三维设计高三数学苏教版.ppt
【三维设计】高中数学 教师用书 第一部分 第3章 3.3 幂函数课件 苏教版必修1
⑤y＝(x－1)2；⑥y＝2x2＋1；⑦y＝4.
1 － 解析：具备形式 y＝x 的函数是幂函数，所以①y＝ 2＝x 2， x
α
④y＝x 是幂函数，其他都不是幂函数．
π
答案：①④
3 2．已知点 M( ，3)在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的 3 表达式为 ________．
α 3α 解析： 设 f(x)＝x .由已知有： 3＝( ) ＝3－ ， 3 2
2
③若 f(x)是反比例函数，则－ 5m－ 3＝－ 1， 2 解得 m＝－ ， 5 2 此时 m2－ m－ 1≠ 0，故 m＝－ . 5 ④若 f(x)是二次函数，则－ 5m－ 3＝ 2，得 m＝－1. 此时 m2－ m－ 1≠ 0，故 m＝－ 1.
[一点通]
将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函
函数 特征 性质 定义域 值域 R R R R y＝ x y＝x2 y ＝ x3 1 y＝x2 y＝x－1 y＝x－2
2
3
1 2
{x|x≥0} {x|x≠0}
{y|y≥0} {y|y≠0}
ห้องสมุดไป่ตู้{x|x≠0}
(0，＋∞)
R {y|y≥0}
函数
特征
y＝x
y＝x2
性质 奇偶性 奇 偶 x∈[0，＋∞) 单调性 增 增， (－∞，0] x∈
α
∴－
α
2
＝1，α＝－ 2，∴ f(x)＝ x 2.
－
答案：f(x)＝x－2
[例 2] 讨论函数 f(x)＝x 的定义域、值域、奇偶性， 作出它的图象，并根据图象求出函数的单调区间．
2 3
[思路点拨]
首先将幂函数化成根式的形式，再
讨论定义域、值域、奇偶性，作图象．
【三维设计】高中数学 第一部分 第3章 概率 3.1 随机事件及其概率配套课件 苏教版必修3
果
出现的频数，然后计算各频率． 问题1：在本实验中出现了几种结果，还有其它实验结 果吗？ 提示：两种(正面、反面)；没有其它实验结果．
问题2：一次试验中的试验结果在试验前能确定吗？ 提示：不能． 问题3：若允许你做大量重复试验，你认为出现正面 的次数与出现反面的次数结果如何呢？ 提示：出现正面与反面的次数应大致相当．
第 3 章
3.1 随机 事件 及其 概率
理解教材新知
知识点一 知识点二 考点一
考点二
概 率
应用创新演练
(1)在标准大气压下，水在0℃时结冰．
(2)某彩民买一张彩票中奖．
(3)没有水分，种子发芽． 问题1：上述现象中哪个是确定发生的？哪个是确定不 发生的？ 提示：(1)为确定发生的，(3)为确定不发生的． 问题2：(2)中现象有何特点？ 提示：可能发生也可能不发生．
一个事件．
(2) 事件的分类： ①必然事件：在一定条件下，必然发生 的事件； ②不可能事件：在一定条件下，肯定不发生 的事件；
可能发生也可能不发生 ③随机事件：在一定条件下， 的事件，常用 大写字母 表示随机事件，简称为 事件 ．
让我们来做下面这个简单的实验：
把一枚硬币抛多次，观察其出现的结果，并记录各结
1．确定现象和随机现象 事先就能断定 (1)确定性现象：在一定条件下， 发生或不发生某种结果的现象．
(2)随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生 ，
也可能不发生， 事先不能断定 出现哪种结果．
2．事件的有关概念 (1)事件：对于某个现象，如果能让其条件实现一次， 就是进行了一次试验，而 试验的每一种可能的结果，都是
根据事件的概念可判断． ①中三个球全部放入两个盒子，其结果
Hale Waihona Puke 为一盒为3个球，另一盒空球，一盒一个球另一盒两个球，
《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮复习配套课件：26指数与指数函数
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第六节 指数与指数函数 结束
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第六节 指数与指数函数 结束
(2)当 a>1 时，a2－1>0， y＝ax 为增函数，y＝a－x 为减函数， 从而 y＝ax－a－x 为增函数． 所以 f(x)为增函数． 当 0<a<1 时，a2－1<0， y＝ax 为减函数，y＝a－x 为增函数， 从而 y＝ax－a－x 为减函数． 所以 f(x)为增函数． 故当 a>0 且 a≠1 时，f(x)在定义域内单调递增．
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第六节 指数与指数函数 结束
2．方程 2x＝2－x 的解的个数是________． 解析：方程的解可看作函数 y＝2x 和 y＝2－x 的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图 像(如图)． 由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解． 答案：1
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第六节 指数与指数函数 结束
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第六节 指数与指数函数 结束
[针对训练] 已知函数 f(x)＝13ax2－4x＋3. (1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值． (3)若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值．
解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝13－x2－4x＋3，
解：(1)原式＝1＋14×94
1 2
－1010
1 2
＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1165.
(2)原式＝－52a
-
1 6
【三维设计】高中数学 第一部分 第三章 3.4 第二课时 基本不等式的应用名师课件 苏教版必修5
当 x＋22x5取最小值时，y 有最小值．
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30， 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． 所以当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
[一点通] 用基本不等式解决实际问题的思路和方法： (1)理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数． (2)建立函数关系，把实际问题抽象转化成函数最值问题． (3)在定义域内，求出函数的最值． (4)回归实际问题，正确写出答案．
问题1：若甲、乙两人跑步的速度为v1，步行 的速度为v2，家距学校的距离为s，怎样表示他们 由家到学校的时间？
提示：设甲到学校的时间为 t1，乙到学校的时间为 t2，则 t1＝2sv1＋2sv2＝sv2v1＋1vv2 2 t2＝v1＋2sv2
问题2：他们两人谁先到学校？ 提示：乙先到． 因为：t1＝sv21v＋1vv2 2>2s[vv11＋＋2 vv22]2＝v1＋2sv2＝t2， 所以乙先到．
基本不等式求最值 已知x、y都是正数， 1．若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得 最大值 ． 2．若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得 最小值 ． 上述命题可归纳为口诀：积定和最 小 ，和定积 最大 ．
利用基本不等式求最值 1．代数式中，各项必须都是正数，例如函数式 x＋1x， 当 x<0 时不能错误地认为 x＋1x≥2 成立，并由此得出 x＋1x的 最小值是 2.事实上，当 x<0 时，x＋1x的最大值是－2. 2．代数式中，含变量的各项的和或积必须是常数． 3．只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平 均数的关系求某些函数的最大值或最小值．
【三维设计】高中数学 教师用书 第二部分 高考10大高频考点例析课件 苏教版必修1
备考时，要求掌握求函数定义域、值域和解析 式的常用方法： (1)求定义域一般是转化为解不等式或不等式组的问 题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或 备考 区间表示. 指要 (2)求值域要掌握常用的方法：单调性法、配方法、 换元法、图象法. (3)求解析式要掌握待定系数法、换元法或配凑法， 求得解析式后要注明函数的定义域.
本考向主要考查判断函数的单调性，或利用函 数单调性求函数的最值、比较两个数的大小及求参 考查 数范围．对于比较数的大小多构造指数、对数函数、 方式 幂函数，同时应注意底数是否大于1.题型既有填空也 有解答题．
理解函数单调性的定义，会用定义法、图象法 备考
和性质求函数的单调区间或判断函数的单调性．能 指要
(2)ab＝36， 又a，b∈N*，a与b异奇偶． 则有如下情况： a＝1，b＝36；a＝3，b＝12；a＝4，b＝9； a＝9，b＝4；a＝12，b＝3；a＝36，b＝1；共有6种． 综上可知集合m中元素的个数是41. 答案：41
本考向以考查概念和计算为主．考查集合的交集、 考查 并集、补集运算；从考查形式上看，主要以填空题形 方式 式出现．常联系不等式的解集与不等关系，考查数形
[解析] 法一：(图象变换法)当0<a<1时，函数y＝ax－a 是减函数，且其图象可视为是由函数y＝ax的图象向下平移a 个单位长度所得到的，结合图形知，③符合．
法二：(特殊点法)由题意可知函数y＝ax－a(a>0且a≠1) 必过点(1，0)，故只有③项符合．
[答案] ③
11．函数 f(x)＝4x2＋x 1的图象关于________对称． 解析：因为 f(x)＝2x＋21x＝2x＋2－x， f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
题型主要是填空题． 要求理解分段函数的概念，分段函数的定义
【三维设计】高中数学 第一部分 第二章 章末小结 知识整合与阶段检测课件 苏教版必修5
二、等差数列 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一 项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差 数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差中项 在两个数 a 与 b 间插入一个常数 A，使 a，A，b 成等 a＋b 差数列，则把 A 叫做 a 与 b 的等差中项．记作 A＝ ， 2 即 a＋b＝2A.
{an}为等比数列． (3)利用公式特征： 通项公式 an＝f(n)＝cqn，其函 数特征为常数与指数函数的乘积；前 n 项和公式 Sn＝ g(n)＝k(1－qn)(q≠1)，其特征是 qn 的系数与常数项互 为相反数．
6．等比数列的常用性质 (1)an＝amq
n－m
或q
n－m
an ＝a (m，n∈N*)． m
[说明] d 2 等差数列的前 n 项和公式可化为 Sn＝2n
d ＋(a1－2)n，当 d≠0 时，它是关于 n 的二次函数；当 d＝0 时，它是关于 n 的一次函数．
5．判断或证明一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：若当n≥2，n∈N*时，有an－an－1＝d(d为
常数) 或当n≥1，n∈N*时，有an＋1－an＝d(d为常数)，则 数列{an}是等差数列． (2)等差中项法：若2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则数列 {an }是等差数列． (3)函数法：若an＝kn＋b(k，b为常数)，或者Sn＝ An2＋Bn(A，B是常数)，则数列{an}是等差数列．
6．等差数列的常用性质 an－am (1)an＝am＋(n－m)d 或 d＝ (n≠m)； n－m (2)若{an}、{bn}是等差数列，则{c· an}、{c＋an}、 {pan＋qbn}等数列都是等差数列，其中 c，p，q 为常数；
《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮复习配套课件：1021空间角的求法
第二节 空间向量与空间角
1．两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos |a·b|
φ＝|cos θ|＝ |a||b| (其中φ为异面直线a，b所成的角)．
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第二节 空间向量与空间角 结束
2．直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为 n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有
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结束
第二节 第一课时 空间角的求法
[解] 法一：(1)证明：如图 1，因为 BB1⊥平面 ABCD，AC
⊂平面 ABCD，所以 AC⊥BB1.
又 AC⊥BD，所以 AC⊥平面 BB1D.而 B1D
⊂平面 BB1D，所以 AC⊥B1D.
(2)因为 B1C1∥AD，所以直线 B1C1 与平
面 ACD1 所的角等于直线 AD 与平面 ACD1
即 AB＝ DA·BC＝ 3.
连结 AB1，易知△AB1D 是直角三角形，且 B1D2＝BB12＋ BD2＝BB21＋AB2＋AD2＝21，即 B1D＝ 21.
在 Rt△AB1D 中，cos∠ADB1＝BA1DD＝
3＝ 21
721，即 cos(90°
－θ)＝
721.从而 sin θ＝
21 7.
即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为
C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
图2
从而 B1D＝(－t,3，－3)， AC ＝(t,1,0)，BD＝(－t,3,0)． 因为 AC⊥BD，所以 AC ·BD＝－t2＋3＋0＝0，
【三维设计】高中数学 第一部分 第1章 1.3.4 循环语句配套课件 苏教版必修3
[例1] 编写一个算法计算12＋32＋52＋…＋9992的值， 画出流程图，并用For语句描述这个算法． [思路点拨] 借助于直观的流程图写出伪代码
(用For语句描述)。
[精解详析] 流程图和伪代码如下：
S← 0 For i From 1 To 999 Step 2 S←S＋i2 End For Print S
现多一次或少一次循环的错误．
3．如果以下伪代码运行后输出的结果是132，那么在伪
代码中Until后面的“条件”应为________．
i←12 s← 1 Do s←s×i i←i－1 Until 条件 End Do Print s
解析：该程序中使用了直到型循环语句，当条件不满 足时执行循环体，满足时退出循环，由于输出的是132， 故执行了两次循环体，因此条件应为i<11. 答案：i<11
7分
“Do…End Do”语句如下： m←5 000 i← 1 Do m←m×1＋0.1 i←i＋1 Until m≥40 000 End Do Print i
(12 分)
[一点通] (1)利用循环语句描述实际应用问题的算法时，首先
[例2]
若1＋2＋3＋…＋n>2 012，试设计一个
伪代码，寻找满足条件的最小正整数n.
[思路点拨] 可用“While…End While”或
“Do…End Do”语句书写．
[精解详析]
伪代码一 a←0 i← 1 Do a←a＋i i←i＋1 Until a>2012 End Do i←i－1 Print i
[例3]
(12分)某商场第一年销售计算机5 000台，如
果平均每年销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，
【三维设计】高中数学 教师用书 第一部分 第3章 3.1.1 分数指数幂课件 苏教版必修1
2．若 x2－2x＋1＋ y2＋6y＋9＝0，求 yx 的值． 解 ： ∵ x2－2x＋1 ＋ y2＋6y＋9 ＝ x－12 ＋ y＋32＝|x－1|＋|y＋3|＝0， ∴x－1＝0 且 y＋3＝0. ∴x＝1，y＝－3. ∴yx＝(－3)1＝－3.
[例 2] 将下列根式化成分数指数幂的形式．
1
(2)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一
种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．
3．用分数指数幂表示 3 a a(a>0)＝________.
3
解析：原式＝
1
3
aa2 ＝
3
a2 ＝
1
3
3 a2
2
33
31
1
＝ a4 ＝(a 4 ) 3 ＝a 4 .
1
答案：a 4
4．用分数指数幂表示下列各式：
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理 数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数 幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法， 然后运用运算性质准确求解．对于计算结果，不强求统 一用什么形式表示，若没有特别要求，就用分数指数幂 的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出结果， 但结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分 母又含有负指数幂．
提示：当
m
被
n
整除时，有n
am＝a
m n
.
1．分数指数幂的意义
一般地，我们规定
m
an
＝
n
am
，(a>0，m，n
均为正
1
整数)；a－mn ＝
m
an
(a>0，m，n 均为正整数).0 的正分数
指数幂为 0,0 的 负分数指数幂 没有意义．
【三维设计】高中数学 教师用书 第一部分 第3章 3.3 幂函数课件 苏教版必修1
幂函数的概念：一般地，我们把形如 y＝xα 的函数 称为幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数.
幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12，y＝x－2 的图象如图所示．
问题1：它们的图象都过同一个定点吗？ 提示：是的．都过定点(1，1)． 问题2：这六个函数的图象哪些关于原点对称，哪些关 于y轴对称？ 提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1关于原点对称，而y＝x2， y＝x－2关于y轴对称.
点此进入
[思路点拨] 根据各相应函数的定义，列出系数、 指数满足的方程或不等式求解．
[精解详析] ①∵f(x)是幂函数， 故 m2－m－1＝1，即 m2－m－2＝0， 解得 m＝2 或 m＝－1. ②若 f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1， 解得 m＝－45， 此时 m2－m－1≠0，故 m＝－45.
1．下列函数中是幂函数的个数为________． ①y＝x12；②y＝－3x3；③y＝x13＋x2；④y＝xπ； ⑤y＝(x－1)2；⑥y＝2x2＋1；⑦y＝4. 解析：具备形式 y＝xα的函数是幂函数，所以①y＝x12＝x－2， ④y＝xπ是幂函数，其他都不是幂函数．
答案：①④
2．已知点 M( 33，3)在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的 表达式为________．
1
1
6．已知(3－2a)3<(2＋a) 3，则 a 的取值范围是________．
解析：∵幂函数 f(x)＝x13在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴3－2a<2＋a.
解得 a>13. ∴a 的取值范围是(13，＋∞)． 答案：(13，＋∞)
7．比较下面各组数的大小：
(1)(78)78，(87)78；
函数 特征 y＝x 性质
《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮复习配套课件：83圆的方程
答案：(x－2)2＋y－12＝1
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结束
第三节 圆的方程
3．(2014·无锡期末)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆 C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________． 解析：由题意得C1(－1,1)，圆心C2与C1关于直线x－y－1 ＝0对称，且半径相等，则C2(2，－2)，所以圆C2的方程 为(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝1
方程为(x－2)2＋y2＝2. 答案：(x－2)2＋y2＝2
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第三节 圆的方程
2．经过点(1,0)，且圆心是两直线 x＝1 与 x＋y＝2 的交点的圆 的方程为________． 解析：由xx＝＋1y＝，2 得xy＝＝11，， 即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半 径为 1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1. 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝1
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第三节 圆的方程
得 5k2－16k＋16＞0， 此时，所求圆的半径 r＝ k＋12＋14k－42－1＋4k ＝12 5k2－16k＋16. 显然，当 k＝－－1016，即 k＝85时，5k2－16k＋16 有最小值156， 此时，圆的半径最小，从而面积最小．故所求的圆的方程为 x2 ＋y2＋256x－152y＋357＝0. 答案：x2＋y2＋256x－152y＋357＝0
2 3. (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若P点到直线y＝x的距离为 22，求圆P的方程． [解] (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第八章立体几何第一节空间几何体的结构特征课件理
2．下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是 ________(填序号)． ①正三角形的直观图是正三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③矩形的直观图是矩形； ④圆的直观图是圆． 解析：直观图改变了原图中角的大小及图形的形状， 所以①③④都不正确，易知②正确． 答案：②
3. 如图所示的正方形 ABCD 用斜二测画法 得到的直观图是一个平行四边形，平行四 边形中有一条边的边长为 4，则此正方形 的面积是________． 解析：由题意，可知在直观图(图略)中，若边长为 4 的边 与 x′轴平行，则原正方形的边长为 4，此时正方形的面 积为 16；若边长为 4 的边与 y′轴平行，则原正方形的边 长为 8，此时正方形的面积为 64. 答案：16 或 64
①有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台； ②多面体至少有3个面； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形．
解析：①说法错误，反例如图1；一个多面体至少有4个 面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以 ②说法错误；③说法错误，反例如图2，上、下底面是全 等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根 据棱柱的定义，知④说法正确．
[由题悟法] 用斜二测画法画直观图的 3 个步骤 (1)在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x′ 轴或 y′轴平行． (2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点 再连线． (3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图 中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出．
[即时应用] 用斜二测画法画出的某平面图形的直观 图如图，边 AB 平行于 y 轴，BC，AD 平行于 x 轴．已知四边形 ABCD 的面积 为 2 2 cm2，则原平面图形的面积为________cm2. 解析：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形， 上下底面的长与 BC，AD 相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 2倍， 所以原平面图形的面积为 8 cm2. 答案：8
【三维设计】高中数学 第一章 1.2.4 第一课时 两平面平行课件 苏教版必修2
1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平
面内的“两条相交直线”是必不可少的．
2．对面面平行性质定理的理解 (1)面面平行的性质定理的条件有三个： ①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b. 三个条件缺一不可．
(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程
是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知 定理可用来证明线线平行． (3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定 义．
内找到两条相交直线平行于另一个平面． 判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找 后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行 的相交直线，若找不到再作辅助线．
1．下列命题正确的个数是____________．
①若平面α内的无数条直线分别与平面β平行，则α∥β； ②两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行； ③过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的 平面．
两个平面平行的性质定理 (1)文字表述：如果两个平行平面同时和 第三个平面 相交 ，那么它们的交线 平行 ．
(2)图形表示：如图所示．
(3)符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.
1．与两个平行平面都 垂直 的直线，叫做这两个平
行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫 做这两个平行平面的 公垂线段 ． 2．两个平行平面的公垂线段都 相等 ，把公垂线段 的长度叫做两个平行平面间的距离．
∴A1C1∥平面ABC.
又A1C1⊂平面A1BC1， 且平面A1BC1∩平面ABC＝l.∴A1C1∥l.
[一点通]
通过面面平行的性质定理将面面平行转化
得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．利用
面面平行的关键是要找到过已知的直线与已知的平行直线
【三维设计】高中数学 第一部分 第二章 2.2 第四课时 等差数列前n项和的性质课件 苏教版必修5
5．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的 和最小？
解：法一：∵S9＝S12， 9×8 12×11 ∴9a1＋ 2 d＝12a1＋ 2 d. 1 ∴a1＝－10d，即 d＝－10a1. 设该数列前 n 项的和最小，则有
d≤0， an＝a1＋n－1· an＋1＝a1＋nd≥0，
法二：数列 S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90， S110－S100 成等差数列， 设其公差为 D，前 10 项和为 10×9 10S10＋ · D＝S100＝10⇒D＝－22， 2 ∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S110＝－120＋S100＝－110.
第 二 章 数 列
2.2 等 差 数 列
第四 课时
理解教材新知
考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练
等差 数列 前n 项和 的性 质
第四课时
等差数列前n项和的性质
已知数列{an}是等差数列，a1＝1，d＝2，Sn是其前n项和． 问题1：S2，S4，S6分别是多少？
2× 1 4× 3 提示： S2＝1× 2＋ 2 × 2＝4， S4＝1× 4＋ 2 × 2＝16. 6× 5 S6＝1× 6＋ 2 × 2＝36.
问题2：S2，S4，S6之间有什么关系？ 提示：∵S2＝4，S4－S2＝12，S6－S4＝20. ∴S2＋(S6＋S4)＝2(S4－S2)． 即S2，S4－S2，S6－S4成等差数列．
等差数列前 n 项和常用性质 (1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n……成为等差数列． (2)S 奇表示奇数项之和，S 偶表示偶数项之和，公差为 d. ①当项数为偶数 2n 时，S 偶－S 奇＝nd S奇 an ＝ . S偶 an＋1 S奇 n ②当项数为奇数 2n－1 时，S 奇－S 偶＝an， ＝ . S偶 n－ 1 (3)前 n 项 Sn 是关于 n 的二次函数，不具有常数项．
【三维设计】高中数学 第一部分 第二章 2.3 第四课时 等比数列的前n项和的性质课件 苏教版必修5
第一年旅游业收入为 400 万元，第二年的旅游业收 1 入为 400×(1 ＋ ) 万元，…，第 n 年的旅游业收入为 4 1 n－1 400×(1＋ ) 万元． 4 所以 n 年内的旅游业总收入 1 1 n－1 bn＝400＋400×(1＋ )＋…＋400×(1＋ ) 4 4 5 5 n－1 ＝400[1＋ ＋…＋( ) ] 4 4 5n ＝1 600[( ) －1]． 4
S10＝24－1＋24(26－1)＝26－1＋26(24－1) ＝S4＋24· S6＝S6＋26· S4.
a2＋a4＋a6＋a8＋a10 问题 2：若 a1＝1，q＝2，n＝10 时， ＝ a1＋a3＋a5＋a7＋a9 ________.
a2＋a4＋a6＋a8＋a10 a1q＋a3q＋a5q＋a7q＋a9q 提示： ＝ ＝q. a1＋a3＋a5＋a7＋a9 a1＋a3＋a5＋a7＋a9
问题3：若a1＝1，q＝2，S3，S6－S3，S9－S6有什么关系？ 提示：S3＝23－1，S6－S3＝26－23＝23(23－1)，
S9－S6＝29－26＝26(23－1)，
∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，且公比为23.
等比数列前 n 项和的性质 (1)等比数列{an}中，Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn. S偶 (2)等比数列 {an}中，若项数为 2n，则 ＝ q；若项数为 S奇 S奇－a1 2n＋1，则 ＝q. S偶
(2)设至少经过 n 年，旅游业的总收入才能超过总投入， 5n 4n 由此 bn－an>0，即 1 600×[( ) －1]－4 000×[1－( ) ]>0， 4 5 4n 5n 化简得 5×( ) ＋2×( ) －7>0. 5 4 4n 令 x＝( ) ，代入上式得 5x2－7x＋2>0， 5 2 4n 2 得 x< 或 x>1(舍去)，即( ) < . 5 5 5 由此得 n≥5. 答：至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入．
高中数学三维设计苏教版必修5讲义：第二章 2.2 等差数列
等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式预习课本P35～39，思考并完成以下问题[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．[点睛](1)“从第二项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项减去它的前一项所得的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.[点睛]由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可得a n＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么a n＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，a n是关于n的一次函数；当p ＝0时，a n＝q，等差数列为常数列．[小试身手]1．下列数列是等差数列的是________(填序号)．①5,5,5,5,5；②3,7,11,15,19；③－2，－1,0,2,4,6.解析：①所给数列是首项为5，公差为0的等差数列．②所给数列是首项为3，公差为4的等差数列．③因为0－(－1)≠2－0，所以这个数列不是等差数列．综上，①②为等差数列．★答案☆：①②2．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式为________．解析：∵a1＝4，d＝－2，∴a n＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.★答案☆：a n＝6－2n3．已知等差数列{a n}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则实数a的值为________．解析：由题意知：a＋1－(a－1)＝2a＋3－(a＋1)，即2＝a＋2，∴a＝0.★答案☆：04．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．解析：由已知a－(－1)＝b－a＝8－b＝d，∴8－(－1)＝3d，∴d＝3.★答案☆：3等差数列的通项公式及应用[典例]n(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.[解](1)∵a5＝－1，a8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a1＋4d＝－1，a1＋7d＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－5，d＝1.(2)设数列{a n}的公差为d.由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a1＋5d＝12，a1＋3d＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d＝2.∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17.在等差数列{a n}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝4.由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2.所以a 10＝a 1＋9d ＝18.★答案☆：182．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项.等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列；[证明] ∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1(4－4a n )－2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2 ＝a n －22(a n －2)＝12，又∵b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．要判定或证明一个数列{a n }是等差数列，主要是利用等差数列的通项公式，证明a n ＋1判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{a n }中a n ＝3n ＋2； (2)在数列{a n }中a n ＝n 2＋n .解：(1)a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)＋2－(3n ＋2)＝3(n ∈N *)， 由n 的任意性知，这个数列为等差数列．(2)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列.1．在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d ≠0，若7a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则k ＝________. 解析：因为a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 1＋21d ＝7＋21d ， 而a k ＝1＋(k －1)d ，所以7a k ＝7＋7(k －1)d ， 所以7＋7(k －1)d ＝7＋21d ，即k ＝4. ★答案☆：4题点二：求通项公式中公差的范围2．在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，且从第10项起开始比2大，则公差d 的取值范围为________．解析：由a n ＝1＋(n －1)d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>2，a 9≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋9d >2，1＋8d ≤2所以19<d ≤18.★答案☆：⎝⎛⎦⎤19，18题点三：求通项公式中共同项3．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ＝4，若存在另一等差数列{b m }，b m ＝3m －1，它们的项数均为100，则它们有多少对相同的项．解：显然，通项分别为a n ＝4n －3，b m ＝3m －1(m ，n ∈N *，且1≤n ≤100,1≤m ≤100)， 令a n ＝b m ，得4n －3＝3m －1，即n ＝3m ＋24. 由m ，n ∈N *,1≤n ≤100,1≤m ≤100，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤3m ＋24≤100，1≤m ≤100，所以m ＝2,6,10， (98)所以共有25对相同项．等差数列通项公式的应用主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性，遇到一些复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．层级一 学业水平达标1．若等差数列{a n }中，公差d ＝34，a 28＝574，则首项为________．解析：a 28＝a 1＋27×34＝574，所以a 1＝－6.★答案☆：－62．若数列{a n }满足条件：a n ＋1－a n ＝12，且a 1＝32，则a 30＝________.解析：由已知得数列{a n }是以a 1＝32为首项，d ＝12为公差的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)×12＝32＋12n －12＝12n ＋1.∴a 30＝12×30＋1＝16.★答案☆：163．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. ★答案☆：134．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 解析：设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， ∴3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20. ★答案☆：205．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则b 15等于________． 解析：设数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝a 1＋d ＝6，a 5＝a 1＋4d ＝15，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3， ∴a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝a 2n ＝6n ， ∴b 15＝6×15＝90. ★答案☆：906．正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________. 解析：因为2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N ＋，n ≥2)，所以a 2n －a 2n －1＝a 2n ＋1－a 2n ＝d ，所以数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以d ＝a 22－a 21＝3为公差的等差数列，所以a 2n＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，n ≥1，所以a 7＝3×7－2＝19.★答案☆：197．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 解析：设等差数列的公差为d ，则由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，∴d 2＝4，∴d ＝±2.由于该数列为递增数列，∴d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. ★答案☆：2n －18．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m＝a 1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中，c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.解析：因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19.★答案☆：199．已知等差数列{a n }的前三项和为－3，前三项的积为8，求等差数列{a n }的通项公式． 解：设等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7. 10．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， 所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， 所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)． 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．层级二 应试能力达标1．等差数列0，－2，－4，…，－2 016的项数是________．解析：根据题意，知等差数列0，－2，－4，…，－2 016的首项为0，公差为－2，所以a n ＝0－2(n －1)＝2－2n .由2－2n ＝－2 016，解得n ＝1 009.★答案☆：1 0092．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1， ∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，∴d ＝－12.★答案☆：－123．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x－y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.★答案☆：3n 24．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6， 令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. ★答案☆：55．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第37项为________．解析：设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，所以数列{a n ＋b n }仍然是等差数列，公差为d 1＋d 2.又d 1＋d 2＝(a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{a n ＋b n }为常数列，所以a 37＋b 37＝a 1＋b 1＝100.★答案☆：1006．已知△ABC 内有2 016个点，其中任意三点不共线，把这2 016个点加上△ABC 的三个顶点，共2 019个点作为顶点组成互不相叠的小三角形，则一共可组成小三角形的个数为________．解析：设△ABC 内有n 个点时，小三角形有a n 个．现增加一个点，则此点必落入某一个小三角形内，且此点把此小三角形分成三个与原来所有小三角形都不相叠的三个小三角形，故总数多出了两个，即a n ＋1＝a n ＋2.因此，数列{a n }是以a 1＝3为首项，2为公差的等差数列，于是a 2016＝3＋(2 016－1)×2＝4 033.★答案☆：4 0337．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请您根据提供的信息说明，求(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了，并说明理由．解：由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，则c n ＝a n b n .(1)由a 1＝1，a 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋5d 1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d 2＝0.2⇒a 2＝1.2. 由b 1＝30，b 6＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，b 1＋5d 2＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30d 2＝－4⇒b 2＝26. ∴c 2＝a 2b 2＝1.2×26＝31.2.(2)c 6＝a 6b 6＝2×10＝20<c 1＝a 1b 1＝30， 所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．8．已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N *)确定． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100.解：(1)证明：x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且x ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， 1x n －1x n －1＝13(n ≥2且x ∈N *)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列． (2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53，∴1x 100＝100＋53＝35. ∴x 100＝135.第二课时 等差数列的性质[新知初探]1．等差数列通项公式的推广2.等差中项如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b2，把A 叫做a 与b 的等差中项．3．等差数列的性质若{a n }是公差为d 的等差数列，正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则：a m ＋a n ＝ a p＋a q.(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n ＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]a n中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________.1．在等差数列{}a n为等差数列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2，即a6＝2×2－4＝0.解析：∵{}★答案☆：02．x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y＝________.解析：(x＋1)＋(y－1)＝2×10，∴x＋y＝20.★答案☆：203．若a2＋a8＝180，求a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝________.解析：因为a2＋a8＝2a5＝180，所以a5＝90.又因为a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝5×90＝450.★答案☆：4504．已知数列{a n}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝________.解析：a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13，所以a9＝117，所以a3＋a15＝a9＋a9＝234.★答案☆：234等差中项公式的应用[典例](1)n1n n q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．(2)已知1a，1b，1c成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．[解](1)由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4得，3＋25p＋5q＝25p＋8q，②由①②得，q＝1，p＝1.(2)证明：∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，∴2b＝a＋cac，即2ac＝b(a＋c)．(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2.∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)，∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．[活学活用]1．等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为________． 解析：由已知得2(2x ＋1)＝x ＋4x ＋2， 解得x ＝0.故数列前三项依次为0,1,2. ∴a n ＝n －1.∴a 5＝5－1＝4. ★答案☆：42．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________． 解析：由m 和2n 的等差中项为4，则m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，则2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 与n 的等差中项为m ＋n 2＝62＝3.★答案☆：33．已知正数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：1a ，1b ，1c 不可能成等差数列． 证明：假设1a ，1b ，1c 成等差数列，则2b ＝1a ＋1c . ∴2ac ＝b (a ＋c )．∵a ，b ，c 成等差数列．∴2b ＝a ＋c . ∴2ac ＝(a ＋c )22，∴(a －c )2＝0.∴a ＝c .又2b ＝a ＋c ，∴a ＝b ＝c .这与a ，b ，c 成等差数列且公差d ≠0矛盾． 故1a ，1b ，1c不可能成等差数列.等差数列性质的应用[典例](1)等差数列{a n}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8.(2)数列{a n}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{a n}是等差数列，求a5＋a8.[解](1)[法一通项公式法]根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，即2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此a5＋a8＝18.[法二性质法]根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.(2)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，故a5＋a8＝a3＋a10＝3.本例求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.对于此性质，应注意必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.[活学活用]已知等差数列{a n}，(1)若a2＋a3＋a25＋a26＝48，求a14；(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.解：(1)∵a2＋a26＝a3＋a25＝2a14，∴a 2＋a 3＋a 25＋a 26＝4a 14＝48.解得a 14＝12. (2)∵a 2＋a 5＝a 3＋a 4，∴a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2(a 2＋a 5)＝34. 解得a 2＋a 5＝17. ① 又已知a 2a 5＝52，②联立①②解得a 2＝4，a 5＝13，或a 2＝13，a 5＝4. 当a 2＝4，a 5＝13时，d ＝a 5－a 25－2＝3； 当a 2＝13，a 5＝4时，d ＝a 5－a 25－2＝－3.[典例] (1)倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )， 依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8， 把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， 所以d ＝2，a ＝－2. 故所求的四个数为－2,0,2,4.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a －d ，a ＋d ，公差为2d ；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a －d ，a ，a ＋d ，公差为d ； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，公差为2d .[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， 解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.层级一 学业水平达标1．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5＝________.解析：因为a1＋a9＝2a5＝10，所以a5＝5.★答案☆：52．在等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.解析：∵数列{a n}为等差数列，∴a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.★答案☆：153．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m＝________.解析：∵a3＋a13＝a6＋a10＝2a8，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，∴4a8＝32，∴a8＝8.∵d≠0，∴m＝8.★答案☆：84．若{a n}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝________.解析：∵a1＋a4＋a7＝3a4＝45，∴a4＝15.又∵a2＋a5＋a8＝3a5＝39，∴a5＝13，∴d＝a5－a4＝－2.∴a3＋a6＋a9＝3a6＝3(13－2)＝33.★答案☆：335．在等差数列{a n}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，则其通项公式a n＝________.解析：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵a6＋a7＋a8＝75，∴3a7＝75.∴a7＝25.∵a3＋a12＝a7＋a8，∴a8＝60－25＝35.∴d＝a8－a7＝10.∴a n＝a7＋(n－7)×d＝25＋(n－7)×10＝10n－45.★答案☆：10n－456．若等差数列的前三项依次是1x＋1，56x，1x，那么这个数列的第101项是________．解析：由已知得2×56x＝1x＋1＋1x，解得x＝2.∴a1＝13，d＝112.∴a 101＝13＋100×112＝263.★答案☆：2637．在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是________．解析：设新的等差数列的公差为d .由a 1＝8，a 5＝2，得a 3＝a 1＋a 52＝5，a 2＝a 1＋a 32＝132，所以d ＝a 2－a 12＝132－82＝－34.★答案☆：－348．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 10－a 12的值为________． 解析：∵a 4＋a 12＝a 6＋a 10＝2a 8，由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120得5a 8＝120，∴a 8＝24， 于是2a 10－a 12＝2(a 8＋2d )－(a 8＋4d )＝a 8＝24. ★答案☆：249．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3·a 5·a 7＝－21，求a n . 解：∵a 2＋a 5＋a 8＝9，a 2＋a 8＝2a 5， ∴3a 5＝9，a 5＝3， ∴a 3＋a 7＝2a 5＝6.① 又a 3a 5a 7＝－21， ∴a 3a 7＝－7.②由①②解得a 3＝－1，a 7＝7或a 3＝7，a 7＝－1， ∴a 3＝－1，d ＝2或a 3＝7，d ＝－2.由a n ＝a 3＋(n －3)d ，得a n ＝2n －7或a n ＝－2n ＋13.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n 台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列．设该数列为{a n }．a n ＝780＋(n －1)(－20)＝800－20n ，解不等式a n ≥440，即800－20n ≥440，得n ≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n )元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二 应试能力达标1．(陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5. ★答案☆：52．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. ★答案☆：1或23．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________．解析：∵a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16. ∴a 7－12a 8＝(a 6＋d )－12(a 6＋2d )＝12a 6＝12×16＝8.★答案☆：84．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则有(a 4＋a 5)－(a 2＋a 3)＝4d ＝2，所以d ＝12，又(a 9＋a 10)－(a 4＋a 5)＝10d ＝5，所以a 9＋a 10＝(a 4＋a 5)＋5＝11.★答案☆：115．已知等差数列{a n }中，a 3和a 15是方程x 2－6x －1＝0的两个根，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝________.解析：∵a 3和a 15是方程x 2－6x －1＝0的两根，∴a 3＋a 15＝2a 9＝6，a 9＝3，∴a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝(a 7＋a 11)＋(a 8＋a 10)＋a 9＝5a 9＝15.★答案☆：156．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.解析：设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2， 再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12. ★答案☆：127．已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数． 解：设这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝165⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，5a 2＋10d 2＝165.解得a ＝1，d ＝±4.当a ＝1，d ＝4时，这5个数分别为：－7，－3,1,5,9； 当a ＝1，d ＝－4时，这5个数分别为：9,5,1，－3，－7.8．下表是一个“等差数阵”：ij(1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置． 解：(1)a 45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a 15，…成等差数列， 公差d ＝7－4＝3，则a 15＝4＋(5－1)×3＝16. 再看第2行，同理可得a 25＝27.最后看第5列，由题意a 15，a 25，…，a 45成等差数列， 所以a 45＝a 15＋3d ＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a 1j ＝4＋3(j －1)； 第2行是首项为7，公差为5的等差数列a 2j ＝7＋5(j －1)； …第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得i (2j ＋1)＋j ＝ 2 017，∴j ＝2 017－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝672.∴2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列．(★答案☆不唯一)第三课时 等差数列的前n 项和[新知初探]等差数列的前n 项和公式[小试身手]1．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n ＝________. 解析：∵a 1＝1，d ＝1，∴S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n (n ＋1)2.★答案☆：n (n ＋1)22．等差数列{a n }中，a 11＝10，则S 21＝________. 解析：S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21a 11＝210.★答案☆：2103．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n (n ∈N *)，则{a n }的前n 项和S n ＝________. 解析：由a n ＝2－3n ，得a 1＝－1，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－1＋2－3n )2＝n (－3n ＋1)2＝－32n 2＋n 2.★答案☆：－32n 2＋n 24．在等差数列{a n }中，a 4＝10，a 10＝－2.若S n ＝60，则n ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，a 1＋9d ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，d ＝－2.∴S n ＝n ×16＋n (n －1)2×(－2)＝60，整理得n 2－17n ＋60＝0，∴n ＝5或n ＝12.★答案☆：5或12[典例] n (1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d . [解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)． (2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172， 解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用． (3)一些常见数列的前n 项和公式： 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. 2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n . [活学活用]等差数列{a n }中，a 10＝30，S 20＝620. (1)求a n ；(2)若S n ＝242，求n .解：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，20a 1＋20×192d ＝620，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10. (2)由(1)知， S n ＝(a 1＋a n )·n 2＝(12＋2n ＋10)2·n ＝n 2＋11n . ∴由n 2＋11n ＝242，得n ＝11或n ＝－22(舍)． 故n ＝11.等差数列的前n 项和性质[典例] (1)3n 项的和为________．(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [★答案☆] (1)210 (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，则前110项之和为________． 解析：数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设其公差为D ，前10项和为10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10⇒D ＝－22， ∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110. ★答案☆：－1102．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.★答案☆：53．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.★答案☆：75题点一：求等差数列前n 项和的最值1．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 9＝S 17，求S n 的最大值． 解：法一：(利用求和公式法)由题意知：S 9＝9a 1＋9×82d ，S 17＝17a 1＋17×162d . ∵a 1＝25，S 9＝S 17，即9a 1＋36d ＝17a 1＋8×17d ， 解得d ＝－2， ∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ， 即S n ＝－(n －13)2＋169，∴当n ＝13时，S n 最大，最大值为S 13＝169.法二：(正负项分界法)因为a 1＝25＞0，S 9＝S 17，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前n 项和最大，只需解⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0即可得出n .∵a 1＝25，S 9＝S 17，∴9×25＋9×82d ＝17×25＋17×162d ，解得d ＝－2.∴a n ＝25＋(n －1)(－2)＝－2n ＋27，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2n ＋27≥0，－2(n ＋1)＋27≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ≤13.5，n ≥12.5， 又n ∈N *，∴n ＝13. 即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13＝169. 题点二：求等差数列前n 项绝对值的和2．在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：等差数列{a n }的公差为： d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)16＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋3(n －1)＝3n －63.又因为a n <0时，3n －63<0，n <21，所以等差数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项是非负数． 设S n 和S n ′分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和． 当0<n ≤20时， S n ′＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋3n (n －1)2＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S n ′＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋3n (n －1)2－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3 ＝32n 2－1232n ＋1 260. 所以数列{|a n |}的前n 项和为：S n′＝⎩⎨⎧ －32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.题点三：利用S n 与a n 关系求a n3．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2－23n (n ∈N *)．试判断数列{a n }是否是等差 数列．解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－22；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －24.此时a 1＝－22适合a n ＝2n －24，所以a n ＝2n －24.又∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－24－2n ＋24＝2(常数)，所以数列{a n }是首项为－22，公差为2的等差数列．1．等差数列前n 项和的最值问题的三种解法(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值．可由a n ≥0，且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0，且a n ＋1≥0，求得n 的值．(2)利用S n ：由S n ＝12dn 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－12d n 二次函数配方法求得最值时n 的值． (3)利用二次函数图象的对称性．2．求数列{|a n |}的前n 项和等差数列的各项取绝对值后组成数列{|a n |}，若原数列{a n }中既有正项又有负项，则{|a n |}不再是等差数列，求和的关键是找到数列{a n }中正、负项的分界点处n 的值，再分段求和．3．由a n 与S n 的关系求a n 的解题步骤第一步：n ＝1时，计算a 1＝S 1；第二步：n ≥2时，计算a n ＝S n －S n －1；第三步：检验a 1＝S 1是否适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)．若a 1适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)时，通项公式可合并成一个式子，即a n ＝S n －S n －1；否则，通项公式应写成分段函数的形式，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).层级一 学业水平达标1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________. 解析：由题意得S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝25，故a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d ＝3＋5×2＝13.★答案☆：132．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为________．解析：由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12， 所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列． ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－2)＋10×92×12＝52. ★答案☆：523．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式为a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也适合上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)．★答案☆：2n4．在等差数列{a n }中，已知a 3∶a 5＝34，则S 9∶S 5的值是________．解析：S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝95×a 5a 3＝95×43＝125. ★答案☆：1255．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________． 解析：法一：依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d 9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 法二：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ，首项为a 1，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . ∴S n n ＝d 2n ＋a 1－d 2. 又∵S 412－S 39＝1，∴S 44－S 33＝3， ∴d 2＝3，∴d ＝6. ★答案☆：66．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 解析：设S 3＝k ，则S 6＝3k ，∴S 6－S 3＝2k .由等差数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9也成等差数列．∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k .∴S 9＝6k ，S 12＝10k .∴S 6S 12＝310. ★答案☆：3107．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n >6)，求数列{a n }的项数n ＝________.解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. ★答案☆：188．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使a n b n为整数的正整数n 有________个．解析：a n b n＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝7n ＋19n ＋1＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1.∴n ＝1,2,3,5,11，共有5个．★答案☆：59．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28， 即a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝4n －3.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)． 10．设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．解：(1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a 1＋12×112d >0，S 13＝13a 1＋13×122d <0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋11d >0， ①a 1＋6d <0. ② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12. ③将③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0， 解得－247<d <－3. (2)由d <0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．层级二 应试能力达标1．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10＝________. 解析：设{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝4，2a 1＋13d ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. ∴S 10＝10a 1＋10×92×d ＝10×1＋10×92×2＝100. ★答案☆：1002．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．解析：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.★答案☆：153．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. ★答案☆：44．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由a 1>0，n ＝8时，S n 取最大值，则a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝a 1＋7d ＝7＋7d >0，a 9＝a 1＋8d ＝7＋8d <0，解得－1<d <－78. ★答案☆：⎝⎛⎭⎫－1，－78 5．在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为________． 解析：依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8.★答案☆：86．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，且对任意正整数n 都有a 2n a n ＝4n －12n －1，则S n ＝________.解析：由等差数列的通项公式可得，a 2n ＝1＋(2n －1)d ，a n ＝1＋(n －1)d . ∵a 2n a n ＝4n －12n －1，对任意n 都成立， ∴1＋(2n －1)d 1＋(n －1)d ＝4n －12n －1对任意n 都成立， 当n ＝1时，有1＋d 1＝3，解得d ＝2， ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×2＝n 2. ★答案☆：n 27．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ， 又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.8．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解：(1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10.(2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ； 当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.。