利用定积分求极限
利用定积分定义求和式极限问题的探讨
．
上 式 的 和 是 函 数 Ｆ （ｘ，ｙ）＝５ｘ 一１８×２ｙ ＋５ｙ４在 Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）
＝ 击 ．
酬 ＝击 ＋ ＝
。 ＝ ｌ０≤×≤１，０≤ｙ≤１｝上 的一个 积分 和 。该题 在 求解 过程 中将 Ｄ：
｛（ｘ，ｙ）＝１０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝进 行等 分 成 个 ｎ 小 区域 ，按 照 划
＋
这里取ｆ（ｘ）＝ ，区间为［ａ，ｂ】，极限转化为击
Ｊ ｘ ｄ×。若取 分—— 求 和 —— 取 极 限 的 方 法 来进 行 分 析 ，且 已知 函 数 Ｆ（ｘ）
＝ ５ｘ 一侣 ×２ｙ ＋５ｙ 在 整个 闭区域上 是连续 的 ，故二 重积分 存在 ，可
ｆ（ｘ）＝［ａ＋（ｂ—ａ）ｘ】。，区间为［０，１】，极限转化为Ｊ。［ａ＋（ｂ—ａ）×］Ｄｄ×。后 以利用 二重积 分来计 算该极 限和 。
ｆ ｓｉｎ ｓｉｎ
１
椭 【 ０ 叶哥
有些特殊 的和 的极 限可 以利用二重 积分 的定义 求解。
例４ 计算 。。 ∑ ∑（５ｍ 一１８ｍ 。＋５ｋ ）。
ｎ ｍ 。 。
解 ： 。。 ∑ ∑ （５ｍ 一１８ｍ２ｋ２＋５ｋ ）： ∑ ∑
［５ 例２ 求极限 ｓｉｎ ’ ∑［ｎａ＋ｉ（ｂ—ａ）］ （ｐ＞ｏ。ａ＜ｂ）
的 空间 ，让他 们 用手 中的立体 图形和 平面 图形 自由结合 创造 出一 些模 型 、图案 ，然后 让代 表在讲 台前展 示并给 自己的模型 作简 短 的 介绍 ，就这 样把本 节课推 入 了高潮 。
不管是 怎样 的教学模 式 ，本着 “在 活动 中体验 ，在活动 中感 悟 、 在感悟 中成 长”的理 念 ，努 力地 创设 问题 情境 ，使 内容 活动 化 ，活动 内容化 ，使我 们的教学设计 真正 是学生活动 的设计 。让学生在 民主 和谐 的环境 中学 习 ，在激 烈竞争 的环境 中探 索 ，给学 生一 个 自由翱 翔的空 间和发 挥的舞 台，让 学生充分 体验到投 入实践 和探索 的成就 感。让学生没有 理由不爱上数 学 ！带着一种欣 赏的眼光去聆 听学生 们的话语 ，使 你不能不 为孩 子丰富的想象 力 、大胆的创造 力而惊叹 ！
巧用定积分的定义求极限_吕淑婷
π ｎ→∞ ｎ ｎ ｎ
ｎ
ｎｎ
ｎｎ
ｎ
’ ＝ １ ｓｉｎ ｉπ·π
πｉ ＝ １ ｎ ｎ
π
( ＝ １ ｓｉｎｘｄｘ πｂ
＝２ π
二 、变 乘 积 极 限 为 和 式 极 限
例 ３： 求ｌｉｍ １ ｎ→∞ ｎ
ｎ &（ｎ＋１）（ｎ＋２）…（２ｎ）
分析： 对数运算可以将连乘式转化成和式， 因此对于某类连乘式，
也可以用定积分的定义来求极限
４ｎ － ｎ
分析： 此类题不能直接利用定积分的定义来求极限， 要辅用加逼
准则
即： ｌｉｍ （
１
２
２＋
２
２
２ ＋…＋
ｎ＋１
２
２
）
ｎ→∞ ４ｎ － ２ ４ｎ － ３
４ｎ － ｎ
ｎ
’ ＝ｌｉｍ
ｉ－ １
２２
ｎ→∞ｉ ＝ ２ ４ｎ － ２
ｎ ｉ－ １
’ ＝ｌｉｍ １
ｎ
ｎ→∞ ｎ
ｉ ＝ ２ ４－ （
ｉ
２
）
ｎ
ｉ－ １
ｂ－ ａ ｎ
， ξｉ＝ａ＋
（ｂ＋ａ）ｉ ， 也 就 是 将 区 间［ａ， ｂ］等 分 ， 每 个 小 区 间 的 长 度 为 ｂ－ ａ ， 取 每 个
ｎ
ｎ
ｎ
! 小 区 间 的 右 端 点 为
ξｉ＝ａ＋
（ｂ＋ａ）ｉ ｎ
，
这样可以将和式的极限ｌｉｍ ｆ （ａ＋
ｎ→∞ ｉ ＝ １
$ （ｂ＋ａ）ｉ ） ｂ－ ａ 写成定积分
科技信息
○高校讲台○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００７ 年 第 ３６ 期
定积分求极限的公式
定积分求极限的公式
定积分求极限的公式是：
1. 当n趋近于无穷大时，n个等差数列的和的极限等于等差数列的首项乘以n再除以2，即：
lim(n->∞) n/2 (a1 + an) = n a1/2
2. 当n趋近于无穷大时，n个等比数列的和的极限等于等比数列的首项乘以等比数列的公比，即：
lim(n->∞) a1/(1-q) (1-q^n) = a1/1-q
3. 当n趋近于无穷大时，n个几何数列的和的极限等于几何数列的首项乘以几何数列的公比再除以几何数列的公比减1，即：
lim(n->∞) a1/(1-r) (1-r^n) = a1/(1-r)
4. 当n趋近于无穷大时，n个调和级数的和的极限等于调和级数的首项乘以调和级数的公比再除以调和级数的公比减1，即：
lim(n->∞) 1/(1-q) (q^n - 1) = 1/(1-q)。
利用定积分定义求极限的几种情况探析
由（ ） ２ 可知 ， １和（ ） 当遇到一个和式满足如下条 件时：
） 每项都 含有 （ 作 为公 因子提 出去 ） ｂ １式 每项 都 是 一个 函数 形 式 时 ， 就 是每 ）（ ） 也
一
项形式相同， 第一项含 ， 第二项含生 …… ； ２ （）
式 中第二项含 ， 第三项含 …… ， 设法第一项添
第２ ９卷 第 ３期 ２１ ０ ２年 ５月
广西民族师范 学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｇ ＵＡＮＧＸｌ ＮＯＲＭＡＬＵＮＩ ＶＥＲＳＩ ＦＯＲ ＴＹ ＮＡＴＩ ＯＮＡＵＴＩ ＥＳ
ＶＯ．９ ＮＯ． Ｊ ２ ３
Ｍ ａ ２０１ ｙ． ２
利 用 定 积 分 定 义 求 极 限 的几 种 ， ｌ 宥况 探 析
加并 变 出含 （ 往不 明显 ） 往 。
无论 （ ） １式还是 （ ） 第 ｉ ２＾ 式 项都必须含有 ， 其
余的不能再含多余 的 ｎ ，这样和式的极 限就是一个
收 稿 日期 ： ０ １ １ － ６ ２ １－１２
基金项 目： ０ １ ２ １ 年连云港职业技 术学院教 育教 学改革立项课题 “ 高职 院校数 学课程教学改革与创新人 才培养 的研究与 实践” 成果之一。
关键词 ： 定积分 ； 定义 ； 求极限 ； 分类
中图法分类号 ： ２ ２１ ０ １．
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：６ ４ ８ ９ （ ０ ２０ — ０ ８ ０ １７ — ８ １２ １ ）３ ００ — ３
Ｓ ｌｔｏ ｓｏ ｅＬｉ ｉ ｗｉ ｈ ｆ ｉ ｏ ｆＩ ｔ ｇ ａ ｉｎ ｏ ｕ ｉｎ ｆｔ ｍ ｔ ｔ ｔ ｅＤｅ ｎ ｔ ｎ ｏ ｅ ｒ ｔｏ ｈ ｈ ｉ ｉ ｎ
１ ＝ １
毛 △施 ）
8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体积,不等式)
y
o
x
4.设 y ax与 y x 2 围成图形的面积为s1 , 它们与x 1 围成图形的面积为s2 , 且 0 a 1 (1) 求 a , 使 s1 s2 最小
(2) 求此最小值对应的平面 图形绕 x 轴旋转而得的旋转 体体积. 解 (1) 0 a 1 时, s s1 s2
例
x sin( xt ) f ( x) . lim 2 ，其中 f ( x) 2 dt x x 0 x t
例 : 设f ( x )连续, 且f ( 0 ) 0
求 lim
x0
x
0
( x t ) f (t )dt
x 0
x f ( x t )dt
1 ( ) 2
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
o
x
1 3 1 2 （ ） (1 y 2 y) dy ( y y y ) . 1 S 0 3 3 0 2 2 1 2 2 （2） V ( x) dx ( x 1) dx 0 1 6 2
1 2
1
(3)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
例
.设f ( x)为奇函数，且当 0时，f ( x) 0 x
sin( xt ) f ( x) 0, 其中 f ( x) 2 dt，令 x t
x
F ( x) f ( xt)dt tf (t 2 x 2 )dt,
1 0
1
x
判别F (x)在 ， 上的凹凸性
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。
定积分分割近似求和取极限
定积分分割近似求和取极限定积分是微积分中的一个重要概念，它表示曲线与x轴之间的面积。
在实际应用中，我们经常需要对曲线下的面积进行计算，这时就需要用到定积分。
定积分的求解方法有很多种，其中一种常用的方法是分割近似求和取极限。
分割近似求和取极限的方法是将曲线分成若干个小区间，然后在每个小区间内取一个代表点，将这些代表点的函数值相加，最后再将这些和的极限值作为定积分的值。
这个方法的基本思想是将曲线分成无限小的小区间，然后在每个小区间内用一个代表点来近似表示整个小区间的函数值，最后将所有小区间的函数值相加，得到整个曲线下的面积。
具体来说，我们可以将曲线分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后在每个小区间内取一个代表点xi，将这些代表点的函数值f(xi)相加，得到一个和S。
随着n的增大，Δx会越来越小，代表点的数量也会越来越多，这样得到的和S也会越来越接近曲线下的面积，最终将n趋近于无穷大，得到的和S就是定积分的值。
分割近似求和取极限的方法可以用数学公式来表示，即：∫a^b f(x)dx = lim(n→∞) Σ(i=1 to n) f(xi)Δx其中，a和b是积分区间的端点，f(x)是被积函数，Δx是小区间的长度，xi是每个小区间内的代表点。
分割近似求和取极限的方法虽然比较简单，但是需要注意的是，当小区间的数量n很大时，计算量会非常大，而且误差也会比较大。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的分割方法和代表点，以保证计算结果的准确性和精度。
总之，分割近似求和取极限是一种常用的定积分求解方法，它的基本思想是将曲线分成若干个小区间，然后在每个小区间内取一个代表点，将这些代表点的函数值相加，最后再将这些和的极限值作为定积分的值。
这个方法虽然比较简单，但是需要注意计算量和误差问题，以保证计算结果的准确性和精度。
定积分的定义公式分割近似求和取极限
定积分的定义公式分割近似求和取极限定积分这玩意儿，在数学里那可是个相当重要的角色。
它的定义公式——分割近似求和取极限，听起来好像挺复杂，但咱们慢慢捋捋，其实也没那么可怕。
我记得有一次，我在课堂上讲定积分的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，那小眼神仿佛在说：“老师，这都是啥呀？”我就跟他说：“别着急，咱们一步一步来。
”咱先说分割。
这就好比你有一块大蛋糕，你要把它切成好多小块。
比如说，一个函数的区间[a,b] ，咱把它分成 n 个小区间，这就是分割。
每个小区间的长度不一定相等，但加起来就是整个区间的长度。
然后是近似。
这就像你切完蛋糕，要估计每一小块的大小。
对于每个小区间里的函数值，咱找个简单的数来近似代替，比如说区间里某一点的函数值。
再说说求和。
把每个小区间里近似的函数值乘以小区间的长度，然后加起来，这就是求和。
最后是取极限。
当把区间分得越来越细，小区间的数量越来越多，每个小区间的长度越来越小，这个求和的结果就会越来越接近一个确定的值，这个值就是定积分的值。
比如说，你要计算从 0 到 1 区间上 x²的定积分。
咱先把这个区间分成 n 个小区间，每个小区间的长度就是 1/n 。
然后在每个小区间里，咱用区间中点的函数值来近似代替。
比如第 i 个小区间的中点是 i/n ，那这个小区间里的函数值就近似为 (i/n)²。
把每个小区间的近似值乘以小区间长度 1/n 再加起来，得到一个式子。
最后让 n 趋向于无穷大，取这个式子的极限，就能得到定积分的值 1/3 。
在实际生活中，定积分也有很多用处呢。
就像你要计算一个不规则图形的面积，或者计算一个物体在一段时间内移动的路程，都能用到定积分。
还记得有一次我装修房子，要计算一面墙的不规则形状的面积，来确定需要多少壁纸。
我就用定积分的思路，把那面墙的形状分割成好多小部分，近似计算每一部分的面积，最后求和取极限，算出了差不多准确的面积，成功买到了合适数量的壁纸。
利用定积分定义求极限(by汤)(修订)
+
Ã!
ÂZ
i = exp
1
ln(1
+
à x) dx
=
4
n!1 n
n
i =1
0
e
Â
Example 4: 求极限: I = lim n!1
1
1
1
p12 + n2 + p22 + n2 + p32 + n2 +
à 1 + pn2 + n2
by 汤
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利用定积分定义求极限
1 入门题
Solution
n dx
n!1 n2 + k2 k=1
n!1 k=1
k
n2 + k2
>
lim
n!1
X n2
k=1
Z k+1
k
n2
n +
dx x2
=
Z n2+1
1
n2
n +
dx x2
=
2
故由夹逼准则知
X n2 lim
n
=
n!1 n2 + k2 2
k=1
法 2. 设
Sn
=
lim
n!1
X n2
n2
n +
k2
k=1
X n2
= lim Xn k
n
n!1
n+k n+n+1
k=1
= lim 1 Xn 1
n!1
n
k=1
1
+
k n
1 Z1 =
1
dx
运用定积分求极限
运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。
应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。
但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。
重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。
洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。
泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。
但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。
事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。
如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。
而利用定积分求极限正体现了这一理念。
下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。
设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。
数列极限定积分求法
数列极限定积分求法数列极限和定积分是微积分中的两个重要概念。
数列极限用于描述数列中的值趋向于某个常数的情况，而定积分用于计算函数在某个区间上的面积。
在某些情况下，我们可以使用定积分的方法来求解数列极限。
下面将讨论数列极限与定积分的关系以及具体的求解方法。
首先，我们来讨论数列极限和定积分的关系。
当我们需要求解一个数列的极限时，我们可以将其转化为一个定积分，并通过计算定积分来求解数列极限。
具体的方法是将数列中的项表示为一个函数，并将其转化为函数在某个区间上的定积分。
通过计算该定积分，我们可以得到数列的极限。
这个方法在一些特定的数列中尤为有效，例如几何数列、调和数列等。
接下来，我们来介绍几个具体的求解数列极限的例子。
1. 求解几何数列的极限考虑几何数列$a_n=a_0 \cdot r^n$，其中$a_0$为首项，$r$为公比。
我们想要求解当$n$趋向于无穷大时，数列$a_n$的极限。
我们可以将几何数列转化为一个函数$f(x) = a_0 \cdot r^x$，其中$x$为实数。
然后我们要计算函数$f(x)$在区间$[0, +\infty)$上的定积分$\int_0^{+\infty} a_0 \cdot r^x dx$。
当$r$的绝对值小于1时，我们可以通过计算定积分得到数列的极限为$\frac{a_0}{1-r}$。
2. 求解调和数列的极限考虑调和数列$a_n = \frac{1}{n}$。
我们想要求解当$n$趋向于无穷大时，数列$a_n$的极限。
我们可以将调和数列转化为一个函数$f(x) = \frac{1}{x}$，然后计算函数$f(x)$在区间$[1, +\infty)$上的定积分$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx$。
通过计算该定积分，我们可以得到数列的极限为0。
通过以上两个例子，我们可以看到数列极限与定积分之间的关系。
在一些特定的情况下，我们可以通过将数列转化为函数的定积分来求解数列的极限。
3-2-10-胡桐春-利用定积分定义求极限
lim n
n i 1
1 1 (1 i )2 n
n
11
0 (1 x)2 dx
11 1
1 x 0 2
n (n n)2 ]
8.已知
f
(x)
a x3
，求极限lnim
1 n4
ln[
f
(1)
f
(2)
解：原式 lim ln a n ( i )3 1
n
1
00
2.求极限
lim(
n
1 4n2 1
1 ... 4n2 22
1) 4n2 n2
解：原式
lim
n
1 n
(
1 4 (1 )2
1 ... 4 (2 )2
1) 4 (n )2
n
n
n
n
lim
1 1 1 1 dx
n i1 4 ( i )2 n
i1 n n
ln a 1 x3dx 0
ln a 1 x4 1 1 ln a 4 04
f (n)]
感谢各位聆听
n i1 1 4( i )2 n
0 1 4x2
n
1 1 1 d(2x) 1 2 1 dt
2 0 1 (2x)2
2 0 1t2
1 ln(t 1 t2 ) 2 1 ln(2 5)
2
02
n
n
7.求极限
lim[
n
(n
1)2
(n
2)2
解：原式
04
4.求极限 lim( 1 1 ... 1 )
定积分分割近似求和取极限
定积分分割近似求和取极限定积分是微积分的重要概念，它可以被理解为曲线与坐标轴之间的面积。
而分割近似求和是一种将曲线分割为许多小矩形，并求和这些小矩形面积的方法。
在本次任务中，我们将探讨如何使用定积分的分割近似求和方法来取极限。
定积分与分割近似求和定积分是对曲线所围成的面积进行求解的一种方法。
对于函数f(x)，我们可以将其图像与x轴围成的区域分割成许多小矩形，然后求和这些小矩形的面积。
将这个过程表示为极限形式，即可得到定积分的形式：∫f b a (x)dx=limn→∞∑fni=1(x i)Δx其中，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数，n是分割的份数，Δx是每个小矩形的宽度，x_i是每个小矩形的横坐标。
分割近似求和的步骤分割近似求和的思路是将定积分中的曲线区域分割为若干个小矩形，并且逐步增加小矩形的数量，使得小矩形的宽度逐渐趋近于0，从而使求和的结果趋近于定积分的值。
下面是分割近似求和的具体步骤：1.确定积分的上下限：首先需要确定定积分的上下限a和b，这将决定了被积函数f(x)在[a, b]区间内的取值范围。
2.选择分割份数：其次需要选择分割份数n，这将决定了将曲线区域分割成多少个小矩形。
通常情况下，n的取值越大，分割的越细，得到的结果越接近定积分的值。
3.计算小矩形的宽度：根据分割份数n和积分的上下限a、b，可以计算出每个小矩形的宽度Δx。
Δx的计算公式为：Δx=b−a n4.计算每个小矩形的高度：根据被积函数f(x)的表达式，可以根据小矩形的横坐标x_i计算出其对应的纵坐标f(x_i)。
5.计算小矩形的面积：将每个小矩形的宽度Δx与对应的高度f(x_i)相乘，即可得到每个小矩形的面积。
然后将所有小矩形的面积求和，得到近似的定积分结果。
6.求和取极限：通过逐步增加分割份数n，并不断缩小小矩形的宽度Δx，可以使得分割近似求和的结果逼近定积分的值。
当分割份数n趋近于无穷大时，即可取得近似的极限值。
(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)
专题1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：① 是n →∞时的极限② 极限运算中含有连加符号1n i =∑在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为b a n-（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n--++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n-+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i ii f x ξ=∆∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。
（取左端点时1lim((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑⎰）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n→∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n nλ→=--+=∑⎰。
用定积分定义求极限的n次方
用定积分定义求极限的n次方在数学分析领域中是一个非常重要且常见的问题。
在研究这个问题之前，我们首先需要了解定积分的定义和性质。
定积分是微积分的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的面积或曲线下的面积。
而求极限则是计算函数在某一点或趋于某一点时的取值。
在本文中，我们将探讨如何利用定积分的定义求极限的n次方，并深入研究这个问题的数学原理和推导过程。
# 定积分的定义和性质定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的面积或曲线下的面积。
在数学上，定积分可以定义为函数在一个区间上的面积，它可以被用来描述曲线下的面积、求函数的平均值等。
定积分的定义如下所示：\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)Δx其中，a和b是积分区间的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量，n 表示将区间分成的小区间的个数，x_i^*是每个小区间的取样点，Δx表示每个小区间的长度。
定积分具有一些重要的性质，如线性性、可加性等，这些性质在求解极限的n次方问题中发挥着重要作用。
# 求极限的n次方的定义求极限的n次方是一个常见且重要的数学问题，在实际问题中也经常遇到。
当我们要计算一个函数在某一点或趋于某一点时的取值时，就需要求该函数的极限。
求极限的n次方问题可以表示为：\lim_{x→a}(f(x))^n其中，f(x)是一个函数，n是一个正整数，a是函数的极限点。
当n为奇数时，求解这个极限问题比较简单，但当n为偶数时，就需要一些特殊的技巧和方法来求解。
在本文中，我们将重点讨论求极限的n次方问题中n为偶数的情况，并探讨如何利用定积分的定义来求解这个问题。
# 利用定积分定义求极限的n次方在求解极限的n次方问题中，当n为偶数时，我们可以利用定积分的定义来求解这个问题。
具体的推导过程如下：首先，我们将求解的问题转化为求解函数f(x)在区间[a,b]上的平均值的n 次方的极限。
利用定积分求极限
科技信息定理１：连续函数的定积分一定存在根据该定理，只要ｙ＝ｆ（ｘ）是连续函数，ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍλ→０ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ，而且该极限与｛ξｉ｝的取法无关，与｛ｘｉ｝的分法无关。
其中Δｘｉ＝ｘｉ－ｘｉ－１。
正因为该极限与｛ξｉ｝的取法无关，与｛ｘｉ｝的分法无关，经常取｛ｘｉ｝使［ａ，ｂ］区间等分，取ξｉ＝ｘｉ或ξｉ＝ｘｉ－１所以Δｘｉ＝ｂ－ａｎ，ξｉ＝ａ＋ｂ－ａｎｉ或ξｉ＝ａ＋ｂ－ａｎ（ｉ－１）。
于是：ｌｉｍλ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ａ＋ｂ－ａｎｉ）＝ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ或ｌｉｍλ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ａ＋ｂ－ａｎ（ｉ－１））＝ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ一、形如ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ的极限推论１如果函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可积，将区间［ａ，ｂ］等分为ｎ个小区间，ξｉ为小区间ｉ－１ｎ（ｂ－ａ），ｉｎ（ｂ－ａ#$）上任意一点，Δｘｉ＝ｂ－ａｎ，则ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｎ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）。
例１．求极限ｌｉｍｎ→∞（ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋…＋ｎｎ２＋ｎ２）解：原式＝ｌｉｍｎ→∞１ｎｎｉ＝１"１１＋（ｉｎ）２＝ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"１ｎ１１＋（ｉｎ）２＝ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）１ｎ（１）（１）式是函数ｆ（ｘ）＝１１＋ｘ２在区间［０，１］上的一个积分和，它是把区间［０，１］分成ｎ等份，ξｉ取ｉ－１ｎ，ｉｎ%&的右端点构成的积分和，由推论１可得ｌｉｍｎ→∞（ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋…＋ｎｎ２＋ｎ２）＝１０!１１＋ｘ２ｄｘ＝π４利用定积分求ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ关键为（１）寻找被积函数；（２）确定积分的下限ａ及上限ｂ。
具体步骤如下：（4）通过恒等变形，将Ｓｎ化为特殊形式的积分和：Ｓｎ＝ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）ｂ－ａｎ（5）寻找被积函数ｆ确定积分下限及上限：令ξｉ＝ｘ，被积函数为ｆ（ξｉ）＝ｆ（ｘ）；积分下限ａ＝ｌｉｍｎ→∞ξｋ（ｋ为ｉ的第一个取值）；积分上限ｂ＝ｌｉｍｎ→∞ξｍ（ｍ为ｉ的最后一个取值）。
巧用定积分求极限(数学分析)
定积分在求极限中的应用1.常识预备微积分学在大学的数学进修中占领相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中经常要面对的问题.是以,积聚更多求极限的办法应是每位大学生必备的素养.“00”型的极限和“∞∞”型极限的.泰勒公式合适于解决求分式极限平分子或分母有加减运算的问题,经由过程泰勒展式后可以达到某些项抵消后果.但若细心不雅察这些办法,其特色不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学常识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时期进修过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘使也能用到积分学常识来解决求极限的问题,那么求极限的办法才算完美.而应用定积分求极限正表现了这一理念. 1.2定积分的概念下面起首让我们回想一下定积分以及极限的界说:定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有界说,在闭区间[],a b 内随意率性拔出n-1个分点将[],a b 分成n个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ∆=-=）,1[,]i i x x ξ-∀∈,作乘积()i i f x ξ∆(称为积分元),把这些乘积相加得到和式1()niii f xξ=∆∑(称为积分情势)设{}max :1i x i n λ=∆≤≤,若1lim ()ni ii f x λξ→=∆∑极限消失独一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个独一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作b a ()f x dx⎰,即1()lim ()nbai ii f x dx f x λξ→=⎰=∆∑.不然称()f x 在[],a b 上不成积.注1:由牛顿莱布尼兹公式知,盘算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.注2:若()b a f x dx⎰消失,区间[],a b 进行特别朋分,分点i ξ进行特别的取法得到的和式极限消失且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思惟在考题中经常消失,请读者要真正懂得.注3:定积分是否消失或者值是若干只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母暗示无关,即()()().b b ba a a f x dx f t dt f u du ⎰=⎰=⎰细心不雅察定积分的界说,我们必定会发明定积分的极限有以下两个特点.第一,定积分是无穷项和式的极限,轻易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必定趋近于零,不然和式极限不消失.第二,定积分与某一持续函数有慎密的关系,它的一般项受到这一持续函数的束缚,它是持续函数在某个区间长进行了无穷的朋分,各小区间上随意率性的函数值与区间长度的乘积的累加.对于极限,大学重要进修了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的天然数的相干极限,而函数的极限则重要用于解决持续函数的相干极限.那么就让我们先一一往返想它们吧！ 极限的概念数列的极限设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总消失正整数N ,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a趋于a ).因为n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限,则称{}n a 不收敛,或称{}n a 为发散数列.注1:关于ε:①εε的感化在于权衡数列通项n a 与常数a 的接近程度,ε越小,暗示接近得越好;而正数ε可以随意率性小,解释n a 与常数a 可以接近到任何程度;②εε有其随意率性性,但一经给出,就临时地被肯定下来,以便依附它来求出Ｎ;③ε的多值性.ε既是随意率性小的正数,那么2,3,2εεε等等,同样也是随意率性小的正数,是以界说１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替;④正因为ε是随意率性小的正数,我们可以限制ε小于一个肯定的正数.注2:关于N :①响应性,一般地,N 随ε的变小而变大,是以常把N 界说作()N ε来强调,N 是依附于ε的;ε一经给定,就可以找到一个N ;②N 多值性N 的响应性其实不料味着N 是由ε独一肯定的,因为对给定的ε,若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =N 不是独一的.事实上,在很多场合下,最重要的是N 的消失性,而不是它的值有多大.基于此,在实际应用中的N 也不必限于天然数,只如果N 正数即可;并且把“n N >”改为“n N >”也无妨.函数的极限设函数()f x 在点0x A ,对于随意率性给定的正数ε(不管它有何等小),总消失某正数δ,使得当x 知足不等式00x x δ<-<时,对应的函数值()f x 都知足不等式()f x A ε-<,那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限,记为0lim ()()()x x f x A f x A x x →=→→或当.可以看出,数列极限与函数极限界说的思惟是一致的,都是响应的某个表达上的值无穷地接近某个常数值.不合的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是持续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与响应的常数值以随意率性程度地接近. 2.定积分与极限定积分在求极限中应用概述不难看出,无论是数列的极限照样函数的极限,它们都与定积分的界说消失着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥妙吧.事实上,定积分的界说中蕴含着一列数｛()i i f x ξ∆｝的和,并且只要ix ∆充分地小,和式1()niii f xξ=∆∑就可以随意率性地接近肯定的实数J=()b a f x dx⎰,这恰是极限思惟的消失,即1lim ()J ()nb i i a n i f x f x dxξ→∞=∆==⎰∑.这就为我们求极限供给了一种奇特而有力的办法——应用定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们应用之解决浩瀚类型的和式极限. 定积分求极限中应用思惟的形成先让我们看一个简略的例子: 例1.求极限111lim()122n J n n n →∞++=++….分析:此极限式的求解,不轻易直接用极限的界说解决,因为该法往往是用来一边盘算一边证实某个极限成果已经比较明显的问题,是以这里不合适;重要极限的结论显然也在这里没有效武之地,因为情势上根本不合;再斟酌洛必达轨则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不成能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决持续函数的极限问题,经由过程泰勒展式往往能把非多项式情势的表达式转化成多项式情势,以简化情势从而求解,看来这里也不实用.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否认的,事实上,它从情势上与定积分的界说照样有一些相像的,那么就让我们测验测验用定积分的办法来解决这个问题吧！解:把此极限式转化为某个积分情势,从而盘算定积分.为此做如下变形:111lim 1nn i J i n n →∞==+∑.不难看出,个中的和式是函数1()1f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和(这里取得是等量朋分,11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…).所以,J=11001ln(1=ln21dx x x =++⎰）.从该例题的解法中可以看出,本题的症结是将极限和转化为积分和,从而应用了定积分将所求极限水到渠成.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般办法步调:Sept1将和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑经由变形,使其成为积分情势1lim ()ni in i f x ξ→∞=∆∑.这里常取11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…;Sept2肯定积分函数的高低限. a=lim (i n i ξ→∞取第一个值）lim (i n b i ξ→∞=取最后一个值）;Sept3用x 代换i ξ,写出定积分表达式()baf x dx⎰,并求出原极限的值.经由过程以上的一般办法步调,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.如今让我们再来看一个例子,并从中细心领会以上办法步调. 例2.求极限222222111lim (12n n n n n n →∞+++++…+）.解:Sept1 化和式极限为积分情势.原极限=22211111lim lim 1(nn n n i i i n i n n →∞→∞===++∑∑）. 显然,这里1,(i i ix n nξ=∆=即是进行N 等分）,被积函数可算作()21f x ,1,2,.1+i n x ==…Sept2 肯定积分函数高低限.Sept3 写出积分表达式并求出积分值.原极限=110201arctan 14dx x x π==+⎰.对于本题,我们是紧紧按照方才总结出的办法步调进行的,并顺遂地求出了原题的极限值.这是一个具体的例子,那么我们是否可以总结出更为一般性结论呢？答案天然是肯定的. 3.应用定积分求极限 一般性结论的综述及其应用至此,我们可以得出如下结论:结论1假如函数()f x 在区间[],a b 上持续,将区间[],a b 进行n 等分,1[(()],i i i i b a b a b a x n n n ξ--∈--∆=），,那么,1lim ()()nb i a n i b a f f x dx n ξ→∞=-=∑⎰.事实上,持续函数必定可积,而将区间[],a b 进行n 等分也是朋分T的一种特别情况.依据定积分的界说,上述结论成立.当然,其实不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严厉用到上面总结出的三个步调,我们可视情况灵巧处理,比方无需用到某一步调或者还需用到其他求极限的思惟等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感触感染结论1的用处. 习题组11)sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n ….这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思惟应用到求极限中去.如今就让我们用结论1来解决这些求极限的问题,并从不合习题中查找出异同,以加深对结论1的控制和熟习.解:(1) 分析 原极限显然可以算作()sin f x x π=在[]0,1上的定积分.故(2)分析 先经由过程恒等变形,原极限式=11lim nn i n →∞=,被积函数()f x =,积分区间是[]0,1,于是原极限值=11022(13)33dx x =+=⎰; (3)分析 原和式极限的通项是sin in i n n π+不成以算作是关于i n的某一个函数,但是留意到:应用结论1,上面不等式左端可以取极限,即111211lim (sin sin sin )lim sin [lim sin ][lim ]1+1+1nn n n n n i i n n i i n n n n n n n n n n n πππππ→∞→∞→∞→∞==+++=⋅⋅=⋅+∑∑…=12[sin ]1xdx ππ⋅=⎰,上面不等式右端可以取极限,即1011212lim (sin sin sin )lim sin sin n n n i n i xdx n n n n nn ππππππ→∞→∞=+++=⋅==∑⎰…. 于是,由极限的迫敛性可知原极限值=2π.这组题均典范地应用了定积分的盘算,从而求出了各极限.我们发明,只要找到某个持续函数()f x ,并能把这个和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑转化成积分情势1limf ()n i n n→∞⋅,我们就只需盘算出f(x)在[0,1]上的积分值,从而肯定出原极限值.这三个习题中,例题1的式子无需再进行恒等变形,因为其情势上已经是limn →∞f(i n )1n ⋅了;习题2与习题3情势上直不雅上不是limn →∞f(i n )1n⋅的情势,因为式子n →∞与式子sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n …都不含i n的项.为此,我们须要对习题2以及习题3极限的式子进行恒等变形,经由过程提取公因式等手腕使其消失in ()f x ,例如习题3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而间接地求出原和式极限的极限值. 一般性结论的深化及推广接下来,我们对结论1进行恰当的推广,以得到更多情势的极限的求法.推论1假如函数(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积, 证实:起首,(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积. 又因为1,,i i i i n n ξη-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,0(i x n ∆→→∞当）,所以,lim lim .i i n n ξη→∞→∞=于是,1lim ()()ni i ii f g x λξη→=∆∑=1lim ()()ni i ii f g x λξξ→=∆∑=()()baf xg x dx⎰.例3.求极限:122lim [sin cos()sin cos()sin cos()]222n n n n n n n n n n n n n πππππππππ→∞-+-++-….解:由推论1可知,f(x)= 于是,原极限式=1210011sin cos sin 02x xdx x ππππ=⋅⋅=⎰.推论2设1ln ()ln ()0,1]lim.f x dx n f x e →∞⎰=在区间[上可积，则例4.试求:112lim()nn n n n n n n n →∞+++⋅⋅….推论3假如函数()f x 在区间[]0,1上可积,且()1()11121f x 0,lim[1+()][1+()][1+()]f x dx n nf f f e n n n n n n →∞⎰≥⋅⋅=则….证实:记A=11121lim[1+()][1+()][1+()]n nf f f n n n n n n→∞⋅⋅…,则11ln lim ln[1+()]nn i i A f n n →∞==∑10()()11()1011()1111lim ln[1+()]lim ln[1+()]11lim ln lim ()()A .n if i n nnf n nn n i i i nn f n n n i i f x dx i if f n n n nn n ie f f x dxn nn e ⋅→∞→∞==→∞→∞======⋅=⎰=∑∑∑∑⎰于是，例5.盘算22212lim(1)(1)(1)333n n n n n →∞+⋅++….解:本题也可以直接应用推论3,这三个推论是对结论1的须要填补与完美.情势上我们不但有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论1的思绪持续进行摸索,从情势上丰硕了定积分在求极限中应用这一思惟,但从本质上讲,它们与结论1是一致的.它们都紧紧抓住了定积分概念的本质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基赋性质,对各式子进行恒等变形,尽量把不合情势的极限向定积分界说中的和式上去挨近.最终经由过程简略清楚明了的定积分公式,求出定积分的值来,以肯定出原极限的值.由这三个推论来看,111111111lim (),lim ()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n n nn ni i i i n n n n i i i i i i i i i f f g f f n n n n n n n n ξηξη→∞→∞→∞→∞====-⋅∈∑∑∏∏对于等情势的极限,我们都有方可循,用定积分的办法轻易求出其极限来.对于任何一种数学办法,只要我们细心地不雅察与推究,都能将其结论或应用规模加以推广,就像结论1.如今让我们来看一组习题,以领会以上诸推论.如今,我们已经积聚了多种乞降式极限的办法,它们是往后应用定积分化决极限类问题的最佳模子与典范.那就再让我们来看一组习题,以熟习与巩固1111lim (),lim nnn n i i i f n n n →∞→∞==∑∑等情势的极限吧.下面这组习题分解用到了以上各结论与推论. 习题组2用定积分的办法盘算下列各极限.11111()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n nn i i i in n i i i i i i f g f f n n n n n ξηξη→∞→∞==-⋅∈∏∏(1)222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞++++++…; (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…）;(3)lim n →∞(4)111lim(1)(1)(1)12n n n n n →∞++++++….解:分析以上例题都轻易恒等变形,使其知足结论1或者推论1至推论3的前提.于是, (1)122222*********lim []();(1)(2)()(1)21n n i n dx i n n n n n x n →∞=+++===+++++∑⎰ (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…） =11sin ni i i n ξη=⋅∑,1,[,],1,2,1i i i i i n n n ξη-∈=-… =10sin sin1cos1;x xdx =-⎰(3)1011ln(1)21lim lim[(1)]2n x dx n n n i i e n ππ-+→∞→∞=⎰=+⋅=∏ 22(1)ln(1)1ππ=++-; (4)1011111111lim(1)(1)(1)(1)2121n dx x n i e i n n n n n n +→∞=⎰+++=+⋅==++++∏….定积分在求极限中应用思惟的转移至此,我们已经深深的领会到了各类情势的定积分在极限中应用的感化.仅仅于此,我们尚不克不及知足,我们可以把定积分在求极限中的应用思惟借鉴到其他方面.例如,应用这种思惟办法来证实一些不等式,或者用之解决一些庞杂一点的求极限问题.下面将举例解释.例 6.证实:若函数()f x 在[],a b 上持续,且对于[],x a b ∀∈,有()0f x >,则21()()()bb a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰.证实:已知()f x 与()g x 在[],a b [],a b 进行N 等分,分点是01n a x x x b =<<=…<.在第K 个区间上取1,k k k k b a x x x n ξ--=-=.由算数平均不小于几何平均,有 121111(()1(()()n n k n nk k k k k k k f x f x b a b a f x b a n f x n n n ====--⋅⋅⋅=-⋅⋅≥∑∑∑∑））22(()b a b a -=-）21()()()b b a a n f x dx dx b a f x →∞≥-⎰⎰当时，有.领会:本例刚巧反过来,将积分和转化为极限和的情势,并应用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地熟习与控制定积分与极限之间的关系是解决本问题的症结.该例题解释,我们应当充分熟习到定积分在极限中的感化,并能做到灵巧变通,恰当情况下,二者可以互相转化,将问题化难为易,从而达到解决问题的目标.例7.试求极限(21)!!lim[](2)!!n m m →∞-.分析:该问题似乎不克不及直接应用结论1或推论1至推论3来求极限.因为极限的表达式不轻易化成以上结论或者推论的情况.但是,该问题的解决就真用不到定积分了吗？答案是否认的.在解决该问题之前,照样先让我们看一下沃利斯公式的由来吧！沃利斯公式:2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.证实:令20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…,则当2n ≥时用分部积分法轻易求得移项并整顿后可得递推公式:21, 2.n n n J J n n --=≥因为 220100,sin 1,2J dx J xdx πππ====⎰⎰反复应用上面的递推公式可得2212123122222()2222121213m m m m J m m m m J m m π+--⎫=⋅⋅⋅⎪⎪-**⎬-⎪=⋅⋅⋅⎪+-⎭……, 又因为2122-1222000sin sin sin m m m xdx xdx xdx πππ+<<⎰⎰⎰,再将**（）式代入,即可以得到 22(2)!!1(2)!!1[][](21)!!212(21)!!2m m m m A B m m m m π=<<=-+-,因为2(2)!!110[]0()(21)!!2(21)22m m m B A m m m m m π<-=<⋅→→∞-+,依据极限的迫敛性可知lim()0m m m B A →∞-=.而02m m m A B A π<-<-,故得沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.如今让我们来细心看看沃利斯公式毕竟与定积分有什么关系吧!事实上,在盘算定积分20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…时,我们奇妙地应用了定积分的递推表达式,如许我们才正真地查找到懂得决极限问题的金钥匙,看来定积分的运算照样在个中施展了不成低估的感化.那么就让我们直接应用该公式来商量例8问题吧！ 依据沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+,可知1(21)!!21lim lim 0(2)!!2m m m m m π→∞→∞-+==.从某种程度上讲,我们应用了定积分办法解决了例8中极限的问题.倘使我们采取其办法来求这个极限,生怕会走一些弯路.定积分在求极限中应用思惟的完美我们知道反常积分也是定积分在极限下界说出来的.以上的所有求极限问题都是将极限的表达式整体转化成积分情势,从而应用了定积分奇妙地求出了原极限的成果,那么能不克不及把定积分在求极限中局部应用呢？如今我们再来看一个有味的问题,以便解释此问题.例8.证实:1112lim 1ln n n n →∞++=…+.分析:这个例题不合于前面所有的例题,前面的例题,我们都能敏捷地将所求极限的表达式转化成1lim ()n i i n i f x ξ→∞=∆∑,而本例不成,但它情势上与我们评论辩论的定积分在求极限中应用的例子异常相像,因为式子中有无穷多项和11n i i =∑,所以我们就测验测验用定积分的办法来求它吧！ 把这个极限式子的分子进行恰当变形11111n n i i i in n ===∑∑.假如依据前面的经验,我们知道101111lim n n i dx i n x n →∞==∑⎰的.可是如今我们对两个问题有所质疑.第一,我们并没有把原极限式直接转化成积分情势;第二,即使局部用到了定积分101dx x ⎰,但我们知道101dx x =∞⎰ 110001111111lim(ln )lim(ln )ln 2lim lim lim 1ln ln lim ln lim ln lim ln ln n i x x n n x x x x i n dx x x n n x x n n x x x x ++=→→→∞→∞→+∞→+∞→+∞→+∞++-======∑⎰…+(这里我们同一了分子分母中的变量,同一用变量x,这里已经暗示变量x 是慢慢趋近,由数学分析中归结道理”,这个手腕是不影响极限成果的).最后我们求得其成果,1112lim 1ln n n n →∞++=…+.由此可以看到,在求极限的问题中,定积分的思惟不但可以对表达式整体应用,也可以对其进行局部应用.总之,只要我们擅长思虑书本上的一些概念以及分析它们之间接洽,我们就往往可以或许游刃有余地把一种数学思惟用于解决其他数学问题上.最后,让我们再来总结一下,定积分在求极限中应用时所应当留意的几个问题.第一,极限必须是无穷项和的极限,并且这些和的极限经由恰当的恒等变形之后能转化为定积分的情势.第二,应用定积分求极限时,往往还须要用到其他的一些求极限的办法和手腕,例如极限的迫敛性,重要极限的结论,取对数手腕等.第三,求极限一类问题往往须要应用各类手腕,如许才干做到事半功倍.4.论文总结再熟习数学经由过程以上商量,我们从新熟习了数学.我们在进行推理与应用时,是有深切领会的.数学本身是一门严谨的天然科学,因为它是一种思维的对象,是一种思惟办法,它照样一种理性的艺术.,数学具抽象性.数学概念是以极端抽象的情势消失的.本文中评论辩论的定积分以及极限更是如斯.与此同时,数学的研讨办法也是抽象的,这就是说数学命题的真谛性不克不及树立在经验之上,而必须依附于严厉的证实.当数学应用于实际问题的研讨时,其症结在于能树立一个较好的数学模子.我们在应用定积分求极限时,就已经失去了较好的数学模子——函数模子.解决实际问题的表现.第二,数学付与科学常识以逻辑的周密性和结论的靠得住性,是使熟习从感性阶段成长到理性阶段,并使理性熟习进一步深化的重要手腕.在数学中,每一个公式,定理都要严厉地从逻辑上加以证实今后才干够确立.当我们发清楚明了“结论1”之后,接踵经由周密的推理与论证后才拓展到了“推论1”至“推论3”.第三,数学是一种帮助对象和表示方法.我们在解决数学问题本身时,还必须依附于数学中的其他相干办法思绪.别的数学反应的是一种庞杂而抽象事物内部关系,但是我们仍然有简明的数学符号与形象光鲜的图形等来暗示它.无论是定积分照样极限,个中都用到了丰硕的数学符号,分开这些数学符号,我们的表达似乎显得寸步难行.数学是一种思惟办法.数学是研讨量的科学.它研讨客不雅对象量的变更,关系等,并在提炼量的纪律性的基本上形成各类有关量的推导和演算的办法.数学的思惟办法表现着它作为一般办法论的特点和性质,是物资世界质与量的同一,内容与情势的同一的最有效的表示方法.无论是定积分照样极限都离不开盘算,这就意味着它们中都蕴含着量的变更.数学照样一种理性的艺术.一般我们认为,艺术与数学是两种作风与本质都有着明显不合的事物.它们一个处于高度理性化的峰顶,另一个则位于精力世界的枢纽地带;一个是天然科学的代表,另一个则是美学的佳构.但是,在各种概况上无关甚至完整不合的现象死后却隐蔽着艺术与数学相当一致的一般意义.我们进行学术研讨纯粹是我们朝长进步以及求知欲的使令.艺术与数学都是公认的地球说话.艺术与数学在描写万事万物的进程中,还同时完美了自身的表示情势,这种表示情势最根本的载体等于艺术与数学各自奇特的说话特点.其配合特色有(1)超文化性.艺术与数学所表达的是一种带有广泛意义的人类配合的心声,因而它们可以超出时光和地域界线,实现不合文化群体之间的广泛传播和交换.(2)整体性.艺术的整体性来自于其艺术表示的广泛性和广泛性;数学的整体性来自于数学同一的符号系统,各个分支之间的有力接洽,配合的逻辑轨则和既约的表达方法.(3)简明性.它起首表示为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩.(4)代表代表性可以诱发某种强烈的情绪体验,唤起某种美的享受,而意义则在于把留意力转向思维,上升为理念,成为表示人类心坎意图的方法.(5)情势性.在艺术与数学各行其是的符号与信息的寄义交换中,其配合的特点就是达到了实体与情势的分别.我们研讨的定积分在求极限中的应用,那种思惟以及符号呈现方法可被世界人悦纳.艺术与数学具有配合的精力价值.接洽关系的;艺术的价值也是不克不及以人的意志而转移.艺术与数学的价值根本上是在自身框架内被辨别,鉴赏和评价的.(2)超出性.它们可以超出时空,彰显永恒.在艺术与数学的价值超出进程中,实际得以异于其他种类文化与科学的明显特点之一.(4)多样化,物资化与广泛化.在现代技巧与贸易化的推进下,艺术与数学的价值也开端产生升华,消失了各自价值在很多范畴内的散射,渗入渗出,应用,交叉等情况.定积分在求极限中的应用,不但仅进献于数学本身,它将逐渐在其他范畴也施展必定的感化.停止语我们已经见到了定积分在求极限问题中应用的各类情势.事实上,只要我们对学过的某些概念居心的领会,并加以深入的思虑,我们就可能将其精华应用到数学的其他范畴.正如我们这里把定积分与极限联合起来,并进行了恰当推广,得到了较为知足的结论和推论.本文重要给大家介绍了定积分在求极限中应用.一开端我们就回想了定积分以及极限等大学数学进修中的重要概念.然后分析它们之间的内涵接洽,进而查找到了一种奇特的求极限的办法——借助定积分求极限.当然,这种思惟也并不是空穴来风,它是源于教材中某些例题中具有创新性思惟办法或者一些奇特的步调.因为不是所有的数学概念之间经由思虑推理,互相之间就能树立起接洽来.是以,在日常平凡的数学进修中,我们务必对教材中的根本概念加深领会,尤其是要把互相之间或多或少消失着某种关系的概念加以比较与分析.然后对其进行大胆的假设,并进行必定的逻辑证实.假如我们的假设成立,那就是我们发明的新事物,这对于我们发散思维与创新思维都是大有裨益的;假设不成立,我们也可更好地控制不合概念之间差别,这对于我们懂得常识都是有利益的.所以,在我们日常平凡的进修进程中,我们要积极去思虑,并大胆地进行某些恰当的假设,以晋升我们创新思维才能.求极限的办法可能还有更多,值得大家去思虑与发掘.愿望本文能起到抛砖引玉的目标,能激发更多的数学快活爱好者携起手来摸索出更多实用与奇妙的求极限的办法来.迎接大家对本文进行批驳与斧正.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高级教导出版社,2001．[2]刘玉琏,刘伟等.数学分析课本习题选解.北京,高级教导出版社,2002．[3]同济大学数学教研室.高级数学[M]北京, 高级教导出版社,1997．[4]王业.关于积分在求极限中的初探[R].全国专科院校数学会,1992．[5]刘树利.盘算机数学基本.北京.高级教导出版社,2001．[6]刘利茹,孙永华.高级黉舍经济数学系列教材.北京,高级教导出版社,2004．[7]陈吉象,戴英等.文科数学基本.北京高级教导出版社,2003．[8]天津大学数学比赛(人文学科及医学等类),2005．英文摘要Abstract:In solving limit problem, we often think of the ways including the definition of limit, important limits, L’Hospital’s rule an d Taylor’s formula etc. These methods have some limitations, however the definite integral is also limit form in essentially, it is also simple in。
关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结(最新整理)
n1
f
k 0
k
n
1 n
第一项是f
0
n
=f
0
, 第二项是f
n- 1
n
,
n- 1 n
0 n
n- 1 n
n
f
k 1
k
n
1 n
第一项是f
1 n
,
第二项是f
n n
,
n n
1 n
n- 1 n
n- 1 我们发现这两种方法选取的第一个点和最后的一个点自变量相减都是 ，
n
n
1
1
n
1
2
AAA
1 2n
=
1 n
n
n
1
n
n
2
AAA
n
2n
现在问题又来了，
1
感觉括号里面还是找不到对应的规律啊，因为要出来 f 0
n
x dx =l i m f n k 1
k 1
n
n
也就是说要出来 k ，说的更详细点也就是每一项要出现 0 , 1 , 2 , 3 之类的，
n
nnnn
分析：因为每一项xnk
1 k 1含有n, 所以想到定积分，但是每一项并没有 n2
出来
1 n
,
所以转化一下xnk
1 k n2
1=
1 n
n
1 k n2
1
下面我要让式子中出现 k 这个整体有关的东西，不然没法利用定积分去做 n
xnk
1 n
n
1 k n2
1
=
1 n
n
k n2
1 n n
n 1
2n
高数辅导之专题十五：利用定积分的定义求极限
专题十五本专题为利用定积分的定义求极限，定积分的定义可简单分为三步，分割、求和、取极限，故可用定积分的定义求和式的极限。
本专题节选的几道例题都是遵循一定的步骤，可仔细理解。
建议事先仔细阅读教材113-115页的两个实例。
例题1. 求)12111(lim nn n n n ++++++∞→ 。
解：∑=∞→∞→+=++++++n i n n i n n n n n 11lim )12111(lim ∑=∞→⋅+=ni n n n i 1111limdx x ⎰+=11110|)1ln(x += 2ln = 2. 求)241241141(lim nn n n n ++++++∞→ 。
解：∑=∞→∞→+=++++++n i n n in n n n n 2141lim )241241141(lim ∑=∞→⋅+=ni n n i n n 212142lim∑=∞→⋅+=ni n nni 2121221limdx x ⎰+=12110|)2ln(x += 2ln 3ln -=23ln = 3. 求)21(lim 22222nn nn n n n n ++++++∞→ 。
解：∑=∞→∞→+=++++++n i n n i n nn n n n n n n 12222222lim )21(lim ∑=∞→⋅+=ni n n in n 12221lim∑=∞→⋅+=ni n n n i 121)(11limdx x⎰+=1021110|arctan x = 4π=4. 求)12111(lim 22222nn n n n ++++++∞→ 。
解：∑=∞→∞→+=++++++ni n n i n nn n n 122222221lim )12111(lim∑=∞→⋅+=ni n n i n n1221lim∑=∞→⋅+=ni n nni 121)(11lim⎰+=1211dx x102|)1ln(x x ++=)21ln(+= 5. 求)4116141(lim 2222nn n n n ++++++∞→ 。
数列极限定积分求法
数列极限定积分求法
（原创版）
目录
1.数列极限与定积分的概念
2.数列极限定积分求法的基本思路
3.数列极限定积分求法的具体步骤
4.举例说明数列极限定积分求法
正文
一、数列极限与定积分的概念
数列极限是指当项数无限增加时，数列的某一项与它后面的项的差的绝对值无限减小，最终趋于零的一种性质。
而定积分则是指函数在某一区间上的累积效果，可以用极限的方式来表示。
二、数列极限定积分求法的基本思路
数列极限定积分求法的基本思路是利用数列的极限性质，将函数在某一区间上的积分问题转化为数列的极限问题，从而简化积分的求解过程。
三、数列极限定积分求法的具体步骤
1.确定函数在某一区间上的积分形式。
2.将积分形式转化为数列形式，即求出函数在该区间上的一个等价数列。
3.求出该数列的极限。
4.根据数列的极限和积分的定义，求出原函数在该区间上的定积分。
四、举例说明数列极限定积分求法
假设我们要求函数 f(x)=x^2 在区间 [0,1] 上的定积分，我们可以
按照以下步骤进行求解：
1.确定积分形式：∫[0,1]x^2dx。
2.将积分形式转化为数列形式：x^2，其中 x∈[0,1]。
3.求出该数列的极限：当 x 趋近于 0 时，x^2 趋近于 0；当 x 趋近于 1 时，x^2 趋近于 1。
因此，该数列的极限为 0。
4.根据数列的极限和积分的定义，求出原函数在该区间上的定积分：∫[0,1]x^2dx=0。
通过以上步骤，我们成功地运用数列极限定积分求法求解了函数
f(x)=x^2 在区间 [0,1] 上的定积分。
用定积分定义计算一类数列极限
积
的和式
。如果当
，同时最大子区间
3、由定积分的定义将无穷项和式数列极限写成定积分
4、用牛顿莱布尼茨公式计算出定积分的值，即为所要计算 的极限值
三、实例解析 例题 1 计算极限 解（1）将无穷项和式数列 恒等变形，化为积分和的形式
长度
时，和式
的极限存在，并且极限
跟 分割方法以及 的取法无关，则该极限值为函数 在
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2015 年 11 月 中旬刊
后又由学生说说其事件表现了作者的什么思想或感情。学生就能 说出“我”初到仙台受到优待的原因是：那里在这之前“还没有 中国的学生”。讲到藤野先生替我修改讲义，纠正解剖图时，能 概括“藤野先生工作认真负责，严格要求学生，严谨的求实的科 学态度”。与课后“研讨与练习”结合起来训练，与写作训练结 合起来教学，与活动结合在一起。这样采用多种形式的教学活动， 既可以避免单一的制版式，又可以让学生在不知不觉中得锤炼。 胆小的更胆大了，语言综合能力提高了。
（2）确定定积分的被积函数和积分区间
令 ，则被积函数为
。
,
2、确定定积分的被积函数和积分区间
(3)
令
，则被积函数为 。
例题 2 计算极限
·132·
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利用定积分求极限临沧师范高等专科学校数理系鲁翠仙临沧市第一中学李天荣［摘要】极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数极限的求法则成为极限思想的基础，但利用定积分求极限也是一种重要方法。
定积分的本质含义是和式的极限，利用积分求解特定形式的极限问题，是微积分学的一个重要方法。
本文结合具体的例子说明如何利用积分求解几种特定形式的极限以及求解方法的关键。
［关键词］定积分极限定理ｌ：连续函数的定积分一定存在根据该定理，只要ｙ＝ｆ（ｘ）是连续函数，ｆｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍ艺喈；）△ｘ．，…．一Ｉ而且该极限与曦】的取法无关，与｛】【ｊ）的分法无关。
其中ＡＸｉ＝ｘ．叶ｍ正因为该极限与隈１的取法无关，与｛ｘ；｝的分法无关，经常取‰ｌ使【ａ，ｂ】区间等分，取￡＝ｘ或￡＝ｘ。
所以△ｘ。
＝！堕，ｆ．＝ａ＋旦二生ｉ或ｎｎ亭；＝ａ＋！！二坠（ｉ一１）。
于是：ｌ。
ｉｍ迪ＴＩｉ；Ｉｆ（ａ＋堕ｎｉ）＝ｒｆ（ｘ）ｄｘ或也虹ｎｉ荟Ｉ“ａ＋虹ｎ（ｉ＿１））＝Ｘ～＝Ｊ‘ｈ，ｈｆ（ｘ）ｄｘ一、形如¨ｍ∑ｆ（§。
）Ａｘｌ的极限推论１如果函数ｆ（ｘ）在区间【ａ，ｂ】上可积，将区间【ａ’ｂ】等分为ｎ个小区间，ｆｊ为小区间ｆ｝（ｂ—ａ），｝（ｂ—ａ）ｊ上任意一点，△ｘ；＝ｂ－。
ａ，则ｆ？ｆ（ｘ）ｄｘ＝磐睾；荟ｎ聪）。
例１，ｍｍＬｍ‘丽ｎ＋２＋ｎｎ１ｎ２：＋．．．＋赤ｎｎ’’十—十Ｚ。
‘十‘解：赋也｝每击也；；｝击２慨．鞠扣（１）式是函数ｑｘ）２Ｔ≥在区间［ｏ，１】上的一个积分和，它是把区间【ｏ，１】分成ｎ等份，ｆ，取『譬，÷ｆ的右端点构成的积分Ｌ１１ｌＩＪ和，由推论１可得，ｌｉｍ…（，．＋击＋．“＋寺）２Ｌ专出２｝利用定积分求ｌｉｍ∑ｆ（ｆ；）Ａｘ．关键为（１）寻找被积函数；（２）确定积分的下限ａ及上限ｂ。
具体步骤如下：（ｉ）通过恒等变形，将ｓ．化为特殊形式的积分和：Ｓ。
＝∑魑）鱼二坠（ｉｉ）寻找被积函数ｆ确定积分下限及上限：令ｆ，＝ｘ，被积函数为增；）＝ｆ（ｘ）；积分下限ａ＝ｌｉｍ鼠（ｋ为ｉ的第一个取值）；积分上限ｂ＝ｌｉｍ毒。
（ｍ为ｉ的最后一个取值）。
（ｉｉｉ）据定积分的定义及相应的性质，将ｌｉｍ∑ｆｆｆｉ）Ａｘ；写成，ｎ定积分ｆｆ（ｘ）ｄｘ。
（ｉｖ）计算定积分得所求极限。
例２．求“ｍ【—＝兰＋—：三＋…＋—：兰—：］的值。
”。
、／ｎ（ｎ＋３）Ｘ／ｎ（ｎ＋６）＂ｋ／ｎ（ｎ＋３ｎ）解：（ｉ）将Ｓ。
化为特殊形式的积分和：ｓ产‘丽茜＋丽丽１＋．．。
＋赢】＝｝‘面１一１０４一＋浮１”叶厚１卜｝‘舞＋赤”。
＋寿卜；荟赤等．辩）｝其中ｆｆ盟１－１』一㈨’、／ｌ＋Ｌ＿ｉ（ｉｉ）寻找被积函数关系ｆ（ｘ）和积分的下限及上限：令堕＝ｘ，．则被积函数ｆ（ｘ）＝—兰积分下限ａ＝ｌｉｍ盟＝０（这里ｋ＝１）：积分上限ｂ＝ｌｉｍ旦＝３（这里ｍ＝ｎ）。
（ｉｉｉ）、（ｉＶ）写成定积分，并计算得所求极限：原小乏志等；刭了３ｉ守３“矗峙在定理１基础上可作如下推广：定理２如果函数ｆ（ｘ）培（ｘ）及ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）在【ａ，ｂ】上可积，ａ＝ｘｏ＜Ｘｌ＜…＜ｘ。
＝ｂ为区间［曲】的任意划分，∈．，ｑ；为小区间【ｘ。
ｘ；］上任意两点’△ｘ．＝ｘ·碑小＝ｍａｘ（△ｘｌ，△ｘ２，…，“Ｊ＇贝ｌＪｌ…ｉｍ乏魑）ｇ（１１Ｊ△ｘ；＝，ｎｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ。
Ｊｊｌｉｍ例３．求极限ｌｉｍ解：‘ｙ她上ｙ上上丛一ｉ鲁２ｎ２—２ｉ拿ｎｎ“．蚤｝一ｉ１｝．乏｝一≯１二、形如熄【。
Ⅱｆ（§。
）】的极限定理３如果函数ｌｏｇｃｆ（ｘ）；／生［ａ，ｂＬＬ可积，ａ＝Ｘｏ＜Ｘ，＜…＜ｘ，Ｉ＜ｘｎ：ｂ为区间［ａ，ｂ］的任意划分，∈；为小区间［Ｈ肛；１＿１：：ｔ－壬，￥－－，４，ａｘ．＝ｐ轴，ｘ一‰坛一，酬测叫ｎ峨）］一吨肌ｍ。
推论２设ｌｎｆ（ｘ）在区间［ｏ，１】上可积，则！魄证（｝）ｆ（詈一）…ｒ（｝）－ｅ小ｎｆ（ｘ）ｒｋ例４枷（盟一ｎ＋２一堕）ｉ解：原式：ｌｉｍ［（１＋上）．（１＋互）．．ｎ·∞ｎｎ（下转第１０７页）ｒＪ；丁『瑚觋豢～基嵫万方数据层支持，以多种网络传输途径，将数据和后台数据服务器进行数据传输。
在本系统的网络部分设计巾，在局域网内利用Ｌｉｎｕｘ系统的提供的ＴＣＰｈＰ协议支持．在编程中采用了动态与服务器建立连接的方法，在读取到标签信息并解码出有效信息的时候，向服务器相应端口发送相应的Ｓｏｃｋｅｔ清求信息．服务器端接受到请求后建立连接并新建Ｓｏｃｋｅｔ端口来和终端进行通信；只有在读取数据的时候数据库和终端间才产生数据传输和占用服务器端资源，从而降低了网络占有率和服务器端的负荷，提高了网络通信的效率。
３、ＲＦＩＤ协议解析模块协议解析模块负责将发送的命令参数加入包头等信息，并将收到的标签回传的信息进行解包，通过对信息的解包，能够得到盘存或读写的相关信息。
ＭＰＲ６０００支持的ＲＦＩＤＧｅｎ２命令包括Ｒｅａｄ，ｗ—ｔｅ，Ｋｉｌｌ，Ｅｒａｓｅ，Ｌｏｃｋ。
命令都由一个字符串构成，其结构如下：＜ＳＯＦ＞＜Ｎｏｄｅ＞＜Ｌｅｎｇｔｈ＞＜Ｓｔａｔｕｓ＞＜Ｐａｙｌｏａｄ＞＜ＣＲＣ＞分别由开始帧、节点、总长度、状态、标签信息、ＣＲＣ这几部分组成。
举例来说。
Ｇｅｎ２盘点命令的操作码为Ｏｌｈ，操作会返回在读写域内全部的符合读取条件的Ｇｅｎ２标签，而经过反碰撞模块处理后，得到的数据帧由标签信息和盘存总结两部分组成：即＜回复信息＞＝【＜标签回复＞】＜盘存总结＞＜标签回复＞＝＜ＥＰｃ＞＜访问回复＞＜ＥＰＣ＞＝＜标签ＩＤ长度＞＜协议控制字＞＜标签ＩＤ＞举例，当使用天线Ｂ并且ＲＦ的功率为２２时，读取所有ＳＬ为ＮＯＴＳＥＴ。
ｓ３ｆｌａｇ为Ａ的Ｇｅｎ２标签，此时的起始Ｑ为１（即２个时隙）。
６００ｌＯｌ１６０２０３０００１如果当前射频范围内的标签有一个６４位的Ｇｅｎ２标签１的ＩＤ为“０１０２０３０４０５０６０７０８”。
而且有一个９６位Ｇｅｎ２标签２的ＩＤ为“１２１１１００９０８０７０６０５０４０３０２０１”。
可能读写模块会收到这样一个包，完整内容如下：０４２８０００ｌ０２０３０４０５０６０７０８０７０８３０００１２１１ｌＯ（）９０８０７０６０５０４０３０２０１０００２００１６０００１０００００００２０００９现在对这个包进行解析，根据协议规定＜接受包＞＝［＜标签回复＞１＜盘存总结＞＝【＜０４２８０００１０２０３０４０５０６０７０８＞＜０７０８３０００１２１１１００９０８０７０６０５０４０３０２０１＞】＜０００２００１６０００１０００００００２０００９＞＜标签ｌ回复＞＝＜标签ｌＩＤ长度＞＜协议控制字＞＜标签１ＩＤ＞＜标签ＩＩＤ长度＞＝＜０４＞＝４一ｗｏｒｄ＝６４Ｂｉｔ标签ＩＤ＜协议控制字＞＝＜２８００＞，从而得出＜标签ｌＩＤ＞＝＜０１０２０３０４０５０６０７０８＞＜标签２回复＞＝＜标签２ＩＤ长度＞（协议控制字＞＜标签２ＩＤ＞＜标签１ＩＤ长度＞＝＜０６＞＝６一ｗｏｒｄ＝９６Ｂｉｔ标签ＩＤ＜协议控制字＞＝＜３０００＞，得出＜标签２１Ｄ＞＝＜１２１１１００９０８０７０６０５０４０３０２０１＞而又有＜盘存总结＞＝＜标签数＞＜时隙数＞＜ＥＰＣＣＲＣ错误＞＜回复ＣＲＣ错误＞＜冲突次数＞＜通信轮数＞所以得到＜标签数＞＝２，＜时隙数＞＝２２，＜ＥＰＣＣＲＣ错误＞＝ｌ，＜回复ＣＲＣ错误＞＝０，＜冲突次数＞＝２。
＜通信轮数＞＝９在提取标签信息后，则可以将所获得的标签信息送到嵌入式数据库模块进行本地暂存．同时通过网络模块上传至后台服务器做记录，中间的接口函数部分就不详细给出了。
四、总结与展望本文中描述的嵌入式ＲＦＩＤ终端读取器，在农业产品包装生产线中进行了实用，基本满足了生产线ＲＦＩＤ系统对前端ＲＦＩＤ标签数据采集、处理、通信方面的要求，在功能上和稳定性方面已经能够替代专用ＲＦ读写器，因为采用了免费的开源Ｌｉｎｕｘ操作系统和开源数据库Ｓｑｌｉｔｅ，大大降低了总体成本，特别适合在成本敏感系数高的农产品生产和监控中使用。
参考文献【１】德ＫｌａｕｓＦｉｎｋｅｎｚｅｔｌｅｒ著．射频识别（ＲＦＩＤ）技术一无线电感应的应答器和非接触Ｉｃ卡的原理与应用【Ｍ】．电子工业出版社．２００１【２］ＫａｒｉｍＹａｇｈｍｏｕｒ著．构建嵌入式Ｌｉｎｕｘ系统【Ｍ】．中国电力出版社。
２００４【３］ｗｗｗ．ｗｊ．ｃｏｍ，ＭＰＲ６０００＿Ｄａｔ；ｔ！；ｈｅｅｔ（０３１５０６）【ＯＬ］，ＭＰＲ＿Ａ—ＰＩ一３＿．ｏ【４】ｗｗｗ．ＳＱＬｉｔｅ．ｏｒｇ，Ｃ／Ｃ＋＋ＩｎｔｅｒｆａｃｅＦｏｒＳＱＬｉｔｅＶｅｒｓｉｏｎ３【ＯＬ】【５】郭学理，张建等著．网络程序设计【Ｍ］．武汉大学出版社，２００４【６】姜兆宁，李谦，丁香乾．生产线嵌入式ＲＦＩＤ终端读写器设计Ｕ】．微计算机信息，２００７年第３－２期第２３卷，２２５—２２６页（上接第１０４页）令“ｘ）２ｌ＋ｘ，则Ｉｎｆ（ｘ）２Ｉｎ（１＋ｘ）显然ｌｎ（１＋ｘ）在【ｏ，ｌ】上可积，由推论２得：原式＝ｅｎ…ｍ＝÷如果我们再将定理ｌ、定理３结合起来加以推广，可得以下定理：定理４．如果函数ｆ（ｘ）在区间【０，１】上可积，且ｆ（ｘ）≥ｏ，则，ｌｉｒａ。
［１＋ｎ＇－－ｒ（｝）】［－＋ｉ１ｒ（÷）】．．·［－＋ｉ１ｒ（崇）】＝ｅ。
““”“例５．求地［，＋嘉”蠢】．．．１＋可ｎ】解：原式＝，ｌｉｒａ。
［－＋｝（砉）】【一＋÷（砉）卜·１＋ｉ１（百ｎ）］令ｆ（ｘ）＝丁ｘ，ｆ（ｘ）≥Ｏ．ｘ∈【０，１】，且ｆ（ｘ）在【０，１】上可积，由定理４得：。
斗Ｃ｝ｍ｝原武－－ｅ－－ｅＯ参考文献【１］同济大学数学教研室．高等数学【Ｍ】．北京：高等教育出版社．１９９７【２］ＢＩＩ吉米多维奇．数学分析习题集题解【Ｍ］．济南：山东科学技术出版社．１９９４【３】华东师范大学数学系．数学分析ｆＭ］．上海：上海科学技术出版社，１９８２【４］王业．关于积分法在求极限过程中应用的初探【Ｒ】．全国专科院校数学年会，１９９２［５］刘树利．计算机数学基础，北京：高等教育出版社，２００１（上接第１０５页）通了网上答疑系统。
通过几年的教学实践，取得了良好的效果。
近几年，我校在全国大学生数学建模大赛中取得了全国二等奖，陕西赛区一、二、三等奖的佳绩；采用传、帮、带的形式，在教学实践中提高年轻教师的教学及科研能力．逐步形成了职称结构、学历结构、年龄结构合理的教学团队；该课程一直受到学生的好评，学生满意度达到了９５％以上。
通过运筹学课程的改革和实践，学生能够更好的掌握运筹学的基本知识和技能．拓宽知识面，跟上现代运筹学的发展，为后续课程的学习奠定了良好的基础。
参考文献【１】罗荣桂，原海英．运筹学教学改革与探索Ｕ】．理工高教研究，２００５（３）【２】胡觉亮．运筹学课程群的设置与教学实践Ｕ】．高等理科教育．２００７（５）【３】胡发胜，刘桂真．国家精品课程运筹学的教学改革与实践Ｕ】．中国大学教育，２００６（７）【４】刁在筠，刘桂真．运筹学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００７一１０７一万方数据利用定积分求极限作者：鲁翠仙， 李天荣作者单位：鲁翠仙(临沧师范高等专科学校数理系)， 李天荣(临沧市第一中学)刊名：科技信息（学术版）英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)：2008，""(26)被引用次数：0次参考文献(5条)1.同济大学数学教研室高等数学 19972.BII 吉米多维奇数学分析习题集题解 19943.华东师范大学数学系数学分析 19824.王业关于积分法在求极限过程中应用的初探 19925.刘树利计算机数学基础 2001相似文献(10条)1.期刊论文许利极限--定积分--广义极限-呼伦贝尔学院学报2003,11(1)本文以极限概念为基础,过渡到定积分概念,并通过对定积分和广义极限概念的剖析.加深了对极限概念的本质的更深层次的认识和理解.2.期刊论文利用定积分定义巧求和式极限-内江科技2009,30(12)和式项数多、抽象,求其极限较困难.举例利用定积分求和式极限,使问题简单化.3.期刊论文兰光福.LAN Guang-fu利用定积分定义求和式极限的方法初探-重庆科技学院学报（自然科学版）2007,9(1)和式项数多、抽象,求其极限较困难,举例利用定积分求和式极限,使问题简单化.4.期刊论文李树多巧用定积分定义求极限-湖南中学物理·教育前沿2009,""(4)由于某些和式的项数多、结构复杂、抽象,求其极限时比较困难,本文主要通过几个实例介绍了如何运用定积分定义求和式极限的方法,使问题简单化.5.期刊论文李福兴.Li Fuxing浅谈含定积分极限问题的解法-梧州学院学报2009,19(6)处理含积分极限问题,需利用被积函数、变限积分函数的相关性质.根据极限变量的类型需用相应的解决方法.6.期刊论文李冠臻.吕志敏.LI Guan-zhen.LU Zhi-min极限、定积分、二重积分概念教法之探讨-天津职业院校联合学报2006,8(5)在极限、定积分、二重积分的概念教学过程中,运用哲学思想、引用历史典故和逻辑思维及直观图像等方式方法,变抽象数学概念为学生易于接受的信息,使学生更容易掌握新概念、新理论.7.期刊论文傅苇.FU Wei极限、导数、定积分概念所蕴涵的数学思想方法剖析-重庆科技学院学报（自然科学版）2005,7(4)论述了加强数学思想方法教学的重要性;分析了高等数学中的极限、导数、定积分概念在形成过程中所蕴涵的数学思想方法;辩证剖析概念中各个变量在变化过程中的量变与质变、近似与精确等对立统一规律.8.期刊论文陈佩宁.CHEN Pei-ning浅谈定积分定义的应用-石家庄职业技术学院学报2009,21(4)提出定积分定义为一个"n项和的极限"形式,并举例说明了将该形式转化为定积分的方法.9.期刊论文赵彩霞《定积分的概念》教学设计-成才之路2010,""(18)本教学设计是在新的教育理念的指导下,以学生为主导,通过学生实验、探究、讨论,教师启发、引导,共同研究解决诸如求曲边梯形面积等用通过局部取近似、求和取极限的方法,把总量归结为求一种特定和式极限的这样的问题,从而得出定积分的概念,然后回归到生活中解决实际问题.10.期刊论文张劲一些解决极限问题的方法-科技信息（学术版）2008,""(7)<高等数学>是高校教学中的一门重要课程,而极限可以说是<高等数学>的基础,它贯穿于<高等数学>整个课程的始终,很多重要的概念如导数.定积分都是由极限给出,笔者结合平时的教学经验,通过几个例子,对一些解决极限问题方法加以总结并给出自己的一些观点.本文链接：/Periodical_kjxx-xsb200826069.aspx授权使用：云南省财经大学(yncjdxIP)，授权号：7b3719f3-9266-4d46-b1d5-9df1007cdd09下载时间：2010年9月14日。