九年级数学下册第三章圆专题(七)与垂径定理有关的辅助线作业课件新版北师大版

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九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理课件新版北师大版

九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理课件新版北师大版

【启发思考】
问题3 通过前面的折纸我们知道圆是轴对称图形,那么它有几条对称轴?分 别是什么?
结论: ⑴圆是轴对称图形; ⑵经过圆心的每条直线都是它的对称轴; ⑶圆的对称轴有无数条.
【启发思考】
问题4 如图,对折⊙O使圆的两半部分重合得到一条折痕CD,在OC上取一点M, 过点M再次对折⊙O,使CM与MD重合,新的折痕与⊙O交于A、B两点.
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科,笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识,那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”,把主要精力放在做笔记上,常常为看不清黑板上一个字或一句话,不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
第三章 圆
3 垂径定理
【创设情境】
问题1 请拿出准备好的圆形纸片,将其沿圆心所在的任一条直线对折, 你会发现什么?多折几次试一试.
追问1:由折纸可知圆是轴对称图形吗? 追问2:如果是一个残缺的圆形纸片,你能Βιβλιοθήκη 到它的圆心吗?【创设情境】
问题2 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我 国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所 对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出 赵州桥主桥拱的半径吗?(精确到0.1m)
全的人,主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.,这样不仅失去了做笔记的意义,也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录, 便无暇紧跟老师的思路﹚。 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容,那你的笔记就可能显得有些凌乱。 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记,故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上,理解正是做好提纲式笔记的关键。 课堂笔记要注意这五种方法:一是简明扼要,纲目清楚,首先要记下所讲章节的标题、副标题,按要点进行分段;二是要选择笔记语句,利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记;三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边,这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上,前提是你 能听懂﹚;四是数理化生等,主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题;五是政治、历史等,着重记下老师对问题的综合阐述。

九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理课件新版北师大版

九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理课件新版北师大版
第三章 圆
3 垂径定理
【创设情境】
问题1 请拿出准备好的圆形纸片,将其沿圆心所在的任一条直线对折, 你会发现什么?多折几次试一试.
追问1:由折纸可知圆是轴对称图形吗? 追问2:如果是一个残缺的圆形纸片,你能找到它的圆心吗?
【创设情境】
问题2 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我 国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所 对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出 赵州桥主桥拱的半径吗?(精确到0.1m)
【启发思考】
问题3 通过前面的折纸我们知道圆是轴对称图形,那么它有几条对称轴?分 别是什么?
结论: ⑴圆是轴对称图形; ⑵经过圆心的每条直线都是它的对称轴; ⑶圆的对称轴有无数条.
【启发思考】
问题4 如图,对折⊙O使圆的两半部分重合得到一条折痕CD,在OC上取一点M, 过点M再次对折⊙O,使CM与MD重合,新的折痕与⊙O交于A、B两点.
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(1)观察图形,它是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些等量关系?说一说你的理由.
【探究问题】
问题5 已知:如图 ,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O的一条直径,并且 CD⊥AB,垂足M.
求证:AM=BM,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD
【探究问题】
问题6 如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于 点M.
(1)观察图形,它是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些等量关系?说一说你的理由. (3)AB与CD的位置关系如何?说一说你的理由.

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件

⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. (√ )
挑战自我找一找
2.已知:如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB<CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :
. 图中相等的劣弧有:
.
挑战自我算一算
3、已知:如图,⊙O 中, AB为 弦,C 为
⌒ AB
的中点,OC交AB
于D
例题解析
例1:如图,已知在圆O中,弦AB的长为8
㎝,圆心O到AB的距离为3 ㎝,求圆O的
半径。
A
E
B
O
练习1:在半径为50㎜的圆O中,有长50㎜的弦AB, 计算:⑴点O与AB的距离;
⑵∠AOB的度数。
E
例2:如图,圆O的弦AB=8 ㎝ ,
DC=2㎝,直径CE⊥AB于D,
求半径OC的长。
O
D
A
B
练习2:在圆O中,直径CE⊥AB于 D,OD=4 ㎝,弦AC= 10 ㎝ , 求圆O的半径。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我填一填
1、判断:
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
( )
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
(√ )
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )
⑷圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. ( )
C
A M└ B 你可以写出相应的命题吗?
●O
相信自己是最棒的!
D
C
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤

3-3 垂径定理 -2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)

3-3 垂径定理 -2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
∴AC=AE﹣CE=8﹣2 7.
随堂测试
7.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则
AC的长为(
A.2 5cm

B.4 5 cm
C.2 5cm或4 5cm
D.2 3cm或4 3cm
【解析】
连接AC,AO,
1
1
∵O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,∴AM=2AB=2×8=4cm,OD=OC=5cm,
O


BC =BD.
E
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
符号语言:
C
∵ CD是直径, CD⊥AB
·
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ AE=BE,AC=BC,AD=BD.
O
E
B
A
D
概念理解
平分弦的直径垂直于这条弦吗?
情况一:弦是直径
不一定
情况二:弦不是直径
C
A
C
·
O
D
O
B
E
A
B
课堂基础练

AC= AD


, BC= BD
A
已知:线段CD是⊙O的一条弦,直径AB⊥CD,
垂足为E。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证:CE=DE, AC = AD, BC =BD.
C
证明:连接OC、OD,在△OCD中,
∵OC=OD,且OE⊥CD,
∴CE=DE,∠COB=∠BOD,
⌒ =AD,

∴ ∠AOC=∠AOD, ∴AC
则OE=
3
,AB=
8
?
.

3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册

3.3 垂径定理  课件   2023-2024学年 北师大版数学九年级下册

*3.3 垂径定理
续表
(1)定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线(线段),其 本质是“过圆心”; 特别提醒 (2)“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧(如图中的
),又平分弦所对的劣弧(如图中的 )
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 如图,直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 ( )
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
(第 1 题图)
(第 2 题图)
2. 如图所示,⊙O 的半径为 13,弦 AB 的长度是 24,ON⊥AB,垂足为 N,
则 ON= ( )
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.(教材 P76,习题 T2 变式)如图,AE 是⊙O 的直径,半径 OD 垂直于 弦 AB,垂足为 C,AB=8 cm,CD=2 cm,求 BE 的长.
∴AN= AB=12, 在 Rt△AON 中, ∵AO=13,∴ON=
=5.
3. 解:∵ 半径 OD 垂直于弦 AB,垂足为 C, AB=8 cm,∴AC= AB=4 cm,
设 CO=x cm,则 AO=DO=(x+2)cm,在 Rt△AOC 中,AO2=CO2+AC2, ∴(x+2)2=x2+42,解得 x=3,即 CO=3 cm. ∵AO=EO,AC=CB,OC 为△ABE 的中位线,∴BE=2CO=6 cm. 4. D 提示:一条直线经过圆心,平分弦所对的劣弧,根据垂径定理及其推论可 知,它垂直平分这条弦,并且平分弦所对的优弧. 5. 120 提示:∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分,∴OA=AB,∵OA=OB,∴△OAB 是 等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠AOC=2∠AOB=120°.

数学【北师大版】九年级下册:3.3-垂径定理ppt教学课件

数学【北师大版】九年级下册:3.3-垂径定理ppt教学课件
(1)连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE,∴△AOE≌△BOE(SSS),
C
∴∠AEO=∠BEO=90°, ∴CD⊥AB.
⌒ , AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ (2)由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考:“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不 C 能,请举出反例.
证明:连接OA、OB、CA、CB,则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD, ∴AP=BP, ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD,
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式: ∵ CD是直径,CD⊥AB,(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
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学练优九年级数学下(BS) 教学课件
第三章

*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆,了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.(重点)
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.(难点)
特别说明: A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: (1)一条直线过圆心 (2)这条直线垂直于弦 满足其中任 两条,必定 同时满足另 三条 (3)这条直线平分不是直径的弦 (4)这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 (5)这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧

【最新】北师大版九年级数学下册第三章《垂径定理的应用》公开课课件(共13张PPT).ppt

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OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5
解得 R≈3.9(m). 在Rt△ONH中,由勾股定理,得
OH ON2HN2, 即 O H3.921.523.6. DH=OH-OD
D 3 .6 H 1 .5 2 .1 2 .∴此货船能顺利通过这座拱桥.
想一想
垂径定理三角形
组卷网
已知:如图,直径CD⊥AB,垂足为E .
a
h
2
⑴d + h = r
d O
⑵ r2 d2 (a)2
2
垂径定理的逆应用
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面 如图所示.若油面宽AB = 600mm,求油的最大深度.
O
A
┌E
B
D
600
垂径定理的逆应用
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油 后,截面如图所示.若油面宽AB = 600mm, 求油的最大深度.
2
2
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
R2 3002 R 902.
解这个方程, 得R 545.
这段弯路的半径约为545m.
赵州石拱桥
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如
图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的
长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫
⑴若半径R = 2 ,AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ,OE = 1 ,求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发,你能总结出什么规律吗?
C
O
E
A
B
D
方法总结
n 对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h,这四个量

北师大版九年级数学下册第三章3.3垂径定理 课件 (共21张PPT)

北师大版九年级数学下册第三章3.3垂径定理 课件 (共21张PPT)
九年级数学(下)第三章 圆
3.3 垂径定理
知识回顾
1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
3.顶点在圆心的角叫做圆心角.
4.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对 的弦相等。
5.定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相 等。
(2) (3)
(1) (4) (1) (5) (4)
(3) (2) (5)
(1) (5)
(3) (4) (2)
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于
C
弦,并且平分弦所对的两条弧
A M└
B
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平
●O
分弦所对的两条弧
(3)平分一条弧的直径,垂直平分弧所
对的弦,并且平分弦所对的另一条弧
可推得
②④CA⌒DC=⊥B⌒ACB, , ⑤A⌒D=B⌒D.
D
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∵CD是直径,AB是弦,并且CD平分AB ∴CD⊥AB,AD⌒=BD⌒,AC⌒=BC⌒
9、要学生做的事,教职员躬亲共做;要学生学的知识,教职员躬亲共学;要学生守的规则,教职员躬亲共守。21.8.3121.8.31Tuesday, August 31, 2021
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。09:56:2209:56:2209:568/31/2021 9:56:22 AM
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上,而留下许多自由支配的时间,他才能顺利地学习……(这)是教育过程的逻辑。21.8.3109:56:2209:56Aug-2131-Aug-21
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证明:连接 OB,OD, 过 O 作 OM⊥AB 于点 M,ON⊥CD 于点 N,
则由垂径定理得 BM=1AB,DN=1CD.
2
2
∵AB=CD,∴BM=DN,
由勾股定理,得 OM2=OB2-BM2,ON2=OD2-DN2,
∴OM=ON.∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴OP 平分∠BPD.
10.如图,在△ABC 中,AB=AC=10,sin∠ABC=3,圆 O 经过点 B,C,圆心 O 在 5
6.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足P是OB的中点,CD=6 cm,求直径AB的长.
解:连接 OC,设 OP=x,则 OC=OB=2x,直径 AB=4x. ∵AB⊥CD,∴PC=1CD=3 cm.
2 在 Rt△COP 中,OC2=OP2+PC2, 即(2x)2=x2+32,解得 x= 3 cm, ∴直径 AB 的长为 4 3 cm.
∵∠A=30°,∴OE=1OA=5, 22
∴在 Rt△OEM 中,ME= OM2-OE2= ∴MN=2ME= 11.
32-(5)2= 11,
2
2
12.如图,已知⊙O 的半径为 3,点 M 为⊙O 内的一个定点,且 OM= 5,AB,CD
是⊙O 的两条相互垂直的弦,垂足为 M.
(1)当 AB=4 时,求四边形 ADBC 的面积;
(2)连接 OD,
∵AB⊥CD,AB 是直径,
∴A︵D=A︵C=1C︵D,∴∠COA=1∠COD.
2
2
∵∠CPD=1∠COD,∴∠CPD=∠COA. 2
在 Rt△OCH 中,sin∠COA=CH=4.∴sin∠CPD=sin∠COA=4.
CO 5
5
二、作圆心到弦的垂线 9.如图,⊙O的弦AB,CD交于点P,AB=CD.求证:OP平分∠BPD.
11.如图,过△OAB的顶点O作⊙O,与边OA,OB分别交于点C,D,与边AB交于M,N两点,且
CD∥AB,已知OC=3,CA=2.
(1)求OB的长;
(2)若∠A=30°,求MN的长.
解:(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC. ∵CD∥AB,∴∠A=∠OCD,∠B=∠ODC, ∴∠A=∠B,∴OB=OA=OC+CA=3+2=5. (2)过点 O 作 OE⊥MN 于点 E,连接 OM,则 MN=2ME.
第三章 圆
专题(七) 与垂径定理有关的辅助线
一、连半径构造直角三角形
1.如图,点E在y轴上,⊙E与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,D.若C(0,9),D(0,-1),
C
则线段AB的长度为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
2.(2018·衢州)如图,AC 是⊙O 的直径,弦 BD⊥AO 于点 E,连接 BC,过点 O 作 OF⊥BC
于点 F,若 BD=8 cm,AE=2 cm,则 OF 的长度是( D )
A.3 cm
B. 6 cm
C.2.5 cm
D. 5 cm
3.如图,已知⊙O 的直径为 4 5 cm,弦 AB 的长为 8 cm,点 P 为弦 AB 上一动点.若
OP 的长度为整数,则满足条件的点 P 有( C )
A.2 个 B.3 个
(2)求四边形 ADBC 面积的最大值.
解:(1)分别过点 O 作 OE⊥CD 于点 E,OF⊥AB 于点 F, 连接 OB,OC,则四边形 OEMF 为矩形
BF=1AB=2.∴OF= OB2-BF2= 5. 2
又∵OE2+OF2=OM2=5,∴OE=0,∴CD=6,∴S 四边形 ADBC=12AB·CD=12.
(2)设 OE=x,OF=y,则 x2+y2=5.∵AB=2 9-y2,CD=1×2 9-x2, 2
∴S
四 边形
ADBC

1 2
AB
·
CD

1 2Leabharlann ×29-y2 × 2
9-x2 = 2
-x4+5x2+36 =
2 -(x2-5)2+169,
2
4
∴当 x2=5时,四边形 ADBC 的面积最大,最大面积是 13. 2
︵ 7.如图所示,M 是AB的中点,N 是弦 AB 的中点,AB=4 3,MN=2,求圆心 O 到 AB
的距离.
︵ 解:连接 ON,OB,∵M 是AB的中点,N 是弦 AB 的中点,
∴M,N,O 三点共线,且 MN⊥AB,AN=BN. ∵AB=4 3,MN=2,∴若设 ON=x, 则 OB=2+x,BN=2 3, ∴x2+(2 3)2=(x+2)2,解得 x=2,即圆心 O 到 AB 的距离为 2.
C.5 个
D.7 个
4.如图,以P(-4.5,0)为圆心,且经过(-2,0)的⊙P以1个单位/秒的速度沿x轴向右运
动,则当⊙P被y轴所截得的弦的长为4时,⊙P移动的时间为( D )
A.2秒
B.3秒
C.2秒或4秒
D.3秒或6秒
5.在⊙O中,AB为直径,AB=10,点M,N均在⊙O上,MN⊥AB,将⊙O沿MN翻折,翻折后点D 与点B对应,则当AD=2时,MD的长为_____2__1_0_或__2__1_5_______.
8.如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,P是CBD上任意一点,AH=2,CH=4.
(1)求⊙O的半径r的长度;
(2)求sin∠CPD的值
解:(1)连接 OC, ∵AB⊥CD,∴∠CHO=90°. 在 Rt△COH 中,∵OC=r,OH=r-2,CH=4, ∴r2=42+(r-2)2,∴r=5.
△ABC 的内部,且到点 A 的距离为 2,求圆 O 的半径.
解:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,连接 OB, ∵AB=AC,∴BD=CD,∴AD 过圆心 O. ∵sin∠ABC=3,AB=10,∴AD=6,∴OD=AD-OA=6-2=4,
5 ∴BD= AB2-AD2= 102-62=8, 在 Rt△OBD 中,∵OD=4,BD=8, ∴OB= OD2+BD2= 42+82=4 5,即⊙O 的半径为 4 5.
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