平面向量的综合应用
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专题研究 平面向量的综合应用
专 题 讲 解
题型一
向量与平面几何
(1) (2016· 江苏)如图， 在△ABC 中， D 是 BC 的中点， E， →· → ＝4， →· → ＝－1， →· → F 是 AD 上的两个三等分点， BA CA BF CF 则BE CE 的值是________．
【解析】 (坐标法)以 D 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴， 线段 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，设 B(－a，0)， 2 2 1 1 → ＝(b＋a，c)，CA → C(a，0)，A(b，c)，则 E(3b，3c)，F(3b，3c)，BA → ＝(b＋a，c )，CF → ＝(b－a，c)，BE → ＝(2b＋a，2c)， ＝(b－a，c)，BF 3 3 3 3 3 3
→ ＝CA → ＋AP → ，BA → －BC → ＝CA →， 方法二：(基向量法)∵CP → ·(BA → －BC → )＝(CA → ＋AP → )· → ∴CP CA → 2＋AP → ·CA → ＝9－AP → ·AC → ＝CA → ||AC → |cos∠BAC＝9－3|AP → |cos∠BAC. ＝9－|AP ∵cos∠BAC 为正且为定值， → |最小即|AP → |＝0 时，CP → ·(BA → －BC → )取得最大值 9. ∴当|AP 【答案】 9
π (2)∵m 与 n 的夹角为 3 ， 2 2 2 sinx－ 2 cosx 1 m· n ∴cos〈m，n〉＝|m|· ＝2， |n|＝ 1×1 π 1 故 sin(x－ 4 )＝2. π π π π π π 5π 又 x∈(0，2 )， ∴x－ 4 ∈(－ 4 ，4 )， x－ 4 ＝ 6 ， 即 x＝ 12 ， 5π 故 x 的值为 12 . 【答案】 (1)1 5π (2) 12
→ ＝(cos18°， (2)(2017· 山东质检)在△ABC 中，已知向量AB → ＝(2cos63°， cos72°)， BC 2cos27°)， 则△ABC 的面积等于( 2 A. 2 3 C. 3 2 B. 4 D. 2 )
→ |＝ cos218°＋cos272°＝1，|BC →| 【解析】 由已知得，|AB → · BC → ＝ 2cos18 ° cos63 ° ＋ ＝ 4cos263°＋4cos227°＝ 2 ， AB 2cos72 ° cos27 °＝ 2cos18 ° cos63 °＋ 2sin18 ° sin63 °＝ 2cos45 →· → AB BC 2 2 °＝ 2， 故 cos(π －B)＝ ＝ ， 所以 cosB＝－ ， 故 sinB 2 2 → → |BC||AB| 2 1 2 2 ＝ 2 ，所以△ABC 的面积等于2×2×1× 2 ＝ 2 . 【答案】 A
ABCD 中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，E 为 DC 的中点，那 → 与EB → 所成角的余弦值为( 么AC )
A.
7 7
wenku.baidu.com
B．－
7 7
7 C. 14
7 D．－ 14
→ ＝AB → ＋AD → ，|AC → |2＝|AB → ＋AD → |2＝7；EB → ＝AB → 【解析】 AC 1→ → 1→ → 2 → → 2 → · EB → ＝ (AB →＋ － AE＝ 2 AB －AD ， |EB | ＝ | 2AB － AD | ＝ 1. 故 AC →· → 1 1 AC EB 7 → → → → → AD)· ( AB－AD)＝ ，cos〈AC，EB〉＝ ＝ .故选 C. 2 2 14 → → |AC||EB| 【答案】 C
2 2 2 b → ＝( b－a， c)，由BA → ·CA → ＝b2－a2＋c2＝4，BF → ·CF → ＝ －a2 CE 3 3 9
c2 45 2 13 4 2 2 2 2 → → ＋ ＝－1，解得 b ＋c ＝ ，a ＝ ，则BE·CE＝ (b ＋c )－a2 9 8 8 9 7 ＝8.
→ ＝ a ， DF → ＝ b ，则 BA → · CA → ＝ (a ＋ 快速解法 ( 基向量法 ) 设BD →· → ＝(a＋b)· 3b)· (－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4， BF CF (－a＋b)＝|b|2－|a|2 13 5 2 → ·CE → ＝(a＋2b)· ＝－1，解得|a| ＝ 8 ，|b| ＝8，则BE (－a＋2b)＝
题型二
平面向量与三角函数
(2015· 广东， 理)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知向量 m π 2 2 ＝( 2 ，－ 2 )，n＝(sinx，cosx)，x∈(0， 2 )． (1)若 m⊥n，求 tanx 的值； π (2)若 m 与 n 的夹角为 3 ，求 x 的值．
【解析】 (1)∵m⊥n，∴m·n＝0. 2 2 故 2 sinx－ 2 cosx＝0，∴tanx＝1.
★状元笔记 平面几何问题的向量解法 (1)坐标法． 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具 体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问 题得到解决． (2)基向量法． 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构 造关于设定未知量的方程来进行求解．
思考题 1
(1)(2017· 天津大联考)如图所示，平行四边形
2
7 4|b| －|a| ＝8.
2 2
【答案】
7 8
(2)已知△ABC 的三边长 AC＝3，BC＝4，AB＝5，P 为 AB → ·(BA → －BC → )的最大值为________． 边上任意一点，则CP
【解析】 方法一： (坐标法)以 C 为原点，建立平面直角坐标 → ·(BA → 系如图所示，设 P 点坐标为(x，y)且 0≤y≤3，0≤x≤4，则CP → )＝CP → ·CA → ＝(x，y)· －BC (0，3)＝3y，当 y＝3 时，取得最大值 9.
★状元笔记 向量与三角函数综合题的解法 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量 的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．
专 题 讲 解
题型一
向量与平面几何
(1) (2016· 江苏)如图， 在△ABC 中， D 是 BC 的中点， E， →· → ＝4， →· → ＝－1， →· → F 是 AD 上的两个三等分点， BA CA BF CF 则BE CE 的值是________．
【解析】 (坐标法)以 D 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴， 线段 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，设 B(－a，0)， 2 2 1 1 → ＝(b＋a，c)，CA → C(a，0)，A(b，c)，则 E(3b，3c)，F(3b，3c)，BA → ＝(b＋a，c )，CF → ＝(b－a，c)，BE → ＝(2b＋a，2c)， ＝(b－a，c)，BF 3 3 3 3 3 3
→ ＝CA → ＋AP → ，BA → －BC → ＝CA →， 方法二：(基向量法)∵CP → ·(BA → －BC → )＝(CA → ＋AP → )· → ∴CP CA → 2＋AP → ·CA → ＝9－AP → ·AC → ＝CA → ||AC → |cos∠BAC＝9－3|AP → |cos∠BAC. ＝9－|AP ∵cos∠BAC 为正且为定值， → |最小即|AP → |＝0 时，CP → ·(BA → －BC → )取得最大值 9. ∴当|AP 【答案】 9
π (2)∵m 与 n 的夹角为 3 ， 2 2 2 sinx－ 2 cosx 1 m· n ∴cos〈m，n〉＝|m|· ＝2， |n|＝ 1×1 π 1 故 sin(x－ 4 )＝2. π π π π π π 5π 又 x∈(0，2 )， ∴x－ 4 ∈(－ 4 ，4 )， x－ 4 ＝ 6 ， 即 x＝ 12 ， 5π 故 x 的值为 12 . 【答案】 (1)1 5π (2) 12
→ ＝(cos18°， (2)(2017· 山东质检)在△ABC 中，已知向量AB → ＝(2cos63°， cos72°)， BC 2cos27°)， 则△ABC 的面积等于( 2 A. 2 3 C. 3 2 B. 4 D. 2 )
→ |＝ cos218°＋cos272°＝1，|BC →| 【解析】 由已知得，|AB → · BC → ＝ 2cos18 ° cos63 ° ＋ ＝ 4cos263°＋4cos227°＝ 2 ， AB 2cos72 ° cos27 °＝ 2cos18 ° cos63 °＋ 2sin18 ° sin63 °＝ 2cos45 →· → AB BC 2 2 °＝ 2， 故 cos(π －B)＝ ＝ ， 所以 cosB＝－ ， 故 sinB 2 2 → → |BC||AB| 2 1 2 2 ＝ 2 ，所以△ABC 的面积等于2×2×1× 2 ＝ 2 . 【答案】 A
ABCD 中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，E 为 DC 的中点，那 → 与EB → 所成角的余弦值为( 么AC )
A.
7 7
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B．－
7 7
7 C. 14
7 D．－ 14
→ ＝AB → ＋AD → ，|AC → |2＝|AB → ＋AD → |2＝7；EB → ＝AB → 【解析】 AC 1→ → 1→ → 2 → → 2 → · EB → ＝ (AB →＋ － AE＝ 2 AB －AD ， |EB | ＝ | 2AB － AD | ＝ 1. 故 AC →· → 1 1 AC EB 7 → → → → → AD)· ( AB－AD)＝ ，cos〈AC，EB〉＝ ＝ .故选 C. 2 2 14 → → |AC||EB| 【答案】 C
2 2 2 b → ＝( b－a， c)，由BA → ·CA → ＝b2－a2＋c2＝4，BF → ·CF → ＝ －a2 CE 3 3 9
c2 45 2 13 4 2 2 2 2 → → ＋ ＝－1，解得 b ＋c ＝ ，a ＝ ，则BE·CE＝ (b ＋c )－a2 9 8 8 9 7 ＝8.
→ ＝ a ， DF → ＝ b ，则 BA → · CA → ＝ (a ＋ 快速解法 ( 基向量法 ) 设BD →· → ＝(a＋b)· 3b)· (－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4， BF CF (－a＋b)＝|b|2－|a|2 13 5 2 → ·CE → ＝(a＋2b)· ＝－1，解得|a| ＝ 8 ，|b| ＝8，则BE (－a＋2b)＝
题型二
平面向量与三角函数
(2015· 广东， 理)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知向量 m π 2 2 ＝( 2 ，－ 2 )，n＝(sinx，cosx)，x∈(0， 2 )． (1)若 m⊥n，求 tanx 的值； π (2)若 m 与 n 的夹角为 3 ，求 x 的值．
【解析】 (1)∵m⊥n，∴m·n＝0. 2 2 故 2 sinx－ 2 cosx＝0，∴tanx＝1.
★状元笔记 平面几何问题的向量解法 (1)坐标法． 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具 体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问 题得到解决． (2)基向量法． 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构 造关于设定未知量的方程来进行求解．
思考题 1
(1)(2017· 天津大联考)如图所示，平行四边形
2
7 4|b| －|a| ＝8.
2 2
【答案】
7 8
(2)已知△ABC 的三边长 AC＝3，BC＝4，AB＝5，P 为 AB → ·(BA → －BC → )的最大值为________． 边上任意一点，则CP
【解析】 方法一： (坐标法)以 C 为原点，建立平面直角坐标 → ·(BA → 系如图所示，设 P 点坐标为(x，y)且 0≤y≤3，0≤x≤4，则CP → )＝CP → ·CA → ＝(x，y)· －BC (0，3)＝3y，当 y＝3 时，取得最大值 9.
★状元笔记 向量与三角函数综合题的解法 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量 的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．