2020年黑龙江高三二模数学试卷(文科)
黑龙江省哈尔滨市重点高中2020届高三第二次模拟考试(5月)数学 (文)试题
M
到直线
C3
:
x
y
3 2t 2 t
(t
为参数)
距离的最小值｡
23.若 x,y,z∈R,a>0,b>0,c>0,
求证: b c x2 c a y2 a b z2 2(xy yz zx ) .
a
b
c
4
5
10.过椭圆
C：xBiblioteka a2y2 b21(a b 0)
的左顶点
A
的斜率为
k
的直线交椭圆
C
于另一点
B,且点
B
在
x
轴
上的射影恰好为右焦点 F,若 1 k 1 ,则椭圆离心率的取值范围是( )
3
2
A.(1 , 9) 44
B. ( 2 ,1) 3
C.(1 , 2) 23
D.(0, 1) 2
11.已知空间几何体 ABCD 是由圆柱切割而成的阴影部分构成,其中 A,B 为下底面圆直径的两个端点,
2020 届高三第二次模拟考试
数学试题(文科)
第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的,请将答案填涂在客观题答题卡上.
1.已知集合 P={x||x-1|≤1,x∈R},Q={x|x∈N},则 P∩Q= ( )
18.等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn , 已知 S1, S3, S2 成等差数列｡ (1)求{an} 的公比 q; (2)若 a1 a3 3, 求 Sn.
19.某车间 20 名工人年龄数据如下表:
年龄(岁) 19 28 29 30 31 32 40 合计
2020届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学(文)试题(解析版)
2020届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测试题数学（文）一、单选题1．已知集合{2,4,6,8}A =，{|26}B x x =<≤，则A B =I （ ） A ．{}2,4 B ．{}2,4,6C ．{}4,6D ．{}2,6【答案】C【解析】利用交集的运算，即可得到结果. 【详解】∵集合{2,4,6,8}A =，{|26}B x x =<≤， ∴{}4,6A B =I ， 故选：C 【点睛】本题考查交集的概念与运算，属于基础题. 2．设复数z 满足(1)2i z i -=，则||z =（ ）A B C ．12D ．2【答案】A【解析】()()()()1i 2i,1i 1i 1i 2i z z Q -⋅=∴+-⋅=+⋅,化为()221i ,1i z z =-+∴=-+，z ∴== A.3．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()4,5【答案】B【解析】函数()f x lnx 2x 6=+-在其定义域上连续，同时可判断f （2）＜0，f （3）＞0；从而可得解． 【详解】函数f （x ）＝lnx 2x 6+-在其定义域上连续， f （2）＝ln 2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0， f （3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；故函数()f x lnx 2x 6=+-的零点在区间（2，3）上， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题．4．下列函数中，定义域和值域相同的函数是（ ）A ．3x y =B ．12log y x =C ．y =D ．tan y x =【答案】C【解析】分别求出四个函数的定义域及其值域分析得答案． 【详解】3x y =的定义域为R ，值域为()0,∞+，不符合题意； 12log y x =的定义域为()0,∞+，值域为R ，不符合题意；y =R ，值域为R ，符合题意；tan y x =的定义域为,2x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，值域为R ，不符合题意，故选：C 【点睛】本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查了学生对基本函数的图象与性质的掌握情况.5．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则,p q 均为假命题；②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥”；④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件.其中正确的命题是（ ） A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③【答案】A【解析】①根据复合命题与简单命题之间的关系进行判断．②根据否命题的定义进行判断．③根据含有量词的命题的否定进行判断．④根据正弦定理及充要条件的定义进行判断． 【详解】解：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题，∴①错误．②根据命题的否命题可知，命题“若a ＞b ，则2a ＞2b ﹣1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b﹣1”，∴②正确．③特称命题的否定是全称命题，得③“∃x ∈R，x 2+1＜1”的否定是“∀x ∈R，x 2+1≥1”． ∴③正确．④在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔sin A •2R ＞sin B •2R ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，∴④正确； 故②③④正确； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，复合命题与简单命题之间的关系以及含有量词的命题的否定，充要条件的定义，比较基础．6．已知向量(3,2)a =-r，(1,)b m =r ，且()a b a +⊥r r r ，则m =（ ）A ．-8B ．-6C ．6D ．8【答案】D【解析】利用向量的加法与数量积运算即可得到结果. 【详解】∵向量(3,2)a =-r，(1,)b m =r ，∴()4,2a b m +=-r r，又()a b a +⊥r r r ，∴()12220m --=， ∴8m =， 故选：D 【点睛】本题考查平面向量的运算，考查向量垂直的等价条件，考查计算能力.7．已知各项均不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅=（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2【答案】A【解析】化简得到27704a a =-，计算得到74a =，再利用等比数列的性质得到21137b b a ⋅=得到答案.【详解】各项均不为0的等差数列{}n a ，223711777240204a a a a a a -+=∴=∴-=221137716b b b a ⋅===故选：A 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，意在考查学生对于数列性质的综合应用. 8．某组合体的三视图如图所示，外轮廓均是边长为2的正方形，三视图中的曲线均为14圆周，则该组合体的体积为（ ）A ．283π-B ．483π-C ．246π-D ．242π-【答案】B【解析】根据题意知：几何体为边长为2的正方体除去八个四八分之一半径为1的球形成的几何体，计算体积得到答案. 【详解】 根据三视图知：几何体为边长为2的正方体除去八个八分之一半径为1的球形成的几何体 故3442833V ππ=-=- 故选：B 【点睛】本题考查了三视图和几何体体积，判断几何体的形状是解题的关键. 9．函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =-对称 D ．关于直线7π12x =对称 【答案】C【解析】根据函数()f x 的最小正周期为π，求出ω，向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，求出ϕ，可得出()f x 的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴，由此判断即可求得答案. 【详解】根据三角函数的图象与性质2||Tπω=，可得||2ω=，因为0>ω，所以2ω= 所以()sin(2)f x x ϕ=+ 设()f x 的图象向左平移6π个单位后得到的函数为()g x 则()sin 2sin 2263g x x x ϕππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦若()g x 为奇函数，则(0)0g =,故3k πϕπ+=(k Z ∈)，即(),3k k Z πϕπ=-+∈因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由23x k ππ-=,(k Z ∈)解得62k x ππ=+,所以()f x 关于点,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,(k Z ∈)对称A 项，不存在整数k ，使得76212k πππ+=，故A 项错误； B 项，不存在整数k ，使得6212k πππ+=-，故B 项错误； 由232x k πππ-=+(k Z ∈)解得5122k x ππ=+,所以()f x 关于直线5122k x ππ=+(k Z ∈)对称 C 项，当1k =-时，12x π=-，故()f x 关于直线12x π=-对称，故C 项正确；D 项，不存在整数k ，使得5712212k πππ+=，故D 项错误. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心，对称轴的求法，涉及的知识点较多，综合性较强，属于中等题.10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，若对任意的12,x x R ∈，都有()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9[,3)4C ．()1,3D ．()2,3【答案】B【解析】由任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x ＞--0成立，得到函数f （x ）单调递增，从而列出不等式组，解不等式组组则可得答案． 【详解】解：∵对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x ＞--0成立，∴函数f （x ）单调递增， 又函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩， ∴()130733a a a a ⎧⎪-⎨⎪--≤⎩＞＞， 解得：1394a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥⎩＞＜．∴实数a 的取值范围是：94≤a ＜3． 故选：B ． 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，函数单调性的应用，属于中档题．11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，且以A 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C 两点，若BC b =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．23B ．433C ．2D ．72【答案】A【解析】由题意可知：ABC V 为边长为b 的等边三角形，即(),0A a 到渐近线的距离为3b，从而可得双曲线C 的离心率. 【详解】由题意可知：ABC V 为边长为b 的等边三角形， ∴(),0A a 到渐近线的距离为3b（等边三角形的高）， 设双曲线的一条渐近线为0by ax -=，∴2232ab b b a=+，即3ab b c =， ∴双曲线C 的离心率233e =， 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的转化能力与计算能力，属于中档题．12．如图，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD ，NB⊥平面ABCD ，且MD=NB=1，E 为MC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．平面BCE ⊥平面ABNB ．MC AN ⊥C ．平面CMN ⊥平面AMND ．平面BDE //平面AMN【答案】C【解析】将几何体补成正方体后再进行判断． 【详解】分别过A ，C 作平面ABCD 的垂线AP ，CQ ，使得AP=CQ=1，连接PM ，PN ，QM ，QN ，将几何体补成棱长为1的正方体．∵BC⊥平面ABN ，BC ⊂平面BCE ， ∴平面BCE⊥平面ABN ，故A 正确；连接PB ，则PB∥MC，显然PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B 正确； 取MN 的中点F ，连接AF ，CF ，AC ．∵△AMN 和△CMN 2 ∴AF⊥MN，CF⊥MN，∴∠AFC 为二面角A-MN-C 的平面角， 6，22+CF 2≠AC 2，即∠AFC≠2π，∴平面CMN 与平面AMN 不垂直，故C 错误； ∵DE∥AN，MN∥BD，∴平面BDE∥平面AMN ，故D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题，在解题时能运用补的思想将其补成一个正方体，然后求解二、填空题 13．已知函数23(0 x y aa -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log (3)f =______. 【答案】2【解析】根据指数函数过定点()0,1,求出函数23x y a -=+过定点()2,4.即可求出幂函数2()f x x =，代入 3log (3)f 即可得出答案. 【详解】函数23x y a -=+过定点()2,4.将()2,4代入幂函数()a f x x =，即(2)2=42af a =⇒=.所以233log (3)log 3=2f =.故填：2. 【点睛】本题考查指数型函数的定点、幂函数、对数恒等式,属于基础题.需要注意的是指数型函数的定点求法：令指数位置等于0.属于基础题.14．已知直线l ：()2y k x =-与圆221x y +=相切，则直线l 的倾斜角大小为__________． 【答案】30°或150︒【解析】利用圆心到直线的距离等于半径得到直线的斜率，进而得到直线的倾斜角. 【详解】∵直线l ：()2y k x =-与圆221x y +=相切，=1，解得k 3=±， ∴直线l 的倾斜角大小为30°或150︒， 故答案为：30°或150︒ 【点睛】本题主要考查直线和圆相切的应用，利用直线相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径进行求解是解决本题的关键．15．已知,,A B C 为直线l 上的不同三点，O 为l 外一点，存在实数(),0,0m n m n >>，使得4OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r成立，则14m n+的最小值为__________． 【答案】16【解析】由条件可得41m n +=，巧用“1”结合均值不等式得到最小值.【详解】∵,,A B C 为直线l 上的不同三点，且4OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r， ∴41m n +=，又0,0m n >>，∴()14141648816n m m n m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当16n m m n =即142n m ==时等号成立， ∴14m n+的最小值为16， 故答案为：16 【点睛】本题考查向量共线定理，考查了均值不等式求最值，属于常考题型. 16．已知点,O F 分别为抛物线21:4C y x =的顶点和焦点，直线314y x =+与抛物线交于,A B 两点，连接AO ，BO 并延长，分别交抛物线的准线于点,P Q ，则||||BP AQ +=__________．【答案】254【解析】直线与抛物线方程联立，求出,A B 坐标，进而得到,P Q 的坐标，从而得到结果. 【详解】联立方程：214314y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得：44x y =⎧⎨=⎩，或114x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 不妨设：()14,4,1,4A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭易得：()()1,1,4,1P Q ---， ∴525||||544BP AQ +=+=， 故答案为：254【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质，考查计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若36S =,且1a ，2a ，31a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2na n nb a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =.（2）(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据等差数列公式得到()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩，计算得到答案.（2）12nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）依题意，得()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩即()()2111121336a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得220d d +-=.∵0d >，∴1d =，11a =.∴数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-= 即数列{}n a 的通项公式n a n =. （2）1222nna nn n b a n n --⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，12n n T b b b =+++L 211221122nn ⎛⎫⎛⎫ ⎪=+++ +++⎪⎝⎭⎝⎭L ， ()231111122222n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L 11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-(1)1122n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．已知函数21()cos sin 22f x x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）若,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2125f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，2610f βπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值；（2）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足c =()1f C =,求+a b的取值范围.【答案】（1）2（2）【解析】（1）化简得到()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入数据计算得到sin α，cos α=，cos β=，sin β=，再利用和差公式展开得到答案.（2）根据()1f C =得到3C π=，利用余弦定理得到()233a b ab =+-，再利用均值不等式得到答案. 【详解】（1）1cos(2)1()222x f x x π-+=-+1cos 21122cos 222222x x x x +=-+=-sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵212f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴sin α=.∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴cos α=.∵26f βπ⎛⎫-=⎪⎝⎭,∴sin 2πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos β=∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴10sin 10β=. ∴531025102sin()sin cos cos sin 2αβαβαβ+=+=⨯+⨯=（2）∵()sin 26f C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,∴sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵(0,)C π∈,∴112,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,∴262C ππ-=,即3C π=. ∵2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-,∴()233a b ab =+-∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取“=”. ∴2222313()3()()()44a b ab a b a b a b =+-≥+-+=+ ∴()212a b ≥+，即23a b +≤，当且仅当a b =时取“=”. 又∵3a b c +>=，∴+a b 的取值范围是(3,23]. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，,D E 分别是线段AB ，1BB 的中点.（1）证明：1BC P 平面1A CD ；（2）当三棱柱的各棱长均为2时，求三棱锥1C A DE -的体积.【答案】（1）证明见解析；（23【解析】（1）连接1AC 与1A C 相交于点F ，连接DF ，易得1DF BC P ，从而得证；【详解】（1）证明：连接1AC 与1A C 相交于点F ，连接DF ， 由侧面11ACC A 为平行四边形可得F 是线段1AC 的中点， 又因为D 是线段AB 的中点，∴1DF BC P ， ∵1BC ⊄平面1A DC ，DF ⊆平面1A DC ， ∴1BC P 平面1A CD .（2）∵1AA ⊥平面ABC ，CD ⊆平面ABC ，∴1AA CD ⊥ ∵AC BC =，D 是线段AB 的中点，∴AB CD ⊥∵1AB AA A =I ，1,AB AA ⊆平面11A ABB ，∴CD ⊥平面11A ABB ， ∴线段CD 为三棱锥1C A DE -的高， ∵2AB BC AC ===，∴3CD =，∵1AA ⊥平面ABC ，AB ⊆平面ABC ，∴1AA AB ⊥， ∵三棱柱的各棱长均为2，∴四边形11A ABB 为正方形， ∴11113221211122222A DE S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， ∴11113333322A DE C A DE V S CD ∆-=⨯⨯=⨯⨯=三棱锥【点睛】本题考查线面平行的证明，三棱锥体积的计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.20．已知点()2,0P 为平面内一定点，动点(),M x y 为平面内曲线C 上的任意一点，2222(2)(2)4x y x y -+++=，过原点的直线交曲线C 于,A B 两点. （1）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）设直线PA ，PB 交直线3x =于E 、F 两点，求线段EF 长度的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】（1）由题意可知点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，设()11,A x y ，则()11,B x y --，可得21112111224PA PBy y y k k x x x -⨯=⨯=----，利用点在椭圆上可得定值； （2）由（1）可设直线PA ：()2y k x =-，则直线PB ：()122y x k=--，分别求出E 、F 的坐标，表示线段EF 长度，利用均值不等式求最值即可.【详解】（1）设1(F，2F ， 由题意可知124MF MF +=，且124F F =<，所以，点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，且长轴长为4，焦距为 即2a =，c =b =所以，曲线C 的轨迹方程为22142x y +=.由已知,A B 两点关于原点对称，不妨设()11,A x y ，则()11,B x y --， 所以，21112111224PA PBy y y k k x x x -⨯=⨯=----， 又因为，点A 在曲线C 上，所以，2211142x y +=，解得，22211142142x x y ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭， 所以，2121142y x =--， 所以，直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值12-. （2）由第（1）可得，12PA PB k k ⨯=-， 所以，不妨设直线PA ：()2y k x =-，则直线PB ：()122y x k =--， 将3x =分别代入直线PA ，直线PB 的方程得，()3,E k ，13,2F k ⎛⎫-⎪⎝⎭， 11||||22EF k k k k=+=+，因为，||0k >，所以，11||2||222k k k k+≥⨯=， 当且仅当1||||2k k =，即2k =±时，取得最小值2. 【点睛】本题考查定义法求椭圆方程，椭圆中的定值问题与最值问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题． 21．已知函数，斜率为的直线与相切于点.（Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当实数时，讨论的极值点。
黑龙江省2020届高三第二次模拟考试数学文科试题
2020届第二次模拟考试试题文科数学考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一．选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合}22|{,<<-==x x B Z A ，则=B A I （ ）A. }0,1,2{--B. }2,1,0,1,2{--C.}1,0,1{-D.}2,1,0{ 2.复数i z 23-=的虚部为（ ） A. 2 B.2- C. i 2- D.i 23.为了落实“精准扶贫”工作，县政府计划从4名男干部，2名女干部共6名干部中选2人去贫困村开展工作，则至少有一名女干部被选中的概率（ ）A .53B .158C .52D .324.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若2,32==a b ，2sin 3cos =+B B ，则角A =（ ）A.3πB.6π或65πC. 65πD.6π5.已知函数x x x f sin 2)(+-=，若)3(3f a =，)2(--=f b ，)7(log 2f c =，则c b a ,,的大小关系为（ ）A .c b a << B. a c b << C.b a c << D .b c a << 6.若b a ,是不同的直线，βα,是不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A.若b a b a ⊥,//,//βα，则βα⊥ B.若b a b a //,//,//βα，则βα// C.若b a b a //,,βα⊥⊥，则βα//D.若b a b a ⊥⊥,,//βα，则βα// 7.下列结论中正确的是（ ）（1）3-=m 是直线01)1(:1=+++y m mx l 和直线022:2=++my x l 垂直的充分不必要条件 （2）在线性回归方程中，相关系数r 越大，变量间的相关性越强 （3）命题“xxx 32],0,(≤-∞∈∃”是真命题（4）若命题),0(:+∞∈∀x p ，x x ln 1>-，则]0,(:0-∞∈∃⌝x p ，00ln 1x x ≤- A.（1）（4） B.（1）（2） C. （2）（3） D .（1）（3）8.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有 2 个货物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以此类推，记第n 层货物的个数为na ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n n )2(的前2020项和为（ ） A.60692020 B.60694040 C.20232020 D.202340409.已知双曲线122=-y x 的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则||||PF PA +的最小值为（ ）A. 32B.3C. 2D.510.已知函数⎩⎨⎧≤->-=0,120,)(2x x a x x f x,若不等式01)(≥+x f 在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.),1[+∞-B.]1,(-∞C.]1,1[-D.)1,(-∞11.已知21F F 、分别是曲线:C )0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，点P 是曲线C 上的点，且ο6021=∠PF F ，若坐标原点O 到线段1PF 的距离等于b43，则该椭圆的离心率为（ ）A. 613B.22C.713D.4712已知偶函数)(x f 满足)3()3(x f x f -=+，且当]3,0[∈x 时，12)(2++-=x x x f ，若关于x 的方程03)()(2=--x tf x f 在]150,150[-上有300个解，则实数t 的取值范围是（ ）A.⎪⎭⎫⎝⎛-21,2B.⎪⎭⎫⎝⎛-21,21C.()+∞-,2 D.⎪⎭⎫⎝⎛∞-21,二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省2020届高三数学10月第二次调研考试试题 文(含解析)
黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三数学10月第二次调研考试试题 文（含解析）一：选择题。
1.已知集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，则AB =( ).A. ()23，B. [)23， C. []42-，D. ()43-，【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式的解集，化简集合A 的表示，最后运用集合交集的定义，结合数轴求出A B .【详解】因为{}{}228024A x x x A x x x =+-≥⇒=≥≤-或，所以23[2,3)B x A ≤<==，故本题选B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的运算，正确求解一元二次不等式的解集、运用数轴是解题的关键.2.若()()12z i i =+-，则复数z 的实部与虚部之和为（ ） A. 1 B. -1 C. -2 D. -4【答案】D 【解析】 【分析】利用复数相乘化简得3z i =--，得到复数z 的实部与虚部之和为4-.【详解】()()212223z i i i i i i =+-=-+-=--，所以复数z 实部为3-，虚部为1-，所以和为4-， 故选D.【点睛】本题考查复数的乘法运算、复数实部和虚部的概念，考查基本运算求解能力.3.下列函数中，与函数13x y =的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是（ ） A. 21y x =- B. 1y x=-C. 31y x =-D.2log y x =【答案】A 【解析】 【分析】 先从解析式13x y =得到函数为偶函数，且在(),0-∞上单调递增，与函数21y x =-奇偶性与单调性均相同. 【详解】因函数13x y =为偶函数，排除B,C ； 当0x <时，133x x y ==，所以函数在(),0-∞上单调递增，与函数21y x =-在(),0-∞单调性相同，故选A.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的性质，考查数形结合思想的应用，特别注意偶函数在y 轴两边的对称性相反.4.已知11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且114a =，41a =，则11a =（ ）A. -12B. -11C. -6D. -5【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第一项和第四项求得公差110d =-，再求出数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第11项，进而求出116a =-.【详解】因为数列11na⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，所以公差4111141254131101da a--+-=-+==，所以111114111010115105da a⎛⎫=+=+⋅-=-⎪++⎝⎭，解得：116a=-，故选C.【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本量法，求解过程中要注意整体思想的应用.5.已知菱形ABCD的边长为2，60BAD∠=︒,点E是BD上靠近D的三等分点，则AE AB⋅=（）A.83B.43C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】取,AB AD为基底，1233AE AB AD=+，再把AE AB⋅转化成基底运算.【详解】如图，作//NE AB，//EM AD，因为E是BD上靠近D的三等分点，所以,M N也都是三等分点，所以1233AE AM AN AB AD=+=+，AE AB⋅=22121218222333323AB AD AB+⋅=⋅+⋅⋅⋅=，故选A.【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用，考查数形结合思想，求解过程中要注意基底选择的合理性，即一般是选择模和夹角已知的两个向量作为基底.6.在ABC∆中，角A B C，，的对边分别是a b c，，，若sin3cos0b A a B-=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ）B.2C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值。
2020年高考模拟试卷黑龙江哈尔滨三中高考(文科)数学模拟试卷(二) 含解析
2020年高考模拟试卷高考数学模拟试卷（文科）（二）一、选择题1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．4．某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是（）A．125B．45C．5D．35．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数7．小赵和小王约定在早上7：00至7：15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7：05，7：15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．B．C．D．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上. 13．若复数z＝1+i，则＝．14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是．16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是．三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．已知正项数列满足4S n＝a n2+2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在185cm 以上（含185cm）的两人作为队长，求这两人在同一组的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为P，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若三棱锥B﹣PED的体积v，求a的取值范围．20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx，（1）若a＝0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）【分析】通过绝对值不等式求解集合A，指数不等式的求解求出集合B，然后求解交集．解：因为集合A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}∩{x|﹣1＜x＜2}＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：B．2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等差数列的求和公式表示出S n，整理后，得到等差数列的S n为关于n的二次函数，利用配方法，即可确定数列的最大项．根据d小于0，可得此函数图象为开口向下的抛物线，函数有最大值，从而利用二次函数求最值的方法即可得出S n的最大值，即为{S n}中的最大项；反之也然．解：由等差数列的求和公式得：S n＝na1+d，整理得：S n＝0.5dn2+（a1﹣d）n，当d＜0，∴等差数列的S n为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，∴S n有最大值；反之，当数列{S n}有最大项时，则S n为二次函数，且图象是开口向下的抛物线，从而d ＜0．故选：A．3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．【分析】利用数量积和三角形的内角和定理、诱导公式即可化简，再利用三角形内特殊角的三角函数值即可得出．解：∵＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），∴＝cos A cos B﹣sin A sin B＝cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C，∴，得cos C＝﹣．∵0＜C＜π．∴．故选：B．4．某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是（）A．125B．45C．5D．3【分析】已知茎叶图，读出数据114，126，128，132，代入方差计算公式，可得答案．解：已知某同学进入高二后，四次月考的数学成绩的茎叶图可得该同学四次考试成绩分别为114，126，128，132，则该同学数学成绩的平均数为＝125，方差＝[（114﹣125）2+（126﹣125）2+（128﹣125）2+（132﹣125）2]＝45．故选：B．5．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．解：如图所示，分别取BC、B1C1的中点O、O1，由正三棱柱的性质可得AO、BO、OO1令两垂直，建立空间直角坐标系．∵所有棱长都为2，∴A，B（0，1，0），B1（0，1，2），C1（0，﹣1，2）．∴，∴＝＝＝．∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：B．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为f（x）＝2sin（ωx﹣），由题意可得＝，解得ω的值，即可确定函数的解析式为f（x）＝2sin（2x﹣），由此求得周期，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间，从而得出结论．解：∵函数＝2[sin（ωx﹣cosωx]＝2sin（ωx ﹣），∴函数的周期为．再由函数图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，可得＝，解得ω＝2，故f（x）＝2sin（2x﹣）．故f（x）＝2sin（2x﹣）的周期为＝π．由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故函数在上为单调递增函数，故选：C．7．小赵和小王约定在早上7：00至7：15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7：05，7：15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出图形，由几何概型能求出小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率．解：小赵和小王约定在早上7：00至7：15之间到某公交站搭乘公交车去上学，在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7：05，7：15，他们约定见车就搭乘，作出图形，由几何概型得：小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为：P＝＝．故选：C．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．【分析】设抛物线的准线与x轴的交点为D，F为线段AB的中点，进而可知|AF|和|AB|，推断出AF|＝|AB|，求得∠ABC，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，∴∠ABC＝30°，||＝2p，＝4p×2p cos30°＝36，解得p＝，∴抛物线的方程为y2＝2x．故选：D．9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得＝2（λ﹣μ）+μ，由E、M、C三点共线，可得2λ﹣μ＝1，①同理可得＝，由D、M、F三点共线，可得λ+μ＝1，②，综合①②可得数值，作乘积即可．解：由题意可知：E为AB的中点，F为BC的三等分点（靠近B）故＝＝＝（λ﹣μ）+μ＝2（λ﹣μ）+μ，因为E、M、C三点共线，故有2（λ﹣μ）+μ＝1，即2λ﹣μ＝1，①同理可得＝＝＝，因为D、M、F三点共线，故有λ+（μ）＝1，即λ+μ＝1，②综合①②可解得λ＝，，故实数λ与μ的乘积＝故选：B．10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元【分析】根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，由等比数列的通项公式可得，进而计算可得m与a4的值，即可得答案．解：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，则有，则有a2+a4＝32580，则有1﹣m＝0.9，则m＝0.1＝10%，则有+a4＝32580，解可得a4＝14580，即“衰分比”为10%，丁所获得的奖金14580，故选：B．11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）【分析】依题意，可得m，n满足的约束条件，进而作出图形，利用图象即可得解．解：y′＝x2+mx+m+n，依题意，y′＝0的两个根为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），∴，平面区域D表示的图形如下图所示，注意到直线m+n＝0与直线2m+n+1＝0的交点P（﹣1，1），当函数y＝log a（x+4）过点P时，即log a3＝1，解得a＝3，要使函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，由图可知，a＜3，又a ＞1，故实数a的取值范围为（1，3）．故选：B．12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】求两个曲线上不同两点的距离的最小值，显然没法利用两点间的距离公式计算，可结合函数y＝e x上的点关于y＝x的对称点在其反函数的图象上把问题转化为求曲线y ＝lnx上的点与上的点到直线y＝x的距离之和最小问题，而与y＝x平行的直线同时与曲线y＝lnx和切于同一点（1，0），所以PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍．解：如图，因为y＝e x的反函数是y＝lnx，两个函数的图象关于直线y＝x对称，所以曲线y＝e x上的点P到直线y＝x的距离等于在曲线y＝lnx上的对称点P′到直线y ＝x的距离．设函数f（x）＝lnx﹣1+，＝，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）＝0，则当x＞0时，除（1，0）点外函数y＝lnx的图象恒在y＝1﹣的上方，在（1，0）处两曲线相切．求曲线y＝e x上的点P与曲线y＝1﹣上的点Q的距离的最小值，可看作是求曲线y＝lnx 上的点P′与Q点到直线y＝x的距离的最小值的和，而函数y＝lnx与y＝1﹣在x＝1时的导数都是1，说明与直线y＝x平行的直线与两曲线切于同一点（1，0）则PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍，所以|PQ|的最小值为．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.13．若复数z＝1+i，则＝﹣1．【分析】利用共轭复数和复数的运算法则即可得出．解：∵复数z＝1+i，∴，∴＝＝﹣1．故答案为﹣1．14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．【分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知PF的斜率，设出P的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则P的坐标可知，进而求得中点的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．解：由题意设F（c，0）相应的渐近线：y＝x，则根据直线PF的斜率为﹣，设P（x，x），代入双曲线渐近线方程求出x＝，则P（，），则PF的中点（），把中点坐标代入双曲线方程＝1中，整理求得＝，即离心率为故答案为：．15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是（2，3]．【分析】由余弦定理求得cos C，代入已知等式可得（b+c）2﹣1＝3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．解：△ABC中，由余弦定理可得2cos C＝，∵a＝1，2cos C+c＝2b，∴+c＝2b，化简可得（b+c）2﹣1＝3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b＝c时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a＝1，故有a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故答案为：（2，3]．16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是[0，1]．【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）＝，当直线与x轴重合时，P（M）＝1；直线的斜率范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．已知正项数列满足4S n＝a n2+2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由，可知当n≥2时，，两式作差可得a n﹣a n﹣1＝2（n≥2），再求出首项，代入等差数列的通项公式可得数列{a n}的通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n＝，再由裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由，可知当n≥2时，，两式作差得a n﹣a n﹣1＝2（n≥2），又，得a1＝1，∴a n＝2n﹣1；（2）由（1）知，，∴T n＝b1+b2+…+b n＝＝．18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在185cm 以上（含185cm）的两人作为队长，求这两人在同一组的概率．【分析】（1）根据已知中的频率分布直方图，我们分别求出180cm以上各组矩形的高度和，乘以组距即可得到高在180cm以上（含180cm）的频率，再乘以样本容量即可得到高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）设[185，190]组中三人为a，b，c；[190，195]组中两人为m，n．列举出所有的可能性及其中满足条件的事件数，代入古典概型概率公式，可得答案．解：（1）前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5＝0.82∴后三组频率为1﹣0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9∴这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）人数1000×0.18＝180人（2）设[185，190]组中三人为a，b，c；[190，195]组中两人为m，n则所有的可能性为（a，b），（a，c），（b，c），（m，n），（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n）…其中满足条件的为（a，b），（a，c），（b，c），（m，n）…故p＝，即为这两人在同一组的概率…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为P，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若三棱锥B﹣PED的体积v，求a的取值范围．【分析】（1）通过证明AE⊥平面BEF，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABE ⊥平面BEF；（2）设PA＝a，利用三棱锥B﹣PED的体积V＝V B﹣CED＝V E﹣BCD，求出三棱锥B﹣PED 的体积，结合V，即可求a的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）因为AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，F分别为CD的中点，DE＝EC．∴ABCD为矩形，AB⊥BF…∵DE＝EC∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF，∵BF∩EF＝F，∴AE⊥平面BEF，AE⊂面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF…（Ⅱ）∵DE＝EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD，又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA，PA⊥面ABCD…三棱锥B﹣PED的体积V＝V B﹣CED＝V E﹣BCD，S△BCD＝＝2，E到面BCD的距离h＝V B﹣CED＝V E﹣BCD＝×∈…可得a．…12 分20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx，（1）若a＝0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（2）由已知，求得f（x）＝x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x恒成立转化为恒成立．构造函数，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．解：（1）当a＝0时，f（x）＝x﹣xlnx，函数定义域为（0，+∞）．f'（x）＝﹣lnx，由﹣lnx＝0，得x＝1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由f（1）＝2，得a+1＝2，∴a＝1，∴f（x）＝x2+x﹣xlnx，由f（x）≥bx2+2x，得（1﹣b）x﹣1≥lnx，又∵x＞0，∴恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令，可得，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．∴g（x）min＝g（1）＝0即b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．【分析】（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R，由已知条件推导出|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6，从而圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C 的方程．（II）设直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3，由，能求出|OQ|2，由，能求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|2的比值为常数．（III）由△QF2M的面积＝△OF2M的面积，能求出S＝S1+S2的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R由于动圆P与圆相切，且与圆相内切，所以动圆P与圆只能内切∴，∴|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6…∴圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝8，2c＝6，∴a＝4，c＝3，b2＝a2﹣c2＝7故圆心P的轨迹C：．…（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3由，得：，∴，∴…由，得：（7m2+16）y2+42my﹣49＝0，∴，∴＝＝＝…∴，∴|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为…（III）∵MN∥OQ，∴△QF2M的面积＝△OF2M的面积，∴S＝S1+S2＝S△OMN∵O到直线MN：x＝my+3的距离，∴…令，则m2＝t2﹣1（t≥1），∵（当且仅当，即，亦即时取等号）∴当时，S取最大值…（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标，和圆的标准方程，即可求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）分别求出直线的标准方程，利用直线和圆的位置关系即可求直线l被圆C所截得的弦长．解：（Ⅰ）∵圆C的圆心是，∴x＝ρcosθ＝＝1，y＝ρsinθ＝＝1，即圆心坐标为（1，1），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，x2﹣2x+y2﹣2y＝0圆C的极坐标方程为：；（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为，∴ρsinθ+ρcosθ＝1+，即，圆心到直线距离为，圆半径为．故弦长为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）＞0的解集；（2）构造函数g（x）＝f（x）﹣3，关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立⇔a＜f（x）﹣3恒成立⇔a＜g（x）min，先求得f（x）min，再求g（x）min即可．解：（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|＝，∵f（x）＞0，∴①当x＜﹣时，﹣x﹣4＞0，∴x＜﹣4；②当﹣≤x≤3时，3x﹣2＞0，∴＜x≤3；③当x＞3时，x+4＞0，∴x＞3．综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（，+∞）…（2）由（1）知，f（x）＝，∴当x≤﹣时，﹣x﹣4≥﹣；当﹣＜x＜3时，﹣＜3x﹣2＜7；当x≥3时，x+4≥7，综上所述，f（x）≥﹣．∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，∴a＜f（x）﹣3恒成立，令g（x）＝f（x）﹣3，则g（x）≥﹣．∴g（x）min＝﹣．∴a＜g（x）min＝﹣。
2020年黑龙江省高考数学(文科)模拟试卷(2) 含详细答案解析
1+??
2．（ 5 分）已知 i 为虚数单位， a， b∈R，复数 2-?? - i ＝ a+bi ，则 a﹣ bi＝（
）
12 A ． - ??
55
12 B ． + ??
55
21 C． - ??
55
21 D． + ??
55
3．（ 5 分）生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域
PM 2.5 主要来自工业和民用污染，
100
户居民进行调查，发现每户的用气量都在
150 立方米到 450 立方米之间，得到如图所示
的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间
[300 ， 350）的户数为（
）
A ．5
B ．15
C． 20
D． 25
→→
→
→
→→ →
→
→→
4．（ 5 分）已知平面向量 ??，??满足 |??| = 2， |??| = 1 ，且 (2??- ??) ?(??+ 2??) = 9 ，则向量 ??，??
取回，则取回的钱的总数为（
）
17
A ．a（ 1+ r）
B．
?? [（
1+r）
17﹣（
1+
r）
]
??
C． a（ 1+ r） 18
D．
?? [（
1+r） 18﹣（
1+r）
]
??
12．（ 5 分）设函数 f（ x）＝ alnx+bx2（ a＞ 0，b＞ 0），若函数 f（ x）的图象在 x＝ 1 处的切线
2020 年黑龙江省高考数学（文科）模拟试卷（ 2）
2020年黑龙江省实验中学联盟校高考数学二模试卷(文科)
2020年黑龙江省实验中学联盟校高考数学二模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|3x ≥−2}，B ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {−3,−2,−1}C. {−3,−2,0，1，2，3}D. {−3,−2,1，2，3}2. 已知i 为虚数单位，复数z 1=2−i i，z 2=a +i(a ∈R).若z 3=|z 1|+z 2，则z 3的实部为( )A. aB. √5+aC. √5D. 13. 平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A. −√55B. √55C. −1D. 14. 在平面直角坐标系内，直线l ：3x −2y +6=0，将l 与两坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为( )A. 12πB. 6πC. 4πD. 45. 若cos(π2−α)=−45，α∈(−π2,0)，则sin2α1+cos2α=( )A. −43B. 43C. −34D. 346. 我校甲、乙、丙三名语文老师和A ，B ，C 三名数学老师被派往某县城一中和二中支教，其中有一名语文老师和一名数学老师被派到了一中，其它老师都去二中支教，则甲与C 被派到同一所学校的概率为( )A. 518B. 59C. 118D. 197. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为( )A. 15.5尺B. 12.5尺C. 9.5尺D. 6.5尺8. 若曲线y =lnx 在x =1处的切线也是y =e x +b 的切线，则b =( )A. −1B. −2C. 2D. −e9. 如图是省实验高三学年人数相同的四个班级某次地理考试成绩的频率分布直方图，其中标准差最小的是( )A.B.C.D.10. 设双曲线C ：x 28−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上，若点F 2在线段MN 的中垂线上，则MN =( )A. 8√2B. 8C. 4√2D. 411. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为4，点E 为边BC 的中点，动点M 在正方体表面上运动，并且总保持ME ⊥BD 1，则动点M 的轨迹的周长为( )A. 3√2B. 6C. 6√2D. 12√212. 若f(x)为偶函数，对任意x ∈R ，f(1−x)=f(1+x)恒成立，且当−1≤x ≤0时，f(x)=2(1−x)(1+x).则方程f(x)=log 9x 2根的个数为( )A. 6B. 8C. 12D. 16二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 实数x ，y 满足{y ≥0x −y ≥02x −y −2≤0，则z =x +3y −1的最大值是______．14. 已知数列{a n }为正项的递增等比数列，a 1+a 6=12，a 2a 5=20，则a 20−a 19a 10−a 9值为______．15. 已知直线l ：y =k(x +p2)(k >0)与抛物线C ：y 2=2px 相交于A 、B 两点，抛物线C 的准线与x 轴的交点为C ，且满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则k 的值是______． 16. 已知函数f(x)=xe x ，g(x)=lnx x，若存在m ∈R ，n ∈(0,+∞)使得f(m)=g(n)<0成立，则mn 最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中c =2√3，且(2√3+b)(sinC −sinB)=(a −b)sinA ．(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的周长的范围．18.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上90______ ______60岁以下______ ______ 140合计______ ______ 300(3)研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分层选取7位60岁以下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．附表及公式：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠D=π2，BC=3，AD=DC=1.把△ACD沿着AC翻折至△ACD1的位置，构成三棱锥V D1−ABC如图2．(1)当BD1=2√2时，证明：CD1⊥AB；(2)当三棱锥D1−ABC的体积最大时，求点B到平面ACD1的距离．20.已知函数f(x)=xlnx−a2x2(a∈R)．(1)若a=2且ℎ(x)=f(x)x，求ℎ(x)的单调区间；(2)若g(x)=f(x)+(a−1)x在x=1处取得最大值，求实数a的取值范围．21.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，左右焦点分别为F1、F2，过右顶点A且斜率为12的直线与椭圆C交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1．(1)求椭圆C的方程；(2)若D(−2,0)，直线l ：y =k(x −1)(k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，设直线DE ，DF 的斜率分别为k 1和k 2，若1k 1，λk，1k 2成等差数列，求λ的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π)，曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cosφy =1+√3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2的交点分别为A ，B ，M(−2,0)，求|MA|2+|MB|2的最大值及此时直线C 1的倾斜角．23. 已知函数f(x)=|2x −1|+|x +1|．(1)求不等式f(x)≤x +2的解集；(2)若函数y =f(x)的最小值记为m ，设a >0，b >0，且有a +b =m.求1a+1+2b+2的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A ={x|3x ≥−2}={x|x ≤−32或x >0}， B ={−3,−2,−1,0，1，2，3}， ∴A ∩B ={−3,−2,1，2，3}． 故选：D ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z 1=2−i i=(2−i)(−i)−i 2=−1−2i ，又z 2=a +i ，∴z 3=|z 1|+z 2=√5+a +i ， 则z 3的实部为√5+a ． 故选：B ．利用复数代数形式的乘除运算化简z 1并求模，求得z 3=|z 1|+z 2，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由题意可得A =(−2,−1)，B(0,1)， 可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5， ∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5=−√55． 故选：A ．求出A ，B 的坐标，进而可求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，可求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，代入投影公式计算即可． 本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：直线l ：3x −2y +6=0中，令x =0，得y =3，令y =0，得x =−2； 所以直线l 与两坐标轴围成直角三角形AOB ，如图所示；△AOB 绕y 轴旋转一周，所得几何体是底面半径为2，高为3的圆锥， 则该圆锥的体积为V =13π⋅22⋅3=4π． 故选：C ．求出直线l 与两坐标轴围成直角三角形，得出三角形绕y 轴旋转一周，所得几何体是圆锥，计算圆锥的体积即可． 本题考查了直线方程与旋转体的体积计算问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵cos(π2−α)=−45，α∈(−π2,0)， ∴sinα=−45，cosα=√1−sin 2α=35，∴sin2α1+cos2α=2sinαcosα2cos α=sinαcosα=−43．故选：A ．由已知利用诱导公式可求sinα的值，根据同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角公式化简所求即可计算求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：我校甲、乙、丙三名语文老师和A ，B ，C 三名数学老师被派往某县城一中和二中支教， 其中有一名语文老师和一名数学老师被派到了一中，其它老师都去二中支教，基本事件总数n =C 31C 31=9，甲与C 被派到同一所学校包含的基本事件个数m =C 22+C 22C 21C 21=5，则甲与C 被派到同一所学校的概率为p =m n=59．故选：B ．基本事件总数n =C 31C 31=9，甲与C 被派到同一所学校包含的基本事件个数m =C 22+C 22C 21C 21=5，由此能求出甲与C 被派到同一所学校的概率．本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：∵从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{a n }，设其公差为d ，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，∴{a 1+a 4+a 7=3a 1+9d =37.5a 12=a 1+11d =4.5解得d =−1，a 1=15.5．∴a 10=a 1+9d =15.5−9=6.5， 立夏的日影子长为15.5尺． 故选：D ．利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出立夏的日影子长．本题考查等差数列的首项的求法和等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由y =lnx 得y′=1x ，故y′|x=1=1，切点坐标为A(1,0)， 故切线方程为y =x −1．设y =e x +b 的切点为B(m,e m +b)，∵y′=e x ，∴e m =1，所以m =0，将m =0代入切线方程得B(0,−1)， 将B(0,−1)代入y =e m +b 得：−1=e 0+b ，得b =−2． 故选：B ．先求出y =lnx 在x =1处的切线方程，然后再根据切点处的导数等于切线斜率求出y =e x +b 切点的横坐标，将横坐标代入切线方程求出切点坐标，最后代入y =e x +b 求出b 的值．本题考查导数的几何意义，切线方程的求法以及切点满足的性质，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：选项A ，E(x)=55×0.02×10+65×0.02×10+75×0.02×10+85×0.02×10+95×0.02×10=75，方差D(x)=0.2×(55−75)2+0.2×(65−75)2+0.2×0+0.2×(85−75)2+0.2×(95−75)2=200； 选项B ，E(x)=55×0.01×10+65×0.03×10+75×0.02×10+85×0.03×10+95×0.01×10=75， 方差D(x)=0.1×(55−75)2+0.3×(65−75)2+0.2×0+0.3×(85−75)2+0.1×(95−75)2=140；选项C，E(x)=55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.04×10+85×0.02×10+95×0.01×10=75，方差D(x)=0.1×(55−75)2+0.2×(65−75)2+0.4×0+0.2×(85−75)2+0.1×(95−75)2=120；选项D，E(x)=55×0.03×10+65×0.01×10+75×0.02×10+85×0.01×10+95×0.03×10=75方差D(x)=0.3×(55−75)2+0.1×(65−75)2+0.2×0+0.1×(85−75)2+0.3×(95−75)2=260．因为方差小的标准差也小，120<140<200<260，所以C的标准差最小．故选：C．根据期望和方差公式求出每一个班级的方差即可得结果．本题主要考查期望和方差的计算，意在考查学生对基础知识的理解掌握水平和分析推理能力，是基础题．10.【答案】A【解析】解：如图，由双曲线方程可得a=2√2．由双曲线的定义可知：|F2M|−|F1M|=2a=4√2，|F1N|−|F2N|=2a=4√2，∴|F2M|=|F1M|+4√2，|F1N|=|F2N|+4√2，∵点F2在线段MN的中垂线上，∴|F2M|=|F2N|，∴|F1N|=|F1M|+8√2，∴|MN|=|F1N|−|F1M|=8√2．故选：A．由已知双曲线方程求得a，根据双曲线的定义得出|F1M|和|F1N|的值，再由点F2在线段MN的中垂线上得|F2M|= |F2N|，由此即可求得|MN|．本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由正方体的特点可知BD1⊥平面ACB1，点E为边BC的中点，在AB，BB1上分别取点P，Q，分别是所在棱的中点，连接PE，PQ，EQ，则PE//AC，EQ//B1C，∴平面AB1C//平面PEQ，∴BD1⊥平面PEQ，∴M的轨迹为△PEQ．∵正方体棱长为4，∴AC=4√2，∴PE=1AC=2√2，2∴△PEQ的周长为3PE=6√2．故选：C．在AB，BB1上分别取点P，Q，分别是所在棱的中点，则M的轨迹为△PEQ，然后求出轨迹的长．本题考查了棱柱的结构特征，线面垂直的判定定理，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：由f(x)为偶函数且对任意x∈R，f(1−x)=f(1+x)恒成立，得函数f(x)关于直线x=0对称，和关于直线x=1对称，所以函数的周期T=2|0−1|=2，f(x)=log9x2=log3|x|(x≠0)，因为函数y=f(x)和函数y=log3|x|都是偶函数，故只需考虑当x∈(0,+∞)时函数y=f(x)和函数y=log3|x|图象交点的个数，最后再乘以2即得答案，又因为当−1≤x≤0时，f(x)=2(1−x)(1+x)，画出函数y=f(x)和函数y=log3|x|在区间(0,+∞)上的图象如下图，可知两个函数的图象在y轴的右边有8个交点，故函数函数y=f(x)和函数y=log3|x|图象交点的个数为8×2=16个，即方程f(x)=log9x2根的个数为16个．故选：D．利用已知条件画出两个函数的图象，判断交点个数即可．本题考查函数的图象的应用，零点个数的应用，考查数形结合以及计算能力．13.【答案】7【解析】解：实数x ，y 满足{y ≥0x −y ≥02x −y −2≤0的可行域如图：z =x +3y −1化为：y =−13x +13z +13，平移直线y =−13x ，当平移后的直线经过A 时，在y 轴上的截距取得最大值，此时z 取得最大值；由{x −y =02x −y −2=0，解得A(2,2)， z =x +3y −1的最大值是：2+6−1=7． 故答案为：7．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义转化求解即可． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14.【答案】25【解析】解：∵数列{a n }为正项的递增等比数列，a 1+a 6=12，a 2a 5=20， ∴{ a 1+a 1q 5=12a 1q ⋅a 1q 4=20a n >0q >1，解得a 1=2，q 5=5， ∴a 20−a 19a 10−a 9=a 1q 19−a 1q 18a 1q 9−a 1q 8=q 10=25．故答案为：25．利用等比数列通项公式求出a 1=2，q 5=5，a 20−a19a 10−a 9=a 1q 19−a 1q 18a 1q 9−a 1q 8=q 10，由此能求出结果．本题考查等比数列的通项公式的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】2√2p 3p【解析】解：由抛物线的方程的准线与x 轴的交点C(−p2,0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得A 是B ，C 的中点， 所以2x 1=x 2−p2，即x 2=2x 1+p2，联立直线与抛物线的方程{y =k(x +p2)y 2=2px ，整理可得k 2x 2+p(k 2−2)x +k 2p4=0， 则△=p 2(k 2−2)2−4k 2⋅k 2p 24>0，即k 2<1，又k >0，所以0<k <1；且x 1+x 2=−p(k 2−2)k 2=−p +2k 2，x 1x 2=p 24，所以可得{3x 1+p2=−p +2k 2(2x 1+p 2)x 1=p 24，整理可得：k 2=89p ，k >0，所以k =2√2p3p，故答案为：2√2p 3p．由题意可得C 的坐标，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得A 为B ，C 的中点，可得A ，B 的坐标的关系，设A ，B 的坐标，直线l 与抛物线联立求出两根之和及两根之积，整理可得k 的值．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，向量的运算性质，属于中档题．16.【答案】−1e【解析】解：f(x)=xe x =lne x e x=g(e x )，g(x)=lnx x的定义域是(0,+∞)，g′(x)=1−lnx x ，令g′(x)>0，解得：0<x <e ，令g′(x)<0，解得：x >e ， 而g(1)=0，g(e)>0，故x ∈(0,1)时，g(x)<0，x ∈(1,+∞)时，g(x)>0， 若存在m ∈R ，n ∈(0,+∞)使得f(m)=g(n)<0成立， 则0<n <1且g(n)=f(m)=g(e m )， ∴n =e m 即m =lnn ， 则mn =n ⋅lnn ，n ∈(0,1)， 令ℎ(x)=xlnx ，x ∈(0,1)， 则ℎ′(x)=lnx +1，令ℎ′(x)>0，解得：x >1e ，令ℎ′(x)<0，解得：0<x <1e ， 故ℎ(x)在(0,1e )递减，在(1e ,1)递增， 故ℎ(x)min =ℎ(1e )=−1e ， 故mn 的最小值是−1e ， 故答案为：−1e ．求出f(x)=g(e x )，得到g(n)=f(m)=g(e m )，求出m =lnn ，则mn =n ⋅lnn ，n ∈(0,1)，令ℎ(x)=xlnx ，x ∈(0,1)，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最小值即mn 的最小值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．17.【答案】解：(1)在△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中c =2√3，且(2√3+b)(sinC −sinB)=(a −b)sinA ，整理得(c +b)(sinC −sinB)=(a −b)sinA ，…………(1分) 利用正弦定理得c 2−b 2=a 2−ab ，…………………………(2分)又由余弦定理，得cosC=a2+b2−c22ab =12，………………………………(4分)由于0<C<π，解得：C=π3.…………………………………………(6分)(2)由于c=2√3，C=π3，所以，12=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，所以(a+b)2=12+3ab≤12+3(a+b2)2.…………………………………………(8分)∴14(a+b)2≤12，∴a+b≤4√3………………………………(10分)∴4√3<a+b+c≤6√3.……………………………………(12分)【解析】(1)由已知利用正弦定理得c2−b2=a2−ab，又由余弦定理，得c osc的值，结合范围0<C<π，解得C 的值．(2)余弦定理，基本不等式可求a+b≤4√3，根据三角形两边之和大于第三边即可求解三角形周长的范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】70 160 60 80 150 150【解析】(1)平均数x=(0.02×1+0.08×3+0.15×5+0.18×7+0.03×9+0.03×11+0.01×13)×2=6．“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5，所以500人中“长潜伏者”的人数为500×0.5=250人．(2)由题意补充后的列联表如图：所以k2的观测值为k=300×(90×80−60×70)2150×150×160×140=7514≈5.357>5.024，经查表，得P(k2≥5.024)≈0.025，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关．(3)由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为a，b，c，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G，从中抽取2人，共有(a,b)，(a,c)，(a,D)，(a,E)，(a,F)，(a,G)，(b,c)，(b,D)，(b,E)，(b,F)，(b,G)，(c,D)，(c,E)，(c,F)，(c,G)，(D,E)，(D,F)，(D,G)，(E,F)，(E,G)，(F,G)21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果．所以所求概率P =1221=47． (1)根据平均数的公式求平均数，(2)根据题意补充表格，然后代入公式，求值，比较，判断，(3)根据分层抽样确定选取人数，然后求出所有事件，求出符合题意的事件，求出概率． 本题考查独立性检验，平均数，以及概率，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：因为AD//BC ，∠D =90°，BC =3，AD =DC =1，依题意得，∠AD 1C =∠D =90°，D 1C =1， 因为D 1B =2√2，所以BC 2=D 1C 2+D 1B 2， 故∠BD 1C =90°，即CD 1⊥BD 1，因为CD 1⊥AD 1，AD 1∩BD 1=D 1，所以CD 1⊥平面ABD 1． 又AB ⊂平面ABD 1.故CD 1⊥AB ．(2)因为AD//BC ，∠D =90°，BC =3，AD =DC =1， 所以△ABC 的面积为32，设D 1到面ABC 的距离h ，则三棱锥D 1−ABC 的体积为V D 1−ABC =13×32⋅ℎ， 故要使V D 1−ABC 取到最大值，需且仅需h 取到最大值．取AC 的中点M ，连结D 1M ，依题意知，AD 1=D 1C =1，∠AD 1C =90°， 所以D 1M ⊥AC ，D 1M =√22，且ℎ≤D 1M.因为平面ACD 1∩平面ABC =AC ，D 1M ⊥AC ，D 1M ⊂平面ACD 1， 所以当平面ACD 1⊥平面ABC 时，D 1M ⊥平面ABC ，D 1M =ℎ． 故当且仅当平面ACD 1⊥平面ABC 时，V D 1−ABC 取得最大值． 此时V D 1−ABC =13×32⋅√22=√24．设B 到平面ACD 1的距离为d ， 可得V D 1−ABC =V B−ACD 1=13×12⋅d =d6 故d6=√24，解得d =3√22， 故B 到平面ACD 1的距离为3√22．【解析】(1)推导出CD 1⊥BD 1，CD 1⊥AD 1，得到CD 1⊥平面ABD 1，由此能证明CD 1⊥AB ．(2)求出△ABC 的面积为32，设D 1到面ABC 的距离h ，则三棱锥D 1−ABC 的体积为V D 1−ABC =13×32⋅ℎ，取AC 的中点M ，连结D 1M ，推导出当且仅当平面ACD 1⊥平面ABC 时，V D 1−ABC 取得最大值，设B 到平面ACD 1的距离为d ，由V D1−ABC =V B−ACD1=13×12⋅d=d6，能求出B到平面ACD1的距离．本题考查线线垂直的证明，点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=xlnx−x2，ℎ(x)=lnx−x，ℎ′(x)=1x −1=1−xx，令ℎ′(x)=1−xx>0⇒0<x<1；ℎ′(x)<0⇒x>1，∴ℎ(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减．(2)由已知得g(x)=xlnx−a2x2+(a−1)x，则g′(x)=lnx−ax+a，记ℎ(x)=g′(x)=lnx−ax+a，则ℎ(1)=0，ℎ′(x)=1x −a=1−axx，①当a≤0，x∈(0,+∞)时，ℎ′(x)>0，函数g′(x)单调递增，所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在x=1处取得极小值也是最小值，不满足题意．②当0<a<1时，x∈(0,1a)时，ℎ′(x)>0，函数g′(x)单调递增，可得当x∈(0,1)时，g′(x)<0，x∈(1,1a)时，g′(x)>0．所以g(x)在x=1处取得极小值也是最小值，不满足题意．③当a=1时，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，函数g′(x)单调递增，x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，g′(x)在(1,+∞)内单调递减，所以当x∈(0,+∞)时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，不合题意．④当a>1时，即0<1a <1，当x∈(1a,1)时，ℎ′(x)<0，g′(x)单调递减，g′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，g′(x)单调递减，g′(x)<0，所以g(x)在x=1处取得极大值也是最大值，符合题意．综上可知，实数a的取值范围为a>1．【解析】(1)当a=2时，化简f(x)=xlnx−x2，ℎ(x)=lnx−x，求出导函数ℎ′(x)=1x −1=1−xx，利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解单调区间．(2)由已知得g(x)=xlnx−a2x2+(a−1)x，则g′(x)=lnx−ax+a，记ℎ(x)=g′(x)=lnx−ax+a，则ℎ(1)=0，ℎ′(x)=1x −a=1−axx，通过①当a≤0，②当0<a<1时，③当a=1时，④当a>1时，分别判断函数的单调性求解函数的最值，推出实数a的取值范围为a>1．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，是难题．21.【答案】解：(1)因为BF 1⊥x 轴，得到点B(−c,−b 2a)，所以{ a =2b 2a(a+c)=12,⇒{a =2b =√3c =1a 2=b 2+c 2，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1，(2)依题意，2⋅λk =1k 1+1k 2，故2λ=kk 1+kk 2，联立{y =k(x −1)3x 2+4y 2−12=0整理得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k 23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2．故kkDE+k k DF=k(x 1+2)y 1+k(x 2+2)y 2=k(x 1+2)k(x 1−1)+k(x 2+2)k(x 2−1)=2+3x 1−1+3x 2−1=2+3(x 1+x 2−2)(x 1−1)(x 2−1)=2+3(x 1+x 2−2)x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2+3(8k 23+4k 2−2)4k 2−123+4k 2−8k 23+4k 2+1=2+3(8k 2−6−8k 2)4k 2−12−8k 2+3+4k 2=2+2=4=2λ，则λ=2．【解析】(1)利用已知条件得到B 坐标，结合a 2=b 2+c 2，a =2，解出a ，b ，c 即可；(2)由1k 1，λk，1k 2成等差数列可得2λ=k k 1+k k 2，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率公式代入2λ=k k 1+kk 2，化简整理即可求出λ的值．本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力、推理论证能力． 22.【答案】解：(1)曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cosϕy =1+√3sinϕ(φ为参数)，转换为直角坐标方程为(x +1)2+(y −1)2=3．转换为极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ−1=0．(2)把直线C 1的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π)，代入(x +1)2+(y −1)2=3，得到(−2+tcosα+1)2+(tsinα−1)2=3， 整理得t 2−2(sinα+cosα)t −1=0， 所以t 1+t 2=2(cosα+sinα)，t 1⋅t 2=−1，则：|MA|2+|MB|2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=4(1+2sinαcosα)+2=4sin2α+6，当α=π4时，|MA|2+|MB|2的最大值10．此时直线C 1的倾斜角为π4．【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果． 23.【答案】解：(1)f(x)=|2x −1|+|x +1|={−3x,x <−1−x +2,−1≤x ≤123x,x >12，作出函数f(x)的图象及函数y =x +2的图象如下，由图可知，不等式的解集为[0,1]；(2)由图可知，函数y =f(x)的最小值为32，即m =32， ∴a +b =32，∴(a +1)+(b +2)=92，∴1a+1+2b+2=29[(a +1)+(b +2)](1a+1+2b+2)≥29(1+√2)2=6+4√29，当且仅当“b+2a+1=2(a+1)b+2”时取等号，∴1a+1+2b+2的最小值为6+4√29．【解析】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值，考查数形结合思想及计算能力，属于基础题． (1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再作出函数f(x)的图象及函数y =x +2的图象，观察图象即可得解；(2)易知(a+1)+(b+2)=9，再利用柯西不等式即可求得最小值．2。
黑龙江省实验中学联盟校2020年高三第二次模拟考试文科数学试题(PDF版)
（１）当 ＢＤ１ ＝２槡２时，证明：ＣＤ１⊥ ＡＢ； （２）当三棱锥 Ｄ１ －ＡＢＣ的体积最大时，求点 Ｂ到平面 ＡＣＤ１的距离．
２０．（１２分）已知函数
ｆ( ｘ)
＝ｘｌｎｘ－
ａｘ２( ２
ａ∈
Ｒ)
．
（１）若 ａ＝２且 ｈ（ｘ） ＝ｆ（ｘｘ），求 ｈ（ｘ）的单调区间；
（２）若 ｇ( ｘ) ＝ｆ( ｘ) ＋( ａ－１) ｘ在 ｘ＝１处取得最大值，求实数 ａ的取值范围．
２３．［选修 ４－５不等式选讲］（１０分）已知函数 ｆ( ｘ) ＝ ２ｘ－１ ＋ ｘ＋１． （１）求不等式 ｆ( ｘ) ≤ ｘ＋２的解集； （２）若函数 ｙ＝ｆ( ｘ) 的最小值记为 ｍ，设 ａ＞０，ｂ＞０，且有 ａ＋ｂ＝ｍ．求ａ１＋１＋ｂ２＋２的最小值．
文科数学试卷第 ４页（共 ４页）
（１）求这 ３００名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和众数。 （２）为研究潜伏期与患者年龄的关系，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判
断是否有 ９７．５％ 的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；
短潜伏者
长潜伏者
合计
６０岁及以上
９０
６０岁以下
１４０
合计
３００
（３）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要从这 ３００人中分层选取 ７位 ６０岁以下 的患者做 Ⅰ 期临床试验，再从选取的 ７人中随机抽取两人做 Ⅱ 期临床试验，求两人中恰有 １人为“短潜伏者”的概率． 附表及公式：
Ｄ．１６
二、填空题（本大题共 ４小题，共 ２０．０分）
{ｙ≥ ０，
１３．实数 ｘ，ｙ满足 ｘ－ｙ≥ ０，
则 ｚ＝ｘ＋３ｙ－１的最大值是
．
２ｘ－ｙ－２≤ ０，
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用赋值法直接判断即可.
【详解】解：当 时，选项A无意义，错误；
当 时，显然选项B错误；
当 时，显然选项D错误；
故选：C
【点睛】此题考查不等式性质的运用，考查了排除法的运用，属于基础题.
5.抛物线 的焦点为F，直线 与抛物线交于点A（异于原点），则点A到焦点F的距离为（ ）
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与直线的垂直，列方程 ，求出 ，再判断充分性和必要性即可.
【详解】解：若 ，则 ，解得 或 ，
即 或 ，
所以“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系，考查充分性和必要性的判断，是基础题.
9.已知 , 是双曲线 的左右焦点,以 为圆心、a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A,B两点,若 ,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
求出双曲线的焦点到渐近线的距离,】由已知可知焦点到渐近线的距离为 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,可得 ,
即 ,可得 ,
所以 ,即 ,
又因为 所以 ,所以 ,
故选：A
【点睛】此题考查双曲线的简单性质的应用,离心率的求法,点到直线的距离公式的应用,属于中档题.
10.2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国,作为主要战场的武汉,仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院,再次体现了中国速度.随着疫情发展,某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院,其占地是出一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰三角形组成的图形（如图所示）,为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为（ ）
黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学(文科)二模试题
黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合,{|22}A Z B x x ==-<<，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{2,1,0,1,2}--C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}2．设复数32z i =-，则z 的虚部是（ ） A ．iB ．3C ．2D ．2-3．为了落实“精准扶贫”工作，县政府计划从4名男干部，2名女干部共6名干部中选2人去贫困村开展工作，则至少有一名女干部被选中的概率（ ） A ．35B ．815C ．25D ．234．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2b a ==，cos 2B B +=，则角A =（ ）A ．3π B ．6π或56πC ．56πD ．6π5．已知函数()2sin f x x x =-+，若a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<6．若,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若,,ab a b αβ⊥‖‖，则αβ⊥ B ．若,,ab a b αβ‖‖‖，则αβ‖ C ．若,,a b ab αβ⊥⊥‖，则αβ‖ D ．若,,ab a b αβ⊥⊥‖，则αβ‖ 7．下列结论中正确的是（ ）（1）3m =-是直线1:(1)10l mx m y +++=和直线2:220l x my ++=垂直的充分不必要条件（2）在线性回归方程中，相关系数r 越大，变量间的相关性越强（3）命题“(,0],23x xx ∃∈-∞≤”是真命题（4）若命题:(0,)p x ∀∈+∞，1ln x x ->，则0:(,0]p x ⌝∃∈-∞，001ln x x -≤ A ．（1）（4）B ．（1）（2）C ．（2）（3）D ．（1）（3）8．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列(2)n nn a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．20206069B ．40406069C ．20202023D ．404020239．已知双曲线221x y -=的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则||||PA PF +的最小值为（ ）A．BC ．2D10．已知函数2,0()21,0x x a x f x x ⎧->=⎨-≤⎩，若不等式()10f x +≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞C ．[1,1]-D ．(,1)-∞11．已知1F 、2F 分别是曲线()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是曲线C 上的点，且1260F PF ∠=，若坐标原点O 到线段1PF，则该椭圆的离心率为（ ） AB．2CD12．已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()21f x x x =-++，若关于x 的方程2()()30f x tf x --=在[150,150]-上有300个解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()2,-+∞D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭13．已知向量22(log ,1),(log 3,1)a x b ==-，若//a b ，则x =______.14．设实数,x y 满足约束条件840,0x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩，若2z x y =+，则z 的最大值为______.15．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x φφπ=+<<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍后，得到函数()h x 的周期为2π，则()3h π的值为________.16．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的.从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成.如图，在正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的三个顶点,,A C E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M ABF -，O BCD -，N DEF -，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构，如下图（4）所示，瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂巢的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，英国数学家麦克劳林通过计算得到菱形的一个内角为1092816'''，即1092816BMF '∠=''.以下三个结论①BF MN >；② BDF ∆≅MON ∆；③,,,B M N D 四点共面，正确命题的个数为______个；若A M '=，A B ''=，tan 544408'''=_______.17．如图所示，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA 且22PA ED ==.（1）证明：//CE 平面ABP ；（2）若60ABC ∠=，求异面直线PE 与AB 所成角的余弦值.18．2020年初新冠病毒疫情爆发，全国范围开展了“停课不停学”的线上教学活动.哈六中数学组积极研讨网上教学策略：先采取甲、乙两套方案教学，并对分别采取两套方案教学的班级的7次线上测试成绩进行统计如图所示：（1）请填写下表（要求写出计算过程）（2）从下列三个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）； ②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）. 19．已知数列{}n a 中，11(1)2,,()2nn nn a a a n N n a *++==∈+.（1）求证：n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若5n b n =，且数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求数列{}n n S b -的最小项. 20．已知函数2()(12)ln f x ax a x x =+++，2()(1)31,()g x a x ax x a a R =---+-∈.（1）若0a =，求()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设()()()h x f x g x =+，若对[1,),()0x h x ∀∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围. 21．直线l 是过点(2,0)M -的动直线，当l 与圆22:2O x y +=相切时，同时也和抛物线2:2(0)C y px p =>相切. （1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于不同的两点,P Q 、，与圆O 交于不同的两点A 、B ，AOB 面积为1S ，POQ △面积为2S，当21S =时，求直线l 的方程． 22．在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为1(1)x my k m =-⎧⎨=-⎩（m 为参数），直线2l 的参数方程为2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩（n 为参数）.设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时的点P的轨迹为曲线C .（1）求出曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方程为(0)θαρ=≥且5tan (0)42παα=<<，点Q 是射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径.23．已知函数()2f x x =+． （Ⅰ）解不等式()41f x x >-+；（Ⅱ）已知()20,0a b a b +=>>，求证：()412.5x f x a b--≤+．。
2020年黑龙江省实验中学联盟校高考数学二模试卷(文科) (解析版)
2020年黑龙江省实验中学联盟校高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2≥1}，B={−1,0，1}，则A∩B=()A. {1}B. {−1,1}C. {−1,0，1}D. {x|x≥1}2.已知复数z1=2+i，z2=a−3i(i为虚数单位，a∈R).若z1⋅z2为实数，则a的值为()A. 3B. 4C. 5D. 63.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−3,4)，则a⃗在b⃗ 方向上的投影是()A. −25B. 25C. −25√5 D. 25√54.在Rt△ABC中，∠ABC=π2，AB=4，BC=3.将△ABC绕BC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. 60πB. 36πC. 20πD. 16π5.已知sin(π2−α)=14，则cos2α的值是()A. 78B. −78C. 89D. −896.某校选定甲、乙、丙、丁共4名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校的概率是()A. 16B. 13C. 12D. 237.中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长的和是37.5尺，芒种的晷影长为4.5尺，则冬至的晷影长为()A. 15.5尺B. 12.5尺C. 10.5尺D. 9.5尺8.若曲线y=e x在x=0处的切线，也是y=lnx+b的切线，则b=()A. −1B. 1C. 2D. e9.甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若S1,S2,S3分别表示他们测试成绩的标准差，则()A. S 1<S2<S3B. S 1<S3<S2C. S 2<S1<S3D. S 3<S1<S2 10. 设双曲线C ：x 28−y 2m =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN =∠F 2NM ，则|MN|=( )A. 8B. 4C. 8√2D. 4√211. 四棱锥S −ABCD 的底面是边长为2的正方形，顶点S 在底面的射影为正方形的中心O ，且SO =4，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为( )A. 7√2B. 6√2C. 4√2D. √212. 函数f(x)=log 4x −|x −4|的零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 实数x ，y.满足{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0，则3x +2y 的最大值为______．14. 设正项等比数列{a n }满足a 4=81，a 2+a 3=36，则a n =________．15. 已知抛物线C ：y 2=4x 的准线为l ，过M(1,0)且斜率为k 的直线与l 相交于点A ，与抛物线C 的一个交点为B.若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则k = ______ ．16. 已知函数f(x)=e xx +a 在(0,+∞)上的最小值为2e ，则实数a 的值为___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知√3cosA =csinC ，(1)求A 的大小；(2)若a =6，求△ABC 的周长的取值范围．18.为调查某地人群年龄与高血压的关系，用简单随机抽样方法从该地区年龄在20～60岁的人群中抽取200人测量血压，结果如下：(1)计算表中的a、c、b值：是否有99％的把握认为高血压与年龄有关？并说明理由．(2)现从这60名高血压患者中按年龄采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好一名患者年龄在20到39岁的概率．附参考公式及参考数据：K2=n(a11a22−a12a21)2，n=a11+a12+a21+a22．(a11+a21)(a11+a12)(a21+a22)(a12+a22)19.如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，BC=2√3，AC=2√6，D为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)若∠PAB=π4，求点B到平面PAC的距离．20.已知函数f(x)=lnx−ax+1(a∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若x>1，求证：lnx<x−1．21.已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过F的直线l交C于A，B两点，交直线x=8于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(其中t 为参数，0<α<π).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ．(1)求l 和C 的直角坐标方程；(2)若l 与C 相交于A ，B 两点，且|AB|=8，求α．23. 已知函数f(x)=|x +2a|+|x −a|．(1)当a =1时，求不等式f(x)≥4−|x +2|的解集；(2)设a >0，b >0，f(x)的最小值为t ，若t +3b =3，求1a +2b 的最小值。
【名校试题】2020届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三5月第二次模拟考试文科数学试题(解析版)
哈尔滨市第九中学2020届高三第二次模拟考试数学试题(文科)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡上．1.已知集合{}|11,P x x x R =-≤∈，{}|Q x x N =∈，则P Q =I （ ） A. []0,2 B. {}0,1C. {}1,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式求出集合P ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：∵11x -≤， ∴111x -≤-≤，即02x ≤≤， ∴[]0,2P =， 又{}|Q x x N =∈， ∴{}0,1,2P Q =I ， 故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查绝对值不等式的解法，属于基础题．2.已知复数z 满足3)3,i z i =则z =（ ）A.322i - B.344- C.322+ D.344+ 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得z =z ，再根据共轭复数的定义求出z ．【详解】解：∵3)3i z i =，∴z==1=344i=+，∴34z=，故选：B．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的定义，属于基础题．3.设非零向量,,a b c→→→满足||||3||a b c→→→==，a b c→→→+=，则a→与b→的夹角为（）A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°【答案】C【解析】【分析】设a→与b→的夹角为θ，由a b c→→→+=得2222cosa b a b cθ→→→→→++=，结合|||||a b c→→→==即可求出答案．【详解】解：设a→与b→的夹角为θ，∵a b c→→→+=，∴22a b c→→→⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴2222cosa b a b cθ→→→→→++=，又||||3||0a b c→→→==≠，∴112cos3θ++=，即1cos2θ=，∴60θ=o，故选：C．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义的应用，属于基础题．4. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A.12B.13C.23D.34【答案】B 【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是246C =种，数学之和为偶数的有13,24++两种，所以所求概率为13，选B ． 考点：古典概型．5.平面α∥β平面的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B. 存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC. 存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD. 存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对； 对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对； 对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确 考点：空间线面平行的判定与性质 6.函数2cos 43y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（ ） A.16π B.8π C.4π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据公式求出函数的最小正周期T ，函数图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为14T ，由此可得答案．【详解】解：∵函数2cos43 y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期242Tππ==，∴函数图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为148Tπ=，故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性与对称性的应用，属于基础题．7.双曲线2214yx-=的两条渐近线与直线3x=围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A.202003x yx yx-≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩B.202003x yx yx-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩C.202003x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩D.202003x yx yx-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩【答案】A【解析】【分析】由双曲线22221x ya b-=的渐近线为by xa=±，则可画出它与直线3x=围成的三角形区域，再由形到数即可．【详解】解：双曲线2214yx-=的两条渐近线方程为221y x x=±=±，与直线3x=围成一个三角形区域如图，由图可知，该三角形区域包含点()1,0，则202003x yx yx-≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩，故选：A ．【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程以及线性规划中由形到数的能力，属于基础题． 8.若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（ ）B. C.34D. 34-【答案】B 【解析】22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=Q ，()213cos 144sin αα∴-=-=，,cos sin 42ππααα<<∴-=Q故选B. 9.甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A. 甲是教师，乙是医生，丙是记者 B. 甲是医生，乙是记者，丙是教师 C. 甲是医生，乙是教师，丙是记者 D. 甲是记者，乙是医生，丙是教师 【答案】C 【解析】由甲的年龄和记者不同和记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师. 故选C10.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若11,32k <<则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. 19(,)44B. 2(,1)3 C. 12(,)23D. 1(0,)2【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如图所示：2AF a c =+，222a c BF a -=，∴22222tan ()BF a c k BAF AF a a c -=∠==+，又∵1132k <<，∴22113()2a c a a c -<<+，∴2111312e e -<<+，∴1223e <<，故选C ．考点：椭圆的简单性质．11.已知空间几何体ABCD 是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中A ，B 为下底面圆直径的两个端点，C ，D 为上底面圆直径的两个端点，且AB CD ⊥，圆柱底面半径是1，高是2，则空间几何体ABCD 可以无缝的穿过下列哪个图形（ ）A. 椭圆B. 等腰直角三角形C. 正三角形D. 正方形【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知2AB CD ==，且该几何体的高也是2，A 中直接根据椭圆的几何性质可知A 不符合题意；B 、C 中设O 为CD 的中点，连接OA ，OB ，易得AOB ∆既不是直角三角形，也不是正三角形，均不符合题意；D 中边长为2的正方形恰好和以AB 为直径的圆相切，符合题意． 【详解】解：由题意可知2AB CD ==，且该几何体的高也是2，A 中，若椭圆的长轴长为2，短轴长小于2，则几何体无法穿过，若椭圆的短轴长为2，长轴长大于2，则几何体穿过时有缝隙，均不符合题意；B 中，设O 为CD 的中点，连接OA ，OB ，则易证AOB ∠为二面角A CD B --的平面角，易求得5OA OB ==2AB =，则AOB ∆不是直角三角形，故B 不符合题意；C 中，由B 中结论，OA OB AB =≠，AOB ∆不是正三角形，故C 不符合题意；D 中，由题意，边长为2的正方形恰好和以AB 为直径的圆相切，故D 符合题意； 故选：D ．【点睛】本题主要考查几何体的截面问题，考查几何体的结构特征，考查空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．12.有限数列{}12,,,,n n A a a a S =L 为其前n 项和，定义12nS S S n+++L 为A 的“凯森和”，如有504项的数列12504,,,a a a L 的“凯森和”为2020，则有505项的数列125042,,,,a a a L 的“凯森和”为（ ） A. 2014 B. 2016 C. 2018 D. 2020【答案】C 【解析】 【分析】本题根据根据“凯森和”的定义，分别写出两个数列的“凯森和”的定义式，然后进行比较，找出两个定义式的联系，进行转化并加以计算可得正确选项． 【详解】解：由题意，可知对于504项的数列1a ，2a ，⋯，504a ，根据“凯森和”的定义，有 1250411212504()()2020504504S S S a a a a a a ++⋯++++⋯+++⋯+==，则11212()()2020504n a a a a a a ++⋯+++⋯+=⨯，对于505项数列2，1a ，2a ，⋯，504a ，根据“凯森和”的定义，有 12505112125042(2)(2)(2)505505S S S a a a a a a ++⋯+++++++⋯++++⋯+=112125042505()()505a a a a a a ⨯++++⋯+++⋯+=25052020504505⨯+⨯=2018=，故选：C ．【点睛】本题主要考查数列的新定义的理解及运用的问题，考查了转化与化归思想，整体思想，分组求和法的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上．13.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()23f x x =-，则当0x >时，()f x =______． 【答案】()23(0)f x x x =--> 【解析】 【分析】根据题意，设0x >，则0x -<，由函数的解析式可得()23f x x -=--，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设0x >，则0x -<，有()2()323f x x x -=⨯--=--， 又由()f x 为偶函数，则()()23f x f x x =-=--， 即()23f x x =--，故答案为：()23(0)f x x x =-->．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题． 14.已知函数()cos sin 3f x f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______． 【答案】1 【解析】 【分析】求导得()sin cos 3f x f x x π⎛⎫''=-+⎪⎝⎭，将3x π=代入即可求出3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'，从而可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】解：∵()cos sin 3f x f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭， ∴()sin cos 3f x f x x π⎛⎫''=-+⎪⎝⎭，∴sin cos 3333f f ππππ⎛⎫⎛⎫''=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1332f f ππ⎛⎫⎛⎫''=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23f π⎛⎫'=-⎪⎝⎭∴(()2cos sin f x x x =+，∴(()2cos sin 1333f πππ=+=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查基本初等函数的导数的运算，考查计算能力，属于基础题． 15.抛物线2y ax =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点，则a =______． 【答案】18【解析】 【分析】将双曲线化成标准方程，可得它的焦点在y 轴且222a b ==，得它的上焦点坐标为(0,2)，抛物线2y ax =化成标准方程，得它的焦点为1(0,)4F a ，结合题意得124a=，解方程即可求得实数a 的值． 【详解】解：双曲线222y x -=化成标准方程，得22122y x -=，∴双曲线的焦点在y 轴，且222a b ==，∴双曲线的半焦距2c =，得上焦点坐标为(0,2)，Q 抛物线2y ax =即21x y a=，得它的焦点为1(0,)4F a ，且F 为双曲线的一个焦点，∴124a =，解得18a =， 故答案为：18．【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的方程和简单的几何性质，属于基础题．16.在ABC V 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足1a b c ++=，sin sin A B C +=，则c =_____，若3C π=，则ABC V 的面积S =______．【答案】 (1). 1 (2). 12【解析】 【分析】先利用正弦定理把题设等式中角的正弦转化成边的关系，进而与1a b c ++=联立求得c ，再利用余弦定理求得ab 的值，最后利用三角形面积公式求得ABC V 的面积．【详解】解：依题意及正弦定理得2a b c +=，且21a b c ++=+，因此221c c +=+，1c =， 当3C π=时，222222cos 1c a b ab C a b ab =+-=+-=，2()31a b ab ∴+-=， 又2a b +=，因此231ab -=，13ab ∴=， 则ABC V 的面积1113sin sin 2233S ab C π==⨯=，故答案为：1；3． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力与转化能力，属于中档题．三、解答题：本题共6小题，满分70分(17题至21题12分，选修题10分)．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，点M 在边BC 上，1AMC V 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形．（1）求证：点M 为BC 边的中点； （2）求点C 到平面1AMC 的距离． 【答案】（1）详见解析；（2）66a ． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形，可得1AM C M ⊥且1AM C M =，根据三垂线定理可知AM CM ⊥，而底面ABC 为边长为a 的正三角形，则即可证得点M 为BC 边的中点；（2）过点C 作1CH MC ⊥，根据线面垂直的判定定理可知AM ⊥平面1C CM ，CH ⊥平面1C AM ，则CH 即为点C 到平面1AMC 的距离，根据等面积法可求出CH 的长．【详解】（1）证：1AMC Q △为以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，1AM C M ∴⊥且1AM C M =，Q 三棱柱111ABC A B C -，1CC ∴⊥底面ABC ，1C M ∴在底面内射影为CM ，AM CM ⊥，Q 底面ABC 为边长为a 的正三角形，∴点M 为BC 边的中点；（2）解：由（1）知AM ⊥平面11BCC B ，则平面1AMC ⊥平面11BCC B ．在平面11BCC B 内过点C 作1CH C M ⊥于H ，且平面1AMC I 平面111BCC B C M =，∴CH ⊥平面1AMC ，∴CH 即为C 到平面1AMC 的距离，在正三角形ABC 内，∵AB a =， ∴32AM a =，则132C M =， 在1Rt C CM △中，2a CM =， 则122CC a =，∴1166CM CCCH a C M ==g， ∴C 到平面1AMC 的距离为66a ． 【点睛】本题主要考查点线的位置关系，以及点到平面的距离，同时考查了空间想象能力和计算能力，以及转化与化归的思想，属于中档题．18.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a －3a ＝3，求n S【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）n 811--32⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【解析】【详解】（Ⅰ）依题意有由于，故又，从而5分（Ⅱ）由已知可得故从而10分19.某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁） 工人数（人）19 1（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差.【答案】（1）众数为30，极差为21；（2）详见解析；（3）12.6.【解析】【详解】试题分析：（1）根据频率分布表中的相关信息结合众数与极差的定义求出众数与极差；（2）根据频率分布表中的信息以及茎叶图的作法作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）根据茎叶图所反映的信息，先求出平均数，然后根据方差的计算公式求出这20名工人年龄的方差.-=；（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为401921（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为19283293305314323403020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=， 故这20名工人年龄的方差为()()()222222211132315041321020⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦ ()1112112341210025212.62020=+++++=⨯=. 考点：本题考查茎叶图、样本的数字特征，考查茎叶图的绘制，以及样本的众数、极差、平均数以及方差的计算，属于中等题.20.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP =u u u v u u u u v .（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u v u u u v .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】 【详解】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，先设 P （m ，n ），则需证330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，代入即得330+-=m tn .试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),MN 0,x y y =-=u u u r u u u u r （）由NP 2=u u u r u u u r 得00202x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=. 因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则 OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-u u u r u u r u u u r u u r ，，，，，OP m n PQ 3m t n ==---u u u r u u u r ，，（，）. 由OP PQ 1⋅=u u u r u u u r 得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0⋅=u u u r u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u r .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数()ln 1f x x x =++，()22g x x x =+. （Ⅰ）求函数()()y f x g x =-的极值；（Ⅱ）若实数m 为整数，且对任意的0x >时，都有()()0f x mg x -≤恒成立，求实数m 的最小值.【答案】（Ⅰ）极大值为1ln 24-，无极小值；（Ⅱ）1. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值； (Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m 的最小值.【详解】(Ⅰ)设()()()2ln 1x f x g x x x x ϕ=-=--+， ∴()()()211121x x x x x xϕ--+'=--=， 令()0x ϕ'>，则102x <<；()0x ϕ'<，则12x >； ∴()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴()11=ln 224x ϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大，无极小值. (Ⅱ)由()()0f x mg x -≤，即()2ln 120x x m x x ++-+≤在()0,∞+上恒成立， ∴2ln 12x x m x x ++≥+()0,∞+上恒成立，设()2ln 12x x h x x x ++=+，则()()()()2212ln 2x x x h x x x -++'=+， 显然10x +>，()2220x x +>设()()2ln t x x x =-+，则()210t x x ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭，故()t x 在()0,∞+上单调递减 由()110t =-<，11112ln 2ln 202222t ⎛⎫⎛⎫=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由零点定理得01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00t x =，即002ln 0x x += 且()00,x x ∈时，()0t x >，则()0h x '>，()0,x x ∈+∞时，()0t x <. 则()0h x '<∴()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减∴()()0002max 00ln 12x x h x h x x x ++==+， 又由002ln 0x x +=，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0002000ln 111,1222x x h x x x x ++⎛⎫==∈ ⎪+⎝⎭ ∴由()m h x ≥恒成立，且m 为整数，可得m 的最小值为1.【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22. 已知曲线C ：4cos ,{3sin ,x t y t =-+=+（t 为参数）， C ：8cos ,{3sin ,x y θθ==（为参数）． （1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:{2x t C y t =+=-+（t 为参数）距离的最小值． 【答案】（Ⅰ）1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（Ⅱ）5d 取得最小值【解析】 【详解】（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是()4,3-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（2）当2t π=时，()()4,4,8cos ,3sin P Q θθ-，故324cos ,2sin 2M θθ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭3C 的普通方程为270x y --=，M 到3C 的距离3sin 13d θθ=--所以当43cos ,sin 55θθ==-时，d . 考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.23.若,,x y z ∈R ，0a >，0b >，0c >，求证：2222()b c c a a b x y z xy yz zx a b c+++++≥++． 【答案】详见解析【解析】【分析】由重要不等式222m n mn +≥（当且仅当m n =取得等号），结合不等式的同向可加性，即可得证．【详解】证：∵,,x y z ∈R ，0a >，0b >，0c >， ∴222b c c a a b x y z a b c +++++=222222b a c b a c x y y z z x ab bc c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2222xy yz zx xy yz zx ≥++=++， 当且仅当222222,,b a c b a c x y y z z x a b b c c a===时等号成立． 【点睛】本题主要考查不等式的证明，注意运用重要不等式和不等式的同向可加性，考查推理能力，属于中档题．。
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2020年黑龙江高三二模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.B.C.D.1.已知集合，，则（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）．A.B.C.D.3.已知向量，满足，，且，则（ ）．4.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近次篮球比赛的得分数进行统计，如右图．甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（ ）．甲乙A.，乙比甲稳定，应选乙参加校篮球队B.，甲比乙稳定，应选甲参加校篮球队C.，甲比乙稳定，应选甲参加校篮球队D.，乙比甲稳定，应选乙参加校篮球队甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙5.等比数列中，、是函数的两个零点，则（ ）．A.B.C.D.6.大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”，某高校学生小刘、小李、小孟，分别去西部某地一中、二中、三中所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生．他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生．现知道：（）教语文的没有分配到一中，（）教语文的不是小孟，（）教英语的没有分配到三中，（）小刘分配到一中，（）小孟没有分配到二中．据此判断，数学学科支教的是谁？分到哪所学校？（ ）．A.小刘 三中B.小李 一中C.小孟 三中D.小刘 二中7.设，是两条直线，，是两个平面，则“”的一个充分条件是（ ）．A.，，B.，，C.，，D.，，8.已知函数是定义在上的奇函数，在上是增函数，且，则使得成立的的取值范围是（ ）．A.B.C.D.9.已知直线与函数，（其中）的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为（ ）．A.B.C.D.10.若函数有且只有一个零点，则的取值范围是（ ）．A.B.C.D.11.已知与椭圆焦点相同的双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．若双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为，为的中点，为坐标原点，则等于（ ）．A.B.C.D.12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；④设点，点在此太极图上，使得，的范围是．其中所有正确结论的序号是（ ）．A.①④B.①③C.②④D.①②二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，满足约束条件，则的最大值是 ．14.袋子中有四张卡片，分别写有“国”“富”“民”“强”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“国”“富”两个字都取到记为事件用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数，，，四个随机数，分别代表“国”“富”“民”“强”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：由此可以估计事件发生的概率为 ．15.长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术 · 商功》，其中阳马和鱉臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼．取一长方，如图长方体，按平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体称为鱉臑．已知长方体中，，，，按以上操作得到阳马，则该阳马的最长棱长为 ．16.已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足，，设，为数列的前项和，则．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）17.的内角，，的对边分别为，，，已知．求．（2）若，且的面积为，求．（1）（2）18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课不选修生涯规划课总计根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由．现用分层抽样的方法在选修生涯规划课的成绩优秀和成绩不够优秀的学生中随机抽取名学生作为代表，从名学生代表中再任选名学生继续调查，求这名学生成绩至少有人优秀的概率．参考附表：参考公式，其中．（1）（2）19.四棱锥中，，，，，底面，在上．证明：．若，求三棱锥的体积．（1）20.已知点，为抛物线上任意一点，且为的中点．设动点的轨迹为曲线．求曲线的方程．【答案】解析:集合，集合，∴．故选项．解析:（2）是否存在斜率为的直线交曲线于，两点，使得为以为底边的等腰三角形？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数，，若曲线与曲线都过点，且在点处有相同的切线．求切线的方程．若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．求曲线的参数方程与直线的普通方程．设点为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且，求面积的取值范围．（1）（2）23.已知函数，，．当时，有，求实数的取值范围．若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．D1.C2.∵复数满足，∴，则在复平面内对应的点在第三象限，故正确．解析:∵向量，，，∴，解得，即，∵，∴．故选．解析:由题意知：，，∴，又∵由茎叶图数据可判断甲比乙稳定，故选项．C 3.B 4.甲乙甲乙解析:∵等比数列中，，是函数的两个零点，由，∴，∴．故选：．解析:由（）可得教语文的在二中或三中，由（）可得教语文的是小李或小刘，由（）可得小刘分配到一中，∴小李教语文，小刘教数学或英语，又∵由（）可得，小孟没分配到二中，∴小孟被分配到三中，又∵由（）可得教英语的没有被分配到三中，∴小孟教数学，小刘教英语被分配到二中，故选项．解析:∵ 在上为奇函数，∴，画出示意图，C 5.C 6.C 7.D 8.时，在上大于零，，时，在上小于零，，∴ ，故选．解析:∵，∴与的相邻两交点间距离为：．则单增区间为：，，．故选：．解析:当时，由得，即是的一个零点，由于有且只有一个零点，则当时，无零点，即方程在上无解，因为当时，，所以的取值范围是 ，故选．解析:如图，xy可得，B 9.B 10.B 11.∵双曲线的离心率为，∴．∵椭圆与双曲线焦点相同，∴，∴，∴，故选．解析:①在此太极图中，黑色，白色区域各占一半，随机取一点，，①正确．②当时，有直线，空白部分圆方程：，圆心到直线距离：，所以直线与空白部分没有交点，②错误．③如图所示，图区域在第三象限，，，故取最大值不在此区域，中，，，取不到最大值，取最大值应在区域，该区域可表示为，，当时，，当时，或，所以，③正确．B 12.黑色④如图所示，图极点法可知，当时，，如图所示，图，但此时显然有，故，的范围比大，④ 错误．故选．13.解析:如图所示阴影部分为约束条件表示的可行域，目标函数可化为，其中表示直线的纵截距，平移直线至点时，纵截距最大，即最大．∵,∴．解析:事件发生的随机数是：、、、、、，．故答案为：．解析:有题意可知，该阳马的最长棱长为长方体的体对角线，∴最大值为，故该阳马的最长棱长为．解析:数列的各项均为正数，其前项和为满足，，可得时，，解得，时，，又，相减可得，化为，由，可得，则，，可得，14.15.，16.（1）（2）．故答案为：，．解析:方法一：∵，由正弦定理得∴，又∵．∴，∴．即，∴，∵，∴，即．方法二：∵，由余弦定理得∴，整理得，又∵，∴，即，∴．∵，，∴．．∵，∴．∵，（1）．（2）．17.（1）（2）（1）∴．∵面积为，∴，即．解得．解析:由题意知，的观测值，所以有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”．由题意得，在成绩优秀的学生中抽取（人），分别记为，，，在成绩不够优秀的学生中抽取（人），分别记为，，则从人中任选人的全部基本事件有共种，其中所选的人至少有人成绩优秀的事件为共种，故这名学生成绩至少有人优秀的概率为．解析:∵，，，∴，，解得：，则，又∵平面，∴，，∴平面，故．（1）有，证明见解析．（2）．18.（1）证明见解析．（2）．19.（2）（1）（2）（1），，，由得平面，．解析:设，，∵是的中点，则，∵在上，∴，∴，∴，故曲线的方程为．设，，，将代入得，∴，∴的中点，∵，∴，∴，不符合，∴不存在．解析:，，（1）．（2）不存在；证明见解析．20.（1）．（2）．21.（2）由已知得，即，解得，所以切线斜率为，所以切线方程为，即．，，设，即对任意恒成立，从而，．①当时，，在单调递减，又，显然不恒成立．②当时，，解得，，）当，即时，当，，单调递增，又，显然不恒成立；）当，即时，当，，单调递增，则，所以恒成立；）当，即时，当，，单调递减；当，，单调递增；则，∵恒成立，∴，解得，∴．综上所述：．（1）（为参数）；．（2）．22.（1）（2）（1）（2）解析:由题意：，∴，∴，∴，∴曲线的参数方程为（为参数），由直线的参数方程得代入，得，∴，∴直线的普通方程为．设到直线的距离为，，，∴，∴面积的取值范围是．解析:∵在上恒成立，∴，∴，又∵，当且仅当，即时等号成立，∴，即．令，∴，①若时，∴解集为，不符合题意，②若时，解集为，不符合题意，（1）．（2）．23.③若时，∴，∴，又∵，∴，综上所述，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，此时，∴当，时，．。