2019春九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 周滚动练(1.4-1.6)课件(新版)北师大
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类练习北师大版(20
2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题训练（一）求锐角三角函数值的方法归类►方法一运用定义求锐角三角函数值1．2017·日照在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!2．如图1－ZT－1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,3），那么cosα的值是（) A.错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!图1－ZT－1►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝错误!,则tan B的值为( ）A.错误! B。
错误! C。
错误! D。
错误!4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝错误!，那么cos A的值为( ）A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!5．如图1－ZT－2,在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝错误!，BE＝2，则tan∠DBE的值是( )图1－ZT－2A.错误! B．2 C。
错误! D.错误!6．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B,∠C的对边,且a,b,c满足b2＝(c＋a)(c－a）．若5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．7．如图1－ZT－3，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝错误!BD,连接AC，若tan B ＝错误!,求tan∠CAD的值．图1－ZT－3►方法三在网格中构造直角三角形求锐角三角函数值8．如图1－ZT－4，在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为( ）图1－ZT－4A.错误! B。
直角三角形的边角关系练习题
第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）四、随堂练习：1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB 的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD的周长. 7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=34,现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝54，BC=20，求△ABC的周长和面积.EDBACBADB ACBA C3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习：1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____.4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BCAC等于( )A.34B.43C.35D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等( )A.43B.34C.45D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135B ．1312C ．125D ．5128、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )A.tan α<tan βB.sin α<sin β;C.cos α<cos βD.cos α>cos β9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CDCB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )mA.100sin βB.100sin βC.100cos βD. 100cos β11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos ∠ABD=45.求：s △ABD ：s △BCDBDAC§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3)22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少? 3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600（B ）900（C ）1200（D ）1505、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）cm 41 （B ）cm 21（C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．（A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）18、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22 ⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 22︒15020米30米10、请设计一种方案计算tan15°的值。
北师版数学九年级下册课时练 第一章 直角三角形的边角关系 1.4 解直角三角形
北师版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系4解直角三角形1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠B的度数为(B)A．25°B．30° C．45° D．60°第1题图第2题图2．(2019·甘肃白银会宁一诊)如图，A，B，C分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则sin∠BAC的值为(B)A.12 B.22 C．1 D. 33．(2019·云南昆明八中等学校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于点D，则tan∠BCD的值为(D)A.45 B.54 C.43 D.344．菱形ABCD的对角线AC＝63，BD＝6，则菱形ABCD的四个角的度数分别是__60°，120°，60°，120°__.5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝5，c＝52，求这个直角三角形的其他元素．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝52，∴a2＋b2＝c2，即25＋b2＝50，解得b＝5.∴a ＝b .∴∠A ＝∠B .∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝45°.6．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( D ) A ．3sin 40°B ．3sin 50°C ．3tan 40°D ．3tan 50°7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，sin A ＝35，点D 是AB 的中点，则CD 的长为( B ) A ．4B ．5C ．6D ．78．(2019·广西梧州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 上一点，AB ＝5，BD ＝1，tan B ＝34. (1)求AD 的长； (2)求sin α的值．解：(1)由tan B ＝34，可设AC ＝3x ，则BC ＝4x . ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(3x )2＋(4x )2＝52，解得x ＝－1(舍去)或x ＝1， ∴AC ＝3，BC ＝4.∵BD ＝1，∴CD ＝3，∴AD ＝CD 2＋AC 2＝3 2. (2)如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E . 由tan B ＝34，可设DE ＝3y ，则BE ＝4y .∵BE 2＋DE 2＝BD 2，∴(3y )2＋(4y )2＝12，解得y ＝－15(舍)或y ＝15，∴DE ＝35，∴sin α＝DEAD ＝210.易错点 解三角形时出现漏解9．已知在△ABC中，AB＝8，AC＝5，∠B＝30°，求BC的长．解：分以下两种情况求解：(1)如图1所示，作AD⊥BC于点D.∵AB＝8，∠B＝30°，∴AD＝12AB＝12×8＝4，BD＝AB·cos 30°＝8×32＝4 3.∵AC＝5，∴CD＝AC2－AD2＝52－42＝3，∴BC＝BD＋CD＝43＋3.图1 图2 (2)如图2所示，作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.∵AB＝8，∠B＝30°，∴AD＝12AB＝12×8＝4，BD＝AB·cos 30°＝8×32＝4 3.∵AC＝5，∴CD＝AC2－AD2＝52－42＝3，∴BC＝BD－CD＝43－3.综上所述，BC的长为43＋3或43－3.10．(2019·江苏镇江模拟)如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝23，∠B＝30°，S△ABC ＝103，则tan C的值为(D)A.13 B.12 C.33 D.3211．如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为__25∶9__.12．(2019·湖北武汉江岸区模拟)如图，在△ABC中，sin B＝45，BC＝2，D是BC的中点，AC＝2AD，则AB的长为__45__.13．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．(1)∠B＝60°，a＝4；解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.由tan B＝ba，得b＝a tan B＝4tan 60°＝4 3.由cos B＝ac，得c＝acos B＝4cos 60°＝8.(2)a＝3－1，b＝3－3；解：由tan B＝ba＝3－33－1＝3，得∠B＝60°，∠A＝90°－∠B＝30°，由sin A＝ac，得c＝asin A＝3－1sin 30°＝23－2.(3)∠A＝60°，c＝2＋ 3.解：∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.由sin A＝ac，得a＝c sin A＝(2＋3)×32＝3＋32.由cos A＝bc，得b＝c cos A＝(2＋3)×12＝2＋32.14．(2019·山东泰安肥城期中)一副直角三角板放置方式如图所示，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝5，试求CD的长．解：如图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝5，∴∠ABC＝30°，BC＝AC·tan 60°＝5 3.∵AB∥CF，∴∠BCM＝30°，∴BM＝BC·sin 30°＝53×12＝532.CM＝BC·cos 30°＝53×32＝152.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝53 2，∴CD＝CM－MD＝152－532＝15－532.15．探究：已知，如图1，在△ABC中，∠A＝α(0°<α<90°)，AB＝c，AC＝b，试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积；应用：如图2，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α，若AC＝a，BD＝b，试用含a，b，α的式子表示▱ABCD的面积．解：探究：如图1，过点B作BD⊥AC，垂足为D.∵AB＝c，∠A＝α，∴BD＝c·sin α.∴S△ABC ＝12AC·BD＝12bc sin α.应用：如图2，过点C作CE⊥DO于点E，则sin α＝EC CO.∵在▱ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ， ∴CO ＝12a ，DO ＝12b . ∴CE ＝12a sin α. ∴S △BCD ＝12CE ·BD ＝12×12a sin α·b ＝14ab sin α. ∴S ▱ABCD ＝2S △BCD ＝12ab sin α.。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元练习题
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——高斯直角三角形的边角关系一、选择题1.将Rt△ABC 的各边长都扩大10倍，则sinA （ ）A.也扩大10倍B.扩大100倍C.缩小10倍D. 不变 2.在中，，，，则A.B.C.D.3、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ）A 090 B 060 C 075 D 0105 4.若α是锐角，tanα•tan50°=1，则α的值为（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°5.在 △ABC 中，已知∠C＝90°，sinB=0.6，则cosA 的值是（ ）3443.. . .4355A B C D6.在△ABC 中，∠A 为锐角，已知 co s(90°－A ）=32，sin(90°－B ）=32，则△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7.某地区准备修建一座高AB ＝6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的余弦值为，则坡面AC 的长度为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 12 8.如图所示，是平面镜，光线从点出发经上的点反射后到达点，若入射角为，，，垂足分别为，，且，，，则的值是（ ）A.B.C. D.9. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=12，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D ．设BD=x ，tan∠ACB=y，则（ ）A. x ﹣y 2=3 B. 2x ﹣y 2=9 C. 3x ﹣y 2=15 D. 4x ﹣y 2=21 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣1， ），以原点O 为中心，将点A 顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为（ ）11.如图，在反比例函数y= 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y= 的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k 的值为（ ）A. ﹣3B. ﹣6C. ﹣9D. ﹣12 12.将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连接，则的值为（ ）A.B.C.D.二、填空题13、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.14、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为 米（用含α的三角比表示）．15.已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣ |+=0，则α+β=________．16.在Rt△ABC 中，∠C=90°，a ，b 分别是∠A、∠B 的对边，如果sinA ：sinB=2：3，那么a ：b 等于________． 17.中，，，则________．18.如图，在一张圆桌（圆心为点）的正上方点处吊着一盏照明灯，实践证明，桌子边沿处的光的亮度与灯距离桌面的高度有关，且当时，桌子边沿处点的光的亮度最大，设，αPoy x34第7题第8题 第9题 第10题第11题 第12题第13题第18题则此时灯距离桌面的高度________（结果精确到）（参考数据：；；）三、解答题19.（1）3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45° （2） 104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---20.如图，锐角△ABC 中，AB=10cm ，BC=9cm ，△ABC 的面积为27cm 2． 求tanB 的值．21.已知α为锐角且cosα是方程2x 2﹣7x+3=0的一个根，求 的值．22.如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔塔尖的仰角为，沿山坡走到处测得塔尖的仰角为，已知为米，山坡坡度，、、三点在同一直线上．求此人所在位置点的铅直高度．（结果保留根号形式）23.如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（结果取整数，其中 =1.732， =4.583）24.山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，．求的度数；求这棵大树折点到坡面的距离．（结果精确到个位，参考数据：，，）25.如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；（3）连结BC．当S△AMC=S△BOC时，求AC的长．。
北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系周周测9(1.1~1.4)
周周练(1.1～1.4)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分) 1．(天津中考)sin60°的值等于( )A.12B.22 C ．1 D.322．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b 分别是∠A ，∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有( ) A ．sinA ＝c a B ．cosB ＝b cC ．tanA ＝a bD ．cosB ＝ba3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为( )A ．4B ．2 5 C.181313 D.1213134．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝12，则BC ∶AC ∶AB 等于( )A ．1∶2∶5B ．1∶3∶ 5C ．1∶3∶2D ．1∶2∶ 35．如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则tan α等于( ) A.513 B.1213 C.512 D.1256．一个直角三角形有两条边长为3，4，则较小的锐角约为( ) A ．41° B ．37°C ．41°或37°D ．以上答案都不对7．(泰州中考)如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A ．1，2，3B ．1，1， 2C ．1，1， 3D ．1，2， 38．(孝感中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，则▱ABCD 的面积是( )A.12absin α B ．absin α C ．Abcos α D.12abcos α 二、填空题(每小题4分，共16分)9．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝4.则∠B 的正弦值是____________． 10．(滨州中考)如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为____________．11．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AD ＝1033cm ，则BC ＝____________cm.12．如图，某建筑物BC 直立于水平地面，AC ＝9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20 cm ，则此阶梯最少要建____________阶．(最后一阶的高度不足20 cm 时，按一阶算，3取1.732)三、解答题(共52分) 13．(10分)计算：(1)3cos30°＋2sin45°；(2)(sin60°＋cos45°)(sin60°－cos45°)．14．(8分)已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长．(结果保留根号)15．(10分)(重庆中考A 卷)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sinC 的值．16．(12分)(益阳中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB ＝∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E. (1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB ＝14，cos ∠CAB ＝78，求线段OE 的长．17．(12分)一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，试求CD 的长．参考答案1．D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.A 9.7410．24 11.53 12.26 13．(1)原式＝3×32＋2×22＝32＋1＝52. (2)原式＝sin 260°－cos 245°＝(32)2－(22)2＝14. 14．∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B ＝60°.∵∠BAC ＝90°， ∴∠C ＝30°.∵sinC ＝ABBC ，∴BC ＝AB sinC ＝4.∵cosC ＝ACBC， ∴AC ＝BC·cosC ＝2 3.∴△ABC 的周长是6＋2 3. 15．∵AD ⊥BC ， ∴tan ∠BAD ＝BDAD.∵tan ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴BD ＝9.∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5.∴在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13. ∴sinC ＝AD AC ＝1213.16．(1)证明：∵∠CAB ＝∠ACB ， ∴AB ＝CB.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是菱形． ∴AC ⊥BD.(2)在Rt △AOB 中，cos ∠CAB ＝AO AB ＝78，AB ＝14，∴AO ＝14×78＝494.在Rt △ABE 中，cos ∠EAB ＝AB AE ＝78，AB ＝14，∴AE ＝87AB ＝16.∴OE ＝AE －AO ＝16－494＝154.17．过点B 作BM ⊥FD 于点M.在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10， ∴∠ABC ＝30°，BC ＝ACtan60°＝10 3.∵AB ∥CF ， ∴∠BCM ＝∠ABC ＝30°.∴BM＝BC·sin30°＝103×12＝53，CM＝BC·cos30°＝103×32＝15.∵∠BMD＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°.∴MD＝BM＝5 3.∴CD＝CM－MD＝15－5 3.（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
九年级 第一章 直角三角形的边角关系
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 一 知识要点1. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生 活中物体的倾斜程度、坡度等正切的定义:在Rt △ABC 中,锐角A 的 与 锐角A 的比叫做∠A 的正切，记作tanA,即 tanA=2. 能够用正切进行简单的计算. 二、典型例题与分析例1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?跟踪练习1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.例2：在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.随堂练习(见课本P 6 1、2)3、补充:在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.三、拓展训练例3如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)四、中考链接1：若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米2、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.§1.2从梯子的倾斜程度谈起(2)正弦与余弦一．知识要点：1.正弦,余弦的定义（1）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=（2）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=总结：①锐角三角函数的定义.锐角A的, , 都叫做∠A的三角函数.②定义中应该注意的几个问题（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.练习：如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.二．典型例题与分析：例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=090,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.跟踪练习：1．如图，已知直角三角形A B C中，斜边A B的长为m，40B∠=，则直角边B C的长是（）A．s in40m B．co s40mC．tan40m D．ta n40m2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.（1）SinB=()()=()()=()()（2）若BD=6,CD=12.求cosA的值.3.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.三．基础练习：A BC 1．已知△ABC 中，90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 2.在Rt ABC ∆中，90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么Bsin的值是（ ）A.21B.23C.33D.33.在R t A B C △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A =4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离A C =3米，3c o s 4B AC ∠=，则梯子A B 的长度为 米．5.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是（ ） Ａ．12Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2四．知识延伸1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点 P 的坐标为（3，4）， 则sin α= ( ) A ．35B ．45C ．34D ．432．如图，A D C D ⊥，13A B =，12B C =，3C D =，4A D =，则sin B =（ ） A ．513B ．1213C ．35D ．453.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将A B C △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为D E ，则tan C B E ∠的值是（ ） A ．247B ．3C ．724D ．134.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于 （ ） A. 12223五．中考链接 1．正方形网格中，A O B ∠如图放置，则co s A O B∠的值为（） 55Ｃ．12Ｄ．22.如图，在A B C △中，90A C B ∠=，C D A B ⊥于D ，若A C =A B =tan B C D ∠的值为（ ）2333.如图，在A B C ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在A C 、A B 上，B D 平分A B C ∠，D E A B ⊥，6A E =，3c o s 5A =.求（1）D E 、C D 的长； （2）tan D B C ∠的值.§1.3 300，450，600角的三角函数值(1)D ABCABO第1题一、知识要点（1）直角三角形中的边角关系（2）特殊角300,450,600角的三角函数值. （3）互余两角之间的三角函数关系. （4）同角之间的三角函数关系 二、典型例题例1：(1)sin300﹢cos450(2) sin 2600+cos 2600﹣tan450跟踪练习：(1)sin600﹣cos450; (2)cos600+tan600例2： 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).跟踪练习：2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?例3、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C 的对边分别是a,b,c.求证:sin 2A+cos 2A=1C跟踪练习：1.tan α×tan300 =1,且α为锐角。
直角三角形的边角关系练习题
第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）四、随堂练习：1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB 的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD的周长. 7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=34,现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝54，BC=20，求△ABC的周长和面积.EDBACBADB ACBA C3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习：1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____.4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BCAC等于( )A.34B.43C.35D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等( )A.43B.34C.45D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135B ．1312C ．125D ．5128、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )A.tan α<tan βB.sin α<sin β;C.cos α<cos βD.cos α>cos β9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CDCB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )mA.100sin βB.100sin βC.100cos βD. 100cos β11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos ∠ABD=45.求：s △ABD ：s △BCDBDAC§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3)22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少? 3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600（B ）900（C ）1200（D ）1505、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）cm 41 （B ）cm 21（C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．（A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）18、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22 ⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 22︒15020米30米10、请设计一种方案计算tan15°的值。
2019版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.4 解直角三角形一课一练 基础闯关 (新版)北师大版
解直角三角形一课一练·基础闯关题组一已知两边解直角三角形1.(2017·历下区三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,如果AD=BC,那么tanB的值是世纪金榜导学号18574021( )A.1B.C.D.【解析】选C.∵AD是BC边上的中线,∴设BD=CD=x,则AD=BC=2x,在Rt△ACD中,AC===x,则tanB===.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,且a=4,b=8,则∠A的度数是( )A.27°B.30°C.60°D.63°【解析】选A.∵tanA==,∴∠A≈27°.【易错提醒】本题要注意a,b是两条直角边,不要误以为sinA=,而错选B.3.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A,D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是世纪金榜导学号18574022( )A. B. C. D.【解析】选B.如图所示:设BC=x,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴AC=2BC=2x,AB=BC=x,根据题意得:AD=BC=x,AE=DE=AB=x,作EM⊥AD于点M,则AM=AD=x,在Rt△AEM中,cos∠EAD==.4.如图,AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,AD=4,AC=6,则sin∠EBC= ________.【解析】∵AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,∴∠BDA=∠ADC=90°,∵∠CBE+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠CBE=∠DAC,∵∠ADC=90°,AD=4,AC=6,∴CD====2,∴sin∠DAC===,∴sin∠EBC=.答案:5.(2017·顺德区一模)如图,等腰△ABC的周长是36cm,底边为10cm,则底角的正切值是________.世纪金榜导学号18574023【解析】作AD⊥BC于点D,∵AB=AC,AD是高,BC=10cm,∴BD=DC=BC=5cm,AB=AC=13cm,在Rt△ADB中,由勾股定理得:AB2=AD2+BD2,∴AD=12cm,∴tanC==.答案:6.如图,在锐角三角形ABC中,AB=10,AC=2,sinB=.(1)求tanC.(2)求线段BC的长.【解析】(1)过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中,AB=10,sinB==,∴=,∴AD=6.在Rt△ACD中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2,∴CD2=(2)2-62=16,∴CD=4,∴tanC=.(2)在Rt△ABD中,AB=10,AD=6,∴由勾股定理得BD=8,由(1)得CD=4,∴BC=BD+CD=12.题组二已知一边一锐角解直角三角形1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是( )A. B.4 C.8 D.4【解析】选D.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,cosB=,即cos30°=,∴BC=8×=4.2.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,若AC=6,∠C=45°,tan∠ABC=3,则BD等于( )世纪金榜导学号18574024 A.2 B.3C.3D.2【解析】选A.∵AC=6,∠C=45°,∴AD=AC·sin45°=6×=6,∵tan∠ABC=3,∴=3,∴BD=2.3.如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD,利用此图可求得tan75°的值是( )A.2-B.2+C.-2D.+1【解析】选B.∵AB=BD,∴∠A=∠ADB,∵∠DBC=∠A+∠ADB=30°,∴∠A=15°,∴∠ADC=75°,设CD=a,在Rt△BCD中,∵∠DBC=30°,∴BD=2a,BC=a,∴AC=AB+BC=BD+BC=2a+a=(2+)a,在Rt△ACD中,tan∠ADC=tan75°==2+.4.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=3,AC=10,则S△ABC等于世纪金榜导学号18574025( )A.3B.300C.D.150【解析】选D.∵tanA==3,∴BC=AC·tanA=10×3=30,∴S△ABC=AC·BC=×10×30=150.5.已知△ABC中,tanB=,BC=6,过点A作BC边上的高,垂足为点D,且满足BD∶CD=2∶1,则△ABC的面积为________.【解析】如图1所示:∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=4,∵AD⊥BC,tanB=,∴=,∴AD=BD=,∴S△ABC=BC·AD=×6×=8;如图2所示:∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=12,∵AD⊥BC,tanB=,∴=,∴AD=BD=8,∴S△ABC=BC·AD=×6×8=24;综上,△ABC的面积为8或24.答案:8或246.(2017·德州中考)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器,检测点设在距离公路10m的A处,测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒.已知∠B=30°,∠C=45°.世纪金榜导学号18574026(1)求B,C之间的距离.(保留根号)(2)如果此地限速为80km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:≈1.7,≈1.4)【解析】(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D,则AD=10m.∵在Rt△ACD中,∠C=45°,∴Rt△ACD是等腰直角三角形.∴CD=AD=10m.在Rt△ABD中,tanB=,∵∠B=30°,∴=.∴BD=10(m).∴BC=BD+DC=(10+10)(m).答:B,C之间的距离是(10+10)m.(2)这辆汽车超速.理由如下:由(1)知BC=(10+10)m,又≈1.7,∴BC=27m.∴汽车速度v==30(m/s).又30m/s=108km/h,此地限速为80 km/h,∵108>80,∴这辆汽车超速.答:这辆汽车超速.如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.若∠A=60°,求BC的长.【解析】∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tanA=,∴∠E=30°,BE=tan60°·6=6,又∵∠CDE=90°,CD=4,sinE=,∠E=30°,∴CE=8,∴BC=BE-CE=6-8.【母题变式】[变式一]如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°, AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.若sinA=,求AD的长.【解析】∵∠ABE=90°,AB=6,sinA==,∴设BE=4x,则AE=5x,得AB=3x,∴3x=6,得x=2,∴BE=8,AE=10,∴tanE====,解得DE=,∴AD=AE-DE=10-=,即AD的长是.[变式二]如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°, AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.若∠A=45°,求四边形ABCD的面积.【解析】∵∠ABE=90°,AB=6,∠A=45°,∴AB=BE=6,∠E=45°,∵∠ADC=90°,∴CD=DE=4,∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=×6×6-×4×4=10.。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系章节巩固练(含答案)
北师大版九年级数学下学期第一章直角三角形的边角关系章节巩固练(含答案)一、选择题1．2sin45°的值等于()A．1 B. 2 C. 3 D．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则()A．c＝bsinB B．b＝csinBC．a＝btanB D．b＝ctanB3．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为()A.4sinα米B．4sinα米 C.4cosα米D．4cosα米4．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为()图1－Y－3A.26 B.2626 C.2613 D.13135．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比)i ＝1∶0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45 m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)()A．76.9 mB．82.1 mC．94.8 mD．112.6 m二、填空题6．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为________m．(结果保留根号)7．小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8 m的位置，如图，在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是1 m，则大树AB的高度约为________．(结果精确到1 m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28)三、解答题8．某校为检测师生的体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面的高度为2.2 m，为了解自己的有效测温区间，身高1.6 m的小聪做了如下实验：当他在地面N 处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．(额头到地面的距离以身高计，结果精确到0.1 m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，3≈1.73)9．如图①是自动卸货汽车卸货时的状态图，图②是其示意图．汽车的车厢采用液压机构，车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD的夹角是60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．(结果保留一位小数，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，2≈1.41)10．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6 m.(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41)；(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m．请计算本次测量结果的误差(即测定的数值或计算中的近似值与准确值的差)，并提出一条使测量结果更接近观星台实际高度的合理化建议．11.两个城镇A，B与两条公路ME，MF的位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．(1)点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出符合条件的点C(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)；(2)设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN＝2(3＋1)km，测得∠CMN＝30°，∠CNM＝45°，求点C到公路ME的距离．12.在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素(其中至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并回答下列问题：(1)观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的是________(填序号)．(2)如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC 的长度；如果不能，请说明理由．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)参考答案1．[答案] B 2．[答案] B 3．[答案] B4．[解析] B 如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D .由勾股定理，得AB ＝32＋22＝13，AC ＝32＋32＝3 2. ∵S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×3 2·BD ＝12×1×3，∴BD ＝22，∴sin ∠BAC ＝BD AB ＝2213＝2626.故选B.5．[答案] B6．[答案] (5 33－1.6)[解析] 如图，分别过点D ，C 作AB 的垂线，交BA 的延长线于点E ，F .由题意，易知四边形BEDM 、四边形BFCM 、四边形CDEF 均为矩形，∴DE ＝CF ＝BM ＝5 m ，EF ＝CD ＝3.4 m.在Rt △DEA 中， ∵cos ∠EDA ＝DEDA ，tan ∠EDA ＝AEDE ，∴DA ＝5cos45°＝5 2(m)，AE ＝5·tan45°＝5(m)． 在Rt △BCF 中，∵tan ∠BCF ＝BFCF ，∴BF ＝CF ·tan30°＝5 33(m)． ∵AB ＋AE ＝EF ＋BF ， ∴AB ＝EF ＋BF －AE ＝3.4＋5 33－5＝(5 33－1.6)m. 故答案为(5 33－1.6)．7．[答案] 11 m8．解：延长BC交AD于点E，如图，则BE⊥AD，DE＝CM＝BN＝1.6 m，∴AE＝AD－DE＝0.6 m.在Rt△ABE中，BE＝AEtan18°≈1.875 m；在Rt△ACE中，CE＝AEtan60°≈0.347 m.∴BC＝BE－CE≈1.528 m，∴MN＝BC≈1.5 m.因此，小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为1.5 m.9．解：方法一：如图①，过点C作CF⊥AB于点F.在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin(60°＋5°)＝sin65°＝CF AC，∴CF＝AC·sin65°≈2×0.91＝1.82(米)．在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝2CF≈1.41×1.82＝2.5662≈2.6(米)．因此，BC的长度约为2.6米．方法二：如图②，过点A作AE⊥BC于点E.在Rt △ACE 中，∵∠C ＝180°－65°－45°＝70°， ∴cos C ＝cos70°＝CEAC，∴CE ＝AC ·cos70°≈2×0.34＝0.68(米)． ∵sin C ＝sin70°＝AE AC， ∴AE ＝AC ·sin70°≈2×0.94＝1.88(米)． ∵在Rt △AEB 中，∠ABE ＝45°， ∴BE ＝AE ≈1.88米，∴BC ＝CE ＋BE ≈0.68＋1.88＝2.56≈2.6(米)． 因此，BC 的长度约为2.6米．10．解：(1)如图，过点A 作AD ⊥PM 于点D ，延长BC 交AD 于点E ，则四边形BMNC ，四边形BMDE 是矩形， ∴BC ＝MN ＝16 m ，DE ＝CN ＝BM ＝1.6 m. ∵∠AEC ＝90°，∠ACE ＝45°， ∴△ACE 是等腰直角三角形， ∴CE ＝AE .设AE ＝CE ＝x m ，则BE ＝(16＋x )m. ∵∠ABE ＝22°，∴tan22°＝AE BE ，∴BE ＝AEtan22°≈2.5x m ，∴2.5x ＝16＋x ， 解得x ≈10.67，∴AD ＝AE ＋DE ≈10.67＋1.6≈12.3(m)．因此，观星台最高点A 距离地面的高度约为12.3 m. (2)∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m ， ∴本次测量结果的误差为12.3－12.6＝－0.3(m)．使测量结果更接近观星台实际高度的合理化建议为：为了使测量结果更接近观星台实际高度可以通过多次测量取平均值的方法．11.解：(1)如图①所示：点C 即为所求．(2)过点C 作CD ⊥MN 于点D ，如图②所示．∵在Rt △CMD 中，∠CMN ＝30°， tan ∠CMN ＝CDMD， ∴MD ＝CD tan30°＝CD33＝3CD .∵在Rt △CND 中，∠CNM ＝45°，tan ∠CNM ＝CD DN ，∴DN ＝CDtan45°＝CD .∵MN ＝2(3＋1)km ，∴MN ＝MD ＋DN ＝3CD ＋CD ＝2(3＋1)， 解得CD ＝2(km)．∴点C 到公路ME 的距离为2 km. 12.解：(1)③④(2)能．过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图所示． ∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. 在Rt △ADC 中，∠A ＝37°，∴CD ＝AC ·sin A ＝10×sin37°≈10×0.60＝6， AD ＝AC ·cos A ＝10×cos37°≈10×0.80＝8， ∴BD ＝AB －AD ≈12－8＝4，∴在Rt △CDB 中，BC ＝CD 2＋BD 2≈62＋42＝213， 即BC 的长度约为213.。