二项式定理问题的五大方法

二项式定理问题的五大方法

学习二项式定理，应对二项式定理问题的五大方法倍加关注，其中五大方法的具体内容是：

1．常规问题通项分析法

例1．如果在（x +

421x ）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.

解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，

8)1(-n n ，由题意得2×2n =1+8)1(-n n ，得n =8.

设第r +1项为有理项，T 1+r =C r

8·r 21·x 4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，

8.

有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2

2561x . 评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r .

通项公式T r+1= C r

n a n-r b r (n ∈N +,r=0,1,2,2，…，n ）中含有a,b,n,r, T r+1五个元素，只

要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题（如判断和计算二项展开式中的特殊项），这类问题一般是正确使用通项公式，要清楚其中的相关字母的意义，利用等价转化的思想方法把问题归结为解方程（组）．

2．系数和差型赋值法

例2．已知（x －

x a ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是

A.28

B.38

C.1或38

D.1或28

解析：T 1+r =C r 8·x 8－r ·（－ax －1）r =（－a ）r C r 8·x 8－2r .

令8－2r =0，∴r =4.

∴（－a ）4C 48=1120.∴a =±2.

当a =2时，令x =1，则（1－2）8=1.

当a =－2时，令x =－1，则（－1－2）8=38.

答案：C

例3．若（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11.

求：（1）a 1+a 2+a 3+…+a 11；（2）a 0+a 2+a 4+…+a 10.

解：（1）（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11.令x =1，得a 0+a 1+a 2+…+a 11=

－26，①

又a 0=1，所以a 1+a 2+…+a 11=－26－1=－65.

（2）再令x =－1，得a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 11=0.②

①+②得a 0+a 2+…+a 10=21（－26+0）=－32.

评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或-1.

3．近似问题截项法

例4．求(2.999)10的近似值（精确到0.001）

解

：(2.999)10=（3-0.001）10=310-10×39×0.001+45×38×0.0012-120×37×0.0013+210×36×0.0014-…

=59049-196.83+0.295245-0.00026244+…

≈58852.465

评述：用二项展开式作近似计算，注意底数的变形，以及考查对精确度有影响的某些项。

4．整除（或余数）问题展开法

例5．求证：2n+2•3n +5n-4能被25整除。

思路点拨：25=52, 而2n+2•3n =4•6 n =4(5+1) n ，将此二项式展开后就会出现5r

解：原式=4(5+1) n +5n-4=4(C 0n 5n + C 1n 5n-1+ C 2n 5n-2+…+ C n

n )+5n-4

=4(C 0n 5n + C 1n 5n-1+ C 2n 5n-2+…+ C 2n n

52)+25n 以上各项均为25的整数倍，故得证。

5．最值问题不等式法

例6．在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果

它的展开式里最大系数项恰是常数项.

（1）求它是第几项；（2）求b

a 的最值.

解：（1）设T 1+r =C r 12（ax m ）12－r ·（bx n ）r =C r 12a 12－r b r x m （12－r ）+nr 为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项.

（2）∵第5项又是系数最大的项，

C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3①

C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5② 由①得

2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥2

3101112⨯⨯⨯a 9b 3， ∵a ＞0，b ＞0，∴49 b ≥a ，即b a ≤4

9. 由②得b a ≥5

8，∴58≤b a ≤49. 故b a 的最大值、最小值分别为49、58. ∴有