大学数学应用基础——高等数学中册湖南教育出版社

M的方向垂直于F和 OA ,且OA , F, M构成右手系.
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6.2 向量的向量积
定义 两个向量a和b的向量积(又称叉积或外积)记作a b ,
它是满足下述条件的向量：
（1）向量 a b 的模|a b | |a||b |s in a ,b ; （2）向量 a b 与a和b都垂直,且a, b, a b 的方向
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6.1向量及其线性运算
例2 求证：以 M 1 (4 ,3 ,1 ),M 2 (7 ,1 ,2 ),M 3 (5 ,2 ,3 )三点为顶点
的三角形是等腰三角形. 证 因为
|M 1M 2|1 2( 1 )2226,
|M 2M 3|( 2)212126.
所以 |M1M3||M2M3|, 故三角形 M1M2M3 为等腰三角形.
6.1向量及其线性运算
例1 求空间直角坐标系中，标出下列各点的坐标： A(1,2,3), B(0,1,1),C(-1,0,0). 解 根据坐标与点的对应关系，描出各点如下图所示.
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6.1向量及其线性运算
空间两点的距离公式
由图可知，该长方体的各棱长分别为：
|x 2 x 1|,|y 1 y 2|,|z1 z2|.
( 2 )a b ( a x b x ,a y b y ,a z b z) ;
(3 ) a (a x ,a y ,a z)( R );
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6.1向量及其线性运算
( 4 ) a b |a | |b | c o s a , b a x b x a y b y a z b z ; (5) a//bax ay az ;
6.1向量及其线性运算
定义2 空间向量的加法、减法与数乘满足以下运算性质：
（1）交换律
a+b=b+a;
（2）结合律
(a+b)+c=a+(b+c), λ(μa)=(λμ)a=μ(λa);
（3）分配律
(λ+μ)a=λa+μa,
λ(a+b)=λa+λb.
定理 向量b与非向量a平行的充要条件是存在实数
使得
长方体的对角线长的平方等于三条棱
长的平方和，则：
|M 1 M 2 |2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2 .
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所以点 M1和M2 间的距离为 |M 1 M 2|(x 1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2 (z 1 z 2 )2 .
B C ( 0 1 , 0 1 , 5 1 ) ( 1 , 1 , 4 ) ,
所以
u u u r B A( 2)212223,
u u u r B C ( 1 )2 ( 1 )2 4 2 32 ,
u u u r u u u r
B A g B C ( 2 u) u ur( u u1 ur) 1 ( 1 ) 2 4 9 .
6.1向量及其线性运算
2. 空间向量及其线性运算
向量： 既有大小又有方向的量.
r 向量表示： a
或
uuuur MN
M
以M为起点，N为终点的有向线段.
向量的模：向量的大小.
| a|或
u u uur MN
r
零向量：模长为0的向量. 0
单位向量：模长为1的向量. a 0 a 0 a
|a |
相等向量：模相等且方向相同的向量. a = b
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6.1向量及其线性运算
1. 空间直角坐标系 z竖轴
坐标原点o •
y纵轴
横轴 x
通常规定x轴，y轴，z轴的正向要遵循右手法则.
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6.1向量及其线性运算
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
z zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
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空间直角坐标系共有八个卦限.
构成右手系.
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6.2 向量的向量积
|a b | |a||b |sin a ,b
|a||b|sin
|a|hS平行四边形.
向量积有以下运算律：
（1）反交换律 （2）结合律 （3）分配律
baab;
(a ) b ( a b ) a (b ) ;
(a b ) c a c b c .
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大学数学应用基础
——高等数学(中册)
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第六章 向量代数与空间解析几何
• 6.1 向量及其线性运算 • 6.2 向量的向量积 • 6.3 平面与直线 • 6.4 曲面与曲线
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6.1向量及其线性运算
1. 空间直角坐标系 2. 空间向量及其线性运算 3. 向量的坐标表示
b
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ab
a
ab
a
b
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6.1向量及其线性运算
a 负向量: 与a的模相同而方向相反的向量.
向量a与-b的和称为a与b的差,记作a-b.
向量的减法: 把a与b的起点放在一起,a-b即是以b的终点 为起点，以a的终点为终点的向量.
-b
a-b a
a-b
b
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ba(ab) 2i4jk.
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6.2 向量的向量积
例4 求同时垂直于x轴与向量a=(3,6,8)的单位向量. 解 取与x轴同向的单位向量i=(1,0,0),则同时垂直于a与i 的
Q i ij j k k 0 ,
Q ijk, j k i, k i j,
ji k, k j i, ik j. a b ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k .
向量积的坐标表示式
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于是 |a b | |a||b |sin a ,b |a||b|00.
定理 两个非零向量平行的充要条件是它们的向量 积为零向量.
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6.2 向量的向量积
例2 设m,n是互相垂直的单位向量，a=m-n,b=m+n,求
|ab |. 解 a b (m n)(m n)(m n ) m (m n ) n
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N
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6.1向量及其线性运算
共线向量(平行向量): 方向相同或相反的两个向量互相平行或 重合. a//b
零向量与任何向量都平行.
θa,b
向量a与b垂直: a b
a,b 2
约定零向量与任何向量都垂直.
空间向量的加法、减法、与数乘统称向量的线性运算.
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cosABC
BAgBC
| BA|| BC|
9 33
2
2. 2
ABC .
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4
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6.2 向量的向量积
实例 设O为一根杠杆的支点，有一力F作用于这杠杆上 点A处，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模
F
O
A
L
P
uuur
|M||F||OP|
u u u r
u u u r
|F |g |O A |g s in F ,O A
例6 已知三点A(-1,2,3), B(1,1,1), C(0,0,5),求ABC.
u uur u u ur 解 作向量 B A , B C , 则
u uur BA
u u ur 与B C
的夹角就 ABC.
u u u r
是
因为 u B u A u r ( 1 1 ,2 1 , 3 1 ) ( 2 , 1 ,2 ) ,
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6.1向量及其线性运算
例uuu4uuur M 1M 2
已知 M1(0,1,2)和 M2 方向相同的单位向量.
(1,
0,
3)
，求向量
uuuuuur M 1M 2
的模及与
解 因为向量的坐标为
u u u u u u r M 1 M 2 ( 1 0 , 0 ( 1 ) , 3 2 ) ( 1 , 1 , 1 ) .
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6.1向量及其线性运算
定义1 将向量a与b的起点放在一起,以向量a和b为邻边为平 行四边形,则从起点到对角顶点的向量称为a与b的和向量,记作 a+b.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.
向量可以平移，若把b的起点放到向量a的终点上， 则自a的起点到向量b的终点的向量亦为a+b向量.这种 求向量的方法称为向量加法的三角形法则.
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6.2 向量的向量积
例1 设a,b是两个向量，且b=3a，试证：ab0.
证 （1）如果a=0，则 |a | 0 , 所以
|a b | |a||b |sin a ,b 0 |a| |b |sin a ,b 0 ,
所以
ab0.
（2）如果 a 0 , 则b=3a与a平行，所以<a,b>=0,
为何值时，(1) a与b平行；(2) a与b垂直.
解 (1) 由a//b的充要条件，得
4 3 , 0 2
0, 3.
(2) 由 a b 的充要条件，得
2
0 4 ( 2 ) ( 3 ) 0 .
8 , 可取任意值.
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