因式分解法解一元二次方程ppt
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一元二次方程因式分解法.ppt
解： （[ a + b)x - (a - b)][(a - b)x - (a + b)] = 0
x1 =
a- b， a+ b
x2 =
a+ b a- b
解下列于x的方程：
1. x2 - (2a + 1)x + a2 + a = 0
2. (a2 - b2 )x2 - 2(a2 + b2 )x + a2 - b2 = 0(a2 - b2 ? 0)
而右边等于零;即一元二次方程可以转化为 A·B=0的形式
2.因式分解法解一元二次方程的本质就是降次
转化为解两个一元一次方程
3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
思考：
注：运用因式分解法的前提是方程右边为零。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
练一练练一练解：源自x 0或x 8原方程的根为x1 0，x2 8
例2：(x 3) x(x 3) 0
解： (x 3)(1 x) 0
得：x 3 0或1 x 0
x 3或x 1
原方程的根为x1 3，x2 1
例3：x2 4 0
解：(x 2)(x 2) 0
x20 或 x20
平方差公式
x 2 或 x 2
原方程的根为x1 2，x2 2
例4：(x 2)2 2 0
解：(x 2 2)(x 2 2) 0
x 2 2 0或 x 2 2 0
x 2 2 或 x 2 2
x 3 或 x -2
原方程的根为x1 3, x2 2
例7： 0.1x2 1.2 0.4x
因式分解法解一元二次方程课件
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 解 (x ： 1)x (7)0
1 1
x 10 或 x70
1 7
x11,x27
1.解下列方程
(1)x2 x0
解:x(x1)0.
x10,x21.
(3)3x26x3
解: x2 2x10 (x1)2 0.
x1x21.
书P40, 练习:1、2.
(2)x22 3x0
2x 10 ,或 2x 10.
x12,x21.
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x1
12;x2
1. 2
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
7. 5
2.x132;x2 1.
3.2 (x3)24(2x3);
4.2(x3)2x29;
3.x1
23;x2
1. 2
4.x13 ;x29.
先胜
解下列方程
为快
5.5(x2x)3(x2x); 6 .x (2 )22x 3 2;
5.x10 ;x24.
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 8.x252x80.
x12;x24.
2 .4 x 2 1 x 3 2 1 x 0 ,
2 x 1 4- x 3 0 ,
2 x 1 0 ,或 4 x 3 0 .
x1
12,x2
3. 4
先胜
解下列方程
为快
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
1 1
x 10 或 x70
1 7
x11,x27
1.解下列方程
(1)x2 x0
解:x(x1)0.
x10,x21.
(3)3x26x3
解: x2 2x10 (x1)2 0.
x1x21.
书P40, 练习:1、2.
(2)x22 3x0
2x 10 ,或 2x 10.
x12,x21.
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x1
12;x2
1. 2
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
7. 5
2.x132;x2 1.
3.2 (x3)24(2x3);
4.2(x3)2x29;
3.x1
23;x2
1. 2
4.x13 ;x29.
先胜
解下列方程
为快
5.5(x2x)3(x2x); 6 .x (2 )22x 3 2;
5.x10 ;x24.
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 8.x252x80.
x12;x24.
2 .4 x 2 1 x 3 2 1 x 0 ,
2 x 1 4- x 3 0 ,
2 x 1 0 ,或 4 x 3 0 .
x1
12,x2
3. 4
先胜
解下列方程
为快
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
一元二次方程的解法(4)因式分解法课件全面版
右化零 左分解
两因式 各求解
布置作业 1、家庭作业：练习册17.2（5） 2、课堂作业:课本习题17.2第4题； 3、预学下一课时内容。
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
两因式 各求解
布置作业 1、家庭作业：练习册17.2（5） 2、课堂作业:课本习题17.2第4题； 3、预学下一课时内容。
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
17.2.5因式分解法(一元二次方程的解法)
第五课时
因式分解法
回顾与复习
1. 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法
2 = ( ≥ 0)
配方法
( + ℎ)2 = ( ≥ 0)
公式法
− ± 2 − 4
=
2
≠ 0, 2 − 4 ≥ 0 .
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式
两边都除以, 得 = 3
∴ 这个数是3.
思考
这种做法对吗?
新知探究
解: 由方程 2 = 3, 得
2 − 3 = 0.
∴ − 3 = 0.
∴ = 0, 或 − 3 = 0.
∴ 1 = 0,
2 = 3.
∴ 这个数是0或3.
思考
这种做法对吗?
这种做法的依据是什么?
归纳总结
－ = 或 + =
∴ = , = −
新知应用
例4、解下列方程
1 2－3－10 = 0
2 ( + 3)(－1) = 5
解题步骤
解： 2 原方程可变形为
例题
+ － =
(－)( + ) =
－ = 或 + =
∴ = , = −
方程右边化为零
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零
得到两个一元一次方程
两个一元一次方程的解就是原方程的解
巩固练习
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
解方程
( − 5)( + 2) = 18
解：
原方程化为
( − 5)( + 2) = 3 × 6
由 − 5 = 3，得 = 8;
因式分解法
回顾与复习
1. 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法
2 = ( ≥ 0)
配方法
( + ℎ)2 = ( ≥ 0)
公式法
− ± 2 − 4
=
2
≠ 0, 2 − 4 ≥ 0 .
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式
两边都除以, 得 = 3
∴ 这个数是3.
思考
这种做法对吗?
新知探究
解: 由方程 2 = 3, 得
2 − 3 = 0.
∴ − 3 = 0.
∴ = 0, 或 − 3 = 0.
∴ 1 = 0,
2 = 3.
∴ 这个数是0或3.
思考
这种做法对吗?
这种做法的依据是什么?
归纳总结
－ = 或 + =
∴ = , = −
新知应用
例4、解下列方程
1 2－3－10 = 0
2 ( + 3)(－1) = 5
解题步骤
解： 2 原方程可变形为
例题
+ － =
(－)( + ) =
－ = 或 + =
∴ = , = −
方程右边化为零
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零
得到两个一元一次方程
两个一元一次方程的解就是原方程的解
巩固练习
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
解方程
( − 5)( + 2) = 18
解：
原方程化为
( − 5)( + 2) = 3 × 6
由 − 5 = 3，得 = 8;
21.2.3用因式分解法解一元二次方程_课件_1
(
)
1、如何用因式分解法解一元二次方程？ 2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤？ 3、解一元二次方程有几种方法，他们之间的联 系与区别是什么？
作业：书P14练习
1.解下列方程： . 2
(1) x x 0,
提公因式：x( x 1) 0， 所以有x 0或x 1 0 即x1 0，x2 1.
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
我思
我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
2
(a1x c1 )(a2 x c2 )
a2
c1 c2
(4)3x 7 x 2 0
2
例2 解下列方程
(1)2 y 3 y 2 0 (2)3x 10x 8 0
2
2
(3)4x 31x 45 0
2
(4) 3x 22x 24 0
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢 ? 4 x 2 12 x 9 ? . 3x 2 7 x 4 ?. 观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6);
《用因式分解法求解一元二次方程》PPT课件
解：令 x2－x＝y，则原方程可化为 y2－4y－12＝0， 即(y＋2)(y－6)＝0. 所以 y＋2＝0 或 y－6＝0，解得 y1＝－2，y2＝6. 当 y＝－2 时，x2－x＝－2，即 x2－x＋2＝0，此方程无实数解； 当 y＝6 时，x2－x＝6，即(x＋2)(x－3)＝0， 解得 x1＝－2，x2＝3. 所以原方程的解为 x1＝－2，x2＝3.
②(x－2)2＋x2＝5；
③(x－2)(x－4)＝4； ④x2－3x－1＝0；
⑤x2－ 2x＋14＝0； ⑥x2＋3x＝0. (1)直接开平方法：___①_____；(2)配方法：__②___③___；
(3)公式法：__④__⑤____；
(4)因式分解法：___⑥_______．
11．解方程 2(x－1)2＝3x－3，最适当的方法是( D )
x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根为 x1＝－1，x2＝7；乙同学 说：应把方程右边化为 0，得 x2－9＝0，再分解因式，即
(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为 x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙
两名同学的说法，下列判断正确的是A( )
A．甲错误，乙正确
B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都正确
D．甲、乙都错误
15．(2018·玉林)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x－k－2＝0 有 两个不相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围； 解：根据题意得 Δ＝(－2)2－4(－k－2)＞0，解得 k＞－3.
15．(2018·玉林)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x－k－2＝0 有 两个不相等的实数根．
(2)配方法(3)公式法 15 见习题
(4)因式分解法
16 见习题
10 (1)① (2)②③
《用因式分解法解一元二次方程2x》课件
x2
2x
3 4
.
(3)3x(x 2) 5(x 2)
(4)(3x 1)2 5 0
练习
1.解下列方程：
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增 加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得
r 5 2r r 5 2r 0.
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= A解
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程重 要方法,要作为一种基本技能来掌握. 而某些方程可以用分解因式法简便快 捷地求解.
2.关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于 零,
那么至少有一个因式等于零.”
方法归纳 ☞
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1o移项方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘
积。
3o至少有一个 因式为零，得到两个一元
一次方程。 4o两个一元一次方程的解 就是原方程的解
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
例题欣赏 ☞
例2 解下列方程:
（1）x（x 2） x 2 0；
（2）5
x2
2x
1 4
5; .3x(x 2) 5(x 2); 6.(3x 1)2 5 0;
7.2(x 3)2 xx 3;
因式分解法解一元二次方程初中数学原创课件
x1=0 ， x2=2 .
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(3) 3x²-6x=-3
解：化为一般式为
x2-2x+1 = 0.
因式分解，得
( x-1 )(x-1 ) = 0.
x1=0， x2=-1.
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(2)x²-2 x=0
解：因式分解，得
x(x-2 )=0.
则有x=0或x-2 =0，
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x -2 = 0 或 2x + 1 = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1= ，x2=- .
练习
1.解下列方程：
(6)(x-4)²=(5-2x)²
(1)x²+x=0；
解：变形得
(2)x²-2 x=0；
( x-4 ) 2-( 5-2x )2=0.
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(3) 3x²-6x=-3
解：化为一般式为
x2-2x+1 = 0.
因式分解，得
( x-1 )(x-1 ) = 0.
x1=0， x2=-1.
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(2)x²-2 x=0
解：因式分解，得
x(x-2 )=0.
则有x=0或x-2 =0，
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x -2 = 0 或 2x + 1 = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1= ，x2=- .
练习
1.解下列方程：
(6)(x-4)²=(5-2x)²
(1)x²+x=0；
解：变形得
(2)x²-2 x=0；
( x-4 ) 2-( 5-2x )2=0.
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
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2
解法一 (直接开平方法):
5 x , 3 5 5 即x1 , x 2 . 3 3
2 9x －25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0 3X+5=0 或 3x－5=0 5 5 x1 , x 2 . 3 3
9X2－25= (3x+5)(3x－5)
例4、解下列方程
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
习题1、解下列方程 （4）x2－6x－7=0 （6）(x+1)(x+3)=15 解：原方程可变形为 解：原方程可变形为 (x－7)(x+1)=0 x2+4x－12=0 (x－2)(x+6)=0 x－7=0或x+1=0 x－2=0或x+6=0 ∴ x1=7 ,x2=-1 ∴ x1=2 ,x2=-6
当一元二次方程的一边为 0 ，而另一边易于分解成 0 两个一次因式时，就可以 用因式分解法来解.
简记歌诀： 右化零 左分解
两因式
各求解
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
2
x 5x 6 0
解 把方程左边分解因式，得
( x 2)(x 3) 0
因此，有 解得
x 2 0或x 3 0
x 2, x 3.
例5
解：
( x 4)( x 1) 6
因式分解，得
( x 5)( x 2) 0
x 5 0或x - 2 0 ∴ x1 5, x2 2
用因式分解法解一元二次方程
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 2、请用已学过的方法解方程 2 x －9=0
2 x －9=0
解：原方程可变形为
(x+3)(x－3)=0 X+3=0 或 x－3=0 ∴ x1=-3 ,x2=3
X2－9= (x+3)(x－3)
AB=0A=0或Ｂ＝０
9 x 25 0
直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2= A解
作业：骤演示
例 (x+1)(x+3)=15 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+4x－12 =0 左边分解成两个一次因式 的乘积 (x－2)(x+6)=0
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
x－2=0或x+6=0
两个一元一次方程的解就是原方程的解
∴ x1=2 ,x2=-6
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 2.解一元二次方程的方法：
解法一 (直接开平方法):
5 x , 3 5 5 即x1 , x 2 . 3 3
2 9x －25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0 3X+5=0 或 3x－5=0 5 5 x1 , x 2 . 3 3
9X2－25= (3x+5)(3x－5)
例4、解下列方程
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
习题1、解下列方程 （4）x2－6x－7=0 （6）(x+1)(x+3)=15 解：原方程可变形为 解：原方程可变形为 (x－7)(x+1)=0 x2+4x－12=0 (x－2)(x+6)=0 x－7=0或x+1=0 x－2=0或x+6=0 ∴ x1=7 ,x2=-1 ∴ x1=2 ,x2=-6
当一元二次方程的一边为 0 ，而另一边易于分解成 0 两个一次因式时，就可以 用因式分解法来解.
简记歌诀： 右化零 左分解
两因式
各求解
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
2
x 5x 6 0
解 把方程左边分解因式，得
( x 2)(x 3) 0
因此，有 解得
x 2 0或x 3 0
x 2, x 3.
例5
解：
( x 4)( x 1) 6
因式分解，得
( x 5)( x 2) 0
x 5 0或x - 2 0 ∴ x1 5, x2 2
用因式分解法解一元二次方程
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 2、请用已学过的方法解方程 2 x －9=0
2 x －9=0
解：原方程可变形为
(x+3)(x－3)=0 X+3=0 或 x－3=0 ∴ x1=-3 ,x2=3
X2－9= (x+3)(x－3)
AB=0A=0或Ｂ＝０
9 x 25 0
直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2= A解
作业：骤演示
例 (x+1)(x+3)=15 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+4x－12 =0 左边分解成两个一次因式 的乘积 (x－2)(x+6)=0
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
x－2=0或x+6=0
两个一元一次方程的解就是原方程的解
∴ x1=2 ,x2=-6
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 2.解一元二次方程的方法：