范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(选择)
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-技术(圣才出品)
第二部分课后习题第1章技术1．如果()V y 是个凸集，那么相关的生产集Y 一定是凸的。
对或错？True or false ?If ()V y is a convex set,then the associated production set Y must be convex.答：这个说法错误。
理由如下：凸生产集意味着凸投入要素集，但是反过来不成立。
首先证明凸生产集意味着凸投入要素集：证明：如果Y 是一个凸集，那么可以得出，对任何使(),y x -和(),y x '-都在Y 中的x 和x '′来说，一定会有()()()1,1ty t y tx t x '+----在Y 中，即()(),1y tx t x '---在Y 中。
从而可知：如果x 和x '在()V y 中，那么()1tx t x '+-也在()V y 中，从而可知()V y 也是凸的。
下面举反例说明凸的投入要素集并不意味着凸的生产集。
考虑由生产函数()2f x x =规定的技术。
生产集(){}2,Y y x y x =-≤∶当然不是凸的，但投入要素集(){}v y x x y =≥:是凸集。
2．当12a a ≠时，CES 生产函数11122()y a x a x ρρρ=+的替代弹性是什么？What is the elasticity of substitution for the general CES technology 11122()y a x a x ρρρ=+when 12a a ≠?解：为了计算替代弹性，首先要计算技术替代率，根据技术替代率的定义：11111222fx a x TRS f a x x ρρ--∂∂=-=-∂∂上式两边取对数后得到：()1221ln ||ln1ln a x TRS a x ρ=+-根据替代弹性的定义：()23ln /1ln 1d x x d TRSσρ==-3．将要素i 的产出弹性定义成：()()()i i if x x x x f x ε∂=⋅∂，如果()12a bf x x x =，每个要素的产出弹性是什么？Define the output elasticity of a factor i to be ()()()i i if x x x x f x ε∂=∂.If ()12a bf x x x =,what is the output elasticity of each factor?解：()()11112212,a b a b f x ax x f x bx x --==，从而第一个要素的产出弹性为：()()()111111212a ba bx x x f x ax x a f x x x ε-===第二个要素的产出弹性为：()()()122221212a b a bx x x f x bx x b f x x x ε-===4．如果()x ε是规模弹性，()i x ε是要素i 的产出弹性，证明：()()1ni i x x εε==∑If ()x εis the elasticity of scale and ()i x εis the output elasticity of factor i ,show that()()1ni i x x εε==∑证明：对生产函数()y f x =，令()()y t f tx =，其中0t >。
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2．如果产出由两种生产要素生产，且规模报酬递增，则（ ）。 A．不可能有递减的技术替代率 B．所有要素都有递增的边际产品 C．在等产量线图上，在从原点引出的一条射线上移动，当与原点的距离增加一倍时， 产量增加大于一倍 D．至少一种要素的边际产品递增
3．如果规模报酬不变，那么将任何一种要素的投入增加一倍，产量也会相应增加一倍。 （）
【答案】F 【解析】规模报酬不变意味着将所有生产要素的投入增加一定的倍数，产量也会增加相 同的倍数。
4．即便所有生产要素边际产品递减的情况下，规模报酬递增也是可能的。（ ） 【答案】T 【解析】生产要素边际产品递减规律是短期的概念，而规模报酬属于长期概念，两者没
【答案】C
【解析】生产函数可写为：
f
x，y
2 x
x
y
x y x y ，因此等产量线由两部分组成，当
x y 时，等产量线是垂直的；当 x y 时，等产量线是斜率为-1 的直线。
4．下列的说法中正确的是（ ）。 A．生产要素的边际技术替代率是规模报酬递减规律造成的 B．边际收益递减规律是规模报酬递减规律造成的 C．规模报酬递减是边际收益递减规律造成的 D．生产要素的边际技术替代率递减是边际收益递减规律造成的 【答案】D
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8．边际报酬递减规律决定了当一种投入要素连续增加时，它所带来的边际产量最终必 是递减的。（ ）
【答案】F 【解析】边际报酬递减规律仅适用于所有其他投入和技术水平都保持不变的情况下，若 技术水平和其他要素投入变动，边际产量不一定是递减的。
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(对偶)
第6章 对 偶1．成本函数为(){}1212,,min ,c w w y w w y =。
生产函数是什么？条件要素需求函数是什么？The cost function is (){}1212,,min ,c w w y w w y =. What is the production function? What are the conditional factor demands?解：由成本函数(){}1212,,min ,c w w y w w y =可以知道：两种要素是互相替代的，因此生 产函数是：()1212,f x x x x =+条件要素需求函数是：2．成本函数为()()1212,,c w w y y w w =+。
条件要素需求是什么？生产函数是什么？ The cost function is ()()1212,,c w w y y w w =+. What are the conditional factor demands? What is the production function?解：由成本函数()()1212,,c w w y y w w =+的形式可以看出，两种要素是互补的，因此生产函数是里昂惕夫技术：(){}1212,min ,f x x x x =条件要素需求是：12x x y ==。
3．成本函数为()1212,,a b c w w y w w y =。
a 和b 有什么关系？The cost function is ()1212,,a b c w w y w w y =. What do we know about a and b ？ 答：由于成本函数是w 的非减函数，所以0a ＞，0b ＞。
由于成本函数是w 的凹函数，所以成本函数关于w 的二阶导数为负：由于成本函数是w 的一次齐次函数，所以有：()()()()121212,,aba b a b c tw tw y tw tw t w w +==所以，1a b +=。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-时间(圣才出品)
第19章时间1．考虑对数效用的例子()() ln u c c =。
证明：任意t 期的消费由下式给出：Consider the logarithmic utility example in Chapter 19.Show that consumption in an arbitrary period t isgiven by证明：对数效用为：()11ln T t T t t U c c c α= =∑，…，（1）效用最大化行为满足：111max ln ..t Tt t c t T T t t t t c s t c w α=== =∑∑∑（2）建立拉格朗日函数：111ln T T T t t t t t t t L c c w αλ===⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑∑（3）一阶条件为：t t αλ=（4）将（4）式代入（3）式中得到：可以推出：一阶条件为：求解可以得到：2．考虑下述“租金稳定化”计划。
每年地主被允许按通货膨胀率的34／来提高租金。
新建造公寓的所有者能够按其意愿的价格来设定初始租金。
此计划的支持者声称，因为新公寓的初始价格可以设定于任何水平，所以新公寓的供给不会被抑制。
让我们在一个简单模型中分析这种说法。
假设公寓持续两个时期。
令r 为名义利息率，π为通货膨胀率。
假定没有租金稳定化计划时，第1期租金为p ，第2期租金为()1p π＋．令c 为新公寓建造的恒定边际成本，且令每期对公寓的需求由()D p 给出。
最后，令k 为租金受到控制的公寓供给。
（编者注：此外还应当假设房屋市场是完全竞争的）（a）在没有租金稳定化计划时，在第1期的租价p 和新公寓建造边际成本间的均衡关系是什么？（b）若采用了租金稳定化计划，这一关系将如何变化？（c）画出简单的供给一需求曲线，并图示没有租金稳定化计划时新公寓的数量。
（d）租金稳定计划将导致更多还是更少新公寓的建造？（e）在租金稳定化计划之下，新公寓的均衡价格将较高还是较低？Consider the following scheme for “rent stabilization.”Each year landlords areallowed to increase their rents by 3/4of the rate of inflation.Owners of newly constructed apartments can set their initial rent at any price they please.Advocates of this plan claim that since the initial price of new apartments can be set at any level,the supply of new housing will not be discouraged.Let us analyze this claim in a simple model.Suppose that apartments last for 2periods.Let r be the nominal rate of interest and πbe the rate of inflation.Assume that in the absence of rent stabilization the rent in period 1will be p and the rent in period 2will be ()1p π＋.Let c be the constant marginal cost of constructing new apartments and let the demand function for apartments in each period be given by ()D p .Finally,let k be the supply of rent controlled apartments.（a ）In the absence of rent stabilization,what must be the equilibrium relationship between the period 1rental pricep and the marginal cost of constructing a new apartment?（b）If the rent stabilization plan is adopted,what will this relationship have to be?（c）Draw a simple supply-demand diagram and illustrate the number of new apartments without rent stabilization.（d）Will the rent stabilization plan result in more or fewer new apartments being built?（e）Will the equilibrium price of new apartments be higher or lower under this rent stabilization plan?答：（a）显然，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：求解均衡时的租金的价格可以得到：（b）在采用了租金稳定化计划后，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：（c）可以画出第一期的需求曲线减去受到控制的住房供给的k 部分,得到剩余的需求即为市场需求曲线。
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(利润函数)
p,
w
p
ln
0 p/
w
1
p/we p/we
如图 3-1 所示。
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图 3-1 厂商的利润最大化
3．给出生产函数 f x1, x2 a1 ln x1 a2 ln x2 ，计算出利润最大化的需求和供给函数，以
conditions.）
答：（a）由利润函数的凸性得到
2 wi2
0 ，从而可知 ''i wi 0 ；又因为利润函数关于
要素价格是单减的，即 wi
0 ，从而可知 ''i wi 0 。
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（b）根据
Hotelling
（2）当 p / w 1时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么
当 它 的 产 量 为 ln p / w 时 ， 可 以 得 到 最 高 利 润 ， 为 p ln p / w 1 。 所 以 如 果 p ln p / w 1 0 即 p / w e 时，厂商应当选择生产 ln p / w 数量的产品，相应的利润为 p ln p / w 1 ；如果 p ln p / w 1 0 ，那么厂商应当选择停产，此时的利润为零。
解：令 f x p ln x wx ，易知 f x 在区间 , p / w 上单增，在区间 p / w, 上单 减，所以 f x 在 p / w 这一点上达到最大值。下面分情况讨论：
（1）当 p / w 1时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么 当它的产量为 1 时，可以得到最高利润为 w 。所以，厂商的最优选择就是丌生产。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-生产(圣才出品)
第18章生产1．考虑一个经济，有两种非被生产的生产要素，土地和劳动，还有两种被生产的商品，苹果和手帕。
苹果和手帕的生产满足规模收益不变。
手帕仅用劳动来生产，苹果是用劳动和土地来生产。
有N个相同的人，每人有15单位劳动和10单位土地的初始禀赋。
他们的效用都为，此处01c<<，A和B分别为此人对苹果和手帕的消费量。
苹果用一个固定系数生产技术来生产，每生产一单位苹果需要使用1单位劳动和1单位土地。
生产一块手帕需要1单位劳动。
令劳动价格为经济中的记账单位。
（a）找到本经济中的竞争性均衡价格及数量。
（b）对于参数c的什么值（如果存在），土地禀赋的微小变动将引致竞争性均衡价格的变动？（c）对于参数c的什么值（如果存在），土地禀赋的微小变动将引致竞争性均衡消费的变动？Consider an economy in which there are two nonproduced factors of production,land and labor,and two produced goods,apples and bandannas. Apples and bandannas are produced with constant returns to scale.Bandannas are produced using labor only,while apples are produced using labor and land.There are N identical people,each of whom has an initial endowment of fifteen units of labor and ten units of land.They all have utility functions of the form()()，where01=+-ln1lnU A B c A c B<<and where A and B are a person’scconsumption of apples and bandannas,respectively.Apples are produced with a fixed-coefficients technology that uses one unit of labor and one unit of land foreach unit of apples produced.Bandannas are produced using labor only.One unit of labor is required for each bandanna produced.Let labor be the numeraire for this economy.（a）Find competitive equilibrium prices and quantities for this economy.（b）For what values （if any）of the parameter c is it true that small changes in the endowment of land will not change competitive equilibrium prices?（c）For what values （if any）of the parameter c is it true that small changes in the endowment of land will not change competitive equilibrium consumptions?答：（a）消费者的效用最大化问题为（其中r是土地的价格）：从而解得消费者的需求函数为：这样A 和B 的总需求就是：1015A r NA Nc p +=（1）()10151B r NB N c p +=-（2）又因为均衡时，每个厂商的利润都是零，即：A A A p NA L rK --=（3）0B B p NB L -=（4）下面分两种情况讨论：①若所有的生产资料都被用尽，那么：10A K N =（这是因为在这个经济中，只有生产苹果需要土地）由于厂商A 的生产函数是固定比例类型的，所以10A K N =，从而5B L N =，于是A 和B 的总产出分别是105NA N NB N = =，，把他们代入（1）、（2）、（3）、（4）式中，解得：由于0r ≥，因此必有23c ≥②若23c <，如果用尽所有的土地供给，那么就有·A A A A p N L rK <+，即土地的供给大于需求，所以均衡时，土地必有剩余，从而0r =，把0r =代入（1）、（2）、（3）、（4）式中解得：从而总产出为()15151A Nc B N c = =-，由于总产出等于总需求，所以1A B p p ==。
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(成本最小化)
第 4 章 成本最小化
1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。 Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.
证明：令 x* 为价格 p, w 下利润最大化的一个投入向量。这意味着，对于所有可允许的
y
x1b
x 1b 2
。该技术的成本函数是什么？
A firm has two plants. One plant produces output according to the production
function
x1a x21a .The other plant has a production function
是什么？该技术的成本函数是什么？对什么样的要素价格，成本函数是丌可微的？
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Suppose that the firm has two possible activities to produce output. Activity a uses a1 units of good 1 and a2 units of good 2 to produce 1 unit of output. Activity b uses b1 units of good 1 and b2 units of good 2 to produce 1 unit of output. Factors can only be used in these fixed proportions. If the factor prices are
f x* wj x j
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(利润最大化)
答：利润最大化问题为：
max pxa wx x
1
一阶条件为：
paxa1
w
0
，得到要素需求函数为： x
w pa
a1
，将要素需求函数代入
目标函数即求得最大化的利润函数为：
a
1
p, w
p
w ap
a 1
w
w ap
a1
下面证明齐次性，注意到对仸意 t 0
1
a
a1
tp, tw
tp
w ap
a1
tw
w ap
t p, w
可见 p, w 是一个一次齐次函数。
在计算海赛矩阵乊前，以下列方式把利润函数分解为：
1 a a
1
1a
p, w p1a wa1 a1a a1a p1a wa1 a
a
1
， 其 中 a a1a a1a 是 严 格 正 的 ，
w2 x2
/
w1x1
对 x1
/
x2
的弹性是
1
1。
Let f x1，x2 be a production function with two factors and let w1 and w2 be
their respective prices. Show that the elasticity of the factor share w2x2 / w1x1 with
wi xi i
f x* q 0
i xi* 0
0, i 0, f x* q 0, xi 0
f x*
这样对仸意的 xi* 0 ，必有 i 0 以及 wi xi 0 ；如果 x*i 0 ，则 i 0 ，从而
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-成本最小化(圣才出品)
在哪个国家建厂？（ ）
A．A 国
B．B 国
C．没关系，因为两个国家的成本是一样的
D．如果产量大于 14，则建在 A 国，否则建在 B 国
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【答案】B
【解析】柯布-道格拉斯生产函数
y
Kx1 x2
下成本最小化条件有
的函数。（ ） 【答案】F
【解析】要素 1 的条件需求函数 x1 w1，w2，y 是指厂商在生产某个既定产量 y 的条件
下，价格、产量以及厂商的最优要素选择之前的关系。有条件的要素需求给出的是既定产量 水平下的成本最小化选择。
3．某竞争性厂商生产函数为 f x，y x 2 y 。如果要素 x 的价格变成原来的两倍，要
成本最小化弱公理一致？（ ） A．一致 B．不一致 C．因为不知道生产函数，所以不能确定 D．因为不知道产品价格，所以不能确定 【答案】B
【解析】当两种要素价格为 w1, w2 15,17 ，1517 17 71 15 77 17 4 ，两种方法
得到的产量是相等的，但是厂商使用的是成本较大的方案，不符合成本最小化的条件，因此 厂商行为与成本最小化弱公理不一致。
单位
x1 和
4 3
单位
x2 ，成本 CB
4
3 6.93 。 CA CB ，
因此该厂商选择在 B 国建厂。
4．某竞争性厂商使用两种要素投入 x 和 y 。当要素 x 的价格是 10 元/单位，要素 y 的 价格是 20 元/单位时，厂商使用 1 单位 x 和 2 单位 y ；当要素 x 的价格是 20 元/单位，要素 y 的价格是 10 元/单位，厂商使用 2 单位 x 和 1 单位 y ；且在以上在两种情况下，厂商具有 相同的产量水平。以上情况说明（ ）。
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第8章选择1．弗兰克·费雪的支出函数是()e p u ，，他对开玩笑的需求函数是()j x p m ，，其中p 为价格向量，收入0m 。
证明：对弗兰克而言，当且仅当2/0j e p u ∂∂∂>时，开玩笑为正常品。
Frank Fisher’s expenditure function is ()e p u ，.His demand function for jokes is ()j x p m ，,where p is vector of prices and 0m is his income.Show that jokesare a normal good for Frank if and only if 2/0j e p u ∂∂∂>.证明：恒等式()()()/j j j x p m h p v p m e p v p m p ≡ ≡∂ ∂⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，，，，，两边关于m 求导得：()()()2ji e p v p m x v p m m p u m∂ ∂∂ =⋅∂∂∂∂，，，，由于收入的边际效应/v m ∂∂一定为正，故当且仅当2/0j e p u ∂∂∂>时，0j x m∂>∂，开玩笑为正常品。
2．计算两物品的柯布-道格拉斯需求函数的替代矩阵。
验证对角线各项是负的，交叉价格效应是对称的。
Calculate the substitution matrix for the Cobb-Douglas demand system with two goods.Verify that the diagonal terms are negative and the cross-price effects are symmetric.答：柯布-道格拉斯效用函数由下式给出：()11212a au x x x x - =，，在两边取对数，两种物品的需求函数可以通过解下式导出：()1212max ln 1ln x x a x a x +-，满足1122p x p x m+=将约束条件代入目标函数得到：()11112max ln 1lnx a x a p -+-解出物品1的马歇尔需求为：()1121am x p p m p =，，代入预算约束得出物品2的马歇尔需求为：()()11221a mx p p m p - =，，简化起见，令1a a =，21a a =-，则两物品的柯布-道格拉斯需求函数可以写成：111222a m x p a m x p ==由斯拉茨基方程：()()()()()j j j i iih p v p m x p m x p m x p m p p m∂ ∂ ∂ =-∂∂∂，，，，，中可以得出替代效应：()()()()()j j j i iih p v p m x p m x p m x p m p p m∂ ∂ ∂ =+∂∂∂，，，，，将需求函数分别对1p 、2p 、m 求导，代入替代效应表达式中，即得出替代矩阵如下：22211111112121122212122222a mp a mp a a mp p a a mp p a mp a mp --------⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭从上面表达式中可以看出，其对角线各项是正的，且交叉价格效应相等：1112121221h h a a mp p p p --∂∂==∂∂3．假设一个消费者具有线性需求函数x ap bm c =++。
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(时间)
第19章 时 间1．考虑对数效用的例子()() ln u c c =。
证明：任意t 期的消费由下式给出：Consider the logarithmic utility example in Chapter 19. Show that consumption in an arbitrary period t is given by证明：对数效用为：()11ln Tt T t t U c c c α= =∑，…， （1）效用最大化行为满足：111max ln ..t Tt t c t T T t tt t c s t c w α=== =∑∑∑ （2）建立拉格朗日函数：111ln TT T t t t t t t t L c c w αλ===⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑∑ （3）一阶条件为：t t αλ=（4）将（4）式代入（3）式中得到：可以推出：一阶条件为：求解可以得到：2．考虑下述“租金稳定化”计划。
每年地主被允许按通货膨胀率的34／来提高租金。
新建造公寓的所有者能够按其意愿的价格来设定初始租金。
此计划的支持者声称，因为新公寓的初始价格可以设定于任何水平，所以新公寓的供给不会被抑制。
让我们在一个简单模型中分析这种说法。
假设公寓持续两个时期。
令r 为名义利息率，π为通货膨胀率。
假定没有租金稳定化计划时，第1期租金为p ，第2期租金为()1p π＋．令c 为新公寓建造的恒定边际成本，且令每期对公寓的需求由()D p 给出。
最后，令k 为租金受到控制的公寓供给。
（编者注：此外还应当假设房屋市场是完全竞争的）（a ）在没有租金稳定化计划时，在第1期的租价p 和新公寓建造边际成本间的均衡关系是什么？（b ）若采用了租金稳定化计划，这一关系将如何变化？（c ）画出简单的供给一需求曲线，并图示没有租金稳定化计划时新公寓的数量。
（d ）租金稳定计划将导致更多还是更少新公寓的建造？（e ）在租金稳定化计划之下，新公寓的均衡价格将较高还是较低？Consider the following scheme for “rent stabilization.” Each year landlords are allowed to increase their rents by 3/4 of the rate of inflation. Owners of newly constructed apartments can set their initial rent at any price they please. Advocates of this plan claim that since the initial price of new apartments can be set at any level, the supply of new housing will not be discouraged. Let us analyze this claim in a simple model.Suppose that apartments last for 2 periods. Let r be the nominal rate of interest and π be the rate of inflation. Assume that in the absence of rent stabilization the rent in period 1 will be p and the rent in period 2 will be ()1p π＋. Let c be the constant marginal cost of constructing new apartments and let the demand function for apartments in each period be given by ()D p . Finally, let k be the supply of rent controlled apartments.（a ）In the absence of rent stabilization, what must be the equilibrium relationship between the period 1 rental price p and the marginal cost of constructing a new apartment?（b ）If the rent stabilization plan is adopted, what will this relationship have to be?（c ）Draw a simple supply-demand diagram and illustrate the number of newapartments without rent stabilization.（d ）Will the rent stabilization plan result in more or fewer new apartments being built?（e ）Will the equilibrium price of new apartments be higher or lower under this rent stabilization plan?答：（a ）显然，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：()11pp c r π++≥+求解均衡时的租金的价格可以得到：12r p c r π+=++ （b ）在采用了租金稳定化计划后，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：3141p p c rπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+≥+ （c ）可以画出第一期的需求曲线减去受到控制的住房供给的k 部分,得到剩余的需求即为市场需求曲线。
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(消费者剩余)
第10章 消费者剩余1．假设效用函数是拟线性的，证明间接效用函数是价格的凸函数。
Suppose that utility is quasilinear. Show that the indirect utility function is a convex function of prices.证明：假设效用函数具有()01x u x +的形式，考虑效用的下面形式的最大化问题：将预算约束代进目标函数，把此问题变成无约束的最大化问题：()1111max x u x m p x +- 这有明显的一阶条件()11u x p '=。
这只要求物品1消费的边际效用等于它的价格。
通过检查一阶条件可知，物品1的需求仅仅是物品1价格的函数，所以把需求函数写成()11x p 。
物品0的需求可由预算约束()0111x m p x p =-决定。
把这些需求函数代进效用函数得间接效用函数：()()()()()()()()1111111111111V p m u x p m p x p v p mv p u x p p x p =+-=+=-，其中（）拟线性效用函数的间接效用函数可以写成：()()V p m v p m =+，由于支出函数是间接效用函数的反函数，因此得到支出函数为：()()e p u u v p =-，支出函数必然是价格的凹函数，这意味着()v p 是价格的凸函数。
2．埃尔斯沃思（Ellsworth ）的效用函数是(){}min U x y x y = ，，。
埃尔斯沃思有150美元。
x 和y 的价格都是1。
他的老板想派他去另一个城市，那里x 的价格是1，y 的价格是2。
老板不提高支付。
埃尔斯沃思完全理解补偿和等价变动，他很是抱怨。
他说虽然他不介意搬动本身,并且新城和老城一样愉快，但是搬家就像减少A 美元薪水那样坏。
他又说如果他获得B 美元加薪的话他不介意搬家，求A 和B 。
Ellsworth ’s utility function is (){}min U x y x y = ，，. Ellsworth has ＄150 and the price of x and the price of y are both 1. Ellsworth ’s boss is thinking of sending him to another town where the price of x is 1 and the price of y is 2. The boss offers no raise in pay. Ellsworth, who understands compensating and equivalent variation perfectly, complains bitterly. He says that although he doesn’t mind moving for its own sake and the new town is just as pleasant as the old, having to move is as bad as a cut in pay of ＄A. He also says he wouldn ’t mind moving if when he moved he got a raise of ＄B. What are A and B equal to? 答：由效用函数(){}min U x y x y = ，，可以看出，x 和y 是互补的，这是里昂惕夫技术。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-技术(圣才出品)
9．如果生产函数具有规模报酬不变的特征，那么，要素在生产上的边际技术替代率是 不变的。（ ）
【答案】F 【解析】规模报酬和边际技术替代率是两个不同的概念。规模报酬不变是指每种投入增 加一倍，而产出增加一倍；而要素的边际技术替代率是研究在企业的产出一定时，所投入的 要素之间的相互替代关系。两者并没有直接的因果关系。
术、管理水平等。令完全替代品的生产函数： f x，y ax by ，构造函数 q g f x，y ， 例如 q ax byk ， a x b yk k ax byk ，因此规模报酬取决于 k 。规模报酬可能递增、递减或不变。
2．如果产出由两种生产要素生产，且规模报酬递增，则（ ）。 A．不可能有递减的技术替代率 B．所有要素都有递增的边际产品 C．在等产量线图上，在从原点引出的一条射线上移动，当与原点的距离增加一倍时，
10．在生产函数为 y F K , L 的情形下，等产量线凸向原点意味着要素边际生产率递
减。（ ） 【答案】F 【解析】技术替代率是一个长期概念，是指沿等产量曲线增加一种要素的投入量时，减
少另一种要素投入的量以使产量保持不变时，等产量线的斜率的绝对值肯定会变小，即等产 量线凸向原点；而要素边际生产率与技术替代率并不是同一概念，边际要素生产率递减是指 增加一种投入的数量并保持其他投入不变的情况下，边际产品递减，是一个短期的概念。因
D．由两部分组成，一部分水平，另一部分为由斜率为-1 的直线
【答案】C
【解析】生产函数可写为：
f
x，y
2 x
x
y
x y x y ，因此等产量线由两部分组成，当
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(需求)
第9章需求1．假设偏好是相似的，证明：Suppose preferences are homothetic. Show that证明：相似偏好的效用函数有如下形式：()()=⎡⎤u x g f x⎣⎦这里()g是单增函数，()f是一次齐次函数。
特别的，由于效用函数的单调变换不改变它表示的偏好，所以一般情况下，可以直接假设()u x是一次齐次函数。
相似偏好的间接效用函数可以写成()()，，根据罗伊恒等式就有：v p m A p m=从而：比较上面两个式子可知：2．某个特殊物品的需求函数是x a bp =+，求相关的直接和间接效用函数。
The demand function for a particular good is x a bp =+. What are the associated direct and indirect utility functions?解：这是一个可积性问题。
将除x 物品外的其他所有物品统称为z 物品，p 是物品x 与物品z 的相对价格，即将物品z 的价格正规化为1。
令m 为收入，因此消费者预算约束可以写成：px z m +＝。
可积性方程为：边界条件为：()p q m m μ =；，求解微分方程可以得到：C 是一个常整数，其中()p q m m μ =；，是以货币度量的间接效用函数。
由()p q m m μ =；，可得：22bq C m aq =--，代入上式得：货币度量的效用函数形式上是一个当p固定不变时关于q和m的间接效用函数。
因此，与已知的需求函数相一致的间接效用函数是：由于p不变，所以可以去掉p。
下面使用罗伊恒等式来检验这一间接效用函数与需求函数是一致的。
因此根据罗伊恒等式，有：=+x a bq所以这一间接效用函数是与需求函数相对应的。
根据消费者理论的对称性，可以求相应的直接需求函数：将预算约束线带入目标函数得到关于q的最优值：因此直接效用函数为：这是一个拟线性效用函数。
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(竞争市场)
第13章 竞争市场1．令()v p m +为一有代表性的消费者的间接效用函数，()p π为一有代表性的厂商的利润函数。
福利为价格的函数，且为()()v p p π+。
证明竞争价格最小化这个函数，并解释为什么均衡价格是最小化而不是最大化。
Let ()v p m + be the indirect utility function of a representative consumer, and let ()p π be the profit function of a representative firm. Let welfare as a function of price be given by ()()v p p π+. Show that the competitive price minimizes this function. Can you explain why the equilibrium price minimizes this welfare measure rather than maximizes it?答：令福利函数的一阶导数为零，则有：()()0v p p π''+=。
根据罗伊尔定理和霍特林引理，一阶导表达式可写为：()()0x p y p -+=，这完全是需求等于供给的条件，也就是说，均衡时的价格能够满足福利函数的一阶导为零的条件。
同时，这一福利函数的二阶导数表达式为：()()x p y p ''-+，由需求曲线向下倾斜与供给曲线向上倾斜的性质可知它显然是正值。
因此，该福利函数在均衡价格p 处具有极小值而不是极大值。
在任何不同于均衡价格的水平上，厂商供给的数量不同于消费者需求的数量。
因此其他价格无法使得福利达到最大化。
2．证明：当价格从0p 变至1p 时，供给函数在0p 与1p 间积分所给出的利润变化。
Show that the integral of the supply function between 0p and 1p gives the change in profits when price changes from 0p to 1p .证明：由霍特林引理：()()/p w p y p π∂ ∂=，，可以得到利润变化为：3．一个有大量厂商的行业，每一厂商都取如下的成本函数形式()()()221212120c w w y y w y w =+++=，，（a ）找出厂商的平均成本曲线，描述它如何随要素价格12w w 的变化而移动。
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(效用最大化)
第7章 效用最大化1．考虑由如下关系定义的偏好：()()12121212x x y y x x y y ⇔+<+，，（a ）该偏好是否满足局部非饱和性假设？（b ）若消费集中仅包括两种消费物品，且消费者面临正的价格，消费者会花费其全部收入吗？请解释。
Considerpreferencesdefinedoverthenonnegativeorthantby()()1212x x y y ，， if1212x x y y +<+. Do these preferences exhibit local nonsatiation?If these are the only two consumption goods and the consumer faces positive prices, will the consumer spend all of his income? Explain.答：（a ）由局部非饱和性的定义：给定消费集X 中的任意消费束x 和任意0ε>，消费集X 中总存在消费束y ，满足x y ε-<，使得yx 。
局部非饱和性的含义是：即使仅允许对消费束作微小调整，消费者也可以做得更好一些。
对于任意的消费束()()1200x x ≠ ，，和非常小的正数ε，令：1122y x y x == 那么：12x y εε-≤<所以该偏好满足局部非饱和性，但是在()00 ，这一点除外。
（b ）消费者不会花光他全部的收入，理由如下：对任意花光全部收入的消费束，一定有：1122p x p x m +=对于这样的消费束，消费者只要把每种商品的消费量减少一点就可以提高自己的效用，因此在追求效用最大化的假设条件下，消费者是不会花光他全部收入的。
2．某一消费者具有效用函数(){}1212max u x x x x = ，，。
求消费者对物品1的需求函数，并求消费者的间接效用函数和支出函数。
范里安高级微观经济学8-9章课后奇数习题答案
8.选择 8.1 我们知道
x j ( p, m) h j ( p, v( p, m)) e( p, v( p, m)) / p j .
v( px , p y , pz , m) max{
9.11.a
m m , }. px p y pz
有各种方法来解决这一问题。最简单的是求解间接效用函数以得到
v1 ( p1 , p2 , m1 ) m1 ( p1 p2 ) 1 2 。现在用罗伊恒等式来计算
x1 x2
1 m1 2 p1 1 m1 . 2 p2
v( p, m) v *( p, m) = m = , m v ( p, m) v ( p , m )
其中μ代表拉格朗日函数中的拉格朗日乘子：
L( x, ) x x (3x1 4 x2 100) 。
3 1 20 验证在本问题中我们会得到 ， ，及 v(3, 4,100) 20 210 40 4
h1 ( p, m) h ( p, m) u ( ( 1 ) 2 ( 2 ) 1 ) 1 2 2 p2 1 2 p1 p2 p1
支出函数为
1
p2 1 2 1 22 p1 2 1 1 12 e( p, u ) p1[a1 ( u ) ] p2 [a2 ( u ) ] p1 2 p2 1
方程两边都减去 xi ( p) x j ( p)m 就得出求证结果。
9.3 我们必须解
d ( p; q , m ) a bp c ( p; q, m), dp
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-选择(圣才出品)
范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(技术)
第1章 技 术1．如果()V y 是个凸集，那么相关的生产集Y 一定是凸的。
对或错？True or false ? If ()V y is a convex set, then the associated production set Y must be convex.答：这个说法错误。
理由如下：凸生产集意味着凸投入要素集，但是反过来不成立。
首先证明凸生产集意味着凸投入要素集：证明：如果Y 是一个凸集，那么可以得出，对任何使(),y x -和(),y x '-都在Y 中的x 和x '′来说，一定会有()()()1,1ty t y tx t x '+----在Y 中，即()(),1y tx t x '---在Y 中。
从而可知：如果x 和x '在()V y 中，那么()1tx t x '+-也在()V y 中，从而可知()V y 也是凸的。
下面举反例说明凸的投入要素集并不意味着凸的生产集。
考虑由生产函数()2f x x =规定的技术。
生产集(){}2,Y y x y x =-≤∶当然不是凸的，但投入要素集(){v y x x =≥:是凸集。
2．当12a a ≠时，CES 生产函数11122()y a x a x ρρρ=+的替代弹性是什么？What is the elasticity of substitution for the general CES technology11122()y a x a x ρρρ=+ when 12a a ≠?解：为了计算替代弹性，首先要计算技术替代率，根据技术替代率的定义：11111222fx a x TRS f a x x ρρ--∂∂=-=-∂∂ 上式两边取对数后得到：()1221ln ||ln1ln a x TRS a x ρ=+- 根据替代弹性的定义： ()23ln /1ln 1d x x d TRSσρ==-3．将要素i 的产出弹性定义成：()()()i i if x x x x f x ε∂=⋅∂，如果()12a bf x x x =，每个要素的产出弹性是什么？Define the output elasticity of a factor i to be ()()()i i if x x x x f x ε∂=∂.If ()12a bf x x x =, what is the output elasticity of each factor?解：()()11112212,a b a b f x ax x f x bx x --==，从而第一个要素的产出弹性为： ()()()111111212a ba bx x x f x ax x a f x x x ε-=== 第二个要素的产出弹性为：()()()122221212a b a bx x x f x bx x b f x x x ε-===4．如果()x ε是规模弹性，()i x ε是要素i 的产出弹性，证明：()()1ni i x x εε==∑If ()x ε is the elasticity of scale and ()i x ε is the output elasticity of factor i ,show that()()1ni i x x εε==∑证明：对生产函数()y f x =，令()()y t f tx =，其中0t >。
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第8章 选 择
1．弗兰克·费雪的支出函数是 e p，u ，他对开玩笑的需求函数是 xj p，m ，其中 p 为
价格向量，收入 m 0 。证明：对弗兰克而言，当且仅当 2e / pju 0 时，开玩笑为正常品。
Frank Fisher’s expenditure function is e p，u . His demand function for jokes
is xj p，m , where p is vector of prices and m 0 is his income. Show that jokes
are a normal good for Frank if and only if 2e / pju 0 .
证明：恒等式 xj p，m hj p，v p，m e p，v p，m / pj 两边关于 m 求导得：
答：柯布-道格拉斯效用函数由下式给出：u
x1，x2
x1a
x1a 2
，在两边取对数，两种物品
的需求函数可以通过解下式导出：
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max
x1，x2
a
ln
x1
1
a
ln
x2
满足
p1x1 p2 x2 m
将约束条件代入目标函数得到：
x j
2e p，v p，m v p，m
，由于收入的边际效应 v / m 一定为正，故当且仅当
m
pi u
m
2e /
p j u
0
时，
x j m
0
，开玩笑为正常品。
2．计算两物品的柯布-道格拉斯需求函数的替代矩阵。验证对角线各项是负的，交叉价 格效应是对称的。
Calculate the substitution matrix for the Cobb-Douglas demand system with two goods. Verify that the diagonal terms are negative and the cross-price effects are symmetric.
由斯拉茨基方程：x j
p，m
pi
hj
p，v
pi
p，m
x j
p，m
m
xi
p，m
中可以得出替代
效应：
hj
p，vpi
x j
p，m
m
xi
p，m
将需求函数分别对 p1 、 p2 、 m 求导，代入替代效应表达式中，即得出替代矩阵如下：
a1mp12 a12mp12 a1a2mp11 p21
3
5．某消费者，其效用函数为 u x1，x2 x12 x2 ，其预算约束为 3x1 4x2 100 。求出其需
求束。
Find the demanded bundle for a consumer whose utility function is
max x1
a
ln
x1
1
a
ln
m
p1x1 p2
解出物品 1 的马歇尔需求为：
x1
p1，p2 ，m
am p1
代入预算约束得出物品 2 的马歇尔需求为：
x1
p1，p2 ，m
1 a
p2
m
简化起见，令 a1 a ， a2 1 a ，则两物品的柯布-道格拉斯需求函数可以写成：
x1
a1m p1
x2
a2 m p2
Suppose that a consumer has a linear demand function x ap bm c . Write down the differential equation you would need to solve to find the money metric utility function. If you can, solve this differential equation.
p；q，m
pi
xi
p，
p；q，m
q；q，m m
对于线性需求函数 x ap bm c ，微分方程为： d at b c dt
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这是一阶线性微分方程，求解得到：
p；q，m
ebq p
m
c b
a b2
答：根据上题的步骤可以得到： x ecapbm
相应的的微分方程为： d eatb c dt
求解得： eb d eceat dt
积分得到：
利用约束条件得到：
eb
p；q，m
ebm
bec a
eaq
eaq
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答：由支出函数的性质可以知道：
e p，u h p，u
p 又因为：
x p，e p，u h p，u
这就意味着：
e
p，u
p
x
p，e
p，u
令 u vq，m ，由上式可以得到：
e p，vq，m pi
xi
p，e p，v q，m
令 p；q，m e p，vq，m 表示货币度量的效用函数，那么就有：
a1a2mp11 p21 a2mp22 a22mp22
从上面表达式中可以看出，其对角线各项是正的，且交叉价格效应相等：
h1 p2
h2 p1
a1a2mp11 p21
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3．假设一个消费者具有线性需求函数 x ap bm c 。写出为得到货币度量的间接效用 函数而需要求解的微分方程；如果可能，解此方程。
c b
p
c b
a b2
aq b
4．假设一个消费者具有一个半对数需求方程 ln x ap bm c 。写出为得到货币度量的 效用函数而需要求解的微分方程。如果可能，请解此方程。
Suppose that a consumer has a semi-log demand function ln x ap bm c . Write down the differential equation you would need to solve to find the money metric utility function. If you can, solve this differential equatio.