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中考数学一轮复习 二次函数(含答案)

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中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。

2020年中考数学一轮复习二次函数专练(50题)含答案

2020年中考数学一轮复习二次函数专练(50题)含答案

2020年中考数学一轮复习二次函数专练（50题）含答案一、选择题（共20题）1.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和反比例函数的图象大致是（）A. B. C. D.2.把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（）A. 向左平移个单位，再向下平移个单位B. 向左平移个单位，再向上平移个单位C. 向右平移个单位，再向上平移个单位D. 向右平移个单位，再向下平移个单位3.二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A. B.C. D.4.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1，0)和点(3，0)，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.5.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2B. 有最大值0，有最小值﹣1C. 有最大值7，有最小值﹣1D. 有最大值7，有最小值﹣26.抛物线的对称轴是直线，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：① 且；② ；③ ；④ ；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为、，则.其中正确的个数有( )A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个7.如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ③④⑤8.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A. (1，3)B. （1，-3)C. （-1，3）D. （-1，-3）9.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10.已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A. x1＜﹣1＜2＜x2B. ﹣1＜x1＜2＜x2C. ﹣1＜x1＜x2＜2D. x1＜﹣1＜x2＜211.如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A. B. C. D. 或12.如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是关于的一元二次方程的一个根.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.14.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度ℎ(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度ℎ时，．其中正确的是( )A. ①④B. ①②C. ②③④D. ②③15.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A. B. C. D.16.如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A. B. C. D.17.二次函数＝的部分图象如图所示，有以下结论：① ﹣＝；② ﹣；③ ﹣；④ ，其中错误结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 418.如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为 ，的面积为 ，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（）A. B.C. D.19.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y=2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形.若A点坐标为（-3，0），则此抛物线与y轴的交点坐标为何？（）A. B. C. D.20.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共15题）21.将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为________．22.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是________（填写序号）.23.如图，若被击打的小球飞行高度ℎ（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为ℎ，则小球从飞出到落地所用的时间为________ .24.已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是________.25.二次函数的图象如图所示，若，﹣.则、的大小关系为________ .(填“ ”、“ ”或“ ”)26.如图，抛物线与x轴相交于两点，与轴相交于点，点在抛物线上，且. 与轴相交于点，过点的直线平行于轴，与拋物线相交于两点，则线段的长为________.27.二次函数的最大值是________.28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+ (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M。

2021年中考数学 二次函数的图象及其性质 一轮复习(含答案)

2021年中考数学 二次函数的图象及其性质 一轮复习(含答案)

2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习一、选择题1. 若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为()A. 0，5B. 0，1C. －4，5D. －4，12. 对于函数y＝－2(x－m)2，下列说法不正确的是()A．其图象开口向下B．其图象的对称轴是直线x＝mC．最大值为0D．其图象与y轴不相交3. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为() A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋44. （2020·深圳）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，n)，其部分图象如图所示，以下结论错误．．的是（）A．abc＞0 B．4ac－b2＜0C．3a＋c＞0 D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根5. 已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是()A. 当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B. 当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C. 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D. 若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大6. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y3＞y2＞y1B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＝y2＞y37. （2020·福建）10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22=-y ax ax 上的点，下列命题正确的是（ ）A.若12|1||1|->-x x ，则12>y yB.若12|1||1|->-x x ，则12<y yC.若12|1||1|-=-x x ，则12=y yD.若12=y y ，则12=x x二、填空题8. 将抛物线y ＝－(x ＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y ＝－(x －1)2.9. 如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，则方程ax 2=bx+c 的解是 .10. (2019•荆州)二次函数2245y x x =--+的最大值是__________．11. 已知二次函数y=-(x -1)2+2，当t<x<5时，y 随x 的增大而减小，则实数t 的取值范围是 .12. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．13. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，0)，C(－2，n)(1＜m ＜3，n ＜0)，有下列结论： ①abc ＞0； ②3a ＋c ＜0； ③a(m －1)＋2b ＞0；④a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形． 其中正确结论的序号为________．14. 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D (0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为________．三、解答题15. 已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点．(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．16. 如图，已知抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y＝x ＋3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点． (1)求m 的值；(2)求A 、B 两点的坐标； (3)点P (a ，b )(－3<a <1)是抛物线上一点，当△P AB 的面积是△ABC 面积的2倍时，求a 、b 的值．17. (2019·山东滨州)如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点,B C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． (1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为524时，求sin PAD的值．2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由y＝(x－2)2＋k知此二次函数的顶点坐标为(2，k)，对称轴为x＝2，由y＝x2＋bx＋5知其对称轴为x＝－b2，得－b2＝2，所以b＝－4；于是可以得到函数的解析式是y＝x2－4x＋5，把(2，k)代入其中即得k＝1.2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.4. 【答案】C【解析】根据抛物线开口向下，得到a＜0，对称轴为直线x＝－b2a＝－1，知b＝2a＜0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，∴abc＞0，故选项A正确；根据抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0，故选项B正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，又∵b＝2a，∴3a＋c＜0，∴选项C错误；∵抛物线开口向下，顶点为（－1，n），∴函数有最大值n，即抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y ＝n＋1无交点，一元二次方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根，选项D正确；而要选择结论错误．．的，因此本题选C．5. 【答案】D【解析】当a＝1时，函数为y＝x2－2x－1，当x＝－1时，y＝1＋2－1＝2，其图象经过点(－1，2)，不过点(－1，1)，所以A选项错误；当a＝－2时，函数为y＝－2x2＋4x－1，b2－4ac＝16－4×(－2)×(－1)＝8>0，抛物线与x 轴有两个交点，故选项B 错误；当a >0时，抛物线的开口向上，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≥1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，所以C 选项错误；当a <0时，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≤1，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，所以D 选项正确．6. 【答案】D 【解析】此类题利用图象法比较大小更直观简单．容易求出二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 图象的对称轴为直线x ＝1，可画草图如解图：由解图知，P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)关于直线x ＝1对称，P 3(5，y 3)在图象的右下方部分上，因此，y 1＝y 2>y 3.7. 【答案】C【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，∵22=-y ax ax =a （x -1）2-a ，∴抛物线的对称轴为x =1，根据二次函数的对称性知若12|1||1|-=-x x ，则12=y y ，因此本题选C ． 二、填空题8. 【答案】右 39. 【答案】x 1=-2，x 2=1[解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.10. 【答案】7【解析】222452(1)7y x x x =--+=-++， 即二次函数245y x x =--+的最大值是7， 故答案为：7．11. 【答案】1≤t<5[解析]抛物线的对称轴为直线x=1，因为a=-1<0，所以抛物线开口向下，所以当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，因为t<x<5时，y 随x 的增大而减小，所以1≤t<5.12. 【答案】21(4)2yx =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =，所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．13. 【答案】②③ [解析] 由抛物线经过A(－1，0)，B(m ，0)，可知对称轴为x ＝m －12＝－b 2a， ∴－ba ＝m －1.∵1＜m ＜3，∴ab ＜0.画出二次函数y ＝ax 2＋bc ＋c 的大致图象可知a ＜0， ∴b ＞0.把(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得a －b ＋c ＝0， ∴c ＝b －a ＞0.∴abc ＜0，故①错误． 当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a ＋3(a ＋c)＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c)＜0，∴3a ＋c<0，故②正确． ∴－ba ＝m －1，∴a(m －1)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，故③正确．当a ＝－1时，y ＝－x 2＋bx ＋c ，∴P(b 2，b ＋1＋b 24)．若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形， ∴b ＋1＋b 24＝b2＋1，∴b ＝－2或b ＝0.∵b ＞0，∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形， 故④错误． 故答案为②③.14. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．三、解答题15. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b 2－4ac ＝16－8c ＞0，∴c ＜2.(2)m<n.理由：∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 的对称轴为直线x ＝1， ∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧． 又∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大， ∴m ＜n.16. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点在x 轴的正半轴上， ∴方程x 2－(m ＋3)x ＋9＝0有两个相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝[－(m ＋3)]2－4×9＝0，解得m ＝3或m ＝－9， 又∵抛物线对称轴大于0，即m ＋3>0， ∴m ＝3.(3分)(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝x 2－6x ＋9，联立一次函数y ＝x ＋3，可得⎩⎨⎧y ＝x 2－6x ＋9y ＝x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6y ＝9，∴A(1，4)，B(6，9)．(6分)(3)如解图，分别过A 、B 、P 三点作x 轴的垂线，垂足分别为R 、S 、T ，解图∵A(1，4)，B(6，9)，C(3，0)，P(a ，b)，∴AR ＝4，BS ＝9，RC ＝3－1＝2，CS ＝6－3＝3，RS ＝6－1＝5，PT ＝b ，RT ＝1－a ，ST ＝6－a ，∴S △ABC ＝S 梯形ABSR －S △ARC －S △BCS ＝12×(4＋9)×5－12×2×4－12×3×9＝15，S △PAB ＝S 梯形PBST －S 梯形ARTP －S 梯形ARSB ＝12(9＋b)(6－a)－12(b ＋4)(1－a)－12×(4＋9)×5＝12(5b －5a －15)．(8分) 又∵S △PAB ＝2S △ABC ， ∴12(5b －5a －15)＝30，即b －a ＝15， ∴b ＝15＋a ，∵P 点在抛物线上， ∴b ＝a 2－6a ＋9，∴15＋a ＝a 2－6a ＋9，解得a ＝7±732， ∵－3<a<1， ∴a ＝7－732，∴b ＝15＋7－732＝37－732.(10分)17. 【答案】(1)当0x =时,4y =，则点A 的坐标为()0,4，当0y =时，2110482x x =-++，解得，124,8x x =-=，则点B 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()8,0，∴4OA OB ==，∴45OBA OAB ∠=∠=︒， ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到直线AD ， ∴90BAD ∠=︒，∴45OAD =︒，∴45ODA ∠=︒，∴OA OD =，∴点D 的坐标为()4,0， 设直线AD 的函数解析式为,y kx b =+440b k b =⎧⎨+=⎩，得14k b =-⎧⎨=⎩， 即直线AD 的函数解析式为4y x =-+；(2)作PN x ⊥轴交直线AD 于点N ，如图①所示，设点P 的坐标为211,482t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为(),4t t -+，∴2211134(4)8282PN t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，∴PN x ⊥轴， ∴PN y ∥轴，∴45OAD PNH ∠=∠=︒，作PH AD ⊥于点H ，则90PHN ∠=︒， ∴22222132322926)2282164164PH PN t t t ⎫==-+=-+=--+⎪⎝⎭， ∴当6t =时，PH 92P 的坐标为(56,2)，即当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标是(56,2)，最大距离是924；②当点P 到直线AD的距离为524时，如图②所示，则2232521644t t -+=，解得：122,10t t ==， 则1P 的坐标为(92,2)，2P 的坐标为(10,)72-，当1P 的坐标为(92,2)，则221917(20)42P A ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴125344sin 172P AD ∠==； 当2P 的坐标为(10,)72-，则222725(100)422P A ⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭，∴25224sin 252P AD ∠==；由上可得，sin PAD ∠的值是53434或210． 【名师点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P 点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离，难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.。

【数学中考一轮复习】 二次函数最值应用(含解析)

【数学中考一轮复习】 二次函数最值应用(含解析)

专项训练 二次函数最值应用结合图象，分两类情形: （1）最值在顶点位置如图所示，P 为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的顶点，则二次函数的最值（开口向上有最小值，开口向下有最大值）为顶点P 的纵坐标ab ac 442-.（2）最值不在顶点位置如图所示，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为y 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象上的两点，则当x 1≤x ≤x 2时，二次函数的最大值为y 2，最小值为ab ac 442-.具体应结合开口方向，根据M ，N ，P 三个点的位置，通过比较y M ，y P ，y N ，确定二次函数的最值.如果在实际问题中，还要考虑取值的实际意义，综合进行分析，确定二次函数的最值. 类型一 面积中的最值应用1.把一根长为120 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个正方形.若设围成的一个正方形的边长为 x cm.（1）要使这两个正方形的面积的和等于650 cm 2，则剪出的两段铁丝长分别是多少？ （2）剪出的两段铁丝长分别是多少cm 时，这两个正方形的面积和最小？最小值是多少？2.如图所示，在足够大的空地上有一段长为100 m 的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 m 的木栏.（1）若AD ＜20 m ，所围成的矩形菜园的面积为450 m 2，求所利用的旧墙AD 的长； （2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值.3.如图所示，为美化中心城区环境，政府计划在长为30米，宽为20米的矩形场地ABCD 上修建公园其中要留出宽度相等的三条小路，且两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分建成花圃.（1）若花圃总面积为448平方米，求小路宽为多少米？（2）已知某园林公司修建小路的造价y 1（元）和修建花圃的造价y 2（元）与修建面积s （平方米）之间的函数关系分别为y 1＝40s 和y 2＝35s ＋20000.若要求小路宽度不少于2米且不超过4米，求小路宽为多少米时修建小路和花圃的总造价最低？类型二 利润中的最值应用4.超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元.在销售过程中发现，每天销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间满足一次函数关系（其中10≤x ≤15，且x 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？5.在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销量y （单位:件）与线下售价x （单位:元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表:（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问:当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.6.2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x 天（x为正整数）的销售价格p （元/千克）关于x 的函数关系式为p ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+)3020(1251)200(452x x x x ,销售量y （千克）与x 之间的关系如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）类型三运动中的最值应用，7.周末，小明陪爸爸去打高尔夫球，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图所示，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线.小明测得小球的飞行高度h（单位:m）与飞行时间t（单位:s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t-5t2. （1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15 m？8.如图所示，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m处跳起投篮，球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足解析式y＝ax2＋x＋c，当球运行的水平距离为1.5 m时，球离地面高度为3.3 m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内.已知篮圈中心离地面距离为3.05 m.（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1.8 m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m处出手，问球出手时他跳离地面多高?9.如图所示，某足球运动员站在点O处练习射门将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位:m）与飞行时间t（单位:s）之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.（1）a＝_________；c＝___________.（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位:m）与飞行时间（单位:s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？巩固训练1.某宾馆共有80间客房宾馆负责人根据经验作出预测:今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝41x-42（x ≥168）.若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ） A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间 2.如图所示，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m （篱笆的厚度忽略不计），当AB ＝_______m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.3.小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地.设小丽出发第x min 时，小丽、小明离B 地的距离分别为y 1 m 、y 2 m.y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝-180x ＋2250，y2与x 之间的函数表达式是y 2＝-10x 2-100x ＋2000.（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为_________m ；（2）小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？4.因疫情防控需要，消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y （桶）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价-进价）参考答案1.解:（1）根据题意知:一个正方形的边长分别为x cm ， 则另一个正方形的边长为41（120-4x ）＝（30-x ）cm ， 且分成的铁丝一段长度为4x cm ，另一段为（120-4x ）cm ，x 2＋（30-x ）2＝650. 整理得:x 2-30x ＋125＝0，解得:x 1＝5，x 2＝25， 故这根铁丝剪成两段后的长度分别是20 cm ，100 cm ； （2）设这两个正方形的面积之和为y cm 2，y ＝x 2＋（30-x ）2＝2x 2-60x ＋900＝2（x-15）2＋450， ∴当x ＝15时，y 取得最小值，最小值为450cm 2，即剪成两段均为60 cm 的长度时面积之和最小，最小面积和为450 cm 2. 2.解:（1）设AB ＝x m ，则BC ＝（100-2x ）m.x （100-2x ）＝450. 解得，x 1＝5，x 2＝45，当x ＝5时，100-2x ＝90＞20，不合题意，舍去. 当x ＝45时，100-2x ＝10， 答:AD 的长为10m ；（2）设AD ＝a m ，面积为S m 2， S ＝a ·1250)50(2121002+-=-x a ， ∴当a ＝50时，S 取得最大值，此时S ＝1250. 答:矩形菜园ABCD 面积的最大值是1250 m 2.3.解:（1）设小路的宽为m 米，则可列方程（30-m ）（20-2m ）＝448； 解得:m 1＝2或m 2＝38（舍去）； 答:小路的宽为2米；（2）设小路的宽为x 米，总造价为w 元，则花圃的面积为（2x 2-80x ＋600）平方米，小路面积为（-2x 2＋80x ）平方米，所以w ＝40·（-2x 2＋80x ）＋35·（2x 2-80x ＋600）＋20000， 整理得:w ＝-10（x-20）2＋45000，∴当2≤x ≤4时，w 随x 的增大而增大.∴当x ＝2时，w 取最小值. 答:小路的宽为2米时修建小路和花圃的总造价最低.4.解:（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b （k ≠0），根据题意，得1⎩⎨⎧=+=+80149012b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=1505b k ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝-5x ＋150； （2）根据题意，得w ＝（x-10）（-5x ＋150）＝-5x 2＋200x-1500＝-5（x-20）2＋500 ∵a ＝-5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值.∴当x ＜20时，w 随x 的增大而增大.10≤x ≤15，且x 为整数， ∴当x ＝15时，w 有最大值. 即w ＝-5×（15-20）2＋500＝375.答:当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是375元.5.解:（1）∵y 与x 满足一次函数的关系，∴设y ＝kx ＋b.将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入得：⎩⎨⎧b ＋13k ＝1100b ＋12k ＝1200，解得:⎩⎨⎧2400＝b 100-＝k ，∴y 与x 的函数关系式为:y ＝-100x ＋2400；（2）设线上和线下月利润总和为m 元，则m ＝400（x-2-10）＋y （x-10） ＝400x-4800＋（-100x ＋2400）（x-10）＝-100（x-19）2＋7300，∴当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元. 6.解:（1）当0＜x ≤20时，设y ＝k 1x ＋b 1，由图象得:⎩⎨⎧=+=402080111b k b ，解得⎩⎨⎧=-=80211b k ，∴y ＝-2x ＋80（0＜x ≤20）； 当20＜x ≤30时，设y ＝k 2x ＋b 2，由图象得:⎩⎨⎧=+=+803040202222b k b k ，解得⎩⎨⎧-==40422b k ，∴y ＝4x-40（20＜x ≤30）. 综上，y ＝⎩⎨⎧）；30≤x ＜2040-4x （），20≤x ＜080＋2x （（（2）设当月该农产品的销售额为w 元，则w ＝yp ， 当0＜x ≤20时，w ＝（-2x ＋80）（52x ＋4）＝-54x 2＋24x ＋320＝-54（x-15）2＋500 ∵-54＜0，由二次函数的性质可知:∴当x ＝15时，w 最大＝500.当20＜x ≤30时，W ＝（4x-40）（-51x ＋12）＝-54x 2＋56x-480＝-54（x-35）2＋500，∵-54＜0，20＜x ≤30，由二次函数的性质可知:当x ＝30时，W 最大＝（30-35）2＋500＝480.∵500＞480， ∴当x ＝15时，w 取得最大值，该最大值为500.答:当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元. 7.解:（1）h ＝20t-5t 2. ∵-5＜0，故h 有最大值，当t ＝）（5220-⨯＝2，此时h 的最大值为20，∴当t ＝2 s 时，最大高度是20 m ；（2）令h ≥15，则h ＝20t-5t 2≥15，解得:1≤t ≤3， ∴1≤t ≤3时，飞行高度不低于15 m.8.解:（1）依题意，抛物线y ＝ax 2＋x ＋c 经过点（1.5，3.3）和（4，3.05），∴⎩⎨⎧ 3.05＝c ＋4＋42×a 3.3＝c ＋1.5＋1.52×a ，解得⎩⎨⎧ 2.25＝c 0.2-＝a ，∴y ＝-0.2x 2＋x ＋2.25＝-0.2（x-2.5）2＋3.5.∴当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度为3.5 m ； （2）∵x ＝0时，y ＝2.25，∴2.25-0.25-1.8＝0.2 m. 即球出手时，他跳离地面0.2 m.9.解:（1）由题意得:函数y ＝at 2＋5t ＋c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴⎩⎨⎧c ＋0.8×5＋0.82a ＝3.5c ＝0.5，解得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=211625c a ，∴抛物线的解析式为:y ＝-1625t2＋5t ＋21, 故答案为:-1625，21. （2）∵y ＝-1625t2＋5t ＋21，∴y ＝29)58(16252+--t . ∴当t ＝58时，y 最大＝4.5.∴当足球飞行的时间为58s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5 m ；（3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝-1625×2.82＋5×2.8＋21＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门. 巩固训练 1.B 2.1503.解:（1）∵y 1＝-180x ＋2250，y 2＝-10x 2-100x ＋2000， ∴当x ＝0时，y 1＝2250，y 2＝2000，∴小丽出发时，小明离A 地的距离为2250-2000＝250（m ）， 故答案为:250；（2）设小丽出发第x min 时，两人相距s m ，则s ＝（-180x ＋2250）-（-10x 2-100x ＋2000）＝10x 2-80x ＋250＝10（x-4）2＋90， ∴当x ＝4时，s 取得最小值，此时s ＝90，答:小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m. 4.解:（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为:y ＝kx ＋b ，将点（60，100），（70，80）代入一次函数表达式得:⎩⎨⎧+=+=b k b k 708060100，解得:⎩⎨⎧=-=2202b k ，故函数的表达式为:y ＝-2x ＋220；（2）设药店每天获得的利润为w 元，由题意得: W ＝（x-50）（-2x ＋220）＝2（x-80）2＋1800， ∵-2＜0，函数有最大值，∴当x ＝80时，w 有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元.。

中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题(含答案)

中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题(含答案)

中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．32．抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（ ） A ．(9,3)-B ．(9,3)--C ．(9,3)D ．(9,3)-3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ．那么水位下降1m 时，水面的宽度为（ ）A 6mB ．26mC ．)64mD ．()264m4．二次函数()225y x =+-的图象的顶点坐标是（ ） A ．2,5B ．()2,5C ．()2,5--D ．()2,5-5．在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(2)(4)y y y -，，，，，在抛物线22y ax ax c =-+上，当0a >时，下列说法一定正确的是( ) A ．若120y y <，则30y > B ．若230y y >，则10y < C ．若130y y <，则20y >D ．若1230y y y =，则20y =6．抛物线221y x x =-+的顶点坐标是（ ） A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(1，2)D ．(－1，2)7．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．()2323y x =++B ．()2323y x =-+C ．()2332y x =++D ．()2332y x =-+8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A 的坐标为16(0)9，，则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m9．关于抛物线2(1)y x =-，下列说法错误的是( ) A ．开口向上B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．对称轴是直线1x =D ．顶点()1,010．一次函数y x a =+与二次函数2y ax a =-在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD 为14的奖杯，杯体轴截面ABC 是抛物线2459y x =+的一部分，则杯口的口径AC 为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．下表中列出的是一个二次函致的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是（ ） x … 2- 0 1 3 …y … 6- 4 6 4 …A ．函数的图象开口向上B ．函数的图象与x 轴无交点C ．函数的最大值大于6D ．当12x -≤≤时，对应函数y 的取值范围是36y ≤≤二、填空题13．已知函数221y mx mx =++在32x -上有最大值4，则常数m 的值为 __.14．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当0y ＞时，自变量x 的取值范围是 _____．15．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____．16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面上升1.5m ，则水面宽度为________．17．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是___________米．18．在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的图象如图所示，已知A 点坐标()1,1，过点A 作1AA x ∥轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∥交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∥轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∥交抛物线于点4A ，…，依次进行下去，则点2022A 的坐标为______．19．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面下降0.5m ，那么水面宽度增加________m ．20．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB 间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF 的长为0.28米，则拱高OC 为_____米三、解答题21．已知关于x 的方程2(23)0mx m x m +-+=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．22．已知关于x 的一元二次方程x 2+x −m =0．(1)设方程的两根分别是x 1，x 2，若满足x 1+x 2=x 1•x 2，求m 的值． (2)二次函数y =x 2+x −m 的部分图象如图所示，求m 的值．23．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。

中考数学一轮专练：二次函数(二)

中考数学一轮专练：二次函数(二)

中考数学一轮专练：二次函数（二）一、单选题1．将抛物线y=﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能够成等边三角形，那么平移的距离为（）A．1个单位B．√3个单位C．52个单位D．32个单位2．某商品原价800元，连续两次降价a%后售价为578元，下列所列方程正确的是（）A．800（1+a%）2=578B．800（1﹣a%）2=578C．800（1﹣2a%）=578D．800（1﹣a2%）=5783．把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=x2+1B．y=（x+1）2C．y=x2﹣1D．y=（x﹣1）24．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x和函数y的部分对应值如表：则该二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是（）A．﹣45B．﹣20C．﹣4D．05．已知一次函数y＝ax＋b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是（）A．B．C．D．6．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．此抛物线的解析式是y＝﹣15 x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m7．若一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y=mx2﹣mx（）A．有最大值m4B．有最大值﹣m4C．有最小值m4D．有最小值﹣m48．在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）A．y=x2﹣2B．y=x2+2C．y=（x﹣2）2D．y=（x+2）29．将抛物线y=x2+2向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（）A．y=(x+1)2−1B．y=(x−1)2−1C．y=(x+1)2+1D．y=(x−1)2+110．对于二次函数y=3x2+2，下列说法错误的是（）A．其最小值为2B．其图象与y轴没有公共点C．当x<0时，y随x的增大而减小D．其图象的对称轴是y轴二、填空题11．已知点A（﹣2，y1），B（√2，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．（用“＞”号连接）12．函数y=(m−1)x m2+1−2mx+1的图象是抛物线，则m= ．13．小明在研究抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1（ℎ为常数）时，得到如下结论：①无论x取何实数，y的值都小于0；②该抛物线的顶点始终在直线y=-x+1上；③当x<2时，y随x的增大而增大，则ℎ<2；④该抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1<x2，x1+x2>2ℎ，则y1>y2 .其中一定正确的是（填序号即可）.14．老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象不经过第三象限；乙：函数的图象经过第一象限；丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；丁：当x＜2时，y＞0；已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数 .15．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=12x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是.16．函数y=(m−3)x m2−2m−1的图像是开口向下的抛物线，则.17．在平面直角坐标系中，已知A(−1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点，将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为．18．若二次函数y=kx2−4x+3的函数值恒大于0，则k取值范围是.三、解答题19．已知二次函数y=12x2−3x+4 ,将其配方成y=a(x−k)2+ℎ的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.20．已知函数y=（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．21．若二次函数y =x 2+bx −3的对称轴为直线x =1，求关于x 的方程x 2+bx −3=5的解.22．已知二次函数y=a （x ﹣h ）2+k 当x=﹣1时，有最小值﹣4，且当x=0时，y=﹣3，求二次函数的解析式．23．设x i （i=1，2，3，…，n ）为任意代数式，我们规定：y=max{x 1，x 2，…，x n }表示x 1，x 2，…，x n 中的最大值，如y=max{1，2}=2． （1）求y=max{x ，3}；（2）借助函数图象，解不等式max{x+1，1x}≥2；（3）若y=max{|1﹣x|，12x+a ，x 2﹣4x+3}的最小值为1，求实数a 的值．答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】y1>y 3>y 212．【答案】-1 13．【答案】②④14．【答案】y=（x ﹣2）2+1 15．【答案】-2＜k ＜1216．【答案】-1 17．【答案】4 18．【答案】k >4319．【答案】解： y =12x 2−3x +4=12(x −3)2−12开口方向向上顶点坐标是 (3,−12)对称轴是直线 x =320．【答案】解：（1）①当m=1，n ≠﹣2时，函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y=0时，（n+1）x m +mx+1﹣n=0，∴x=1−n n+2，∴函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m=2，n ≠﹣1时，函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y=0时，y=（n+1）x m +mx+1﹣n=0，即：（n+1）x 2+2x+1﹣n=0， △=22﹣4（1+n ）（1﹣n ）=4n 2≥0；∴函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；③当n=﹣1，m ≠0时，函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n 是一次函数，当y=0时，x=n−1m ，∴函数y=（n+1）x m +mx+1﹣n （m ，n 为实数）与x 轴有交点； （2）①假命题，若它是一个二次函数， 则m=2，函数y=（n+1）x 2+2x+1﹣n ， ∵n ＞﹣1，∴n+1＞0， 抛物线开口向上，对称轴：﹣b 2a=−22(n+1)=﹣1n+1＜0，∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小， ②当x=1时，y=n+1+2+1﹣n=4． 当x=﹣1时，y=0．∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．21．【答案】解：∵二次函数y =x 2+bx −3的对称轴为直线x =1，∴x =−b 2a =−b2×1=1， 解得b =−2.将b =−2代入x 2+bx −3=5中，得：x 2−2x −3=5， 解得x 1=−2，x 2=4.22．【答案】解：设y=a （x+1）2﹣4则﹣3=a （0+1）2﹣4 ∴a=1，∴二次函数的解析式为：y=（x+1）2﹣4 23．【答案】解：（1）y={x (x ≥3)3(x <3)；（2）①由图可知，不等式式max{x+1，1x }≥2的解集为0<x ≤12或x ≥1；②由图可知，最小值为y=12x+a与抛物线y=x2﹣4x+3的交点，∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣√2，x2=2+√2（舍去），∴12×（2﹣√2）+a=1，解得a=√22．。

中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案) 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知二次函数2281y x x =-+，当11x -≤≤时，函数y 的最小值是（ ）A ．1B ．5-C ．6-D ．7-2．把一抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到的解析式为22y x =，则原抛物线的解析式为（ ） A ．()2213y x =-+B ．()2213y x =++C ．()2213y x =+-D ．()2213y x =--3．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()1,3A 与()2,6B --，()0,0C 等都是“三倍点”．若二次函数2y x x c =--+的图像在31x -<<的范围内，至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（ ）A ．45c -≤<B ．43c -≤<-C ．164c -≤<D ．114c -≤< 4．如图为2y x bx c =++的图象，则（ ）A ．0b > 0c <B ．0b > 0c >C ．0b < 0c >D ．0b < 0c < 5．把抛物线22y x =-先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）A ．22(6)2y x =-++B ．22(6)2y x =-+-C ．22(6)2y x =--+D ．22(6)2y x =---6．如图，抛物线2y ax c =-经过正方形OACB 的三个顶点A ，B ，C ，点C 在y 轴上，则ac 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，菱形ABCD 的边长为3cm ，=60B ∠︒动点P 从点B 出发以3cm /s 的速度沿着边BC CD DA --运动，到达点A 后停止运动；同时动点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达点A 后停止运动．设点P 的运动时间为(s)x ，BPQ 的面积为()2cm y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A ．B ．B ．C ．D ．8．已知在平面直角坐标系中，抛物线1C 的图象如图所示，对称轴为直线2x =-，将抛物线1C 向右平移2个单位长度得到抛物线2C ：2y ax bx c =++ （a 、b 、c 为常数，且0a ≠），则代数式b c a +-与0的大小关系是（ ）A ．0b c a +-<B ．0b c a +-=C ．0b c a +->D ．不能确定二、填空题9．若关于x 的二次函数2321y x x m =-+-的值恒为正数，则m 的取值范围为 ． 10．将抛物线2(1)2y x =++先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则所得抛物线的解析式为 ．11．小华酷爱足球运动一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系为：2412h t t =-+，则足球距离地面的最大高度为 m ．12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽度增加 m ．（结果可保留根号）13．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-，且抛物线与x 轴交于A ，B两点，若5OA OB =，则下列结论中：①0abc >；①()220a c b +->；①50a c +=；①若m 为任意实数，则224am bm b a ++≥，正确的是 .（填序号）三、解答题 14．已知抛物线23y ax bx =++交x 轴于()()1030A B ，，，两点 (1)求抛物线的函数表达式；(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．15．如图，抛物线214y x bx c =++过点()0,0O ，()10,0E 矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上．设动点B 坐标为(),0t ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)当t 为何值时矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？16．“潼南柠檬”获评国家地理标志商标，被认定为全国名特优新农产品，柠檬即食片是其加工产品中非常受欢迎的一款零食．一家超市销售了净重500g 一袋的柠檬即食片，进价为每袋10元．销售过程中发现，如果以单价14元销售，那么一个月内可售出200袋．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少20袋．根据物价部门规定，这种柠檬即食片的销售单价不得低于进价且不得高于18元．(1)求每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)设超市每月销售柠檬即食片获得离利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)若超市想每月销售柠檬即食片所得利润w 稳定在900元，销售单价应定为多少元？17．如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系212123y x x c =-++．已知铅球落地时的水平距离为10m ．(1)求铅球出手后水平距离与这名同学相距多远时，铅球离地面最高？(2)在铅球出手后的行进过程中，当它离地面的高度为5m 3时，此时铅球的水平距离是多少？18．我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规x x≥人生产乙产品．定甲产品每天至少生产20件．设每天安排()1(1)根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品生产成本（元）甲10-乙x402x(2)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？参考答案：1．B2．D3．A4．D5．D6．B7．D8．C9．43m > 10．2(2)2y x =--11．912．()264-13．③④/④③14．(1)243y x x =-+(2)当2x <，y 随x 的增大而减小15．(1)抛物线的函数表达式为21542y x x =-，顶点坐标为2554⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)当1t =时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．16．(1)()480201018y x x =-≤≤； (2)当销售单价定为17元时，每月可获得最大利润；每月获得最大利润为980元．(3)当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元．17．(1)铅球出手后水平距离与这名同学相距3m 远时，铅球离地面最高为3m(2)此时铅球的水平距离为8m18．安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元。

2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题二次函数解答压轴题一、解答题1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数2y x bx c =-++．(1)当4,3b c ==时，①求该函数图象的顶点坐标．②当13x -≤≤时，求y 的取值范围．(2)当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(),0m -和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数，0)a ≠的图像上．(1)当1m =-时，求a 和b 的值；(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m -<<-时，求n 的取值范围；(3)求证：240b a +=．5(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB 的面积；(3)P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ACO PBC ∠=∠6．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线2y ax =+(1)求直线AD 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以若不存在，请说明理由；(3)以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数268y x x =-+的图像与x 轴分别交于点,A B （点A 在点B 的左侧），直线l 是对称轴．点P 在函数图像上，其横坐标大于4，连接,PA PB ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，以点M 为圆心，作半径为r 的圆，PT 与M 相切，切点为T ．(1)求点,A B 的坐标；(2)若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等，且M 不经过点()3,2，求PM 长的取值范围．8．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点()0,0O ，()10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上，设(),0B t ，当2t =时，4BC =．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作①如图，若点P 在第三象限，且tan 2CPD ∠=，求点②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 周长．10．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线(1)求抛物线解析式及B ，(2)以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点(3)该抛物线对称轴上是否存在点11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()()()1,0,3,,00,3A B C -．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c =++与坐标轴分别相交于点A ，B ，()0,6C 三点，其对称轴为2x =．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF 分别与y 轴，直线BC 交于点D ，E ．①当CD CE =时，求CD 的长；②若CAD ，CDE ，CEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足1322S S S +=，求点F 的坐标．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．∠的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(3)当PAQ(4)设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以Q15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ．①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值；②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE ⊥始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BE EC的值．(2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当:3:5BM MQ =时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC标及PDDB的最大值；(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连接PC，将好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．33(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点K 坐标．28．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上．①=a ________；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．(1)请求出抛物线1Q 的表达式．(2)如图1，在y 轴上有一点()0,1D -，点E 在抛物线1Q 上，点F 为坐标平面内一点，是否存在点边形DAEF 为正方形？若存在，请求出点,E F 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线1Q 向右平移2个单位，得到抛物线2Q ，抛物线2Q 的顶点为(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线11:y OP y x x =交BF 于点G ，求BPG BOGS S △△的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于求点P 的横坐标．31．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线2y x bx c =-++经过(1,0),(0,3)A C -两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +的最小值；(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(2,0)B 和(0,2)C ，连接BC ，点(,)P m n (0)m >为抛物线上一动点，过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ，交x 轴于点N ．(1)直接写出．．．．抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，连接OM ，当OCM 为等腰三角形时，求m 的值；(3)当P 点在运动过程中，在y 轴上是否存在点Q ，使得以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以B ，C ，N 为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应），若存在，直接写出．．．．点P 和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点交x轴于点D，求与12PK PD+的最大值及此时点2①求证：23DO EO =．②当点E 在线段OB 上，且BE =35．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数直线与该函数图象交于点()1,3B (1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE 设点P 的横坐标为m ．①当12PD OC =时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ，36．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线21:28=--C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △(3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点若不存在，请说明理由．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．41．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数2y ax bx =++交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；(3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线29y ax bx =+-与x 轴交于点()30A -,，()6,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是x 轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q 在抛物线上，若以点A ，C ，P ，Q 为顶点，AC 为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标；(3)如图②，当点(),0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点A ，B 不重合），自点P 分别作∥PE BC ，交AC 于点E ，作PD BC ⊥，垂足为点D ．当m 为何值时，PED V 面积最大，并求出最大值．43．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：y 关于x 的函数()()221y a x a x b =-+++．(1)若函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点，且4a b =，则a 的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x 轴有两个公共点()2,0A -，()4,0B ，并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，BC ，其中PA 交y 轴于点D ，交BC 于点E ．设PBE △的面积为1S ，CDE 的面积为2S ．①当点P 为抛物线顶点时，求PBC 的面积；②探究直线l 在运动过程中，12S S -是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)若32m<<，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若32m<，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使值；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD 好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点F ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为G ，求2FG +(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求AOD △周长的最小值；(3)如图2，过动点D 作DP AC ∥交抛物线第一象限部分于点P ，连接,PA PB ，记PAD 与△为S ，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？50．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线23y ax bx =++（0a ≠）与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点()1,3K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A -、()2,0B ，且经过点()2,6C -．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，求APQ '△的面积；(3)点M 是y 轴上一动点，当AMC ∠最大时，求M 的坐标．52．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x -，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．53．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．54．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA 标；(3)设直线135 :4l y kx k=+-交抛物线于点M、N，求证：无论存在一点E，使得MEN∠为直角．(1)求a 的值．(2)将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度，交抛物线于在定点D ，无论m 取何值时，都是点D 到直线B C ''的距离最大，若存在，请求出点请说明理由．(3)抛物线上是否存在点P ，使45PBC ACO ∠+∠=︒，若存在，请求出直线58．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线28y ax bx =++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．59．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；(3)该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．(4)当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．60．（2023·湖北·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()260y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ．(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)在图1中，连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ，求CEB ∠的度数；(3)如图2，若动直线l 与抛物线交于,M N 两点（直线l 与BC 不重合），连接,CN BM ，直线CN 与BM 交于点P ．当MN BC ∥时，点P 的横坐标是否为定值，请说明理由．61．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上一点，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线214y x =的焦点坐标和准线l 的方程：___________，___________【技能训练】(2)如图2，已知抛物线21y x =上一点()()000,0P x y x >到焦点F 的距离是它到x 轴距离的参考答案一、解答题222（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当⊥交BP于连接PB，过C作CE BC∵5OC OB ==，则OCB 为等腰直角三角形，由勾股定理得：52CB =，∵ACO PBC ∠=∠，∴tan tan ACO PBC ∠=∠，即1552CE CE CB ==，∴2CE =由CH BC ⊥，得90BCE ∠=︒，【点拨】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．A7．【答案】(1)()2,0,y=【分析】（1）令0（2）由题意可得抛物线的对称轴为假设M 过点()3,2N ,则有以下两种情况：①如图1：当点M 在点N 的上方，即∴2683m m -+=，解得：m =∵4m >∴5m =；②如图2：当点M 在点N 的上方，即∴2681m m -+=，解得：m =∵4m >∴32m =±；综上，32PM m =-=或2．∴当M 不经过点()3,2时，1【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P．．由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，=．∴PQ CH∵四边形ABCD是矩形，∴P是AC的中点．33⎝∴90,PEC CED ∠=∠=︒。

九年级最新数学中考一轮复习测试题初三数学复习检测题带图文答案100篇一轮复习6期函数(二)同步练习

九年级最新数学中考一轮复习测试题初三数学复习检测题带图文答案100篇一轮复习6期函数(二)同步练习

中考一轮复习：函数（二）同步练习 二次函数图象与性质同步练习（答题时间：30分钟）1. 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0的根的情况是（ ）xyO -3A. 无实根B. 有两个相等实数根C. 有两个异号实数根D. 有两个同号不等实数根2. 下图中，哪个是二次函数y ＝2x 2－4x ＋3的图象（ ）123-1-2-3-1-21234yx 123-1-2-3-1-21234yx123-1-2-3-1-21234yx 123-1-2-3-1-21234yxA B C D3. （山东泰安）已知函数y ＝（x －m ）（x －n ）（其中m ＜n ）的图象如图所示，则一次函数y ＝mx ＋n 与反比例函数y ＝xnm 的图象可能是（ ）A. B.C. D.*4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴是x ＝1，则下列结论中正确的是（ ）xyOA. ac ＞0B. b ＜0C. b 2－4ac ＜0D. 2a ＋b ＝05. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则a ______0，b ______0，c ______0。

（填“>”“<”或“＝”）xyO**6. （浙江杭州）设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过A （0，2），B （4，3），C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为__________．*7. （北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数m ＞0，对于任意的函数值y ，都满足－m ≤y ≤m ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值。

例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1。

（1）分别判断函数 y ＝x1（x ＞0）和y ＝x ＋1（－4≤x ≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y ＝－x ＋1（a ≤x ≤b ，b ＞a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数 y ＝x 2（－1≤x ≤m ，m ≥0）的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足43≤t ≤1？二次函数图象与性质同步练习参考答案1. D 解析：方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0即ax 2＋bx ＋c ＝－2。

2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数(含解析)

2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数(含解析)

2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数一、单选题1．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( )A ．216y x =+B ．2(4)y x =+C ．28y x x =+D ．2164y x =-2．若抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜1C ．m ＞﹣1D ．m ＞13．已知下列命题：①抛物线y ＝3x 2+5x ﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题4．当﹣7≤x≤a 时，二次函数y ＝﹣ 12（x+3）2+5恰好有最大值3，则a ＝ . 5．若函数y=a （x ﹣h ）2+k 的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x 2﹣2x+3相同，则此函数关系式 ．6．函数y=x 2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而 （填写“增大”或“减小”）．三、综合题7．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．8．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽 24m ，最高点离水面 8m ，以水平线 AB 为x 轴， AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高 4m ，最宽处为 18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．9．已知二次函数 223y x bx b =+- ．（1）当该二次函数的图象经过点 ()10A ， 时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ，点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值；（3）若对满足 1x ≥ 的任意实数x ，都使得 0y ≥ 成立，求实数b 的取值范围．10．已知：如图，二次函数 2y ax bx c =++ 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为 ()1,0- ，点 ()C 0,5 ，另抛物线经过点 ()1,8 ，M 为它的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）求 MCB 的面积 MCB S .11．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格调为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同.（2）从第一次降价的第1天算起，第 x 天（ x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示；已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第 x 天的利润为 y 元，求 y 与(115)x x ≤< 之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？12．如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．13．已知二次函数y=﹣（a+b ）x 2﹣2cx+a ﹣b ，a ，b ，c 是△ABC 的三边．（1）当抛物线与x 轴只有一个交点时，判断△ABC 的形状并说明理由；（2）当x=﹣ 12 时，该函数有最大值 2a ，判断△ABC 的形状并说明理由． 14．某水产养殖户进行小龙虾养殖. 已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量 ()y kg 与时间第 t 天之间的函数关系式为 2100y t =+ （ 180t ≤≤ ， t 为整数），销售单价 p （元/ kg ）与时间第 t 天之间满足一次函数关系如下表：（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？15．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD ，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB 的长为x 米，矩形绿化带的面积为S 平方米.（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）求围成矩形绿化带ABCD 面积S 的最大值.16．已知 y 关于 x 的二次函数 ()220.y ax bx a =--≠（1）当 24a b ==， 时，求该函数图象的顶点坐标.（2）在（1）条件下， ()P m t ， 为该函数图象上的一点，若 p 关于原点的对称点 p ' 也落在该函数图象上，求 m 的值（3）当函数的图象经过点（1，0）时，若 1211322A y B y a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 是该函数图象上的两点，试比较 1y 与 2y 的大小.17．抛物线 245y x x =-++ 与 x 轴交于点 A ， B 两点（ A 在 B 的左侧），直线 334y x =-+ 与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 D ．点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF x ⊥ 轴于点 F ，交直线 CD 于点 E ．． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）设点 P 的横坐标为 m ，若 5PE EF = ，求 m 的值；18．已知m,n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH△x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．19．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h) 2-4(a≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(-3，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC .求点P 的坐标；（3）设点Q 是线段AC 上的动点，作QD△x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值.20．如图，已知抛物线 2y x bx c =++ 与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；（3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为 ．21．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线 -2y x = 交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN△x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系中，函数221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点()1,2 时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x ≤ 时，若函数 221y x ax =-- （a 为常数）的图象的最低点到直线 2y a = 的距离为2，求a 的值．（4）设0a < ， Rt EFG 三个顶点的坐标分别为 ()1,1E -- 、 ()1,1F a -- 、 ()0,1G a - ．当函数 221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与 EFG 的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 P ' （ P ' 与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 A ' ．若 2AA PP '=' ，直接写出a 的值．23．已知，抛物线y ＝mx 2＋ 94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）和点B ，与y 轴交于点C ．点D （n ，0）为x 轴上一动点，且有﹣4＜n ＜0，过点D 作直线1△x 轴，且与直线AC 交于点M ，与抛物线交于点N ，过点N 作NP △AC 于点P ．点E 在第三象限内，且有OE ＝OD ．（1）求m 的值和直线AC 的解析式．（2）若点D 在运动过程中， 12AD ＋CD 取得最小值时，求此时n 的值． （3）若点△ADM 的周长与△MNP 的周长的比为5△6时，求AE ＋23CE 的最小值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 223y x x =+- 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ．对称轴为直线 l ，点 ()4,D n - 在抛物线上．（1）求直线 CD 的解析式；（2）E 为直线 CD 下方抛物线上的一点，连接 EC 、 ED ．当 ECD ∆ 的面积最大时，在直线 l 上取一点 M ，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为点 N ，连接 EM 、 BN ．若 EM BN = 时，求 EM MN BN ++ 的值；（3）将抛物线 223y x x =+- 沿 x 轴正方向平移得到新抛物线 y ' ， y ' 经过原点 O ． y ' 与 x 轴的另一个交点为 F ．设 P 是抛物线 y ' 上任意一点，点 Q 在直线 l 上， PFQ ∆ 能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点 P 的坐标．若不能，请说明理由．25．如图，已知抛物线 y ＝ 2ax bx c ++ 与 x 轴交于 A -（） ， B （） 两点，与 y 轴交于点 C 0,3（） ．（1）求抛物线的解析式及顶点 M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点 P ，使得 PAC 的周长最小，并求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O 、 C 重合）．过点 D 作 DE //PC 交 x 轴于点 E ．设 CD 的长为 m ，问当 m 取何值时， PDE ABMC 1S S 9 四边形 ．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，∴y=（x+4）2-16=x2+8x，故选：C．【分析】根据增加的面积=新的正方形的面积-原正方形的面积，可列出y与x之间的函数解析式.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac=4﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：B．【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系求出即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个，错误，为假命题；②相等的圆心角所对的弦相等，错误，为假命题；③任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，为真命题；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，为真命题；⑤圆内接四边形对角相等，错误，为假命题；故答案为：B.【分析】根据抛物线与x轴的交点，弧、弦、圆心角的关系，正多边形与圆，三角形外心的性质，圆内接四边形的性质逐一判断即可. 4．【答案】-5【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴x=-3，∵x<-3时，y随x的增大而增大，∴当a<-3时，x=a时有最大值，∴y= ﹣12（a+3）2+5=3,解得a=-5，当a>-3时，x=-3时有最大值5，不符合题意，故答案为：-5.【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（-3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．5．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8【解析】【解答】解：∵函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得：ah2+k=0，∵最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k=8，又∵形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，∴二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得h=±2，∴函数解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8，故答案为：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8．【分析】根据函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得到ah2+k=0，由最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，得到顶点的纵坐标k=8，由形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，得到二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得到h=±2，得到函数解析式.6．【答案】-1；增大【解析】【解答】解：把y=0代入y=x2+2x+1，得x2+2x+1=0，解得x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；故答案为﹣1，增大．【分析】将y=0代入y=x2+2x+1，求得x的值即可，根据函数开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．7．【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=()() 221802000150120120005090x xx x⎧-++≤≤⎪⎨-+≤≤⎪⎩（2）解：当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x ＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60， 因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案． 8．【答案】（1）解：∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为 ()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得 ()()8012012a =+- ，解得 118a =- ∴抛物线解析式为 21818y x =-+ ； （2）解：当x=9时，得 2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-，再将点C 代入计算即可；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可。

数学中考一轮复习专项突破训练：二次函数与几何变换(含答案)

数学中考一轮复习专项突破训练：二次函数与几何变换(含答案)

数学中考一轮复习专项突破训练：二次函数与几何变换（附答案）1．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5 B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3 D．y＝（x﹣4）2+32．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣13．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣）2﹣B．y＝﹣（x+）2﹣C．y＝﹣（x﹣）2﹣D．y＝﹣（x+）2+4．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣25．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣3C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣36．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位7．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞5D．a＜58．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到9．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣5B．y＝（x+2）2+5C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2+510．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③四边形部分的面积为4④若c＝﹣1，则b2＝4a．11．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上P A段扫过的区域的面积为．12．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为．13．将抛物线y＝2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为．14．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝．15．如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中OPQ部分的面积为．16．把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．17．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移个单位后经过点A（2，2）．18．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为．19．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+4绕点A（2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为．20．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是．21．将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为．22．如果把抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是．23．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y＝x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为．24．将抛物线y＝﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．25．已知二次函数y1＝x2+2x﹣3的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线y2的图象，则四边形部分的面积为．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围．27．已知抛物线y＝﹣2x2﹣4x+1．（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点P（2，0）的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．28．已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．29．如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．30．抛物线C1：y＝+bx+c与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1适当平移，使平移后的抛物线C2的顶点为D（0，k）．已知点B（2，2），若抛物线C2与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．31．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（﹣1，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图象平移，使顶点移到点P（0，﹣3）的位置，求所得新抛物线的表达式．32．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．33．已知在平面直角坐标系中，抛物线l1的解析式为y＝﹣x2，将抛物线l1平移后得到抛物线l2，若抛物线l2经过点（3，﹣1），且对称轴为x＝1．（1）求抛物线l2的解析式；（2）求抛物线l2的顶点坐标；（3）若将抛物线l2沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线l3，设抛物线l3的顶点坐标为B，直线OB于抛物线l3的另一个交点为C，当OB＝OC时，求C点坐标．34．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D，若m＞0，CD＝8，求m的值．（3）已知A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，请求出k的取值范围．参考答案1．解：y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x）+21＝[（x﹣6）2﹣36]+21＝（x﹣6）2+3，故y＝（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y＝（x﹣4）2+3．故选：D．2．解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，故选：B．3．解：∵抛物线的解析式为：y＝x2+5x+6，设原抛物线上有点（x0，y0），绕原点旋转180°后，变为（﹣x0，﹣y0），点（﹣x0，﹣y0）在抛物线y＝x2+5x+6上，将（﹣x0，﹣y0）代入y＝x2+5x+6得到新抛物线﹣y0＝x02﹣5x0+6，所以原抛物线的方程为y0＝﹣x02+5x0﹣6＝﹣（x0﹣）2+，∴向下平移3个单位长度的解析式为y0＝﹣（x0﹣）2+﹣3＝﹣（x0﹣）2﹣．故选：A．4．解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，∴，解之得，∴则符合条件的m，n的值为m＝1，n＝﹣2，故选：D．5．解：因为y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，所以抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣3．故选：D．6．解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象．故选：C．7．解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．故选：D．8．解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝（x ﹣2）2+1；故选项D的说法正确，故选：C．9．解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5．故选：A．10．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x＝﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y＝ax2+bx+c的最小值是y＝﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2＝4，∴结论③正确；∵，c＝﹣1，∴b2＝4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．11．解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），∴PO＝＝2，∠AOP＝45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′＝2×2＝4，∴AD＝DO＝sin45°•OA＝×3＝，∴抛物线上P A段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×＝12．故答案为：12．12．解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a，解得a＝．故原来的抛物线解析式是：y＝x2．设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．解得b＝0（舍去）或b＝4．所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．故答案是：y＝（x﹣4）2．13．解：抛物线y＝2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y＝2（x﹣1+3）2+2﹣4＝2（x+2）2﹣2．故得到抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣2．故答案为：y＝2（x+2）2﹣2．14．解：∵y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y＝﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）∵C2由C1旋转得到，∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．解：过点P作PM⊥y轴于点M，∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x＝﹣3，得出二次函数解析式为：y＝（x+3）2+h，将（﹣6，0）代入得出：0＝（﹣6+3）2+h，解得：h＝﹣，∴点P的坐标是（﹣3，﹣），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S＝|﹣3|×|﹣|＝．故答案为：．16．解：二次函数y＝（x﹣1）2+2顶点坐标为（1，2），绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2），所以，旋转后的新函数图象的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣2．故答案为：y＝﹣（x+1）2﹣2．17．解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移后经过点A（2，2），∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3+a）2﹣2，则2＝（2﹣3+a）2﹣2，解得：a＝3或a＝﹣1（不合题意舍去），故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移3个单位后经过点A（2，2）．故答案为：3．18．解：根据题意，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，3），∴平移后抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）2+3．故答案为：y＝﹣（x+1）2+3．19．解：抛物线y＝﹣x2+4的顶点坐标（0，4），该顶点关于A（2，0）对称的点的坐标是（4，﹣4）．根据旋转的性质，旋转后的抛物线所对应的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣4．故答案是：y＝（x﹣4）2﹣4．20．解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，表达式为：y＝ax2+bx+2，∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，故答案为：﹣5．21．解：将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2．故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．22．解：原抛物线的顶点为（0，﹣1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；可设新抛物线的解析式为y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+1）2+3．23．解：如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D作DH⊥GH于H，∵A（0，2），B（1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABO+∠CBG＝90°，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBG＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BGC＝90°，∴△AOB≌△BGC，∴BG＝OA＝2，CG＝OB＝1，∴C（3，1），同理得：△BCG≌△CDH，∴CH＝BG＝2，DH＝CG＝1，∴D（2，3），∵C在抛物线的图象上，把C（3，1）代入函数y＝x2+bx﹣1中得：b＝﹣，∴y＝x2﹣x﹣1，设D（x，y），由平移得：D与D′的纵坐标相同，则y＝3，当y＝3时，x2﹣x﹣1＝3，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍），∴DD′＝4﹣2＝2，则点D与其对应点D′间的距离为2，故答案为：2．24．解：抛物线y＝﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2﹣2即y＝﹣x2+6x﹣11，故答案为y＝﹣x2+6x﹣11．25．解：由题意知，y1＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则顶点坐标是（﹣1，﹣4）．所以，阴影部分的面积为：2×4＝8．故答案是：8．26．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2，∴．∴m＝﹣1．∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+8x﹣6．∴y＝﹣2（x﹣2）2+2．∴顶点坐标为（2，2）．（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y＝﹣2（x﹣3）2+2，∵﹣2（x﹣2）2＝﹣2（x﹣3）2，∴．∴A（，）．（3）点A坐标为（，），则点B的坐标为（，），设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，则y＝2x﹣2﹣b，故＝7﹣2﹣b，解得b＝，设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点A，＝5﹣2﹣b，b＝，由，消去y得到：2x2﹣10x+14﹣b＝0，由题意：△＝0，∴100﹣8（14﹣b）＝0，∴b＝，观察图象可知：平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．27．解：（1）y＝﹣2x2﹣4x+1，＝﹣2（x2+2x+1）+2+1，＝﹣2（x+1）2+3，所以，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3）；（2）∵新顶点P（2，0），∴y＝﹣2（x﹣2）2，∵2﹣（﹣1）＝2+1＝3，0﹣3＝﹣3，∴平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位．28．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）2﹣4＝﹣3；当x＝1时，y＝0；所以当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0；（3）设二次函数图象向上平移k（k＞0）个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．则抛物线解析式可设为y＝（x+1）2﹣4+k，把（﹣2，0）代入得（﹣2+1）2﹣4+k＝0，解得k＝3，即将该二次函数图象向上平移3个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．故答案为﹣4≤y≤0；3．29．解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣4．所以二次函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，即y＝x2﹣6x+5；当x＝0时，y＝9﹣4＝5，所以C点坐标为（0，5），由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝3，所以B点坐标为（6，5），将A（1，0）、B（6，5）代入y＝kx+b得，，解得：．所以一次函数解析式为y＝x﹣1；（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），∵S△ABP＝S△ABC，∵，如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，∴＝15，∴E（a，a﹣1）∴PE＝﹣a2+7a﹣6，∴，∴a2﹣7a+12＝0解得：a1＝4，a2＝3，∴P1（3，﹣4），P2（4，﹣3），如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，同理可得S△P AB＝S△PF A﹣S△PFB＝＝15，∴，解得a＝0（舍去），a＝7，∴P3（7，12）．综合以上可得P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．30．解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴c＝3．∵抛物线的对称轴为x＝2，∴，解得b＝﹣2，∴抛物线C1的解析式为．（2）由题意，抛物线C2的解析式为．当抛物线经过点A（2，0）时，，解得k＝﹣2．∵O（0，0），B（2，2），∴直线OB的解析式为y＝x．由，得x2﹣2x+2k＝0，①当△＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，即时，抛物线C2与直线OB只有一个公共点，此时方程①化为x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，即公共点P的横坐标为1，点P在线段OB上．∴k的取值范围是．31．解：（1）设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得，解得．所以这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）因为新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x﹣3平移得到，而新抛物线的顶点坐标是（0，﹣3），所以新抛物线的解析式为y＝x2﹣3．32．解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝ax2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，（2）①由旋转的性质，得B1（x，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，＝t，＝0，解得x＝2t，y＝﹣1，B1（2t，﹣1）；故答案为：（2t，﹣1）；②如图1，由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y＝（x﹣2t）2﹣1 （t＞0），当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0，解得t1＝﹣1，t2＝0．当抛物线M1经过B（0，1）时，（2t）2﹣1＝1，解得t＝，结合图象分析，∵t＞0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤．33．解：（1）根据题意，设抛物线l2的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+k，将点（3，﹣1）代入函数解析式，∴﹣1＝﹣4+k，解得：k＝3，∴抛物线l2的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3；（2）∴抛物线l2的顶点坐标为（1，3）；（3）设l3的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3+m，∴B点坐标为（1，3+m），∵B，O，C三点共线且OB＝OC，∴C点坐标为（﹣1，﹣3﹣m），∵C在l3上，∴﹣（﹣1﹣1）2+3+m＝﹣3﹣m，∴m＝﹣1，∴C点坐标为（﹣1，﹣2）．34．解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）；（2）由对称性可知，点C到直线y＝﹣1的距离为4，∴OC＝3，∴m2﹣1＝3，∵m＞0，∴m＝2；（3）设直线AB的解析式为y＝ax+b，把A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2）代入得，解得a＝1，b＝k﹣3，∴y＝x+k﹣3，∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣4x+3，当抛物线经过点A（﹣k+4，1）时，k＝2+或k＝2﹣；当抛物线经过点B（1，k﹣2）时，k＝2；若直线AB抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，则x2﹣4x+3＝x+k﹣3，即x2﹣5x+6﹣k＝0中，△＝0，∴25﹣4（6﹣k）＝0，解得k＝﹣，∵线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，∴2﹣＜k≤2或k≥2+或k＝﹣．。

2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题(含答案)

2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题(含答案)

2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P 抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题（答案）一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．【答案】（1）（m，﹣m2﹣3）；（2）抛物线顶点到x轴的最小距离为4；（3）直线AB过定点（0，﹣）．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2）①k1k2＝﹣4；②证明见解答过程．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．【答案】（1）m＝1；（2）点G的坐标为；（3）见解析．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．【答案】（1）解析式为：y＝x2﹣2x；（2）E1（0，0），E2（6，6）；（3）证明见解答过程．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣1；（2）；（3）定值1．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）D（4，5）；（3）m、n之间的数量关系为n+3m＝2．理由间接性．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；（2）①F′G＝为定值；②PH•QH的最大值为：．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）3或；（3）见解析．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．【答案】（1）3a+c＝1；（2）①4；②见解答．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）S1﹣S2的最大值为，点P的坐标为：（，）；（3）m＝．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）（﹣1，0），，；（3）P（6，0）．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为（﹣1，4）；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1 ．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．【答案】（1）①（﹣1，4）；②﹣2≤m≤﹣1；（2）①证明见解析过程；②△DOQ的形状不会随着n的变化而变化，理由见解析过程．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．【答案】（1）E（m，﹣m2﹣m﹣1）；（2）①m＝3﹣1；②6﹣6．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．【答案】（1）y＝x2+x；点B在抛物线上，理由见解答过程；（2）2；（3）≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①△BCD面积的最大值为；②D（，﹣）．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）；（3）存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN；N的坐标是或．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）．。

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：二次函数(含解析)

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：二次函数(含解析)

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：8二次函数一．选择题（共14小题）1．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4 2．（2022•宁波）点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞2B ．m ＞32C ．m ＜1D ．32＜m ＜2 3．（2022•湖州）将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝x 2+3B ．y ＝x 2﹣3C ．y ＝（x +3）2D ．y ＝（x ﹣3）24．（2022•宁波模拟）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2与y 轴正半轴的交点为C ，一1＜x 1＜0，x 2＝2，则下列结论正确的是（ ）A ．b 2﹣4ac ＜0．B ．9a +3b +c ＞0C ．abc ＞0D ．a +b ＞05．（2022•景宁县模拟）关于二次函数y ＝﹣3（x ﹣2）2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值5D ．有最小值56．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝2，则下列说法中正确的有（ ） ①abc ＜0；②4ac−b 24a ＞0；③16a +4b +c ＞0；④5a +c ＞0；⑤方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x ＜﹣1．A．1个B．3个C．4个D．5个7．（2022•温州校级模拟）已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．m≥1B．0≤m≤2C．1≤m≤2D．1≤m≤3 8．（2022•萧山区校级二模）已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（）A．若x1+x2＞1，则y1＞y2B．若x1+x2＜1，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2 9．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④10．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5 11．（2022•新昌县校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C ．D ．12．（2022•金华模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，与x 轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc ＜0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（其中m ≠1）．其中所有正确结论的个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个13．（2022•温州）已知点A （a ，2），B （b ，2），C （c ，7）都在抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣2上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是（ ）A ．若c ＜0，则a ＜c ＜bB ．若c ＜0，则a ＜b ＜cC ．若c ＞0，则a ＜c ＜bD ．若c ＞0，则a ＜b ＜c14．（2022•下城区校级二模）关于x 的二次函数y ＝ax 2+2ax +b +1（a •b ≠0）与x 轴只有一个交点（k ，0），下列正确的是（ ）A ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＞k bB ．若k a ＞k b ，则0＜a ＜1C ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＜k bD ．若k a ＜k b ，则0＜a ＜1 二．填空题（共6小题）15．（2022•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A （2，4）在抛物线y ＝a （x ﹣4）2上，过点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点B ，点C ，D 在线段AB 上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD 的长为．16．（2022•西湖区校级二模）已知y＝﹣x2+6x+12（﹣7≤x≤5），则函数y的取值范围是．17．（2022•宁波模拟）如图，点P在x轴的负半轴上，⊙P交x轴于点A和点B（点A在点B的左边），交y轴于点C，抛物线y＝a（x+1）2+2√2−a经过A，B，C三点，CP的延长线交⊙P于点D，点N是⊙P上动点，则⊙P的半径为；3NO+ND的最小值为．18．（2022•富阳区一模）已知二次函数y＝（a2+1）x2﹣2022ax+1的图象经过（m，y1）、（m+1，y2）、（m+2，y3），则y1+y32y2（选择“＞”“＜”“＝”填空）．19．（2022•东阳市模拟）抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标是．20．（2022•兰溪市模拟）已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝x2﹣x﹣2a，若这两个抛物线与x 轴共有3个交点，则a的值为．三．解答题（共13小题）21．（2022•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？22．（2022•吴兴区校级二模）某公司电商平台在之前举行的商品打折促销活动中不断积累经验，经调查发现，某种进价为a元的商品周销售量y（件）关于售价x（元/件）的函数关系式是y＝﹣3x+300（40≤x≤100），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的一组对应值数据．【周销售利润＝（售价﹣进价）×周销售量】x y W401803600（1）求该商品进价a；（2）该平台在获得的周销售利润额W（元）取得最大值时，决定售出的该商品每件捐出m元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求m的最大值．23．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点A与点C．（1）求这个二次函数的表达式，并求出抛物线的对称轴．（2）现将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，向上平移n（n＞0）个单位，若平移后的抛物线恰好经过点B与点C，求m，n的值．24．（2022•婺城区模拟）4月16日，婪城区开展全域大规模核酸检测筛查．某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0～90分钟，y是x的二次函数，在90～110分钟，y是x的一次函数．（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式．（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？0）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？时间x（分）0153045759095100110人数y（个）60115160195238240180120025．（2022•吴兴区校级二模）如图1，抛物线y=12x2+bx+c(c＜0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于另一点D，直线BC与AD相交于点M．（1）已知点C的坐标是（0，﹣4），点B的坐标是（4，0），求此抛物线的解析式；（2）若b=12c+1，求证：AD⊥BC；（3）如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线BC上一点，是否存在这样的点P，使得△PGQ是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足∠GQP＝∠OCA，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．26．（2022•鹿城区校级模拟）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为m（m＞30）元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值．27．（2022•丽水模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上不同的两点．①若y1＝y2，求x1，x2之间的数量关系．②若x1+x2＝2（x1﹣x2），求y1﹣y2的最小值．28．（2022•义乌市模拟）如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求．（1）求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD 之间的水平距离）．（2）求电缆AC形成的抛物线的二次项系数．29．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D 点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a=19时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24）30．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．31．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．32．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．33．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m 的代数式表示n，并求出n的最大值．2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：8二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4 【解答】解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ，∵y 的最小值为﹣4，∴﹣a ＝﹣4，∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值，∴9a ﹣a ＝﹣4，解得a =−12；综上所述：a 的值为4或−12，故选：D ．2．（2022•宁波）点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞2B ．m ＞32C ．m ＜1D ．32＜m ＜2 【解答】解：∵点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上， ∴y 1＝（m ﹣1﹣1）2+n ＝（m ﹣2）2+n ，y 2＝（m ﹣1）2+n ，∵y 1＜y 2，∴（m ﹣2）2+n ＜（m ﹣1）2+n ，∴（m ﹣2）2﹣（m ﹣1）2＜0，即﹣2m +3＜0，∴m ＞32，故选：B．3．（2022•湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：y＝x2+3．故选：A．4．（2022•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标为x1，x2与y轴正半轴的交点为C，一1＜x1＜0，x2＝2，则下列结论正确的是（）A．b2﹣4ac＜0．B．9a+3b+c＞0C．abc＞0D．a+b＞0【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故A错误，不符合题意；由图象可知当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故B错误，不符合题意；∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线与x轴的交点是（x1，0）和（2，0），其中﹣1＜x1＜0，∴对称轴x=−b2a＞0，∴b＞0．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故C错误，不符合题意；∵﹣1＜x1＜0，x2＝2，∴1＜x1+x2＜2，∴12＜x 1+x 22＜1， ∴−b 2a ＞12，∴b ＞﹣a ，即a +b ＞0，故D 正确，符合题意．故选：D ．5．（2022•景宁县模拟）关于二次函数y ＝﹣3（x ﹣2）2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值5D ．有最小值5【解答】解：∵y ＝﹣3（x ﹣2）2+5，∴抛物线开口向下，x ＝2时，y 有最大值为y ＝5，故选：C ．6．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝2，则下列说法中正确的有（ ） ①abc ＜0；②4ac−b 24a ＞0；③16a +4b +c ＞0；④5a +c ＞0；⑤方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x ＜﹣1．A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0，又−b 2a=2，所以b ＝﹣4a ＞0， ∴abc ＜0，故①正确；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，∴b 2﹣4ac ＞0，∵a ＜0，∴4ac−b 24a ＞0，故②正确；∵16a +4b +c ＝16a ﹣16a +c ＝c ＞0，∴16a +4b +c ＞0，故③正确；当x ＝5时，y ＝25a +5b +c ＜0，∴25a ﹣20a +c ＜0，∴5a +c ＜0，故④错误；∵抛物线对称轴为直线x ＝2，其中一个交点的横坐标在4＜x ＜5，∴方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣1＜x ＜0，故⑤错误．故选：B ．7．（2022•温州校级模拟）已知函数y ＝x 2﹣2x +3，当0≤x ≤m 时，有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．0≤m ≤2C ．1≤m ≤2D ．1≤m ≤3【解答】解：如图所示，∵二次函数y ＝x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，当y ＝3时，x ＝0或2，∵当0≤x ≤m 时，y 最大值为3，最小值为2，∴1≤m ≤2．故选：C ．8．（2022•萧山区校级二模）已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（）A．若x1+x2＞1，则y1＞y2B．若x1+x2＜1，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2【解答】解：∵y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，∴抛物线对称轴为直线x=−m+1+m2=12，开口向下，当x1+x2＝1时，点A（x1，y1），B（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，即y1＝y2，∴当x1+x2＞1时，点A到抛物线对称轴的距离小于点B到抛物线对称轴的距离，∴y1＞y2，故选：A．9．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x＝1，则−a2=1，解得a＝﹣2，∵函数的图象经过点（3，0），∴3a+b+9＝0，解得b＝﹣3，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；故命题②③④都是正确，①错误，故选：A．10．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴−m2×1=2，解得m＝﹣4，∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，故选：D．11．（2022•新昌县校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，A选项不符合题意；B选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，抛物线开口向下，一次函数y＝0时，x＜0，即−ba＜0，抛物线的对称轴−b2a＜0，B选项符合题意；C选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，一次函数y＝0时，x＜0，即−ba＜0，抛物线的对称轴−b2a＜0，C选项不符合题意；D选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，抛物线应该开口向下，一次函数y＝0时，x＞0，即−ba＞0，抛物线的对称轴−b2a＞0，D选项不符合题意；故选：B．12．（2022•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．其中所有正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴右侧，函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确，符合题意；②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；③∵函数图象的对称轴为x＝1，∴x＝0时和x＝2时的函数值相等，∵x＝0时，y＞0，∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；④∵函数图象的对称轴为x＝1，∴−b2a=1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＝0，∴﹣2a+2b﹣2c＝0，∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＝0，故④错误，不符合题意；⑤∵函数图象的对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＝1时，函数值取得最大值，∴a+b+c＞m（am+b）+c，∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，符合题意，∴正确的结论有3个，故选：A．13．（2022•温州）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（）A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜cC．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意；故选：D．14．（2022•下城区校级二模）关于x的二次函数y＝ax2+2ax+b+1（a•b≠0）与x轴只有一个交点（k ，0），下列正确的是（ ）A ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＞k bB ．若k a ＞k b ，则0＜a ＜1C ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＜k bD ．若k a ＜k b ，则0＜a ＜1 【解答】解：∵关于x 的二次函数y ＝ax 2+2ax +b +1（a •b ≠0）与x 轴只有一个交点（k ，0），令y ＝0，∴ax 2+2ax +b +1＝0，∴（2a ）2﹣4a （b +1）＝0，∴4a 2﹣4ab ﹣4a ＝0，4a （a ﹣b ﹣1）＝0，∵关于x 的二次函数，∴a ≠0，∴a ﹣b ﹣1＝0，∴a ＝b +1，∴（b +1）x 2+2（b +1）x +b +1＝0，∵因为方程有两个相等的实数根，∴x +x =−2(b+1)b+1=−2， 解得x 1＝x 2＝﹣1，∴k ＝﹣1，k a −k b =−1a −1a−1=1a(a−1)，A 、当﹣1＜a ＜0时，a ﹣1＜0，a （a ﹣1）＞0，∴k a−k b ＞0， ∴k a ＞k b ，当0＜a ＜1，a ﹣1＜0，a （a ﹣1）＜0，k a −k b ＜0， ∴k a＜k b ， ∴无法确定大小，∴A、C错误；当0＜a＜1，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0，k a ＜kb，∴B、错误；D、正确；故选：D．二．填空题（共6小题）15．（2022•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝a（x ﹣4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD 的长为3或4．【解答】解：把A（2，4）代入y＝a（x﹣4）2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝（x﹣4）2，设点C横坐标为m，则CD＝CF＝8﹣m，∴点F坐标为（m，m﹣4），∴（m﹣4）2＝m﹣4，解得m＝5或m＝4．∴CD＝3或4．故答案为：3或4．16．（2022•西湖区校级二模）已知y＝﹣x2+6x+12（﹣7≤x≤5），则函数y的取值范围是﹣79≤y≤21．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x+12＝﹣（x﹣3）2+21，∴x＞3时，y随x的增大而减小，x＜3时，y随x的增大而增大，∵﹣7≤x≤5，∴当x ＝3时，取得最大值为21， 当x ＝﹣7时，取得最小值为﹣79，∴当﹣7≤x ≤5时，函数y 的取值范围为﹣79≤y ≤21． 故答案为：﹣79≤y ≤21．17．（2022•宁波模拟）如图，点P 在x 轴的负半轴上，⊙P 交x 轴于点A 和点B （点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，抛物线y ＝a （x +1）2+2√2−a 经过A ，B ，C 三点，CP 的延长线交⊙P 于点D ，点N 是⊙P 上动点，则⊙P 的半径为 3 ；3NO +ND 的最小值为 6√3 ．【解答】解：如图1，连接AC ，BC ， ∵AB 为⊙P 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵OC ⊥AB ，∴可得：△AOC ∽△COB ， ∴OA OC=OC OB，∴OC 2＝OA •OB ，∵y ＝a （x +1）2+2√2−a ＝ax 2+2ax +2√2， ∴当x ＝0时，y ＝2√2， ∴OC ＝2√2，当y ＝0时，ax 2+2ax +2√2=0，∴x 1•x 2=2√2a， ∴OA •OB =−2√2a ， ∴−2√2a =（2√2）2， ∴a =√24， ∴−√24x 2−√22x +2√2=0，∴x 1＝﹣4，x 2＝2， ∴AB ＝6， ∴⊙P 的半径为3， 如图2，在PB 的延长线上截取PM ＝9，作DQ ⊥AB 于Q ， ∵PB ＝3，OB ＝2， ∴OP ＝1， ∴PN OP=PM PN=3，∵∠OPN ＝∠MPN ， ∴△OPN ∽△NPM ， ∴MN ON=OP PN=3，∴MN ＝3ON ， ∴DN +3ON ＝DN +MN ，∴当D 、N 、M 共线时，DN +3ON 最小， ∵PQ ＝OP ＝1， ∴MQ ＝PM +PQ ＝10，在Rt △MQD 中，DQ ＝OC ＝2√2，∴DM=√DQ2+MQ2=√(2√2)2+102=6√3，故答案为：3，6√3．18．（2022•富阳区一模）已知二次函数y＝（a2+1）x2﹣2022ax+1的图象经过（m，y1）、（m+1，y2）、（m+2，y3），则y1+y3＞2y2（选择“＞”“＜”“＝”填空）．【解答】解：y1+y3﹣2y2＝（a2+1）m2﹣2022am+1+（a2+1）（m+2）2﹣2022a（m+2）+1﹣2[（a2+1）（m+1）2﹣2022a×（m+1）+1]整理得：y1+y3﹣2y2＝2a2+2＝2（a2+1）＞0，故答案为：＞．19．（2022•东阳市模拟）抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标是（1，﹣6）．【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣8+2，即y＝2（x ﹣1）2﹣6．所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，﹣6）．故答案是：（1，﹣6）．20．（2022•兰溪市模拟）已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝x2﹣x﹣2a，若这两个抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为−18或1或3．【解答】解：令y1＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线y1＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），∵两个抛物线与x轴共有3个交点，∴抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与x轴有一个交点或与抛物线y1＝x2﹣2x﹣3有一个公共点，令y2＝0，则x2﹣x﹣2a＝0，①当抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与x轴有一个交点时，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2a）＝1+8a＝0，解得：a=−1 8；②当抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与抛物线y1＝x2﹣2x﹣3有一个公共点时，当（﹣1，0）是两条抛物线的公共点时，1+1﹣2a＝0，解得：a＝1；当（3，0）是两条抛物线的公共点时，9﹣3﹣2a＝0，解得：a＝3．故答案为：−18或1或3．三．解答题（共13小题）21．（2022•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？【解答】解：（1）设y＝kx，把（1，2）代入，得：k＝2，∴y＝2x，（0≤x≤40）；（2）当0≤x≤8时，设y＝a（x﹣8）2+64，把（0，0）代入，得：64a+64＝0，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣8）2+64＝﹣x2+16x，当8＜x≤15时，y＝64；（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0≤x≤15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40﹣x）分钟，当0≤x≤8时，W＝﹣x2+16x+2（40﹣x）＝﹣x2+14x+80＝﹣（x﹣7）2+129，当x＝7时，W max＝129；当8≤x≤15时，W＝64+2（40﹣x）＝﹣2x+144，∵W随x的增大而减小，∴当x＝8时，Wmax＝128，综上，当x＝7时，W取得最大值129，此时40﹣x＝33，答：此“高效课堂”模式分配33分钟时间用于精讲、分配7分钟时间当堂检测，才能使这学生在40分钟的学习收益总量最大．22．（2022•吴兴区校级二模）某公司电商平台在之前举行的商品打折促销活动中不断积累经验，经调查发现，某种进价为a元的商品周销售量y（件）关于售价x（元/件）的函数关系式是y＝﹣3x+300（40≤x≤100），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的一组对应值数据．【周销售利润＝（售价﹣进价）×周销售量】x y W401803600（1）求该商品进价a；（2）该平台在获得的周销售利润额W（元）取得最大值时，决定售出的该商品每件捐出m元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求m的最大值．【解答】解：（1）由题意得，（40﹣a）×180＝3600，解得a＝20，即该商品进价为20元；（2）∵利润＝（售价﹣进价）×数量，∴W＝（x﹣20）（﹣3x+300）＝﹣3（x﹣60）2+4800，当x＝60元时，W取得最大值为4800元，售出的该商品每件捐出m 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，由题意得，60−20−m20×100%≥20%，解得m ≤36，即m 的最大值为36元．23．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC ，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A 与点C ． （1）求这个二次函数的表达式，并求出抛物线的对称轴．（2）现将抛物线向左平移m （m ＞0）个单位，向上平移n （n ＞0）个单位，若平移后的抛物线恰好经过点B 与点C ，求m ，n 的值．【解答】解：（1）由题意，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（2，2）、（0，2）， 将（2，0）、（0，2）代入y ＝x 2+bx +c 中，得{c =24+2b +c =0，解得{b =−3c =2，∴二次函数的表达式为y ＝x 2﹣3x +2， 该抛物线的对称轴为直线x =−−32=32； （2）y =x 2−3x +2=(x −32)2−14，则平移后的抛物线的表达式为y =(x +m −32)2−14+n ， ∵平移后的抛物线恰好经过点B 与点C ，BC ∥x 轴， ∴平移后的对称轴为直线x ＝1，则m =32−1=12， ∴y =(x −1)2−14+n ，将（0，2）代入，得12−14+n =2，解得：n =54．24．（2022•婺城区模拟）4月16日，婪城区开展全域大规模核酸检测筛查．某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0～90分钟，y是x的二次函数，在90～110分钟，y是x的一次函数．（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式．（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？0）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？时间x（分）0153045759095100110人数y（个）601151601952382401801200【解答】解：（1）设二次函数解析式为：y＝a（x﹣90）2+240，将A（0，60）代入得a=−1 45，∴曲线AB部分的函数解析式为：y=−145x2+4x+60；（2）设BC的解析式为：y＝kx+b，将B（90，240），C（110，0）代入，解得：k＝﹣12，b＝1320，∴BC的解析式为：y＝﹣12x+1320，将y＝220代入y=−145x2+4x+60中，解得：x＝60或x＝120（舍去），将y＝220代入y＝﹣12x+1320中，解得：x =2753， ∵2753−60=953， ∴满负荷状态的时间为953分；（3）设至少需要新增m 个窗口，1个窗口1分钟采样的人数为：240÷20÷6＝2， 10：15分时的排队人数为： 将x ＝75代入y =−145x 2+4x +60中， 解得：y ＝235，9：45分至10：15分之间采样的人数为： 2×30×6＝360， 235+360＝595，∴10点15分后，采样可以随到随采表示595人需要在30分钟内采样完毕， ∴2×（m +6）×30≥595， 解得：m ≥4712， ∵m 为整数， ∴m ＝4，∴至少需新增4个采样窗口．25．（2022•吴兴区校级二模）如图1，抛物线y =12x 2+bx +c(c ＜0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，与抛物线交于另一点D ，直线BC 与AD 相交于点M ．（1）已知点C 的坐标是（0，﹣4），点B 的坐标是（4，0），求此抛物线的解析式； （2）若b =12c +1，求证：AD ⊥BC ；（3）如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，点P 是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P 的横坐标为t ，点Q 是直线BC 上一点，是否存在这样的点P ，使得△PGQ 是以点G 为直角顶点的直角三角形，且满足∠GQP ＝∠OCA ，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）解：由题意得：{c =−412×16+4b +c =0，解得：{b =−1c =−4，故抛物线的表达式为：y =12x 2﹣x ﹣4；（2）证明：若b =12c +1，则抛物线的表达式为：y =12x 2+（12c +1）x +c ，令y =12x 2+（12c +1）x +c ＝0，解得：x ＝﹣2或﹣c ，即点A 、B 的坐标分别为（﹣2，0）、（﹣c ，0）， ∵点C （0，c ），则点D （﹣c ﹣2，c ），由OC ＝BO ＝﹣c 知，直线BC 和x 轴负半轴的夹角为45°， 设直线AD 的表达式为：y ＝k （x +2）， 将点D 的坐标代入上式得：c ＝k （﹣c ﹣2+2）， 解得：k ＝﹣1，即直线AD 和x 轴正半轴的夹角为45°， ∴AD ⊥BC ；（3）解：存在，理由：在Rt △AOC 中，tan ∠ACO =OACO =24=12=tan ∠GPQ ， 由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣4， 设点P （t ，12t 2﹣t ﹣4），点Q （s ，s ﹣4），当点Q 在点P 的下方时，如下图，过点Q 、P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵∠MGQ +∠NGP ＝90°，∠NGP +∠PGN ＝90°， ∴∠MGQ ＝∠PGN ， ∵∠QMG ＝∠GNP ＝90°， ∴△QMG ∽△GNP ， ∴QMGN =GMPN =GQGP =tan∠GPQ =12，即|s−4||t−1|=|1−s||12t 2−t−4|=12，解得：t ＝2+√22（不合题意的值已舍去）； 当点Q 在点P 的上方时，如下图，同理可得：MQ GN=GMPN =2， 即|s−1||12t 2−t−4|=|s−4||t−1|=2，解得：t ＝2+√13或√13（不合题意的值已舍去）； 综上，t ＝2+√22或2+√13或√13．26．（2022•鹿城区校级模拟）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为m（m＞30）元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值．【解答】解：（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，由题意，得：1000 x+30=400x，解得：x＝20，经检验：x＝20是原方程的解；当x＝20时：x+30＝20+30＝50；∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；（2）①设利润为w，由表格，得：当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000，∵k＝100＞0，∴w随着x的增大而增大，。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数综合题 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数综合题 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章微专题二次函数综合题知识精练类型一线段问题1.(2023重庆A卷节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过点(1，3)，且交x轴于点A(－1，0)，B两点，交y轴于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标．第1题图2.(2023济宁节选)如图，直线y＝－x＋4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x＝32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A.P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．第2题图类型二面积问题3.(2023安徽)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x＝2.(1)求a，b的值；(2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t＋1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E.(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．类型三等腰三角形存在性问题4.(2023青海省卷节选)如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴相交于点A和点C(1，0)，交y轴于点B(0，3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图类型四直角三角形存在性问题5.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A(4，0)，B(0，－4)，对称轴是直线x＝1，点P为平面内一点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P为y轴右侧抛物线上一点，其横坐标为t，过点P分别作AB和y轴的垂线，垂足分别为点E，F，PF交AB于点G，当△PEG≌△BFG时，求t的值；(3)若P是抛物线对称轴上的点，将抛物线y＝ax2＋bx＋c先向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线y1，抛物线y1与y轴交于点M，点N为抛物线y1的顶点，当△PMN 为直角三角形时，直接写出所有符合条件的点P的纵坐标．第5题图备用图类型五特殊四边形存在性问题6.(2023邵阳节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A(－2，0)和点B(4，0)，且与直线l：y＝－x－1交于D，E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B，C，M，R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．第6题图类型六相似三角形问题7.(2023随州节选)如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(2，0)和C(0，2)，连接BC，点P(m，n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N.(1)直接写出．．．．抛物线和直线BC的解析式；(2)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出．．．．点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图类型七角度问题x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，B(2，0)，与y轴8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12交于点C，作直线A C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点M是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接MA，MC，BC，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)若点D是抛物线的顶点，点P是抛物线上的一个动点，是否存在点P，使得∠ACP＝∠CAD，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图参考答案与解析1.解：(1)将点(1，3)，(－1，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋2，＋b＋2＝3，－b＋2＝0，＝－12，＝32，∴该抛物线的表达式为y＝－12x2＋32x＋2；(2)∵当x＝0时，y＝2，∴C(0，2).∵当y＝0时，x＝－1或x＝4，∴B(4，0)，∴OC＝2，OB＝4，BC＝25.∵直线BC过点B(4，0)，C(0，2)，∴直线BC的函数表达式为y＝－12x＋2.∵PD⊥BC，PE∥y轴，∴∠PDE＝∠BOC＝90°，∠PED＝∠BCO，∴△PDE∽△BOC，∴DEOC＝PEBC＝PDBO，∴DE2＝PE25＝PD4，∴DE＝55PE，PD＝255PE.设P(m，－12m2＋32m＋2)，则E(m，－12m＋2)(0<m<4).∴PE＝－12m2＋32m＋2－(－12m＋2)＝－12(m－2)2＋2.∵－12<0，∴当m＝2时，PE有最大值，最大值为2，∴△PDE 周长的最大值为DE ＋PD ＋PE ＝55PE ＋255PE ＋PE ＝655＋2.此时点P 的坐标为(2，3).2.解：(1)在直线y ＝－x ＋4中，当x ＝0时，y ＝4，当y ＝0时，x ＝4，∴B (4，0)，C (0，4).由题可设抛物线的解析式为y ＝a (x －32)2＋k (a ≠0)，把B (4，0)，C (0，4)（4－32）2＋k ＝0，（0－32）2＋k ＝4，＝－1，＝254，∴抛物线的解析式为y ＝－(x －32)2＋254＝－x 2＋3x ＋4；(2)存在，理由如下：∵点A 是抛物线y ＝－x 2＋3x ＋4与x 轴的另一个交点，∴点A (－1，0).①当－1＜m ＜32时，点P 在x 轴的上方，∵MN ＝2ME ，∴点E 为线段MN 的中点，∴点E 的横坐标为x E ＝3－m ＋m 2＝32，纵坐标y E ＝y M ＋y N 2＝－m 2＋3m ＋42∴点E 的坐标为(32，－m 2＋3m ＋42).又∵点E 在直线BC ：y ＝－x ＋4上，代入得m 2－3m ＋1＝0，解得m 1＝3＋52(舍去)，m 2＝3－52.②当m ＝－1时，P 点即A 点，此时点E 与点M 重合，不合题意．③当m ＜－1时，点P 在x 轴下方，点E 在射线NM 上．设线段MN 的中点是点F (32，－m 2＋3m ＋42).∵MN ＝2ME ，∴M 为EF 的中点，∴点M 的横坐标为x m ＝3－m ＝x E ＋x F 2＝x E ＋322.纵坐标为y m ＝－m 2＋3m ＋4＝y E ＋y F 2＝y E ＋－m 2＋3m ＋422.∴点E 的坐标为(92－2m ，－3m 2＋9m ＋122).又∵点E 在y ＝－x ＋4上，∴代入得－3m 2＋9m ＋122＝2m －12，即3m 2－5m －13＝0，解得m 1＝5＋1816(舍去)，m 2＝5－1816.综上，存在m 使MN ＝2ME ，m ＝3－52或m ＝5－1816. 3.解：(1)－b 2a＝2，a ＋3b ＝3，＝－1＝4；(2)(i)如解图①，延长BD 与x 轴交于点M ，延长CE 与x 轴交于点N ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，第3题解图①由(1)知抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ，由题意知直线OA 的解析式为y ＝x ，∴B (t ，－t 2＋4t )，C (t ＋1，－(t ＋1)2＋4(t ＋1))，D (t ，t )，E (t ＋1，t ＋1)，∴OM ＝t ，BD ＝－t 2＋3t ，CE ＝－(t ＋1)2＋3(t ＋1)，AF ＝－t ＋2，∵0<t <2，∴1<t ＋1<3，∴S △OBD ＋S △ACE＝12OM ·BD ＋12CE ·AF＝12t ·(－t 2＋3t )＋12[－(t ＋1)2＋3(t ＋1)]·(－t ＋2)＝2.(ii)存在．如解图②，当点B 在点D 上方，即2<t <3时，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，第3题解图②∵BD ∥EC ，∴四边形DBEC 为梯形，则S 四边形DBEC ＝12(BD ＋EC )·DQ ＝12(－t 2＋3t ＋t 2－t －2)·1＝t －1，当S 四边形DBEC ＝32时，可得t －1＝32，解得t ＝52；当点D 在点B 上方，即t >3时，如解图③，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，第3题解图③此时S 四边形DBCE ＝12(BD ＋EC )·DQ ＝12(t 2－3t ＋t 2－t －2)·1＝t 2－2t －1，令t 2－2t －1＝32，解得t 1＝142＋1<3，t 2＝－142＋1<3，均舍去．综上所述，t 的值为52.4.解：(1)∵点C (1，0)和点B (0，3)是二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 图象上的两点，把点C (1，0)和点B (0，3)1＋b ＋c ＝0，＝3，＝－2，＝3，∴二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)存在．如解图，连接AB ，作线段AB 的垂直平分线交对称轴于点M ，连接AM ，BM ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G .设点M (－1，y )，对称轴与x 轴交于点Q ，则QM ＝y ，BG ＝3－y .∵△AMB 是等腰三角形，∴AM ＝BM ，则AM 2＝BM 2，∴在Rt △AQM 中，AM 2＝AQ 2＋MQ 2＝22＋y 2.在Rt △BMG 中，BM 2＝MG 2＋BG 2＝12＋(3－y )2∴22＋y 2＝12＋(3－y )2，解得y ＝1，∴点M 的坐标为(－1，1).第4题解图5.解：(1)∵抛物线过点B (0，－4)，∴c ＝－4，即抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx －4.将点A (4，0)代入y ＝ax 2＋bx －4中，得16a ＋4b －4＝0.∵抛物线的对称轴是直线x ＝1，∴－b 2a＝1，a ＋4b －4＝0，－b 2a＝1，＝12，＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －4；(2)∵PE ⊥AB ，PF ⊥y 轴，∴∠PEG ＝∠BFG ＝90°.∵∠PGE ＝∠BGF ，∴△PEG ∽△BFG .∵A (4，0)，B (0，－4)，∴OA ＝OB ＝4，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴∠OBA ＝45°.∵PF ⊥y 轴，∴△BFG 是等腰直角三角形，∴∠BGF ＝45°，∴∠PGE ＝45°∵PE ⊥AB ，∴△PEG 是等腰直角三角形，∴PG ＝2EG .当△PEG ≌△BFG 时，∴EG ＝FG ，∴PG ＝2FG .由A (4，0)，B (0，－4)可知直线AB 的函数表达式为y ＝x －4，∴P (t ，12t 2－t －4)，G (12t 2－t ，12t 2－t －4)，∴PG ＝t －(12t 2－t )＝－12t 2＋2t ，FG ＝12t 2－t ，∴－12t 2＋2t ＝2(12t 2－t )，解得t ＝0(舍去)或t ＝22；第5题解图(3)当△PMN 为直角三角形时，所有符合条件的点P 的纵坐标为－256或73或3＋174或3－174.【解法提示】∵y ＝12x 2－x －4＝12(x －1)2－92，∴y 1＝12(x －1＋4)2－92＋3＝12(x ＋3)2－32＝12x 2＋3x ＋3，∴N (－3，－32).令x ＝0，则y 1＝3，∴M (0，3).∵抛物线y 的对称轴为直线x ＝1，点P 在抛物线对称轴上，∴设P (1，m )，∴PN 2＝(1＋3)2＋(m ＋32)2，MN 2＝1174，PM 2＝12＋(m －3)2.∵△PMN 为直角三角形，∴需要分以下三种情况：①当∠MNP ＝90°时，MN 2＋PN 2＝PM 2，1174＋(1＋3)2＋(m ＋32)2＝12＋(m －3)2，解得m ＝－256；②当∠PMN ＝90°时，PM 2＋MN 2＝PN 2，12＋(m －3)2＋1174＝(1＋3)2＋(m ＋32)2，解得m ＝73；③当∠MPN ＝90°时，PM 2＋PN 2＝MN 2，12＋(m －3)2＋(1＋3)2＋(m ＋32)2＝1174，解得m ＝3＋174或m ＝3－174.综上所述，当△PMN 为直角三角形时，所有符合条件的点P 的纵坐标为－256或73或3＋174或3－174.6.解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋x ＋c 经过A ，B 两点，a －2＋c ＝0a ＋4＋c ＝0，＝－12，＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)∵抛物线与y 轴交于点C ，∴当x ＝0时，y ＝4，即C (0，4).∵B (4，0)，M (t ，－t －1)，∴BC ＝42＋42＝42，BM 2＝(t －4)2＋(－t －1)2＝2t 2－6t ＋17，CM 2＝t 2＋(t ＋5)2＝2t 2＋10t ＋25，①如解图①，当BC 为对角线时，MB ＝CM ，∴2t 2－6t ＋17＝2t 2＋10t ＋25，解得t ＝－12，∴M (－12，－12).R －12＝4＋0，R －12＝4＋0，R ＝92，R ＝92，∴R (92，92)；②当CM 为对角线时，如解图②，∵四边形BMRC 为菱形，∴BM ＝BC ，∴2t 2－6t ＋17＝(42)2，解得t ＝3－392或t ＝3＋392，∴－t －1＝－3－392－1＝－5＋392或－t －1＝－3＋392－1＝－5－392，∴M (3－392，－5＋392)或M (3＋392，－39－52).由菱形的性质可得，R ＋4＝3－392＋0，R ＋0＝－5＋392＋4，或R ＋4＝3＋392＋0，R ＋0＝－5－392＋4，解得R ＝－5－392，R ＝3＋392，或R ＝－5＋392，R ＝3－392，∴R (－5－392，3＋392)或R (－5＋392，3－392)；③当BM 为对角线时，如解图③，即四边形CMRB 是菱形，点R 的坐标即为四边形BMRC 为菱形时，点M 的坐标，∴R (3－392，－5＋392)或R (3＋392，－39－52).综上所述，点R 的坐标为(3－392，－5＋392)或(3＋392，－39－52)或(－5－392，3＋392)或(－5＋392，3－392)或(92，92).图①图②图③第6题解图7.解：(1)抛物线的解析式为y ＝－x 2＋x ＋2，直线BC 的解析式为y ＝－x ＋2；【解法提示】(1)∵抛物线过点A (－1，0)，B (2，0)，∴抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)·(x －2)，将点C (0，2)的坐标代入上式，得2＝－2a ，∴a ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2)，即y ＝－x 2＋x ＋2.设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋t ，将点B (2，0)，C (0，2)的坐标代入上0＝2k ＋t2＝t k ＝－1t 2.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋2；(2)存在．P (2，2)，Q (0，2－1)或P (13＋13，7＋139)，Q (0，4－2139)或P (1＋3，－1－3)，Q (0，1)或P (1＋5，－3－5)，Q (0，－2).【解法提示】∵点P 与点C 相对应，∴△POQ ∽△CBN 或△POQ ∽△CNB .①若点P 在点B 左侧，则∠CBN ＝45°，BN ＝2－m ，CB ＝22.当△POQ ∽△CBN ，即∠POQ ＝45°时，直线OP 的解析式为y ＝x ，∴－m 2＋m ＋2＝m ，解得m ＝2或m ＝－2(舍去).∴OP 2＝(2)2＋(2)2＝4，即OP ＝2.∴OP BC ＝OQ BN ，即222＝OQ 2－2，解得OQ ＝2－1.∴P (2，2)，Q (0，2－1).当△POQ ∽△CNB ，即∠PQO ＝45°时，当点Q 在点P 上方时，PQ ＝2m ，OQ ＝－m 2＋m ＋2＋m ＝－m 2＋2m ＋2，∴PQ CB ＝OQ NB ，即2m 22＝－m 2＋2m ＋22－m，解得m ＝1＋5(舍去)或m ＝1－5(舍去).当点Q 在点P 下方时，PQ ＝2m ，直线QP 的解析式为y ＝x －m 2＋2.∴OQ ＝m 2－2，∴PQ CB ＝OQ NB，即2m 22＝m 2－22－m，解得m ＝13＋13或m ＝1－133(舍去)，∴OQ ＝－4＋2139，∴P (13＋13，7＋139)，Q (0，4－2139).②若点P 在点B 右侧，则∠CBN ＝135°，BN ＝m －2.当△POQ ∽△CBN ，即∠POQ ＝135°时，直线OP 的解析式为y ＝－x ，∴－m 2＋m ＋2＝－m ，解得m ＝1＋3或m ＝1－3(舍去)，∴OP ＝2m ＝2＋6，∴OP BC ＝OQ BN ，即2＋622＝OQ 3－1，解得OQ ＝1.∴P (1＋3，－1－3)，Q (0，1).当△POQ ∽△CNB ，即∠PQO ＝135°时，PQ ＝2m ，OQ ＝|－m 2＋m ＋2＋m |＝m 2－2m －2.∴PQ CB ＝OQ NB ，即2m 22＝m 2－2m －2m －2，解得m ＝1＋5或m ＝1－5(舍去).∴P (1＋5，－3－5)，Q (0，－2).综上所述，P (2，2)，Q (0，2－1)或P (13＋13，7＋139)，Q (0，4－2139)或P (1＋3，－1－3)，Q(0，1)或P(1＋5，－3－5)，Q(0，－2).8.解：(1)∵抛物线y＝12x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，B(2，0)，－4b＋c＝0，2b＋c＝0，＝1，＝－4，∴抛物线的函数表达式为y＝12x2＋x－4；(2)在y＝12x2＋x－4中，令x＝0，得y＝－4，∴点C(0，－4).设直线AC的函数表达式为y＝kx＋c，将A(－4，0)，C(0，－4)代入，＝－4k＋c，4＝c，＝－1，＝－4，∴直线AC的函数表达式为y＝－x－4.如解图①，过点M作ME⊥x轴于点E，交AC于点F，设点M的坐标为(d，12d2＋d－4)，则点F的坐标为(d，－d－4)，∴MF＝(－d－4)－(12d2＋d－4)＝－12d2－2d.∵A(－4，0)，B(2，0)，C(0，－4)，∴OA＝4，AB＝6，OC＝4，∴S△ABC＝12AB·OC＝12×6×4＝12，S△ACM＝12MF·OA＝12×(－12d2－2d)×4＝－d2－4d＝－(d＋2)2＋4.当d＝－2时，S△ACM取得最大值，为4.∴四边形ABCM面积的最大值＝12＋4＝16，此时点M的坐标为(－2，－4)；第8题解图①(3)存在点P，点P的坐标为(－5，72)或(－103，－169).【解法提示】如解图②，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点P 作PH ⊥y 轴于点H ，则∠DGA ＝∠CHP ＝90°.由题意得点D (－1，－92)，设P (m ，12m 2＋m －4)，∴DG ＝92，AG ＝3，CH ＝12m 2＋m －4－(－4)＝12m 2＋m ，PH ＝－m ，分两种情况讨论：①当点P 在直线AC 上方时，记为P 1，设过点P 1作P 1H ⊥y 轴的点H 为H 1，∵∠ACP 1＝∠CAD ，∴P 1C ∥AD ，易得∠DAG ＝∠CP 1H 1.又∵∠DGA ＝∠CH 1P 1＝90°，∴△DAG ∽△CP 1H 1，∴DG CH 1＝AG P 1H 1，即9212m 2＋m ＝3－m ，解得m ＝0(舍去)或m ＝－5，∴点P 1(－5，72)；②当点P 在直线AC 下方时，记为P 2，设过点P 2作P 2H ⊥y 轴的点H 为H 2，∵OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝∠OCA .∵∠ACP 2＝∠CAD ，∴∠OAC ＋∠CAD ＝∠OCA ＋∠ACP 2，即∠DAG ＝∠P 2CH 2.又∵∠DGA ＝∠P 2H 2C ＝90°，∴△DAG ∽△P 2CH 2，∴DG P 2H 2＝AG CH 2，即92－m ＝312m 2＋m ，解得m ＝0(舍去)或m ＝－103，∴点P 2(－103，－169).综上所述，存在点P，点P的坐标为(－5，72)或(－103，－169).第8题解图②。

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．要得到二次函数y=−x2图象，可将y=−(x−1)2+2的图象如何移动（）A．向左移动1单位，向上移动2个单位B．向右移动1单位，向上移动2个单位C．向左移动1单位，向下移动2个单位D．向右移动1单位，向下移动2个单位2．若二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（0，1）和（1，0），则m=a-b+c的值的变化范围是（）A．0<m<1B．0<m<2C．1<m<2D．-1<m<13．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1−(x−a)(x−b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b4．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④若当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等，则当x=6时的函数值为﹣3．其中正确的说法是（）A．①②③B．①④C．②④D．①②④5．已知二次函数y=x2+2mx+m的图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且满足，4≤a+b≤6.当1≤x≤3时，该函数的最大值H与m满足的关系式是（）A．H=3m+1B．H=5m+4C．H=7m+9D．H=−m2+m6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣1），且顶点在第三象限，则a的取值范围是（）A．a＞0B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．﹣1＜a＜17．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．y=(x+3)2B．y=x2+9C．y=x2+6x D．y=3x2+12x9．若将抛物线y=2x2+1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y=2(x−1)2−2B．y=2(x+1)2−2C．y=2(x−1)2+3D．y=2(x+1)2+310．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a−b<0；②abc<0；③a+b+c<0；④a−b+c>0；⑤4a+2b+c>0.其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣312．已知某种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间t(s)的关系式是ℎ=−52t2+20t+1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（）A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s二、填空题13．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，x2−2x+3)图象上的最低点是.14．有一个角是60°的直角三角形，它的面积S与斜边长x之间的函数关系式是．15．如图，点P是双曲线C：y=4x（x>0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y=12x−2于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△ POQ面积的最大值是.16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣4617＜3时，x的取值范围是．18．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2ax与直线y=x+2的图象在-1≤x≤1的范围有且只有一个公共点P，则a的取值范围是．三、综合题19．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，74）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤ 74时，直接写出x的取值范围是.20．已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点(1，0)，(0，32).（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=−12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.21．如图，有一个长为24米的篱笆，一面有围墙（墙的最大长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2.（1）求S与的函数关系式及x的取值范围.（2）如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？22．如图，二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D（1）求点A，B，C的坐标．（2）求△BCD的面积23．给出两种上宽带网的收费方式：收费方式月使用费/元包月上网时间/h超时费/（元/ min）A30250.05B50500.0512（1）直接写出y1,y2与x之间的函数关系式；（2）x为何值时，两种收费方式一样？（3）某用户选择B方式宽带网开网店.若该用户上网时间x小时，产生y=−x2+ax+1950（元）（a>103）的经济收益.若某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，直接写出a的值.（上网利润=上网经济收益－月宽带费）24．已知抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)的图象过点A（3，m）.（1）当a＝－1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；（2）若P（t，n）为该抛物线上一点，且n＜m，求t的取值围；（3）如图，直线l：y=kx+c(k<0)交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD△x轴交直线l于点D，作QE△y轴于点E，连接DE.设△QED＝b，当2≤x≤4时，b 恰好满足30°≤β≤60°，求a的值.参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】B13．【答案】（1，2）14．【答案】√38x 215．【答案】3 16．【答案】①③④ 17．【答案】－1＜x ＜3 18．【答案】a≥0或a≤-119．【答案】（1）解：把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+3解得：a ＝﹣1，b ＝2抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3（2）解：把点D 的y 坐标y ＝ 74，代入y ＝﹣x 2+2x+3解得：x ＝ 12 或 32则EF 长 =32−(−12)=2 （3）x ≤12 或 x ≥32.20．【答案】解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32，解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）将抛物线y =−12x 2+bx +c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.【答案】解：抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2.（1）解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32解得：{b =−1c =32则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）解：抛物线解析式为y=−12x2−x+32=−12(x+1)2+2将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=−12x2.21．【答案】解：AB为xm，则BC就为（24-3x）m，S=(24-3x)x=24x-3x2，∵x＞0，且10≥24-3x＞0，∴143≤x＜8. (2)如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？解：45=24x-3x2，解得x=5或x=3；故AB的长为5米.（1）解：AB为xm，则BC就为（24-3x）mS=(24-3x)x=24x-3x2∵x＞0，且10≥24-3x＞0∴143≤x＜8.（2）解：45=24x-3x2解得x=5或x=3；故AB的长为5米.22．【答案】（1）解：令y=0，可得x=3或x=﹣1．令x=0，可得y=3．∴A（-1，0）B（3，0）C（0，3）（2）解：依题意，可得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4．∴顶点D（1，4）．令y=0，可得x=3或x=-1．∴令x=0，可得y=3．∴C（0，3）．∴OC=3，∴直线DC的解析式为y=x+3．设直线DE交x轴于E．∴BE=6．∴S△BCD=S△BED-S△BCE=3．∴△BCD的面积为3．23．【答案】（1）解：由题意可得：A、B两种收费超时收费都为0.05×60=3元/小时A种上网的月收费为y1=30+3(x−25)=3x−45；B种上网的月收费可分①当25≤x≤50时，y2=50，②当x>50时，y2=50+3(x−50)=3x−100综上所述：y2={50,25≤x≤503x−100,x>50.（2）解：由（1）可分：①当25≤x≤50时，两种收费一样，则有3x−45=50解得：x=953②当x>50时，两种收费一样，则有3x−45=3x−100，方程无解，故不成立∴综上所述：当上网时间为953小时，两种上网收费一样；答：当上网时间x为953小时，两种上网收费一样.（3）解：设上网利润为w元，则由题意得：①当上网时间25≤x≤50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−50=−x2+ax+1900∵a>103∴x=a2>50∵该二次函数的图象开口向下，在25≤x≤50，y随x的增大而增大∴该用户上网获得的利润最大值为5650元，所以当x=50时，则有：−2500+50a+1900=5650，解得：a=125；②当x>50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−3x+100=−x2+(a−3)x+2050∴该二次函数的图象向下，对称轴为直线x=a−3 2∵a>103∴x=a−32>50∴y随x的增大而减小∴当x=a−32时，y有最大值，即−(a−32)2+(a−3)(a−32)+2050=5650解得：a1=123,a2=−117（不符合题意，舍去）综上所述：当某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，则a=125或123. 24．【答案】（1）解：当a＝－1，m＝0时，y=−x2+2x+c，A点的坐标为（3，0）∴－9＋6＋c＝0.解得c＝3∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3.即y=−(x−1)2+4.∴抛物线的顶点坐标为（1，4）.（2）解：∵y=ax2−2ax+c的对称轴为直线x=−2a−2a=1∴点A关于对称轴的对称点为（－1，m）.∵a<0∴当x<1，y随x的增大而增大；当x>1，y随x的增大而减小.又∵n ＜m∴当点P 在对称轴左边时，t ＜－1； 当点P 在对称轴右边时，t ＞3.综上所述：t 的取值范围为t ＜－1或t ＞3； （3）解：∵点Q （x ，y ）在抛物线上 ∴y =ax 2−2ax +c .又∵QD△x 轴交直线 l ：y =kx +c(k <0) 于点D ∴D 点的坐标为（x ，kx ＋c ）.又∵点Q 是抛物线上点B ，C 之间的一个动点 ∴QD =ax 2−2ax +c −(kx +c)=ax 2−(2a +k)x . ∵QE ＝x∴在Rt△QED 中， tanβ=QD QE =ax 2−(2a+k)x x=ax −2a −k . ∴tanβ 是关于x 的一次函数 ∵a ＜0∴tanβ 随着x 的增大而减小.又∵当 2≤x ≤4 时， β 恰好满足 30°≤β≤60° ，且 tanβ 随着 β 的增大而增大 ∴当x ＝2时， β ＝60°；当x ＝4时， β ＝30°. ∴{2a −2a −k =√34a −2a −k =√33解得 {k =−√3a =−√33∴a =−√33.。

2024成都中考数学第一轮专题复习之二次函数图象与系数a,b,c的关系 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之二次函数图象与系数a,b,c的关系 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章微专题二次函数图象与系数a ，b ，c 的关系1.(2023贵州)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则点P (a ，b )所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限第1题图2.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于A (－1，0)，B 两点，对称轴是直线x ＝1，下列说法正确的是()第2题图A.a >0B.b >0C.点B 的坐标为(4，0)D.当x >－1时，y 的值随x 值的增大而增大3.(2023日照)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)a ＋b >0＋b <0，已知点(－3，m )，(2，n )，(4，t )在该抛物线上，则m ，n ，t 的大小关系为()A.t <n <mB.m <t <nC.n <t <mD.n <m <t 4.(2023凉山州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是()第4题图A.abc<0B.4a－2b＋c<0C.3a＋c＝0D.am2＋bm＋a≤0(m为实数)5.(2023恩施州改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，其中一个交点为位于(2，0)，(3，0)两点之间．下列结论正确的是()A.2a＋b>0B.bc<0c D.－3<x1·x2<0C.a>－13第5题图6.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，若－2<x1<－1，则下列结论正确的是()第6题图A.3a＋2b>0B.b2<a＋c＋4acC.a>b>cD.a(m＋1)(m－1)<b(1－m)7.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．下列结论正确的是()第7题图A.10a＋3b＋c>0B.a＋b>am2＋bmC.3a＋c<0D.若ax21＋bx1＝ax22＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝4参考答案与解析1.D【解析】由二次函数的图象开口方向向上，对称轴在y轴的右侧，知a＞0，x＝－b2a ＞0，∴b＜0，∴P(a，b)在第四象限．2.B【解析】A.由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；B.∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴是直线x＝－b2a＝1，∴b＝－2a＞0，故选项B正确，符合题意；C.由A(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1可知，点B的坐标为(3，0)，故选项C错误，不符合题意；D.∵抛物线的对称轴是直线x＝1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，x＜1时，y随x的增大而增大，故选项D错误，不符合题意，故选B.3.C【解析】∵当x＝0时，y＝ax2＋bx＝0，∴抛物线恒过(0，0)a＋b>0＋b<0，∴9a＋3b>0，∴当x＝3时，y＝ax2＋bx＝9a＋3b>0，当x＝1时，y＝ax2＋bx＝a＋b<0，∴抛物线开口向上，∴抛物线的对称轴在直线x＝12与x＝32之间．∵点(－3，m)到对称轴的距离在72到92之间，点(2，n)到对称轴的距离在12到32之间，点(4，t)到对称轴距离在52到72之间，∴n＜t＜m.4.C【解析】∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－b2a＝1，∴b＝－2a＜0，∴abc＞0，故A选项错误，不符合题意；∵当x＝4时，y＞0，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝－2时，y＞0，∴4a－2b＋c＞0，故B 选项错误，不符合题意；∵当x＝3时，y＝0，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，又∵b＝－2a，∴3a＋c＝0，故C选项正确，符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且抛物线开口向上，∴抛物线的最小值为a＋b＋c＝a－2a＋c＝－a＋c，∴am2＋bm＋c≥－a＋c，∴am2＋bm＋a≥0，故D选项错误，不符合题意．5.D【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，∴－b2a＝1，∴b＝－2a，∴2a＋b＝0，故A错误；∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，b＝－2a＞0，c＞0，∴bc＞0，故B错误；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，x＝3时y＜0，∴x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0，∴a－(－2a)＋c＜0，∴a＜－13c，故C错误；∵抛物线与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，∴x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由函数图象与x轴交点可知－1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴－3＜x1·x2＜0，故D正确．6.C【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x＝1对称，∴其对称轴为直线x＝1，即－b2a＝1，∴b＝－2a，∴3a＋2b＝3a－4a＝－a.由图象可知该抛物线开口向上，∴a＞0，∴3a＋2b＝－a＜0，故A错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac＞0.由图象结合题意可知当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴a＋c＜b.∵a＞0，∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0，∴b2－4ac＞a＋c，即b2＞a＋c＋4ac，故B错误；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c＜0，∴a＞c，由②可知a－b＋c＜0，b＝－2a，∴3a＋c＜0，∴c＜－3a，∴b＞c，∴a＞b＞c，故C正确；由图象可知当x＝1时，y有最小值，且为a ＋b＋c.∵a(m＋1)·(m－1)－b(1－m)＝am2＋bm－a－b＝am2＋bm＋c－(a＋b＋c)，又∵对于任意实数m，都有y m≥y＝a＋b＋c，∴am2＋bm＋c－(a＋b＋c)≥0，即a(m＋1)(m－1)－b(1－m)≥0，∴a(m＋1)(m－1)≥b(1－m)，故D错误．7.C【解析】∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在(3，0)左边，∴9a＋3b＋c＜0，∵图象开口向下，∴a＜0，∴10a＋3b＋c＜0，故A错误；∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，∴x＝1时，函数最大值是a＋b＋c，∴m为任意实数时a＋b＋c≥am2＋bm＋c，∴a＋b≥am2＋bm，故B错误；∵对称轴是直线x＝1，∴－b2a＝1，b＝－2a.由图可知抛物线与x轴交点在(3，0)左边，∴由对称得另一个交点在(－1，0)右边，得a－b＋c＜0，∴3a＋c＜0，故C正确；∵ax21＋bx1＝ax22＋bx2，∴ax21＋bx1－ax22－bx2＝0，∴a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(x1－x2)＝0，∴(x1－x2)[a(x1＋x2)＋b]＝0.∵x1≠x2，∴a(x1＋x2)＋b＝0，∴x1＋x2＝－ba.∵b＝－2a，∴x1＋x2＝2，故D错误．。

中考数学总复习《二次函数综合题》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《二次函数综合题》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《二次函数综合题》专项提升练习题(附答案)学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________类型一 线段问题1. 如图，抛物线y ＝14 x 2＋bx ＋c 过点A (4，0)，B (－4，4)，与y 轴交于点C ，连接AB .(1)求抛物线的表达式；(2)若E 是线段AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，过点E 作y 轴的平行线，分别交抛物线，x 轴于F ，D 两点，若DE ＝2DF ，请求出点E 的坐标．第1题图2. 平面直角坐标系中已知抛物线y ＝ax 2＋83 x ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y轴交于点C (0，－4).(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点(不与点A ，B ，C 重合)，作 PD ⊥x 轴，垂足为D ，连接PC . ①如图，若点P 在第三象限，且tan ∠CPD ＝2，求点P 的坐标；②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 的对称点E ′落在y 轴上时，请直接写出四边形 PECE ′的周长．第2题图 备用图类型二 面积问题1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)交x 轴于A (－1，0)，B (5，0)两点，交y 轴于点C ，连接AC ，BC ，点G 为线段BC 上方的抛物线上一点，过点G 作GH ∥AC 交BC 于点H . (1)求抛物线的解析式；(2)连接AG ，AH ，BG ，设h ＝S △AGB －S △AHB ，点G 的横坐标为t ，求h 关于t 的函数解析式，并求出h 的最大值．第1题图2. 在平面直角坐标系中点O 是坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，3)，对称轴为直线x ＝2. (1)求a ，b 的值；(2)已知点B ，C 在抛物线上，点B 的横坐标为t ，点C 的横坐标为t ＋1.过点B 作x 轴的垂线交直线OA 于点D ，过点C 作x 轴的垂线交直线OA 于点E . (ⅰ)当0＜t ＜2时，求△OBD 与△ACE 的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B ，使得以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形的面积为32 ？若存在，请求出点B 的横坐标t 的值；若不存在，请说明理由．类型三存在性问题典例精析例如图，在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点．(1)若点M为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；例题图①【思路点拨】判断等腰三角形存在性问题，一般要进行分类讨论．①BC为腰时：分别以点B，C为圆心，BC长为半径画圆，与直线x＝1的交点即为所求作的点；②BC为底时：作线段BC的垂直平分线，与直线x＝1的交点即为所求作的点．(2)在抛物线上是否存在一点N，使得△BCN是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；例题图②【思路点拨】判断直角三角形存在性问题，一般要进行分类讨论．①BC 为直角边时：分别过点B ，C 作BC 的垂线，与抛物线的交点即为所求作的N 点； ②BC 为斜边，点N 为直角顶点时：以BC 的中点为圆心，12 BC 的长为半径作圆，所作的圆与抛物线的交点即为所求作的N 点．(3)若点Q 为第一象限内抛物线上一点，过点Q 作QG ⊥x 轴，垂足为G ，连接AC ，OQ .是否存在点Q ，使得△QGO ∽△AOC ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； 【思路点拨】判断相似三角形存在性问题，通常利用相似三角形的性质，列出线段比例关系，求解即可．例题图③(4)若点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，是否存在点E ，使得以D ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由； 【思路点拨】判断平行四边形存在性问题，一般要进行分类讨论． ①当DE ，FC 是平行四边形对角线时； ②当DF ，EC 是平行四边形对角线时； ③当DC ，EF 是平行四边形对角线时．再利用平行四边形对角线的性质结合中点坐标公式求点坐标即可．例题图④(5)若点H是x轴上一点，点K是平面任意一点，是否存在点H，使得以点A，C，H，K为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】判断矩形存在性问题，一般要进行分类讨论．①当AC为矩形的边时，∠ACH＝90°；②当AC为矩形的对角线时，∠AHC＝90°.再利用勾股定理求解即可．例题图⑤(6)若点S是第一象限抛物线上一点，过点S作ST⊥BC于点T，连接AC，CS，是否存在点S使得△CST中有一个角与∠CAO相等，若存在，求出S点坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】判断角度存在性问题，一般要进行分类讨论．①若∠SCT＝∠CAO；②若∠CST＝∠CAO.再构造直角三角形，利用三角函数求解即可．例题图⑥对接中考1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－1，0)，点B(5，0)，交y轴于点C.(1)求b，c的值；(2)点P(x0，y0)(0＜x0＜5)是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，将一块自制的直角三角板放置在平面直角坐标系中顶点为坐标原点，A(0，－3)，B(6，0)，将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O，抛物线L经过点A′，B′，B.(1)求抛物线L的解析式；(2)点Q为平面内一点，在直线AB上是否存在点P，使得以点A，B′，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图拓展类型二次函数性质综合题1. 在二次函数y＝x2－2tx＋3(t＞0)中(1)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值；(3)如果A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围．2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a，b均为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝2.(1)求抛物线顶点M的坐标和b的值(用含a的代数式表示)；(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在此抛物线上，且x1＜2＜x2，x1＋x2＜4，若a＞0，试比较y1与y2的大小，并说明理由；(3)若自变量x的值满足－1≤x≤1，与其对应的函数的最大值为18，请直接写出b的值．3. 在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2－4ax＋c(a＜0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C.(1)若OC＝2OB，求抛物线的解析式；(2)若抛物线的最大值为6，求a 的值；(3)若点P (x 0，m )，Q (52，n )在抛物线上，且m ＜n ，求x 0的取值范围．参考答案类型一 线段问题1. 解：(1)∵抛物线y ＝14 x 2＋bx ＋c 过点A (4，0)，B (－4，4)∴将A (4，0)，B (－4，4)分别代入y ＝14x 2＋bx ＋c 中得⎩⎪⎨⎪⎧4＋4b ＋c ＝04－4b ＋c ＝4 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12c ＝－2∴抛物线的表达式为y ＝14 x 2－12x －2；(2)由点A (4，0)，B (－4，4)可得直线AB 的表达式为y ＝－12 x ＋2设点E (x ，－12 x ＋2)，其中－4<x <4，则F (x ，14 x 2－12 x －2)∴DE ＝2－12 x ，DF ＝|14 x 2－12 x －2|分两种情况讨论：①当点F 在x 轴上方时，即2－12 x ＝2×(14 x 2－12 x －2)解得x 1＝－3，x 2＝4(舍去) 将x ＝－3代入y ＝－12 x ＋2中得y ＝72∴E (－3，72)；②当点F 在x 轴下方时，即2－12 x ＝2×(－14 x 2＋12 x ＋2)解得x 1＝－1，x 2＝4(舍去)将x ＝－1代入y ＝－12 x ＋2得y ＝52 ，∴E (－1，52)；综上所述，当DE ＝2DF 时，点E 的坐标为(－3，72 )或(－1，52).2. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋83 x ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (1，0)，与y 轴交于点C (0，－4)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋83＋c ＝0c ＝－4 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43c ＝－4∴抛物线的函数解析式为y ＝43 x 2＋83x －4；(2)①如解图①，过点C 作CE ⊥PD 于点E第2题解图①则∠PEC ＝∠CED ＝90° ∵C (0，－4) ∴OC ＝4∵PD ⊥x 轴，垂足为D ∴∠PDO ＝90°，∠DOC ＝90° ∴四边形DOCE 是矩形 ∴DE ＝OC ＝4 设P (x ，43 x 2＋83 x －4)∴CE ＝－x∴PE ＝PD －DE ＝－(43 x 2＋83 x －4)－4＝－43 x 2－83 x∵tan ∠CPD ＝CEPE ＝2∴－x －43x 2－83x ＝2解得x 1＝－138 ，x 2＝0(不合题意，舍去)当x ＝－138 时，43 x 2＋83 x －4＝－7716∴P (－138 ，－7716)；②四边形PECE ′的周长为353 或853.【解法提示】设P (m ，43 m 2＋83 m －4)，对于y ＝43 x 2＋83 x －4，当y ＝0时，43 x 2＋83 x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴B (－3，0)，∴OB ＝3，在Rt △BOC 中由勾股定理得BC ＝OB 2＋OC 2 ＝5.当点P 在第三象限时，如解图②，过点E 作EF ⊥y 轴于点F第2题解图②则四边形DEFO 是矩形，∴EF ＝DO ＝－m ，∵点E 与点E ′关于PC 对称，∴∠ECP ＝∠E ′CP ，CE ＝CE ′，PE ＝PE ′，∵PE ∥y 轴，∴∠EPC ＝∠PCE ′，∴∠EPC ＝∠ECP ，∴PE ＝CE ，∴PE ＝CE ＝CE ′＝PE ′，∴四边形PECE ′是菱形，∵EF ∥OA ，∴△CEF ∽△CBO ，∴CE CB ＝EFBO，∴CE 5 ＝－m 3 ，∴CE ＝－53m ，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把B (－3，0)，C (0，－4)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－4 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝－4，∴直线BC 的解析式为y ＝－43 x －4，∴E (m ，－43 m －4)，∴PE ＝－43 m 2－4m ，∵PE ＝CE ，∴－43 m 2－4m ＝－53 m ，解得m 1＝－74 ，m 2＝0(舍去)，∴CE ＝－53 ×(－74 )＝3512 ，∴四边形PECE ′的周长为4CE ＝4×3512 ＝353；当点P 在第二象限时，如解图③第2题解图③同理可得43 m 2＋4m ＝－53 m ，解得m 1＝－174 ，m 2＝0(舍去)，∴CE ＝－53 ×(－174 )＝8512 ，∴四边形PECE ′的周长为4CE ＝4×8512 ＝853 ；综上所述，四边形PECE ′的周长为353 或853.类型二 面积问题1. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)交x 轴于A (－1，0)，B (5，0)两点∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋5＝025a ＋5b ＋5＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝4 ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)如解图，过点G 作GD ∥y 轴交BC 于点D ，连接CG ∵当x ＝0时，y ＝－x 2＋4x ＋5＝5 ∴C (0，5) ∵GH ∥AC ∴S △AGH ＝S △CGH∴h ＝S △AGB －S △AHB ＝S △AGH ＋S △BGH ＝S △CGH ＋S △BGH ＝S △BGC . 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0) 将B (5，0)，C (0，5)代入y ＝kx ＋b 1中∴⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b 1＝0b 1＝5 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b 1＝5 ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋5∵点G 的横坐标为t (0＜t ＜5)，∴G (t ，－t 2＋4t ＋5)，D (t ，－t ＋5) ∴GD ＝－t 2＋4t ＋5－(－t ＋5)＝－t 2＋5t ∴h ＝S △BGC ＝S △CGD ＋S △BGD ＝12 GD ·t ＋12 GD ·(5－t ) ＝－52 (t －52 )2＋1258∵－52＜0，0＜t ＜5∴当t ＝52 时，h 取最大值，最大值为1258.第1题解图2. 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝2，9a ＋3b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4；(2)(i)如解图①，延长BD 与x 轴交于点M ，延长CE 与x 轴交于点N ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，连接OB ，AC第2题解图①由(1)知抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ，易知直线OA 的解析式为y ＝x ∵点B ，C 在抛物线上，点B 横坐标为t ，点C 的横坐标为t ＋1 ∴B (t ，－t 2＋4t )，C (t ＋1，－(t ＋1)2＋4(t ＋1))，D (t ，t )，E (t ＋1，t ＋1) ∴OM ＝t ，BD ＝－t 2＋3t ，CE ＝－(t ＋1)2＋3(t ＋1)，AF ＝－t ＋2 ∵0<t <2 ∴1<t ＋1<3∴S △OBD ＋S △ACE ＝12 OM ·BD ＋12 CE ·AF ＝12 t ·(－t 2＋3t )＋12 [－(t ＋1)2＋3(t ＋1)]·(－t ＋2)＝2；(ii)存在．如解图②，当点B 在点D 上方，即2<t <3时，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，连接BE ，CD第2题解图②∵BD ∥EC∴四边形DBEC 为梯形此时，BD ＝－t 2＋3t ，CE ＝－(t ＋1)2＋3(t ＋1) ∵DQ ＝1∴S 四边形DBEC ＝12 (BD ＋EC )·DQ ＝12 [－t 2＋3t －(t ＋1)2＋3(t ＋1)]·1＝t －1当S 四边形DBEC ＝32 时，可得t －1＝32 ，解得t ＝52；当点D 在点B 上方，即t >3时，如解图③，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，连接BC第2题解图③此时BD ＝t 2－3t ，CE ＝(t ＋1)2－3(t ＋1)∴S 四边形DBCE ＝12 (BD ＋EC )·DQ ＝12 [t 2－3t ＋(t ＋1)2－3(t －1)]·1＝t 2－2t －1令t 2－2t －1＝32 ，解得t 1＝142 ＋1<3，t 2＝－142 ＋1<3，均舍去；综上所述，t 的值为52.类型三 存在性问题典例精析例 解：(1)存在 设点M (1，m )由题意得BC ＝32 ，BM ＝4＋m 2 ，CM ＝1＋（m －3）2①当BC 为腰时 a ．若BC ＝BM ，如解图①例题解图①即32＝4＋m2解得m＝±14则M1(1，14)，M2(1，－14)；b．若BC＝CM，如解图②即32＝1＋（m－3）2，解得m＝3±17，则M3(1，3＋17)，M4(1，3－17)；②当BC为底边时，则CM＝BM，如解图②，即1＋（m－3）2＝4＋m2解得m＝1，则M5(1，1)；∴综上所述，满足条件的点M的坐标为(1，14)或(1，－14)或(1，3＋17)或(1，3－17)或(1，1)；例题解图②(2)存在设点N(x，－x2＋2x＋3).①当点C为直角顶点时，如解图③，则∠N1CB＝90°，过点N1作N1H⊥y轴于点H∵△BOC是等腰直角三角形∴∠BCO＝45°∴∠N1CH＝180°－90°－45°＝45°∴△N1CH是等腰直角三角形∴N1H＝HC，即x＝－x2＋2x＋3－3解得x1＝0(舍去)，x2＝1∴N1(1，4)；例题解图③②当点B 为直角顶点时，如解图③，则∠CBN 2＝90°，过点N 2作N 2G ⊥y 轴，过点B 作BG ⊥x 轴交N 2G 于点G∴同理可得∠BN 2G ＝45°，△BN 2G 是等腰直角三角形 ∴N 2G ＝BG ，即3－x ＝－(－x 2＋2x ＋3) 解得x 1＝－2，x 2＝3(舍去) ∴N 2(－2，－5).综上所述，满足条件的点N 的坐标为 (1，4)或(－2，－5)； (3)存在∵点Q 在第一象限内抛物线上 ∴设Q (m ，－m 2＋2m ＋3)，0＜m ＜3 ∵QG ⊥x 轴∴G (m ，0)，OG ＝m ，QG ＝－m 2＋2m ＋3 ∵△AOC ∽△QGO ∴AO QG ＝CO OG ，即1－m 2＋2m ＋3 ＝3m解得m 1＝5＋1336 或m 2＝5－1336 (舍去)此时点Q 的坐标为(5＋1336 ，5＋13318 )；(4)存在设E (m ，－m 2＋2m ＋3)，F (n ，0)，易得抛物线顶点D 的坐标为(1，4)，点C 的坐标为(0，3)①如解图④，当DE ，FC 是平行四边形对角线时 ∵平行四边形对角线互相平分 ∴DE ，FC 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝n ＋04－m 2＋2m ＋3＝0＋3 解得m ＝1＋5 或m ＝1－5∴E 1(1＋5 ，－1)或E 2(1－5 ，－1)；例题解图④②如解图⑤，当DF ，EC 是平行四边形对角线时，同理DF ，EC 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＝m ＋04＋0＝－m 2＋2m ＋3＋3 解得m ＝1＋3 或m ＝1－3 ∴E 3(1＋3 ，1)或E 4(1－3 ，1)；例题解图⑤③当DC ，EF 是平行四边形对角线时，DC ，EF 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋0＝m ＋n 4＋3＝－m 2＋2m ＋3＋0方程组无实数解．综上所述，满足条件的点E 的坐标为(1＋5 ，－1)或(1－5 ，－1)或(1＋3 ，1)或(1－3 ，1)； (5)存在如解图⑥，由题意知，A (－1，0)，C (0，3)，设点H 的坐标为(p ，0) ∴AH 2＝(p ＋1)2，CH 2＝p 2＋32，AC 2＝12＋32＝10 当AC 为矩形的边时，∠ACH ＝90° ∴AH 2＝CH 2＋AC 2即(p ＋1)2＝p 2＋32＋10，解得p ＝9 ∴点H 的坐标为(9，0)；当AC 为矩形的对角线时，∠AHC ＝90° ∴此时点H 与原点重合，点H 的坐标为(0，0). 综上所述，满足条件的点H 的坐标为(9，0)或(0，0)；例题解图⑥(6)存在如解图⑦，过点S 作SZ ⊥x 轴于点Z ，交BC 于点X ∵A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)∴OA ＝1，OC ＝OB ＝3，易得直线BC 的函数解析式为y ＝－x ＋3 ∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵SZ ⊥x 轴∴∠BXZ ＝∠SXT ＝45° ∵ST ⊥BC ∴XT ＝ST设S (m ，－m 2＋2m ＋3)，且0＜m ＜3，则X (m ，－m ＋3) ∴CX ＝m 2＋（－m ＋3－3）2 ＝2 m ，SX ＝－m 2＋3m ∴ST ＝TX ＝22 SX ＝－22 m 2＋322m ∴CT ＝CX －TX ＝2 m －(－22 m 2＋322 m )＝22 m 2－22m ①若∠SCT ＝∠CAO∴tan ∠SCT ＝tan ∠CAO ＝OCOA ＝3∵tan ∠SCT ＝STCT ＝3∴ST ＝3CT ∴－22 m 2＋322 m ＝3×(22 m 2－22m )解得m ＝32 或m ＝0(舍去)∴点S 的坐标为(32 ，154 )；②若∠CST ＝∠CAO 则tan ∠CST ＝tan ∠CAO ＝3 ∵tan ∠CST ＝CTST ＝3∴3ST ＝CT ∴3×(－22 m 2＋322 m )＝22 m 2－22m 解得m ＝52 或m ＝0(舍去)∴点S 的坐标为(52 ，74)；综上所述，存在点S ，使得△CST 中有一个角与∠CAO 相等，点S 的坐标为(32 ，154 )或(52 ，74).例题解图⑦对接中考1. 解：(1)由题意可知，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－1，0)，点B (5，0)∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝025＋5b ＋c ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝－5； (2)①如解图，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ∴S △PBC ＝S △CPD ＋S △PDB由(1)可知，c ＝－5，故点C 的坐标为(0，－5) 易知BC 的表达式为y ＝x －5∵点P 的坐标为(x 0，y 0)(0<x 0<5)，点P 在抛物线上 ∴y 0＝x 20 －4x 0－5设点D 的坐标为(x 0，x 0－5)∴|PD |＝x 0－5－x 20 ＋4x 0＋5＝－x 20 ＋5x 0∴S △PBC ＝12 ×|PD |×5＝12 ×(－x 20 ＋5x 0)×5 ＝－52 (x 0－52 )2＋1258∴当x 0＝52 时，△PBC 面积最大，最大值为1258；第1题解图②存在．由题意可知，∠EPF ＝90°，△PEF 为等腰直角三角形 ∴PE ＝PF∵PE ⊥x 轴，PF ∥x 轴，且点E 在线段BC 上，点F 在抛物线上 由(2)可知PE ＝－x 20 ＋5x 0 易知PF ＝|4－2x 0|∴|PF |＝|PE |，即|4－2x 0|＝|－x 20 ＋5x 0|解得x 0＝4或x 0＝7－332 或x 0＝－1(舍去)或x 0＝7＋332 (舍去)当x 0＝4时，解得y ＝－5当x 0＝7－332 时，解得y 0＝3－3332∴综上所述，当△PEF 为等腰直角三角形时，点P 的坐标为(4，－5)或(7－332 ，3－332 ).2. 解：(1)由题意得A ′(－3，0)，B ′(0，－6)，B (6，0)已知抛物线L 经过点A ′，B ′，B ，设抛物线L 的解析式为y ＝a (x ＋3)(x －6)(a ≠0) 将点B ′(0，－6)代入抛物线解析式中得－6＝a (0＋3)(0－6)，解得a ＝13∴抛物线L 的解析式为y ＝13 (x ＋3)(x －6)＝13 x 2－x －6；(2)存在．∵A (0，－3)，B ′(0，－6) ∴AB ′＝3设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0) 将A (0，－3)，B (6，0)代入直线AB 的解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－36k ＋b ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3k ＝12∴直线AB 的解析式为y ＝12 x －3∵点P 在直线AB 上∴设点P (m ，12m －3)，分情况讨论：①当以AB ′为边且AP 2＝AB ′2时，即m 2＋(12 m )2＝9解得m 1＝655 ，m 2＝－655∴点P 的坐标为(655 ，355 －3)或(－655 ，－355 －3)；②当以AB ′为边且B ′P 2＝AB ′2时，即m 2＋(12 m ＋3)2＝9解得m 1＝0(舍去)，m 2＝－125∴P (－125 ，－215 )；③当以AB ′为对角线时 ∵AB ′＝3∴AB ′的中点坐标为(0，－92 )由菱形的性质可得y P ＝－92即12 m －3＝－92 ，解得m ＝－3 ∴P (－3，－92)；综上所述，点P 的坐标为(655 ，355 －3)或(－655 ，－355 －3)或(－125 ，－215 )或(－3，－92). 拓展类型 二次函数性质综合题1. 解：(1)把点(2，1)代入y ＝x 2－2tx ＋3中 得4－4t ＋3＝1解得t ＝32； (2)∵抛物线对称轴为直线x ＝t①若0<t ≤3∵a ＝1>0∴当x ＝t 时，函数y 取得最小值∵y 的最小值为－2∴t 2－2t 2＋3＝－2解得t ＝±5 .∵0＜t ≤3∴t ＝5 ；②若t >3，∵a ＝1>0∴当0≤x ≤3时，y 随x 的增大而减小∴当x ＝3时，函数y 取得最小值∵y 的最小值为－2∴9－6t ＋3＝－2解得t ＝73(不符合题意，舍去). 综上所述，t 的值为5 ；(3)∵A (m －2，a )，C (m ，a )关于对称轴直线x ＝t 对称∴m －2＋m 2＝t ，即m －1＝t ，且点A 在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧． 在y ＝x 2－2tx ＋3中令x ＝0，则y ＝3∴抛物线与y 轴交点为(0，3)∴此交点关于对称轴直线x ＝t 的对称点为(2m －2，3).∵a <3，b <3且t >0∴4<2m －2，解得m >3.当点A ，B 都在对称轴左边时∵a <b∴4<m －2，解得m >6∴m >6；当点A ，B 分别在对称轴两侧时∴B 到对称轴的距离大于A 到对称轴的距离∴4－(m －1)>m －1－(m －2)，解得m <4∴3<m <4.综上所述，m 的取值范围为3<m <4或m >6.2. 解：(1)由题意得，－b 2a＝2 解得b ＝－4a∴4ac －b 24a ＝12a －（－4a ）24a＝3－4a ∴抛物线顶点M 的坐标为(2，3－4a )；(2)y 2＜y 1，理由如下：由题可知，抛物线的对称轴为直线x ＝2∴A (x 1，y 1)关于直线x ＝2的对称点为(4－x 1，y 1)∵x 1＜2＜x 2，x 1＋x 2＜4∴2＜x 2＜4－x 1∵a ＞0∴抛物线开口向上∴在对称轴右侧y 随x 的增大而增大∴y 2＜y 1；(3)b 的值为－12或20.【解法提示】由(1)知，b ＝－4a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2－4ax ＋3，当a ＞0时，抛物线开口向上，此时在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝－1时，函数值y 最大，最大值为a ＋4a ＋3，∴a ＋4a ＋3＝18，解得a ＝3，∴b ＝－4a ＝－12；当a ＜0时，抛物线开口向下，此时在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝1时，函数值y 最大，最大值为a －4a ＋3，∴a －4a ＋3＝18，解得a ＝－5，∴b ＝－4a ＝20.综上所述，b 的值为－12或20.3. 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－4a 2a＝2，抛物线与x 轴的交点为A (1，0)，B ∴B (3，0)∴OB ＝3.∵OC ＝2OB∴OC ＝6.∴抛物线开口向下∴C (0，－6).把A (1，0)，C (0，－6)代入y ＝ax 2－4ax ＋c 中得⎩⎪⎨⎪⎧a －4a ＋c ＝0，c ＝－6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，c ＝－6， ∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋8x －6；(2)由解析式可知抛物线的最大值为4ac －（－4a ）24a ＝4ac －16a 24a＝c －4a . ∵抛物线的最大值为6∴c －4a ＝6.∵抛物线过点A (1，0)∴a －4a ＋c ＝0，即c －4a ＝－a∴－a ＝6，即a ＝－6；(3)已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，a ＜0∴(52 ，n )与(32，n )关于对称轴对称 当点P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得x 0＜32； 当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而减小，由m ＜n ，得x 0＞52. 综上所述，x 0的取值范围为x 0＜32 或x 0＞52.。

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用(抛物线型问题)(含答案)

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用(抛物线型问题)(含答案)

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用（抛物线型问题）一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是21.560s t t =-+．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（ ）mA ．300B ．400C ．500D ．6002．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数2142y x x =-刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．下列结论错误的是（ ）A ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势B ．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球拋出高度达到8m 时，小球距O 点水平距离为4m3．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为()2116399y x =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即OA 的长度）是（ ）A ．8mB ．7mC ．6mD ．5m4．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O 点竖直安装一根水管，在水管的顶端A 处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O 点的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心O 点3m ，则水管OA 的高是（ ）A．2m B．2.25m C．2.5m D．2.8m5．学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径12cmGH=，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）A．122cm B．123cm C．62cm D．6cm6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的函数解析式为2305h t t=-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）A．6s B．4s C．3s D．2s7．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6m，则厂门的高度约为（）A．307B．387C．487D．5078．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱MN的长度为（）A．6米B．5米C．4.5米D．4米二、填空题9．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB长10米，一位身高1.8米的同学站在门下离门角B点1米的D 处，其头顶刚好顶在抛物线形门上C处．则该大门的最高处离地面高h为米．10．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m．当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度减少m．11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是()2h t t t=-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出秒时，两个30506小球在空中相撞．12．从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是()2=-≤≤，小球运动到s时，达到最大高度．h t t t3020613．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系2=-+，小520h t t球飞行过程中能达到的最大高度为m．14．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为m．15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点为m．16．某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足2=-+，则足球从离地到落地的560h x x水平距离为米．三、解答题AA的17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面1距离为8m.(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m ，宽为4m ，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？18．掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m ，当到起点的水平距离为4m 时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m 时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：3 1.73≈）．19．南湖大桥作为我市首个全面采用数控技术的桥体音乐喷泉项目，历经多年已经成为长春市民夜间休闲放松的网红打卡地．其中喷水头喷出的水柱轨迹呈抛物线形状，喷水头P 距水面7.5m ，水柱喷射水平距离为5m 时，达到最大高度，此时距水面10m ，水柱落在水面A 点处．将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系，水柱喷出的高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是21()y a x h k =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)现调整P 的出水角度，其喷出的水柱高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是220.1 1.2y x x m =-++，落点恰好在A 点右边的B 点处，求AB 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：11110.54=）20．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA 的底部点O 处，石块从投石机竖直方向上的点C 处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是()50,25，5OC =．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A 建有垂直于水平线OD 的城墙AB ，且75OD =，12AD =，9AB =，点D ，A ，B 在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB ．参考答案：1．D2．B3．B4．B。

中考数学一轮复习《二次函数的图像与性质》练习题(含答案)

中考数学一轮复习《二次函数的图像与性质》练习题(含答案)

中考数学一轮复习《二次函数的图像与性质》练习题（含答案）课时1二次函数图象与性质、抛物线与系数a、b、c的关系(建议答题时间：20分钟)1. (2017长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是()A. (3，4)B. (－3，4)C. (3，－4)D. (2，4)2. (2017金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是()A. 对称轴是直线x＝1，最小值是2B. 对称轴是直线x＝1，最大值是2C. 对称轴是直线x＝－1，最小值是2D. 对称轴是直线x＝－1，最大值是23. (2017连云港)已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)、B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是()A. y1＞0＞y2B. y2＞0＞y1C. y1＞y2＞0D. y2＞y1＞04. (人教九上41页第6题改编)对于二次函数y＝－3x2－12x－3，下面说法错误的是()A. 抛物线的对称轴是x＝－2B. x＝－2时，函数存在最大值9C. 当x＞－2时，y随x增大而减小D. 抛物线与x轴没有交点5. (2017眉山)若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax()A. 有最大值a4B. 有最大值－a4C. 有最小值a4D. 有最小值－a46. (2017广州)a≠0，函数y＝ax与y＝－ax2＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是()7. (2017重庆巴蜀月考)已知二次函数y＝a2x＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是()A. abc＞0B. b＝2aC. a＋c＞D. 4a＋2b＋c＞0第7题图第9题图第11题图8. (2017乐山)已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m的值是()A. 32B. 2 C.32或 2 D. －32或 29. (2017日照)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a＋b＋c＝0；③a－b＋c<0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)；⑤当x<2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是()A. ①②③B. ③④⑤C. ①②④D. ①④⑤10. (2017广州)当x＝________时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值________．11. (2017兰州)如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则点Q的坐标为________．课时2 抛物线的平移、解析式的确定、与方程(不等式)的关系(建议答题时间：20分钟)1. (2017重庆南开模拟)将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新的二次函数解析式为( )A . y ＝(x －3)2－1B . y ＝(x ＋1)2＋5C . y ＝(x ＋1)2－1D . y ＝(x －3)2＋52. (2017徐州)若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )A . b ＜1且b ≠0B . b ＞1C . 0＜b ＜1D . b ＜13. (2017苏州)二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a (x －2)2＋1＝0的实数根为( )A . x 1＝0，x 2＝4B . x 1＝－2，x 2＝6C . x 1＝32，x 2＝52D . x 1＝－4，x 2＝04. (2017绵阳)将二次函数y ＝x 2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是( )A . b ＞8B . b ＞－8C . b ≥8D . b ≥－85. (2017天津)已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴相交于点A ，B (点A 在点B 左侧)，顶点为M ，平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M ′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A . y ＝x 2＋2x ＋1B . y ＝x 2＋2x －1C . y ＝x 2－2x ＋1D . y ＝x 2－2x －16. (2017随州)对于二次函数y ＝x 2－2mx －3，下列结论错误的是( )A . 它的图象与x 轴有两个交点B . 方程x 2－2mx ＝3的两根之积为－3C . 它的图象的对称轴在y 轴的右侧D . x ＜m 时，y 随x 的增大而减小7. (2018原创)在－2，－1，0，1，2五个数字中，任取一个作为a ，使不等式组⎩⎨⎧x ＋a ≥01－x ＞x ＋2无解，且函数y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋12a ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么a 的值为( )A . 0B . 0或－2C . 2或－2D . 0，2或－28. (2017青岛)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是________．9. 注重开放探究(2017上海)已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是________．(只需写一个)10. (2017武汉)已知关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m ，0)．若2＜m ＜3，则a 的取值范围是________．11. (2017鄂州)已知正方形ABCD 中A (1，1)、B (1，2)、C (2，2)、D (2，1)，有一抛物线y ＝(x ＋1)2向下平移m 个单位(m >0)与正方形ABCD 的边(包括四个顶点)有交点，则m 的取值范围是________．12. (2017杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，－2)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y 2＝ax ＋b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；(3)已知点P (x 0，m )和Q (1，n )在函数y 1的图象上．若m <n ，求x 0的取值范围．答案第1课时 二次函数图象与性质，抛物线与系数a 、b 、c 的关系1. A2. B3. C 【解析】画出抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的草图如解图，根据图象可知，y 1＞0，y 2＞0，且y 1＞y 2.第3题解图4. D 【解析】由y ＝－3x 2－12x －3＝－3(x ＋2)2＋9，可知对称轴是x ＝－2，选项A 正确；抛物线的开口向下，顶点坐标是(－2，9)，当x ＝－2时，y 存在最大值9，选项B 正确；开口向下，当x ＞－2时，图象处于对称轴的右边，y 随x 增大而减小，选项C 正确；当y ＝0时，一元二次方程－3x 2－12x －3＝0有实数解，所以抛物线与x 轴有交点，选项D 错误．5. B 【解析】∵一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限，∴⎩⎨⎧a ＋1＞0a ＜0，解得－1＜a ＜0，∵二次函数y ＝ax 2－ax ＝a (x －12)2－a 4，又∵－1＜a ＜0，∴二次函数y ＝ax 2－ax 有最大值，且最大值为－a 4.6. D 【解析】如果a ＞0，则反比例函数y ＝a x 图象在第一、三象限，二次函数y＝－ax 2＋a 图象开口向下，排除A ；二次函数图象与y 轴交点(0，a )在y 轴正半轴，排除B ；如果a ＜0，则反比例函数y ＝a x图象在第二、四象限，二次函数y ＝－ax 2＋a 图象开口向上，排除C ；故选D .7. D 【解析】观察函数图象，抛物线开口向下，则a ＜0.对称轴在y 轴右边，则a 、b 异号，∴b ＞0.抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，则c ＞0，∴abc ＜0，选项A 错误；由抛物线的对称轴x ＝－b 2a ＝1，∴b ＝－2a ，选项B 错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，∴a ＋c ＜b ，选项C 错误；根据对称性可知，当x ＝2时，y＝4a ＋2b ＋c ＞0，选项D 正确．8. D 【解析】因为二次函数的对称轴为x ＝m ，所以对称轴不确定，因此需要讨论研究x 的范围与对称轴的位置关系，①当m ≥2时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的左边，当x ＝2时y 取得最小值－2，即－2＝22－2m ×2，解得m ＝32＜2(舍)；②当－1<m <2时，此时在对称轴x ＝m 处取得最小值－2，即－2＝m 2－2m ·m ，解得m ＝－2或m ＝2，又－1<m <2，故m ＝2；③当m ≤－1时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的右边，当x ＝－1时y 取得最小值－2，即－2＝(－1)2－2m ×(－1)，解得m ＝－32，综上所述，m ＝－32或 2.9. C 【解析】∵抛物线与x 轴交于(4，0)，对称轴为x ＝2，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0，0)．故①正确；∵抛物线经过原点，∴c ＝0.∵抛物线的对称轴为x ＝2，即－b 2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，∴4a ＋b ＋c ＝0，故②正确；当x ＝－1时，抛物线的函数图象在x 轴上方，∴a (－1)2＋(－1)b ＋c >0，即a －b ＋c >0，故③错误；∵c ＝0，4a ＋b ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝－b 4x 2＋bx ＝－b 4(x －2)2＋b ，∴抛物线的顶点坐标为(2，b )，故④正确；由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为x ＝2，当x <2时，y 随x 的增大而减小．故⑤错误．综上所述，①②④正确．10. 1，5 11.(－2，0)第2课时 抛物线的平移、解析式的确定、与方程(不等式)的关系1. C2. A3. A 【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，∴代入得a (－2)2＋1＝0，解得a ＝－14，∴所求方程为－14(x －2)2＋1＝0，解方程得x 1＝0，x 2＝4.4. D 【解析】将二次函数y ＝x 2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的函数为y ＝(x －3)2－1，与一次函数联立得⎩⎨⎧y ＝（x －3）2－1y ＝2x ＋b ，整理得x 2－8x ＋8－b ＝0，∵两个函数图象有公共点，∴方程x 2－8x ＋8－b ＝0有解，则(－8)2－4(8－b )≥0，解得b ≥－8.5. A 【解析】∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴令y ＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得，x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B (3，0)，∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴M (2，－1)．∵要使平移后的抛物线的顶点在x 轴上，需将图象向上平移1个单位，要使点B 平移后的对应点落在y 轴上，需向左平移3个单位，∴M ′(－1，0)，则平移后二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2，即y ＝x 2＋2x ＋1.6. C 【解析】∵Δ＝(－2m )2－4×1×(－3)＝4m 2＋12＞0，∴图象与x 轴有两个交点，A 正确；令y ＝0得：x 2－2mx －3＝0，方程的解即抛物线与x 轴交点的横坐标，由A 知图象与x 轴有两个交点，故方程有两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之积为c a ＝－31＝－3，B 正确；根据抛物线对称轴公式可得对称轴为x ＝－b 2a ＝－－2m 2＝m ，∵m 的值不能确定，故对称轴是否在y 轴的右侧不能确定，C 错误；∵a ＝1＞0，抛物线开口向上，∴对称轴的左侧的函数值y 随x 的增大而减小，由C 知抛物线对称轴为x ＝m ，∴当x ＜m 时，y 随x 的增大而减小，D 正确，故选C .7. B 【解析】解不等式x ＋a ≥0得x ≥－a ，解不等式1－x >x ＋2得x ＜－12，因为不等式组无解，故－a ≥－12，解得a ≤12；当a ≠0时，b 2－4ac ＝(a ＋2)2－4a (12a ＋1)＝0，解得a ＝2或－2，当a ＝0时，函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当a ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点，但a ≤12，∴a ＝0或－2.8. m >9 9. y ＝x 2－1(答案不唯一)10. 13＜a ＜12或3＜a ＜－2 【解析】令y ＝0，即ax 2＋(a 2－1)x －a ＝0，(ax －1)(x＋a )＝0，∴关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的交点为(1a ，0)和(－a ，0)，即m ＝1a 或m ＝－a ，又∵2＜m ＜3，则13＜a ＜12或－3＜a ＜－2.11. 2≤m ≤8 【解析】∵将抛物线y ＝(x ＋1)2向下平移m 个单位，得到抛物线y ＝(x ＋1)2－m ，由平移后抛物线与正方形ABCD 的边有交点，则当点B 在抛物线上时，m 取最小值，此时(1＋1)2－m ＝2，解得m ＝2，当点D 在抛物线上时，m 取最大值，此时(2＋1)2－m ＝1，解得m ＝8，综上所述，m 的取值范围是2≤m ≤8.12. 解：(1)由题意知(1＋a )(1－a －1)＝－2，即a (a ＋1)＝2，∵y 1＝x 2－x －a (a ＋1)，∴y1＝x2－x－2；(2)由题意知，函数y1的图象与x轴交于点(－a，0)和(a＋1，0)，当y2的图象过点(－a，0)时，得－a2＋b＝0；当y2的图象过点(a＋1，0)时，得a2＋a＋b＝0；(3)由题意知，函数y1的图象的对称轴为直线x＝12，所以点Q(1，n)与点(0，n)关于直线x＝12对称．因为函数y1的图象开口向上，所以当m＜n时，0＜x0＜1.。

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中考数学一轮复习二次函数一、选择题1.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为( )A.y =5(x-2)2+1B.y =5(x+2)2+1C.y =5(x-2)2-1D.y =5(x+2)2-12.函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2＜﹣2，则( )A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定3.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A.a＞0B.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C.a﹣b+c＞0D.当x＞2时，y随x的增大而增大4.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是( )5.一次函数y=ax＋b(a≠0)与二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )6.二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x=－1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a＋b=0；④a－b＋c＞2.其中正确的结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为( )A.6cmB.12cmC.24cmD.36cm8.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1＜x2≤0,则下列结论正确的是（）A.y1＜y2B.y1＞y2C.y的最小值是﹣3D.y的最小值是﹣49.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A.﹣20mB.10mC.20mD.﹣10m10.如图,在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动,同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）11.如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（）A． B． C． D．12.如图，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( B )二、填空题1.在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是2.二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为．3.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=(x﹣h)2+k的形式，则y= ．4.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①abc>0；②b=2a；③a+b+c<0；④a-b+c>0．正确的是．第4题图第5题图第6题图5.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为（用含a的式子表示）．6.如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD,AB=2,CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是________m。

三、解答题1.已知二次函数245y x x=-+.（1）将245=-+化成y=a (x-h) 2 +k的形式；y x x（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S△MCB．3.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4．（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标．（2）试确定抛物线的解析式．4.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米?5.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．6.大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出=商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润=销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？7.如图，已知抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m 的代数式表示MN的长；(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．参考答案1-5 A；A.B.B.C 6-10 C.A D C A 11-12 B B. 填空1.答案为：y=2(x-1)2+1 2.答案为：﹣1．3.答案为：y=(x﹣1)2+2． 4.答案为：①③④．5.答案为：a+4；6.答案为：1.8；1.2.解：（1）依题意：，解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5（2）令y=0，得（x﹣5）（x+1）=0，x1=5，x2=﹣1，∴B（5，0）．由y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，得M（2，9）作ME⊥y轴于点E，可得S△MCB=S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC=（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5=15．3.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，∴将x=0代入y=﹣x+6得，y=6；将y=0代入y=﹣x+6，得x=6．∴点B的坐标是（6，0），点C的坐标是（0，6）．∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x=4，∴点A的坐标为（2，0）．即抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标分别是（2，0），（6，0）．（2）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴4a+2b+c=0,36a+6b+c=0,c=6,解得a=0.5，b=﹣4，c=6．∴抛物线的解析式为：y=0.5x2-4x+6．4.(1)S=x(24-3x)，即S=-3x2+24x.(2)当S=45时，-3x2+24x=45.解得x1=3，x2=5.又∵当x=3时，BC＞10(舍去)，∴x=5.答：AB的长为5米.5.（1）见解析；（2）x=－26.解：(1)由表可知，y是关于x的一次函数，设y=kx＋b，将x=110，y=50；x=115，y=45分别代入，得110k+b=50,115k+b=45,解得k=-1,b=160.∴y=－x＋160(0＜x≤160)；(2)由已知可得50×110=50a＋3×100＋200，解得a=100.设每天的毛利润为W元，则W=(x－100)(－x＋160)－2×100－200=－x2＋260x－16 400=－(x－130)2＋500，∴当x=130时，W取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；(3)设需t天才能还清集资款，则500t≥50 000＋0.000 2×50 000t，解得t≥102.∵t为整数，∴t的最小值为103天．答：该店最少需要103天才能还清集资款．7.解：(1)y=-x2＋2x＋3(2)易求直线BC的解析式为y=-x＋3，∴M(m，-m＋3)，又∵MN⊥x轴，∴N(m，-m2＋2m＋3)，∴MN=(-m2＋2m＋3)-(-m＋3)＝-m2＋3m(0＜m＜3)(3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=0.5|MN|·|OB|，∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，MN=-m2＋3m=-(m-1.5)2＋2.25，所以当m＝1.5时，△BNC的面积最大为3.75.。

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