苏教版数学高一必修3导学案 3.3《几何概型》(2)

3.3 几何概型(2)

教学目标

（１）能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想；

（２）增强几何概型在解决实际问题中的应用意识．

教学重点、难点

将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．

教学过程

一、课前热身

【复习回顾】

1.几何概型的特点：

⑴、有一个可度量的几何图形S；

⑵、试验E看成在S中随机地投掷一点；

⑶、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中．

2.几何概型的概率公式.

3.古典概型与几何概型的区别.

相同：两者基本事件的发生都是等可能的；

不同：古典概型要求基本事件有有限个，

几何概型要求基本事件有无限多个.

4.几何概型问题的概率的求解.

（1）某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可

能的,求乘客等车不超过3分钟的概率。

3

5 p

（2）如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率。

11P π= 238P = (3)某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会. 如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）。甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？

1720p = 2120p = 3110p = 415

p = 二、数学运用

例1 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．（＂测度＂为长度）

【分析】点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 为区域D ．当点M 位于图335--中线段'AC 内时，AM AC <，故线段'

AC 即为区域d ．

【解】在AB 上截取'AC AC =．于是'()()P AM AC P AM AC <=< 'AC AB =AC AB

=22=。 答：AM 小于AC 的概率为

22

例2、抛阶砖游戏

“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须

将手上的“金币”（设“金币”的直径为 r ）抛向离身边若干

距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个

阶砖（边长为a 的正方形）的范围内（不与阶砖相连的

线重叠），便可获奖.问：参加者获奖的概率有多大？

解：设阶砖每边长度为a ,“金币”直径为r 。若“金币”

成功地落在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域A 内。

问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投点（ “金币” 中心），求该点落在区域A 内的概率。

于是成功抛中阶砖的概率

A p S =的面积的面积2

2

()a r a -=（0

例 3.甲、乙二人约定在 12 点到 17点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响．求二人能会面的概率.

解：以X , Y 别表示甲乙二人到达的时刻，于是即点M 落在图中的阴影部分．所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。

二人会面的条件是：||1,X Y -≤

21252492()2525.

P A -⨯⨯===阴影部分的面积正方形的面积

【变式题】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件

A)的概率是多少?

解: 以横坐标X 表示报纸送到时间,以纵坐标Y

表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试

验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几

何概型的条件。根据题意,只要点落到阴影部分,就表

示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A 发生，所以

2

2

230602()87.5%.60P A -== 例4.在一个圆上任取三点A 、B 、C, 求能构成锐角三角形的概率.

解：在一个圆上任取三点A 、B 、C ，构成的三角形内角分别为∠A 、 ∠B 、 ∠C. 设∠A

＝x ， ∠B ＝y ，则0,0.x y x ππ<<⎧⎨<<-⎩

它们构成本试验的样本空间 S 。

构成锐角三角形的(x,y)应满足的条件是：0,20,22x y x y πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪+>⎪⎩

0,0.x y x ππ<<⎧⎨<<-⎩ 0,20,22x y x y πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪+>⎪⎩

由几何概率计算得所求概率为

14

三、课堂练习

1、在线段 AD 上任意取两个点 B 、C ，在 B 、C 处折断此线段 而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率.

2、在一张方格纸上随机投一个直径 1 的硬币，问方格多小才能使硬币与线相交的概率大于 0.99 ？

3、Bertrand 问题：已知半径为 1 33的概率.

4、一个服务窗口每次只能接待一名顾客，两名顾客将在 8 小时内随机到达.顾客甲需要 1 小时服务时间，顾客乙需要 2 小时.计算有人需要等待的概率.

四、回顾小结

1.几何概型的特点：

⑴、有一个可度量的几何图形S ；

⑵、试验E 看成在S 中随机地投掷一点；

⑶、事件A 就是所投掷的点落在S 中的可度量图形A 中．

2.古典概型与几何概型的区别.