三等分角
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三等分角
Electrical and Mechanical
My class one
08机电1班
班级：10F数（2）班 学号： 姓名： 李 大 鹏
三等分角
10F数（2）班 李大鹏
三等分角的起源
目 录
三等分角的解法 三等分角的后续
总体概况
三等分角的起源
目
第一部分 三等分角的起源
Origin of the three uniform Angle
调研方法
纪元前五、六百年间希腊 的数学家们就已经想到了二等 分任意角的方法，正像我们在 几何课本或几何画中所学的： 以已知角的顶点为圆心，用适 当的半径作弧交角两的两边得 两个交点，再分别以这两点为 圆心，用一个适当的长作半径 画弧，这两弧的交点与角顶相 第一部分 连就把已知角分为二等分。二 等分一个已知角既是这么容易， Electrical很自然地会把问题略变一下： and Mechanical My class one, our home 三等分怎么样呢？这样，这一 个问题就这么非常自然地出现 了。
第一部分 三等分角的起源
第二部分 三等分角的解法
Origin of the three uniform Angle
Three equal Angle of the solution
第一个意识到这一点的就是希皮亚斯。希皮亚 斯（Hippias, 460?～400? B.C.）是活跃于公元前5 世纪后半叶的辩士学派成员。他是伯罗奔尼撒的厄 里城人，是苏格拉底（Socrates）的同代人。在柏 拉图的对话中，有关于他的许多信息。例如，他曾 经夸口说，自己赚的钱比辩士学派中别的的成员更 多。据说他著述颇丰，涉及数学和演讲术；但都失 传了。他有着惊人的记忆力，知识十分渊博，且有 很好的手工技术。苏格拉底则将他描述成“英俊、 博学、自大、肤浅”。
希皮亚斯为解三等分角 问题发明了割圆曲线这一新 曲线，如图所示。ABCD为 一正方形，弧BED是以A为 圆心的四分之一圆弧。假设 半径绕A点从AB位置匀速 转动到AD位置，而在相同 时间内直线 BC从BC位置 匀速平移到AD位置（端点 B始终沿BA运动）。则平 动直线与转动半径的交点轨 迹就是割圆曲线。
三等分角的出现
调研方法
古希腊的三大几何难题
三等分角问题
立方倍积问题
化圆为方问题
第一部分
将任一个 Electrical and Mechanical 给定的角 三等分。
My class one, our home
作一立方体 的边，使该 立方体的体 积为给定立 方体的两倍
作一正方形 使它的面积 和已知圆的 面积相等。
第二部分 第二部分 三等分角的解法
Electrical and Mechanical Three equal Angle of the solution
My class one, our home
ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall developed by Guild Design Inc.
第三部分 三等分角的后续
Three equal Angle of follow-up
第三部分 三等分角的后续
Three equal Angle of follow-up
工匠们试图用尺规作图法确定 出桥的位置，可是他们用了很长的 时间也没有解决。于是他们去请教 阿基米德。 阿基米德用在直尺上做固定标 记的方法，解决了三等分一角的问 题，从而确定了北门的位置。正当 大家称赞阿基米德了不起时，阿基 米德却说：“这个确定北门位置的 方法固然可行，但只是权宜之计， 它是有破绽的。”阿基米德所谓的 破绽就是在尺上做了标记，等于是 做了刻度，这在尺规做图法中则是 不允许的。 这个故事提出了一个数学问题： 如何尺规三等分任意已知角，这个 问题连阿基米德都没有解答出来。
B E B’ F N
C C’
B’’
A
F’
H
L MG
C’’
D
第二部分
Electrical and Mechanical
My class one, our home
BAD 弧BED AB 。 EAD 弧ED FH 设FAD , AFቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , AB a, 则割圆曲线的极坐标方程为： 2a sin 有了割圆曲线，就可以轻而易举地三等分任意角了。如图所示， 要三等分EAD, 只需FH的三等分点，过 F 作 BC 平行于AD， 交割圆曲线于L，连接AL，交BED于N，易证
第三部分 三等分角的后续
Proposals and summary
08机电1班 三等分角
班风展示 李大鹏作品
Electrical and Mechanical
2012年12月12日 My class one
谢谢欣赏！
EAD FH FH 3 。 第NAD LM F H 1 二部分 因此AN三等分EAD。实际上，利用割圆曲线可以将角任意等分。
Electrical and Mechanical
My class one, our home
建议总结
Proposals
第二部分 三等分角的解法
Three equal Angle of the solution
三等分角的解法 三等分角的后续
录
三等分角的传奇故事
公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境， 发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之宫”， 作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆，藏书75 万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请著名学者 到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市。 亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中 间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了一个 门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。国王 每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人 第一部分 从南门取回居室。 一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路 Electrical and Mechanical My class one, our home 更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。 过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。 小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有河，有桥，有南北门。 国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定 桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北 门到桥的距离一样远呢？
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10F数（2）班 李大鹏
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目 录
三等分角的解法 三等分角的后续
总体概况
三等分角的起源
目
第一部分 三等分角的起源
Origin of the three uniform Angle
调研方法
纪元前五、六百年间希腊 的数学家们就已经想到了二等 分任意角的方法，正像我们在 几何课本或几何画中所学的： 以已知角的顶点为圆心，用适 当的半径作弧交角两的两边得 两个交点，再分别以这两点为 圆心，用一个适当的长作半径 画弧，这两弧的交点与角顶相 第一部分 连就把已知角分为二等分。二 等分一个已知角既是这么容易， Electrical很自然地会把问题略变一下： and Mechanical My class one, our home 三等分怎么样呢？这样，这一 个问题就这么非常自然地出现 了。
第一部分 三等分角的起源
第二部分 三等分角的解法
Origin of the three uniform Angle
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第一个意识到这一点的就是希皮亚斯。希皮亚 斯（Hippias, 460?～400? B.C.）是活跃于公元前5 世纪后半叶的辩士学派成员。他是伯罗奔尼撒的厄 里城人，是苏格拉底（Socrates）的同代人。在柏 拉图的对话中，有关于他的许多信息。例如，他曾 经夸口说，自己赚的钱比辩士学派中别的的成员更 多。据说他著述颇丰，涉及数学和演讲术；但都失 传了。他有着惊人的记忆力，知识十分渊博，且有 很好的手工技术。苏格拉底则将他描述成“英俊、 博学、自大、肤浅”。
希皮亚斯为解三等分角 问题发明了割圆曲线这一新 曲线，如图所示。ABCD为 一正方形，弧BED是以A为 圆心的四分之一圆弧。假设 半径绕A点从AB位置匀速 转动到AD位置，而在相同 时间内直线 BC从BC位置 匀速平移到AD位置（端点 B始终沿BA运动）。则平 动直线与转动半径的交点轨 迹就是割圆曲线。
三等分角的出现
调研方法
古希腊的三大几何难题
三等分角问题
立方倍积问题
化圆为方问题
第一部分
将任一个 Electrical and Mechanical 给定的角 三等分。
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作一立方体 的边，使该 立方体的体 积为给定立 方体的两倍
作一正方形 使它的面积 和已知圆的 面积相等。
第二部分 第二部分 三等分角的解法
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第三部分 三等分角的后续
Three equal Angle of follow-up
第三部分 三等分角的后续
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工匠们试图用尺规作图法确定 出桥的位置，可是他们用了很长的 时间也没有解决。于是他们去请教 阿基米德。 阿基米德用在直尺上做固定标 记的方法，解决了三等分一角的问 题，从而确定了北门的位置。正当 大家称赞阿基米德了不起时，阿基 米德却说：“这个确定北门位置的 方法固然可行，但只是权宜之计， 它是有破绽的。”阿基米德所谓的 破绽就是在尺上做了标记，等于是 做了刻度，这在尺规做图法中则是 不允许的。 这个故事提出了一个数学问题： 如何尺规三等分任意已知角，这个 问题连阿基米德都没有解答出来。
B E B’ F N
C C’
B’’
A
F’
H
L MG
C’’
D
第二部分
Electrical and Mechanical
My class one, our home
BAD 弧BED AB 。 EAD 弧ED FH 设FAD , AFቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , AB a, 则割圆曲线的极坐标方程为： 2a sin 有了割圆曲线，就可以轻而易举地三等分任意角了。如图所示， 要三等分EAD, 只需FH的三等分点，过 F 作 BC 平行于AD， 交割圆曲线于L，连接AL，交BED于N，易证
第三部分 三等分角的后续
Proposals and summary
08机电1班 三等分角
班风展示 李大鹏作品
Electrical and Mechanical
2012年12月12日 My class one
谢谢欣赏！
EAD FH FH 3 。 第NAD LM F H 1 二部分 因此AN三等分EAD。实际上，利用割圆曲线可以将角任意等分。
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建议总结
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第二部分 三等分角的解法
Three equal Angle of the solution
三等分角的解法 三等分角的后续
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三等分角的传奇故事
公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境， 发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之宫”， 作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆，藏书75 万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请著名学者 到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市。 亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中 间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了一个 门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。国王 每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人 第一部分 从南门取回居室。 一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路 Electrical and Mechanical My class one, our home 更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。 过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。 小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有河，有桥，有南北门。 国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定 桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北 门到桥的距离一样远呢？