剪切计算

2.4剪切和挤压的强度计算
联接件的强度计算，关键在于正确判断剪切面和挤压面。剪切面积为受剪面的实际面积，当挤压面为半圆柱面时，一般取圆柱的直径平面面积为挤压面面积，以简化运算。
3典型问题解析
3.1轴向拉压的强度、变形计算
例题2.1：
已知AC杆为直径d＝25mm的A3圆钢，材料的许用应力[σ]＝141MPa，AC、AB杆夹角α＝30°，如图2－1（a）所示，A处作用力F＝20kN，
2.2简单拉压静不定问题
解静不定问题的关键是列出正确的变形几何关系。在列几何关系时，注意假设的变形应是杆件可能的变形。
解析方法：1列静力平衡方程；
2根据变形协调关系列出变形的几何关系；
3列出力与变形之间的物理关系；
4 联立解方程组求出未知力。
2.3材料在拉压时的力学性能
力学性能是材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性。是通过实验研究的方法来实现的，这种方法对我们以后的工程设计有一定的指导作用。应理解力学性质中涉及到的几个强度指标及塑性指标。
解：
1受力分析
键的受力如图2－12（b）、（c）所示
2求键的长度
由剪切强度条件
所以
由挤压强度条件
则
mm
故键的长度应取 mm。在工程实际中，键为标准件，应按有关规定选用。
解题指导：
从上述计算可见，当平键的挤压应力达到许用值时，键的工作剪应力远低于许用剪应力。对于标准键（或花键），其挤压强度是主要矛盾，而其剪切强度一般都是足够的；对于铆钉、螺栓等联接件，其剪切强度往往是主要的，挤压强度通常都能得到满足。
例题2.4：
图2－4（a）所示之结构中，AB和AC均为Q235钢制成的圆截面杆，直径相同d＝20mm，许用应力 ＝160 MPa。试确定该结构的许用载荷。
解：
1由平衡条件计算各杆轴力，设AB杆轴力为 ，AC杆轴力为 ，如图2－4（b）所示。
对于节点A，由 得
（1）
由 得
（2）
将（1）、（2）式联解
可见AB杆比AC杆受力大，而两者的材料及横截面尺寸都是相同的。因此，两根杆的危险程度不同。如果AB杆的强度得到满足，AC杆的强度也一定安全。
2.1轴向拉压的应力、强度计算及变形计算
强度计算是本章的重点内容，它能够解决三类工程问题。而胡克定律是联系力与变形的基本定律，应重点掌握。
解析方法：1对等截面直杆，横截面上的正应力最大，强度计算时必须明确在哪个截面进行强度计算；而纵向截面上的应力等于零。
2应用胡克定律计算变形时，内力应以代数值代入。求解结构上节点的位移时，设想交于该节点的各杆，沿各自的轴线自由伸缩，从变形后各杆的终点作各杆轴线的垂线，这些垂线的交点即为节点新的位置。
解：
1按冲头压缩强度计算
2按钢板剪切强度计算
解题指导：
对于剪切的强度计算，关键是确定剪切面和挤压面。可以先找变形过程中相互压紧的面即为挤压面，可能产生剪切破坏的面即为挤压面。
例题2.10：
如图2－10所示连接，D、t、d均已知，材料的许用应力分别为[σ]、[τ]、[σbs]。试确定许用载荷。
解：
1由强度条件
2由剪切强度条件：
3由挤压强度条件：
许用载荷为三个力中较小者，即
例题2.11：
木榫接头如图所示。 ， ， 。 。试求榫接头的切应力和挤压应力。
解：
先分析木榫接头的剪切面和挤压面
例题2.11：
图示传动轴，齿轮与轴用平键联接，传递转矩 kNm。若键的尺寸 mm、 mm，材料的 MPa， MPa，试求键的长度 。
2根据强度条件计算许用载荷
有
据此解得
因而得 kN
若改为，由强度条件计算许用轴力
由于AB、AC杆不能同时达到最大许用容许轴力，则将 ， 代入（2）式，解得
这个解显然是错误的。
解题指导：
上述错误解法，实际上认为两根杆同时达到了危险状态。但实际上，两根杆的材料、截面尺寸相同，而受力不同，因而应力不同，其中受力较大的杆中应力达到许用应力时，另一根的应力必然小于许用应力。因而二者不可能同时到达危险状态。
例题2.3
图2－3（a）所示铰接正方形结构，各杆的横截面面积均为30cm2，材料为铸铁，其许用拉应力 ，许用压应力 ，试求结构的许可载荷。
解：
1求各杆轴力
取B节点作为研究对象，如图2－3（b）所示，代平衡方程
， （拉）
即AB、BC杆轴力为
取A节点作为研究对象，如图2－3（c）所示，代平衡方程
， （压）
解：
用截面同时截开1、2、3杆，取节点A为研究对象，由静力平衡关系：
（1）
三个未知数，两个独立平衡方程，为一次静不定问题。
根据图解法，作节点A的位移图，得变形关系：
（2）
代物理关系：
（3）
（1）、（2）、（3）联立解得
解题指导：
由此例题可知,静不定结构各杆件受力与杆件刚度比有关，这是静不定结构区别于静定结构的显著特征之一。
即AD、DC杆轴力为 ，AC杆轴力为 。
2求许可载荷
由斜杆的拉伸强度条件
由AC杆的压缩强度条件
故结构的许可载荷为
解题指导：
尽管拉力 要比压力 小约40%，但结构的许可载荷还是受拉伸强度所限制,这是因为铸铁的抗拉强度要比其抗压强度低得多。在工程实际中，受压构件通常选用铸铁等脆性材料，而受拉构件一般选用低碳钢等塑性材料，以合理地利用各种材料的力学性能。
3．静不定结构还有一个特性，即由于杆件在制造中的误差，将引起装配应力；由于温度变化会引起温度应力。
1.5应力集中的概念
工程实际中，由于结构上和使用上的需要，有些零件必须有切口、切槽和螺纹等。在构件尺寸的突变处，发生局部应力急剧增加的现象，称为应力集中现象。
1.6剪切和挤压的实用计算
1．工程中经常使用到联接件，如铆钉、销钉、键或螺栓等。联接件一般受剪切作用，并伴随有挤压作用，因而联接件应同时满足剪切强度和挤压强度。有时还要考虑被联接部分的拉伸强度问题。
求：1校核AC杆的强度；2选择最经济的直径d；3若用等边角钢，选择角钢型号。
解：
1校核AC杆的强度
用一截面将AC、AB杆截开，取A节点作为研究对象，如图2－1（b）所示，利用平衡方程计算 。
代入强度条件，校核AC杆的强度
满足强度要求,安全。
2选择最佳截面尺寸，根据强度条件
AC杆的直径取为20mm，即可满足强度要求。
2．两作用外力之间发生相互错动的面称为剪切面。剪切面上的切应力为 ，其中 为剪力，A为剪切面的面积，即假设切应力在剪切面上均匀分布。剪切强度条件
3．产生相互挤压的表面称为挤压面。挤压面上的挤压应力为 ，式中F为挤压力，Abs为挤压面积，即假设挤压应力在挤压面上均匀分布。挤压强度条件为
2重点与难点及解析方法
拉伸、压缩与剪切
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
轴力、拉（压）应力、力学性能、强度失效、拉压变形、胡克定律、应变、变形能、静不定问题、剪切、挤压。
以上概念是进行轴向拉压及剪切变形分析的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。
1.2轴向拉压的内力、应力及变形
1．横截面上的内力：由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴力 ，符号规定：拉力为正，压力为负。工程上常以轴力图表示杆件轴力沿杆长的变化。
4自我测试
拉 压
1.轴向拉伸杆，正应力最大的截面和切应力最大的截面（）。
(A）分别是横截面、45°斜截面；（B）都是横截面，
（C）分别是45°斜截面、横截面；（D）都是45°斜截面。
正确答案是。
2.轴向拉压杆，在与其轴线平行的纵向截面上（）。
（A）正应力为零，切应力不为零；
（B）正应力不为零，切应力为零；
3选择等边角钢型号
A≥284mm2，查表可选50×3号等边角钢。
解题指导：
杆件轴力方向未知时，可使用设正法，即假设轴力为正，由平衡方程求解出的结果为正，说明是拉力；结果为负，说明是压力。
例题2.2：
零件受力如图2－2所示，其中FP＝50 kN。求零件横截面的最大正应力，并指出发生在哪一横截面上。
图2－2
A点的位移：
解题指导：
理论上计算节点位移时，应由两杆伸长后的长度为半径画圆弧，两圆弧的交点即为节点新的位置。但由于杆件的变形是小变形，实际上是用切线代替圆弧来简化运算。作图法简单易行，计算结果满足工程要求。
3.2简单拉压静不定问题
例题2.6：
已知1杆的抗拉压刚度E1A1，2、3杆的抗拉压刚度相等E2A2＝E3A3。三杆铰接在一起，L1＝L2＝L3＝L。试求在力F作用下各杆的内力。
（C）正应力和切应力均不为零；
（D）正应力和切应力均为零。
正确答案是。
3.应力－应变曲线的纵、横坐标分别为σ＝FN/A，ε＝△L/L，其中（）。
（A）A和L均为初始值；（B）A和L均为瞬时值；
（C）A为初始值，L为瞬时值；（D）A为瞬时值，L均为初始值。
正确答案是。
4.进入屈服阶段以后，材料发生（）变形。
例题2.7：
已知正方形截面组合杆，由两根截面尺寸相同、材料不同的杆1和杆2组成，二者的弹性模量为E1和E2（E1＞E2），若使杆1和杆2均匀受压，求载荷F的偏心距e。
解：
来自百度文库静力平衡关系：
（1）
为一次静不定问题。
变形关系；
物理关系：
（2）
（1）、（2）、（3）联立解得
（3）
代入（1）中第二式解得偏心距e为
2．轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为
正应力的符号规定：拉应力为正，压应力为负。常用的单位为MPa、Pa。
3．强度条件
强度计算是材料力学研究的主要问题之一。轴向拉压时，构件的强度条件是
可解决三个方面的工程问题，即强度校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。
4．胡克定律
线弹性范围内，杆的变形量与杆截面上的轴力 、杆的长度l成正比，与截面尺寸A成反比；或描述为线弹性范围内，应力应变成正比，即
物理关系：
（3）
（1）、（2）、（3）联立解得
即温度降低26.5℃，可保证AB刚杆始终保持水平。
解题指导：
装配应力和温度应力同属于静不定问题，求解简单静不定问题的关键是列出正确的变形几何关系。
3.3剪切和挤压
例题2.9：
如图所示冲床， ，冲头 ，冲剪钢板 MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。
式中的E称为材料的弹性模量，EA称为抗拉压刚度。胡克定律揭示在比例极限内，应力和应变成正比，是材料力学最基本的定律之一，一定要熟练掌握。
1.3材料在拉压时的力学性能
材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。材料力学性能的研究一般是通过实验方法实现的，其中拉压试验是最主要、最基本的一种试验，由它所测定的材料性能指标有：
—材料抵抗弹性变形能力的指标； —材料的强度指标；
—材料的塑性指标。低碳钢的拉伸试验是一个典型的试验。
详见教材，应理解本部分知识。
1.4简单拉压静不定问题
1．未知力的个数超过静力平衡方程个数的问题为静不定问题，其中未知力可以是结构的约束反力或构件的内力。
2．解决静不定问题，除列出静力平衡方程外，还需列出一定数量的补充方程，这些补充方程可由结构各部分变形之间的几何关系以及变形和力之间的物理关系求得，将补充方程和静力平衡方程联立求解，即可得出全部未知力。
解：
用截面法分析零件各横截面上的轴力，得轴力都是相同的，即
又因为开孔使截面积减小，所以最大正应力可能发生在孔径比较小的两个横截面上I一I或II－II上。
对于I一I截面，其横截面积
对于II一II截面，其横截面积
则最大正应力发生在I一I截面,，其上之正应力
解题指导：
由于开孔，在孔边形成应力集中，因而横截面上的正应力并不是均匀分布的。严格地讲，不能采用上述方法计算应力。上述方法只是不考虑应力集中时的应力，称为“名义应力”。如果将名义应力乘上一个应力集中系数，就可得到开孔附近的最大应力。应力集中系数可从有关手册中查得。
例题2.8：
已知杆1为钢杆E1＝210GPa, ，A1=30cm2。杆2为铜杆，E2＝105GPa, ，A2=30cm2。载荷F＝50kN。若AB为刚杆且始终保持水平，试问温度升高还是降低？求温度的改变量ΔT。
解：
设由F、ΔT引起的总的内力为 、 ，
静力平衡关系：
（1）
为一次静不定问题。
变形关系：
（2）
例题2.5：
1、2杆均为圆截面钢杆，杆端为铰接。两杆长度L、直径d、材料E均相等，A处作用力F，如图2－5所示，试求节点A在力F作用下的位移。
解：
在力F作用下，杆1、2为轴向拉伸，由静力平衡关系得：
代入胡克定律解得1、2杆的变形量
但两杆铰接在一起，不能自由伸长，可判断出变形后节点A位移向下。分别以B、C为圆心， 、 为半径作圆弧，所作圆弧的交点A1就是杆件变形后节点A的位置。在实际工程中，为了便于计算，从杆件变形后的端点作杆件的垂线，用垂线代替圆弧线，近似认为其交点A2为变形后A的位置，AA2为节点A的位移。这种求位移的方法称为图解法。