无理不等式的解法训练
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。
例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。
对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。
下面分别解两个例题：例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜231）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。
然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。
∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。
2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。
典型例题二解分式不等式时，要注意它的等价变形。
当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。
1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。
2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。
解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。
例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。
分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。
解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ） 可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或 ∴原不等式解集为 {}2455>-<<--<x x x x 或或 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ① 0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； ② ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f （1）解：原不等式等价于0223223≤+--⇔+≤-x x x x x x 0)2)(2(650)2)(2()2()2(32≤+-++-⇔≤+---+⇔x x x x x x x x x⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(x x x x x x x x x x 用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
高一 数学 必修 不等式 第三讲 简单的高次、分式和无理不等式
易错提醒：把未知数前面 的系数变为正值的时候不 等号方向要改变 ．
例 2．已知 a，b，m 都是正数，并且 a < b，求证： a m a bm b
【解析】
证明： a m a b(a m) a(b m) m(b a)
特殊的高次不等式的解法
根轴法（零点分段法，穿针引线法）步骤： ① 不等式化为 ( x x1 )( x x2 )...(x xn ) 0( 0) 形式，并将各因式 x 的系数化“+”；（为了统一方便） ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；
典题剖析
题型一：分式不等式的解法
A．x|
34≤x≤2
B．x|
34≤x＜2
）
C．x|
x≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
例 4． 3 7
题型三：简单的无理不等式的解法
2 5 （填大于、等于或小于）
思路点拨：简单的无 理不等式的解题关键 是有理化．
技巧传播
陷阱规避
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
A．x|
34≤x≤2
Bx≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
简单的高次、分式和无理不等式
知识要点
分式不等式的解法
解分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ）的形式，
g( x)
g( x)
转化为：
f (x)g(x) g(x) 0
0
（或
f (x)g(x) g(x) 0
0
），即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式
不等式的解法(一)
ax2+bx+c＞0 （ a＞ 0）
{x｜x＜x1或x＞x2 } {x｜x∈R且
R
x≠x1} {X｜X1＜X＜X2}
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
； 配资杠杆 https:/// 配资杠杆
你做鸟,你小子壹个初阶圣人,还不值得本神去忽悠..."金娃娃得瑟道.根汉咧嘴道："敢不敢接本少壹掌?""小子,玩笑都不会开嘛,真没劲..."金娃娃有些忌惮,赶紧脸不改色の改口.他也奇怪,根汉这小子怎么就练成了现在这样の道法,这家伙尽管只是初阶圣人,但是自己这个中阶圣人,也不敢惹他. 这家伙の招术,竟然有夺の腐朽之义,这壹掌过来,没准就让你变成壹具干尸,太恐怖了."哼!有事说事哈,本少没空和你胡扯!"根汉冷哼道.金娃娃骂道："臭小子,你眼里还有没有无心峰了!还有没有本神这个师兄!""呼呼,你是二师兄好吧..."根汉撇了死胖子壹眼,还真和猪八戒二师兄差不多德形. 金娃娃哼道："反正你小子信不信是你の事情,若是这风之珠拿不到手,到时本神便向老疯子说,是你小子不给力,故意不取此珠の...""呼?"根汉哼道,"若真是事关大师兄唤灵之事,咱自然会去取,若是你丫の忽悠咱,看咱怎么收拾你...""嘿嘿,这就对了嘛,这才是咱の小师弟呀..."金娃娃马上变脸 笑了.根汉有些无奈,这家伙就是如此无耻.（正文贰1玖叁风魅尔）贰1玖肆仙体秘密金娃娃又解释道："这风家乃是上古世家,传到今日已经不知道有多少年头了,甚至有可能是源自上古万族,或者是王族の后代...""风家の实力颇为强大,之前你师兄咱在这里还吃了一些暗亏,没抢到风之珠,想必是 引起了他们の警惕了,所
方程与不等式之无理方程技巧及练习题含答案
解得：x1=-2，x2=1，
检验得x2=1不是方程的根，
故 ，
故答案为
【点睛】
本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理方程化成有理方程是解题的关键，注意无理方程需验根．需要同学们仔细掌握．
9．方程 的根为．
【答案】x=3
【解析】
两边平方得x+6=x2,解一元二次方程得x1=3,x2=-2(舍去)，所以方程的根为
【详解】
解：∵ ，
∴x﹣2=0或x﹣1=0，
解得x=2或x=1，
当x=1时，x﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，
则原方程的解为x=2.
故答案为：x=2.
【点睛】
本题主要考查解方程，二次根式的性质，解此题的关键在于求出的方程的解要使二次根式有意义.
12．方程 的解为_____．
【答案】x=2
【解析】
【分析】
【详解】
解：两边平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，
检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，
当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
【点睛】
此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则
14．方程 的解是_____．
【答案】x＝﹣1．
【解析】
【分析】
把方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】
把方程两边平方得x+2＝x2，
整理得（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣1．
常见不等式的解法
常见不等式的解法(教师版)一、一元一次不等式 解下列关于x 的不等式1、2x+3>52、-2x+5<63、ax>14、不等式3(x +1)≥5x -9的正整数解是_________5、已知关于x 的不等式(3a -2)x +2<3的解集是41->x ,则a =______.二、一元二次不等式1、22x ≥ 2、2(1)2x -< 3、x 2+x -2≤4 4、若0＜a ＜1，则不等式(x -a )(x -a 1)＜0的解是______.a ＜x ＜a 15、已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则b a +的值为______.-146、不等式2x 2-3|x |-35>0的解为______..x <-5或x >57、方程实数根，有两个不相等的 0122=+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是______.041≠->m m 且8、不等式02≤++n mx x 的解集是{}32≤≤-x x |，则m = __，n = __.-1;-69、函数的定义域为22--=x x x f )(______________{2≥x x 或}1-≤x10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，则实数m 的取值范围是______. m ＞511、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________ 【0,8】1）标准化：移项通分化为()()f xg x>(或()()f xg x<)；()()f xg x≥(或()()f xg x≤)的形式，2）转化为整式不等式（组）()()0 ()()0()()00()0 ()()f xg xf x f xf xg xg xg x g x≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；1. 不等式22231372x xx x++>-+的解集是 2. 不等式3113xx+>--的解集是3. 不等式2223712x xx x+-≥--的解集是 4. 不等式1111x xx x-+<+-的解集是5. 不等式229152x xx--<+的解集是 6. 不等式2232712x xx x-+>-+的解集是7. 不等式2121x xx+≤+的解集是 8. 不等式2112xx->-+的解集是9. 不等式23234xx-≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)xx x-<+-的解集是答案1. 2. (-2，3)3. 4.5. 6. 7. 8. (1，2)9. 10.无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。
无理不等式的解法
⊙ 1 2
4 3
⊙
●
3
所以，原不等式的解集为
x | x 3
根式不等式的解法-------类型（1）
f ( x) g ( x)
f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) 0 f ( x) g ( x)
g(x) 0 f ( x) 0 或 2 f(x) [g(x)] g ( x) 0
根式不等式的解法------例3 解不等式 x 27 2x 3 0 解：原不等式可化为 x 27 2x 3
根据根式的意义及不等式的性质，得 x 27 0 2x 3 0 x 2 7 ( x 3) 2 解这个不等式组，得
小结：
1. 2. 3. 4.
f ( x) g ( x)
f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0 (1) f ( x) g( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 (2) f ( x) g( x) 0 或f ( x) 0 f ( x) 0
解这个不等式组（1），得
3 3 ● ● x | x 27 x | x x | 2 x 9 x | x 9 3 27 2 9 2 2 2
解这个不等式组（2），得
3 3 x | x 27 x | x x | 27 x 2 ●
无理不等式的解法
无理不等式的解法课件
答案解析
要点一
解析2
首先移项，然后两边平方，化简后求解。
要点二
解法
将原不等式变形为$\sqrt{3}x + \sqrt{2} - 2x - 1 > 0$， 即$(\sqrt{3} - 2)x > - \sqrt{2} + 1$，两边平方得 $(\sqrt{3} - 2)^{2}x^{2} > (- \sqrt{2} + 1)^{2}$，化简 得$(5 - 2\sqrt{6})x > - (5 - 2\sqrt{6})$，解得$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，即$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，所以原不等式的解集为$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$。
易错点分析
忽略根式非负性的限制
在解无理不等式时，学生容易忽略根式非负 性的限制，导致解题错误。
忽视不等式的解集
在解无理不等式时，学生容易忽视不等式的 解集，导致解题错误。
对绝对值的理解不准确
在将根式转化为绝对值时，学生容易对绝对 值的意义理解不准确，导致解题错误。
对负数开平方的错误认识
学生容易认为负数不能开平方，从而在解无 理不等式时出现错误。
中等难度无理不等式例题
总结词
掌握中等难度的无理不等式解题技巧，提高解题能力。
详细描述
通过几个中等难度的无理不等式例题，讲解如何利用平方差公式、不等式的基本性质等技巧解题，并注重解题思 路和方法的讲解。
高难度无理不等式例题
总结词
深入探究高难度无理不等式的解法，拓展解题思路。
不等式·解无理不等式
不等式·解无理不等式·教案教学目标1．初步理解无理不等式的求解基本思路．2．进一步培养学生的逻辑推理能力和运算能力．3．进一步养成规范表述的习惯，提高学生思维的严谨性．教学重点和难点重点：求解的基本思路的形成与落实．难点：分类讨论的正确使用．教学过程设计（一）新课引入师：前面我们已经研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次不等式，它们统称为整式不等式，继续又学了分式不等式．它们又统称为有理不等式，今天我们该学习无理不等式的解法．（板书：4．无理不等式）（二）讲解新课师：无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式．今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法．（板书）师：要解这个不等式，你的第一个想法是什么？生：想保证根式有意义，让被开方式非负即5-2x≥0．生：想去掉根号．师：这两个想法都有道理，也是我们必须要做的，若在这两件事中选择一个做为第一件事，应该是谁呢？生：应该先保证根式有意义，这是解决这个不等式的大前提．师：讲得很好，但有了5-2x≥0这个条件，我们并没有开始解，如果开始解的话，应该做的仍然是去掉根号．为什么一定要去掉根号呢？生：想把它化成学过的有理不等式．师：用什么方法化去根号呢？生：两边平方．师：解不等式所进行的变换必须保证是等价变换，平方之后能保证与原不等式等价吗？生：不能保证等价．师：为保证等价，不等式有什么根据可以用吗？师：要平方，就应以此为根据．就需看不等式两边是否符合条件，先看左式是否符合条件．生齐答：没有问题，能保证它大于等于零．师：右式怎样？生：右式的符号不能确定，可能正，可能负，也可能为零．师：怎么解决右式的符号问题呢？生：进行讨论，对于大于等于零情况，根据性质，可以平方．对于小于零情况可以单独研究．师：好，思路搞清楚了，下面把刚才分析的内容表述出来，先说能平方部分．要求解无理不等式必须两边平方，但我们找到的可等价平方的根据是有条件的．如果满足条件都是正的，那就可以平方；如果不满足条件像x-1就必须进行分类讨论，这样将一个不等式等价地变换成两个不等式组．下面我们继续把它解出来，先把第一组解到底，每人只解一步．师：两个不等式组的解都有了，怎么处理两个组的解呢？生：应该取并．师：那么此不等式最终的解应是什么？生：是x＜2．师：经过我们共同研究，完成了这个不等式的求解，把刚才的过程简单小结一下．刚才我们主要做了这样两件事．（1）搞清了求解的基本思路，求解无理不等式必有理化，手段是平方，平方的根据是有条件的，满足条件直接平方，若不满足则需分类讨论．（2）在运算上，注意顺序要合理，采用先横（写出等价组）再二竖（分别解两个不等式组），最后再横（求两组的并），同时给出规范的表述，以作为示范．（要求学生讲清每个不等式的由来，讲清理由才是真正理解每个不等式的功能）师：不仅等价组是正确的，而且也讲清了为什么是这样两个不等式组．师：为什么只有这一个不等式组？生：不等式两边均大于零，符合平方的条件，可以直接平方，无需讨论．师：讲得非常好，通过这个题目再次认识到分类讨论这种方法，一定要想清楚使用原因．再正确使用，不能盲目套用，下面再看第（3）题．师：他们两人的意见到底谁对呢？请大家讨论一下，发表意见，说明理由．生甲：由于右式x＋3的符号不能确定，所以要平方就必须进行分类讨论，所以应该有两组．生乙：由于左式是个非负数，右式大于等于一个非负数，所以右式也应为非负数，故无需讨论，即可平方，只有第一个不等式组就够了．生丙：我也认为应只有第一个不等式组．但我是这样考虑的．如果对右式的符号进行分类讨论，当x＋3＜0时，此时不等式变为“非负数小于等于一个负数”，这是个矛盾不等式，故不等式无解．因此，第二个不等式组写完整应该写为2）在表述上要规范，有条理，能在旧知识配合下，合理准确进行运算．（五）布置作业课本习题略．课堂教学设计说明无理不等式的求解是解不等式中的重点内容，也是学生学习比较困难的课题，困难主要发生在等价转化为有理不等式的思路上，所以本节课的设计重点放在求解思路形成与落实上．思路的形成重在学生的思维参与，学生获取知识必须通过学生自己的一系列思维活动来完成．教师的课堂设计应给学生设计好符合学生认知结构的学习程序，通过设问、提示、课堂讨论等多种方式，启发诱导学生，激发学生的学习热情，使学生思维从始至终处于一种积极进取的兴奋状态，这样通过教师引导，学生可自然有效地获取知识，就本节课而言，通过学生研究探索，得到求解的基本思路与方法，最终教师再进行概括、总结和提高．思路的落实是教学效果的体现．一节课课堂上再热闹，再活跃，而学生不能准确完成一个无理不等式的求解，这样的课堂设计是华而不实的，真正的课堂必须讲究落实且在课堂上尽量提高落实的效果，为了解决这个问题又重点在表述上下功夫．思维有方、表达无术，是很多学生一个突出的毛病，教师的示范和对学生进行适当的训练是纠正这一毛病的重要措施．例1的解题过程，既是利用学生思维得到求解思路，又是通过教师的示范，达到明确要求，规范书写的目的，而两个巩固练习题让学生通过必要的模仿，克服表达无术的不足，且在讲评中再次强化表述的要求，因此，无理不等式的求解，只有双管齐下，既理清思路又规范表述，才能保证运算的合理性和准确性．。
不等式解法种典型例题
或 或 .∴原不等式解集是 .
解法二：原不等式化为 .画数轴，找因式根，分区间，定符号.
符号
∴原不等式解集是 ．
说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解.解法二中，“定符号”是关键.当每个因式 的系数为正值时,最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间;也可以先决定含０的区间符号,其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
解：(解法1)由题可判断出 ， 是方程 的两根,
∴ ， ．又 的解集是 ，说明 .
而 , ，∴ ．
∴ ,即 ,即 .
又 ，∴ ,∴ 的解集为 .
(解法2)由题意可判断出 , 是方程 的两根,
∴ ．又 的解集是 ,说明 .
而 , ．
对方程 两边同除以 得 ．
令 ,该方程即为 ，它的两根为 , ,
∴ ， .∴ , ，∴方程 的两根为 ， ．
典型例题八
例8解不等式 ．
分析:先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得 ,
∴原不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为 ．
说明：解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解.
典型例题九
例９解关于 的不等式 .
∵ ，∴ ．∴不等式 的解集是 ．
说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根；(２)结合使用韦达定理,本题中只有 ， 是已知量，故所求不等式解集也用 ， 表示，不等式系数 ， , 的关系也用 ， 表示出来;（3)注意解法２中用“变换”的方法求方程的根.
解法一：原不等式 ，即
第23讲 无理不等式的解法(原卷+解析)-高考数学二轮复习
第23讲 无理不等式的解法一、知识与方法1无理不等式根号内含有末知数的不等式叫作无理不等式,解无理不等式一般转化为同解的有理不等式(组)来求解,特别要注意偶数次开方的被开方式必须非负.2无理不等式的主要题型及其解法a >,当0a 时2()f x a ⇒>,当0a <时()0f x ⇒;a <,当0a >时20()f x a ⇒<,当0a时a <的解集为∅;2()0,()()[()]f x g x f x g x ⎧>⇔⎨⎩或()0()0g x f x <⎧⎨⎩2()0,()()0,()[()]g x g x f x f x g x ⎧⎪<⇔⎨⎪⎩>⇔()0,()0,()()g x f x f x g x ⎧⎪⎨⎪>⎩(其中(),()f x g x 均为整式);(6)())0(0g x g x ⇔>或(0g x =()0()0g x f x >⎧⇔⎨>⎩或()0f x =或()0()0g x f x =⎧⎨⎩二、典型例题【例1】(1)1x >+;（2）解不等式23x x -<.【例2】解下列不等式:2x 12x <+229x <+【例3】设 a ∈R , 解不等式 2a x >-.三、易错警示【例】解不等式 (10x -.四、难题攻略【例】(1) 解不等式: 22101x x ->+; (2) 求证: 2332221x x x -+---.五、强化训练1.已知一个矩形的对角线长为8cm,如果矩形的周长不大于20cm,求矩形较短的一条边的边长的取值范围.2.设a是实数,解关于x的不等式20x>.第23讲 无理不等式的解法三、知识与方法1无理不等式根号内含有末知数的不等式叫作无理不等式,解无理不等式一般转化为同解的有理不等式(组)来求解,特别要注意偶数次开方的被开方式必须非负.2无理不等式的主要题型及其解法a >,当0a 时2()f x a ⇒>,当0a <时()0f x ⇒;a <,当0a >时20()f x a ⇒<,当0a时a <的解集为∅;2()0,()()[()]f x g x f x g x ⎧>⇔⎨⎩或()0()0g x f x <⎧⎨⎩2()0,()()0,()[()]g x g x f x f x g x ⎧⎪<⇔⎨⎪⎩>⇔()0,()0,()()g x f x f x g x ⎧⎪⎨⎪>⎩(其中(),()f x g x 均为整式);(6)())0(0g x g x ⇔>或(0g x =()0()0g x f x >⎧⇔⎨>⎩或()0f x =或()0()0g x fx =⎧⎨⎩ 四、典型例题【例1】(1)1x >+;（2）解不等式23x x-<.【分析】第（1()g x >”型不等式，可按型求解，也可化无理不等式为有理不等式求解,还可运用数形结合.F 面给出3种解法,各有特色,可在对比中选择最适合自己的方法,获得解题途径.第(2)问,观察不等式的特点,換元法显然是最好的策略.【解析】(1) 【解法一】原不等式等价于 210,2521,x x x x +⎧⎨+>++⎩ (1)或 250,10.x x +⎧⎨+<⎩（2） 由(1)得21,124x x x -⎧⇒-<⎨<⎩;由(2)得5,5|1221,x x x -⇒-<-<-, ∴原不等式的解集为5|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭. 解法法设t =则252t x -=,原不等式化为2512t t ->+, 即2230t t --<,解得1 3.0253,0259t x x -<<∴+<+<.52,2x -<∴原不等式的解集为5|22x x⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭.【解法二】 设t =则252t x -=,原不等式化为2512t t ->+, 即2230t t --<,解得1 3.0253,0259t x x -<<∴+<+<.52,2x -<∴原不等式的解集为5|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭【解法三】令1y y x ==+.在直角坐标平面上.y =1y x =+如图32-所示.抛物线弧与直线相交于点(2,3)P ,且在5,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上,y =1y x =+的上方.因此,解集为5|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭.(2)t =,则221(0)x x t t -=+.于是原不等式可化为220t t +-<. 解得21t -<<.即201x x --<,变形为2211,10,x x x x ⎧--<⎨--⎩2x <或1512x --<. 由此解得原不等式的解集为11,21,22⎡⎫⎛+⋃-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【例2】解下列不等式:2x 12x <+229x <+ 【分析】解无理不等式的核心是转化为有理不等式,运用乘方法去根号时应从两方面考虑:(1)要使根式有意义,即偶次方根的被开方数不能小于零;(2)两边非负时,两边同时平方后不等式的方向不变.对于“形态”较为简单的无理不等式可运用数形结合的思想方法.第(1)问,令y y x ==.利用图像比较直观.第(2)问,令y =当11x -时,是半圆y =当1x -或1x 时,是双曲线y =,显然,原不等式的解集就是这两部分曲线在直线12x y =+下方部分的横坐标的苊法.第(3)问的形态较为复杂,化繁为简是解题不变的主攻方向,而換元法是化较为简一种重要的手段,另外本小题涉及分母,分母不为零是不能忽略的..【解析】(1)【解法一】原不等式等价于222540,054x x x x x x ⎧--≥⎪≥⎨⎪--≥⎩，或2540,0,x x x ⎧--≥⎨<⎩解得51,0,141122x x x ⎧⎪-⎪⎪⎨⎪⎪---+⎪⎩, 或51,0.x x -⎧⎨<⎩ ∴14012x -+ 或 50x -< ∴ 原不等式的解集为 14|512x x ⎧⎪--+⎨⎪⎪⎩⎭. 【解法二】令y y x =, 在同一坐标系内作出两个函数的图像,如图 33- 所示. y =变形得 22(2)9(0)x y y ++=.由方程 x = 得 1x =-+. 由图像可知, 不等式的解集为 14|512x x ⎧⎪--+⎨⎪⎪⎩⎭. (2) 原不等式可变形为22222|1|(1),2|1|(1),210,210.|1|0,2x x x x x x x ⎧-<+⎪⎧⎪-<+⎪⎪⎪+>⇔⎨⎨⎪⎪+>⎪⎪-≥⎩⎪⎩①② 由①式可知,若 11x -, 则 2225110044x x x x x x -<++⇒+>⇒> 或 45x <-. 又 411,15x x -∴-<- 或 01x <. 由②得 2x >-. 若 1x > 或 1x <-, 则 22114x x x -<++, 得:23204221133x x x x x --<⇒<<-+∴<<-<<或综上,由(1)得: 2435x -<<- 或 0x <<. 由(2)得: 2x>-. ∴ 不等式的解集为2420,353⎛⎫⎛⎫-+-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3) 若 0x =, 则原不等式左边无意义,∴原不等式无解.若0x ≠, 则原不等式可化为 29x<+. 即 2(129,1+20,x x ⎧⎪⎨≥⎪⎩+<+①② 令 t =则 ()2112x t =-. 从而①式化为 22(1)8t t +<+, 解得 745.28t x <∴<. 由②知 12x -. 又 0x ≠, 故原不等式的解集为 145,00,28⎡⎫⎛⎫-⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【例3】设 a ∈R , 解不等式2a x >-.【分析】 可以按照解无理不等式的常规解法,但由于含参数 a , 对 a 取值的分 类讨论是必要的. 若能把所给不等式与函数或几何图形沟通,通过数中思形、数形结合可 以快速地找到“巧思妙解”.【解析】原不等式等价于 20,()0,a x a a x -<⎧⎨-⎩ ① 或 220,()(2).a x a a x a x -⎧⎨->-⎩② 当 0a > 时,解不等式组①, 得 12a x a <, 解不等式组②, 得 102x a <. 当 0a = 时,解不等式组①, 得 0x >, 不等式组②的解集为 ∅. 当 0a < 时,解不等式组①,得 12x a >. 解不等式组②,得 3142a x a <. ∴ 当 0a > 时,原不等式的解集是 {|0}x x a <; 当 0a = 时, 原不等式的解集为{|0}x x >; 当 0a < 时,原不等式的解集为 3|4x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭. 【解法二】设 122y y a x ==-.在同一坐标系分别画出函数 1y 和 2y 的图像,如图 34- 所示. 由图像可得, 当 0a > 时, 原不等式的解集为 {|0}x x a <; 当 0a = 时,原不等 式的解集为 {|0}x x >; 当0a < 时,原不等式的解集为 3|4x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.三、易错警示【例】解不等式 (10x -.【错解】 已知不等式可转化为 30x - 且 10x +, 解得 3x .30x - 且 10x + 仅是原不等式成立的充分条件,而不是必要条 件, 因为当 10x += 时不等式依然成立.正确的解法如下:【正解】【解法一】对 10x + 分类讨论, 分为 10x += 和 10x +> 两种情况. 即 10x += 或 30,10.x x -⎧∴⎨+>⎩ 不等式的解为 1x =- 或 3x . 【解法二】原不等式等价于 (0x -> 或 (0x -=. (0x -> 的解为3,(0x x >-= 的解为 1x =- 或 3x =. ∴ 不等式的解为 1x =- 或 3x .四、难题攻略【例】(1) 解不等式: 22101x x ->+; (2) 求证: 2332221x x x -+---.第(1)问,运用三角换元法可化无理为有理、分式为整式,从而得到个简单的三角不等式,解之不难. 当然,要注意三角换元法对角的限定茌围. 第(2)问,宋际 是求函数 y x =的值域. 看看是否为 [3,1]y ∈-, 在运用三角换元 法时由于形式上不是很明朗,故必须对被开方数进行适当变形,找到如何进行三角换元化 无理为有理的途径, 本题可以开岡解题者的视野.【解析】(1) 令 tan22x ππαα⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭, 则由已知得: 221tan 01tan αα-+>+.即 22sin sin 10αα--<. 解得 : 1sin 1,262ππαα-<<∴-<<. ∴tan α>, 即x > (2) 【证明】: ∵22324(1)0,|1|2x x x x --=-+∴+. 设 12sin ,22x ππθθ⎛⎫⎡⎤+=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭, 则2sin 12cos 14x πθθθ⎛⎫+=-+=+- ⎪⎝⎭ 又由,22ππθ-得32,sin 144424ππππθθ⎛⎫-+∴-+ ⎪⎝⎭ 从而322sin 12214πθ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭故233222 1x x x -+---五、强化训练3. 已知一个矩形的对角线长为 8cm ,如果矩形的周长不大于 20cm ,求矩形较短的一条边 的边长的取值范围.【解析】设矩形的较短边长为x于是222048 <642620x x x x x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪+≤⎩--则22226464108<00 20x x x x x x ⎪--≤<-<⎧⎪⎨⎩+即042{5757<< x x x ≤-≥+或∴较短边长的取值范围是(0,57]-（单位:cm ）4. 设 a 是实数,解关于 x 的不等式 22290x a x +->.【解析】原不等式可化为22, 92>a x x --设229,2.y a x y x =-=-.作出两个函数的图像如图所示，不等式的解集是直线2y x =-在半圆229(0)y a x a =-≠（0a ≠）下方的部分所对应的x 的集合.❶当0a ≠时，解方程2213592||,5a x x x a -=-=-，得 ()235||.5x a =舍去 2290,|3||3|.a x a x a -∴-① 当a =0时，原不等式为220.x x +->由22200,0x x x -得恒成立0,x ∴=这时原不等式为“0〉0”，此为矛盾∴当a =0时，原不等式无解.综上，原不等式的解集为35|||3||)5x a x a ⎧⎪-<⎨⎪⎩。
不等式的解法(一)
一、基础知识
1、一元一次不等式的解法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或
判别式Βιβλιοθήκη ax2+bx+c＜0 （a＞0）
＞0
两相异实根
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、对一元二次不等式，上面的结论只是在条件a＞0时 才成立。那么解一元二次不等式时a＜0一定要先把 二次项系数转化为a＞0 才能用上面的结论写解集。
3、对绝对值不等式一定要分清两种情况下的解是“或”还 是“且”，是“或”最后的解要求并集，是“且”最后 的解要 求交集。
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
两相异实根
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
高中数学不等式解法15种典型例题
由 x 2 x 1 0 恒成立，知原不等式等价于
( x 2)
0．
( x 3)( x 1)
解之，得原不等式的解集为 { x 1 x 2或 x 3} ．
说明： 此题易出现去分母得 x2 2x 2 x(3 2x x 2 ) 的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解． 另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
x(2x 5)( x 3) 0
把方程 x(2x 5)( x 3) 0 的三个根 x1 0, x2
5 , x3 2
后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．
3 顺次标上数轴． 然
∴原不等式解集为
5
x
x 0或x 3
2
（2）原不等式等价于
( x 4)( x 5)2 ( x 2)3 0
x5 0
定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
典型例题五
例 5 解不等式 x 2 2 x 2 3 2x x2
x．
分析： 不等式左右两边都是含有 x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为
解： 移项整理，将原不等式化为
( x 2)( x2 x 1) 0 ． ( x 3)( x 1)
0 再解．
3
（1）
x2
1
2
；
x2
（ 2）
x2 3x2
4x 1 7x 2
1
分析 ：当分式不等式化为 f (x) 0(或 0) 时，要注意它的等价变形 g( x)
① f ( x) 0 g ( x)
f (x) g ( x) 0 ② f ( x) 0 g ( x)
f (x) g(x)
根式不等式的解法
制 作：湘潭市江南中学
基本概念
1、无理不等式： 根号下含有未知数的不等式。
2、无理不等式的类型：
(1) f ( x) g ( x) (2) f ( x) g ( x) (3) f ( x) g ( x) (4) f ( x) • g ( x) 0
根式不等式的解法-------
f (x) g(x)
0或f 0
(x)
0
根式不等式的解法练习-------
解下列不等式： （1） x2 4x 3 x 1 0
答案：
x | x 4
(2) x2 2 x (3) 2x 24 x (4)x • x2 2x 3 0
R
x | x 6
x | x 1或x 3
小结：
例1 解不等式
3x 4 x 3 0
解：原不等式可化为
3x 4 x 3
根据根式的意义及不等式的性质，得
3x 4 0
x 3 0
3x 4 x 3
解这个不等式组，得
x
|
x
4
3
x | x 3
x
|
x
1 2
x
|
x
3
1⊙
⊙
4
23
所以，原不等式的解集为
●
3
x | x 3
x 27 0
x
2x 3 0 27 ( x 3)2
..
.
(1)或 2x
27 x 3
0 . . . (2)
0
解这个不等式组（1），得
2 x | x 27 x | x
解这个不等式组（2），得
3 2
x●2| 72
x
9●3x
2
各类不等式求解集的方法
版权所有 翻版必究1中公学员内部专用各类不等式求解集的方法在管理类联考中，方程与不等式在历年考试中都是非常重要的一个考点，不等式考试中可能会单独考查，或者会在应用题中考查，考查方式很灵活。
比较重要的是一元二次不等式，绝对值不等式，无理不等式，均值不等式，以及分式不等式。
接下来我给大家讲解一下各类不等式的解法。
一、一元二次不等式解题步骤：①一看：看二次项系数是否为正，若为负化为正②二算：算∆及对应方程的根③三写：写解集，大于号取两端，小于号取中间1. 不等式21(1)37x x x -<-<+的整数解的个数为（）.（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（E ）5二、分式不等式解题步骤：①移项、通分将不等号右侧化为0②化除为乘，最后求解（注意舍去使分母为零的情况） 2. 设01x <<，则不等式223211x x ->-的解集是（）. （A ）02x <（B 12x <<（C ）203x <<（D 213x <（E ）以上选项均不正确三、无理不等式解题步骤：()g x①将等号两边平方得到2()()f x g x <并求解得到x 的范围②限定()f x 与()g x 的范围，即令()0()0f x g x ≥⎧⎨>⎩并求解得到x 的范围 ③将得到的x 的范围（I ）和（II ）联立，求交集，即为无理不等式的解集版权所有 翻版必究2中公学员内部专用 3. 1x +.（1）[1,0]x ∈-（2）10,2x ⎤⎛∈ ⎥⎝⎦四、绝对值不等式解题步骤分段讨论法：根据()()0()()()0f x f x f x f x f x ≥⎧=⎨-<⎩，，去绝对值符号，然后再求解。
4. 25|21|x x x -->-.（1）4x >（2）1x <-五、均值不等式集体步骤：①一正：判断是为正值②二定：判断积是否为定值，和是否为定值③三相等：取等求最值5. 若m x =，4n x =-且0m >，0n >，则当x =（）时，mn 可以取到最大值为（）. （A ）2，2（B ）2，3（C ）1，3（D ）2，2-（E ）2，4。
无理不等式的解法
无理不等式的解法无理不等式是根号内含有未知数的不等式。
无理不等式的基本形式如下：（1）)()(xgxf>（2）)()(xgxf<（3）)()(xgxf>（4）)()(xgxf<无理不等式的解法过程中我们利用如下思想方法：（1）转化与化归思想方法转化与化归思想方法是数学中最基本的思想方法。
数学中一切问题的解决都离不开转化与化归。
转化与化归思想的原则是将不熟悉和难解的问题转化为熟悉的易解的或已经解决过的问题；将一般性问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。
无理不等式一般转化为有理不等式（组）来解。
（1）)()(xgxf>⇒或（2）)()(xgxf<⇒（3）)()(x g x f >⇒（4）)()(x g x f <⇒（2）数形结合思想方法数与形是数学中两个基本的概念，也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题，三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。
不仅是一种重要的方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要的地位。
数形结合的主要途径：（1） 形转化为数。
即用代数方法研究几何问题。
（2） 数转化为形。
即根据给出“数式”的机构特点，构造出与相应的几何图形，用几何方法解决代数问题。
（3） 数形结合。
即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观，简单，思路易寻。
数形结合处理不等式问题即从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，从图形上找出解题的思路。
运用数形结合的思想解不等式题主要有以下几个步聚；（1）转化：即将代数式转化为几何式。
（2）构造：即构造图形或函数。
以下是用实际例题来解释具体方法。
例1. 解不等式152+>+x x 。
分析：原不等式的解集等介于不等式组或 的解集。
解得21<≤-x解得125-<≤-x 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-225|x x设521+=x y ，12+=x y可知521+=x y 表示一个顶点在)0,25(-，以x 轴为对称轴的，开口向右的抛物线的上半部分。
无理不等式解法乐乐课堂
无理不等式解法乐乐课堂(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：(2)绝对值不等式：若，则;;特别注意：(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等同于、大于零展开探讨回去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).所含多个绝对值符号的不等式需用“按零点分后区间探讨”的方法能解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;(5)不等式组的数学分析：分别谋出来不等式组中，每个不等式的边值问题，然后谋其关连，即为就是这个不等式组的边值问题，在求交分散，通常把每个不等式的边值问题图画在同一条数轴上，挑它们的公共部分。
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端秦九韶一个不含参数的式子时，则须要探讨这个式子的也已、正数、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在求解所含字母的一元二次不等式时，须要考量适当的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时必须分析△)，比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数，必须探讨1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化成ax>b或axb而言，当a>0时，其边值问题为(ab，+∞)，当a<0时，其边值问题为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集是r，当a=0，b≥0时，其边值问题为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x求解：原不等式化成(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其边值问题为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其边值问题为r.任何一个一元二次不等式都可化为ax?2+bx+c>0或ax?2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第32讲不等式的解法
第32讲 不等式的解法【知识要点】一、一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式.当0a >时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. 二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法1、二次不等式2()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.2、当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答.3、温馨提示（1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.（3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩②当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.(1)x a b a >>log ()log log x a a a a b x b ⇒>⇒> (01)x a b a ><<log ()log log x a a a a b x b ⇒<⇒<log 00log (1)aa xb x x x b a x b aa >>⎧⎧>⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎩其中log 00log (1)aa xb x x x b a x b a a >>⎧⎧>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎩其中0四、分式不等式的解法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集.温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域. 五、高次不等式的解法先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->gg g 的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集.实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 六、绝对值不等式的解法方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴.方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以使用平方法. 七、无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ．八、抽象的函数不等式的解法一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答. 【方法讲评】不等式一一元二次不等式解题方法1、二次不等式2()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.2、当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答.【例1】 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为ax 11<<．当1=a 时，11=a ，此时②的解为11<<x a． 【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．【反馈检测1】 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 不等式二指数不等式解题方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.【例2】解不等式211126()82x x ---⨯<【点评】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解.【反馈检测2】解关于x 的不等式：)22(223x x x xa --<-（其中0a >）不等式三对数不等式解题方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.【例3】已知0>a 且1a ≠，关于x 的不等式1x a >的解集是{}0x x >，解关于x 的不等式1log ()0a x x-<的解集.【点评】本题选同底法解答，把0写成log 1a ，再利用对数函数的图像和性质将不等式变成分式不等式 组解答.【反馈检测3】解不等式21log (2)1x x x +-->.不等式四分式不等式解题方法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f xg x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集.把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集. 【例4】 解关于x 的不等式12>-x【点评】分析：若将原不等式移项、通分整理可得：02)2()1(>----x a x a ⇔0)2)](2()1[(>----x a x a显然，现在有两个问题：（1）1a -的符号怎样？（2）12--a a 与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标准所在.【反馈检测4】 解不等式x x x x x <-+-+222322．不等式五高次不等式解题方法先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->gg g 的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集.【例5】解不等式： 015223>--x x x【点评】如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．【反馈检测5】0)2()5)(4(32<-++x x x不等式六绝对值不等式解题方法方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴.方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以使用平方法.【例6】|5||23|1x x --+<【点评】该题由于有两个不等式，所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测6】解不等式242+<-x x不等式七 无理不等式解题方法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.【例7】 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．【解析】原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥． 综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ． 【点评】本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2ax >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．【反馈检测7】解不等式x x x ->--81032．不等式八 抽象函数不等式解题方法一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答.【例8】若非零函数()f x 对任意实数,a b 均有()()()f a b f a f b +=，且当0x <时，()1f x >. （1）求证：()0f x >；（2）求证：()f x 为减函数； （3）当1(4)16f =时，解不等式21(3)(5)4f x f x --≤.（3）由211(4)(2)1(2)164f f f ==⇒=，由（） 原不等式转化为)2()53(2f x x f ≤-+-，结合（2）得：10222≤≤⇒≥-+x x x故不等式的解集为{}10|≤≤x x【点评】（1）第（3）问的关键是找到1(?)4f =，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体函数不等式.【反馈检测8】函数()f x 对任意(0)x y ∈+∞，，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x <. （l ）判断函数()f x 的单调性并证明相关结论；（2） 若(2)1f =-，试求解关于x 的不等式()(3)2f x f x +-≥-.【反馈检测9】【2017江苏，11】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若 2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第32讲：不等式的解法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测2答案】见解析【反馈检测2详细解析】解原不等式得：即),12()12(2222-<-x x x a 0)14)(4(),14()14(4<--∴-<-x x x x x a a)0,(log ,14,104a a a x 此时不等式的解集为时当<<<<此时不等式无解时当,0)14(,12<-=x a )log ,0(,41,14a a a x 此时不等式的解集为时当<<>【反馈检测3答案】3x >【反馈检测3详细解析】[法一]原不等式同解于所以原不等式的解为3x >.[法二]原不等式同解于211log (2)log (1)x x x x x ++-->+所以原不等式的解为3x >.【反馈检测4答案】}321{><<-x x x 或【反馈检测5答案】{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测5详细解析】原不等式等价于 ⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测6答案】{}31<<x x【反馈检测6详细解析】解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x 故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或． 【反馈检测7答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x【反馈检测8答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）{34}x x <≤.【反馈检测8详细解析】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减 1212,,(0,)x x x x <∈+∞任取且 2221111()()()()x x f x f x f x f x x =⋅=+则 2211()()()x f x f x f x ∴-= 120x x <<Q 21()0x f x ∴< 2112()()0()()f x f x f x f x ∴-<>即 ()(0,)f x ∴+∞在单调递减（2）2)2()2()4(-=+=f f f Θ ((3))(4)f x x f ∴-≥原不等式可化为()0f x +∞Q 又在（，）上单调递增 030(3)4x x x x >⎧⎪∴->⎨⎪-≤⎩34x <≤解得 {34}x x ∴<≤原不等式解集为. 【反馈检测9答案】1[1,]2-。