第五章能控性、能观性与传递函数

⎡ F1T ⎤ ⎢ T⎥ F2 ⎥ −1 ⎢ T = T ⎢ F3 ⎥ ⎢ T⎥ ⎢ ⎣ F4 ⎥ ⎦
(5.1.4)
6
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解
F1T T2 = 0, F1T T3 = 0, F1T T4 = 0 F2T T1 = 0, F2T T3 = 0, F2T T4 = 0 F3T T1 = 0, F3T T2 = 0, F3T T4 = 0 F4T T1 = 0, F4T T2 = 0, F4T T3 = 0
3
A12 A22 0 0
A13 0 A33 0
A14 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢ x ⎥ ⎢B ⎥ A24 ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ + ⎢ 2⎥u A34 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A44 ⎦ ⎣ x4 ⎦ ⎣ 0 ⎦
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ y = [ 0 C2 0 C4 ] ⎢ 2 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎥ 并且： x 4⎦ ⎣ ⎡ A11 A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ (1) ( ⎢ , ⎢ ⎥ ) 能控， ⎥ ⎣ 0 A22 ⎦ ⎣ B2 ⎦ ⎡ A22 A24 ⎤ (2) ( ⎢ , [C2 C4 ]) 能观， ⎥ ⎣ 0 A44 ⎦
2
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解 定理5.1（Kalman规范分解定理） 对不完全能控不完全 能观系统(5.1.1), 通过非奇异线性变换可实现系统结构的 规范分解, 其规范分解的表达式
⎡ x1 ⎤ ⎡ A11 ⎢x ⎥ ⎢ 0 ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ x4 ⎦ ⎣ 0
8
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解
⎡ A11 A12 A13 A14 ⎤ ⎢0 A ⎥ 0 A 22 24 ⎥ =⎢ ⎢0 0 A33 A34 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 A44 ⎦ ⎣0 由 B 的各列属于 X C 及(5.1.7)推得: ⎡ F1T B ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢ T ⎥ ⎢ ⎥ F2 B ⎥ ⎢ B2 ⎥ −1 ⎢ ˆ B =T B = T = ⎢ F3 B ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ T ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ F4 B ⎥ ⎦ ⎣0⎦
4
(3)
(5.1.2)
( A22 , B2 , C2 ) 能控能观。
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解 证明：选取变换矩阵。 取
T1 为 n × n1 维矩阵,其列构成子空间 X C ∩ X No 的基底；
T2 为 n × n2 维矩阵,其列构成子空间 X C − X C ∩ X No 的基底； T3 为 n × n3 维矩阵,其列构成子空间 X No − X C ∩ X No 的基底。 则 T1 , T2 , T3 的各列线性无关, 且 n1 + n2 + n3 ≤ n. T4 为 n × n4 维 使 [T1 T2 T3 T4 ] 为非奇异矩阵的任意 矩阵。
第五章 能控性、能观性与 传递函数
马树萍
§5.1 线性定常系统的结构分解
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解 考虑线性定常系统 (5.1.1) x = Ax + Bu , y = Cx x 为 n 维状态向量，u 为 p 维输入向量，y 为 q 维 A, B, C 分别为 n × n, n × p, n × q 维的实常阵。 输出向量， 问题： 若 ( A, B, C ) 同时为不完全能控不完全能观的，是否可通 过引进非奇异线性变换，将其能控能观部分与不能控不能 观部分及能控不能观，不能控能观部分同时分离呢？ 答案是肯定的
(5.1.5a) (5.1.5b) (5.1.5c) (5.1.5d)
由 (5.1.5b), (5.1.5d), F2 , F4 的各列与 X No 的基底正交， 故 F2 ∈ X O , F4 ∈ X O (5.1.6) 由(5.1.5c), (5.1.5d), F3 , F4 的各列与 X C 的基底正交，故 F3 ∈ X Nc , F4 ∈ X Nc (5.1.7)
(5.1.8)
(5.1.9)
9
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解 由 C T 的各列属于 X O 推得
ˆ = CT = [CT CT C 1 2 CT3 CT4 ] = [ 0 C2
T 4 T
0 C4 ] (5.1.10)
ˆ=⎡ 令x ⎣x
T 1
x
T 2
x
T 3
x ⎤ ⎦ , x1 , x2 , x3 , x4 分别为
n1 + n2 = rank ⎡ ⎣B
7
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解
ˆ. 对系统(5.1.1)作非奇异线性变换 x = Tx
由 X C , X No 是 A 的不变子空间, AT1 , AT2 各列仍属于 X C , AT1 , AT3 各列仍属于 X No , 及 (5.1.6),(5.1.7)推得
⎡ F1T AT1 ⎢ T F2 AT1 −1 ⎢ ˆ A = T AT = T ⎢ F3 AT1 ⎢ T ⎢ ⎣ F4 AT1 F1T AT2 F2T AT2 F3T AT2 F4T AT2 F1T AT3 F2T AT3 F3T AT3 F4T AT3 F1T AT4 ⎤ ⎥ F2T AT4 ⎥ F3T AT4 ⎥ ⎥ T F4 AT4 ⎥ ⎦
n4 = n − (n1 + n2 + n3 ),
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§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解
T = [T1 T2 T3 T4 ]
分析 T −1 的性质。
(5.1.3)
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F1 , F2 , F3 , F4 分别为 n × n1 , n × n2 , n × n3 , n × n4 维矩阵。 由 T −1T = I 推得：
n1 , n2 , n3 , n4 维分状态, 联合(5.1.8)－(5.1.10)即有系统 ˆ 下, 结构形式为(5.1.2)。 (5.1.1)在非奇异线性变换 x = Tx
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§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解
⎡ A11 下面证明 ( ⎢ ⎣0 A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ , ⎢ ⎥ ) 能控。因为 ⎥ A22 ⎦ ⎣ B2 ⎦