含参数不等式的解法

含参数不等式总结

一、通过讨论解带参数不等式

例1：2(1)0x x a a --->

例2:关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。

二、已知解集的参数不等式

例3：已知集合

{}2540A x x x =-+|≤，{}2|220B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，求实数a

的取值范围．

三、使用变量分离方法解带参数不等式 例4：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1

(0,)2

x ∈成立，则a 的取值范围. 例5：设()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数

且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。

例6： 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实 数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。

思考：对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范

围。如何求解？

分离参数法适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。

四、主参换位法解带参数不等式

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。

例7：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442

-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。

分析：此题若把它看成x 的二次函数，由于a, x 都要变，则函数的最小值很难求出，思路

受阻。若视a 为主元，则给解题带来转机。

例8：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452

<+-x ax 恒成立，求x 的范围。

例9： 若对一切2≤p ，不等式()p x x p x +>++222

2log 21log log 恒成立，求实数x 的取值范围。

例 10： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取

值范围。

分析： 一般的思路是求x 的表达式，利用条件求m 的取值范围。但求x 的表达式时，

两边必须除以有关m 的式子，涉及对m 讨论，显得麻烦。

五、数形结合法

例11：若不等式0log 32<-x x a 在⎪⎭

⎫ ⎝⎛

∈31,0x 内恒成立，求实数a 的取值范围。 六、构建函数、猜想、归纳、证明等其他方法