等比数列教案经典
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《等比数列》教学设计(共2课时)
第一课时
1、创设情境,提出问题 (阅读本章引言并打出幻灯片)
情境1:本章引言内容
提出问题:同学们,国王有能力满足发明者的要求吗?
引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为:
1,2,,2,2,2432 ……,632 (1)
于是发明者要求的麦粒总数是
情境2:某人从银行贷款10000元人民币,年利率为r ,若此人一年后还款,二年后还款,三年后还款,……,还款数额依次满足什么规律?
10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… (2) 情境3:将长度为1米的木棒取其一半,将所得的一半再取其一半,再将所得的木棒继续取其一半,……各次取得的木棒长度依次为多少?,8
1,41,21…… (3) 问:你能算出第7次取一半后的长度是多少吗?观察、归纳、猜想得7)2
1( 2、自主探究,找出规律:
学生对数列(1),(2),(3)分析讨论,发现共同特点:从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起,每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母q )0(≠q 表示,即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。
如数列(1),(2),(3)都是等比数列,它们的公比依次是2,1+r,2
1 点评:等比数列与等差数列仅一字之差,对比知从第二项起,每一项与前一项之“差”为常数,则为等差数列,之“比”为常数,则为等比数列,此常数称为“公差”或“公比”。
⋅⋅⋅⋅⋅⋅23631+2+2+2++2
3、观察判断,分析总结:
观察以下数列,判断它是否为等比数列,若是,找出公比,若不是,说出理由,然后回答下面问题:
1,3,9,27,……
,8
1,41,21,1----…… 1,-2,4,-8,……
-1,-1,-1,-1,……
1,0,1,0,……
思考:①公比q 能为0吗?为什么?首项能为0吗?
②公比1=q 是什么数列?
③0 q 数列递增吗?0 q 数列递减吗?
④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式:
这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。
选题分析;因为等差数列公差d 可以取任意实数,所以学生对公比q 往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况,以致于在不为具体数字(即为字母运算)时不会讨论以上两种情况,故给出问题以揭示学生对公比q 有防患意识,问题③是让学生明白0 q 时等比数列的单调性不定,而0 q 时数列为摆动数列,要注意与等差数列的区别。
备选题:已知R x ∈则,,,32x x x ……n x ,……成等比数列的从要条件是什么?
4、观察猜想,求通项:
方法1:由定义知道,,,3134212312q a q a a q a q a a q a a =====……归纳得:等
比数列的通项公式为:11-=n n q a a )(*∈N n
(说明:推得结论的这一方法称为归纳法,不是公式的证明,要想对
这一方式的结论给出严格的证明,需在学习数学归纳法后完成,现阶
段我们只承认它是正确的就可以了)
方法2:迭代法
根据等比数列的定义有
23123n n n n a a q a q a q ---=⋅=⋅=⋅=……2121n n a q a q --=⋅=⋅
方法3:由递推关系式或定义写出:,,,342312q a a q a a q a a ===……q a a n n =-1
,通过观察发现•••342312a a a a a a ……q q q a a n n ⋅⋅=-1
……1-=n q q 11
-=∴n n q a a ,即:11-=n n q a a )(*∈N n (此证明方法称为“累商法”,在以后的数列证明中有重要应用) 公式11-=n n q a a )(*∈N n 的特征及结构分析:
(1) 公式中有四个基本量:n a q n a ,,,1,可“知三求一”,体现方程思想。
(2) 1a 的下标与的1-n q 上标之和n n =-+)1(1,恰是n a 的下标,即q 的指数比
项数少1。
5、问题探究:通项公式的应用
例、已知数列{}n a 是等比数列,64,283=-=a a ,求14a 的值。
备选题:已知数列{}n a 满足条件:n n p a )54(=,且25
44-=a 。求8a 的值 6、课堂演练:教材138页1、2题
备选题1:已知数列{}n a 为等比数列,4
5,106431=+=+a a a a ,求4a 的值 备选题2:公差不为0的等差数列{}n a 中,632,,a a a 依次成等比数列,
则公比等于
7、归纳总结:
(1)等比数列的定义,即11
n n a q a -=)0(≠q (2)等比数列的通项公式11-=n n q a a )(*∈N n 及推导过程。
选作:1、已知数列{}n a 为等比数列,且1231237,8a a a a a a ++==,求n a
2、已知数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+
(1)求证:{}1n a +是等比数列;。
(2)求{}n a 的通项n a 。
第二课时
1、复习回顾:
上节课,我们学习了……(打出幻灯片)
(1) 等比数列定义:1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠
(2) 通项公式:11-=n n q a a (,0)n N q *∈≠
(3)若11n n a n a n --=,数列{}n a 是等比数列吗?111()n n n a a n
--=⋅对不对? (注意:考虑公比q 为常数)
2、尝试练习:
在等比数列{}n a 中
(1)2418,8a a ==,求1,a q
(2)514215,6,a a a a -=-=求n a
(3)在-2与-8之间插入一个数A ,使-2,A ,-8成等比数列,求A
(鼓励学生尝试用不同的方法求解,相互讨论分析不同的解法,然后归纳出等比数列的性质)
3、性质探究:
(1)若a,G,b 成等比数列,则2G ab =有,称G 为a,b 的等比中项,
即G =(a b 与同号);
思考:2a 是谁的等比中项?3a 呢?n a 呢?
总结归纳得到性质(2)
(2)211(2)n
n n a a a n -+=⋅≥ 逆向思考:若数列{}n a 满足211(2)n
n n a a a n -+=⋅≥,它一定是等比数列吗? (3)若m n p q +=+,则(,,,m n p q a a a a m n p q ⋅=⋅为正整数)