二项式定理问题的五大方法

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高中数学之二项式定理应用基本方法三大方法总结到位

高中数学之二项式定理应用基本方法三大方法总结到位二项式定理是高中数学中的重要内容，主要用于解决与二项式有关的问题。

以下是二项式定理应用的三大基本方法：
1. 展开式应用：利用二项式定理将二项式展开，可以得到其展开式。

对于形如 (a+b)^n 的二项式，其展开式中的每一项都可以根据二项式定理计算出来。

2. 系数提取：在解决某些问题时，可以通过提取二项式中的系数来简化问题。

例如，在求(a+b)^n 的展开式中某一项的系数时，可以通过提取适当的因
子来简化计算。

3. 等价转换：在解决与二项式有关的问题时，有时可以将问题等价转换为其他形式，从而利用二项式定理或其他已知公式进行求解。

例如，在求
(a+b)^n 的展开式中某一项的系数时，可以将问题等价转换为组合数问题，利用组合数的性质进行计算。

以上是二项式定理应用的三大基本方法，熟练掌握这些方法可以有效地解决与二项式有关的问题。

同时，要注意不断总结经验，探索更多应用二项式定理的技巧和方法。

二项式定理问题的常见题型及其解题策略

二项式定理问题的常见题型及其解题策略
二项式定理问题的常见题型及其解题策略
二项式定理是高中数学中最重要的定理之一，它可以用来解决各种概
率问题，常被广泛应用于数学竞赛中。

但是，学习二项式定理的学生
总会遇到困难，因为它的解题方法多变，而且容易出现各种错误。

下
面我们就来讨论一下二项式定理中的常见题型及其解题策略。

一是给定总体的概率计算问题，这类问题的解题策略是先用二项式定
理把概率问题转换成组合问题，再根据组合原理计算出概率。

二是给定概率计算总体的问题，这类问题的解题策略是先把概率转换
成组合数，然后利用组合原理求出总体的元素数量。

三是给定元素的特征计算概率的问题，这类问题的解题策略是先把特
征转换成组合数，然后根据组合原理计算出概率。

以上三类问题是二项式定理中最常见的题型，通过掌握这些解题策略，学生们就可以轻松应对二项式定理中的题目了。

高中数学二项式题解题方法

高中数学二项式题解题方法高中数学中，二项式是一个重要的概念，涉及到很多不同类型的题目。

在解题过程中，我们需要掌握一些方法和技巧，才能更好地应对不同的题型。

本文将介绍几种常见的高中数学二项式题解题方法，并通过具体的例子来说明其应用。

一、二项式展开法二项式展开法是解决二项式展开题的常用方法。

在这类题目中，我们需要将一个二项式按照一定的规律展开，并求出展开式中某一项的系数或者具体的项数。

例如，题目如下：已知二项式展开式(2x-3)^5中的某一项为-120x^3，求该项的系数和指数。

解题思路：根据二项式展开式的通项公式，我们可以知道，展开式中第k项的系数为C(5,k)，其中C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。

对于本题，我们需要求解的项数为第4项，即k=4。

所以，我们可以使用组合数公式计算C(5,4)，即C(5,4)=5。

然后，我们需要求解的指数为3，即x^3。

所以，该项的系数为-120。

通过以上计算，我们得到了该项的系数和指数，即-120和3。

二、二项式定理法二项式定理法是解决二项式定理题的常用方法。

在这类题目中，我们需要根据二项式定理，求解给定的表达式的值。

例如，题目如下：求(2x-3)^4的展开式中，x^2的系数。

解题思路：根据二项式定理，我们知道展开式中x^k的系数为C(n,k)*a^(n-k)*b^k，其中n 为二项式的次数，a和b为二项式的两个项。

对于本题，我们需要求解的是x^2的系数，即k=2。

所以，我们可以使用组合数公式计算C(4,2)，即C(4,2)=6。

然后，我们需要求解的两个项为2x和-3，所以a=2，b=-3。

通过以上计算，我们得到了x^2的系数为6*(-3)^2=54。

三、二项式恒等式法二项式恒等式法是解决二项式恒等式题的常用方法。

在这类题目中，我们需要根据给定的恒等式，求解未知量的值。

例如，题目如下：已知(1+x)^4的展开式中，x^2的系数等于x^3的系数，求x的值。

二项式定理各种题型解题技巧知识讲解

二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。

二项式定理求解技巧和方法

二项式定理求解技巧和方法二项式定理是高中数学中一个很重要的概念，它描述了一个二次多项式的展开式中，每一项的系数和指数的关系。

在解题过程中，我们可以利用二项式定理来求解一些复杂的多项式表达式。

下面我将介绍一些二项式定理求解的技巧和方法。

1. 使用二项式定理展开二项式定理可以表达为：$ (a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + \\ldots + C_n^na^0b^n $。

这个定理可以帮助我们将一个二元系数的多项式展开为单项式的和。

我们可以利用这个定理来求解一些复杂的多项式表达式，例如 $(x+1)^n$ 或者 $(2x+3y)^n$。

2. 利用二项式系数的性质二项式系数$C_n^k$ 的计算公式为：$C_n^k = \\frac{n!}{k!(n-k)!}$。

在计算二项式系数时，我们可以利用其性质来简化计算。

例如，对于$C_n^k$ 来说，如果$k>n-k$，我们可以使用$C_n^k = C_n^{n-k}$ 来简化计算。

另外，由于$C_n^k = C_n^{n-k}$，我们也可以利用对称性简化计算。

3. 利用二项式定理求解系数和指数在一些问题中，我们需要求解多项式展开式中某一项的系数和指数。

对于二项式定理，可以通过将多项式展开式中各项的系数和指数与二项式系数进行配对，来求解。

例如，对于$(a+b)^7$ 的展开式，我们要求解其中系数为 35 的项的指数是多少，可以使用二项式系数的计算公式，得到 $C_7^k = 35$，然后求解 $k$ 的值。

4. 应用二项式定理进行变形有时候，在解决实际问题时，我们需要对给定的表达式进行变形，以便更好地应用二项式定理。

在变形过程中，我们可以使用二项式定理的展开式，将表达式转化为二项式定理的形式。

例如，对于表达式 $(x+y)^4 - (x-y)^4$，我们可以将其变形为$(u+v)^4 - (u-v)^4$ 的形式，然后应用二项式定理进行展开。

二项式定理及求特定项

③ amn am an
④ amn am an
特殊幂
① a0 1
②
an
1 an
⑦ an bn (当n 2,3时，背诵之)
⑧
(a b)n
当当nn
42时,3时, 二，项背式诵定之理
⑤ amn (am )n (an )m ⑨ (a b)n an bn
m
⑥ a n n am
A1 An
A2
An1
A3 A4
①公式法： hn (k 1)n (1)n (k 1)
②递推法：参新课课件附录37的内容……
②有心环型域先染心无心环型域
③其他型域：两理两数四优先……
传球(踢毽子)问题
注1：该类问题；解法甚多，可参新课件附录37的内容……
注2：该类问题等价于无心环型域的染色问题
k个人进行传球游戏，由甲先传，经过n次传球后，球仍回到甲手中的传球方法数
可转换成：
k种颜色n块区域的无心环型域的染色问题
k
hn g Cn
(k
1)n (1)n (k (k 1)n (1)n
1) (k 1)
§107 二项式定理及求特定项
一、二项式定理： 1.展开式： 2.通项公式：
二、求特殊项： 1.方法：
160 x
另法：
因
(2
1 )6 3x
(1 23 x2
x )6
故
T4
C63 (23 x2
x )3
160 x
纯属运气！
试试看：若求第二项，结果还会一样吗……
(5)(2012年安徽)
(x2
1 2)( x2
1)5 的展开式的常数项是
A.-2
B.2

高中数学二项式定理解题技巧

高中数学二项式定理解题技巧高中数学中，二项式定理是一个非常重要的概念和定理。

它在代数运算、排列组合、数列等多个数学领域都有广泛的应用。

掌握二项式定理的解题技巧对于高中数学的学习至关重要。

本文将介绍几种常见的二项式定理解题技巧，并通过具体的例子来说明。

一、二项式定理的基本形式二项式定理的基本形式是：$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + ... + C_n^n a^0 b^n$其中，$C_n^k$表示组合数，即从n个不同元素中选取k个元素的组合数。

二、二项式定理的展开在解题过程中，我们经常需要将一个二项式展开成多项式。

这时，我们可以利用二项式定理来简化计算。

例如，要将$(x+y)^4$展开成多项式，我们可以直接应用二项式定理：$(x+y)^4 = C_4^0 x^4 y^0 + C_4^1 x^3 y^1 + C_4^2 x^2 y^2 + C_4^3 x^1 y^3 + C_4^4 x^0 y^4$展开后，我们可以得到：$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$三、二项式定理的应用1. 二项式系数的性质二项式系数具有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来简化计算。

例如，对于任意正整数n，我们有：$C_n^0 = C_n^n = 1$$C_n^k = C_n^{n-k}$这些性质可以帮助我们快速计算二项式系数。

2. 组合数的性质组合数具有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来解决排列组合问题。

例如，对于任意正整数n和k，我们有：$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$这个性质可以帮助我们求解排列组合问题中的一些特殊情况。

3. 数列的应用二项式定理在数列中也有广泛的应用。

例如，我们可以利用二项式定理来求解二项式系数的和。

例如，要求解$\sum_{k=0}^{n} C_n^k$，我们可以利用二项式定理展开：$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^k b^{n-k}$其中，我们可以取a=b=1，得到：$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = (1+1)^n = 2^n$这个结果告诉我们，二项式系数的和等于2的n次方。

二项式定理的应用

二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。

二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。

利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。

设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。

①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。

【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。

二项式定理各种题型解题技巧

解：由条件知，即，，解得，由
，由题意，
则含有的项是第项 ,系数为。
练：求展开式中的系数
解：，令 ,则
故的系数为。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式的展开式中的常数项
解：，令，得，所以
练：求二项式的展开式中的常数项
解：，令，得，所以
练：若的二项展开式中第项为常数项，则
⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为，设第项系数最大，应有，从而解出来。
6．二项式定理的十一种考题的解法：
题型一：二项式定理的逆用；
例：
解：与已知的有一些差距，
练：
解：设，则
题型二：利用通项公式求的系数；
例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数
解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项( )的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项
解：由解出 ,假设项最大，
，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为 ,有
练：在的展开式中系数最大的项是多少
练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少
解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。
练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少
解：只有第项的二项式最大，则，即 ,所以展开式中常数项为第七项等于
例：写出在的展开式中，系数最大的项系数最小的项
二项式定理各种题型解题技巧
二项式定理
1．二项式定理：

二项式定理—解题技巧

二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：项数：共(1)r +项通项：1r n r r r n T C a b -+=展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

4．常用的结论：（令值法）令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④各项的系数的和：()()nbx a x g +=.令（1）奇数项系数和：()()[]1121-+g g 偶数项系数和：()()[]1g -1g 21⑤二项式系数的最大项：如果n 是偶数时，则中间项（第12n+）的二项式系数项2nn C 取得最大值。

二项式定理问题的五大方法

二项式定理问题的五大方法学习二项式定理，应对二项式定理问题的五大方法倍加关注，其中五大方法的具体内容是：1．常规问题通项分析法例1．如果在（x421x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ，由题意得2×2n =18)1(-n n ，得n =8设第r 1项为有理项，T 1+r =C r 8·r21·4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8有理项为T 1=4，T 5=835，T 9=22561x 评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，1=C r n a n-r b rn∈N,r=0,1,2,2，…，n ）中含有a,b,n,r,T r1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题（如判断和计算二项展开式中的特殊项），这类问题一般是正确使用通项公式，要清楚其中的相关字母的意义，利用等价转化的思想方法把问题归结为解方程（组）．2．系数和差型赋值法例2．已知（－xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是B.38 或38 或28解析：T1 r =C r8·8－r·（－a－1）r=（－a）r C r8·8－2r令8－2r=0，∴r=4∴（－a）4C48=1120∴a=±2当a=2时，令=1，则（1－2）8=1当a=－2时，令=－1，则（－1－2）8=38答案：C例3．若（1）6（1－2）5=a0a1a22…a1111求：（1）a1a2a3…a11；（2）a0a2a4…a10解：（1）（1）6（1－2）5=a0a1a22…=1，得a0a1a2…a11=－26，①又a0=1，所以a1a2…a11=－26－1=－65（2）再令=－1，得a0－a1a2－a3…－a11=0②①②得a0a2 (10)21（－260）=－32评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或-13．近似问题截项法例4．求10的近似值（精确到）解：10=（）10=310-10×39×45×38××37×210×36×…=…≈评述：用二项展开式作近似计算，注意底数的变形，以及考查对精确度有影响的某些项。

二项式定理各种题型归纳

应用一：二项式展开
二项式展开是指将二项式(a+b)^n通过二项式定理拆开求解。这种方法使得计算大指数的表达式更加快速和方便，同时也展示了数学中的美妙和规律。
应用二：二项式系数
二项式系数是二项式定理中的系数部分，表示每一项的系数。二项式系数具有很多有趣的性质和应用，如计算排列组合、数学归纳法等，帮助解决实际问题。
二项式定理各种题型归纳
二项式定理是一种重要的数学定理，它在许多数学问题中都有广泛的应用。本次演示将归纳介绍二项式定理的不同题型和应用，帮助大家更好地理解和运用该定理。
二项式定理的定义
二项式定理是指数为自然数的二项式的展开公式，它用于计算形如(a+b)^n的表达式。在计算多项式乘方以及排列组合中，二项式定理起到关键的作用。
Байду номын сангаас
应用三：二项式定理的逆运算
二项式定理的逆运算是通过已知多项式求解其对应的二项式系数。这个逆运算在计算概率和统计问题中十分重要，帮助我们从结果获取更多有关的信息。
应用四：二项式定理在排列组合中的应用
排列组合是运用二项式定理解决问题的重要领域。通过应用二项式定理，我们可以计算组合、计算概率、解决生产排列问题等，为我们提供更多的解决思路。
总结和应用建议
通过本次演示，我们归纳了二项式定理的不同题型和应用。学习和理解这些内容有助于我们更好地掌握和运用二项式定理，解决各种实际问题，提高数学思维和计算能力。

高中数学经典解题方法大全

高中数学经典解题方法大全：二项式定理三种常见考题精妙解题方法
二项式定理是高中数学的一个重要内容,题型比较稳定,主要围绕其展开式及其通项公式而展开,一般集中在求特殊项、二项式系数、整除、余数、近似值等问题上,试题较灵活.解决二项式定理问题,主要有三种方法。

清北学霸高考必备资料库中，我们的师哥师姐整理的63套常见常考基础考点的解题方法大全，关于二项式定理梳理了三种解题题型，求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等。

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类型一求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数
类型二二项式系数的性质与各项系数和
类型三二项式定理的应用。

二项式定理各种题型解题技巧

二项式定理1.二项式定理：(a + b)n = cy + 叫+ ••• + cy-r b r + …+ C；：b" (neN*),2.基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a + b)n的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数C：(厂=0,1,2,•••,“).③项数：共(r + 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第厂+ 1项C；,a n-r b r叫做二项式展开式的通项。

用T r+{ = C；t a''-r b r表示。

3.注意关键点：①项数：展开式中总共有(n +1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。

(a + b)n与e + a)"是不同的。

③指数：a的指数从"逐项减到0,是降幕排列。

"的指数从0逐项减到〃，是升幕排列。

各项的次数和等于④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是…,C：,…,C；：.项的系数是d与方的系数(包括二项式系数)。

4.常用的结论：令a = \,b = x y (1 + x)n = C：： + C> + C>2 + …+ C；t x r + …+ C；：x” (neN*)令a = \,b = -x, (1-x)n = C；； -C\x + C>2 _... + + …+ (-1)"C；：x”(neN*)5.性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C；【= C；；,・・・U②二项式系数和：令a = h = \,则二项式系数的和为C,； + G +…+ C：+…+ C；： = 2",变形式C* + C； +-. + C； + ..•+ C； = 2n -1 o③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令"=1/ = 一1,则u _C + c： _ C：+…+(_I)”c;： = (I _ = 0,从而得到：C；：+C：+C：・・・+C,7+••• = (?,；+C； +…+ C；E+••• = [><2“ = 2心2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：①-②得,q +为4,设第厂+1项系数,从而解出r 来。

高中数学二项式定理问题的三大热点、五大方法素材新人教版

二项式定理问题的三大热门、五大方法学二式定理，二式定理的三大点、五大方法倍加关注，其详细内容是：一．三大点 1．通运用型 2．系数和差型 3．合用型二．五大方法 1．常通剖析法例 1．假如在（ x + 1）n 的睁开式中，前三系数成等差数列，求睁开式中的有理24 x.解：睁开式中前三的系数分1， n ，n(n 1)，由意得 2× n=1+n(n 1)，得28 2 8n=8.116 3 rr· ·x4， r 是 4 的倍数，因此 r =0，4， 8.第 r +1 有理， T r 1 =C 82r有理 T 1=x 4， T 5=35 x ， T 9= 1 .8256x 2述：求睁开式中某一特定的的常用通公式，用待定系数法确立r. 通公式rn-r r+，⋯， n ）中含有 a,b,n,r, T r+1 五个元素，只需知道此中的四个元 T r+1 = C n a b (n ∈ N ,r=0,1,2,2 素，就能够求出第五个元素．在有关二式定理的中，经常碰到已知五个元素中的若干个，求此外几个元素的（如判断和算二睁开式中的特别），一般是正确使用通公式，要清楚此中的有关字母的意，利用等价化的思想方法把解方程（）．2．系数和差型法例 2．已知（ x － a）8 睁开式中常数 1120，此中数 a 是常数，睁开式中各系 x数的和是A.28B.38C.1 或 38D.1 或 28分析： T r 1 =C r 8 · x 8－ r ·（－ ax － 1） r =（－ a ） r C r 8 · x 8－2r .令 8－2r =0，∴ r =4.∴（－ a ） 4C 84 =1120.∴a=± 2.当 a=2 ，令 x=1，（ 1－ 2） 8=1.当 a=－2 ，令 x=－ 1，（－ 1－ 2） 8=38. 答案： C例 3．若（ 1+x ） 6（ 1－ 2x ） 5=a 0+a 1x+a 2x 2+⋯ +a 11x 11. 求：（ 1） a 1+a 2+a 3+⋯ +a 11；（2） a 0+a 2+a 4+⋯ +a 10.652116，解：（ 1）（ 1+x）（ 1－ 2x） =a0+a1x+a2x +⋯ +a11x.令 x=1，得 a0+a1+a2+⋯+a11=－ 2①又 a0=1，因此 a1+a2+⋯ +a11=－ 26－ 1=－ 65.（2）再令 x=－ 1，得 a0－ a1+a2－ a3+⋯－ a11=0. ②①+②得 a0+a2+⋯ +a10= 1（－ 26+0 ） =－ 32. 2述：在解决此奇数系数的和、偶数系数的和的中常用法，令此中的字母等于 1 或 -1.3．近似截法例 4．求 (2.999)10的近似（精准到 0.001）解： (2.999)10= （ 3-0.001 ）10=3 10-10 × 39× 0.001+45 × 38× 0.001 2-120 × 37× 0.001 3+210×36× 0.001 4- ⋯=59049-196.83+0.295245-0.00026244+⋯≈58852.465述：用二睁开式作近似算，注意底数的形，以及考精准度有影响的某些。

高中数学解题方法系列：二项式定理相关问题的方法

(1
3)n 3
1

4n 1 3
题型二：求单一二项式指定幂的系数 2、
(x 1)4 的展开式中 x2 的系数为
（A）4
（B）6 （C）10 （D）20
2
解析：由通项公式得 T3 C24 x2 6x
3（2011 天津）在
x 2
2 6 x 的二项展开式中， x2 的系数为
( x a)n Cn0a0 xn Cn1axn1 Cn2a2 xn2 Cnnan x0 an xn a2 x2 a1x1 a0
令x 1, 则a0 a1 a2 a3 an (a 1)n ①
(偶数项的系数和)
n
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 Cn2 取得最大值。
n1
n1
如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 Cn 2 , Cn 2 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各（ x 1 )10 的展开式的中间项； 3x
C C 解：Tr1
r 10
(
x )10r ( 1 )r , 展开式的中间项为 3x
5 10
(
x)5 ( 1 )5 3x
5
即： 252x 6 。
n1 n1 n1
n1 n1 n1
C C 当 n 为奇数时， (a b)n 的展开式的中间项是
高中数学解题方法系列：二项式定理相关问题的方法
1．二项式定理： (a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr Cnnbn (n N ) ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做 (a b)n 的二项展开式。

《二项式定理》题型突破

《二项式定理》题型突破1.二项式定理的应用正用:将()n a b +展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,可先对其化简再用二项式定理展开.逆用:将多项式整理成()n a b +的展开式的形式,再逆用二项式定理,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点,例如项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.对于化简多个式子的和时,可以考虑二项式定理的逆用. 2.二项展开式的通项的理解对于1C k n k kk n T ab -+=,应注意： (1)它表示()n a b +的展开式的第1k +项,而不是第k 项. (2)式中a 和b 的位置不能颠倒,且a 与b 的指数和为n .(3)它表示二项展开式中的任意项,只要n 和k 确定,1k T +这一项也随之确定,当k 依次取0,1,2,,n 时,得到展开式的第1,2,,1n +项.(4)对于()n a b -的二项展开式的通项,应是1k T +=(1)C k k n k kn ab --. (5)()n a b +的展开式的通项中,C (0,1,2,,)k n k n =是“二项式系数”,而不是“项的系数”,如在7(12)x +的展开式中,第4项37333343177C 1(2)8C T T x x -+==⨯⨯=,该项的二项式系数为37C ,而项的系数是378C .3.二项式系数与项的系数(1)二项展开式的二项式系数是指01C ,C ,,C n n n n 这些组合数,即()na b +的展开式的通项1C k n k kk n T ab -+=中的C (0,)k n k n k ≤≤∈N .求二项展开式中某一项的二项式系数,关键是要确定k 的值,要注意通项为展开式的第1k +项.(2)项的系数即该项中除变量外的常数部分,求二项展开式的指定项的系数,可直接写出二项展开式的通项,并令该项的次数与指定项的次数相等,求出k 的值,则指定项的系数就是把k 代入组合数式和常数式的乘积计算后所得的值.4.求二项展开式的特定项的常见题型：(1)求第1k +项,1C k n k kk n T ab -+=;(2)求含p x 的项(或p q x y 的项);(3)求常数项;(4)求有理项. 5.求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项,隐含条件是项的字母的指数为0(即0次项).(2)对于有理项,一般是先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整数.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,进而求解.典型例题剖析题型1二项式定理的应用例1(1)52322x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为______.(2)1212C 4C 2C n nn n n ++++=_______.解析:(1)5051455232C (2)C (2)2x x x x ⋅⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭23233255222333C (2)C (2)222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭454552552233180C (2)C 3212022x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4710135405243832x x x +- (2)原式01122C C 2C 2C 2(12)n nn n n n n =++++=+3n =.答案:(1)52471018013540524332120832x x x x x x -+-+- (2)3n变式训练1化简:543(2)5(2)10(2)x x x -+-+-+210(2)5(2)x x -+-.答案:原式051423555C (2)C (2)C (2)x x x =-+-+-+3245555C (2)C (2)C 1x x -+-+-56[(2)1]1(1) 1.x x =-+-=--题型2求二项展开式中的特定项或特定项的系数例2在7x ⎛- ⎝的展开式中,含4x 的项为_______.解析:x ⎛⎝的展开式的通项为1k T +=3772772C C (0,1,,7)3kkk k k k x x k --⎛⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝.今3742k -=,解得2k =.中含4x 的项为22447228C 33x x ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭.答案:6283x 解析:写出二项展开式的通项,令x 的指数等于4,求得k 的值,再求出含4x 的项. 总结归纳利用化简后的二项展开式的通项求常数项,只需令字母的指数为0;求有理项,只需令其所有的字母的指数都等于整数.变式训练2求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数.答案:91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项是919C k k k T x -+=.9291(1)C kk k kx x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.由题意,得923k -=,所以3k =.因此,展开式中3x 的系数为339(1)C 84-⨯=-.解析:利用二项式定理求展开式中的某一项的系数,可以通过二项展开式的通项进行求解.题型3多项展开式问题例3(1)已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =_____. A.4- B.3- C.2-D.1-(2)5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的系数是______.解析:(1)5(1)x +的展开式的通项为15C k k k T x +=, 令1,2k =得1222535C ,C T x T x ==,因此5(1)(1)ax x ++的展开式中含2x 的系数为2155C C 5a +=,解得1a =-.(2)由多项式乘法的运算法则,可知5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的系数是5(12)x -的展开式中3x 的系数的2倍与5(12)x -的展开式中2x 的系数的和.因为5(12)x -的展开式的通项为15(2)C k k kk T x +=-, 令3k =,得到3x 的系数为358C 80-⨯=-,令2k =,得到2x 的系数为254C 40⨯=, 所以5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的系数是80-⨯240120+=-. 答案:(1)D (2)120- 规律总结1.形如()()m n a b c d ++的展开式中的特定项问题(1)分别对()m a b +与()n c d +的二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘,求和即可. 2.形如()n a b c ++的展开式问题应根据式子a b c ++的特点,将其转化为可以直接使用二项式定理的形式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.变式训练3 512x x ⎛++ ⎝的展开式中的常数项为______(用数字作答).答案:2解析:551122x x x x ⎡⎛⎛⎫+=+ ⎪⎢⎝⎝⎭⎣,且它的展开式的通项为521512C (0,1,,5)2kk k k x T k x -+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.设512kx x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为515C r k rr k T x--+-=.5552522C (05,)k r r k r r r k k x x r k r -++-+----=-∈N . 令520r k --=,则25k r +=,可得1,2k r ==或3,1k r ==或5k =,0r =.当1,2k r ==时,所求常数项为1122254C 2C 2-⨯⨯⨯=2; 当3,1k r ==时,所求常数项为31152C C 2-⨯⨯=当5,0k r ==时,所求常数项为55C ⨯=综上,512x x ⎛+ ⎝+=. 题型4整除或近似计算例4 8386+被49除所得的余数是( ) A.14- B.0 C.14 D.35解析:由二项式定理展开,得838386(71)6+=++83182812828383837C 7C 7C 716=+⨯++⨯+⨯++278377M =+⨯+(M 是正整数)494912M =+⨯49N =(N 是正整数) 所以8386+被49除所得的余数是0. 答案:B变式训练4计算61.05=_______(精确到0.01). 答案:1.34解析6621.05(10.05)160.05150.05=+=+⨯+⨯++610.0510.30.0375 1.34⨯≈++≈.规律方法总结1.要牢记C k n k kn ab -是展开式的第1k +项,而非第k 项. 2.求解形如()()m n a bcd ++的展开式问题的思路 (1)若,m n 中有一个比较小,可考虑把它展开,如()222()()2()n n a b c d a ab b c d ++=+++,然后根据已知条件求解.(2)观察()()a b c d ++是否可以合并,如57(1)(1)x x +-⋅()55222[(1)(1)](1)1(1)x x x x x =+--=--.(3)分别得到(),()m n a b c d ++的二项展开式的通项,综合考虑. 3.二项式定理应用的常见题型及求解策略(1)整除问题和求近似值是能运用二项式定理解决的两类常见问题,整除问题中关注展开式的最后几项,而求近似值则关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用,注意选择合适的形式. (3)利用二项式定理进行近似计算:当n 不很大,||x 比较小时,0011(1)C C 1n n n x x x nx +≈+=+.若精确度要求较高,则可使用更精确的公式0011(1)C C n n n x x x +≈++222(1)C 12n n n x nx x -=++.。