有限体积法介绍
有限体积方法
有限体积方法引言有限体积法(FVM)是在物理空间上积分形式的守恒方程进行直接离散的数值方法。
与有限差分方法相比有限体积方法更具有一般性，适用于任意形式的网格，结构网格与非结构网格均适用。
有限体积法是一种基于将CFD中最基本的量在单元内的平均值，这是与有限差分及有限元方法区别的地方，后边两种方法的数值量都取为在网格点上。
FVM方法一个重要优势是跟守恒性离散这个重要的概念联系起来，它可以自动满足具有守恒性的离散。
另一个优点就是适用于任意的网格。
5．1 守恒性离散对于量U守恒律的一般积分形式可以由式(1.1.1)给出如下将上式的最终表面源项合并到通量项中得到该表达式的基本特点是存在表面积分以及在体积内U的时间变化只依赖于表面上的通量. 如图5.1.1所示可将一个体积元分解成三个亚体元,对于每个亚体元写出守恒律表达式将这些表面积分进行加和,内部线ADB以及DE总是两次出现,但是方向相反,将三部分积分守恒律相加,这些内部的贡献量就会抵消,只剩下外边界的贡献量.例如,对于有一个通量的贡献量而对于也有一个相似的项:这样这两项相加就可以抵消. 故要保证格式是守恒的,通量的数值离散必须满足这样一个基本性质.下面我们以一维守恒律的情形来说明这个问题结合图5.1.2来说明这个问题其中f是矢量通量的x方向分量, 参考上图, 定义一个一维有限体积网格,并把中间点定义为“单元面”. 例如, 对于元(i), 单元面就是i-1/2与i+1/2的中点.对该有限体积网格应用中心差分, 在i, i+1与i-1点处分别离散得到将以上三个方程加和就得到了与元AB(i-3/2, i+3/2)上的守恒律相容的离散方程,即从上式可以看出内部点的通量贡献已经抵消掉. 有时这种特性称为通量项的“telescoping property”, 对于元AB, 只考虑中间点i(不考虑i-1与i+1点),则离散形式可以直接写为从 5.1.7的两式对比中, 我们可以看到通量部分的离散具有统一的形式, 这就是我们所要强调的守恒的特性.如果我们要考虑方程(5.1.3)的非守恒形式, 则通量的导数就可以写为其中, a(u)为Jacobian函数, , 故非守恒形式可以写为利用图5.1.2所示的有限体积网格, 对非守恒形式在i点应用二阶中心差分得到其中是的值.同样,对于i+1点以及i-1点有,将9式中三个离散式子进行加和得到参考5.1.7b, 将5.1.8式直接在AB上进行离散,可得我们发现5.1.10a右边由元AB内部点贡献的通量部分并不能互相抵消掉, 表现出源项的特点,这导致计算机程序不能将之与物理源项相区分, 故非守恒形式的离散会产生内部源.这些项被认为在网格点处展开为一项的二阶形式. 在连续流情况下可以忽略它, 但是对于计算非连续流动,比如流动中有激波产生, 就会产生巨大的误差. 数值实验显示非守恒形式比守恒形式的精度更低,尤其是在遇到梯度大的地方,由于数值源项的存在会产生更大的误差.5.1.1 守恒的离散化的正式表示方法对于5.1.3式,如果离散成如下的形式就可以满足守恒性要求,为数值通量, 其为u在(2k)个邻域内点的函数.此外, 方程5.1.11与原方程相容性要求当所有的均相等时,有这些都可以直接推广到多维的情形, 以上条件必须分别对矢量通量的所有分量均成立.定理: 当趋近于0时,若离散方程5.1.11的解几乎处处收敛于某个函数值, 则是方程 5.1.3的弱解(可以存在有限个间断——Rankine-Hugoniot条件)5.2 有限体积方法基础有限体积方法是积分形式的守恒律方程的直接离散,这是有限体积方法与有限差分方法最大的区别,由于积分形式是守恒律的最一般的表达式,它不要求通量一定是连续的,这就是有限体积方法接近真实流动的原因.FVM需要按以下步骤来构建:1.划分网格,由空间离散得到有限体积,一个控制体积与每一个网格点都相关联2.在每一个有限体积上应用积分形式的守恒律.有限体积选择的条件由于具有普遍性,有限体积方法能够适用于任何类型的网格,结构与非结构.单元居中的方法: 未知量定义在网格单元的中心,网格线定义了有限体积及表面积, 此处, 变量与单元相关,如图5.2.1a及c. 流动变量是在整个单元的平均值, 可以认为是单元内部某些有代表性点的值, 例如单元中心点.单元顶点的方法: 未知量定义在网格角上,此处变量与网格点相关,例如单元顶点, 如图5.2.1b,d所示在相容的有限体积方法的体积的选择上,以下的限制条件必须得到满足:(i)它们的总数应该覆盖整个区域(ii)亚区域是允许重叠的,条件是表面的每一部分作为一个偶数个不同亚区域的部分而出现,这样整体的总积分守恒律就适用于任何相邻亚区域的组合域.(iii)通量沿单元表面必须由不依赖于当地单元的公式来计算.(iii)确保了守恒特性的满足,因为通量的内部边界的贡献量会抵消掉(相关的有限体积相加之后)5.2.2 有限体积离散的定义将积分型守恒律应用到每一个控制体积, 关联到网格点J, 因此对于依附于该点或单元上未知量的离散化方程可定义为:该方法的优点(对于无源项方程尤其有优势)是通量只在二维表面上计算,而不是三维空间中. 5.2.1可由其离散形式代替,对于参考图5.2.1a对于单元1(i, j), 用统一表示, 是ABCD面. 通量项在4条边AB, BC, CD, DA求和.式(5.2.2) 说明了有限体积法与有限差分及有限元法区别的一些重要特性: 1.点J的坐标是变量的准确位置,在控制体积内它将不会明确的标出.因此在控制体内联结到一个固定点,将之看作是整个控制元上该流动变量U的一个平均值(图5.2.1a). 5.2.2式中第一项代表在选定的控制体积上流动变量的平均值的时间变化率.2.网格坐标只出现在确定的单元体积以及侧面上. 因此, 参照图5.2.1a, 考察点1的控制元ABCD只有A,B,C,D的坐标将是需要用到的.3.当不存在源项的时候,有限体积方程式表示时间间隔内U的平均值变化等于相邻单元之间通量的交换量,对稳态流动,得到的数值解是通量进入控制体平衡的结果, 即例子: 图5.2.1a中AB面,对于1则通量贡献量为正,而8则为负.4. 有限体积也允许边界条件的自然引入, 例如固壁, 法向分量为0, 对连续方程. 在固壁处. 因此对(5.2.2)及(5.2.3)的相应的贡献变为0.5.2.3 数值格式的一般表达式假设守恒律的积分形式(5.2.1)对于控制体积, 从到进行积分有,引入单元平均守恒变量, 在时间的源, 单元与时间平均源, 以及每个边上的数值通量, 分别定义如下守恒的离散化采用如下形式:其中与任何网格点无关, 它是整个单元上的平均. 为了在离散化的水平上实现守恒,在给定的单元面上的数值通量的估计必须独立于其所属的单元.如果考虑空间离散完全由其数值通量来定义,时间积分项暂不处理,则以上的数值方法就会得到其一般形式. 一个一般的数值格式可以定义为对时间的常微分方程为定义残差为整个单元上的通量平衡减去源项贡献. 5.2.6是5.2.7的时间的向前差分,也有其他的时间离散方法,例如龙格-库塔法.守恒性条件可选择的公式在任意数量的单元上对5.1.2进行展开, J=1-N. 对所有的单元进行加和,削去所有单元内表面的贡献项得,定义为在整个单元的平均值,该格式的守恒性要求,在每一个时间步,如下的条件要得到满足,边界以及源项5.3 有限体积方法的实际应用5.3.1 二维有限体积方法如图5.2.1a,考察控制单元ABCD, 方程5.2.1可写为f, g为矢量通量F的直角坐标分量,对边AB,表面矢量可定义为对于单元,可以得到有限体积方程ABCD展开求和包括ABCD的四条边,对于一般的四边形,面积可由对角线矢量乘积表示,如图5.3.1, 平行四边形1234的面积是ABCD的两倍,因此, 为点A的位置矢量.对于单元ABCD,上式右边为正.通过单元表面通量的计算沿侧边通量分量,如的计算(a)对于中心离散格式以及单元中心化的有限体积方法,有以下做法:1.通量平均2.由于通量分量一般是U的线性函数,以下的式子与5.3.5不等价3.将取为通量在A及B处的平均这里,可以在A及B处求变量的值, 例如以及也可以进行通量的直接平均, 例如:可以看到, 5.3.7与5.3.10比5.3.8与5.3.11需要更少的通量计算(b)对于中心格式及单元-顶点的有限体积方法:5.3.7, 5.3.8是对通量的直接近似, 5.3.8是对应着对积分梯形公式的应用通过加和在单元ABCD四个边积分的贡献量(如图5.2.1b), 可以得到例子: 在笛卡儿网格下的中心离散格式. 在笛卡儿坐标, 均匀网格下,上述有限体积公式与有限差分的公式是一致的. 由可以得到(此处记, 同样其他的量也采用类似的记法)两边除以可以得到中心差分格式将5.3.5式应用到图5.2.1a, 方程E5.3.3变为而由5.3.8与5.3.11将推出如下的公式(c)单元-中心化有限体积的迎风格式(利用上游点求下游)对流通量以相关的对流速度传播方向的函数来计算,其中由图5.2.1a可以定义(d)对于迎风-单元顶点的有限体积方法(图5.2.1b), 可以定义例子:E5.3.2 “笛卡儿坐标网格中的迎风格式”考虑二维线性对流方程的离散如图5.2.1a所示, 在单元ABCD应用有限体积的公式:通量定义为, 选择方程5.3.14, AB,CD为竖直边,有对于水平边BC, DA有故其得到的格式为一阶迎风格式的推广, 具有一阶精度5.3.2 梯度的有限体积的计算对于任意一个体积，由高斯定理得此处，S是封闭的边界表面,定义平均化的梯度为以及对于二维控制单元,可以得到如图5.2.1d, 在公式两边应用梯形积分公式, 得到此处对所有的顶点求和,从1到6, 以及. 经过整理可得到对于y同样存在这样的关系计算单元面积: 当U=x时,方程5.3.21左侧为1. 对于任意一个单元的面积可用如下的式子进行计算,对任意一个四边形ABCD, 如图5.3.2, 可以得到以及对于y方向导数有,对于同一单元的封闭面与体有如下关系对于二维单元, 取, 可以推出如下的公式例子: E5.3.3 二维扩散方程考虑二维扩散方程对于扩散的通量分量(k为常数) 在图5.2.1a的网格上进行有限体积的离散,将整个单元ABCD的通量表示如下,在单元的格点A,B上计算导数, 对于单元(i, j),方程5.3.3可写为对于A点, U的导数取整个元1,6,7,8的平均值,由5.3.26得对于B可以得到与A类似的关系通过边AB对通量的贡献为E5.3.14与E5.3.15两式的加和, 并与相乘而得到的,同理通过BC通量的贡献为类似的关系对于C有最后,对于方程E5.3.13有, 可以写为该数值离散对应的是图4.2.3中Laplace算子的离散.更简单的办法为这样就推出了扩散方程的标准有限差分格式(对应图4.2.2)以上可以推广到多维的情况以及流行的结构及非结构网格上去.。
cfd有限体积法
cfd有限体积法CFD有限体积法CFD（Computational Fluid Dynamics）是指利用计算机模拟流体运动的科学技术。
而有限体积法（FVM，Finite Volume Method）是CFD中的一种数值方法，它将流域分割成许多小的控制体积，然后通过对每个控制体积内的物理量进行离散化，将偏微分方程转化为代数方程组，从而求解出流场的各个物理量。
1. FVM基本原理1.1 控制体积FVM方法将流域分割成许多小的控制体积，每个控制体积都是一个封闭区域。
在这个区域内，可以计算出各种物理量（如密度、速度、压力等），并且这些物理量在整个区域内都是均匀的。
1.2 通量通量是指单位时间内通过单位面积所传递的某种物理量。
在FVM中，通量是一个重要的概念。
通过对每个控制体积进行质量守恒和动量守恒方程进行离散化，可以得到通量在各个边界上的表达式。
1.3 离散化离散化是将偏微分方程转化为代数方程组的过程。
在FVM中，通过对控制体积内的物理量进行离散化，可以得到每个控制体积内的物理量与相邻控制体积内的物理量之间的关系式。
1.4 数值求解离散化后，可以得到代数方程组。
通过数值方法（如迭代法、高斯消元法等），可以求解出这个方程组，并得到流场各个物理量的数值解。
2. FVM优点2.1 适用性广FVM方法适用于各种复杂流动问题，如湍流、多相流、非牛顿流等。
2.2 精度高FVM方法是一种高精度的数值方法，能够准确地计算出流场各个物理量的分布情况。
2.3 稳定性好FVM方法具有良好的稳定性和收敛性，在计算过程中不会出现发散等问题。
3. FVM应用领域3.1 航空航天工业在航空航天工业中，FVM方法被广泛应用于飞行器气动力学、燃烧室燃烧过程模拟、液体火箭发动机喷注等领域。
3.2 汽车工业在汽车工业中，FVM方法被用于模拟气动力学、燃烧过程、发动机燃料喷射等问题。
3.3 能源领域在能源领域中，FVM方法被用于模拟火电厂锅炉内的流动和传热过程、风力发电机叶片的气动特性等问题。
有限体积法基础
有限体积法基础有限体积法是一种数值分析方法，主要用于求解偏微分方程。
它将空间分成一系列的体积元，并且将计算结果储存起来，以便在下一个时间步骤进行计算。
在有限体积法中，体积元的边界被称为单元的面。
这些面被用来确定物质过渡的速率。
下面我们将进一步讨论有限体积法的基础知识。
有限体积法的主要思想是基于守恒原理，它认为一个系统内的总质量、物质和能量是不变的，在考虑这个理论模型的时候需要注意到这些变量的变化。
对于流体力学问题，有限体积法的两个基本假设是守恒原理以及描述流动的基本方程式不变。
有限体积法的设计结合了一些不同类型的基本方程式。
最常见的基本方程式是连续性和动量守恒方程式。
连续性方程式是描述物质输送的方程式，它表示了在任何一个小体积元内的物质输送是以恒定的速率进行的。
动量守恒方程式表示了每个小体积元的力学效应，包括压力、动量、重力和摩擦力等。
在计算的过程中，有限体积法将模型划分成一个网格，将每个体积元看作一个节点，控制体积元内的平均值。
在这个模型中，每个节点的值取决于它的邻域，因此在每个时间步骤中都需要重新计算。
这种方法的优点是可以非常准确地记录物质和能量的流动，缺点是计算量较大，但通过高性能计算工具可以得到准确且高效的解决方案。
总而言之，有限体积法是一种强大的数值分析方法，可以应用于流体力学、结构力学等方面。
它可以在不同的工程学领域解决多种不同的问题，如过程建模、边界值问题等。
要求有效地运用有限体积法，在合理的网格分布、合理的边界条件、合理的物理模型以及合理的计算策略下，对于计算速度和准确性都要求高度保证。
有限体积法介绍
有限体积法介绍有限体积法1 有限体积法基本原理上⼀章讲到的有限差分法将数值⽹格的节点上定义为计算节点，并在⽹格节点上对微分形式的流体基本⽅程进⾏离散，⽤⽹格节点上的物理量的代数⽅程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采⽤了不同的离散形式。
⾸先，有限体积法离散的是积分形式的流体⼒学基本⽅程：d q ds ds SSΩΩ+??Γ=?φφρφn n v(1)计算域⽤数值⽹格划分成若⼲⼩控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的⽹格定义了控制体的边界，⽽不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在⼩控制体内部。
⼀般有限体积法的计算节点有两种定义⽅法，⼀种是将⽹格节点定义在控制体的中⼼，另⼀种⽅法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第⼀种⽅法的优点在于⽤计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有⼆阶的精度；第⼆种⽅法的好处是在控制体边界上的中⼼差分格式具有较⾼的精度。
积分形式的守恒⽅程在⼩控制体和计算域上都是成⽴的。
为了获得每⼀个控制体上的代数⽅程，⾯积分和体积分需要⽤求⾯积公式来近似。
2 ⾯积分的近似采⽤结构化⽹格，在⼆维情况下，每⼀个控制体有4个⾯，⼆维情况，每⼀个控制体有6个表⾯。
计算节点⽤⼤写字母表⽰，控制体边界和节点⽤⼩写字母表⽰。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每⼀个⾯都是相邻两个控制体的唯⼀公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表⾯的积分的和：∑??=kkfds fdS(2)上式中，f 可以表⽰n u ρφ或nΓφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采⽤近似的⽅法来计算积分。
整个近似过程分成两步第⼀步：⽤边界上⼏个点的近似积分公式第⼆步：边界点上的函数值⽤计算节点函数值的插值函数近似⾯积分可采⽤以下不同精度的积分公式：⼆阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==?(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
有限容积法和有限体积法
有限容积法和有限体积法有限容积法和有限体积法是计算流体力学中常用的两种数值方法，它们在流体动力学的数值计算中占有非常重要的地位。
本文将从概念、原理、特点、应用等方面，对这两种方法进行详细介绍。
一、有限容积法1.概念有限容积法（Finite Volume Method，FVM）是一种离散化的数值方法，它将连续的物理量离散化为有限个体积元，在每个体积元内计算其平均值，进而求解整个流体系统的物理量。
FVM方法的核心是质量守恒原理，即物质的进出必须平衡，这种保证了物理量在每个体积元内的守恒关系，从而保证了数值计算的准确性。
2.原理FVM方法的数值计算是基于网格的，它将流体动力学问题离散化为一个由有限体积元组成的系统，将原问题转化为流量守恒方程的求解，即$$\frac{\Delta m}{\Delta t}=\Sigma_{faces}\rho uA$$其中，$\Delta m$是在$\Delta t$时间内通过一个表面的质量变化量，$\rho$是介质的密度，$u$是速度，$A$是面积。
对于每个有限体积元，上式可以写为其中，$F_{ij}^p$和$F_{ij}^n$分别是流向有限体积元内部和外部的通量，$i,j$是有限体积元的编号。
3.特点（1）FVM方法基于质量守恒原理，具有非常强的数值稳定性和保真性；（2）FVM方法的计算结果具有局部守恒性，能够准确反映流场内部的物理现象；（3）FVM方法可以处理非结构化网格，适用范围广泛；（4）FVM方法求解的是面积分，所需的时间和空间存储相对较少。
4.应用（1）流体力学领域，如空气动力学、水力学、燃烧问题等；（2）材料科学领域，如薄膜生长、材料变形等。
有限体积法（Finite Element Method，FEM）是一种离散化的数值方法，它将求解的物理场离散化为有限个单元，然后在每个单元内进行近似计算。
相比于FVM方法，FEM方法更加精确，适用于需要高精度计算的问题。
第七讲有限体积法简介
第七讲 有限体积法简介（a ）圆形管流的结构网格（b ）圆形管流的非结构网格123459876HKGFEDCBA(,)i j (1,)i j +(1,)i j -(,1)i j -(,1)i j +A BA By ∆A Bx ∆ABC DEFGHK(,)i j (,1)i j +(,1)i j -(1,)i j +(1,1)i j ++(1,1)i j -+(1,)i j -(1,1)i j --(1,1)i j +-JΩIJΩ12345二维有限体积网格中心单元结构网格中心结点结构网格中心单元非结构网格中心结点非结构网格AB CDE FGHD C G HSA B C DSA D H ESE F G H SAB CD PABCDEFGHABCDFE HG六面体划分成四面体或棱锥的方法应用于势流计算的飞机有限面元三角网格计算域的常规有限元划分二．有限体积方法（Finite V olume Method ）（一）积分形式的Euler 方程 二维非定常Euler 方程U F G txy∂∂∂++=∂∂∂ （12-1）uU v e ρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()2u u pF u v e p u ρρρ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦()2v u vG v p e p v ρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦补充 ()22112pe u vργ=++-在区域ABCD 内对Euler 方程进行积分：0A B C D U F G d x d y t x y ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰（12-2）整理上式，得0A B C DA B C D F G U d x d y d x d y tx y ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰（12-3）1j -1j +j1i +1i -i12j S+(),i j RTSPABCDQ12i S +格林定理：设C 为逐段光滑的简单（无自交点）闭曲线围成的单连域S ，这围线的方向使区域S 保持在左边。
有限差分法、有限单元和有限体积法简介
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介1.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2.有限元方法有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限体积方法
第三讲 空间离散方法—有限体积法由于控制方程的复杂性，很难求出其解析解，一般采用数值方法对其进行求解。
采用数值求解方法，首先要对流场空间进行离散，即用一些基本体积单元对物理空间进行填充，要求这些体积单元既不能重叠，也不应有间隙，我们称这些体积单元为网格，或控制体积，填充的过程则称为网格生成。
对于二维流动，基本的网格单元有三角形和四边形网格，而对于三维流动，则基本的网格单元可由四面体、三棱柱、金字塔和六面体单元组成，图3.1即为机翼附近网格。
网格划分完成后，就可以应用相应的数值求解方法把每个网格单元中心点处的流动变量求解出来，也就完成了全部流场的计算。
有限体积法就是针对每个控制体积直接对积分形式的控制方程进行离散，从而把积分型方程近似为代数方程进行求解的方法。
图3.1 机翼附近网格3.1 N-S 方程的半离散形式积分形式的N-S 方程为： ∫∫Ω∂Ω=⋅−+Ω∂∂0)(dS n F F Qd t V c r （3-1） 针对空间某一控制体I Ω，首先对时间导数项进行处理，假设守恒变量Q 在控制体积内为常数分布，即等于控制体中心点处的值I Q （也即为控制体积内守恒变量的平均值），有∫Ω∂∂Ω=Ω∂∂t Q Qd t I （3-2） 式（3-1）变为 ∫Ω∂⋅−Ω−=∂∂dS n F F t Q v c I r )(1 （3-3）假设对流通量和粘性通量在控制体界面上为常值分布，且等于界面中心点（面心）处的值，则有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ⋅−Ω−=∂∂∑=F N m m m v c I S F F t Q 1)(1 （3-4） 对式（3-3）右端项的近似称为空间离散，而式（3-4）时间方向暂时保留连续的形式，所以称该式为半离散控制方程。
式（3-4）中的m S Δ为第m 个界面的有向面积，即该面的外法线矢量与界面面积的乘积，为一矢量，又称面积矢量。
仔细观察半离散方程可以发现：时间导数项是由单元中心点处的守恒变量值表示的，我们称其为单元中心法；式（3-4）右端项中的通量是关于界面处流动变量的函数，需由界面处的流动变量来确定，由此可看出，流动变量I Q 与流动通量m S F Δ⋅的空间存储位置不同，要想求出流动通量，需先假设流动变量在控制体积内的分布规律，这一过程称为重构，然后确定界面处的流动变量值，再求出界面处的流动通量。
有限体积法
有限体积法一、基本概念有限体积法是西方物理学家威廉.波音（William Bonynge）1890年提出的一种数值求解的方法，它的基本思想是：体积的变化量等于速度与时间（或位移）的变化量的乘积，可用该方法将求解所需要的复杂积分运算完全转化为一系列可以进行迭代计算的一阶微分方程组或其它形式的差分方程组，从而达到精确求解物理量的目的。
因此，定积分是有效控制精度的唯一手段，具有定积分法所不具有的稳定性和可逆性，因而有限体积法被广泛应用于气象、流体动力学和计算力学领域。
二、理论原理有限体积法的原理是基于一个体积的时间变化：一定体积的运动元件在时间上的体积变化为它的速度变化和位移变化的乘积。
这个变化的积分就是这个体积的变化量。
运用积分的方法，可以求出速度和位移变化总量。
在求解有限体积法时，应遵循以下步骤：（1）准备数据：确定当前体积元件的大小，位置，特性等，也可以准备一些较为精确的拟合值；（2）定义 size variable：对于每个体积元件，用大小变量x来进行描述；（3）定义变量系数：假定每个体积元件有一定的变量系数a来描述其变化量；（4）建立方程：根据上述步骤求出的变量系数a就可以构建积分的代数形式；（5）求值：根据构建的形式可以求解体积的变量系数a，以此来计算出体积变化量。
三、应用有限体积法应用广泛，在流体动力学，气象与空间等诸多领域中得到广泛应用。
有限体积法主要应用于数值计算中，用来求解涡流的发生、动态行为，以及特殊物理量的计算等。
有限体积法主要用来求解涡流问题，它能够对流动过程中的细节进行描述，问题的解决也比较精确。
由于有限体积法有较好的精度、可逆性和可靠性，因而在研究空气流动中用到比较多。
例如，汽车动力学领域中用来分析汽车机车旋转力矩、操纵力、起飞阻力等特性，以及舰船水车结构设计时等。
有限体积法在气象中也得到应用，例如预报气象，探测天气现象的发展趋势以及其影响。
此外，有限体积法也可以用于地性质、物理数学模型、生物物理过程中的求解，用来处理水库沿岸的地质、物理状况，以及景观的改变和积水的形成等问题。
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法有限体积法（FVM）是计算流体力学（CFD）中常用的数值方法之一，用于求解流体力学方程。
它将求解域划分为离散的有限体积，通过对这些体积进行积分，将偏微分方程转化为代数方程，从而得到离散的数值解。
有限体积法的基本思想是将求解域划分为互不相交的有限体积单元，每个体积单元都包含一个中心点和一个相对应的体积。
在每个体积单元内，通过对流体力学方程进行积分，可以得到一个代表该体积单元平均值的代数方程。
这些代数方程连成一个线性方程组，通过求解这个方程组可以得到流场的数值解。
在FVM中，主要有三个关键步骤：离散化、积分和求解。
离散化是将待求解的方程在各个体积单元上进行离散，最常用的离散方式是采用控制体积法。
控制体积法通过定义控制体积面和控制体积边界上的通量，将方程离散化为一个线性代数方程组。
通常，在离散化过程中，流体力学方程会按照守恒形式进行处理。
积分是将流体力学方程在体积单元上进行积分，得到一个代表该体积单元平均值的代数方程。
通过这种方式，可以避免对方程进行高阶求导，降低计算的复杂性和误差。
在FVM中，除了对流体力学方程进行积分外，还需要对边界条件、源项和湍流模型等进行积分。
这些积分一般会产生一些额外的项，如壁面摩擦力、源项通量等。
求解是通过求解离散化后的线性代数方程组，得到流场的数值解。
求解方程组的方法有很多种，常见的方法包括迭代法、直接法和代数多重网格法等。
与其他数值方法相比，有限体积法在求解非结构网格上的方程组时具有较大的优势。
有限体积法的应用广泛，可以用于求解各种流动问题，如湍流、多相流、辐射传热等。
它在工程实践中具有很高的实用价值，可以为设计和优化流体系统提供有效的数值工具。
在实际应用中，有限体积法还可以与其他数值方法相结合，如有限元法、差分法等。
这样可以充分利用各种数值方法的优势，提高求解的精度和效率。
总之，有限体积法作为一种数值计算方法，被广泛应用于流体力学领域。
它不仅能够准确求解流体力学方程，还能够为工程实践提供有效的数值计算工具。
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法
有限体积法（FVM）是一种数值计算方法，用于模拟流体力学问题。
它是通过把流场分成很多个离散化的小体积来描述流体的运动的。
有限体
积法的基本思想是在每一个小体积中应用质量、动量和能量守恒方程，然
后将它们组合成一个离散化的形式，以便于数值计算。
其中，质量守恒方
程描述了流体的连续性，动量守恒方程描述了流体的运动，能量守恒方程
则描述了流体的温度和压力等性质随时间的变化。
有限体积法的计算流程一般包括以下步骤：
1.网格划分：将流场划分成若干个小体积，每个小体积称为一个网格
单元。
2.定义控制体：在每个网格单元内，定义一个控制体。
控制体是一个
虚拟的小体积，它可以是任意形状，但通常为正交体。
3.求解守恒方程：对于每个控制体，应用守恒方程，得到一个自由度
方程组。
4.数值求解：利用数值方法求解自由度方程组，得到解。
5.更新场变量：根据求解得到的解，更新场变量（如速度、压力等）。
6.考虑边界条件：在每个边界上，根据物理条件定义边界条件，用于
修正解。
7.重复以上步骤：对于每个时间步长，重复以上步骤，直到计算结束。
需要注意的是，有限体积法是一种局域方法，只考虑每个网格单元内
部的守恒方程，没有直接考虑两个网格单元之间的相互作用。
因此，在计
算边界处或流场中存在复杂流动结构的区域时，需要采用一些特殊的技术（如插值方法、外推方法等）来处理。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到得有限差分法将数值网格得节点上定义为计算节点,并在网格节点上对微分形式得流体基本方程进行离散,用网格节点上得物理量得代数方程作为原PDE得近似。
在本章所要学习得有限体积法则采用了不同得离散形式。
首先,有限体积法离散得就是积分形式得流体力学基本方程:(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
与有限差分法不同得就是,有限体积法得网格定义了控制体得边界,而不就是计算节点。
有限体积法得计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法得计算节点有两种定义方法,一种就是将网格节点定义在控制体得中心,另一种方法中,相邻两个控制体得计算节点到公共边界得距离相等。
第一种方法得优点在于用计算节点得值作为控制体上物理量得平均值具有二阶得精度;第二种方法得好处就是在控制体边界上得中心差分格式具有较高得精度。
积分形式得守恒方程在小控制体与计算域上都就是成立得。
为了获得每一个控制体上得代数方程,面积分与体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分得近似采用结构化网格,在二维情况下,每一个控制体有4个面,二维情况,每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示,控制体边界与节点用小写字母表示。
为了保证守恒性,控制体不能重叠,每一个面都就是相邻两个控制体得唯一公共边界。
控制体边界上得积分等于控制体个表面得积分得与:(2)上式中,f可以表示或。
显然,为了获得边界上得积分,必须知道f 在边界上得详细分布情况,这就是不可能实现得,由于只就是计算节点上得函数值,因此必须采用近似得方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步:用边界上几个点得近似积分公式第二步:边界点上得函数值用计算节点函数值得插值函数近似 面积分可采用以下不同精度得积分公式: 二阶精度积分:(3) 上式中为边界中点出得函数值。
近似为方格中心点得值乘以方格得面积。
三阶精度积分:(4) 四阶精度积分:(5)应该注意得就是,采用不同精度得积分公式,在相应得边界点得插值时也应采用相应精度得插值函数。
教学课件：第1章-有限体积法
在应用中，有限体积法能够处理复杂的多物理场耦合问题，如流体与结 构的相互作用、热力电化学反应等，为复杂系统设计和优化提供重要依 据。
04
有限体积法的优缺点
教学与人才培养
为了更好地推广和应用有限体积法， 需要加强教学和人才培养工作。例如 ，在高校开设相关课程，介绍有限体 积法的基本原理和应用实例；组织学 术交流活动，促进研究人员之间的合 作与交流；提供实践机会，让学生在 实际项目中锻炼和掌握有限体积法的 应用技能。
THANKS
感谢观看
在应用中，有限体积法能够处理复杂 的流动问题，如湍流、分离流和多相 流等，为工程设计和优化提供重要依 据。
通过将连续的流体离散成有限个控制 体，有限体积法能够求解流体动力学 的控制方程，如Navier-Stokes方程， 得到流场的数值解。
有限体积法在传热学中的应用
传热学是研究热量传递规律的科学，有限体积法在传热学中广泛应用于数值传热学 模拟。
通过具体的应用实例，如一维稳态对 流方程、二维非稳态对流方程等，展 示了有限体积法的计算过程和结果。 这些实例表明，有限体积法能够准确 地模拟流体流动和传热过程，为工程 实际问题提供了有效的数值解决方案 。
有限体积法的局限性 和改进方向
尽管有限体积法具有许多优点，但在 某些情况下也存在一些局限性，如处 理复杂边界条件、非均匀网格划分等 问题。为了提高计算精度和效率，未 来的研究可以针对这些局限性进行改 进，如开发更高效的数值格式、研究 自适应网格技术等。
有限体积法的优点
精度高
有限体积法在计算流体 动力学问题时，能够得 到高精度的数值结果。
fvm 有限体积法
fvm 有限体积法有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种常用的数值计算方法，用于求解流体力学和热传导等守恒方程。
它将计算区域划分为离散的控制体，通过在控制体上应用平衡方程，将守恒方程转化为代数方程组，进而得到数值解。
在有限体积法中，计算区域被划分为若干个控制体，每个控制体代表一个小区域，用来计算相应的物理量。
这些控制体之间通过边界面相连，形成一个网格。
在每个控制体内，平均物理量被定义为该控制体上物理量的积分平均值。
通过在控制体上应用平衡方程，可以得到守恒方程的离散形式。
有限体积法的基本思想是，根据质量守恒、动量守恒和能量守恒等守恒方程，将守恒方程在每个控制体上进行积分，然后通过对积分方程进行离散化，得到代数方程组。
这个代数方程组可以通过数值方法求解，得到每个控制体上的物理量的数值解。
在有限体积法中，流体流动被描述为流体在控制体内的质量、动量和能量的变化。
通过在控制体上应用守恒方程，我们可以得到质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程的离散形式。
这些方程是以每个控制体为基础的，通过将守恒方程在控制体上进行积分，可以得到每个控制体上物理量的离散形式。
有限体积法的求解过程包括以下几个步骤：首先，将计算区域划分为离散的控制体，并在每个控制体上定义平均物理量。
然后，通过在控制体上应用守恒方程，将守恒方程转化为代数方程组。
接下来，使用数值方法求解代数方程组，得到每个控制体上物理量的数值解。
最后，根据数值解，可以得到流体流动的各种性质，如速度、压力、温度等。
有限体积法在工程领域得到了广泛的应用。
例如，在流体力学领域，有限体积法可以用来模拟流体的流动，计算流动的速度、压力分布等。
在热传导领域，有限体积法可以用来模拟热量的传输，计算温度的分布等。
在材料科学领域，有限体积法可以用来模拟材料的变形和应力分布等。
有限体积法是一种常用的数值计算方法，适用于求解守恒方程。
它通过在控制体上应用平衡方程，将守恒方程转化为代数方程组，并通过数值方法求解代数方程组，得到物理量的数值解。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
有限体积法偏微分方程
有限体积法偏微分方程引言有限体积法（Finite Volume Method, FVM）是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）。
该方法将求解区域分割成有限数量的体积单元，通过对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化，得到离散方程组，进而求解得出数值解。
有限体积法的基本思想有限体积法的基本思想是根据守恒定律，将求解区域划分为有限数量的体积单元。
每个体积单元内的物理量在时间上的变化以及空间上的梯度变化被积分求和，以体积平均值来表示。
然后，通过对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化，得到离散方程组。
最终通过求解离散方程组，得到数值解。
有限体积法的基本步骤1. 网格划分：将求解区域划分为有限数量的体积单元，形成网格结构。
常见的网格结构包括结构化网格和非结构化网格。
2. 守恒方程离散化：对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化处理。
一般来说，离散化的方法有梯度法、中心差分法、Godunov方法等。
3. 边界条件处理：根据实际问题的边界条件，确定边界上的物理量。
常见的边界条件有Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和周期性边界条件等。
4. 求解离散方程组：将离散化后的方程组表示为矩阵形式，通过数值计算方法求解得到数值解。
5. 后处理：对数值解进行分析和处理，得到所需的物理量。
优点和应用领域有限体积法相比其他数值计算方法具有以下优点：1. 适用性广：适用于各种类型的偏微分方程求解，包括椭圆型、抛物型和双曲型等。
2. 自然的守恒性：有限体积法在离散化过程中能够保持物理量的守恒性，如质量、动量和能量等。
3. 网格自由度：有限体积法不依赖于特定的网格结构，可以使用结构化网格和非结构化网格。
有限体积法广泛应用于流体力学、热传导、电磁场等领域的数值计算。
例如，在流体力学中，有限体积法可以用于求解Navier-Stokes方程，模拟流体的流动行为。
有限体积法基础
有限体积法基础什么是有限体积法有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种数值计算方法，用于求解流体流动、传热以及其他物理现象中的控制方程。
它将计算区域分割成有限数量的小体积，通过质量、能量以及动量守恒方程来描述物理过程，并在整个区域上进行积分。
有限体积法广泛应用于流体力学、热传导、化学反应等领域，在工程和科学研究中发挥着重要作用。
有限体积法的基本原理有限体积法主要基于守恒律原理，在控制体积上进行积分求解控制方程。
它将计算区域划分为若干个小体积，每个体积被称为一个控制体（Control Volume）或单元（Cell）。
对于每个控制体，根据守恒律原理，可以得到质量、能量和动量的守恒方程。
有限体积法中的关键步骤包括网格划分、离散化、数值积分和方程求解。
首先，需要将计算区域划分为有限数量的控制体，并构建相应的网格结构。
然后，对于每个控制体，将守恒方程进行离散化，将连续性方程转化为代数方程。
通过对方程进行数值积分，可以得到控制体内各个参数的平均值。
最后，利用线性代数方法求解代数方程组，从而得到整个计算区域内各个参数的数值解。
有限体积法的优势和应用领域有限体积法具有许多优势，使其成为求解控制方程的常用方法。
首先，有限体积法能够处理复杂的几何形状，适用于不规则的计算区域。
其次，它保持了守恒律原理的严格适应性，得到的解保持了物理量的守恒特性。
此外，有限体积法还具有较好的数值稳定性和精度控制能力，可以有效地解决数值计算中的振荡和不稳定问题。
有限体积法广泛应用于流体力学领域，包括过程工程、气候模拟、风洞试验、航空航天等。
它在流动分析、传热问题以及多相流体等方面都有着重要的应用。
有限体积法还可以用来模拟复杂的流体现象，如湍流、自由涡流、多孔介质流动等。
通过基于体积平均的数值方法，有限体积法能够更好地考虑物理现象的局部变化，并提供准确的数值解。
有限体积法的发展和挑战有限体积法作为一种数值计算方法，经过多年的发展和研究，已经取得了重要的成果。
有限体积法1
为控制面上的流体质量流量
式（a）－式（b）×φP 得到
0 φP − φP ρ ∆x + J e − J w − (Fe − Fw )φ P = (S C + S P φ P )∆x ∆t 0 P
12
构造通量的离散格式。 最简单的做法: 假设φ在结点之间近似为线性分布，得
J e = (ρuφ)e + (Γ δx )e (φP − φE )
27
采用松弛技术可以改变迭代的进度。 方程 改写成
a P φ P = ∑ a nb φnb + b
∑ a nb φ nb + b φP = φ∗ + − φ∗ P P a P
φP*为 φP 的上一步的迭代值，下标 nb 代表与 P 相邻的结点。 引入松弛因子α来修改每步迭代中 φP 的变化幅度
∂ρφ ∂J + =S ∂t ∂x
流速为 u，通量
J = J x = ρuφ − Γ ∂φ ∂x
8
有限体积法步骤如下： ， （1） 划分网格，取结点 xi+1 = xi +δxi （i = 0，1，2，…） δxi 为结点间距。网格可以是不均匀的。 （2） 利用守恒型方程的积分对任一内部结点 P 构造离散化 的代数方程。 从而得到一封 （3） 根据边界条件构造边界结点的离散方程， 闭的代数方程组。 （4） 求解方程组得到各结点上的φ值。 与差分法的主要区别在于其离散化方程的构造。
（4.5.15a） 类似地可以导出界面 w 上的通量离散式
exp(Pw ) φ − φP ( ) J w = Fw φW + W F = φ + φ − φ w P W P exp(Pw ) − 1 exp(Pw ) − 1
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有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
近似为方格中心点的值乘以方格的面积。
三阶精度积分：e sene S e S f f fds F e2+≈=⎰ (4)四阶精度积分：e see ne S e Sf f f fds F e64++≈=⎰(5)应该注意的是，采用不同精度的积分公式，在相应的边界点的插值时也应采用相应精度的插值函数。
积分公式的精度越高，近似公式就越复杂。
3 体积分的近似和面积分相似，体积分也有不同精度的近似公式 二阶精度积分公式∆Ω≈==⎰P e S q S q qds Q e(6)采用双二次样条函数228272652423210),(y x a xy a y x a xy a y a x a y a x a a y x q ++++++++=(7)可以得到四阶精度的积分公式：()nw ne sw se s n w s P S q q q q q q q q q qds Q e444444441636++++++++∆Ω≈=⎰ (8) 4 函数的插值在上节讲到的积分的近似公式中用到了非计算节点上的函数值，被积函数f 中包含了多个物理量及其偏微分，如对流项n v ⋅=ρφcf,扩散项φ∇⋅Γ=n df，在源项中也有类似情况，这里假定流场和流体的物性参数是已知的，物理量φ及其偏导数在控制面上的值需要通过计算节点上物理量的插值得到。
下面已e 面为例进行讨论。
4.1 迎风插值（UDS ）e φ用上游计算节点的函数值近似相当于对一阶偏导数采用迎风格式，因此用UDS 来表示这种近似方法，在UDS 中：()()⎩⎨⎧<⋅>⋅=00e Ee P e if if n v n v φφφ (9)UDS 是唯一无条件满足有界性要求的近似格式，在数值过程中不会产生数值振荡。
UDS 存在数值粘性。
根据Taylor 公式，该格式具有一阶精度，并具有数值粘性：()2/x u e num e ∆=Γρ(10)在多维问题中，如果流动方向和网格是斜交的，截断误差会在垂直于流动方向以及流线方向产生扩散，这是一种非常严重的误差，函数的峰值或函数值的快速变化会被抹平，为了得到高精度结果需要采用非常精细的网格。
4.2 线性插值（CDS ）P E E E e φλλφφ)1(-+=(11)PE Pe E x x x x --=λ(12)线性插值具有二阶精度，线性插值相当于FDM 中的CDS 格式，因此用CDS 表示。
CDS 格式会产生数值振荡。
对于扩散项PE P Ee x x x --≈⎪⎭⎫⎝⎛∂∂φφφ (13)4.3 三阶迎风格式（QUICK ）和UDS 类似，QUICK 格式也和流动方向有关()()⎩⎨⎧<⋅+-+->⋅+-+-=0)1(0)1(43432121e E EE Pe P W E e ifg g g g if g g g g n v n v φφφφφφφ(14)其中：()We P e Pe W e g ,,2,,111λλλλ-+-=；()()We P e We Pe g ,,2,,2111λλλλ-+--=(15a)()()Pe E e Pe We g ,,2,,3111λλλλ-+-+=；Pe E e Pe E e g ,,,2,41λλλλ-+=(15b)4.4 高阶格式（4阶精度CDS ）采用三次曲线可拟合出四阶精度的中心插值公式，在均匀网格中，四阶公式为：48332727EEW E P e φφφφφ--+=(16)x x EE W P E e∆-+-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂242727φφφφφ (17)5 边界的处理对于对流项，在入口处一般给出了流量或函数值，在边界和对称面上流量为零，在出口处假设和出口的法向坐标无关，因此可采用迎风格式。
对于扩散项则可能需要采用偏心格式。
6 有限体积法应用举例例：考虑一标量在已知流场中的输运过程（如图4.4所示），输运方程为：⎰⎰⋅∇Γ=⋅SSdS dS n n v φρφ(18)边界条件：0=φ；北部入口边界y -=1φ；西部壁面边界对称条件；南部边界 梯度为0；东部出口条件x u x =，y u y -=，流线方程c xy =对流项：e e S c e m dS F eφρφ&≈⋅=⎰n v(19)()y u dS m e x S e e∆=⋅=⎰ρρn v &为质量通量。
⎩⎨⎧+-+=CDSfor )1UDS for )0,min()0,max(E E e P e e Ee P e c e m （mm m F φλφλφφ&&&& (20)若采用UDS 格式，代数方程组中各项系数为：)0,min(e cE m A &=；)0,min(w c W m A &= )0,min(n cN m A &=；)0,min(s c S m A &= (21))(cS c N c W c E c P A A A A A +++-=若采用CDS 格式，代数方程组中各项系数为e e c E m A λ&=；w w cW m A λ&= n n c N m A λ&=；s s cS m A λ&= (22))(cS c N c W c E c P A A A A A +++-=根据连续性方程：0=+++s n w e m m m m &&&&(23)相邻CV 之间的关系：W e P w m m ,,&&-=；W e P w ,,1λλ-=(24)其余相邻CV 有类似关系φ0=φ，扩散项采用CDS 格式()P E P E eS c e x x y y x dS F eφφφφ--Γ∆≈∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Γ≈⋅∇Γ=⎰n (25)代数方程组中扩散项系数为：P E dE x x y A -Γ∆-=；WP dW x x y A -Γ∆-=P N dN x x x A -Γ∆-=；SP dW x x x A -Γ∆-=(26))(dS d N d W d E d P A A A A A +++-=对于任意控制体P E E N N P P S S W W Q A A A A A =++++φφφφφ (27) d l c l l A A A +=，l 为任意指标P ，E ，W ，S ，N 。
(28)边界条件的处理：对于西部和北部边界，由于给定了函数值，对流项可直接代入函数值而无需插值，扩散项则采用一侧差分WP W PW x x x --=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂φφφ (29)这里，W 点和P 的w 边中点重合。
南边和西边的梯度为零，以南边为例，由于梯度为零，S P φφ=，代数方程变为：P E E N N P P S W W Q A A A A A =++++φφφφ)((30)6 SIMPLE 方法考虑定常不可压流动问题，控制方程为： 连续性方程：0=⋅⎰SVdS n v ρ(31)动量方程：⎰⎰⎰⎰Ω+-∇⋅=⋅CVSVSVSVd dS p dS dS b n v n n vv ρμρ(32)不可压缩问题求解的困难在于压力场的求解。
主要原因在于压力p 没有独立的方程组。
先考虑一维问题： 对于动量方程：()()w e we w e p p x u x u uu uu +-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-μμρρ (33)若采用CDS 格式()()()()2222W P E P W P PE WP E P p p p p x u u x u u uu uu uu uu +++-∆--∆-=+-+μμρρρρ 简化后得：()()222W E P w E WE p p x u u u uu uu +-∆-+=-μρρ(34)根据连续性方程，c u u u i i i ===-+11，则有11+-=i i p p ，由于相邻节点之间的压力没有联系方程，容易造成压力交错现象。
为了解决这一问题，可采用交错网格技术，即速度场和压力场采用不同的网格。
以二维问题为例，交错网格的布置如下图所示：主控制体为压力控制体（黑色实线网格），u 的控制体（红色虚线网格）的计算节点在主控制体的e 边，控制体的e ，w 边界通过主控制体的计算节点，v 控制体（蓝色双点划线网格）的计算节点在主控制体的n 边，该控制体的n ，s 面经过主控制体的计算节点。
在u 的控制体中，采用有限体积法离散可得u 的代数方程：∑∑-++=-++=eN P nb nb n n e E P nb nb e e A p p Q v a v a A p p Q u a u a )()( (35)压力场的求解采用压力校正方法。