南通市2014届高三数学最后一卷参考答案与评分建议

(第10题图)

(第9题图) 南通市2014届高三数学参考答案与评分建议 数学I

参考公式：

棱锥的体积公式：1

3

V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ．答案：3． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ．答案：-2i ． 3．不等式组0,

0,2x y x y ⎧⎪

⎨⎪+⎩

≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．

4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．答案：π．

5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ．答案：1

6．

6．已知函数23,0,

()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩

≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．

7．设函数f (x )=log 2x (0

2

5

． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 答案：1200．

9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为

▲ ．

答案：5，3．

10．已知向量a ，b ，c

在正方形网格中的位

(第8题图)

(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+= ▲ ．答案：5

3-．

11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则22

42x y x y +-的最小值为 ▲ ．答案：4．

12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13

的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．答案：8．

13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同

的实数x 1，x 2，x 3，使得

312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 答案：ln31

(,)93e

． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，

a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．答案：92．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．

．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；

(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．

解：(1)依题意BC =3，CA =5，AB =7．······························1分 由余弦定理，得222cos 2CB CA AB C CB CA

+-=⋅⋅=1

2-． ····················4分

因0

π

．·······················8分

(2)由余弦定理，得13

cos 14

A =．··············11分 在△ADC 中，AD =

72，CD 2=AC 2+AD 2-2AC ×AD ×cos A =19

4

，于是CD

．·· 14分

16．（本小题满分14分）

如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3

π

，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：

(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．

(第15题图)

B

A

C

解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．

因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ·············3分，因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ··········4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．

因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =

3π，AB ∥EF ，故EF =1

2

AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =

1

2

AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形，所以ME ∥NF ．·

·· 1分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·····14分

注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．

17．（本小题满分14分）

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．

解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2

x

y -+π=

．····················································4分 依题意，知：0

04x <<+π

． 所以，4(2)2x y -+π=

(4

04x <<+π

)．·······················································7分 (2)依题意，T =AB S ⋅=21

2(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分

令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =

π+∈4

(0,)4+π

，另一解舍去．·

·············11分

(第17题图

)

图1

图2