￡＝ｘ或￡＝ｘ。。所以△ｘ。＝！堕，ｆ．＝ａ＋旦二生ｉ或

ｎｎ

亭；＝ａ＋！！二坠（ｉ一１）。于是：

ｌ。ｉｍ迪ＴＩｉ；Ｉｆ（ａ＋堕ｎｉ）＝ｒｆ（ｘ）ｄｘ或也虹ｎｉ荟Ｉ“ａ＋虹ｎ（ｉ＿１））＝Ｘ～

＝

Ｊ‘ｈ

，ｈ

ｆ（ｘ）ｄｘ

一、形如¨ｍ∑ｆ（§。）Ａｘｌ的极限

推论１如果函数ｆ（ｘ）在区间【ａ，ｂ】上可积，将区间【ａ’ｂ】等分为ｎ个小区间，ｆｊ为小区间ｆ｝（ｂ—ａ），｝（ｂ—ａ）ｊ上任意一点，△ｘ；＝ｂ－。ａ，则ｆ？ｆ（ｘ）ｄｘ＝磐睾；荟ｎ聪）。

例１，ｍｍＬｍ‘丽ｎ＋２＋ｎｎ１ｎ２：＋．．．＋赤ｎｎ’

’十—十Ｚ。‘十‘

解：赋也｝每击也；；｝击２慨．鞠扣

（１）式是函数ｑｘ）２Ｔ≥在区间［ｏ，１】上的一个积分和，它是把区间【ｏ，１】分成ｎ等份，ｆ，取『譬，÷ｆ的右端点构成的积分

Ｌ１１ｌＩＪ

和，由推论１可得

，ｌｉｍ…（，．＋击＋．“＋寺）２Ｌ专出２｝

利用定积分求ｌｉｍ∑ｆ（ｆ；）Ａｘ．关键为（１）寻找被积函数；（２）确定积分的下限ａ及上限ｂ。

具体步骤如下：

（ｉ）通过恒等变形，将ｓ．化为特殊形式的积分和：Ｓ。＝∑魑）鱼二坠

（ｉｉ）寻找被积函数ｆ确定积分下限及上限：令ｆ，＝ｘ，被积函数为增；）＝ｆ（ｘ）；积分下限ａ＝ｌｉｍ鼠（ｋ为ｉ的第一个取值）；积分上限ｂ＝ｌｉｍ毒。（ｍ为ｉ的最后一个取值）。

（ｉｉｉ）据定积分的定义及相应的性质，将ｌｉｍ∑ｆｆｆｉ）Ａｘ；写成

，ｎ

定积分ｆｆ（ｘ）ｄｘ。

（ｉｖ）计算定积分得所求极限。

例２．求“ｍ【—＝兰＋—：三＋…＋—：兰—：］的值。

”。、／ｎ（ｎ＋３）Ｘ／ｎ（ｎ＋６）＂ｋ／ｎ（ｎ＋３ｎ）解：（ｉ）将Ｓ。化为特殊形式的积分和：

ｓ产‘丽茜＋丽丽１＋．．。＋赢】＝｝‘面１一１０４一＋浮１”叶厚１卜｝‘舞＋赤”。＋寿卜；荟赤等．辩）｝

其中ｆｆ盟１－１』一

㈨’、／ｌ＋Ｌ＿ｉ

（ｉｉ）寻找被积函数关系ｆ（ｘ）和积分的下限及上限：

令堕＝ｘ，．则被积函数ｆ（ｘ）＝—兰

积分下限ａ＝ｌｉｍ盟＝０（这里ｋ＝１）：

积分上限ｂ＝ｌｉｍ旦＝３（这里ｍ＝ｎ）。

（ｉｉｉ）、（ｉＶ）写成定积分，并计算得所求极限：

原小乏志等；刭了３ｉ守３“矗峙

在定理１基础上可作如下推广：

定理２如果函数ｆ（ｘ）培（ｘ）及ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）在【ａ，ｂ】上可积，ａ＝ｘｏ＜Ｘｌ＜…＜ｘ。＝ｂ为区间［曲】的任意划分，∈．，ｑ；为小区间【ｘ。ｘ；］上任意两点’△ｘ．＝ｘ·碑小＝ｍａｘ（△ｘｌ，△ｘ２，…，“Ｊ＇贝ｌＪｌ…ｉｍ乏魑）ｇ（１１Ｊ△ｘ；＝

，ｎ

ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ。

Ｊｊ

ｌｉｍ

例３．求极限ｌｉｍ

解：‘

ｙ她上ｙ上上丛

一ｉ鲁２ｎ２—２ｉ拿ｎｎ“

．蚤｝一ｉ１｝．乏｝一≯１

二、形如熄【。Ⅱｆ（§。）】的极限

定理３如果函数ｌｏｇｃｆ（ｘ）；／生［ａ，ｂＬＬ可积，ａ＝Ｘｏ＜Ｘ，＜…＜ｘ，Ｉ＜ｘｎ：ｂ为区间［ａ，ｂ］的任意划分，∈；为小区间［Ｈ肛；１＿１：：ｔ－壬，￥－－，４，ａｘ．＝ｐ轴，ｘ一‰坛一，酬测叫ｎ峨）］一吨肌ｍ。

推论２设ｌｎｆ（ｘ）在区间［ｏ，１】上可积，则

！魄证（｝）ｆ（詈一）…ｒ（｝）－ｅ小ｎｆ（ｘ）ｒｋ

例４枷（盟一ｎ＋２一堕）ｉ

解：原式：ｌｉｍ［（１＋上）．（１＋互）．．

ｎ·∞ｎｎ（下转第１０７页）

ｒＪ

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基嵫

万方数据

层支持，以多种网络传输途径，将数据和后台数据服务器进行数据传输。在本系统的网络部分设计巾，在局域网内利用Ｌｉｎｕｘ系统的提供的ＴＣＰｈＰ协议支持．在编程中采用了动态与服务器建立连接的方法，在读取到标签信息并解码出有效信息的时候，向服务器相应端口发送相应的Ｓｏｃｋｅｔ清求信息．服务器端接受到请求后建立连接并新建Ｓｏｃｋｅｔ端口来和终端进行通信；只有在读取数据的时候数据库和终端间才产生数据传输和占用服务器端资源，从而降低了网络占有率和服务器端的负荷，提高了网络通信的效率。

３、ＲＦＩＤ协议解析模块

协议解析模块负责将发送的命令参数加入包头等信息，并将收到的标签回传的信息进行解包，通过对信息的解包，能够得到盘存或读写的相关信息。ＭＰＲ６０００支持的ＲＦＩＤＧｅｎ２命令包括Ｒｅａｄ，ｗ—ｔｅ，Ｋｉｌｌ，Ｅｒａｓｅ，Ｌｏｃｋ。命令都由一个字符串构成，其结构如下：

＜ＳＯＦ＞＜Ｎｏｄｅ＞＜Ｌｅｎｇｔｈ＞＜Ｓｔａｔｕｓ＞＜Ｐａｙｌｏａｄ＞＜ＣＲＣ＞

分别由开始帧、节点、总长度、状态、标签信息、ＣＲＣ这几部分组成。

举例来说。Ｇｅｎ２盘点命令的操作码为Ｏｌｈ，操作会返回在读写域内全部的符合读取条件的Ｇｅｎ２标签，而经过反碰撞模块处理后，得到的数据帧由标签信息和盘存总结两部分组成：即＜回复信息＞＝【＜标签回复＞】＜盘存总结＞

＜标签回复＞＝＜ＥＰｃ＞＜访问回复＞

＜ＥＰＣ＞＝＜标签ＩＤ长度＞＜协议控制字＞＜标签ＩＤ＞

举例，当使用天线Ｂ并且ＲＦ的功率为２２时，读取所有ＳＬ为ＮＯＴＳＥＴ。ｓ３ｆｌａｇ为Ａ的Ｇｅｎ２标签，此时的起始Ｑ为１（即２个时隙）。

６００ｌＯｌ１６０２０３０００１

如果当前射频范围内的标签有一个６４位的Ｇｅｎ２标签１的ＩＤ为“０１０２０３０４０５０６０７０８”。

而且有一个９６位Ｇｅｎ２标签２的ＩＤ为“１２１１１００９０８０７０６０５０４０３０２０１”。

可能读写模块会收到这样一个包，完整内容如下：

０４２８０００ｌ０２０３０４０５０６０７０８０７０８３０００１２１１ｌＯ（）９０８０７０６０５０４０３０２０１０００２００１６０００１０００００００２０００９

现在对这个包进行解析，根据协议规定＜接受包＞＝［＜标签回复＞１＜盘存总结＞

＝【＜０４２８０００１０２０３０４０５０６０７０８＞＜０７０８３０００１２１１１００９０８０７０６０５０４０３０２０１＞】＜０００２００１６０００１０００００００２０００９＞

＜标签ｌ回复＞＝＜标签ｌＩＤ长度＞＜协议控制字＞＜标签１ＩＤ＞

＜标签ＩＩＤ长度＞＝＜０４＞＝４一ｗｏｒｄ＝６４Ｂｉｔ标签ＩＤ

＜协议控制字＞＝＜２８００＞，从而得出＜标签ｌＩＤ＞＝＜０１０２０３０４０５０６０７０８＞

＜标签２回复＞＝＜标签２ＩＤ长度＞（协议控制字＞＜标签２ＩＤ＞

＜标签１ＩＤ长度＞＝＜０６＞＝６一ｗｏｒｄ＝９６Ｂｉｔ标签ＩＤ

＜协议控制字＞＝＜３０００＞，得出＜标签２１Ｄ＞＝＜１２１１１００９０８０７０６０５０４０３０２０１＞

而又有＜盘存总结＞＝＜标签数＞＜时隙数＞＜ＥＰＣＣＲＣ错误＞＜回复ＣＲＣ错误＞＜冲突次数＞＜通信轮数＞

所以得到＜标签数＞＝２，＜时隙数＞＝２２，＜ＥＰＣＣＲＣ错误＞＝ｌ，＜回复ＣＲＣ错误＞＝０，＜冲突次数＞＝２。＜通信轮数＞＝９

在提取标签信息后，则可以将所获得的标签信息送到嵌入式数据库模块进行本地暂存．同时通过网络模块上传至后台服务器做记录，中间的接口函数部分就不详细给出了。

四、总结与展望

本文中描述的嵌入式ＲＦＩＤ终端读取器，在农业产品包装生产线中进行了实用，基本满足了生产线ＲＦＩＤ系统对前端ＲＦＩＤ标签数据采集、处理、通信方面的要求，在功能上和稳定性方面已经能够替代专用ＲＦ读写器，因为采用了免费的开源Ｌｉｎｕｘ操作系统和开源数据库Ｓｑｌｉｔｅ，大大降低了总体成本，特别适合在成本敏感系数高的农产品生产和监控中使用。

参考文献

【１】德ＫｌａｕｓＦｉｎｋｅｎｚｅｔｌｅｒ著．射频识别（ＲＦＩＤ）技术一无线电感应的应答器和非接触Ｉｃ卡的原理与应用【Ｍ】．电子工业出版社．２００１

【２］ＫａｒｉｍＹａｇｈｍｏｕｒ著．构建嵌入式Ｌｉｎｕｘ系统【Ｍ】．中国电力出版社。２００４

【３］ｗｗｗ．ｗｊ．ｃｏｍ，ＭＰＲ６０００＿Ｄａｔ；ｔ！；ｈｅｅｔ（０３１５０６）【ＯＬ］，ＭＰＲ＿Ａ—ＰＩ一３＿．ｏ

【４】ｗｗｗ．ＳＱＬｉｔｅ．ｏｒｇ，Ｃ／Ｃ＋＋ＩｎｔｅｒｆａｃｅＦｏｒＳＱＬｉｔｅＶｅｒｓｉｏｎ３【ＯＬ】

【５】郭学理，张建等著．网络程序设计【Ｍ］．武汉大学出版社，２００４

【６】姜兆宁，李谦，丁香乾．生产线嵌入式ＲＦＩＤ终端读写器设计Ｕ】．微计算机信息，２００７年第３－２期第２３卷，２２５—２２６页

（上接第１０４页）令“ｘ）２ｌ＋ｘ，则Ｉｎｆ（ｘ）２Ｉｎ（１＋ｘ）

显然ｌｎ（１＋ｘ）在【ｏ，ｌ】上可积，由推论２得：原式＝ｅｎ…ｍ＝÷如果我们再将定理ｌ、定理３结合起来加以推广，可得以下定理：

定理４．如果函数ｆ（ｘ）在区间【０，１】上可积，且ｆ（ｘ）≥ｏ，则

，ｌｉｒａ。。［１＋ｎ＇－－ｒ（｝）】［－＋ｉ１ｒ（÷）】．．·［－＋ｉ１ｒ（崇）】＝ｅ。““”“

例５．求地［，＋嘉”蠢】．．．１＋可ｎ】

解：原式＝，ｌｉｒａ。［－＋｝（砉）】【一＋÷（砉）卜·１＋ｉ１（百ｎ）］令ｆ（ｘ）＝丁ｘ，ｆ（ｘ）≥Ｏ．ｘ∈【０，１】，且ｆ（ｘ）在【０，１】上可积，由定理４得：

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Ｃ｝ｍ｝

原武－－ｅ－－ｅＯ

参考文献

【１］同济大学数学教研室．高等数学【Ｍ】．北京：高等教育出版社．１９９７

【２］ＢＩＩ吉米多维奇．数学分析习题集题解【Ｍ］．济南：山东科学技术出版社．１９９４

【３】华东师范大学数学系．数学分析ｆＭ］．上海：上海科学技术出版社，１９８２

【４］王业．关于积分法在求极限过程中应用的初探【Ｒ】．全国专科院校数学年会，１９９２

［５］刘树利．计算机数学基础，北京：高等教育出版社，２００１

（上接第１０５页）通了网上答疑系统。通过几年的教学实践，取

得了良好的效果。近几年，我校在全国大学生数学建模大赛中取得了全国二等奖，陕西赛区一、二、三等奖的佳绩；采用传、帮、带的形式，在教学实践中提高年轻教师的教学及科研能力．逐步形成了职称结构、学历结构、年龄结构合理的教学团队；该课程一直受到学生的好评，学生满意度达到了９５％以上。

通过运筹学课程的改革和实践，学生能够更好的掌握运筹学的基本知识和技能．拓宽知识面，跟上现代运筹学的发展，为后续课程的学习奠定了良好的基础。

参考文献

【１】罗荣桂，原海英．运筹学教学改革与探索Ｕ】．理工高教研究，２００５（３）

【２】胡觉亮．运筹学课程群的设置与教学实践Ｕ】．高等理科教育．２００７（５）

【３】胡发胜，刘桂真．国家精品课程运筹学的教学改革与实践Ｕ】．中国大学教育，２００６（７）

【４】刁在筠，刘桂真．运筹学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００７

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万方数据